Integer Points on A^4+B^4+1521*C^4=D^4

[2026.04.10]A^4+B^4+1521*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム"syzygy3.gp"(Pari/GP)
A^4+B^4+m^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム"x100.gp"(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム"conics2.magma"(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム"rp3.magma"(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=39とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように126個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(39,1,200);
**u= -196/15 ; tau(u)= -15/98 ; -140118*x^2 - 38866*y^2 - 75932*x*z + 5880*z^2
; C5a (-42043/253226 : -155333/253226 : 1)  C5b (317917/451496 : -26425/225748 : 1)
**u= -192/85 ; tau(u)= -85/96 ; -284502*x^2 - 51314*y^2 - 44828*x*z + 32640*z^2
; C5a (-19318/45343 : -1984/45343 : 1)  C5b (161711/99800 : 1333/49900 : 1)
**u= -192/175 ; tau(u)= -175/96 ; -563142*x^2 - 98114*y^2 + 48772*x*z + 67200*z^2
; C5a (46464/151637 : -82824/151637 : 1)  C5b (-112937/563776 : -39285/281888 : 1)
**u= -180/7 ; tau(u)= -7/90 ; -107574*x^2 - 32498*y^2 - 64604*x*z + 2520*z^2
; C5a (469/24506 : 4795/24506 : 1)  C5b (124417/221944 : 5075/110972 : 1)
**u= -180/91 ; tau(u)= -91/90 ; -277926*x^2 - 48962*y^2 - 31676*x*z + 32760*z^2
; C5a (302989/2673014 : -1932767/2673014 : 1)  C5b (-17825/17606 : -2716/8803 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (5573/62200 : 767/31100 : 1)
**u= -176/135 ; tau(u)= -135/88 ; -392358*x^2 - 67426*y^2 + 10948*x*z + 47520*z^2
; C5a (21194/77307 : 14392/25769 : 1)  C5b (-415175/707026 : -72152/353513 : 1)
**u= -160/39 ; tau(u)= -39/80 ; -135846*x^2 - 28642*y^2 - 45116*x*z + 12480*z^2
; C5a (626/10199 : 5780/10199 : 1)  C5b (-74681/49720 : -11901/24860 : 1)
**u= -152/183 ; tau(u)= -183/76 ; -492774*x^2 - 90082*y^2 + 87748*x*z + 55632*z^2
; C5a (3807012/45290249 : 36816240/45290249 : 1)  C5b (-13747/29648 : -2615/14824 : 1)
**u= -144/115 ; tau(u)= -115/72 ; -274038*x^2 - 47186*y^2 + 11428*x*z + 33120*z^2
; C5a (-6224/79593 : 21348/26531 : 1)  C5b (-4379/1190 : 188/595 : 1)
**u= -136/195 ; tau(u)= -195/68 ; -495798*x^2 - 94546*y^2 + 115108*x*z + 53040*z^2
; C5a (153260/625593 : 153880/208531 : 1)  C5b (-91097/310504 : -25565/155252 : 1)
**u= -132/65 ; tau(u)= -65/66 ; -146262*x^2 - 25874*y^2 - 17948*x*z + 17160*z^2
; C5a (577/2498 : 1121/2498 : 1)  C5b (-121885/613646 : 23808/306823 : 1)
**u= -132/71 ; tau(u)= -71/66 ; -157494*x^2 - 27506*y^2 - 14684*x*z + 18744*z^2
; C5a (-12126/48557 : -32850/48557 : 1)  C5b (-12473/9472 : -1725/4736 : 1)
**u= -132/85 ; tau(u)= -85/66 ; -185382*x^2 - 31874*y^2 - 5948*x*z + 22440*z^2
; C5a (6377/44626 : 33353/44626 : 1)  C5b (1127783/141224 : 12485/70612 : 1)
**u= -128/195 ; tau(u)= -195/64 ; -476982*x^2 - 92434*y^2 + 119332*x*z + 49920*z^2
; C5a (-815/3694 : 235/3694 : 1)  C5b (-167225/11978992 : -788059/5989496 : 1)
**u= -120/97 ; tau(u)= -97/60 ; -192774*x^2 - 33218*y^2 + 8836*x*z + 23280*z^2
; C5a (-154/591 : 96/197 : 1)  C5b (737/197666 : 5540/98833 : 1)
**u= -120/137 ; tau(u)= -137/60 ; -287334*x^2 - 51938*y^2 + 46276*x*z + 32880*z^2
; C5a (45609/318586 : 256305/318586 : 1)  C5b (7525/166744 : -7641/83372 : 1)
**u= -116/15 ; tau(u)= -15/58 ; -55638*x^2 - 13906*y^2 - 26012*x*z + 3480*z^2
; C5a (-35278/291521 : 188482/291521 : 1)  C5b (26905/19424 : 3427/9712 : 1)
**u= -112/39 ; tau(u)= -39/56 ; -81702*x^2 - 15586*y^2 - 19004*x*z + 8736*z^2
; C5a (-2920/102429 : -26248/34143 : 1)  C5b (-90601/344336 : -10645/172168 : 1)
**u= -108/65 ; tau(u)= -65/54 ; -116502*x^2 - 20114*y^2 - 6428*x*z + 14040*z^2
; C5a (24444/353807 : 284874/353807 : 1)  C5b (-23551/69040 : -5147/34520 : 1)
**u= -100/57 ; tau(u)= -57/50 ; -95094*x^2 - 16498*y^2 - 7004*x*z + 11400*z^2
; C5a (11897/38894 : -5747/38894 : 1)  C5b (118657/17464 : -6285/8732 : 1)
**u= -84/73 ; tau(u)= -73/42 ; -102198*x^2 - 17714*y^2 + 7204*x*z + 12264*z^2
; C5a (25/66 : 3/22 : 1)  C5b (-467627/174082 : 18560/87041 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (-187949/210538 : -29860/105269 : 1)
**u= -72/25 ; tau(u)= -25/36 ; -33702*x^2 - 6434*y^2 - 7868*x*z + 3600*z^2
; C5a (11557/50858 : 5371/50858 : 1)  C5b (142879/98110 : -9012/49055 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (-266635/253952 : 5847/126976 : 1)
**u= -52/69 ; tau(u)= -69/26 ; -65382*x^2 - 12226*y^2 + 13636*x*z + 7176*z^2
; C5a (-4778/20481 : -1290/6827 : 1)  C5b (-66073/52768 : 35/26384 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-7897/46630 : -3716/23315 : 1)
**u= -52/135 ; tau(u)= -135/26 ; -173622*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z + 14040*z^2
; C5a (7714/116661081 : -23289986/38887027 : 1)  C5b (198151/616678 : -10480/308339 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (99703/273688 : -4085/136844 : 1)
**u= -40/3 ; tau(u)= -3/20 ; -5814*x^2 - 1618*y^2 - 3164*x*z + 240*z^2
; C5a (-2/2251 : 872/2251 : 1)  C5b (29447/28190 : -3688/14095 : 1)
**u= -36/17 ; tau(u)= -17/18 ; -10518*x^2 - 1874*y^2 - 1436*x*z + 1224*z^2
; C5a (-26/209 : 170/209 : 1)  C5b (-6223/38 : -620/19 : 1)
**u= -36/95 ; tau(u)= -95/18 ; -85398*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z + 6840*z^2
; C5a (-330431/2758394 : 793415/2758394 : 1)  C5b (79003/295600 : -11609/147800 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (-14231/37952 : -2485/18976 : 1)
**u= -16/39 ; tau(u)= -39/8 ; -14886*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z + 1248*z^2
; C5a (253/502 : -145/502 : 1)  C5b (-3001/13394 : 1080/6697 : 1)
**u= -16/165 ; tau(u)= -165/8 ; -185238*x^2 - 54706*y^2 + 108388*x*z + 5280*z^2
; C5a (6005280/43504597 : -24045420/43504597 : 1)  C5b (98323/863680 : -65431/431840 : 1)
**u= -12/23 ; tau(u)= -23/6 ; -5814*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z + 552*z^2
; C5a (-1160/71667 : -5242/7963 : 1)  C5b (-257/2128 : 165/1064 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (9953/24040 : -109/12020 : 1)
**u= -12/185 ; tau(u)= -185/6 ; -223542*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z + 4440*z^2
; C5a (-22579/5513878 : -1310849/5513878 : 1)  C5b (344657/1102280 : 3763/32420 : 1)
**u= -8/93 ; tau(u)= -93/4 ; -58038*x^2 - 17362*y^2 + 34468*x*z + 1488*z^2
; C5a (1789/25366 : 11599/25366 : 1)  C5b (7567/32848 : -2205/16424 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 8/15 ; tau(u)= 15/4 ; -582*x^2 - 514*y^2 + 772*x*z - 240*z^2
; C5a (77/102 : -5/34 : 1)  C5b (613/8560 : -639/4280 : 1)
**u= 8/93 ; tau(u)= 93/4 ; -46134*x^2 - 17362*y^2 + 34468*x*z - 1488*z^2
; C5a (4425/94322 : -3753/94322 : 1)  C5b (62551/187666 : 12260/93833 : 1)
**u= 12/23 ; tau(u)= 23/6 ; -1398*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z - 552*z^2
; C5a (1068/1391 : 210/1391 : 1)  C5b (13687/16048 : 435/8024 : 1)
**u= 12/185 ; tau(u)= 185/6 ; -188022*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z - 4440*z^2
; C5a (286/5513 : 974/5513 : 1)  C5b (-109735/234488 : -901/117244 : 1)
**u= 16/39 ; tau(u)= 39/8 ; -4902*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z - 1248*z^2
; C5a (73/226 : 25/226 : 1)  C5b (-3169/68504 : -4805/34252 : 1)
**u= 16/165 ; tau(u)= 165/8 ; -142998*x^2 - 54706*y^2 + 108388*x*z - 5280*z^2
; C5a (569/7914 : 475/2638 : 1)  C5b (68321/190120 : 1709/13580 : 1)
**u= 20/51 ; tau(u)= 51/10 ; -8646*x^2 - 5602*y^2 + 9604*x*z - 2040*z^2
; C5a (1942/2697 : 238/899 : 1)  C5b (5834069/8088530 : 228076/4044265 : 1)
**u= 36/95 ; tau(u)= 95/18 ; -30678*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z - 6840*z^2
; C5a (52661/73258 : 19669/73258 : 1)  C5b (-1165/28286 : 2028/14143 : 1)
**u= 36/169 ; tau(u)= 169/18 ; -126582*x^2 - 58418*y^2 + 111652*x*z - 12168*z^2
; C5a (8497/49514 : 11705/49514 : 1)  C5b (-20401/76136 : -4125/38068 : 1)
**u= 40/3 ; tau(u)= 3/20 ; -3894*x^2 - 1618*y^2 - 3164*x*z - 240*z^2
; C5a (-226/431 : 200/431 : 1)  C5b (1163/2296 : 15/164 : 1)
**u= 52/135 ; tau(u)= 135/26 ; -61302*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z - 14040*z^2
; C5a (3176/4619 : -1358/4619 : 1)  C5b (263755/696718 : -53236/348359 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (-296837/944752 : -35065/472376 : 1)
**u= 56/195 ; tau(u)= 195/28 ; -150198*x^2 - 79186*y^2 + 145828*x*z - 21840*z^2
; C5a (4822/25611 : -8812/145129 : 1)  C5b (26731/67450 : 4768/33725 : 1)
**u= 80/189 ; tau(u)= 189/40 ; -112566*x^2 - 77842*y^2 + 130084*x*z - 30240*z^2
; C5a (28769/39746 : 10015/39746 : 1)  C5b (-378407/1487360 : 56347/743680 : 1)
**u= 180/7 ; tau(u)= 7/90 ; -87414*x^2 - 32498*y^2 - 64604*x*z - 2520*z^2
; C5a (-315/2878 : -945/2878 : 1)  C5b (925688539/1195792402 : -122185480/597896201 : 1)
**u= 180/13 ; tau(u)= 13/90 ; -79494*x^2 - 32738*y^2 - 64124*x*z - 4680*z^2
; C5a (-6534/49777 : -13386/49777 : 1)  C5b (-2167/2150 : 268/1075 : 1)
**u= 196/15 ; tau(u)= 15/98 ; -93078*x^2 - 38866*y^2 - 75932*x*z - 5880*z^2
; C5a (-18112/83303 : 33350/83303 : 1)  C5b (94381/218800 : -1857/109400 : 1)
57
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B, 0 < C, 0 < Dを満たすように、A,B,C,Dの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=-120/97のとき

17237429490^4+200142244666^4+1521*47568730255^4=311311240291^4
40807443345113526249970743154583224898160077970158237874551693288964266140495671515895349521681889509349085125561022^4+78034158412530509166805671660859233424001138688682875487570013608624161173869765754021648519434659822248263379741370^4+1521*9703469123269545521227479257185968836795019689358565279483572114815936691341668806687457380449357120069558523244755^4=85459096105788319587135402976124036153272546860076893220089642666596747648362153796833072153272384003388914491382103^4
4226521736833765481144402314526488412800497151205428534666813079976484564872772062080800689072176245583021764525107175991939158989252167336802321321042116050047847984687327328526540291647097476899741220167799209598819424029847052562657752058108209728268898167625287330458697628396675557274781077967919426571382511424336248470^4+5294278061258614654011838152997659781664160541688052390938848164272101694750488189049759625757377890569896456588369115213941903038849212560315041934692068882025549079859651753552364715924752825598408652994227081513253345744475889256595343292847858833754105835259170400564137541126048906829118358218398605272032020337011677042^4+1521*334294553891061994513820942480254712600099442102641921767136894060060888471392740345906728789834358580339671545968523893743732178496577795704638933842167249831837155250139441047515056767322117283483736939290799748274063839035212482970721432275093599601299693286131641071788904470291749994261299688858583680399897068796269675^4=5789845845333369366820966336029335378252235768686565704123317427209682713672753408015861070340878369688923628149439464188252080013594925441226332863113307418440055803294476385256518537813477605022416083814542014458327294275692203569545947999659769380673533884121789410212657627065534369546895374215704367735098521585784785167^4
69179462030408514962730130326636750120507360667391989119969713247986739705664507945878949842149105556908286675287948830969423899066049095601802679422259525908784886937298224562651942005404509295345327309907097924370174439093691309420869313259539705820085985865696120472681903792231572874905792867384449938662942886276509333862660342635790638487774023095492374438715523441014425136229258163409161256334381347118130762773523634769470157707946098873211078951280763850813379037769182376949608425740841914509294078755738001660174379007254986779787399374928459698157060343053164516494622140404067059894977250810177956792658034132633257591126646^4+77416248710679553325613687024070523963340280637593899635079039062346167997885080554153163613879193716364894532574124320771310450044351371494829646641320567277163819169060212648235249557509192674463956365814738429530895580149045957289995530808595971285602257365306188199257279968997709388283435891088722433273259403581491667251990496449093396199989242781878864158545391396941109850718270372316701431658866310368321455203317089537573586350476847353507947104349694203705258460478361382799980973100315737021345244193002133602071184247134115926210840530100275307562770110055816470910330708521153713983694679721117798386441444107172656750921410^4+1521*31575583082670363356075993948207146363712493566064621318339250175865115408642343564699186731075251850674263176156966404017204676021294734498310428341588973244164058240593977227654104333472455555792149961214669382027064718310485817810672185154553727372714198085486172443658250804095745965029244461502888598775470591005089214561527490702796897788171828852072258791539362974850274470109991279262435882290233460874709228085895490779555145138845755779607933484853603147714790940905926885667516060164625329617210253211040385984659262680653697410806378944765898248154715992416289131328752057649134079891773848964962126923161693645254407134665^4=87576419984627295234657530381734880144158549135855808721665094564275431518069814592281202009360934532446010666012618952785813279169582457371220119660561057731492514323921197478011767528786211925924199627723725919088176183514970873188843225854565678959587374882374187243168320318117914988380675865804610177875949024030179581656145174421645768505856680168442045456055992180063563062351929157312802622637193844722018628917470734637511841510657922735832479574406693782042549673811127057384488188768980547901785168391252391123112058942831117990175950973764208174024441151810925488217721747440922215172423503471997726369864604871979155610783979^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.05.06

H.Nakao