Homeに戻る  一覧に戻る 

Rational Points on Elliptic Curves: x^3+y^3=n (n \in [1..200])


[2002.02.03]x^3+y^3=n(n \in [1..200])の有理点


■楕円曲線x3+y3=n (n \in [1..200])の有理点を求める。

nを200以下の自然数で、3乗以上の素因子を含まないものとする。自然数nに対して、楕円曲線
    Cn: x3+y3=n ----- (1)
の有理点を求める。
双有理変換\phi:(x,y)--->(X,Y)
     X={12*n}/{x+y} --------- (2)
     Y={36*n*(x-y)}/{x+y} --------- (3)
および、双有理変換\phi-1:(X,Y)--->(x,y)
     x={36*n+Y}/{6X} --------- (4)
     y={36*n-Y}/{6X} --------- (5)
を考える。楕円曲線Cnを双有理変換\phiで写すと、
     En: Y2=X3-432*n2 --------- (6)
となる。

楕円曲線Enの判別式Δは、
     Δ=-16*27*(-432*n2)2=-212*39*n4≠ 0
なので、Enは非特異である。

CremonaのmwrankでEnの有理点群のrankと生成元を求めると、以下のようになる。
rankが決定できなかったのは、E41,E59,E101,E116,E122,E131,E137,E158,E185の9個である。
Enの有理点が求まれば、双有理変換\phi-1で写すことにより、Cnの有理点が分かる。

- En: Y2Z=X3-432*n2*Z3 Cn: x3+y3=n*z3
n En(Q)tors,
生成元 [X:Y:Z]
conductor(En)
rank(En) En(Q)/En(Q)tors
の生成元
[X:Y:Z]
En(Q)/En(Q)tors
の生成元の高さ
Cn(Q)tors
生成元
[x:y:z]
Cn(Q)/Cn(Q)tors
の生成元
[x:y:z]
1 Z/3Z
[12 : 36 : 1]
27
0 - - [1 : 0 : 1] -
2 Z/2Z
[12 : 0 : 1]
36
0 - - [1 : 1 : 1] -
3 {O}
-
243
0 - - - -
4 {O}
-
108
0 - - - -
5 {O}
-
675
0 - - - -
6 {O}
-
972
1 [28 : 80 : 1] 2.44408632170048 - [37 : 17 : 21]
7 {O}
-
441
0 [84 : 756 : 1] 0.298091926737864 - [2 : -1 : 1]
9 {O}
-
243
1 [36 : 108 : 1] 0.506367355380099 - [2 : 1 : 1]
10 {O}
-
2700
0 - - - -
11 {O}
-
1089
0 - - - -
12 {O}
-
972
1 [52 : 280 : 1] 2.99936797313638 - [89 : 19 : 39]
13 {O}
-
4563
1 [52 : 260 : 1] 1.31030271883743 - [7 : 2 : 3]
14 {O}
-
5292
0 - - - -
15 {O}
-
6075
1 [49 : 143 : 1] 4.4123314051522 - [683 : 397 : 294]
17 {O}
-
7803
0 - - - -
18 {O}
-
972
0 - - - -
19 {O}
-
9747
2 [372 : 7164 : 1]
[1236 : 43452 : 1]
3.15640770789653
4.29529771577806
- [109 : -90 : 31]
[613 : -594 : 103]
20 {O}
-
900
1 [84 : 648 : 1] 1.78023119769327 - [19 : 1 : 7]
21 {O}
-
11907
0 - - - -
22 {O}
-
13068
1 [1659 : 4085 : 27] 6.84885093721606 - [25469 : 17299 : 9954]
23 {O}
-
14283
0 - - - -
25 {O}
-
225
0 - - - -
26 {O}
-
18252
1 [156 : 1872 : 1] 0.742761132992599 - [3 : -1 : 1]
28 {O}
-
5292
1 [84 : 504 : 1] 0.750639728889846 - [3 : 1 : 1]
29 {O}
-
7569
0 - - - -
30 {O}
-
24300
2 [124 : 1232 : 1]
[241 : 3689 : 1]
3.77814447146135
5.66806136597131
- [289 : -19 : 93]
[4769 : -2609 : 1446]
31 {O}
-
25947
1 [217 : 3131 : 1] 3.29775246085836 - [137 : -65 : 42]
33 {O}
-
29403
1 [97 : 665 : 1] 5.02906214052883 - [1853 : 523 : 582]
34 {O}
-
10404
1 [273 : 4455 : 1] 4.13761866117959 - [631 : -359 : 182]
35 {O}
-
33075
1 [84 : 252 : 1] 0.814506075074969 - [3 : 2 : 1]
36 {O}
-
972
0 - - - -
37 {O}
-
36963
2 [444 : 9324 : 1]
[148 : 1628 : 1]
0.952914891256158
1.53623746460511
- [4: -3 : 1]
[10 : -1 : 3]
38 {O}
-
12996
0 - - - -
39 {O}
-
41067
0 - - - -
41 {O}
-
45387
0* - - - -
42 {O}
-
47628
1 [172 : 2080 : 1] 4.07414210488825 - [449 : -71 : 129]
43 {O}
-
16641
1 [129 : 1161 : 1] 1.11712802365384 - [7 : 1 : 2]
44 {O}
-
13068
0 - - - -
45 {O}
-
6075
0 - - - -
46 {O}
-
57132
0 - - - -
47 {O}
-
19881
0 - - - -
49 {O}
-
1323
1 [196 : 2548 : 1] 1.60220527620862 - [11 : -2 : 3]
50 {O}
-
2700
1 [8148 : 138736 : 27] 6.72559431448814 - [23417 : -11267 : 6111]
51 {O}
-
70227
1 [32838 : -333935 : 216] 9.00201916180956 - [62641 : 730511 : 197028]
52 {O}
-
6084
0 - - - -
53 {O}
-
75843
1 [2604 : 132876 : 1] 5.03887618723232 - [1872 : -1819 : 217]
55 {O}
-
81675
0 - - - -
57 {O}
-
87723
0 - - - -
58 {O}
-
90828
1 [9444 : 173600 : 27] 6.86378794687595 - [28747 : -14653 : 7083]
59 {O}
-
93987
0* - - - -
60 {O}
-
24300
0 - - - -
61 {O}
-
33489
1 [732 : 19764 : 1] 0.918917687168568 - [5 : -4 : 1]
62 {O}
-
103788
1 [124 : 496 : 1] 1.6730166988138 - [11 : 7 : 3]
63 {O}
-
11907
1 [252 : 3780 : 1] 0.930563220125188 - [4 : -1 : 1]
65 {O}
-
38025
2 [129 : 567 : 1]
[5044 : 358228 : 1]
3.7366581548713
5.44459330496485
- [323 : 197 : 86]
[3467 : -3422 : 291]
66 {O}
-
117612
0 - - - -
67 {O}
-
121203
1 [118188 : 1110860 : 729] 5.73143124103554 - [5353 : 1208 : 1323]
68 {O}
-
31212
1 [827340 : 12043304 : 3375] 9.83506966114954 - [2538163 : -472663 : 620505]
69 {O}
-
128547
1 [553 : 12925 : 1] 6.45541159055216 - [15409 : -10441 : 3318]
70 {O}
-
44100
1 [156 : 1296 : 1] 2.48052194199155 - [53 : 17 : 13]
71 {O}
-
136107
1 [516 : 11628 : 1] 3.54771467600123 - [197 : -126 : 43]
73 {O}
-
143883
0 - - - -
74 {O}
-
49284
0 - - - -
75 {O}
-
6075
1 [601 : 14651 : 1] 6.53489574304561 - [17351 : -11951 : 3606]
76 {O}
-
38988
0 - - - -
77 {O}
-
160083
0 - - - -
78 {O}
-
164268
1 [217 : 2755 : 1] 5.74927369182001 - [5563 : 53 : 1302]
79 {O}
-
56169
1 [316 : 5372 : 1] 1.7190386790227 - [13 : -4 : 3]
82 {O}
-
181548
0 - - - -
83 {O}
-
62001
0 - - - -
84 {O}
-
47628
1 [148 : 440 : 1] 4.15080925064939 - [433 : 323 : 111]
85 {O}
-
195075
1 [55083 : 2487509 : 27] 9.86199384331478 - [2570129 : -2404889 : 330498]
86 {O}
-
199692
2 [172 : 1376 : 1]
[4251 : 22715 : 27]
1.73490195538443
7.77545594912741
- [13 : 5 : 3]
[106307 : 60877 : 25506]
87 {O}
-
204363
1 [36044435 : -1042214111 : 42875] 13.9528484709789 - [-907929611 : 1176498611 : 216266610]
89 {O}
-
213867
1 [156 : 612 : 1] 2.73224122027696 - [53 : 36 : 13]
90 {O}
-
24300
1 [364 : 6688 : 1] 4.76018078725086 - [1241 : -431 : 273]
91 {O}
-
223587
2 [1092 : 36036 : 1]
[196 : 1988 : 1]
1.2232197092066
3.03817573134505
- [6 : -5 : 1]
[94 : 23 : 21]
92 {O}
-
19044
1 [7644 : 117800 : 27] 6.77688080930308 - [25903 : -3547 : 5733]
93 {O}
-
233523
0 - - - -
94 {O}
-
238572
1 [98456009729175 : -15629405421521177 : 3906984375] 24.862434564568 - [-15616184186396177 : 15642626656646177 : 590736058375050]
95 {O}
-
243675
0 - - - -
97 {O}
-
84681
1 [388 : 7372 : 1] 1.77094466949782 - [14 : -5 : 3]
98 {O}
-
5292
1 [588 : 14112 : 1] 1.0968923722335 - [5 : -3 : 1]
99 {O}
-
29403
0 - - - -
100 {O}
-
2700
0 - - - -
101 {O}
-
91809
0* - - - -
102 {O}
-
280908
0 - - - -
103 {O}
-
286443
1 [16068 : -387692 : 27] 4.27913806014742 - [-349 : 592 : 117]
105 {O}
-
297675
1 [169 : 253 : 1] 5.67715337065701 - [4033 : 3527 : 1014]
106 {O}
-
101124
1 [34356 : 1224080 : 27] 8.04117530418888 - [165889 : -140131 : 25767]
107 {O}
-
309123
1 [228 : 2628 : 1] 3.00521741379784 - [90 : 17 : 19]
109 {O}
-
320787
0 - - - -
110 {O}
-
108900
2 [201 : 1701 : 1]
[35652 : 1294048 : 27]
4.14001694076013
8.07721076939114
- [629 : 251 : 134]
[175121 : -148391 : 26739]
111 {O}
-
332667
0 - - - -
113 {O}
-
344763
0 - - - -
114 {O}
-
350892
1 [313 : 5005 : 1] 6.07916852297422 - [9109 : -901 : 1878]
115 {O}
-
119025
1 [1544046 : 36034713 : 2744] 10.1549144160761 - [5266097 : -2741617 : 1029364]
116 {O}
-
90828
0* - - - -
117 {O}
-
41067
1 [468 : 9828 : 1] 1.08677903386927 - [5 : -2 : 1]
118 {O}
-
375948
0 - - - -
119 {O}
-
127449
0 - - - -
121 {O}
-
3267
0 - - - -
122 {O}
-
401868
0* - - - -
123 {O}
-
408483
1 [6174235480 : -87020043139 : 21952000] 17.2933570471904 - [10183412861 : 184223499139 : 37045412880]
124 {O}
-
34596
2 [372 : 6696 : 1]
[993 : 31185 : 1]
0.894144494258719
5.36844436179371
- [5 : -1 : 1]
[3961 : -2969 : 662]
126 {O}
-
47628
2 [252 : 3024 : 1]
[441 : 8883 : 1]
1.07899679487079
2.85166610019356
- [5 : 1 : 1]
[71 : -23 : 14]
127 {O}
-
435483
2 [1524 : 59436 : 1]
[10668 : 1101852 : 1]
1.32536270613704
3.20544557323251
- [7 : -6 : 1]
[121 : -120 : 7]
129 {O}
-
449307
0* - - - -
130 {O}
-
456300
1 [1880949 : -9613297 : 9261] 11.931191451671 - [33728183 : 52954777 : 11285694]
131 {O}
-
463347
0* - - - -
132 {O}
-
117612
2 [1057 : 34255 : 1]
[723660 : -5152472 : 3375]
7.07647374018062
9.90669874308465
- [39007 : -29503 : 6342]
[1360691 : 2648809 : 542745]
133 {O}
-
159201
1 [228 : 2052 : 1] 0.917029831870064 - [5 : 2 : 1]
134 {O}
-
484812
1 [201 : 603 : 1] 1.57765063683501 - [9 : 7 : 2]
137 {O}
-
168921
0* - - - -
138 {O}
-
514188
0 - - - -
139 {O}
-
521667
1 [556 : 12788 : 1] 1.86420383252271 - [16 : -7 : 3]
140 {O}
-
132300
1 [7068 : -83096 : 27] 6.82119867134211 - [6623 : 27397 : 5301]
141 {O}
-
536787
1 [705005 : -52944749 : 125] 11.8788473456802 - [-52310249 : 53579249 : 4230030]
142 {O}
-
181476
1 [707460 : -2385712 : 3375] 9.91586471640214 - [1858411 : 2454839 : 530595]
143 {O}
-
552123
1 [273 : 3393 : 1] 2.86670402164028 - [73 : 15 : 14]
145 {O}
-
567675
0 - - - -
146 {O}
-
191844
0 - - - -
147 {O}
-
11907
0 - - - -
148 {O}
-
147852
0 - - - -
149 {O}
-
599427
0 - - - -
150 {O}
-
24300
0 - - - -
151 {O}
-
205209
1 [12684 : -261532 : 27] 3.88982003538953 - [-95 : 338 : 63]
153 {O}
-
70227
2 [468 : 9612 : 1]
[684 : 17604 : 1]
2.83966906101416
3.1355078017222
- [70 : -19 : 13]
[107 : -56 : 19]
154 {O}
-
640332
0 - - - -
155 {O}
-
216225
0 - - - -
156 {O}
-
164268
1 [628 : 15400 : 1] 5.26636195974625 - [2627 : -1223 : 471]
157 {O}
-
665523
1 [29886206 : -3118978171 : 2744] 11.2154417481765 - [-19767319 : 19964887 : 1142148]
158 {O}
-
674028
0* - - - -
159 {O}
-
682587
1 [3191853 : 50740885 : 9261] 12.3050648683436 - [103750849 : 2269079 : 19151118]
161 {O}
-
699867
1 [588 : 13860 : 1] 2.45673849647865 - [39 : -16 : 7]
163 {O}
-
717363
2 [652 : 16300 : 1]
[25428 : 4054788 : 1]
1.90637099157881
3.90211776285443
- [17 : -8 : 3]
[346 : -345 : 13]
164 {O}
-
60516
1 [562966404 : 19707789240 : 456533] 12.8829474477818 - [311155001 : -236283589 : 46913867]
165 {O}
-
735075
0 - - - -
166 {O}
-
744012
1 [22805771343993 : 1334810774734255 : 6655280841] 23.2594187161884 - [1374582733040071 : -1295038816428439 : 136834628063958]
167 {O}
-
753003
0 - - - -
169 {O}
-
1521
1 [2028 : 91260 : 1] 1.23055425788892 - [8 : -7 : 1]
170 {O}
-
780300
1 [6708 : 45584 : 27] 6.84449218023134 - [26353 : 14957 : 5031]
171 {O}
-
87723
1 [252 : 1836 : 1] 2.45971759658323 - [37 : 20 : 7]
172 {O}
-
199692
1 [1204 : 41624 : 1] 3.31821883823722 - [139 : -103 : 21]
173 {O}
-
269361
0 - - - -
174 {O}
-
817452
0 - - - -
175 {O}
-
33075
0 - - - -
177 {O}
-
845883
1 [78037866920 : 416352836753 : 314432000] 19.0891661756587 - [2419913540753 : 1587207867247 : 468227201520]
178 {O}
-
285156
1 [3278037 : 51279425 : 9261] 12.3484939514233 - [110623913 : 8065063 : 19668222]
179 {O}
-
865107
1 [4293996 : 125623188 : 4913] 9.75507881413459 - [2184480 : -1305053 : 357833]
180 {O}
-
24300
1 [244 : 728 : 1] 4.65448303935882 - [901 : 719 : 183]
181 {O}
-
884547
0 - - - -
182 {O}
-
298116
2 [273 : 2457 : 1]
[364 : 5824 : 1]
1.45144699226403
1.88927835186458
- [11 : 5 : 2]
[17 : 1 : 3]
183 {O}
-
904203
2 [244 : 244 : 1]
[16530756 : -327133484 : 35937]
1.91896572558295
9.30956276327092
- [14 : 13 : 3]
[-185206 : 1155505 : 203247]
185 {O}
-
924075
0* - - - -
186 {O}
-
934092
1 [13215860 : 162368144 : 42875] 11.9083049093141 - [56182393 : 15590357 : 9911895]
187 {O}
-
314721
1 [85605 : 2186919 : 125] 8.31728621490735 - [336491 : -149491 : 57070]
188 {O}
-
238572
0 - - - -
190 {O}
-
974700
0 - - - -
191 {O}
-
328329
0 - - - -
193 {O}
-
1005723
1 [4329787476 : 194262526484 : 2146689] 12.5109596679228 - [135477799 : -116157598 : 16825599]
194 {O}
-
1016172
0 - - - -
195 {O}
-
1026675
1 [1561 : 61541 : 1] 7.45272162919363 - [68561 : -54521 : 9366]
196 {O}
-
1764
0 - - - -
197 {O}
-
1047843
1 [2964 : 161316 : 1] 5.19621000475418 - [2339 : -2142 : 247]
198 {O}
-
117612
1 [412 : 7280 : 1] 4.9974124731123 - [1801 : -19 : 309]
199 {O}
-
1069227
0 - - - -

■nは3乗以上の素因子を含まない自然数とする。楕円曲線Enが位数2のねじれ点を持つのは、n = 2のときのみである。

なぜなら、(x,y)がEnの位数2のねじれ点とすると、y = 0である。よって、
     x3-432*n2 = 0
     x3 = 24*33*n2
となる。xは正整数であるので、左辺は3乗数である。
nを素因数分解して、両辺を比較すると、nは3乗以上の素因子は含まないので、n = 2の場合のみ、この等式は成立する。

■[2004.05.24追加]
n=41,59,101,116,122,129,131,137,158,185に対して、L-関数 L(En,s)はs=1における値が消えない、つまり、
     L(En,1) != 0
であるので、
     rank(En) = 0
     En(Q) = { [0:1:0] }
     Cn(Q) = { [1:-1:0] }
であることが分かる。

これにより、n=1, ... ,200に対して、En(Q)とCn(Q)が完全に決定できた。

[pari/gpによる計算]
gp>  ec(n)=ellinit([0,0,0,0,-432*n^2])
time = 2 ms.
gp>  elllseries(ec(41),1)
time = 663 ms.
%1 = 2.681008788224093715262162664
gp>  elllseries(ec(59),1)
time = 533 ms.
%2 = 2.672826050015687125086497997
gp>  elllseries(ec(101),1)
time = 514 ms.
%3 = 4.058701256700248965732750145
gp>  elllseries(ec(116),1)
time = 514 ms.
%4 = 4.346866827865767966967979205
gp>  elllseries(ec(122),1)
time = 1,061 ms.
%5 = 4.274405513646399950314028530
gp>  elllseries(ec(129),1)
time = 1,122 ms.
%6 = 5.584992012922096538376886286
gp>  elllseries(ec(131),1)
time = 1,132 ms.
%7 = 1.985729412352488552063379613
gp>  elllseries(ec(137),1)
time = 690 ms.
%8 = 3.614325951341308179974902389
gp>  elllseries(ec(158),1)
time = 1,376 ms.
%9 = 3.921419486477370708308717492
gp>  elllseries(ec(185),1)
time = 1,619 ms.
%10 = 5.244897649364793905446444671


[参考文献]


Last Update: 2010.05.17
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]