Integer Points on A^4+B^4+4671*C^4=D^4

[2026.04.12]A^4+B^4+4671*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム"syzygy3.gp"(Pari/GP)
A^4+B^4+m^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム"x100.gp"(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム"conics2.magma"(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム"rp4.magma"(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=69とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように79個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(69,1,200);
**u= -200/33 ; tau(u)= -33/100 ; -179334*x^2 - 42178*y^2 - 75644*x*z + 13200*z^2
; C5a (1098625/8664814 : -1136795/8664814 : 1)  C5b (4045445/4825322 : 220228/2412661 : 1)
**u= -188/39 ; tau(u)= -39/94 ; -173814*x^2 - 38386*y^2 - 64604*x*z + 14664*z^2
; C5a (-7042/141725 : 95542/141725 : 1)  C5b (-10207/31018 : 300/15509 : 1)
**u= -188/195 ; tau(u)= -195/94 ; -627462*x^2 - 111394*y^2 + 81412*x*z + 73320*z^2
; C5a (-943/5606 : 3437/5606 : 1)  C5b (153211/1365262 : 18660/682631 : 1)
**u= -180/29 ; tau(u)= -29/90 ; -144006*x^2 - 34082*y^2 - 61436*x*z + 10440*z^2
; C5a (-3887/22778 : 15959/22778 : 1)  C5b (514715/732398 : -5948/366199 : 1)
**u= -180/79 ; tau(u)= -79/90 ; -248406*x^2 - 44882*y^2 - 39836*x*z + 28440*z^2
; C5a (-15967/61918 : 43541/61918 : 1)  C5b (-285025/19274 : -23924/9637 : 1)
**u= -180/101 ; tau(u)= -101/90 ; -303846*x^2 - 52802*y^2 - 23996*x*z + 36360*z^2
; C5a (2554361/17748406 : 12600277/17748406 : 1)  C5b (38585/7322 : 204/523 : 1)
**u= -180/197 ; tau(u)= -197/90 ; -613734*x^2 - 110018*y^2 + 90436*x*z + 70920*z^2
; C5a (71542/1375737 : 34182/41689 : 1)  C5b (-2360605/1756673 : 201429/1756673 : 1)
**u= -176/3 ; tau(u)= -3/88 ; -97206*x^2 - 30994*y^2 - 61916*x*z + 1056*z^2
; C5a (-654/9527 : -3768/9527 : 1)  C5b (5463469/5457049 : -1112845/5457049 : 1)
**u= -164/195 ; tau(u)= -195/82 ; -564678*x^2 - 102946*y^2 + 98308*x*z + 63960*z^2
; C5a (742649/2246906 : -1305727/2246906 : 1)  C5b (-462355/316082 : 3076/158041 : 1)
**u= -156/185 ; tau(u)= -185/78 ; -509238*x^2 - 92786*y^2 + 88228*x*z + 57720*z^2
; C5a (103610/320521 : -191230/320521 : 1)  C5b (-14041/120497 : 12475/120497 : 1)
**u= -144 ; tau(u)= -1/72 ; -63366*x^2 - 20738*y^2 - 41468*x*z + 288*z^2
; C5a (23689/3456078 : 7105/1152026 : 1)  C5b (287/487 : 35/487 : 1)
**u= -144/143 ; tau(u)= -143/72 ; -349638*x^2 - 61634*y^2 + 40324*x*z + 41184*z^2
; C5a (-420395/11731722 : -3122279/3910574 : 1)  C5b (-361249/185294 : -8380/92647 : 1)
**u= -132/25 ; tau(u)= -25/66 ; -82422*x^2 - 18674*y^2 - 32348*x*z + 6600*z^2
; C5a (-11/182 : 121/182 : 1)  C5b (30265/39949 : 1089/39949 : 1)
**u= -128/195 ; tau(u)= -195/64 ; -476982*x^2 - 92434*y^2 + 119332*x*z + 49920*z^2
; C5a (-815/3694 : 235/3694 : 1)  C5b (-42421/295475 : 33791/295475 : 1)
**u= -124/171 ; tau(u)= -171/62 ; -391206*x^2 - 73858*y^2 + 86212*x*z + 42408*z^2
; C5a (351845/2130126 : 560203/710042 : 1)  C5b (-5089/4511 : -245/4511 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (276083/221654 : 17440/110827 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (-18991/28622 : 2440/14311 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (28759/1706110 : -32/121865 : 1)
**u= -120/107 ; tau(u)= -107/60 ; -214614*x^2 - 37298*y^2 + 16996*x*z + 25680*z^2
; C5a (-4/1597 : 1324/1597 : 1)  C5b (-172565/192289 : 32453/192289 : 1)
**u= -120/181 ; tau(u)= -181/60 ; -413526*x^2 - 79922*y^2 + 102244*x*z + 43440*z^2
; C5a (-96010/477871 : -133160/477871 : 1)  C5b (16805/76033 : -1691/76033 : 1)
**u= -120/187 ; tau(u)= -187/60 ; -432534*x^2 - 84338*y^2 + 111076*x*z + 44880*z^2
; C5a (-8324/60429 : -10140/20143 : 1)  C5b (30253/205615 : 13291/205615 : 1)
**u= -116/27 ; tau(u)= -27/58 ; -69798*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z + 6264*z^2
; C5a (41/402 : 61/134 : 1)  C5b (348523/336757 : -38535/336757 : 1)
**u= -112/39 ; tau(u)= -39/56 ; -81702*x^2 - 15586*y^2 - 19004*x*z + 8736*z^2
; C5a (-2920/102429 : -26248/34143 : 1)  C5b (1537/478 : -120/239 : 1)
**u= -112/111 ; tau(u)= -111/56 ; -211014*x^2 - 37186*y^2 + 24196*x*z + 24864*z^2
; C5a (8842/23211 : 2360/7737 : 1)  C5b (-11603/5497 : 275/5497 : 1)
**u= -96/191 ; tau(u)= -191/48 ; -393222*x^2 - 82178*y^2 + 127492*x*z + 36672*z^2
; C5a (3376/11537 : 8080/11537 : 1)  C5b (271229/941471 : 7115/941471 : 1)
**u= -92/45 ; tau(u)= -45/46 ; -70662*x^2 - 12514*y^2 - 8828*x*z + 8280*z^2
; C5a (3449/20042 : 12241/20042 : 1)  C5b (-15389/30985 : 4269/30985 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (78343/17953 : -5275/17953 : 1)
**u= -92/135 ; tau(u)= -135/46 ; -234102*x^2 - 44914*y^2 + 55972*x*z + 24840*z^2
; C5a (-9215/66862 : -35525/66862 : 1)  C5b (43/926 : 40/463 : 1)
**u= -92/195 ; tau(u)= -195/46 ; -397062*x^2 - 84514*y^2 + 135172*x*z + 35880*z^2
; C5a (1945/6082 : 4105/6082 : 1)  C5b (22507/147755 : -12153/147755 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (-2903/931 : 145/931 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (36133/619450 : -21384/309725 : 1)
**u= -84/89 ; tau(u)= -89/42 ; -128502*x^2 - 22898*y^2 + 17572*x*z + 14952*z^2
; C5a (-17/266 : 21695/28462 : 1)  C5b (23/182 : 200/9737 : 1)
**u= -84/95 ; tau(u)= -95/42 ; -139158*x^2 - 25106*y^2 + 21988*x*z + 15960*z^2
; C5a (905/2926 : -1795/2926 : 1)  C5b (-298069/637330 : -42788/318665 : 1)
**u= -80/27 ; tau(u)= -27/40 ; -40854*x^2 - 7858*y^2 - 9884*x*z + 4320*z^2
; C5a (2312/18213 : -3360/6071 : 1)  C5b (-70109/28762 : 7680/14381 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (237475/118186 : 1964/59093 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (-2699/8354 : -220/4177 : 1)
**u= -72/55 ; tau(u)= -55/36 ; -65382*x^2 - 11234*y^2 + 1732*x*z + 7920*z^2
; C5a (54541/507314 : -24139/29842 : 1)  C5b (-3155/79651 : -4161/79651 : 1)
**u= -72/115 ; tau(u)= -115/36 ; -161142*x^2 - 31634*y^2 + 42532*x*z + 16560*z^2
; C5a (-13355/183746 : 116045/183746 : 1)  C5b (148997/713765 : 29513/713765 : 1)
**u= -64/45 ; tau(u)= -45/32 ; -47478*x^2 - 8146*y^2 - 92*x*z + 5760*z^2
; C5a (-39808/229281 : 55816/76427 : 1)  C5b (-8543/46 : -100/23 : 1)
**u= -60/71 ; tau(u)= -71/30 ; -75126*x^2 - 13682*y^2 + 12964*x*z + 8520*z^2
; C5a (-19696/76591 : 9670/76591 : 1)  C5b (72895/812707 : -6777/116101 : 1)
**u= -60/127 ; tau(u)= -127/30 ; -168534*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z + 15240*z^2
; C5a (-8435/76094 : 33175/76094 : 1)  C5b (24127/406474 : 20280/203237 : 1)
**u= -60/173 ; tau(u)= -173/30 ; -273414*x^2 - 63458*y^2 + 112516*x*z + 20760*z^2
; C5a (3274/384413 : 224786/384413 : 1)  C5b (46591/262522 : 11640/131261 : 1)
**u= -52/69 ; tau(u)= -69/26 ; -65382*x^2 - 12226*y^2 + 13636*x*z + 7176*z^2
; C5a (-4778/20481 : -1290/6827 : 1)  C5b (-3313/7523 : 975/7523 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-128173/13763777 : -1599845/13763777 : 1)
**u= -48/155 ; tau(u)= -155/24 ; -210582*x^2 - 50354*y^2 + 91492*x*z + 14880*z^2
; C5a (24538/1314803 : 752960/1314803 : 1)  C5b (1043141/4942550 : -209768/2471275 : 1)
**u= -40/9 ; tau(u)= -9/20 ; -8166*x^2 - 1762*y^2 - 2876*x*z + 720*z^2
; C5a (94/679 : 208/679 : 1)  C5b (7831/9358 : 180/4679 : 1)
**u= -40/123 ; tau(u)= -123/20 ; -134934*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z + 9840*z^2
; C5a (-1892/22921 : -8312/22921 : 1)  C5b (-228919/327298 : 1160/163649 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (115759/404497 : -33355/404497 : 1)
**u= -28/135 ; tau(u)= -135/14 ; -141942*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z + 7560*z^2
; C5a (-5296/61331 : 5878/61331 : 1)  C5b (113915/289522 : 3704/144761 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (54013/269425 : 21877/269425 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (11053/5186 : 420/2593 : 1)
**u= -20/147 ; tau(u)= -147/10 ; -154374*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z + 5880*z^2
; C5a (-29155/1189526 : 345905/1189526 : 1)  C5b (-284281/637430 : -25484/318715 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (151/1090 : 52/545 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (5971/14530 : -108/7265 : 1)
**u= -12/85 ; tau(u)= -85/6 ; -51942*x^2 - 14594*y^2 + 28612*x*z + 2040*z^2
; C5a (641/6214 : -3427/6214 : 1)  C5b (215/4646 : -272/2323 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (7349/18581 : -775/18581 : 1)
**u= -8/135 ; tau(u)= -135/4 ; -118182*x^2 - 36514*y^2 + 72772*x*z + 2160*z^2
; C5a (11286/430039 : 142128/430039 : 1)  C5b (-18515/36166 : 588/18083 : 1)
**u= -4/195 ; tau(u)= -195/2 ; -234438*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z + 1560*z^2
; C5a (-39/13774 : 1677/13774 : 1)  C5b (-52889/133933 : 10305/133933 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/195 ; tau(u)= 195/2 ; -221958*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z - 1560*z^2
; C5a (3281/4994 : -83/454 : 1)  C5b (-187375/382694 : -692/191347 : 1)
**u= 8/135 ; tau(u)= 135/4 ; -100902*x^2 - 36514*y^2 + 72772*x*z - 2160*z^2
; C5a (2245/11694 : 1835/3898 : 1)  C5b (1705/367678 : 22104/183839 : 1)
**u= 20/147 ; tau(u)= 147/10 ; -107334*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z - 5880*z^2
; C5a (3373/4906 : 1117/4906 : 1)  C5b (-342623/797015 : -14931/797015 : 1)
**u= 24/115 ; tau(u)= 115/12 ; -58998*x^2 - 27026*y^2 + 51748*x*z - 5520*z^2
; C5a (1509/5294 : 2145/5294 : 1)  C5b (277051/463942 : -7880/231971 : 1)
**u= 28/135 ; tau(u)= 135/14 ; -81462*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z - 7560*z^2
; C5a (3220/20599 : 4270/20599 : 1)  C5b (1626703/3034246 : -98700/1517123 : 1)
**u= 36/169 ; tau(u)= 169/18 ; -126582*x^2 - 58418*y^2 + 111652*x*z - 12168*z^2
; C5a (8497/49514 : 11705/49514 : 1)  C5b (16967167/35024938 : 1433300/17512469 : 1)
**u= 40/123 ; tau(u)= 123/20 ; -56214*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z - 9840*z^2
; C5a (4333/15478 : 3679/15478 : 1)  C5b (100951/180205 : 14753/180205 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (53453/111562 : 5220/55781 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (-36067/138622 : 5200/69311 : 1)
**u= 60/103 ; tau(u)= 103/30 ; -25014*x^2 - 24818*y^2 + 35236*x*z - 12360*z^2
; C5a (18884/28531 : -350/28531 : 1)  C5b (-3565/14303 : -331/14303 : 1)
**u= 60/113 ; tau(u)= 113/30 ; -33174*x^2 - 29138*y^2 + 43876*x*z - 13560*z^2
; C5a (37838/46717 : 4010/46717 : 1)  C5b (222539/406370 : -22804/203185 : 1)
**u= 60/127 ; tau(u)= 127/30 ; -46614*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z - 15240*z^2
; C5a (1762/2253 : -130/751 : 1)  C5b (318499/408158 : -10400/204079 : 1)
**u= 60/149 ; tau(u)= 149/30 ; -72486*x^2 - 48002*y^2 + 81604*x*z - 17880*z^2
; C5a (4808/7011 : -674/2337 : 1)  C5b (582061/934942 : -38160/467471 : 1)
**u= 64/183 ; tau(u)= 183/32 ; -119526*x^2 - 71074*y^2 + 125764*x*z - 23424*z^2
; C5a (2554/5883 : -684/1961 : 1)  C5b (-3787/24518 : 1140/12259 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (-52073/23077 : -8745/23077 : 1)
**u= 84/11 ; tau(u)= 11/42 ; -14502*x^2 - 7298*y^2 - 13628*x*z - 1848*z^2
; C5a (-327/1586 : -345/1586 : 1)  C5b (-6131/4601 : 1155/4601 : 1)
**u= 100/9 ; tau(u)= 9/50 ; -23286*x^2 - 10162*y^2 - 19676*x*z - 1800*z^2
; C5a (-748/5327 : -1186/5327 : 1)  C5b (-22987/14801 : -4805/14801 : 1)
**u= 108/185 ; tau(u)= 185/54 ; -80502*x^2 - 80114*y^2 + 113572*x*z - 39960*z^2
; C5a (83465/113878 : -2405/113878 : 1)  C5b (791135/827702 : -7964/413851 : 1)
**u= 116/27 ; tau(u)= 27/58 ; -19686*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z - 6264*z^2
; C5a (-14544/36931 : -3486/36931 : 1)  C5b (821/2681 : 5/383 : 1)
**u= 144 ; tau(u)= 1/72 ; -61062*x^2 - 20738*y^2 - 41468*x*z - 288*z^2
; C5a (-7096/327153 : 18280/109051 : 1)  C5b (491359/627826 : 46180/313913 : 1)
79
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B, 0 < C, 0 < Dを満たすように、A,B,C,Dの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=0,(5b-)のとき

148648609^4+171868800^4+4761*25464560^4=240808609^4
48539123106313046474474489324161^4+8055857771314254685997303742220800^4+4761*106302864769478551445939434495520^4=8056148483442821812530883331564161^4
8203291252482907290241885277520718865425639437527974001310758829810879043200^4+12724204783006794263152567445167989424424162102664975312535803062127036585889^4+4761*1632475794056027921800939450593018311363899145628575719260469204292637180720^4=15939782378097133624910502986688940813985398737079503152436057740433944745889^4
102418789917329981265030434996096950913154150078314682075648294957114280149272614505359437421598630077283333505659204972181681568819200^4+4210996104962426824600180945955402226862406220268864889997012608618764557624832706947071341538649003216520775656630195212868961706314241^4+4761*111158123702841716292793419539253474014953874076674691694858994710938011163346704478720395751653004413502142655690982904968564979917760^4=4213427962037103752401939960816502890945328246507280572548578449277386138449944156458025763941763911973966807404901615398622226817354241^4
28750729492625011104857678371391967765407552733700658023981080964663710003841181347536575897968043197116841805716128075121774504943516402300078883683554899857643406196615005840545007028952798101722557981867385249^4+60488530482779267957578599635775410733539507363437957657714097264786787493487990020609094874761928102416122699902916484652917476978453953394607160253546872830836333618962230089326066099116647594602269222395920000^4+4761*6701069495711300528223690492286869326698478746039831257081612052543036137708610538480148168817951245364035343760011627187186553054948273503178570922046027903917866289503224819812225945940757515755061419262810800^4=69751319602567157332375223728666531632492062174206403964383715253047352104973092755708086283824278489748112678869680948968815749012973461086755293283097889285388851171155627378523885087550049021272411735467385249^4
7934400206716015723144784867360611105218885653154556814675504015937728666612114571595183646177356574101687273117233179374969959302248848447747240962650800373554051231686747958828936232856748935912432513131212070596346639245459342264245570574610699318249233296277545931105001512964682841938918186020583041^4+142769121870911161154363576387132077096473393450329619161405657871996677613594160922692685438399801609271647497378679883940880955700273418376697350290044060325653441553920184969631894281990912371319362403380092969828161722221771057314555978578123685342194039723031035127940233963655502314900312404998003200^4+4761*5658230508064277225276497733940051279876592275418023997105844642798397258838063384935325370162221840104606970947383916984353624747977194020634260759997017022651506070924869917863898786924603678832641330058752072706097319317342830347351006439094800190392017624150942210263483953820915621844471718484171360^4=143186860658780413939739280402995606929751139143343840926546634063616813754728025588945393943455435120434796088377422394895802071730433053913394443079070212565897826793999255022389390234151223564823513905484893969964806379546498118329519936672813723481724786153052093016763409673934887407897563195797223041^4
6358011302983864090827871738771708827621719739549923783444282375837998953120554757094714910697982924586317861763327016700202491499322818936369295074649140050890932189730434919990608730361609096022635353301134540106030123837045013583322467721667437046066355748824272157359671846098472787341238659808839527835268211490679598636383806360861988252675032819533780688330047388941743026235227670207288006954904086978755200^4+18506196791721724349441962659624277012275091035403887015992793712439172845744397481523788033133087668486569198429565050506795866200778617798790162598209862675504828072794369144649577140550120179515077803118511370032569021717685785006183565591918072450055384531121464671344295604679063105501857202987478241827435894470565173000378724312106410908457554910153449280006651157309304672746018001357787774651061165440176289^4+4761*1756690823091971747838524638169173835455883386002951562015894556995061982033258219089718997365282451509669970088639914650574009452843987155102256623585033373100013317313333010714484996455671779308422138091780228241325409440701569069394743596437145740825857594403152538054787803693894093375085204307235492684458434872743809266889351566723561908821685577165748105833885175276772108922419101759022351437575660737869680^4=20131999937146582830665104807205893169089332942240947988849883219200354990002843780747772872344080379276236227874626814815325895507522737204243157096635953926857548270026197359897796786152227850880508835622967900179437338128378685988987763391089089426684388850322144292408531118467620587194668686742622913267344868362014842588785303627460902450202885791178978221545557060185371243915464354099871213874776076559536289^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.05.06

H.Nakao