H.Nakao's Elliptic Curves Topics

since 2001.06.02

楕円曲線に関する話題

[2025.12.11]A^4+B^4+C^4=308898*D^4の整点
[2025.12.06]A^4+B^4+C^4=2052338*D^4の整点
[2025.12.05]A^4+B^4+C^4=20402*D^4の整点
[2025.11.30]A^4+B^4+C^4=28322*D^4の整点
[2025.11.29]A^4+B^4+C^4=30258*D^4の整点
[2025.11.28]A^4+B^4+C^4=37538*D^4の整点
[2025.11.27]A^4+B^4+C^4=39762*D^4の整点
[2025.11.23]A^4+B^4+C^4=44402*D^4の整点
[2025.11.22]A^4+B^4+C^4=50562*D^4の整点
[2025.11.21]A^4+B^4+C^4=51842*D^4の整点
[2025.11.20]A^4+B^4+C^4=59858*D^4の整点
[2025.11.19]A^4+B^4+C^4=64082*D^4の整点
[2025.11.17]A^4+B^4+C^4=69938*D^4の整点
[2025.11.16]A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 (n \in [1..100])の小さい整点

[2025.11.15]A^4+B^4+C^4=77618*D^4の整点
[2025.11.10]A^4+B^4+C^4=15842*D^4の整点
[2025.11.02]A^4+B^4+C^4=13778*D^4の整点
[2025.11.01]A^4+B^4+C^4=11858*D^4の整点
[2025.10.26]A^4+B^4+C^4=9522*D^4の整点
[2025.10.25]A^4+B^4+C^4=2178*D^4の整点
[2025.10.24]A^4+B^4+C^4=6962*D^4の整点
[2025.10.21]A^4+B^4+C^4=4418*D^4の整点
[2025.10.14]A^4+B^4+C^4=5202*D^4の整点
[2025.10.13]A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点
[2025.09.17]x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=nと(X+Y+Z)(1/X+1/Y+1/Z)=2(n+3)の間の双有理変換
[2024.11.30]A^4+B^4+C^4=2*D^4の整点
[2024.11.20]A^4+B^4+C^4=D^4の整点

超楕円曲線に関する話題

[2005.07.24]y^2=7920000(x^2+1)^4-136782591x^2(x^2-1)^2の有理点 (2)

[2005.07.18]y^2=278271081x^2(x^2-9)^2-229833600(x^2-1)^2の有理点 (2)

円錐曲線に関する話題

[2017.10.14]x^2-Dy^2=±1, D \in [190000,199999]の整点
[2017.10.08]x^2-Dy^2=±1, D \in [180000,189999]の整点

[2017.09.23]x^2-Dy^2=±1, D \in [170000,179999]の整点
[2017.04.08]x^2-Dy^2=±1, D \in [160000,169999]の整点

数論アルゴリズム

[2024.06.29]相異なる平方数から成る5x5魔法陣
[2024.06.08]相異なる平方数から成る4x4魔法陣
[2022.06.09]x^3+y^3+z^3=n (n \in [19001,20000])の整数解
[2022.06.03]x^3+y^3+z^3=n (n \in [18001,19000])の整数解
[2022.05.31]x^3+y^3+z^3=n (n \in [17001,18000])の整数解
[2022.05.27]x^3+y^3+z^3=n (n \in [16001,17000])の整数解
[2022.05.22]x^3+y^3+z^3=n (n \in [15001,16000])の整数解

[2022.05.08]x^3+y^3+z^3=n (n \in [14001,15000])の整数解
[2022.05.07]x^3+y^3+z^3=n (n \in [13001,14000])の整数解
[2022.05.06]x^3+y^3+z^3=n (n \in [12001,13000])の整数解
[2022.05.02]x^3+y^3+z^3=n (n \in [11001,12000])の整数解
[2022.04.23]x^3+y^3+z^3=n (n \in [10001,11000])の整数解

What's new!

[2025.12.11]A^4+B^4+C^4=308898*D^4の整点をいくつか求めた。
[2025.12.08]数論の論文"Complete Parametrization of the Quartic Diophantine Equation $x^4 + y^4 + z^4 = 2n^2w^4$ via Elliptic Curve Rational Points"(preprint)を作成した。
[2025.12.06]A^4+B^4+C^4=2052338*D^4の整点をいくつか求めた。
例: 24574653502948757745404^4+98778234488177851314697^4+101516509859021233400459^4=2052338*3148857129793207750683^4
[2025.12.05]A^4+B^4+C^4=20402*D^4の整点をいくつか求めた。
例: 11566524698278008178175494709128636544635230699^4+55533467549319684604321403836601861318197410455^4+96201694481007146665176733936502346101197249772^4=20402*8264519317562045735851914877899065409532634189^4
JANT向け講演資料"On Diophantine Equation A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4"をpdf形式に変換した。
[2025.12.03]JANT向け講演資料"On Diophantine Equation A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4"(LibreOffice Impress .odp形式)を作成した。
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Google AIの数学力が低過ぎる[2025.12.13]

Google AIモード(以下では'モード'は省略する)は、生成AIのようである。
数学の質問をすると、回答してくれるが、その回答が全く信用できない。
初等整数論も知らないようで、x^4+y^4+z^4=2*w^4のパラメータ解について質問すると、x^4+y^4+z^4=2*w^2の１変数パラメータ解から導いたと思われる
    x=k*(6*m^2-2*m-1)
    y=k*(6*m^2+2*m-1)
    z=k*(12*m^2+2)
    w=k*√(108*m^4+32*m^2+3)
を回答してきた。実際に、mについての等式
    (6*m^2-2*m+1)^4+(6*m^2+2*m-1)^4+(12*m^2+2)^4=2*(108*m^4+32*m^2+3)^2
は正しい。
しかし、mが整数のとき、右辺の(108*m^4+32*m^2+3)は平方数にならないことは、直ぐに分かる。4で割って3余る整数は、平方数でないことは、その辺のちょっと数学ができる中学生でも知っている事実である。
(108*m^4+32*m^2+3)≡3 (mod 4)であり、整数の平方数は0,1 (mod 4)なので、(108*m^4+32*m^2+3)は平方数になることはないと指摘したら、それをあっさりと認めた。
さらに、「x^4+y^4+z^4=2*w^4の２変数の自明でない多項式解は知られているか？」と質問したら、「(非比例的な)２変数の多項式解はしられていない」という回答だった。
しかし、今日見つけた「2変数p,qの多項式解
    (-2*p*q+q^2)^4+(p^2-2*p*q)^4+(p^2-q^2)^4=2*(p^2-p*q+q^2)^4
が存在するが、既知ではないのか？」と質問したら、この多項式解は正しいが、Google AIの知識ベースにはないという回答だった。
この程度の数学問題をその場で推論のみで解くことができないようでは、数学の質問への正確な回答は難しいのではないか？
三国志の人物に例えると、(はったりだけで世渡りする)馬謖といったところだろう。

そのときのログを1枚の画像にまとめたものである。

[2025.12.16追記] Google AIの回答が信用できない事例をまた１つ見つけてしまった。
簡単な演習問題に相当する不定方程式x^2-3*y^4=1の整数解について、答えは(±1,0)のみと誤った回答をしたのである。
Google AIがなぜか捨ててしまった(±2,±1)とGoogle AIが発見できなかった(±7,±2)も整数解であることを指摘すると、回答を訂正したので、最終的に正しい回答になった。

そのときのログを1枚の画像にまとめたものである。

カワセミ♂[2025.02.04]