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Rational Points on Elliptic Curves: x^3+y^3=n (n \in [201..500])


[2004.12.29]x^3+y^3=n(n \in [201..500])の有理点


■楕円曲線x3+y3=n (n \in [201..500])の有理点を求める。 ただし、nは自然数で、3乗以上の素因子を含まないものとする。

各自然数 n \in [201..500]に対して、楕円曲線
    Cn: x3+y3 = n
の有理点を求める。
双有理変換\phi:(x,y) → (X,Y)
     X = {12*n}/{x+y}
     Y = {36*n*(x-y)}/{x+y}
および、双有理変換\phi-1:(X,Y) → (x,y)
     x = {36*n+Y}/{6X}
     y = {36*n-Y}/{6X}
を考える。
楕円曲線Cnを双有理変換\phiで写すと、
     En: Y2 = X3-432*n2
となる。


■CremonaのmwrankでEnの有理点群のrankと生成元を求めると、以下のようになる。
有理点群En(Q)のrankまたは生成元が決定できなかったのは、
     E346
の1個だけである。


Enの有理点が求まれば、双有理変換\phi-1で写すことにより、Cnの有理点が分かる。

- En: Y2Z=X3-432*n2*Z3 Cn: x3+y3=n*z3
n En(Q)tors,
生成元 [X:Y:Z]
conductor(En)
rank(En) En(Q)/En(Q)tors
の生成元 [X:Y:Z]
En(Q)/En(Q)tors
の生成元の高さ
Cn(Q)tors
生成元
[x:y:z]
Cn(Q)/Cn(Q)tors
の生成元
[x:y:z]
201 {O}
-
1090827
2 [268 : 1340 : 1],
[49580 : 838036 : 125]
1.93595555914328,
5.39133932651039
- [16 : 11 : 3],
[3251 : 124 : 555]
202 {O}
-
1101708
1 [81942 : 1313315 : 216] 9.91758242244181 - [2884067 : 257437 : 491652]
203 {O}
-
1112643
2 [364 : 5516 : 1],
[2548 : 128548 : 1]
3.62530369299374,
5.22238768320469
- [229 : 32 : 39],
[2426 : -2165 : 273]
204 {O}
-
280908
0 - - - -
205 {O}
-
378225
1 [1641 : 66339 : 1] 5.85315382597999 - [8191 : -6551 : 1094]
206 {O}
-
1145772
1 [562380 : -37717776 : 125] 5.72558401705047 - [-4961 : 5211 : 455]
207 {O}
-
128547
0 - - - -
209 {O}
-
393129
2 [1596 : 63612 : 1],
[532 : 11476 : 1]
2.48012425391256,
3.22347654860895
- [52 : -41 : 7],
[125 : -26 : 21]
210 {O}
-
1190700
2 [844 : 24128 : 1],
[361 : 5291 : 1]
5.54309704251383,
6.31208016582642
- [3961 : -2071 : 633],
[12851 : 2269 : 2166]
211 {O}
-
1202067
1 [4198900 : -6506396 : 15625] 7.62518382381509 - [66458 : 74167 : 14925]
212 {O}
-
303372
1 [5404992738 : -326398796045 : 1481544] 17.7196497281572 - [-315091652237 : 337705939853 : 32429956428]
213 {O}
-
1224963
1 [2000015871800338016625 : 8790205464865344213217 : 7240863938150390625] 35.1102521975817 - [64313150142602539525717 : 46732739212871851099283 : 12000095230802028099750]
214 {O}
-
412164
1 [488365091340 : 19858405194144 : 294079625] 17.4799786693057 - [307277703127 : -244344663377 : 40697090945]
215 {O}
-
1248075
1 [516 : 10836 : 1] 1.19758389592968 - [6 : -1 : 1]
217 {O}
-
1271403
2 [2604 : 132804 : 1],
[868 : 25172 : 1]
1.49142566048682,
1.98339649097347
- [9 : -8 : 1],
[19 : -10 : 3]
218 {O}
-
427716
2 [1308 : 47088 : 1],
[69405 : 1534221 : 125]
1.1421684893118,
8.18241177803185
- [7 : -5 : 1],
[279469 : -61469 : 46270]
219 {O}
-
1294947
2 [292 : 2044 : 1],
[17931 : 445445 : 27]
1.95173512167224,
8.9429979406785
- [17 : 10 : 3],
[658313 : -232577 : 107586]
220 {O}
-
326700
0 - - - -
221 {O}
-
1318707
0 - - - -
222 {O}
-
1330668
1 [1297140 : -20103776 : 3375] 10.3949908187607 - [858653 : 5884597 : 972855]
223 {O}
-
447561
1 [3122 : 49283 : 8] 4.15745449332398 - [509 : 67 : 84]
225 {O}
-
6075
0 - - - -
226 {O}
-
1379052
0 - - - -
227 {O}
-
463761
0 - - - -
228 {O}
-
350892
1 [9365412 : -294573880 : 9261] 11.7909179347179 - [-27319949 : 46323521 : 7024059]
229 {O}
-
1415907
1 [2977 : 162361 : 1] 4.43453860202163 - [745 : -673 : 78]
230 {O}
-
1428300
0 - - - -
231 {O}
-
1440747
1 [21531 : 594035 : 27] 9.09342261560593 - [818567 : -369503 : 129186]
233 {O}
-
1465803
1 [43068 : 8937828 : 1] 7.82351233631558 - [124253 : -124020 : 3589]
234 {O}
-
164268
0 - - - -
235 {O}
-
1491075
0 - - - -
236 {O}
-
125316
1 [7851 : 19565 : 27] 8.41577534349773 - [248957 : 209827 : 47106]
237 {O}
-
1516563
0 - - - -
238 {O}
-
1529388
1 [11604 : 200080 : 27] 7.26431108540824 - [53927 : 3907 : 8703]
239 {O}
-
1542267
0 - - - -
241 {O}
-
522729
1 [6748 : 554300 : 1] 3.80084731741657 - [292 : -283 : 21]
242 {O}
-
13068
0 - - - -
244 {O}
-
401868
1 [1281 : 45567 : 1] 3.09032662205803 - [99 : -67 : 14]
245 {O}
-
11025
0 - - - -
246 {O}
-
1633932
2 [307580 : 15244064 : 125],
[1867502 : -46655225 : 2744]
9.7147236672504,
12.0611500634828
- [2043883 : -1767133 : 230685],
[-22354361 : 70956089 : 11205012]
247 {O}
-
1647243
1 [988 : 30628 : 1] 2.01876427991852 - [20 : -11 : 3]
249 {O}
-
1674027
1 [829080166344231279933894754 : 275590046129671815970585276405 : 7503476279926286601928] 45.1941400154462 - [275657307291045075203684958997 : -275522784968298556737485593813 : 4974480998065387679603368524]
251 {O}
-
1701027
1 [4476 : 299412 : 1] 5.5966666650557 - [4284 : -4033 : 373]
252 {O}
-
47628
0 - - - -
253 {O}
-
1728243
0 - - - -
254 {O}
-
580644
2 [32514 : 2072385 : 8],
[317580 : 15993936 : 125]
8.09418804211073,
8.09801984481387
- [238393 : -222137 : 21676],
[238013 : -206263 : 26465]
255 {O}
-
1755675
0 - - - -
257 {O}
-
1783323
0 - - - -
258 {O}
-
1797228
1 [33026 : 2121535 : 8] 9.75749334179156 - [2195839 : -2047231 : 198156]
259 {O}
-
603729
1 [777 : 20979 : 1] 1.53987236220133 - [13 : -5 : 2]
260 {O}
-
456300
0 - - - -
261 {O}
-
204363
0 - - - -
262 {O}
-
1853388
0 - - - -
263 {O}
-
622521
0 - - - -
265 {O}
-
1896075
1 [948626287935144 : -13290132238785973 : 2414733175296] 25.4322528653706 - [9746422253537867 : 36326686731109813 : 5691757727610864]
266 {O}
-
1910412
0 - - - -
267 {O}
-
1924803
1 [21819 : 601885 : 27] 9.12456825361174 - [861409 : -342361 : 130914]
268 {O}
-
161604
0 - - - -
269 {O}
-
1953747
1 [548739156 : -57113792748 : 50653] 13.678985604308 - [-786434293 : 800059950 : 45728263]
271 {O}
-
1982907
2 [3252 : 185364 : 1],
[876 : 25308 : 1]
1.56092417190246,
4.14164101255527
- [10 : -9 : 1],
[487 : -216 : 73]
273 {O}
-
2012283
2 [364 : 4004 : 1],
[2548 : 128492 : 1]
1.9933646575709,
3.52607955236553
- [19 : 8 : 3],
[190 : -163 : 21]
274 {O}
-
2027052
1 [22335388956014594460 : 617173674486200714096 : 27484823289911625] 30.7841911793261 - [111035496427236122887 : -43257922194314055637 : 16751541717010945845]
275 {O}
-
81675
1 [9249138 : -366823639 : 5832] 13.2726909100496 - [-309086839 : 424560439 : 55494828]
276 {O}
-
514188
0 - - - -
277 {O}
-
690561
1 [11634 : 441261 : 8] 3.40589549847997 - [209 : -145 : 28]
278 {O}
-
2086668
1 [417 : 6255 : 1] 1.71817469188364 - [13 : 3 : 2]
279 {O}
-
233523
1 [1116 : 36828 : 1] 1.31990729112986 - [7 : -4 : 1]
281 {O}
-
710649
0 - - - -
282 {O}
-
2147148
2 [2257 : 107065 : 1],
[89405 : 2276029 : 125]
7.81001404254163,
10.0619693453612
- [117217 : -96913 : 13542],
[3545029 : -1007029 : 536430]
283 {O}
-
2162403
1 [145772873519 : 4189152513131 : 167284151] 15.8545779314143 - [20824888493 : -8780429621 : 3090590958]
284 {O}
-
544428
1 [195812865727130039099057283 : -3861962137811759194622252285 : 377608404165604191639171] 42.8093017037972 - [-1293813622621939303367981 : 7722630462000896449941136589 : 1174877194362780234594343698]
285 {O}
-
2193075
0 - - - -
286 {O}
-
736164
1 [588 : 12960 : 1] 3.67019455031647 - [323 : -37 : 49]
287 {O}
-
2223963
1 [364 : 3556 : 1] 3.71758703020423 - [248 : 121 : 39]
289 {O}
-
7803
1 [372 : 3924 : 1] 3.56442803083207 - [199 : 90 : 31]
290 {O}
-
756900
0 - - - -
291 {O}
-
2286387
0 - - - -
292 {O}
-
575532
0 - - - -
293 {O}
-
2317923
0 - - - -
294 {O}
-
47628
1 [2353 : 113975 : 1] 7.8504624700939 - [124559 : -103391 : 14118]
295 {O}
-
783225
1 [7602 : 229149 : 8] 6.80736496266668 - [34901 : -16021 : 5068]
298 {O}
-
2397708
0 - - - -
299 {O}
-
804609
0 - - - -
300 {O}
-
24300
0 - - - -
301 {O}
-
2446227
1 [532 : 10556 : 1] 3.96363611378591 - [382 : 5 : 57]
302 {O}
-
2462508
0 - - - -
303 {O}
-
2478843
1 [66005 : 1296449 : 125] 9.86262884694404 - [2659949 : 67051 : 396030]
305 {O}
-
2511675
1 [5124 : 366732 : 1] 2.99107182068141 - [86 : -81 : 7]
306 {O}
-
280908
1 [1228 : 42560 : 1] 5.89637612014911 - [6697 : -3943 : 921]
307 {O}
-
2544723
0 - - - -
308 {O}
-
213444
1 [372 : 3240 : 1] 3.39972985126358 - [199 : 109 : 31]
309 {O}
-
2577987
2 [412 : 5356 : 1],
[8808790308 : -144796133924 : 19034163]
2.01743859033124,
13.2622891573877
- [20 : 7 : 3],
[81237737 : 432684664 : 64141677]
310 {O}
-
2594700
1 [123414 : 2601053 : 216] 10.2850260745309 - [5011613 : -190493 : 740484]
311 {O}
-
2611467
0 - - - -
313 {O}
-
881721
1 [1252 : 43820 : 1] 2.08422421353154 - [22 : -13 : 3]
314 {O}
-
2662092
1 [4396 : 291392 : 1] 3.68012119355052 - [241 : -223 : 21]
315 {O}
-
297675
0 - - - -
316 {O}
-
674028
1 [948 : 28440 : 1] 1.31261038458804 - [7 : -3 : 1]
317 {O}
-
904401
0 - - - -
318 {O}
-
2730348
0 - - - -
319 {O}
-
2747547
1 [78734558885050760265 : -6322234569729947371999 : 12209103973859625] 33.4992652769775 - [-6182025219694143438499 : 6462443919765751305499 : 472407353310304561590]
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-
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395 {O}
-
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-
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397 {O}
-
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398 {O}
-
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-
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[6916 : 575092 : 1]
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-
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402 {O}
-
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403 {O}
-
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409 {O}
-
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-
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422 {O}
-
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423 {O}
-
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425 {O}
-
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426 {O}
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429 {O}
-
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430 {O}
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1 [1261806 : 11432583 : 2744] 10.2807458320653 - [5989967 : 3449393 : 841204]
431 {O}
-
5015547
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433 {O}
-
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2 [433 : 433 : 1],
[36372 : 6936660 : 1]
2.57252966578098,
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- [37 : 35 : 6],
[223 : -222 : 7]
434 {O}
-
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-
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2 [721 : 17119 : 1],
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6.93194163164971,
10.2133203091974
- [32779 : -1459 : 4326],
[3784049 : 2981071 : 570276]
436 {O}
-
1283148
2 [436 : 872 : 1],
[4003243 : -74094821 : 6859]
2.11167182237867,
9.55630296827611
- [19 : 17 : 3],
[307927 : 1667465 : 220362]
437 {O}
-
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0 - - - -
438 {O}
-
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1 [329869267 : 754456555 : 753571] 15.6508059255119 - [12636764083 : 11127850973 : 1979215602]
439 {O}
-
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1 [17121 : 2240217 : 1] 4.05949298222389 - [571 : -563 : 26]
441 {O}
-
11907
1 [441 : 1323 : 1] 1.84341340493844 - [13 : 11 : 2]
442 {O}
-
5274828
0 - - - -
443 {O}
-
1766241
0 - - - -
444 {O}
-
1330668
1 [91033549628 : 2450377322315 : 107850176] 19.3766364505861 - [4174254535499 : -726500109131 : 546201297768]
445 {O}
-
5346675
1 [7905466715422678777722310297419408351 : -210789567556537978957474974171907585207 : 9479439414108154373245135505552799] 59.1939387600467 - [-58928948142525345898087903372951745227 : 362650186970550612016862044970863425187 : 47432800292536072666333861784516450106]
446 {O}
-
5370732
2 [19303423228 : 497925307376 : 24137569],
[665034288120 : -9855108984763 : 1259712000]
13.3503126626033,
20.7095700413215
- [496344235 : -61867993 : 64921827],
[10370826887237 : 30081044856763 : 3990205728720]
447 {O}
-
5394843
1 [96005 : 2393801 : 125] 10.199779620392 - [4405301 : -382301 : 576030]
449 {O}
-
5443227
1 [516 : 7092 : 1] 3.87748855865864 - [323 : 126 : 43]
450 {O}
-
24300
1 [481 : 4879 : 1] 6.6890684388668 - [21079 : 11321 : 2886]
451 {O}
-
5491827
0 - - - -
452 {O}
-
459684
1 [1339520756181428100 : -22570663000600524888 : 2380607294078125] 27.3516959033507 - [224535817897760071 : 851498679025552429 : 111626729681785675]
453 {O}
-
5540643
2 [604 : 11476 : 1],
[3618272268 : 298513057868 : 531441]
2.09481200098481,
12.9239080595692
- [23 : 4 : 3],
[254287912 : -239939005 : 17971551]
454 {O}
-
5565132
1 [129825034597022889519856910271603051180 : 3830615365686228770979728693764416218032 : 134391718983970274831044620178996125] 59.6857551662467 - [753389202595029867852290245746241110629 : -204264638826527324892641927694862943879 : 97368775947767167139892682703702288385]
455 {O}
-
5589675
0 - - - -
457 {O}
-
1879641
1 [457 : 2285 : 1] 2.58226100946246 - [41 : 31 : 6]
458 {O}
-
5663628
1 [3720563 : 196300403 : 1331] 9.20733784895402 - [953039 : -761375 : 97482]
460 {O}
-
1428300
1 [23288460 : -1934255512 : 3375] 12.9092387341122 - [-234795689 : 248768189 : 17466345]
461 {O}
-
1912689
0 - - - -
462 {O}
-
5762988
2 [1852 : 79120 : 1],
[59645 : 506717 : 125]
6.2861218639908,
9.9112298101046
- [11969 : -7811 : 1389],
[2585717 : 1572283 : 357870]
463 {O}
-
5787963
1 [12964 : 1476044 : 1] 4.01327703904538 - [403 : -394 : 21]
465 {O}
-
5838075
1 [8717971493 : -1204714579627 : 456533] 18.5594583408511 - [-1197072217207 : 1212356942047 : 52307828958]
466 {O}
-
1954404
1 [10009633657305165933 : 187870972531310928145 : 16491996649262421] 31.7305358617674 - [464540708319337302841 : 88798763256715446551 : 60057801943830995598]
467 {O}
-
5888403
1 [1668 : 67428 : 1] 4.73381067872079 - [1170 : -703 : 139]
468 {O}
-
164268
2 [468 : 2808 : 1],
[4329 : 284661 : 1]
1.39207509630509,
4.53049436431634
- [7 : 5 : 1],
[859 : -763 : 74]
469 {O}
-
5938947
2 [1876 : 80668 : 1],
[10452 : 1068516 : 1]
2.19818178277017,
3.62715004647814
- [26 : -17 : 3],
[225 : -218 : 13]
470 {O}
-
1988100
0 - - - -
471 {O}
-
5989707
0 - - - -
473 {O}
-
6040683
0 - - - -
474 {O}
-
6066252
1 [76836 : 4090240 : 27] 8.86333898159004 - [568871 : -453689 : 57627]
475 {O}
-
81225
0 - - - -
476 {O}
-
1529388
0 - - - -
477 {O}
-
682587
2 [468 : 2052 : 1],
[18828 : 2583468 : 1]
3.10782891284607,
6.27465457165829
- [89 : 70 : 13],
[12040 : -11881 : 523]
478 {O}
-
6169068
0 - - - -
479 {O}
-
2064969
0 - - - -
481 {O}
-
6246747
1 [481 : 3367 : 1] 2.59158086558154 - [43 : 29 : 6]
482 {O}
-
6272748
0 - - - -
483 {O}
-
6298803
1 [58805 : 228241 : 125] 9.91685903452903 - [2401741 : 1945259 : 352830]
484 {O}
-
4356
1 [302820 : 14851512 : 125] 8.09471811644798 - [236521 : -176021 : 25235]
485 {O}
-
6351075
1 [1164 : 38412 : 1] 1.39879761888068 - [8 : -3 : 1]
487 {O}
-
6403563
0 - - - -
489 {O}
-
6456267
0 - - - -
490 {O}
-
132300
1 [32052 : 1069552 : 27] 8.12738550094643 - [193229 : -74159 : 24039]
491 {O}
-
6509187
0 - - - -
492 {O}
-
1633932
0 - - - -
493 {O}
-
2187441
1 [1600137114576 : -42706402106985 : 1869959168] 19.6608045736753 - [-1057596310369 : 8432715268961 : 1066758076384]
494 {O}
-
6588972
1 [1596 : 62928 : 1] 2.74041803631365 - [59 : -33 : 7]
495 {O}
-
735075
1 [7202 : 199801 : 8] 8.49884286461312 - [342361 : -57241 : 43212]
497 {O}
-
2223081
2 [588 : 9828 : 1],
[5404 : 397124 : 1]
2.50200321731422,
5.9652227436031
- [55 : 16 : 7],
[7411 : -6772 : 579]
498 {O}
-
6696108
2 [1245020 : 124247008 : 125],
[19443347 : 2349957725 : 1331]
11.0682430552685,
14.4051117798856
- [15811001 : -15250751 : 933765],
[2373819893 : -2326095557 : 116660082]
499 {O}
-
6723027
1 [851827431 : -15835017997 : 1367631] 12.1468426454993 - [17501213 : 80968219 : 10242414]


これにより、n \in [201..500]に対して、En(Q)とCn(Q)が、n=346の場合を除いて、決定できた。

[2006.11.29追記]
CremonaのHeegner点の計算プログラム[4](heegner.gp)により、n=346の場合について、E346とC346の有理点を求めることができた。

n \in [1..200]に対する結果は計算済みであり、こちらを参照のこと。


[参考文献]


Last Update: 2006.12.18
H.Nakao

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