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Integer Points on A^4+9*B^4=C^4+9*D^4

[2026.05.23]A^4+9*B^4=C^4+9*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=9とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが100以下の範囲で、２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように307個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(9,1,100);
**u= 1 ; 8*x^2 - 2*y^2 + 10*z^2
; C3a (1 : -3 : 1)  C4a (0 : 2 : 1)
**u= 1/4 ; 143*x^2 - 8*y^2 + 145*z^2
; C3a (17 : 72 : 1)  C4a (3/17 : 73/17 : 1)
**u= 1/8 ; 575*x^2 - 16*y^2 + 577*z^2
; C3a (-3/5 : -7 : 1)  C4a (5/3 : -35/3 : 1)
**u= 1/9 ; 728*x^2 - 18*y^2 + 730*z^2
; C3a (-1 : -9 : 1)  C4a (-6/7 : 176/21 : 1)
**u= 1/16 ; 2303*x^2 - 32*y^2 + 2305*z^2
; C3a (43/21 : -58/3 : 1)  C4a (21/43 : -406/43 : 1)
**u= 1/17 ; 2600*x^2 - 34*y^2 + 2602*z^2
; C3a (189/100 : 187/10 : 1)  C4a (-100/53 : -990/53 : 1)
**u= 1/25 ; 5624*x^2 - 50*y^2 + 5626*z^2
; C3a (-1 : -15 : 1)  C4a (-78/109 : -7108/545 : 1)
**u= 1/33 ; 9800*x^2 - 66*y^2 + 9802*z^2
; C3a (13/1120 : -195/16 : 1)  C4a (-280/247 : -350/19 : 1)
**u= 1/36 ; 11663*x^2 - 72*y^2 + 11665*z^2
; C3a (23/149 : -1919/149 : 1)  C4a (21/151 : -5821/453 : 1)
**u= 1/49 ; 21608*x^2 - 98*y^2 + 21610*z^2
; C3a (-1 : -21 : 1)  C4a (-36/37 : 5366/259 : 1)
**u= 1/56 ; 28223*x^2 - 112*y^2 + 28225*z^2
; C3a (165/52 : 845/16 : 1)  C4a (13/85 : 273/17 : 1)
**u= 1/60 ; 32399*x^2 - 120*y^2 + 32401*z^2
; C3a (2381/2591 : -57821/2591 : 1)  C4a (437/367 : -9377/367 : 1)
**u= 1/64 ; 36863*x^2 - 128*y^2 + 36865*z^2
; C3a (37/267 : -9149/534 : 1)  C4a (35/269 : -9207/538 : 1)
**u= 1/65 ; 38024*x^2 - 130*y^2 + 38026*z^2
; C3a (-153/328 : -3095/164 : 1)  C4a (952/3 : -16282/3 : 1)
**u= 1/80 ; 57599*x^2 - 160*y^2 + 57601*z^2
; C3a (987/37 : -18740/37 : 1)  C4a (-7/3 : 289/6 : 1)
**u= 1/81 ; 59048*x^2 - 162*y^2 + 59050*z^2
; C3a (-25/99 : -1595/81 : 1)  C4a (132/185 : -7810/333 : 1)
**u= 1/100 ; 89999*x^2 - 200*y^2 + 90001*z^2
; C3a (-2099/297 : -224849/1485 : 1)  C4a (303/299 : 45151/1495 : 1)
**u= 3/2 ; 27*x^2 - 12*y^2 + 45*z^2
; C3a (7/3 : -4 : 1)  C4a (0 : 3/2 : 1)
**u= 3/26 ; 6075*x^2 - 156*y^2 + 6093*z^2
; C3a (1/90 : -25/4 : 1)  C4a (135/187 : 1440/187 : 1)
**u= 3/38 ; 12987*x^2 - 228*y^2 + 13005*z^2
; C3a (-1598/21 : -8041/14 : 1)  C4a (-15/34 : 33/4 : 1)
**u= 3/49 ; 21600*x^2 - 294*y^2 + 21618*z^2
; C3a (1801/60 : -1802/7 : 1)  C4a (0 : 60/7 : 1)
**u= 3/62 ; 34587*x^2 - 372*y^2 + 34605*z^2
; C3a (-1372/411 : -9207/274 : 1)  C4a (681/404 : 15273/808 : 1)
**u= 3/74 ; 49275*x^2 - 444*y^2 + 49293*z^2
; C3a (1289/1005 : -1148/67 : 1)  C4a (30/511 : 10785/1022 : 1)
**u= 4 ; -7*x^2 - 8*y^2 + 25*z^2
; C3a (-5/3 : -5/6 : 1)  C4a (-1 : -3/2 : 1)
**u= 4/5 ; 209*x^2 - 40*y^2 + 241*z^2
; C3a (-3/7 : -37/14 : 1)  C4a (-263/27 : -1297/54 : 1)
**u= 4/9 ; 713*x^2 - 72*y^2 + 745*z^2
; C3a (31/15 : -653/90 : 1)  C4a (1 : -9/2 : 1)
**u= 4/21 ; 3953*x^2 - 168*y^2 + 3985*z^2
; C3a (671/2099 : 21457/4198 : 1)  C4a (-827/223 : -8341/446 : 1)
**u= 4/25 ; 5609*x^2 - 200*y^2 + 5641*z^2
; C3a (79/63 : -5357/630 : 1)  C4a (1 : -15/2 : 1)
**u= 4/49 ; 21593*x^2 - 392*y^2 + 21625*z^2
; C3a (-1 : -21/2 : 1)  C4a (43/205 : 4353/574 : 1)
**u= 4/81 ; 59033*x^2 - 648*y^2 + 59065*z^2
; C3a (-1 : 27/2 : 1)  C4a (-2765/533 : 161303/3198 : 1)
**u= 4/85 ; 65009*x^2 - 680*y^2 + 65041*z^2
; C3a (5119/2059 : 107901/4118 : 1)  C4a (-237/5713 : 111815/11426 : 1)
**u= 5/3 ; 56*x^2 - 30*y^2 + 106*z^2
; C3a (-23/104 : -99/52 : 1)  C4a (-2 : -4 : 1)
**u= 5/19 ; 3224*x^2 - 190*y^2 + 3274*z^2
; C3a (51/82 : 200/41 : 1)  C4a (74/97 : -504/97 : 1)
**u= 5/51 ; 23384*x^2 - 510*y^2 + 23434*z^2
; C3a (-7571/1388 : -26061/694 : 1)  C4a (754/113 : 5168/113 : 1)
**u= 5/83 ; 61976*x^2 - 830*y^2 + 62026*z^2
; C3a (-20539/4852 : -91185/2426 : 1)  C4a (4076/323 : 35346/323 : 1)
**u= 6/11 ; 1053*x^2 - 132*y^2 + 1125*z^2
; C3a (-5/6 : -15/4 : 1)  C4a (399/410 : -657/164 : 1)
**u= 6/35 ; 10989*x^2 - 420*y^2 + 11061*z^2
; C3a (83/78 : 389/52 : 1)  C4a (6/29 : 303/58 : 1)
**u= 6/71 ; 45333*x^2 - 852*y^2 + 45405*z^2
; C3a (-343/12 : 1669/8 : 1)  C4a (-3/68 : -993/136 : 1)
**u= 9 ; -72*x^2 - 18*y^2 + 90*z^2
; C3a (1/2 : 2 : 1)  C4a (1 : 1 : 1)
**u= 9/4 ; 63*x^2 - 72*y^2 + 225*z^2
; C3a (1 : -2 : 1)  C4a (-11/5 : -4 : 1)
**u= 9/16 ; 2223*x^2 - 288*y^2 + 2385*z^2
; C3a (-559/493 : -4207/986 : 1)  C4a (-595/529 : -4513/1058 : 1)
**u= 9/25 ; 5544*x^2 - 450*y^2 + 5706*z^2
; C3a (-103/76 : -1129/190 : 1)  C4a (-1 : -5 : 1)
**u= 9/40 ; 14319*x^2 - 720*y^2 + 14481*z^2
; C3a (17/47 : 224/47 : 1)  C4a (17/22 : 497/88 : 1)
**u= 9/47 ; 19800*x^2 - 846*y^2 + 19962*z^2
; C3a (337/180 : -185/18 : 1)  C4a (580/219 : 3010/219 : 1)
**u= 9/49 ; 21528*x^2 - 882*y^2 + 21690*z^2
; C3a (1 : 7 : 1)  C4a (194/73 : -7192/511 : 1)
**u= 9/64 ; 36783*x^2 - 1152*y^2 + 36945*z^2
; C3a (67/55 : 1961/220 : 1)  C4a (-1 : -8 : 1)
**u= 9/95 ; 81144*x^2 - 1710*y^2 + 81306*z^2
; C3a (181/294 : -170/21 : 1)  C4a (10192/543 : -70378/543 : 1)
**u= 9/100 ; 89919*x^2 - 1800*y^2 + 90081*z^2
; C3a (103/91 : 4859/455 : 1)  C4a (-1 : -10 : 1)
**u= 13/4 ; -25*x^2 - 104*y^2 + 313*z^2
; C3a (-19/35 : 12/7 : 1)  C4a (45/113 : -55/113 : 1)
**u= 13/5 ; 56*x^2 - 130*y^2 + 394*z^2
; C3a (-407/227 : -477/227 : 1)  C4a (-458/847 : -972/847 : 1)
**u= 13/8 ; 407*x^2 - 208*y^2 + 745*z^2
; C3a (41/23 : -72/23 : 1)  C4a (-5/14 : 87/56 : 1)
**u= 13/12 ; 1127*x^2 - 312*y^2 + 1465*z^2
; C3a (1193/119 : -326/17 : 1)  C4a (343/181 : 819/181 : 1)
**u= 13/20 ; 3431*x^2 - 520*y^2 + 3769*z^2
; C3a (-83/547 : 1488/547 : 1)  C4a (-289/271 : 1044/271 : 1)
**u= 13/21 ; 3800*x^2 - 546*y^2 + 4138*z^2
; C3a (-11/10 : 4 : 1)  C4a (-10/11 : -40/11 : 1)
**u= 13/28 ; 6887*x^2 - 728*y^2 + 7225*z^2
; C3a (-17/123 : 391/123 : 1)  C4a (1943/3077 : -663/181 : 1)
**u= 13/29 ; 7400*x^2 - 754*y^2 + 7738*z^2
; C3a (3213/835 : 2083/167 : 1)  C4a (275/1407 : 4495/1407 : 1)
**u= 13/32 ; 9047*x^2 - 832*y^2 + 9385*z^2
; C3a (187/155 : -807/155 : 1)  C4a (217/162 : -7229/1296 : 1)
**u= 13/37 ; 12152*x^2 - 962*y^2 + 12490*z^2
; C3a (-2839/4837 : 2877/691 : 1)  C4a (1918/919 : -7644/919 : 1)
**u= 13/53 ; 25112*x^2 - 1378*y^2 + 25450*z^2
; C3a (-1695/794 : -4000/397 : 1)  C4a (-14497/9727 : -74871/9727 : 1)
**u= 13/60 ; 32231*x^2 - 1560*y^2 + 32569*z^2
; C3a (-1291/539 : 6364/539 : 1)  C4a (-17791/3311 : -82672/3311 : 1)
**u= 13/77 ; 53192*x^2 - 2002*y^2 + 53530*z^2
; C3a (-5171/2641 : -29949/2641 : 1)  C4a (76624/15941 : -404646/15941 : 1)
**u= 13/92 ; 76007*x^2 - 2392*y^2 + 76345*z^2
; C3a (13553/17 : 4494 : 1)  C4a (323/413 : 2958/413 : 1)
**u= 15/2 ; -189*x^2 - 60*y^2 + 261*z^2
; C3a (-53/66 : 67/44 : 1)  C4a (3 : -6 : 1)
**u= 15/11 ; 864*x^2 - 330*y^2 + 1314*z^2
; C3a (-317/156 : -50/13 : 1)  C4a (-156/317 : 600/317 : 1)
**u= 15/13 ; 1296*x^2 - 390*y^2 + 1746*z^2
; C3a (-971/438 : -333/73 : 1)  C4a (102/89 : 270/89 : 1)
**u= 15/59 ; 31104*x^2 - 1770*y^2 + 31554*z^2
; C3a (-2761/3528 : 262/49 : 1)  C4a (-6552/5549 : -36144/5549 : 1)
**u= 15/74 ; 49059*x^2 - 2220*y^2 + 49509*z^2
; C3a (-527/564 : -2425/376 : 1)  C4a (2028/1931 : -26391/3862 : 1)
**u= 16 ; -247*x^2 - 32*y^2 + 265*z^2
; C3a (-23/31 : 249/124 : 1)  C4a (-33/23 : -281/92 : 1)
**u= 16/9 ; 473*x^2 - 288*y^2 + 985*z^2
; C3a (-17/9 : -329/108 : 1)  C4a (-49/41 : -419/164 : 1)
**u= 16/21 ; 3713*x^2 - 672*y^2 + 4225*z^2
; C3a (65/37 : -715/148 : 1)  C4a (-667/2665 : 399/164 : 1)
**u= 16/25 ; 5369*x^2 - 800*y^2 + 5881*z^2
; C3a (91/27 : -4937/540 : 1)  C4a (1 : -15/4 : 1)
**u= 16/29 ; 7313*x^2 - 928*y^2 + 7825*z^2
; C3a (47/11 : 543/44 : 1)  C4a (247/275 : 843/220 : 1)
**u= 16/49 ; 21353*x^2 - 1568*y^2 + 21865*z^2
; C3a (7/241 : 25209/6748 : 1)  C4a (39/209 : 21977/5852 : 1)
**u= 16/53 ; 25025*x^2 - 1696*y^2 + 25537*z^2
; C3a (-1883/25 : 5787/20 : 1)  C4a (-305/93 : -4945/372 : 1)
**u= 16/65 ; 37769*x^2 - 2080*y^2 + 38281*z^2
; C3a (2153/983 : -40389/3932 : 1)  C4a (97/33 : -1757/132 : 1)
**u= 16/81 ; 58793*x^2 - 2592*y^2 + 59305*z^2
; C3a (71/369 : 64697/13284 : 1)  C4a (39/337 : -58169/12132 : 1)
**u= 16/85 ; 64769*x^2 - 2720*y^2 + 65281*z^2
; C3a (-3181/3279 : 89353/13116 : 1)  C4a (11/79 : -1557/316 : 1)
**u= 17/7 ; 152*x^2 - 238*y^2 + 730*z^2
; C3a (67/4 : 27/2 : 1)  C4a (794/717 : 1504/717 : 1)
**u= 17/23 ; 4472*x^2 - 782*y^2 + 5050*z^2
; C3a (39719/3360 : -47683/1680 : 1)  C4a (-42/19 : 116/19 : 1)
**u= 17/39 ; 13400*x^2 - 1326*y^2 + 13978*z^2
; C3a (1571/2420 : -931/242 : 1)  C4a (740/287 : -2570/287 : 1)
**u= 17/55 ; 26936*x^2 - 1870*y^2 + 27514*z^2
; C3a (1361/2104 : -4791/1052 : 1)  C4a (262/57 : -1028/57 : 1)
**u= 17/87 ; 67832*x^2 - 2958*y^2 + 68410*z^2
; C3a (-31711/5872 : 77229/2936 : 1)  C4a (-14/73 : 356/73 : 1)
**u= 25 ; -616*x^2 - 50*y^2 + 634*z^2
; C3a (-1/18 : -32/9 : 1)  C4a (1 : 3/5 : 1)
**u= 25/4 ; -481*x^2 - 200*y^2 + 769*z^2
; C3a (-13/87 : -847/435 : 1)  C4a (1 : -6/5 : 1)
**u= 25/8 ; -49*x^2 - 400*y^2 + 1201*z^2
; C3a (-24/7 : 5/4 : 1)  C4a (-7/25 : -42/125 : 1)
**u= 25/9 ; 104*x^2 - 450*y^2 + 1354*z^2
; C3a (-41/12 : -43/18 : 1)  C4a (1 : 9/5 : 1)
**u= 25/16 ; 1679*x^2 - 800*y^2 + 2929*z^2
; C3a (-3551/3357 : -16459/6714 : 1)  C4a (27/73 : 1177/730 : 1)
**u= 25/17 ; 1976*x^2 - 850*y^2 + 3226*z^2
; C3a (407/101 : 651/101 : 1)  C4a (2/15 : 116/75 : 1)
**u= 25/28 ; 6431*x^2 - 1400*y^2 + 7681*z^2
; C3a (-1/15 : 176/75 : 1)  C4a (15 : 176/5 : 1)
**u= 25/36 ; 11039*x^2 - 1800*y^2 + 12289*z^2
; C3a (1 : 18/5 : 1)  C4a (1 : -18/5 : 1)
**u= 25/41 ; 14504*x^2 - 2050*y^2 + 15754*z^2
; C3a (-291/119 : -601/85 : 1)  C4a (-91/9 : -1267/45 : 1)
**u= 25/44 ; 16799*x^2 - 2200*y^2 + 18049*z^2
; C3a (-1873/613 : 27327/3065 : 1)  C4a (15569/433 : 44610/433 : 1)
**u= 25/49 ; 20984*x^2 - 2450*y^2 + 22234*z^2
; C3a (1 : 21/5 : 1)  C4a (-1 : 21/5 : 1)
**u= 25/64 ; 36239*x^2 - 3200*y^2 + 37489*z^2
; C3a (1 : 24/5 : 1)  C4a (-267/167 : -21457/3340 : 1)
**u= 25/68 ; 40991*x^2 - 3400*y^2 + 42241*z^2
; C3a (-373/239 : 1545/239 : 1)  C4a (-239/373 : -1545/373 : 1)
**u= 25/81 ; 58424*x^2 - 4050*y^2 + 59674*z^2
; C3a (1 : 27/5 : 1)  C4a (42/67 : -13556/3015 : 1)
**u= 25/88 ; 69071*x^2 - 4400*y^2 + 70321*z^2
; C3a (-1385/714 : 7277/840 : 1)  C4a (97733/7405 : 1959063/37025 : 1)
**u= 25/92 ; 75551*x^2 - 4600*y^2 + 76801*z^2
; C3a (-645/229 : -13882/1145 : 1)  C4a (-491/337 : -2427/337 : 1)
**u= 25/96 ; 82319*x^2 - 4800*y^2 + 83569*z^2
; C3a (-1/7 : -59/14 : 1)  C4a (7 : -59/2 : 1)
**u= 29/11 ; 248*x^2 - 638*y^2 + 1930*z^2
; C3a (317/24 : -101/12 : 1)  C4a (74/47 : -132/47 : 1)
**u= 29/43 ; 15800*x^2 - 2494*y^2 + 17482*z^2
; C3a (-2701/2330 : -918/233 : 1)  C4a (43610/8221 : 117300/8221 : 1)
**u= 29/59 ; 30488*x^2 - 3422*y^2 + 32170*z^2
; C3a (-8473/4874 : -14688/2437 : 1)  C4a (90/5633 : 16816/5633 : 1)
**u= 29/75 ; 49784*x^2 - 4350*y^2 + 51466*z^2
; C3a (5233/30758 : -7662/2197 : 1)  C4a (5152/373 : -17766/373 : 1)
**u= 29/91 ; 73688*x^2 - 5278*y^2 + 75370*z^2
; C3a (-2637/730 : 5116/365 : 1)  C4a (22894/417 : -86528/417 : 1)
**u= 30/47 ; 18981*x^2 - 2820*y^2 + 20781*z^2
; C3a (31/78 : -151/52 : 1)  C4a (27/74 : 411/148 : 1)
**u= 30/71 ; 44469*x^2 - 4260*y^2 + 46269*z^2
; C3a (2029921/292338 : -1473081/64964 : 1)  C4a (-234/263 : -2295/526 : 1)
**u= 30/83 ; 61101*x^2 - 4980*y^2 + 62901*z^2
; C3a (-1828/81 : 4273/54 : 1)  C4a (-7071/2308 : 52797/4616 : 1)
**u= 36 ; -1287*x^2 - 72*y^2 + 1305*z^2
; C3a (-289/287 : 1/574 : 1)  C4a (-287/289 : -1/578 : 1)
**u= 36/13 ; 225*x^2 - 936*y^2 + 2817*z^2
; C3a (-77/25 : 23/10 : 1)  C4a (5/31 : 35/62 : 1)
**u= 36/25 ; 4329*x^2 - 1800*y^2 + 6921*z^2
; C3a (-1 : -5/2 : 1)  C4a (-1439/1537 : 36937/15370 : 1)
**u= 36/49 ; 20313*x^2 - 3528*y^2 + 22905*z^2
; C3a (1 : -7/2 : 1)  C4a (-13/61 : 2101/854 : 1)
**u= 36/61 ; 32193*x^2 - 4392*y^2 + 34785*z^2
; C3a (-1613/2345 : -2261/670 : 1)  C4a (959/349 : 5719/698 : 1)
**u= 36/85 ; 63729*x^2 - 6120*y^2 + 66321*z^2
; C3a (-43/127 : 881/254 : 1)  C4a (-127/43 : 881/86 : 1)
**u= 37/5 ; -1144*x^2 - 370*y^2 + 1594*z^2
; C3a (27/23 : 5/23 : 1)  C4a (-337/383 : -189/383 : 1)
**u= 37/8 ; -793*x^2 - 592*y^2 + 1945*z^2
; C3a (-51/269 : -484/269 : 1)  C4a (1655/726 : -11519/2904 : 1)
**u= 37/13 ; 152*x^2 - 962*y^2 + 2890*z^2
; C3a (-17/9 : 17/9 : 1)  C4a (-1002/833 : 104/49 : 1)
**u= 37/20 ; 2231*x^2 - 1480*y^2 + 4969*z^2
; C3a (1101/461 : -1594/461 : 1)  C4a (13/33 : -47/33 : 1)
**u= 37/28 ; 5687*x^2 - 2072*y^2 + 8425*z^2
; C3a (-635/1111 : -225/101 : 1)  C4a (1903/2605 : -1155/521 : 1)
**u= 37/32 ; 7847*x^2 - 2368*y^2 + 10585*z^2
; C3a (-441/167 : -877/167 : 1)  C4a (-143/118 : -2967/944 : 1)
**u= 37/45 ; 16856*x^2 - 3330*y^2 + 19594*z^2
; C3a (1107/1498 : 944/321 : 1)  C4a (-91/9 : -665/27 : 1)
**u= 37/48 ; 19367*x^2 - 3552*y^2 + 22105*z^2
; C3a (-1349/139 : 3169/139 : 1)  C4a (1337/1931 : -11217/3862 : 1)
**u= 37/60 ; 31031*x^2 - 4440*y^2 + 33769*z^2
; C3a (31 : 82 : 1)  C4a (1/31 : -82/31 : 1)
**u= 37/68 ; 40247*x^2 - 5032*y^2 + 42985*z^2
; C3a (-35031/22633 : -119126/22633 : 1)  C4a (-971/12153 : 34487/12153 : 1)
**u= 37/93 ; 76472*x^2 - 6882*y^2 + 79210*z^2
; C3a (-17177/10010 : 3026/455 : 1)  C4a (136114/18779 : 5236/211 : 1)
**u= 37/96 ; 81575*x^2 - 7104*y^2 + 84313*z^2
; C3a (4331/9040 : -55085/14464 : 1)  C4a (80 : 2205/8 : 1)
**u= 37/100 ; 88631*x^2 - 7400*y^2 + 91369*z^2
; C3a (5755/1989 : 105538/9945 : 1)  C4a (2999/25 : -52692/125 : 1)
**u= 39/14 ; 243*x^2 - 1092*y^2 + 3285*z^2
; C3a (-19/9 : -2 : 1)  C4a (477/71 : -828/71 : 1)
**u= 39/61 ; 31968*x^2 - 4758*y^2 + 35010*z^2
; C3a (-1083671/176040 : -237437/14670 : 1)  C4a (924/619 : -2976/619 : 1)
**u= 39/62 ; 33075*x^2 - 4836*y^2 + 36117*z^2
; C3a (113/1995 : 52/19 : 1)  C4a (-735/394 : 4515/788 : 1)
**u= 39/85 ; 63504*x^2 - 6630*y^2 + 66546*z^2
; C3a (-209/294 : -27/7 : 1)  C4a (1686/71 : -5346/71 : 1)
**u= 40 ; -1591*x^2 - 80*y^2 + 1609*z^2
; C3a (41/42 : -181/168 : 1)  C4a (-297/106 : 4981/424 : 1)
**u= 40/13 ; -79*x^2 - 1040*y^2 + 3121*z^2
; C3a (292/149 : 981/596 : 1)  C4a (-2417/12676 : 9231/50704 : 1)
**u= 40/17 ; 1001*x^2 - 1360*y^2 + 4201*z^2
; C3a (273/86 : 1115/344 : 1)  C4a (23/6 : 163/24 : 1)
**u= 40/21 ; 2369*x^2 - 1680*y^2 + 5569*z^2
; C3a (-541/68 : -2617/272 : 1)  C4a (-61/128 : -753/512 : 1)
**u= 40/29 ; 5969*x^2 - 2320*y^2 + 9169*z^2
; C3a (-21/8 : 149/32 : 1)  C4a (41/12 : 335/48 : 1)
**u= 40/37 ; 10721*x^2 - 2960*y^2 + 13921*z^2
; C3a (59/688 : -5985/2752 : 1)  C4a (1497/424 : -13381/1696 : 1)
**u= 40/41 ; 13529*x^2 - 3280*y^2 + 16729*z^2
; C3a (-3414/4007 : -45601/16028 : 1)  C4a (506/1203 : 10789/4812 : 1)
**u= 40/57 ; 27641*x^2 - 4560*y^2 + 30841*z^2
; C3a (5207/4694 : -70809/18776 : 1)  C4a (1409/98 : -14689/392 : 1)
**u= 40/61 ; 31889*x^2 - 4880*y^2 + 35089*z^2
; C3a (-11917/2296 : 124317/9184 : 1)  C4a (-3813/884 : -41885/3536 : 1)
**u= 40/69 ; 41249*x^2 - 5520*y^2 + 44449*z^2
; C3a (-3641/568 : -40331/2272 : 1)  C4a (15524/3173 : -179591/12692 : 1)
**u= 40/73 ; 46361*x^2 - 5840*y^2 + 49561*z^2
; C3a (2282/1479 : 30959/5916 : 1)  C4a (-11037/2614 : -131941/10456 : 1)
**u= 40/89 ; 69689*x^2 - 7120*y^2 + 72889*z^2
; C3a (-1122/569 : 15817/2276 : 1)  C4a (3842/3219 : -63565/12876 : 1)
**u= 41/31 ; 6968*x^2 - 2542*y^2 + 10330*z^2
; C3a (26091/1136 : -21629/568 : 1)  C4a (-170/233 : -516/233 : 1)
**u= 41/47 ; 18200*x^2 - 3854*y^2 + 21562*z^2
; C3a (-54223/83410 : -22980/8341 : 1)  C4a (35220/12391 : -87550/12391 : 1)
**u= 41/95 ; 79544*x^2 - 7790*y^2 + 82906*z^2
; C3a (671/234 : -1138/117 : 1)  C4a (106104/21899 : -353146/21899 : 1)
**u= 45/4 ; -1881*x^2 - 360*y^2 + 2169*z^2
; C3a (53/351 : -853/351 : 1)  C4a (3 : 7 : 1)
**u= 45/11 ; -936*x^2 - 990*y^2 + 3114*z^2
; C3a (7/4 : 1/2 : 1)  C4a (4/7 : -2/7 : 1)
**u= 45/13 ; -504*x^2 - 1170*y^2 + 3546*z^2
; C3a (17/9 : 11/9 : 1)  C4a (-9/17 : -11/17 : 1)
**u= 45/28 ; 5031*x^2 - 2520*y^2 + 9081*z^2
; C3a (601/237 : 961/237 : 1)  C4a (811/27 : 1540/27 : 1)
**u= 45/37 ; 10296*x^2 - 3330*y^2 + 14346*z^2
; C3a (677/174 : 622/87 : 1)  C4a (-489/103 : 1031/103 : 1)
**u= 45/52 ; 22311*x^2 - 4680*y^2 + 26361*z^2
; C3a (51/77 : 214/77 : 1)  C4a (1593/1411 : -4877/1411 : 1)
**u= 45/61 ; 31464*x^2 - 5490*y^2 + 35514*z^2
; C3a (-639/212 : -811/106 : 1)  C4a (279/157 : -803/157 : 1)
**u= 45/64 ; 34839*x^2 - 5760*y^2 + 38889*z^2
; C3a (123/161 : -295/92 : 1)  C4a (-91/327 : -3353/1308 : 1)
**u= 49 ; -2392*x^2 - 98*y^2 + 2410*z^2
; C3a (301/300 : 151/1050 : 1)  C4a (303/301 : 1507/2107 : 1)
**u= 49/4 ; -2257*x^2 - 392*y^2 + 2545*z^2
; C3a (-1 : 6/7 : 1)  C4a (1 : 6/7 : 1)
**u= 49/9 ; -1672*x^2 - 882*y^2 + 3130*z^2
; C3a (-19/30 : 526/315 : 1)  C4a (-6/7 : 124/147 : 1)
**u= 49/16 ; -97*x^2 - 1568*y^2 + 4705*z^2
; C3a (-77/39 : 907/546 : 1)  C4a (-99/97 : -2377/1358 : 1)
**u= 49/25 ; 3224*x^2 - 2450*y^2 + 8026*z^2
; C3a (1 : -15/7 : 1)  C4a (1 : -15/7 : 1)
**u= 49/33 ; 7400*x^2 - 3234*y^2 + 12202*z^2
; C3a (-337/95 : 759/133 : 1)  C4a (100/197 : -2490/1379 : 1)
**u= 49/36 ; 9263*x^2 - 3528*y^2 + 14065*z^2
; C3a (1379/569 : -17547/3983 : 1)  C4a (1 : 18/7 : 1)
**u= 49/40 ; 11999*x^2 - 3920*y^2 + 16801*z^2
; C3a (283/13 : 267/7 : 1)  C4a (39/121 : -1586/847 : 1)
**u= 49/41 ; 12728*x^2 - 4018*y^2 + 17530*z^2
; C3a (-23/59 : 909/413 : 1)  C4a (-277/687 : 9469/4809 : 1)
**u= 49/64 ; 34463*x^2 - 6272*y^2 + 39265*z^2
; C3a (1 : 24/7 : 1)  C4a (1 : -24/7 : 1)
**u= 49/76 ; 49583*x^2 - 7448*y^2 + 54385*z^2
; C3a (-5051/3081 : -108253/21567 : 1)  C4a (-27/11 : -548/77 : 1)
**u= 49/80 ; 55199*x^2 - 7840*y^2 + 60001*z^2
; C3a (-2337/527 : 2623/217 : 1)  C4a (-493/97 : -19431/1358 : 1)
**u= 49/81 ; 56648*x^2 - 7938*y^2 + 61450*z^2
; C3a (1325/168 : 112465/5292 : 1)  C4a (1 : -27/7 : 1)
**u= 49/89 ; 68888*x^2 - 8722*y^2 + 73690*z^2
; C3a (6843/4618 : -82084/16163 : 1)  C4a (-34718/9337 : -729888/65359 : 1)
**u= 49/92 ; 73775*x^2 - 9016*y^2 + 78577*z^2
; C3a (-217/125 : -1011/175 : 1)  C4a (7145/15993 : -352640/111951 : 1)
**u= 49/96 ; 80543*x^2 - 9408*y^2 + 85345*z^2
; C3a (-559/47 : 11492/329 : 1)  C4a (19/13 : 37/7 : 1)
**u= 49/100 ; 87599*x^2 - 9800*y^2 + 92401*z^2
; C3a (-1 : 30/7 : 1)  C4a (-186003/184801 : -27812851/6468035 : 1)
**u= 51 ; -2592*x^2 - 102*y^2 + 2610*z^2
; C3a (53/60 : -12/5 : 1)  C4a (-24/11 : 108/11 : 1)
**u= 51/14 ; -837*x^2 - 1428*y^2 + 4365*z^2
; C3a (19/9 : -2/3 : 1)  C4a (111/253 : -12/253 : 1)
**u= 51/25 ; 3024*x^2 - 2550*y^2 + 8226*z^2
; C3a (29/54 : 17/9 : 1)  C4a (6/197 : 1074/985 : 1)
**u= 51/26 ; 3483*x^2 - 2652*y^2 + 8685*z^2
; C3a (197/249 : -168/83 : 1)  C4a (30/1291 : -2961/2582 : 1)
**u= 51/50 ; 19899*x^2 - 5100*y^2 + 25101*z^2
; C3a (281/1800 : 13439/6000 : 1)  C4a (-96/979 : -3891/1958 : 1)
**u= 51/86 ; 63963*x^2 - 8772*y^2 + 69165*z^2
; C3a (4159/3237 : -4816/1079 : 1)  C4a (111/491 : 1362/491 : 1)
**u= 51/95 ; 78624*x^2 - 9690*y^2 + 83826*z^2
; C3a (-161/66 : -83/11 : 1)  C4a (-762/2453 : 7338/2453 : 1)
**u= 52/5 ; -2479*x^2 - 520*y^2 + 2929*z^2
; C3a (-1307/1213 : -759/2426 : 1)  C4a (-29/11 : -129/22 : 1)
**u= 52/9 ; -1975*x^2 - 936*y^2 + 3433*z^2
; C3a (-179/145 : -39/58 : 1)  C4a (-1425/547 : 15665/3282 : 1)
**u= 52/17 ; -103*x^2 - 1768*y^2 + 5305*z^2
; C3a (-1527/581 : 1873/1162 : 1)  C4a (139/513 : 413/1026 : 1)
**u= 52/25 ; 2921*x^2 - 2600*y^2 + 8329*z^2
; C3a (-437/337 : 1521/674 : 1)  C4a (83/25 : 1509/250 : 1)
**u= 52/37 ; 9617*x^2 - 3848*y^2 + 15025*z^2
; C3a (-295/591 : -2515/1182 : 1)  C4a (-1921/743 : 7947/1486 : 1)
**u= 52/53 ; 22577*x^2 - 5512*y^2 + 27985*z^2
; C3a (-3873/473 : -15821/946 : 1)  C4a (151535/166799 : 960297/333598 : 1)
**u= 52/73 ; 45257*x^2 - 7592*y^2 + 50665*z^2
; C3a (199/4141 : -21417/8282 : 1)  C4a (-13523/4873 : 73809/9746 : 1)
**u= 52/77 ; 50657*x^2 - 8008*y^2 + 56065*z^2
; C3a (-1830923/446275 : -9507933/892550 : 1)  C4a (541/4083 : -20737/8166 : 1)
**u= 52/97 ; 81977*x^2 - 10088*y^2 + 87385*z^2
; C3a (-5449/9877 : 9417/2822 : 1)  C4a (-306999/56933 : 1836023/113866 : 1)
**u= 53/3 ; -2728*x^2 - 318*y^2 + 2890*z^2
; C3a (17/20 : 17/10 : 1)  C4a (20/17 : 2 : 1)
**u= 53/35 ; 8216*x^2 - 3710*y^2 + 13834*z^2
; C3a (6833/92 : -5085/46 : 1)  C4a (10068/1703 : 19606/1703 : 1)
**u= 53/51 ; 20600*x^2 - 5406*y^2 + 26218*z^2
; C3a (-4031/4150 : 1206/415 : 1)  C4a (-1790/2851 : -6820/2851 : 1)
**u= 53/67 ; 37592*x^2 - 7102*y^2 + 43210*z^2
; C3a (-110737/28126 : -132024/14063 : 1)  C4a (10660/797 : -26358/797 : 1)
**u= 53/83 ; 59192*x^2 - 8798*y^2 + 64810*z^2
; C3a (-7051/7798 : 1998/557 : 1)  C4a (-4760/11483 : 32466/11483 : 1)
**u= 61/4 ; -3577*x^2 - 488*y^2 + 3865*z^2
; C3a (19/35 : 12/5 : 1)  C4a (35/19 : -84/19 : 1)
**u= 61/5 ; -3496*x^2 - 610*y^2 + 3946*z^2
; C3a (-243/233 : -113/233 : 1)  C4a (1126/1101 : -1120/1101 : 1)
**u= 61/12 ; -2425*x^2 - 1464*y^2 + 5017*z^2
; C3a (473/445 : -111/89 : 1)  C4a (13445/2837 : -24620/2837 : 1)
**u= 61/13 ; -2200*x^2 - 1586*y^2 + 5242*z^2
; C3a (-89/180 : -31/18 : 1)  C4a (4260/2123 : 7330/2123 : 1)
**u= 61/16 ; -1417*x^2 - 1952*y^2 + 6025*z^2
; C3a (35/19 : 15/19 : 1)  C4a (-81/85 : -49/34 : 1)
**u= 61/20 ; -121*x^2 - 2440*y^2 + 7321*z^2
; C3a (-597/143 : -19/13 : 1)  C4a (-341/1189 : -528/1189 : 1)
**u= 61/21 ; 248*x^2 - 2562*y^2 + 7690*z^2
; C3a (-1237/65 : 401/65 : 1)  C4a (-17/179 : 63/179 : 1)
**u= 61/29 ; 3848*x^2 - 3538*y^2 + 11290*z^2
; C3a (-7671/5264 : -6173/2632 : 1)  C4a (6088/3101 : 11346/3101 : 1)
**u= 61/40 ; 10679*x^2 - 4880*y^2 + 18121*z^2
; C3a (-697/103 : 1050/103 : 1)  C4a (-303/527 : -974/527 : 1)
**u= 61/44 ; 13703*x^2 - 5368*y^2 + 21145*z^2
; C3a (-189/493 : -1024/493 : 1)  C4a (-13/2583 : 4127/2583 : 1)
**u= 61/45 ; 14504*x^2 - 5490*y^2 + 21946*z^2
; C3a (363/28 : 127/6 : 1)  C4a (679/149 : -1379/149 : 1)
**u= 61/56 ; 24503*x^2 - 6832*y^2 + 31945*z^2
; C3a (1517/698 : 12981/2792 : 1)  C4a (-186470/143517 : 1945061/574068 : 1)
**u= 61/69 ; 39128*x^2 - 8418*y^2 + 46570*z^2
; C3a (31939/22601 : 86991/22601 : 1)  C4a (-2437/277 : -5763/277 : 1)
**u= 61/84 ; 59783*x^2 - 10248*y^2 + 67225*z^2
; C3a (145/131 : -485/131 : 1)  C4a (28541/9805 : 15368/1961 : 1)
**u= 61/96 ; 79223*x^2 - 11712*y^2 + 86665*z^2
; C3a (-1999/1676 : -55319/13408 : 1)  C4a (10304/5423 : 251023/43384 : 1)
**u= 64 ; -4087*x^2 - 128*y^2 + 4105*z^2
; C3a (-1 : -3/8 : 1)  C4a (1 : -3/8 : 1)
**u= 64/5 ; -3871*x^2 - 640*y^2 + 4321*z^2
; C3a (-2747/5537 : -14517/6328 : 1)  C4a (1351/171 : 27881/1368 : 1)
**u= 64/9 ; -3367*x^2 - 1152*y^2 + 4825*z^2
; C3a (605/677 : -7375/5416 : 1)  C4a (-33/25 : -251/120 : 1)
**u= 64/21 ; -127*x^2 - 2688*y^2 + 8065*z^2
; C3a (101/17 : 157/136 : 1)  C4a (-1649/157 : -22849/1256 : 1)
**u= 64/25 ; 1529*x^2 - 3200*y^2 + 9721*z^2
; C3a (-589/267 : 24733/10680 : 1)  C4a (-117/139 : -9017/5560 : 1)
**u= 64/29 ; 3473*x^2 - 3712*y^2 + 11665*z^2
; C3a (73/595 : -8457/4760 : 1)  C4a (91/207 : 2057/1656 : 1)
**u= 64/37 ; 8225*x^2 - 4736*y^2 + 16417*z^2
; C3a (-769/45 : -1627/72 : 1)  C4a (45/769 : -8135/6152 : 1)
**u= 64/49 ; 17513*x^2 - 6272*y^2 + 25705*z^2
; C3a (-1 : -21/8 : 1)  C4a (45/211 : 20393/11816 : 1)
**u= 64/65 ; 33929*x^2 - 8320*y^2 + 42121*z^2
; C3a (-2567/2113 : 56271/16904 : 1)  C4a (-1597/3083 : -57507/24664 : 1)
**u= 64/81 ; 54953*x^2 - 10368*y^2 + 63145*z^2
; C3a (1 : -27/8 : 1)  C4a (51/307 : -51689/22104 : 1)
**u= 65/7 ; -3784*x^2 - 910*y^2 + 4666*z^2
; C3a (191/7702 : -8718/3851 : 1)  C4a (614798/75819 : 1383532/75819 : 1)
**u= 65/23 ; 536*x^2 - 2990*y^2 + 8986*z^2
; C3a (191/812 : 705/406 : 1)  C4a (-194/2543 : -1128/2543 : 1)
**u= 72 ; -5175*x^2 - 144*y^2 + 5193*z^2
; C3a (-48/65 : 211/52 : 1)  C4a (15/8 : -305/32 : 1)
**u= 72/13 ; -3663*x^2 - 1872*y^2 + 6705*z^2
; C3a (2/15 : 113/60 : 1)  C4a (34/21 : 229/84 : 1)
**u= 72/25 ; 441*x^2 - 3600*y^2 + 10809*z^2
; C3a (600/7 : -601/20 : 1)  C4a (0 : 7/20 : 1)
**u= 72/37 ; 7137*x^2 - 5328*y^2 + 17505*z^2
; C3a (934/231 : -4637/924 : 1)  C4a (1806/1991 : 16013/7964 : 1)
**u= 72/73 ; 42777*x^2 - 10512*y^2 + 53145*z^2
; C3a (29/336 : 433/192 : 1)  C4a (2639/1836 : -27979/7344 : 1)
**u= 72/85 ; 59841*x^2 - 12240*y^2 + 70209*z^2
; C3a (-766/339 : 7513/1356 : 1)  C4a (-481/114 : -4717/456 : 1)
**u= 72/97 ; 79497*x^2 - 13968*y^2 + 89865*z^2
; C3a (-408/77 : -361/28 : 1)  C4a (-132/229 : -2563/916 : 1)
**u= 73/8 ; -4753*x^2 - 1168*y^2 + 5905*z^2
; C3a (213/203 : -22/29 : 1)  C4a (427/141 : -917/141 : 1)
**u= 73/12 ; -4033*x^2 - 1752*y^2 + 6625*z^2
; C3a (-5/11 : 20/11 : 1)  C4a (11/5 : 4 : 1)
**u= 73/20 ; -1729*x^2 - 2920*y^2 + 8929*z^2
; C3a (903/583 : 746/583 : 1)  C4a (-43/7 : -75/7 : 1)
**u= 73/25 ; 296*x^2 - 3650*y^2 + 10954*z^2
; C3a (-157/68 : 63/34 : 1)  C4a (-17/125 : -231/625 : 1)
**u= 73/28 ; 1727*x^2 - 4088*y^2 + 12385*z^2
; C3a (2203/789 : 1984/789 : 1)  C4a (1165/941 : 2118/941 : 1)
**u= 73/32 ; 3887*x^2 - 4672*y^2 + 14545*z^2
; C3a (59/13 : -9/2 : 1)  C4a (-221/419 : -546/419 : 1)
**u= 73/41 ; 9800*x^2 - 5986*y^2 + 20458*z^2
; C3a (137/560 : -15/8 : 1)  C4a (-280/1647 : 2170/1647 : 1)
**u= 73/57 ; 23912*x^2 - 8322*y^2 + 34570*z^2
; C3a (953/35 : 231/5 : 1)  C4a (2107/971 : 4599/971 : 1)
**u= 73/65 ; 32696*x^2 - 9490*y^2 + 43354*z^2
; C3a (1841/4009 : -9225/4009 : 1)  C4a (931/2361 : 4813/2361 : 1)
**u= 73/80 ; 52271*x^2 - 11680*y^2 + 62929*z^2
; C3a (957/5837 : 13699/5837 : 1)  C4a (-427/297 : -2347/594 : 1)
**u= 73/88 ; 64367*x^2 - 12848*y^2 + 75025*z^2
; C3a (-31505/11714 : -303945/46856 : 1)  C4a (351/2177 : -4946/2177 : 1)
**u= 73/97 ; 79352*x^2 - 14162*y^2 + 90010*z^2
; C3a (-66361/13981 : -160989/13981 : 1)  C4a (3438/43 : 8668/43 : 1)
**u= 75 ; -5616*x^2 - 150*y^2 + 5634*z^2
; C3a (-5/6 : -17/5 : 1)  C4a (6/5 : -102/25 : 1)
**u= 75/14 ; -3861*x^2 - 2100*y^2 + 7389*z^2
; C3a (4/3 : 1/2 : 1)  C4a (3/4 : 3/8 : 1)
**u= 75/23 ; -864*x^2 - 3450*y^2 + 10386*z^2
; C3a (-17/6 : -1 : 1)  C4a (-6/17 : -6/17 : 1)
**u= 75/38 ; 7371*x^2 - 5700*y^2 + 18621*z^2
; C3a (-118/213 : -1359/710 : 1)  C4a (-93/17 : -846/85 : 1)
**u= 75/97 ; 79056*x^2 - 14550*y^2 + 90306*z^2
; C3a (-731/246 : -1509/205 : 1)  C4a (4434/1621 : -58374/8105 : 1)
**u= 78/23 ; -1323*x^2 - 3588*y^2 + 10845*z^2
; C3a (502/441 : 67/42 : 1)  C4a (399/682 : -1113/1364 : 1)
**u= 78/35 ; 4941*x^2 - 5460*y^2 + 17109*z^2
; C3a (179/24 : 117/16 : 1)  C4a (-12/47 : -99/94 : 1)
**u= 81 ; -6552*x^2 - 162*y^2 + 6570*z^2
; C3a (1 : 1/3 : 1)  C4a (1 : 1/3 : 1)
**u= 81/4 ; -6417*x^2 - 648*y^2 + 6705*z^2
; C3a (-1 : 2/3 : 1)  C4a (-1 : -2/3 : 1)
**u= 81/16 ; -4257*x^2 - 2592*y^2 + 8865*z^2
; C3a (-881/947 : -8033/5682 : 1)  C4a (-185/179 : -1523/1074 : 1)
**u= 81/25 ; -936*x^2 - 4050*y^2 + 12186*z^2
; C3a (-1 : -5/3 : 1)  C4a (1 : -5/3 : 1)
**u= 81/49 ; 15048*x^2 - 7938*y^2 + 28170*z^2
; C3a (67/16 : 1019/168 : 1)  C4a (-1 : -7/3 : 1)
**u= 81/52 ; 17775*x^2 - 8424*y^2 + 30897*z^2
; C3a (-383/305 : -484/183 : 1)  C4a (-865/929 : 6410/2787 : 1)
**u= 81/64 ; 30303*x^2 - 10368*y^2 + 43425*z^2
; C3a (25/41 : -565/246 : 1)  C4a (-101/55 : -545/132 : 1)
**u= 81/71 ; 38808*x^2 - 11502*y^2 + 51930*z^2
; C3a (3041/2142 : -1544/459 : 1)  C4a (-28/99 : -574/297 : 1)
**u= 81/76 ; 45423*x^2 - 12312*y^2 + 58545*z^2
; C3a (-2497/49 : -2056/21 : 1)  C4a (-35/41 : -329/123 : 1)
**u= 81/100 ; 83439*x^2 - 16200*y^2 + 96561*z^2
; C3a (727/181 : -25621/2715 : 1)  C4a (-1 : -10/3 : 1)
**u= 85/4 ; -7081*x^2 - 680*y^2 + 7369*z^2
; C3a (179/253 : -600/253 : 1)  C4a (-377/199 : -1062/199 : 1)
**u= 85/8 ; -6649*x^2 - 1360*y^2 + 7801*z^2
; C3a (-639/737 : 1058/737 : 1)  C4a (-7/6 : -41/24 : 1)
**u= 85/12 ; -5929*x^2 - 2040*y^2 + 8521*z^2
; C3a (-5923/8239 : 175/107 : 1)  C4a (329329/76157 : -660429/76157 : 1)
**u= 85/13 ; -5704*x^2 - 2210*y^2 + 8746*z^2
; C3a (7/6 : 2/3 : 1)  C4a (4874/5953 : -1596/5953 : 1)
**u= 85/21 ; -3256*x^2 - 3570*y^2 + 11194*z^2
; C3a (-59/32 : -3/16 : 1)  C4a (-359/467 : -453/467 : 1)
**u= 85/24 ; -2041*x^2 - 4080*y^2 + 12409*z^2
; C3a (-19/8 : 15/32 : 1)  C4a (217/409 : 244/409 : 1)
**u= 85/28 ; -169*x^2 - 4760*y^2 + 14281*z^2
; C3a (-1159/403 : 51/31 : 1)  C4a (533/3611 : -624/3611 : 1)
**u= 85/37 ; 5096*x^2 - 6290*y^2 + 19546*z^2
; C3a (13063/2884 : -915/206 : 1)  C4a (-239932/130771 : 439026/130771 : 1)
**u= 85/44 ; 10199*x^2 - 7480*y^2 + 24649*z^2
; C3a (13973/5189 : 18840/5189 : 1)  C4a (20711/48827 : -435/311 : 1)
**u= 85/48 ; 13511*x^2 - 8160*y^2 + 27961*z^2
; C3a (-889/377 : 1340/377 : 1)  C4a (1027/5939 : -7875/5939 : 1)
**u= 85/53 ; 18056*x^2 - 9010*y^2 + 32506*z^2
; C3a (3/209 : -397/209 : 1)  C4a (-712/4429 : 6414/4429 : 1)
**u= 85/61 ; 26264*x^2 - 10370*y^2 + 40714*z^2
; C3a (-1447/1386 : -256/99 : 1)  C4a (693/1259 : 2429/1259 : 1)
**u= 85/64 ; 29639*x^2 - 10880*y^2 + 44089*z^2
; C3a (-29641/3083 : 197259/12332 : 1)  C4a (-15533/30529 : 237207/122116 : 1)
**u= 85/69 ; 35624*x^2 - 11730*y^2 + 50074*z^2
; C3a (38983/19916 : -39713/9958 : 1)  C4a (254404/50647 : 532990/50647 : 1)
**u= 85/72 ; 39431*x^2 - 12240*y^2 + 53881*z^2
; C3a (10698/31 : 230417/372 : 1)  C4a (97/54 : 2705/648 : 1)
**u= 85/76 ; 44759*x^2 - 12920*y^2 + 59209*z^2
; C3a (65687/11309 : -124635/11309 : 1)  C4a (65397/13489 : 142231/13489 : 1)
**u= 85/77 ; 46136*x^2 - 13090*y^2 + 60586*z^2
; C3a (-64893/5779 : -122461/5779 : 1)  C4a (-1154/43 : -2484/43 : 1)
**u= 85/84 ; 56279*x^2 - 14280*y^2 + 70729*z^2
; C3a (-10567/73531 : 164985/73531 : 1)  C4a (-751/2273 : -4812/2273 : 1)
**u= 85/92 ; 68951*x^2 - 15640*y^2 + 83401*z^2
; C3a (-10161/133 : 1123/7 : 1)  C4a (-17993/89431 : -192318/89431 : 1)
**u= 85/93 ; 70616*x^2 - 15810*y^2 + 85066*z^2
; C3a (53467/21599 : 123607/21599 : 1)  C4a (-7478/3341 : 18728/3341 : 1)
**u= 87/2 ; -7533*x^2 - 348*y^2 + 7605*z^2
; C3a (-91/135 : -52/15 : 1)  C4a (18/13 : 9/2 : 1)
**u= 87/13 ; -6048*x^2 - 2262*y^2 + 9090*z^2
; C3a (1/12 : 2 : 1)  C4a (-12 : -24 : 1)
**u= 87/35 ; 3456*x^2 - 6090*y^2 + 18594*z^2
; C3a (199/396 : -59/33 : 1)  C4a (-9816/3271 : -17328/3271 : 1)
**u= 87/38 ; 5427*x^2 - 6612*y^2 + 20565*z^2
; C3a (-1256/21 : 759/14 : 1)  C4a (69/596 : 1107/1192 : 1)
**u= 87/62 ; 27027*x^2 - 10788*y^2 + 42165*z^2
; C3a (334/255 : -487/170 : 1)  C4a (-9573/9418 : -48183/18836 : 1)
**u= 87/83 ; 54432*x^2 - 14442*y^2 + 69570*z^2
; C3a (-347/1728 : -107/48 : 1)  C4a (-432/979 : -2124/979 : 1)
**u= 87/98 ; 78867*x^2 - 17052*y^2 + 94005*z^2
; C3a (1243/570 : 1993/380 : 1)  C4a (-285/89 : 696/89 : 1)
**u= 89/15 ; -5896*x^2 - 2670*y^2 + 9946*z^2
; C3a (-43/38 : -18/19 : 1)  C4a (38/43 : 36/43 : 1)
**u= 89/31 ; 728*x^2 - 5518*y^2 + 16570*z^2
; C3a (3607/538 : 804/269 : 1)  C4a (7366/12729 : -13576/12729 : 1)
**u= 89/63 ; 27800*x^2 - 11214*y^2 + 43642*z^2
; C3a (867/820 : -635/246 : 1)  C4a (-7820/22821 : 117310/68463 : 1)
**u= 97/8 ; -8833*x^2 - 1552*y^2 + 9985*z^2
; C3a (-697/671 : -33/61 : 1)  C4a (4675/1291 : -11451/1291 : 1)
**u= 97/12 ; -8113*x^2 - 2328*y^2 + 10705*z^2
; C3a (5467/6505 : -9509/6505 : 1)  C4a (-151/121 : -232/121 : 1)
**u= 97/17 ; -6808*x^2 - 3298*y^2 + 12010*z^2
; C3a (-4737/3916 : 1543/1958 : 1)  C4a (5665/1373 : -10629/1373 : 1)
**u= 97/20 ; -5809*x^2 - 3880*y^2 + 13009*z^2
; C3a (5219/3619 : 1770/3619 : 1)  C4a (47/33 : -76/33 : 1)
**u= 97/24 ; -4225*x^2 - 4656*y^2 + 14593*z^2
; C3a (241/130 : -1/8 : 1)  C4a (9490/17327 : 12545/69308 : 1)
**u= 97/25 ; -3784*x^2 - 4850*y^2 + 15034*z^2
; C3a (1493/1007 : 1185/1007 : 1)  C4a (-63/125 : 53/625 : 1)
**u= 97/32 ; -193*x^2 - 6208*y^2 + 18625*z^2
; C3a (-5/13 : -45/26 : 1)  C4a (293/635 : -99/127 : 1)
**u= 97/40 ; 4991*x^2 - 7760*y^2 + 23809*z^2
; C3a (5426/1781 : -21417/7124 : 1)  C4a (-12647/38 : -88611/152 : 1)
**u= 97/48 ; 11327*x^2 - 9312*y^2 + 30145*z^2
; C3a (4957/847 : 11351/1694 : 1)  C4a (5683/4663 : -22891/9326 : 1)
**u= 97/57 ; 19832*x^2 - 11058*y^2 + 38650*z^2
; C3a (127/310 : 302/155 : 1)  C4a (1678/24485 : -6588/4897 : 1)
**u= 97/60 ; 22991*x^2 - 11640*y^2 + 41809*z^2
; C3a (-32453/32347 : -76410/32347 : 1)  C4a (-337/527 : -978/527 : 1)
**u= 97/73 ; 38552*x^2 - 14162*y^2 + 57370*z^2
; C3a (1117/5205 : -10637/5205 : 1)  C4a (-19/127 : -213/127 : 1)
**u= 97/76 ; 42575*x^2 - 14744*y^2 + 61393*z^2
; C3a (-46313/28035 : -19459/5607 : 1)  C4a (115/493 : -30/17 : 1)
**u= 97/92 ; 66767*x^2 - 17848*y^2 + 85585*z^2
; C3a (1031/1859 : -4533/1859 : 1)  C4a (95/141 : 343/141 : 1)
**u= 100 ; -9991*x^2 - 200*y^2 + 10009*z^2
; C3a (-1 : -3/10 : 1)  C4a (-303/97 : -20309/970 : 1)
**u= 100/9 ; -9271*x^2 - 1800*y^2 + 10729*z^2
; C3a (-1 : -9/10 : 1)  C4a (273/127 : 18029/3810 : 1)
**u= 100/17 ; -7399*x^2 - 3400*y^2 + 12601*z^2
; C3a (15/49 : 131/70 : 1)  C4a (-49/15 : -917/150 : 1)
**u= 100/33 ; -199*x^2 - 6600*y^2 + 19801*z^2
; C3a (295/31 : 161/310 : 1)  C4a (-305/289 : 5259/2890 : 1)
**u= 100/49 ; 11609*x^2 - 9800*y^2 + 31609*z^2
; C3a (-217/73 : 18909/5110 : 1)  C4a (-153/247 : -26909/17290 : 1)
**u= 100/53 ; 15281*x^2 - 10600*y^2 + 35281*z^2
; C3a (2205/1039 : -32561/10390 : 1)  C4a (395/16719 : -200869/167190 : 1)
**u= 100/57 ; 19241*x^2 - 11400*y^2 + 39241*z^2
; C3a (205/53 : 2839/530 : 1)  C4a (-48511/12023 : 182697/24046 : 1)
**u= 100/77 ; 43361*x^2 - 15400*y^2 + 63361*z^2
; C3a (57375/2243 : -963821/22430 : 1)  C4a (-44635/2489 : 906333/24890 : 1)
**u= 100/81 ; 49049*x^2 - 16200*y^2 + 69049*z^2
; C3a (-19/21 : -701/270 : 1)  C4a (-4403/3629 : 66409/21774 : 1)
307
>

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[2026.05.24追記]u=4/9,4/25のときの整数解を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.24
H.Nakao

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