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Pentagnal Numbers Formula


[2001.12.23]五角数公式


■q=eiτ,τ∈H={τ ∈ C: Im(τ)>0}とする。このとき、|q|<1である。

■三角数
数列 1,3,6,10,...,(n+1)n/2,...に現れる整数を三角数と呼ぶ。
n番目の三角数(n+1)n/2=1+2+...+nは、1辺nの正三角形の形に並べた点の総数である。

■四角数
数列 1,4,9,16,...,n^2,...に現れる整数(つまり、平方数)を四角数と呼ぶ。
n番目の四角数n^2=1+3+5+...+(2n-1)は、1辺nの正方形の形に並べた点の総数である。

■五角数
数列 1,5,12,22,...,(3n-1)n/2,...に現れる整数を五角数と呼ぶ。
n番目の五角数は、一辺が1,2,...,nの正五角形を1つの頂点とその頂点を含む2辺を重ねて、各正五角形の辺と頂点上に間隔1で配置した点の合計数を表す。

■三角数公式
以下の等式が成立する。
     Σm=1(-1)m(2m+1)qm(m+1)/2m=1(1-qm)3
左辺のpの巾に三角数が現れるので、三角数公式と呼ぶことにする。

■四角数公式
以下の等式が成立する。
     Σm=-∞(qm2)=Πm=1[(1-q2m)(1+q2m-1)2]
     Σm=-∞(-1)mqm2m=1[(1-q2m)(1-q2m-1)2]
左辺のpの巾に四角数が現れるので、四角数公式と呼ぶことにする。

■五角数公式
以下の等式が成立する。
     Σm=-∞(-1)mqm(3m+1)/2m=1(1-qm)

左辺のmを-mで置き換えると、      Σm=-∞(-1)mqm(3m-1)/2
となり、qの巾に五角数が現れるので、Eulerの五角数公式と呼ぶ。

■pari/GPを使って、1≦k≦30について、Πm=1(1-qm)kを展開して、q100までの係数を求めてみると、以下のようになる。
k Πm=1(1-qm)k
1 1-q-q2+q5+q7-q12-q15+q22+q26-q35-q40+q51+q57-q70-q77+q92+q100+O(q101)
2 1-2q-q2+2q3+q4+2q5-2q6-2q8-2q9+q10+2q13+3q14-2q15+2q16-2q19-2q20-2q23-q24+2q26+2q27
-2q28+2q29+q30+2q31+2q33-2q34-2q35+2q36-2q38-4q40+q44-2q45+2q48+2q50+2q51+q52-2q53
+2q55+2q56-2q59-2q61-2q63+2q64-4q66-2q69-q70+2q71+2q73-2q77+2q78+4q79+q80+2q83-2q84
+2q85-2q86+2q89-2q91-2q93-2q94-2q96+2q100+O(q101)
3 1-3q+5q3-7q6+9q10-11q15+13q21-15q28+17q36-19q45+21q55-23q66+25q78-27q91+O(q101)
4 1-4q+2q2+8q3-5q4-4q5-10q6+8q7+9q8+14q10-16q11-10q12-4q13-8q15+14q16+20q17+2q18
-11q20+20q21-32q22-16q23-4q25+14q26+8q27-9q28+20q29+26q30+2q32-28q33-16q35+16q36
-28q37-22q38+14q40+16q41+40q43-28q45+26q46+32q47-17q48-32q50-16q51-22q52-10q54
+32q55-34q56-8q57+14q58+45q60-4q61+38q62+8q63-34q66-8q67+38q68-22q70-56q71+2q72
-28q73-10q76+20q77+64q78-40q79-20q80+44q81+32q83+40q85+8q87-23q88-46q90-40q91
+16q92+16q93-16q95-46q96-32q98+26q100+O(q101)
5 1-5q+5q2+10q3-15q4-6q5-5q6+25q7+15q8-20q9+9q10-45q11-5q12+25q13+20q14+10q15
+15q16+20q17-50q18-35q19-30q20+55q21-50q22+15q23+80q24+q25+50q26-35q27-45q28
-15q29+5q30-50q31-25q32-55q33+85q34+51q35+50q36+10q37-40q38+65q39+10q40-10q41
-115q42+50q43-115q44-100q45+85q46+80q47-30q48+5q49+20q50+45q51+70q52+65q53
+45q54-55q55-100q56-45q57+10q58-115q59+109q60-160q61+55q62-20q63-70q64+110q65
-20q66+105q67+185q68+70q69-130q70-85q71+65q72+60q73-50q74-q75-130q76+10q77
-55q78-165q79-110q80+165q81+15q82+55q83-30q84+160q85+45q86-60q87+90q88-5q89
+10q90+100q91+165q92-155q93+60q94-230q95-145q96-55q97-45q98+35q99+100q100+O(q101)
6 1-6q+9q2+10q3-30q4+11q6+42q7-70q9+18q10-54q11+49q12+90q13-22q15-60q16-110q18
+81q20+180q21-78q22+130q24-198q25-182q27-30q28+90q29+121q30+84q31+210q34
-252q36-102q37-270q38+170q39-69q42+330q43-38q45+420q46-190q48-390q49-108q51
-300q55+99q56+442q57+210q58+418q60-294q61-510q64+378q65-540q66+138q67-230q69
-462q70+611q72+570q73+132q76+50q78-150q79+110q81-630q83-350q84-598q87+450q88
+361q90+660q91+162q92-550q93+420q94+378q97+650q99-798q100+O(q101)
7 1-7q+14q2+7q3-49q4+21q5+35q6+41q7-49q8-133q9+98q10-21q11+126q12+112q13-176q14
-105q15-126q16+140q17-35q18+147q19+259q20+98q21-420q22-224q23+238q24-455q25
+273q26-14q27+322q28+406q29-35q30-7q31-637q32-196q33+245q34-181q35-574q36
+462q37+147q38+924q39+217q40-329q41-140q42-7q43-371q44-777q45+588q46-560q47
-196q48-489q49+1246q50+791q51+238q52+539q53-511q54-819q55+112q56+924q57
-1295q58-875q59+133q60-665q61-28q62+889q63-105q64+2093q65-770q66+1120q67
+336q68-1351q69+14q70-630q71+1400q72-483q73-1813q74-1820q75+749q76-560q77
+1071q78+1008q79+602q80+777q81+637q82-651q83+125q84+1162q85+126q86-1274q87
-378q88+7q89-980q90+154q91-2800q92-1421q93+1078q94+1841q95+315q96+980q97
+756q98+2653q99-3374q100+O(q101)
8 1-8q+20q2-70q4+64q5+56q6-125q8-160q9+308q10+110q12-520q14+57q16+560q17
+182q20-512q21-880q22+1190q24-448q25+884q26-1400q30-1330q32+1000q33
+1820q34-646q36+1280q37-1331q40-2464q41+380q42+1120q44+2576q46-880q49
+1748q50-3850q52-3400q54+2703q56+4160q57-2500q58+3458q60-1150q64-456q65
-5236q66-4480q69+6032q70+6160q72-3220q74+4466q76-7378q80-1456q81-3920q82
+4096q85+2200q86+7040q89+812q90-4030q92+5600q94-4913q96-9520q97-10400q100
+O(q101)
9 1-9q+27q2-12q3-90q4+135q5+54q6-99q7-189q8-85q9+657q10-162q11-135q12-171q13
-810q14+702q15+495q16+837q17-673q18-900q19+243q20-1053q21-297q22+1566q23
+2700q24-1764q25+81q26-1188q27-1377q28+270q29-2043q30+3321q31-756q32+3726q33
+3015q34-4563q35-3348q36+504q37-351q38-1350q39-468q40-891q41+7074q42+1611q43
+2700q44-2423q45-1512q46-3267q47-5265q48-1800q49+3510q50+2970q51-6741q52
+8910q53-1620q54+7227q55+7506q56-648q57-13923q58-9045q59+7884q60-5985q61
-2079q62-815q63+6930q64+1107q65-1485q66+12231q67+5049q68-8100q69+15075q70
-11205q71-4104q72-10719q73-18900q74+7371q75+5310q76+7587q77-756q78+6390q79
-11799q80+16632q81+4041q82+13500q83+1020q84-9117q85-297q86-23274q87-12078q88
+9180q89-4212q90-16236q91+5535q92+9855q93+29700q94-3780q95-2862q96-11034q97
+23463q98+13500q99-20322q100+O(q101)
10 1-10q+35q2-30q3-105q4+238q5-260q7-165q8+140q9+1054q10-770q11-595q12-715q14
+2162q15+455q16-2380q18-1820q19+2401q20-680q21+1495q22+3080q23+1615q24
-6958q25-1925q26+5100q29-1442q30+8330q31-5355q32+1330q33-16790q35+8190q37
+8265q38+1918q40+8415q42-10230q43-7140q44-9362q45-7315q46+10010q47+14260q49
+14641q50+5320q51-21620q52+10150q53-15015q54+2925q56-24990q57-14105q58
+58765q60+2470q63+12155q64-20398q65-26455q66+17710q67-25025q68-24010q69
+28083q70-15950q71+24600q73+64078q75+9890q77-35815q78-37310q79-38398q80
+19530q81-3795q84-50370q85+69580q86-26640q87+44485q88+75670q89-45240q91
+12925q92-90482q95-61880q96+32045q98+59280q99-58562q100+O(q101)
11 1-11q+44q2-55q3-110q4+374q5-143q6-462q7+55q8+495q9+1287q10-2069q11-902q12
+1210q13-275q14+3795q15-1507q16-2431q17-3575q18-385q19+8690q20-1661q21
+1143q22+1265q23-4290q24-12716q25+2299q26+11440q27+3905q28+8635q29-10472q30
+6105q31-20548q32-1540q33+8690q34-24904q35+29634q36+25003q37+8470q38
-23320q39-18183q40-4741q41+2420q42-19195q43+2200q44+18271q45+5643q46
+52382q47-14520q48+990q49-12287q50-39578q51-53823q52+21615q53+9460q54
+29580q55+43681q56-43901q57+34650q58+9185q59+105314q60-91036q61-108515q62
-9515q63+1760q64-17864q65-17842q66+142450q67-27885q68+27170q69+82566q70
-38984q71-42658q72+10890q73-49335q74+19580q75-125345q76-16257q77-30305q78
-47630q79+154308q80+154066q81+92037q82-36410q83-26125q84-178277q85
+182545q86-159610q87-20460q88+70400q89-227370q90-67155q91+37455q92
+173250q93+59785q94-55341q95+62733q96+281215q97+1430q98+94490q99
-306438q100+O(q101)
12 1-12q+54q2-88q3-99q4+540q5-418q6-648q7+594q8+836q9+1056q10-4104q11-209q12
+4104q13-594q14+4256q15-6480q16-4752q17-298q18+5016q19+17226q20-12100q21
-5346q22-1296q23-9063q24-7128q25+19494q26+29160q27-10032q28-7668q29
-34738q30+8712q31-22572q32+21812q33+49248q34-46872q35+67562q36+2508q37
-47520q38-76912q39-25191q40+67716q41+32076q42+7128q43+29754q44+36784q45
-51072q46+45144q47-122398q48-53460q49+11286q50-27256q51+57024q52+122364q53
+99902q54+3576q55-29646q56-221616q57+41382q58-52272q59+130549q60-206712q61
-180036q62+336512q63+145200q64+100980q65-73568q66+221616q67-317142q68
-148324q69+15552q70-225720q71-32076q72+108756q73+196614q74+74360q75
-58806q76+229824q77+120878q78-233928q79+361152q80-111340q81-349920q82
-491832q83-196569q84-82764q85+707454q86+18392q87+92016q88+493668q89
-559450q90+416856q91-16092q92+320760q93-361152q94-724032q95+7106q96
+270864q97-530442q98+56168q99-261744q100+O(q101)
13 1-13q+65q2-130q3-65q4+728q5-871q6-715q7+1560q8+845q9+78q10-6513q11+2730q12
+8605q13-4355q14+2483q15-13299q16-2275q17+11440q18+10010q19+19734q20-41834q21
-11375q22+12870q23-2730q24+14911q25+33201q26+25155q27-70070q28-36595q29
-28925q30+64389q31+13650q32+52780q33+72215q34-173693q35+87867q36-62920q37
-111865q38-25870q39+89908q40+284505q41-37895q42-88660q43-59995q44-57759q45
-172081q46+117390q47-121550q48+61490q49+301041q50-1261q51+167310q52-66950q53
-80080q54-319176q55-277680q56-224575q57+477620q58+239005q59+345371q60
-240422q61-363350q62+965575q63-283985q64-370369q65-669929q66+176605q67
-467740q68+44265q69+871637q70-15704q71+564135q72+173030q73+381875q74
-868595q75-668096q76+255905q77-345800q78-855270q79+993239q80+16198q81
-507780q82+254540q83+758745q84+1233895q85+975806q86-808730q87-1524900q88
-152880q89-2178202q90+1332566q91-400335q92+649480q93+56745q94-1204515q95
+2694510q96+973115q97-620620q98+284375q99-123734q100+O(q101)
14 1-14q+77q2-182q3+924q5-1547q6-506q7+3003q8-1729q10-8372q11+9177q12+13090q13
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[参考文献]


Last Update: 2005.06.12
H.Nakao

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