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Integer Points on A^4+B^4=C^4+D^4

[2026.05.15]A^4+B^4=C^4+D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=1とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが100以下の範囲で、２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように432個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(1,1,100);
**u= 1/4 ; 15*x^2 - 8*y^2 + 17*z^2
; C3a (1 : -2 : 1)  C4a (1 : 2 : 1)
**u= 1/7 ; 48*x^2 - 14*y^2 + 50*z^2
; C3a (-5/2 : 5 : 1)  C4a (-82/145 : 62/29 : 1)
**u= 1/9 ; 80*x^2 - 18*y^2 + 82*z^2
; C3a (2/3 : 23/9 : 1)  C4a (-3/2 : 23/6 : 1)
**u= 1/15 ; 224*x^2 - 30*y^2 + 226*z^2
; C3a (23/32 : -27/8 : 1)  C4a (-92/37 : 272/37 : 1)
**u= 1/16 ; 255*x^2 - 32*y^2 + 257*z^2
; C3a (-1 : 4 : 1)  C4a (-19/15 : -137/30 : 1)
**u= 1/24 ; 575*x^2 - 48*y^2 + 577*z^2
; C3a (1/2 : 31/8 : 1)  C4a (-25/7 : 90/7 : 1)
**u= 1/25 ; 624*x^2 - 50*y^2 + 626*z^2
; C3a (-54/23 : 1037/115 : 1)  C4a (-49/24 : 193/24 : 1)
**u= 1/36 ; 1295*x^2 - 72*y^2 + 1297*z^2
; C3a (-251/33 : -3221/99 : 1)  C4a (39/35 : 667/105 : 1)
**u= 1/39 ; 1520*x^2 - 78*y^2 + 1522*z^2
; C3a (55/62 : 183/31 : 1)  C4a (14 : -62 : 1)
**u= 1/40 ; 1599*x^2 - 80*y^2 + 1601*z^2
; C3a (-283/37 : 1276/37 : 1)  C4a (127/7 : -569/7 : 1)
**u= 1/49 ; 2400*x^2 - 98*y^2 + 2402*z^2
; C3a (-14/5 : 103/7 : 1)  C4a (-20/9 : 760/63 : 1)
**u= 1/64 ; 4095*x^2 - 128*y^2 + 4097*z^2
; C3a (-29/9 : 229/12 : 1)  C4a (23/87 : -509/87 : 1)
**u= 1/71 ; 5040*x^2 - 142*y^2 + 5042*z^2
; C3a (43/114 : -121/19 : 1)  C4a (-246/251 : -2094/251 : 1)
**u= 1/79 ; 6240*x^2 - 158*y^2 + 6242*z^2
; C3a (-75/4 : 118 : 1)  C4a (88/9 : 556/9 : 1)
**u= 1/81 ; 6560*x^2 - 162*y^2 + 6562*z^2
; C3a (-8/27 : -1613/243 : 1)  C4a (1 : -9 : 1)
**u= 1/84 ; 7055*x^2 - 168*y^2 + 7057*z^2
; C3a (-557/109 : -3678/109 : 1)  C4a (-4927/491 : -32091/491 : 1)
**u= 1/89 ; 7920*x^2 - 178*y^2 + 7922*z^2
; C3a (80/9 : 179/3 : 1)  C4a (21/110 : 747/110 : 1)
**u= 1/100 ; 9999*x^2 - 200*y^2 + 10001*z^2
; C3a (-59/53 : 2804/265 : 1)  C4a (1 : -10 : 1)
**u= 4 ; -15*x^2 - 8*y^2 + 17*z^2
; C3a (-33/31 : 1/62 : 1)  C4a (-31/33 : -1/66 : 1)
**u= 4/5 ; 9*x^2 - 40*y^2 + 41*z^2
; C3a (-11/9 : 7/6 : 1)  C4a (3/7 : 9/14 : 1)
**u= 4/9 ; 65*x^2 - 72*y^2 + 97*z^2
; C3a (5/21 : -149/126 : 1)  C4a (1 : -3/2 : 1)
**u= 4/21 ; 425*x^2 - 168*y^2 + 457*z^2
; C3a (19/23 : 97/46 : 1)  C4a (23/19 : -97/38 : 1)
**u= 4/25 ; 609*x^2 - 200*y^2 + 641*z^2
; C3a (-1 : 5/2 : 1)  C4a (-461/427 : -11119/4270 : 1)
**u= 4/41 ; 1665*x^2 - 328*y^2 + 1697*z^2
; C3a (-307/717 : -1181/478 : 1)  C4a (-21/61 : 291/122 : 1)
**u= 4/49 ; 2385*x^2 - 392*y^2 + 2417*z^2
; C3a (1 : 7/2 : 1)  C4a (417/319 : 2601/638 : 1)
**u= 4/69 ; 4745*x^2 - 552*y^2 + 4777*z^2
; C3a (359/83 : 2161/166 : 1)  C4a (-709/809 : 6317/1618 : 1)
**u= 4/81 ; 6545*x^2 - 648*y^2 + 6577*z^2
; C3a (-1 : 9/2 : 1)  C4a (-1 : -9/2 : 1)
**u= 5/3 ; -16*x^2 - 30*y^2 + 34*z^2
; C3a (-1/2 : 1 : 1)  C4a (-62/59 : 50/59 : 1)
**u= 5/4 ; -9*x^2 - 40*y^2 + 41*z^2
; C3a (-49/33 : 8/11 : 1)  C4a (-33/49 : 24/49 : 1)
**u= 5/8 ; 39*x^2 - 80*y^2 + 89*z^2
; C3a (-79/17 : -58/17 : 1)  C4a (-41/33 : 49/33 : 1)
**u= 5/11 ; 96*x^2 - 110*y^2 + 146*z^2
; C3a (93/104 : -37/26 : 1)  C4a (56/23 : 68/23 : 1)
**u= 5/12 ; 119*x^2 - 120*y^2 + 169*z^2
; C3a (377/89 : -390/89 : 1)  C4a (1/13 : -1 : 1)
**u= 5/13 ; 144*x^2 - 130*y^2 + 194*z^2
; C3a (-46/33 : 21/11 : 1)  C4a (-9/17 : -21/17 : 1)
**u= 5/21 ; 416*x^2 - 210*y^2 + 466*z^2
; C3a (1/8 : 3/2 : 1)  C4a (67/11 : 101/11 : 1)
**u= 5/24 ; 551*x^2 - 240*y^2 + 601*z^2
; C3a (1/103 : -163/103 : 1)  C4a (-43/29 : -81/29 : 1)
**u= 5/29 ; 816*x^2 - 290*y^2 + 866*z^2
; C3a (21/37 : -73/37 : 1)  C4a (-23/6 : 41/6 : 1)
**u= 5/32 ; 999*x^2 - 320*y^2 + 1049*z^2
; C3a (46/33 : -269/88 : 1)  C4a (-1/7 : -25/14 : 1)
**u= 5/36 ; 1271*x^2 - 360*y^2 + 1321*z^2
; C3a (-21/43 : 274/129 : 1)  C4a (-169/7 : 324/7 : 1)
**u= 5/48 ; 2279*x^2 - 480*y^2 + 2329*z^2
; C3a (361/1447 : -3283/1447 : 1)  C4a (-143/109 : 789/218 : 1)
**u= 5/59 ; 3456*x^2 - 590*y^2 + 3506*z^2
; C3a (-41/1752 : 178/73 : 1)  C4a (48/11 : 120/11 : 1)
**u= 5/68 ; 4599*x^2 - 680*y^2 + 4649*z^2
; C3a (31/3 : -27 : 1)  C4a (8097/2929 : -22500/2929 : 1)
**u= 5/69 ; 4736*x^2 - 690*y^2 + 4786*z^2
; C3a (-569/443 : -1893/443 : 1)  C4a (112/89 : -376/89 : 1)
**u= 5/76 ; 5751*x^2 - 760*y^2 + 5801*z^2
; C3a (-1397/9 : 427 : 1)  C4a (4059/1247 : 11727/1247 : 1)
**u= 5/84 ; 7031*x^2 - 840*y^2 + 7081*z^2
; C3a (-83/419 : -1240/419 : 1)  C4a (-13/29 : -92/29 : 1)
**u= 5/93 ; 8624*x^2 - 930*y^2 + 8674*z^2
; C3a (-116/287 : -135/41 : 1)  C4a (287/194 : 1057/194 : 1)
**u= 5/96 ; 9191*x^2 - 960*y^2 + 9241*z^2
; C3a (-11/8 : 337/64 : 1)  C4a (-4463/79 : 13849/79 : 1)
**u= 5/99 ; 9776*x^2 - 990*y^2 + 9826*z^2
; C3a (-17/6 : -85/9 : 1)  C4a (-874/17 : -162 : 1)
**u= 8/5 ; -39*x^2 - 80*y^2 + 89*z^2
; C3a (22/17 : -37/68 : 1)  C4a (34/49 : -43/196 : 1)
**u= 8/17 ; 225*x^2 - 272*y^2 + 353*z^2
; C3a (31/20 : -29/16 : 1)  C4a (5/56 : 205/224 : 1)
**u= 8/33 ; 1025*x^2 - 528*y^2 + 1153*z^2
; C3a (-56/65 : 99/52 : 1)  C4a (52/41 : 383/164 : 1)
**u= 8/37 ; 1305*x^2 - 592*y^2 + 1433*z^2
; C3a (19/18 : -53/24 : 1)  C4a (18/19 : -159/76 : 1)
**u= 8/45 ; 1961*x^2 - 720*y^2 + 2089*z^2
; C3a (2/3 : 73/36 : 1)  C4a (-3/2 : -73/24 : 1)
**u= 8/53 ; 2745*x^2 - 848*y^2 + 2873*z^2
; C3a (-169/434 : -3419/1736 : 1)  C4a (333/598 : 381/184 : 1)
**u= 8/57 ; 3185*x^2 - 912*y^2 + 3313*z^2
; C3a (-97/644 : 709/368 : 1)  C4a (3136/1255 : -25683/5020 : 1)
**u= 8/65 ; 4161*x^2 - 1040*y^2 + 4289*z^2
; C3a (-9/4 : 79/16 : 1)  C4a (4/9 : -79/36 : 1)
**u= 8/73 ; 5265*x^2 - 1168*y^2 + 5393*z^2
; C3a (64/9 : 61/4 : 1)  C4a (-8784/10609 : -117549/42436 : 1)
**u= 8/93 ; 8585*x^2 - 1488*y^2 + 8713*z^2
; C3a (1306/97 : -12583/388 : 1)  C4a (86/551 : -5359/2204 : 1)
**u= 9 ; -80*x^2 - 18*y^2 + 82*z^2
; C3a (-10/11 : 31/33 : 1)  C4a (11/10 : 31/30 : 1)
**u= 9/4 ; -65*x^2 - 72*y^2 + 97*z^2
; C3a (-1 : -2/3 : 1)  C4a (-179/193 : 293/579 : 1)
**u= 9/16 ; 175*x^2 - 288*y^2 + 337*z^2
; C3a (-1 : 4/3 : 1)  C4a (25/19 : -185/114 : 1)
**u= 9/25 ; 544*x^2 - 450*y^2 + 706*z^2
; C3a (-61/32 : -293/120 : 1)  C4a (1 : -5/3 : 1)
**u= 9/31 ; 880*x^2 - 558*y^2 + 1042*z^2
; C3a (-17/14 : -43/21 : 1)  C4a (38/7 : 158/21 : 1)
**u= 9/40 ; 1519*x^2 - 720*y^2 + 1681*z^2
; C3a (41/49 : 41/21 : 1)  C4a (77/82 : -49/24 : 1)
**u= 9/41 ; 1600*x^2 - 738*y^2 + 1762*z^2
; C3a (-37/45 : -53/27 : 1)  C4a (33/8 : 157/24 : 1)
**u= 9/44 ; 1855*x^2 - 792*y^2 + 2017*z^2
; C3a (-3/19 : -92/57 : 1)  C4a (247/27 : -1189/81 : 1)
**u= 9/49 ; 2320*x^2 - 882*y^2 + 2482*z^2
; C3a (1/11 : -389/231 : 1)  C4a (1 : -7/3 : 1)
**u= 9/55 ; 2944*x^2 - 990*y^2 + 3106*z^2
; C3a (-43/32 : 35/12 : 1)  C4a (-64/31 : -376/93 : 1)
**u= 9/56 ; 3055*x^2 - 1008*y^2 + 3217*z^2
; C3a (15/92 : 1997/1104 : 1)  C4a (24/199 : 4189/2388 : 1)
**u= 9/64 ; 4015*x^2 - 1152*y^2 + 4177*z^2
; C3a (-1355/1601 : -47537/19212 : 1)  C4a (1 : 8/3 : 1)
**u= 9/65 ; 4144*x^2 - 1170*y^2 + 4306*z^2
; C3a (23/3 : 131/9 : 1)  C4a (-587/258 : 3679/774 : 1)
**u= 9/76 ; 5695*x^2 - 1368*y^2 + 5857*z^2
; C3a (1243/2953 : 19847/8859 : 1)  C4a (-13/25 : -173/75 : 1)
**u= 9/80 ; 6319*x^2 - 1440*y^2 + 6481*z^2
; C3a (-87/23 : 566/69 : 1)  C4a (-261/59 : 1702/177 : 1)
**u= 9/88 ; 7663*x^2 - 1584*y^2 + 7825*z^2
; C3a (-205/37 : -1375/111 : 1)  C4a (251/955 : -1304/573 : 1)
**u= 9/89 ; 7840*x^2 - 1602*y^2 + 8002*z^2
; C3a (129/49 : 131/21 : 1)  C4a (168/257 : -2044/771 : 1)
**u= 9/100 ; 9919*x^2 - 1800*y^2 + 10081*z^2
; C3a (-691/73 : -24469/1095 : 1)  C4a (127/91 : 5531/1365 : 1)
**u= 13/3 ; -160*x^2 - 78*y^2 + 178*z^2
; C3a (103/148 : 42/37 : 1)  C4a (-8 : -12 : 1)
**u= 13/5 ; -144*x^2 - 130*y^2 + 194*z^2
; C3a (193/393 : -145/131 : 1)  C4a (-3/2 : 3/2 : 1)
**u= 13/12 ; -25*x^2 - 312*y^2 + 313*z^2
; C3a (-389/395 : 76/79 : 1)  C4a (-395/389 : 380/389 : 1)
**u= 13/16 ; 87*x^2 - 416*y^2 + 425*z^2
; C3a (-635/133 : 320/133 : 1)  C4a (1/5 : 1/2 : 1)
**u= 13/27 ; 560*x^2 - 702*y^2 + 898*z^2
; C3a (35/58 : 109/87 : 1)  C4a (94/37 : 334/111 : 1)
**u= 13/28 ; 615*x^2 - 728*y^2 + 953*z^2
; C3a (-165/59 : -166/59 : 1)  C4a (-1201/339 : 1409/339 : 1)
**u= 13/32 ; 855*x^2 - 832*y^2 + 1193*z^2
; C3a (-251/123 : -98/41 : 1)  C4a (-2199/1550 : -24531/12400 : 1)
**u= 13/37 ; 1200*x^2 - 962*y^2 + 1538*z^2
; C3a (99/25 : 23/5 : 1)  C4a (-55/93 : 125/93 : 1)
**u= 13/45 ; 1856*x^2 - 1170*y^2 + 2194*z^2
; C3a (-3/2 : 7/3 : 1)  C4a (2/3 : 14/9 : 1)
**u= 13/48 ; 2135*x^2 - 1248*y^2 + 2473*z^2
; C3a (-241/251 : -947/502 : 1)  C4a (263/11 : -741/22 : 1)
**u= 13/59 ; 3312*x^2 - 1534*y^2 + 3650*z^2
; C3a (55/1302 : 335/217 : 1)  C4a (318/95 : 102/19 : 1)
**u= 13/60 ; 3431*x^2 - 1560*y^2 + 3769*z^2
; C3a (67/127 : 221/127 : 1)  C4a (-43/3647 : 5409/3647 : 1)
**u= 13/67 ; 4320*x^2 - 1742*y^2 + 4658*z^2
; C3a (-3481/2208 : 547/184 : 1)  C4a (-368/33 : 604/33 : 1)
**u= 13/68 ; 4455*x^2 - 1768*y^2 + 4793*z^2
; C3a (-355/3789 : -696/421 : 1)  C4a (6219/779 : 10314/779 : 1)
**u= 13/77 ; 5760*x^2 - 2002*y^2 + 6098*z^2
; C3a (-293/48 : 21/2 : 1)  C4a (54/23 : 102/23 : 1)
**u= 13/84 ; 6887*x^2 - 2184*y^2 + 7225*z^2
; C3a (-425/2347 : -4335/2347 : 1)  C4a (-43/85 : -2 : 1)
**u= 13/85 ; 7056*x^2 - 2210*y^2 + 7394*z^2
; C3a (-1018/903 : 117/43 : 1)  C4a (-399/1606 : -2961/1606 : 1)
**u= 13/88 ; 7575*x^2 - 2288*y^2 + 7913*z^2
; C3a (-7/4 : 59/16 : 1)  C4a (-4/7 : 59/28 : 1)
**u= 13/93 ; 8480*x^2 - 2418*y^2 + 8818*z^2
; C3a (721/256 : 359/64 : 1)  C4a (-304/1091 : -2124/1091 : 1)
**u= 13/100 ; 9831*x^2 - 2600*y^2 + 10169*z^2
; C3a (10135/2341 : -101221/11705 : 1)  C4a (-1655/253 : -16549/1265 : 1)
**u= 16 ; -255*x^2 - 32*y^2 + 257*z^2
; C3a (-513/511 : 1/2044 : 1)  C4a (-511/513 : -1/2052 : 1)
**u= 16/9 ; -175*x^2 - 288*y^2 + 337*z^2
; C3a (1 : 3/4 : 1)  C4a (75/67 : 745/804 : 1)
**u= 16/13 ; -87*x^2 - 416*y^2 + 425*z^2
; C3a (-15/11 : 35/44 : 1)  C4a (17/35 : 5/28 : 1)
**u= 16/21 ; 185*x^2 - 672*y^2 + 697*z^2
; C3a (253 : 531/4 : 1)  C4a (11/25 : -69/100 : 1)
**u= 16/25 ; 369*x^2 - 800*y^2 + 881*z^2
; C3a (-349/243 : 2321/1620 : 1)  C4a (-1 : 5/4 : 1)
**u= 16/29 ; 585*x^2 - 928*y^2 + 1097*z^2
; C3a (131/159 : 269/212 : 1)  C4a (21/79 : 267/316 : 1)
**u= 16/45 ; 1769*x^2 - 1440*y^2 + 2281*z^2
; C3a (-131/49 : 631/196 : 1)  C4a (83/7 : -419/28 : 1)
**u= 16/49 ; 2145*x^2 - 1568*y^2 + 2657*z^2
; C3a (1 : -7/4 : 1)  C4a (1 : 7/4 : 1)
**u= 16/65 ; 3969*x^2 - 2080*y^2 + 4481*z^2
; C3a (-1249/441 : 117/28 : 1)  C4a (-567/47 : -3339/188 : 1)
**u= 16/81 ; 6305*x^2 - 2592*y^2 + 6817*z^2
; C3a (-12935/12609 : -1034101/453924 : 1)  C4a (129/65 : 8369/2340 : 1)
**u= 16/85 ; 6969*x^2 - 2720*y^2 + 7481*z^2
; C3a (-123/47 : -847/188 : 1)  C4a (-7/27 : 179/108 : 1)
**u= 17/8 ; -225*x^2 - 272*y^2 + 353*z^2
; C3a (28/27 : 23/36 : 1)  C4a (5/3 : -5/3 : 1)
**u= 17/12 ; -145*x^2 - 408*y^2 + 433*z^2
; C3a (-193/143 : 92/143 : 1)  C4a (407/667 : -133/667 : 1)
**u= 17/15 ; -64*x^2 - 510*y^2 + 514*z^2
; C3a (-1/4 : 1 : 1)  C4a (-2044/1019 : 2020/1019 : 1)
**u= 17/23 ; 240*x^2 - 782*y^2 + 818*z^2
; C3a (5039/278 : -1403/139 : 1)  C4a (-2/25 : -14/25 : 1)
**u= 17/44 ; 1647*x^2 - 1496*y^2 + 2225*z^2
; C3a (-25/393 : -160/131 : 1)  C4a (-19/25 : -7/5 : 1)
**u= 17/47 ; 1920*x^2 - 1598*y^2 + 2498*z^2
; C3a (-789/856 : 172/107 : 1)  C4a (-536/1579 : -1856/1579 : 1)
**u= 17/48 ; 2015*x^2 - 1632*y^2 + 2593*z^2
; C3a (-13 : -29/2 : 1)  C4a (23/41 : 54/41 : 1)
**u= 17/55 ; 2736*x^2 - 1870*y^2 + 3314*z^2
; C3a (467/138 : 99/23 : 1)  C4a (702/5777 : -7050/5777 : 1)
**u= 17/56 ; 2847*x^2 - 1904*y^2 + 3425*z^2
; C3a (-15/8 : 85/32 : 1)  C4a (-37/5 : -10 : 1)
**u= 17/63 ; 3680*x^2 - 2142*y^2 + 4258*z^2
; C3a (-967/76 : 318/19 : 1)  C4a (-2008/127 : -2836/127 : 1)
**u= 17/73 ; 5040*x^2 - 2482*y^2 + 5618*z^2
; C3a (4081/591 : 1961/197 : 1)  C4a (33/106 : 3/2 : 1)
**u= 17/80 ; 6111*x^2 - 2720*y^2 + 6689*z^2
; C3a (269/471 : -561/314 : 1)  C4a (-67/47 : -253/94 : 1)
**u= 17/81 ; 6272*x^2 - 2754*y^2 + 6850*z^2
; C3a (75/448 : 115/72 : 1)  C4a (-14/5 : 14/3 : 1)
**u= 17/87 ; 7280*x^2 - 2958*y^2 + 7858*z^2
; C3a (-241/386 : -367/193 : 1)  C4a (-178/83 : -318/83 : 1)
**u= 17/92 ; 8175*x^2 - 3128*y^2 + 8753*z^2
; C3a (49/43 : -107/43 : 1)  C4a (5999/349 : 10051/349 : 1)
**u= 17/100 ; 9711*x^2 - 3400*y^2 + 10289*z^2
; C3a (-643/345 : 2069/575 : 1)  C4a (879/785 : 10122/3925 : 1)
**u= 20/21 ; 41*x^2 - 840*y^2 + 841*z^2
; C3a (1247 : 551/2 : 1)  C4a (13/29 : -1/2 : 1)
**u= 20/29 ; 441*x^2 - 1160*y^2 + 1241*z^2
; C3a (-19/77 : -23/22 : 1)  C4a (77/309 : -413/618 : 1)
**u= 20/33 ; 689*x^2 - 1320*y^2 + 1489*z^2
; C3a (-157/41 : 243/82 : 1)  C4a (673/101 : 1437/202 : 1)
**u= 20/41 ; 1281*x^2 - 1640*y^2 + 2081*z^2
; C3a (6261/767 : 11201/1534 : 1)  C4a (-4121/963 : 9439/1926 : 1)
**u= 20/53 ; 2409*x^2 - 2120*y^2 + 3209*z^2
; C3a (1459/293 : -3193/586 : 1)  C4a (-29/77 : -179/154 : 1)
**u= 20/77 ; 5529*x^2 - 3080*y^2 + 6329*z^2
; C3a (-2789/907 : -7913/1814 : 1)  C4a (-341977/33321 : -984493/66642 : 1)
**u= 20/81 ; 6161*x^2 - 3240*y^2 + 6961*z^2
; C3a (-1633/949 : -15881/5694 : 1)  C4a (1/3 : 79/54 : 1)
**u= 20/93 ; 8249*x^2 - 3720*y^2 + 9049*z^2
; C3a (1253/571 : 4135/1142 : 1)  C4a (2093/2651 : 10245/5302 : 1)
**u= 20/97 ; 9009*x^2 - 3880*y^2 + 9809*z^2
; C3a (71/123 : 149/82 : 1)  C4a (933/1321 : -5001/2642 : 1)
**u= 25 ; -624*x^2 - 50*y^2 + 626*z^2
; C3a (-78/79 : 47/79 : 1)  C4a (79/78 : 47/78 : 1)
**u= 25/4 ; -609*x^2 - 200*y^2 + 641*z^2
; C3a (1 : 2/5 : 1)  C4a (-79/21 : -683/105 : 1)
**u= 25/7 ; -576*x^2 - 350*y^2 + 674*z^2
; C3a (-47/180 : 101/75 : 1)  C4a (4/3 : 4/3 : 1)
**u= 25/9 ; -544*x^2 - 450*y^2 + 706*z^2
; C3a (1 : -3/5 : 1)  C4a (-52/43 : -224/215 : 1)
**u= 25/12 ; -481*x^2 - 600*y^2 + 769*z^2
; C3a (7/25 : -138/125 : 1)  C4a (41/5 : -231/25 : 1)
**u= 25/16 ; -369*x^2 - 800*y^2 + 881*z^2
; C3a (-1 : 4/5 : 1)  C4a (1 : 4/5 : 1)
**u= 25/24 ; -49*x^2 - 1200*y^2 + 1201*z^2
; C3a (-61/14 : -19/40 : 1)  C4a (-14/61 : -133/1220 : 1)
**u= 25/28 ; 159*x^2 - 1400*y^2 + 1409*z^2
; C3a (33/5 : -61/25 : 1)  C4a (5/33 : 61/165 : 1)
**u= 25/33 ; 464*x^2 - 1650*y^2 + 1714*z^2
; C3a (10 : 27/5 : 1)  C4a (-103/4 : -105/4 : 1)
**u= 25/36 ; 671*x^2 - 1800*y^2 + 1921*z^2
; C3a (-277/111 : 613/333 : 1)  C4a (-39/61 : -823/915 : 1)
**u= 25/49 ; 1776*x^2 - 2450*y^2 + 3026*z^2
; C3a (1 : 7/5 : 1)  C4a (-1 : -7/5 : 1)
**u= 25/56 ; 2511*x^2 - 2800*y^2 + 3761*z^2
; C3a (121/72 : 63/32 : 1)  C4a (153/167 : -1188/835 : 1)
**u= 25/64 ; 3471*x^2 - 3200*y^2 + 4721*z^2
; C3a (-291/521 : -14033/10420 : 1)  C4a (1 : 8/5 : 1)
**u= 25/79 ; 5616*x^2 - 3950*y^2 + 6866*z^2
; C3a (41/38 : 35/19 : 1)  C4a (38/41 : 70/41 : 1)
**u= 25/81 ; 5936*x^2 - 4050*y^2 + 7186*z^2
; C3a (-662/741 : -11443/6669 : 1)  C4a (-1 : -9/5 : 1)
**u= 25/84 ; 6431*x^2 - 4200*y^2 + 7681*z^2
; C3a (449 : -2778/5 : 1)  C4a (127/43 : 899/215 : 1)
**u= 25/88 ; 7119*x^2 - 4400*y^2 + 8369*z^2
; C3a (-83/5 : -529/25 : 1)  C4a (-450/551 : 18723/11020 : 1)
**u= 29/3 ; -832*x^2 - 174*y^2 + 850*z^2
; C3a (-25/68 : -35/17 : 1)  C4a (-44/35 : -12/7 : 1)
**u= 29/5 ; -816*x^2 - 290*y^2 + 866*z^2
; C3a (-62/77 : -83/77 : 1)  C4a (-107/108 : 37/108 : 1)
**u= 29/16 ; -585*x^2 - 928*y^2 + 1097*z^2
; C3a (-193/141 : -3/94 : 1)  C4a (-141/193 : 9/386 : 1)
**u= 29/20 ; -441*x^2 - 1160*y^2 + 1241*z^2
; C3a (-3/7 : 1 : 1)  C4a (-49/79 : -14/79 : 1)
**u= 29/21 ; -400*x^2 - 1218*y^2 + 1282*z^2
; C3a (-127/71 : -3/71 : 1)  C4a (2035/1129 : -1985/1129 : 1)
**u= 29/35 ; 384*x^2 - 2030*y^2 + 2066*z^2
; C3a (543/368 : 55/46 : 1)  C4a (368/137 : 376/137 : 1)
**u= 29/36 ; 455*x^2 - 2088*y^2 + 2137*z^2
; C3a (-17 : -8 : 1)  C4a (-73/93 : -257/279 : 1)
**u= 29/44 ; 1095*x^2 - 2552*y^2 + 2777*z^2
; C3a (-1321/1033 : 1382/1033 : 1)  C4a (97/141 : 137/141 : 1)
**u= 29/45 ; 1184*x^2 - 2610*y^2 + 2866*z^2
; C3a (-7/3 : -17/9 : 1)  C4a (-1033/1843 : -1647/1843 : 1)
**u= 29/51 ; 1760*x^2 - 2958*y^2 + 3442*z^2
; C3a (421/64 : -83/16 : 1)  C4a (-284/913 : -768/913 : 1)
**u= 29/53 ; 1968*x^2 - 3074*y^2 + 3650*z^2
; C3a (-100/47 : 95/47 : 1)  C4a (-541/170 : -121/34 : 1)
**u= 29/56 ; 2295*x^2 - 3248*y^2 + 3977*z^2
; C3a (1223/114 : 1381/152 : 1)  C4a (-2/5 : -19/20 : 1)
**u= 29/60 ; 2759*x^2 - 3480*y^2 + 4441*z^2
; C3a (-1381/3029 : -3636/3029 : 1)  C4a (889/149 : 1013/149 : 1)
**u= 29/61 ; 2880*x^2 - 3538*y^2 + 4562*z^2
; C3a (53/114 : 23/19 : 1)  C4a (114/53 : -138/53 : 1)
**u= 29/69 ; 3920*x^2 - 4002*y^2 + 5602*z^2
; C3a (191/637 : 111/91 : 1)  C4a (77/199 : 217/199 : 1)
**u= 29/72 ; 4343*x^2 - 4176*y^2 + 6025*z^2
; C3a (-125/37 : -135/37 : 1)  C4a (3149/755 : -772/151 : 1)
**u= 29/96 ; 8375*x^2 - 5568*y^2 + 10057*z^2
; C3a (-101/35 : 53/14 : 1)  C4a (35/101 : 265/202 : 1)
**u= 29/99 ; 8960*x^2 - 5742*y^2 + 10642*z^2
; C3a (205/488 : -89/61 : 1)  C4a (488/205 : 712/205 : 1)
**u= 32/5 ; -999*x^2 - 320*y^2 + 1049*z^2
; C3a (2/3 : -11/8 : 1)  C4a (118/87 : -1187/696 : 1)
**u= 32/13 ; -855*x^2 - 832*y^2 + 1193*z^2
; C3a (61/126 : 367/336 : 1)  C4a (369/70 : 3489/560 : 1)
**u= 32/33 ; 65*x^2 - 2112*y^2 + 2113*z^2
; C3a (692/131 : -1429/1048 : 1)  C4a (-92/623 : 1143/4984 : 1)
**u= 32/49 ; 1377*x^2 - 3136*y^2 + 3425*z^2
; C3a (-5/36 : -235/224 : 1)  C4a (9/40 : 45/64 : 1)
**u= 32/53 ; 1785*x^2 - 3392*y^2 + 3833*z^2
; C3a (-710/191 : -4429/1528 : 1)  C4a (-26/27 : -271/216 : 1)
**u= 32/57 ; 2225*x^2 - 3648*y^2 + 4273*z^2
; C3a (-1336/355 : 1779/568 : 1)  C4a (535/668 : -6235/5344 : 1)
**u= 32/77 ; 4905*x^2 - 4928*y^2 + 6953*z^2
; C3a (-271/26 : -2177/208 : 1)  C4a (481/30 : -4577/240 : 1)
**u= 32/85 ; 6201*x^2 - 5440*y^2 + 8249*z^2
; C3a (11/6 : -37/16 : 1)  C4a (-618/317 : -6663/2536 : 1)
**u= 32/93 ; 7625*x^2 - 5952*y^2 + 9673*z^2
; C3a (41/10 : 77/16 : 1)  C4a (10/41 : -385/328 : 1)
**u= 36 ; -1295*x^2 - 72*y^2 + 1297*z^2
; C3a (-2593/2591 : 1/15546 : 1)  C4a (-2591/2593 : -1/15558 : 1)
**u= 36/5 ; -1271*x^2 - 360*y^2 + 1321*z^2
; C3a (49/69 : -569/414 : 1)  C4a (7/3 : -73/18 : 1)
**u= 36/25 ; -671*x^2 - 1800*y^2 + 1921*z^2
; C3a (1 : 5/6 : 1)  C4a (-1 : -5/6 : 1)
**u= 36/29 ; -455*x^2 - 2088*y^2 + 2137*z^2
; C3a (393/277 : 1271/1662 : 1)  C4a (-19/39 : 37/234 : 1)
**u= 36/49 ; 1105*x^2 - 3528*y^2 + 3697*z^2
; C3a (-2015/2209 : 106129/92778 : 1)  C4a (-1 : -7/6 : 1)
**u= 36/65 ; 2929*x^2 - 4680*y^2 + 5521*z^2
; C3a (3851/1251 : 20015/7506 : 1)  C4a (-1401/2239 : -14011/13434 : 1)
**u= 36/77 ; 4633*x^2 - 5544*y^2 + 7225*z^2
; C3a (255/53 : -1445/318 : 1)  C4a (411/425 : -43/30 : 1)
**u= 36/85 ; 5929*x^2 - 6120*y^2 + 8521*z^2
; C3a (2351/539 : 187/42 : 1)  C4a (-539/311 : -4235/1866 : 1)
**u= 37/8 ; -1305*x^2 - 592*y^2 + 1433*z^2
; C3a (25/39 : 16/13 : 1)  C4a (363/365 : 159/365 : 1)
**u= 37/12 ; -1225*x^2 - 888*y^2 + 1513*z^2
; C3a (709/665 : -7/19 : 1)  C4a (7/5 : -7/5 : 1)
**u= 37/13 ; -1200*x^2 - 962*y^2 + 1538*z^2
; C3a (79/155 : -35/31 : 1)  C4a (-425/256 : -455/256 : 1)
**u= 37/27 ; -640*x^2 - 1998*y^2 + 2098*z^2
; C3a (-11/8 : -2/3 : 1)  C4a (-8/11 : -16/33 : 1)
**u= 37/28 ; -585*x^2 - 2072*y^2 + 2153*z^2
; C3a (57/83 : 79/83 : 1)  C4a (307/547 : 116/547 : 1)
**u= 37/35 ; -144*x^2 - 2590*y^2 + 2594*z^2
; C3a (-1/6 : 1 : 1)  C4a (-15546/5179 : 15510/5179 : 1)
**u= 37/43 ; 480*x^2 - 3182*y^2 + 3218*z^2
; C3a (-59/16 : 7/4 : 1)  C4a (16/59 : 28/59 : 1)
**u= 37/45 ; 656*x^2 - 3330*y^2 + 3394*z^2
; C3a (29/11 : -17/11 : 1)  C4a (-137/288 : 565/864 : 1)
**u= 37/48 ; 935*x^2 - 3552*y^2 + 3673*z^2
; C3a (6979/787 : 3669/787 : 1)  C4a (-109/173 : -142/173 : 1)
**u= 37/52 ; 1335*x^2 - 3848*y^2 + 4073*z^2
; C3a (451/217 : 347/217 : 1)  C4a (-319/175 : 344/175 : 1)
**u= 37/53 ; 1440*x^2 - 3922*y^2 + 4178*z^2
; C3a (1966/747 : -473/249 : 1)  C4a (837/1601 : 1299/1601 : 1)
**u= 37/60 ; 2231*x^2 - 4440*y^2 + 4969*z^2
; C3a (31 : 22 : 1)  C4a (1/31 : -22/31 : 1)
**u= 37/72 ; 3815*x^2 - 5328*y^2 + 6553*z^2
; C3a (2191/1543 : -2523/1543 : 1)  C4a (-3707/1115 : 4218/1115 : 1)
**u= 37/80 ; 5031*x^2 - 5920*y^2 + 7769*z^2
; C3a (919/519 : 345/173 : 1)  C4a (6561/1589 : 15315/3178 : 1)
**u= 37/84 ; 5687*x^2 - 6216*y^2 + 8425*z^2
; C3a (-2005/143 : 175/13 : 1)  C4a (-341/1195 : -242/239 : 1)
**u= 37/85 ; 5856*x^2 - 6290*y^2 + 8594*z^2
; C3a (6369/2731 : -6925/2731 : 1)  C4a (124/1151 : -1120/1151 : 1)
**u= 37/91 ; 6912*x^2 - 6734*y^2 + 9650*z^2
; C3a (115/24 : 5 : 1)  C4a (-24/115 : -24/23 : 1)
**u= 37/93 ; 7280*x^2 - 6882*y^2 + 10018*z^2
; C3a (-202/139 : 267/139 : 1)  C4a (-139/202 : 267/202 : 1)
**u= 37/100 ; 8631*x^2 - 7400*y^2 + 11369*z^2
; C3a (-121/171 : 83/57 : 1)  C4a (-99/35 : -642/175 : 1)
**u= 40 ; -1599*x^2 - 80*y^2 + 1601*z^2
; C3a (-1/2 : 31/8 : 1)  C4a (139/98 : -1765/392 : 1)
**u= 40/9 ; -1519*x^2 - 720*y^2 + 1681*z^2
; C3a (41/42 : -41/72 : 1)  C4a (-91/82 : -7/8 : 1)
**u= 40/33 ; -511*x^2 - 2640*y^2 + 2689*z^2
; C3a (-719/502 : -1583/2008 : 1)  C4a (-61/38 : -237/152 : 1)
**u= 40/41 ; 81*x^2 - 3280*y^2 + 3281*z^2
; C3a (334/117 : -57/52 : 1)  C4a (18/59 : -81/236 : 1)
**u= 40/49 ; 801*x^2 - 3920*y^2 + 4001*z^2
; C3a (58/9 : -37/12 : 1)  C4a (-198/29 : -5613/812 : 1)
**u= 40/61 ; 2121*x^2 - 4880*y^2 + 5321*z^2
; C3a (-3084/2467 : -13127/9868 : 1)  C4a (12736/6697 : -56051/26788 : 1)
**u= 40/69 ; 3161*x^2 - 5520*y^2 + 6361*z^2
; C3a (79/148 : -679/592 : 1)  C4a (-7/16 : 57/64 : 1)
**u= 40/73 ; 3729*x^2 - 5840*y^2 + 6929*z^2
; C3a (14846/757 : -47567/3028 : 1)  C4a (134/377 : -103/116 : 1)
**u= 40/77 ; 4329*x^2 - 6160*y^2 + 7529*z^2
; C3a (-2021/432 : 2347/576 : 1)  C4a (-24/53 : 207/212 : 1)
**u= 40/81 ; 4961*x^2 - 6480*y^2 + 8161*z^2
; C3a (-694/297 : -2267/972 : 1)  C4a (66/337 : -10945/12132 : 1)
**u= 41/4 ; -1665*x^2 - 328*y^2 + 1697*z^2
; C3a (-23/39 : 24/13 : 1)  C4a (699/469 : -1188/469 : 1)
**u= 41/9 ; -1600*x^2 - 738*y^2 + 1762*z^2
; C3a (-105/166 : -307/249 : 1)  C4a (-262/225 : 698/675 : 1)
**u= 41/12 ; -1537*x^2 - 984*y^2 + 1825*z^2
; C3a (5/37 : 50/37 : 1)  C4a (-253/265 : -19/53 : 1)
**u= 41/20 ; -1281*x^2 - 1640*y^2 + 2081*z^2
; C3a (713/923 : -827/923 : 1)  C4a (1031/1161 : 544/1161 : 1)
**u= 41/31 ; -720*x^2 - 2542*y^2 + 2642*z^2
; C3a (73/42 : -3/7 : 1)  C4a (-42/73 : 18/73 : 1)
**u= 41/39 ; -160*x^2 - 3198*y^2 + 3202*z^2
; C3a (-22843/5384 : -427/1346 : 1)  C4a (376/1249 : 252/1249 : 1)
**u= 41/40 ; -81*x^2 - 3280*y^2 + 3281*z^2
; C3a (1/9 : 1 : 1)  C4a (9 : -9 : 1)
**u= 41/44 ; 255*x^2 - 3608*y^2 + 3617*z^2
; C3a (-35/13 : -16/13 : 1)  C4a (-59/4143 : 1103/4143 : 1)
**u= 41/56 ; 1455*x^2 - 4592*y^2 + 4817*z^2
; C3a (2231/481 : -1349/481 : 1)  C4a (104/321 : 839/1284 : 1)
**u= 41/60 ; 1919*x^2 - 4920*y^2 + 5281*z^2
; C3a (7151/1301 : 4665/1301 : 1)  C4a (1879/839 : 2016/839 : 1)
**u= 41/63 ; 2288*x^2 - 5166*y^2 + 5650*z^2
; C3a (605/74 : -205/37 : 1)  C4a (86/5 : -18 : 1)
**u= 41/65 ; 2544*x^2 - 5330*y^2 + 5906*z^2
; C3a (227/7 : -157/7 : 1)  C4a (331/396 : 443/396 : 1)
**u= 41/76 ; 4095*x^2 - 6232*y^2 + 7457*z^2
; C3a (6679/579 : 1817/193 : 1)  C4a (-993/575 : 1182/575 : 1)
**u= 41/80 ; 4719*x^2 - 6560*y^2 + 8081*z^2
; C3a (181/11 : -14 : 1)  C4a (6083/1423 : 13717/2846 : 1)
**u= 41/84 ; 5375*x^2 - 6888*y^2 + 8737*z^2
; C3a (10793/295 : -1908/59 : 1)  C4a (1111/2711 : -2702/2711 : 1)
**u= 41/89 ; 6240*x^2 - 7298*y^2 + 9602*z^2
; C3a (624 : -577 : 1)  C4a (-149/29 : -173/29 : 1)
**u= 41/96 ; 7535*x^2 - 7872*y^2 + 10897*z^2
; C3a (23/2 : -181/16 : 1)  C4a (349/517 : -1303/1034 : 1)
**u= 45/8 ; -1961*x^2 - 720*y^2 + 2089*z^2
; C3a (122/119 : 281/1428 : 1)  C4a (91/82 : 907/984 : 1)
**u= 45/13 ; -1856*x^2 - 1170*y^2 + 2194*z^2
; C3a (9/17 : 61/51 : 1)  C4a (-654/173 : -2606/519 : 1)
**u= 45/16 ; -1769*x^2 - 1440*y^2 + 2281*z^2
; C3a (21/37 : -121/111 : 1)  C4a (-117/101 : -287/303 : 1)
**u= 45/19 ; -1664*x^2 - 1710*y^2 + 2386*z^2
; C3a (3/16 : -7/6 : 1)  C4a (-168/149 : -400/447 : 1)
**u= 45/28 ; -1241*x^2 - 2520*y^2 + 2809*z^2
; C3a (53/39 : 53/117 : 1)  C4a (-39/53 : 1/3 : 1)
**u= 45/29 ; -1184*x^2 - 2610*y^2 + 2866*z^2
; C3a (-19/77 : -239/231 : 1)  C4a (28 : -88/3 : 1)
**u= 45/37 ; -656*x^2 - 3330*y^2 + 3394*z^2
; C3a (3/71 : 215/213 : 1)  C4a (-13/24 : -23/72 : 1)
**u= 45/44 ; -89*x^2 - 3960*y^2 + 3961*z^2
; C3a (-347/71 : -145/213 : 1)  C4a (533/401 : -1589/1203 : 1)
**u= 45/52 ; 679*x^2 - 4680*y^2 + 4729*z^2
; C3a (1751/87 : -2018/261 : 1)  C4a (1/27 : -31/81 : 1)
**u= 45/53 ; 784*x^2 - 4770*y^2 + 4834*z^2
; C3a (-863/91 : 155/39 : 1)  C4a (91/68 : -287/204 : 1)
**u= 45/59 ; 1456*x^2 - 5310*y^2 + 5506*z^2
; C3a (103/74 : -139/111 : 1)  C4a (-94/743 : -1202/2229 : 1)
**u= 45/61 ; 1696*x^2 - 5490*y^2 + 5746*z^2
; C3a (403/24 : -169/18 : 1)  C4a (349/78 : 83/18 : 1)
**u= 45/64 ; 2071*x^2 - 5760*y^2 + 6121*z^2
; C3a (-1363/279 : 10397/3348 : 1)  C4a (413/111 : -5171/1332 : 1)
**u= 45/77 ; 3904*x^2 - 6930*y^2 + 7954*z^2
; C3a (-703/221 : 1735/663 : 1)  C4a (9734/1957 : 31594/5871 : 1)
**u= 45/83 ; 4864*x^2 - 7470*y^2 + 8914*z^2
; C3a (-667/584 : 313/219 : 1)  C4a (-1096/17 : 3592/51 : 1)
**u= 45/91 ; 6256*x^2 - 8190*y^2 + 10306*z^2
; C3a (-201/58 : -281/87 : 1)  C4a (-526/657 : 2470/1971 : 1)
**u= 45/92 ; 6439*x^2 - 8280*y^2 + 10489*z^2
; C3a (-2573/49 : -6809/147 : 1)  C4a (839/103 : 2846/309 : 1)
**u= 49 ; -2400*x^2 - 98*y^2 + 2402*z^2
; C3a (21/40 : 59/14 : 1)  C4a (-40/21 : -1180/147 : 1)
**u= 49/4 ; -2385*x^2 - 392*y^2 + 2417*z^2
; C3a (-1571/1593 : 1853/3717 : 1)  C4a (819/803 : -3228/5621 : 1)
**u= 49/9 ; -2320*x^2 - 882*y^2 + 2482*z^2
; C3a (-14/27 : -823/567 : 1)  C4a (-153/155 : 1087/3255 : 1)
**u= 49/16 ; -2145*x^2 - 1568*y^2 + 2657*z^2
; C3a (-4225/4291 : -36457/60074 : 1)  C4a (-163/161 : -1369/2254 : 1)
**u= 49/25 ; -1776*x^2 - 2450*y^2 + 3026*z^2
; C3a (-96/77 : 887/2695 : 1)  C4a (23/16 : 757/560 : 1)
**u= 49/31 ; -1440*x^2 - 3038*y^2 + 3362*z^2
; C3a (-41/72 : 41/42 : 1)  C4a (-72/41 : -12/7 : 1)
**u= 49/32 ; -1377*x^2 - 3136*y^2 + 3425*z^2
; C3a (20/27 : -155/168 : 1)  C4a (-27/20 : 279/224 : 1)
**u= 49/36 ; -1105*x^2 - 3528*y^2 + 3697*z^2
; C3a (-1 : 6/7 : 1)  C4a (231/67 : 4903/1407 : 1)
**u= 49/40 ; -801*x^2 - 3920*y^2 + 4001*z^2
; C3a (2/3 : -27/28 : 1)  C4a (3/2 : 81/56 : 1)
**u= 49/55 ; 624*x^2 - 5390*y^2 + 5426*z^2
; C3a (-13/2 : -17/7 : 1)  C4a (-178/937 : 2558/6559 : 1)
**u= 49/57 ; 848*x^2 - 5586*y^2 + 5650*z^2
; C3a (-1975/113 : 5445/791 : 1)  C4a (-89/70 : 131/98 : 1)
**u= 49/60 ; 1199*x^2 - 5880*y^2 + 6001*z^2
; C3a (617/167 : 2280/1169 : 1)  C4a (-641/2419 : 8889/16933 : 1)
**u= 49/64 ; 1695*x^2 - 6272*y^2 + 6497*z^2
; C3a (1389/1127 : 37951/31556 : 1)  C4a (-1 : 8/7 : 1)
**u= 49/68 ; 2223*x^2 - 6664*y^2 + 7025*z^2
; C3a (115/183 : -465/427 : 1)  C4a (-33/475 : -387/665 : 1)
**u= 49/81 ; 4160*x^2 - 7938*y^2 + 8962*z^2
; C3a (-181/258 : -9571/8127 : 1)  C4a (-1 : -9/7 : 1)
**u= 49/96 ; 6815*x^2 - 9408*y^2 + 11617*z^2
; C3a (-437/13 : 5211/182 : 1)  C4a (-262/239 : -19889/13384 : 1)
**u= 49/100 ; 7599*x^2 - 9800*y^2 + 12401*z^2
; C3a (1 : -10/7 : 1)  C4a (-47/149 : -4951/5215 : 1)
**u= 52/33 ; -1615*x^2 - 3432*y^2 + 3793*z^2
; C3a (-1649/1453 : 2053/2906 : 1)  C4a (-113/85 : 207/170 : 1)
**u= 52/37 ; -1335*x^2 - 3848*y^2 + 4073*z^2
; C3a (-799/607 : -821/1214 : 1)  C4a (9157/4939 : -17921/9878 : 1)
**u= 52/45 ; -679*x^2 - 4680*y^2 + 4729*z^2
; C3a (-29/11 : -1/22 : 1)  C4a (-121/279 : -355/1674 : 1)
**u= 52/57 ; 545*x^2 - 5928*y^2 + 5953*z^2
; C3a (253/329 : 677/658 : 1)  C4a (217/331 : 479/662 : 1)
**u= 52/61 ; 1017*x^2 - 6344*y^2 + 6425*z^2
; C3a (145/23 : 125/46 : 1)  C4a (-259/3645 : -593/1458 : 1)
**u= 52/85 ; 4521*x^2 - 8840*y^2 + 9929*z^2
; C3a (-713/647 : 1709/1294 : 1)  C4a (343/207 : -785/414 : 1)
**u= 52/93 ; 5945*x^2 - 9672*y^2 + 11353*z^2
; C3a (-55/193 : 427/386 : 1)  C4a (389/203 : -901/406 : 1)
**u= 52/97 ; 6705*x^2 - 10088*y^2 + 12113*z^2
; C3a (-93341/1191 : -50739/794 : 1)  C4a (8089/18371 : -34807/36742 : 1)
**u= 53/8 ; -2745*x^2 - 848*y^2 + 2873*z^2
; C3a (13/19 : -26/19 : 1)  C4a (19/13 : 2 : 1)
**u= 53/12 ; -2665*x^2 - 1272*y^2 + 2953*z^2
; C3a (97/101 : -63/101 : 1)  C4a (19319/11993 : 23772/11993 : 1)
**u= 53/20 ; -2409*x^2 - 2120*y^2 + 3209*z^2
; C3a (-19/119 : 145/119 : 1)  C4a (127/47 : -148/47 : 1)
**u= 53/28 ; -2025*x^2 - 2968*y^2 + 3593*z^2
; C3a (-5/9 : -1 : 1)  C4a (3627/1483 : -3798/1483 : 1)
**u= 53/29 ; -1968*x^2 - 3074*y^2 + 3650*z^2
; C3a (205/263 : 235/263 : 1)  C4a (113/55 : 23/11 : 1)
**u= 53/32 ; -1785*x^2 - 3392*y^2 + 3833*z^2
; C3a (203/949 : 998/949 : 1)  C4a (71/10 : -601/80 : 1)
**u= 53/37 ; -1440*x^2 - 3922*y^2 + 4178*z^2
; C3a (-227/291 : -89/97 : 1)  C4a (339/524 : -147/524 : 1)
**u= 53/45 ; -784*x^2 - 4770*y^2 + 4834*z^2
; C3a (1853/3717 : 1571/1593 : 1)  C4a (-7/2 : -7/2 : 1)
**u= 53/48 ; -505*x^2 - 5088*y^2 + 5113*z^2
; C3a (-1069/419 : 251/419 : 1)  C4a (-353/911 : -207/911 : 1)
**u= 53/68 ; 1815*x^2 - 7208*y^2 + 7433*z^2
; C3a (7441/1331 : -361/121 : 1)  C4a (51931/72297 : -64009/72297 : 1)
**u= 53/72 ; 2375*x^2 - 7632*y^2 + 7993*z^2
; C3a (797/1795 : -378/359 : 1)  C4a (-7/2 : -29/8 : 1)
**u= 53/75 ; 2816*x^2 - 7950*y^2 + 8434*z^2
; C3a (1811/472 : -739/295 : 1)  C4a (-344/227 : -1896/1135 : 1)
**u= 53/77 ; 3120*x^2 - 8162*y^2 + 8738*z^2
; C3a (145/163 : -191/163 : 1)  C4a (-7393/8889 : 9419/8889 : 1)
**u= 53/92 ; 5655*x^2 - 9752*y^2 + 11273*z^2
; C3a (-139/229 : -268/229 : 1)  C4a (2870677/212981 : -3090694/212981 : 1)
**u= 53/93 ; 5840*x^2 - 9858*y^2 + 11458*z^2
; C3a (5702/6601 : 8361/6601 : 1)  C4a (-4067/428 : -4397/428 : 1)
**u= 53/100 ; 7191*x^2 - 10600*y^2 + 12809*z^2
; C3a (-401/849 : -330/283 : 1)  C4a (3447/1795 : -20337/8975 : 1)
**u= 61/11 ; -3600*x^2 - 1342*y^2 + 3842*z^2
; C3a (-167/1410 : 79/47 : 1)  C4a (-3570/1051 : -5790/1051 : 1)
**u= 61/21 ; -3280*x^2 - 2562*y^2 + 4162*z^2
; C3a (200/179 : 29/179 : 1)  C4a (109/101 : 79/101 : 1)
**u= 61/24 ; -3145*x^2 - 2928*y^2 + 4297*z^2
; C3a (-253/404 : -1653/1616 : 1)  C4a (1312/269 : 6259/1076 : 1)
**u= 61/29 ; -2880*x^2 - 3538*y^2 + 4562*z^2
; C3a (-287/351 : 101/117 : 1)  C4a (-1467/887 : 1461/887 : 1)
**u= 61/40 ; -2121*x^2 - 4880*y^2 + 5321*z^2
; C3a (-1724/1091 : 311/4364 : 1)  C4a (223/353 : -8/353 : 1)
**u= 61/45 ; -1696*x^2 - 5490*y^2 + 5746*z^2
; C3a (117/67 : 65/201 : 1)  C4a (59/39 : -13/9 : 1)
**u= 61/48 ; -1417*x^2 - 5856*y^2 + 6025*z^2
; C3a (3175/1619 : -1015/3238 : 1)  C4a (-337/685 : -23/274 : 1)
**u= 61/52 ; -1017*x^2 - 6344*y^2 + 6425*z^2
; C3a (485/277 : 200/277 : 1)  C4a (-717/1055 : 117/211 : 1)
**u= 61/56 ; -585*x^2 - 6832*y^2 + 6857*z^2
; C3a (-8543/3993 : -1041/1331 : 1)  C4a (-9/23 : 6/23 : 1)
**u= 61/60 ; -121*x^2 - 7320*y^2 + 7321*z^2
; C3a (5491/20141 : -1830/1831 : 1)  C4a (20141/5491 : 20130/5491 : 1)
**u= 61/64 ; 375*x^2 - 7808*y^2 + 7817*z^2
; C3a (-107/43 : -49/43 : 1)  C4a (95/69 : 385/276 : 1)
**u= 61/69 ; 1040*x^2 - 8418*y^2 + 8482*z^2
; C3a (16/7 : -9/7 : 1)  C4a (571/3170 : -1253/3170 : 1)
**u= 61/75 ; 1904*x^2 - 9150*y^2 + 9346*z^2
; C3a (-125/94 : -277/235 : 1)  C4a (-5590/1279 : -28398/6395 : 1)
**u= 61/76 ; 2055*x^2 - 9272*y^2 + 9497*z^2
; C3a (1611/91 : 764/91 : 1)  C4a (-259/653 : -404/653 : 1)
**u= 61/96 ; 5495*x^2 - 11712*y^2 + 12937*z^2
; C3a (97/31 : -74/31 : 1)  C4a (-31/97 : 74/97 : 1)
**u= 61/99 ; 6080*x^2 - 12078*y^2 + 13522*z^2
; C3a (147/92 : -107/69 : 1)  C4a (-84916/27955 : -92012/27955 : 1)
**u= 64 ; -4095*x^2 - 128*y^2 + 4097*z^2
; C3a (-1 : 1/8 : 1)  C4a (1 : 1/8 : 1)
**u= 64/9 ; -4015*x^2 - 1152*y^2 + 4177*z^2
; C3a (-755/741 : -1559/17784 : 1)  C4a (-1 : 3/8 : 1)
**u= 64/25 ; -3471*x^2 - 3200*y^2 + 4721*z^2
; C3a (1 : -5/8 : 1)  C4a (-1 : 5/8 : 1)
**u= 64/45 ; -2071*x^2 - 5760*y^2 + 6121*z^2
; C3a (-1009/611 : -1401/4888 : 1)  C4a (-433/557 : 2369/4456 : 1)
**u= 64/49 ; -1695*x^2 - 6272*y^2 + 6497*z^2
; C3a (1 : 7/8 : 1)  C4a (-1 : -7/8 : 1)
**u= 64/61 ; -375*x^2 - 7808*y^2 + 7817*z^2
; C3a (179/65 : -83/104 : 1)  C4a (65/179 : -415/1432 : 1)
**u= 64/81 ; 2465*x^2 - 10368*y^2 + 10657*z^2
; C3a (17/273 : -19937/19656 : 1)  C4a (-1 : -9/8 : 1)
**u= 64/85 ; 3129*x^2 - 10880*y^2 + 11321*z^2
; C3a (-7083/737 : 30977/5896 : 1)  C4a (11/521 : 2237/4168 : 1)
**u= 65/7 ; -4176*x^2 - 910*y^2 + 4274*z^2
; C3a (-37/114 : -39/19 : 1)  C4a (162/139 : -186/139 : 1)
**u= 65/8 ; -4161*x^2 - 1040*y^2 + 4289*z^2
; C3a (-396/2713 : -21809/10852 : 1)  C4a (-79/47 : 130/47 : 1)
**u= 65/9 ; -4144*x^2 - 1170*y^2 + 4306*z^2
; C3a (79/83 : 57/83 : 1)  C4a (-397/269 : -569/269 : 1)
**u= 65/16 ; -3969*x^2 - 2080*y^2 + 4481*z^2
; C3a (-7/9 : -1 : 1)  C4a (-9/7 : -9/7 : 1)
**u= 65/24 ; -3649*x^2 - 3120*y^2 + 4801*z^2
; C3a (67/166 : 771/664 : 1)  C4a (661/757 : -46/757 : 1)
**u= 65/33 ; -3136*x^2 - 4290*y^2 + 5314*z^2
; C3a (-11873/21014 : 1505/1501 : 1)  C4a (7/4 : 7/4 : 1)
**u= 65/36 ; -2929*x^2 - 4680*y^2 + 5521*z^2
; C3a (-873/1589 : 4745/4767 : 1)  C4a (9811/2307 : 31496/6921 : 1)
**u= 65/41 ; -2544*x^2 - 5330*y^2 + 5906*z^2
; C3a (157/239 : -227/239 : 1)  C4a (-517/271 : -511/271 : 1)
**u= 65/48 ; -1921*x^2 - 6240*y^2 + 6529*z^2
; C3a (-12377/6781 : 1951/13562 : 1)  C4a (-421/703 : -365/1406 : 1)
**u= 65/56 ; -1089*x^2 - 7280*y^2 + 7361*z^2
; C3a (-2207/1584 : 163/192 : 1)  C4a (-1584/2207 : 5379/8828 : 1)
**u= 65/63 ; -256*x^2 - 8190*y^2 + 8194*z^2
; C3a (1821/7288 : -2731/2733 : 1)  C4a (7288/1821 : 21848/5463 : 1)
**u= 65/71 ; 816*x^2 - 9230*y^2 + 9266*z^2
; C3a (109/38 : 25/19 : 1)  C4a (12626/12413 : 13178/12413 : 1)
**u= 65/72 ; 959*x^2 - 9360*y^2 + 9409*z^2
; C3a (97/191 : -194/191 : 1)  C4a (179/388 : -9/16 : 1)
**u= 65/79 ; 2016*x^2 - 10270*y^2 + 10466*z^2
; C3a (-4157/4236 : 388/353 : 1)  C4a (-18996/18917 : -20928/18917 : 1)
**u= 65/81 ; 2336*x^2 - 10530*y^2 + 10786*z^2
; C3a (-711/32 : -757/72 : 1)  C4a (-64/73 : 220/219 : 1)
**u= 65/88 ; 3519*x^2 - 11440*y^2 + 11969*z^2
; C3a (19897/3441 : 3861/1147 : 1)  C4a (6/17 : -45/68 : 1)
**u= 65/92 ; 4239*x^2 - 11960*y^2 + 12689*z^2
; C3a (-5323/3831 : -1687/1277 : 1)  C4a (11487/79 : 11832/79 : 1)
**u= 65/97 ; 5184*x^2 - 12610*y^2 + 13634*z^2
; C3a (2123/981 : -189/109 : 1)  C4a (2133/2426 : -2709/2426 : 1)
**u= 68/5 ; -4599*x^2 - 680*y^2 + 4649*z^2
; C3a (47/67 : 251/134 : 1)  C4a (373/327 : -955/654 : 1)
**u= 68/13 ; -4455*x^2 - 1768*y^2 + 4793*z^2
; C3a (-937/909 : -37/202 : 1)  C4a (-45621/28583 : -119727/57166 : 1)
**u= 68/49 ; -2223*x^2 - 6664*y^2 + 7025*z^2
; C3a (-47765/28461 : 44965/132818 : 1)  C4a (-25197/42325 : 3387/16930 : 1)
**u= 68/53 ; -1815*x^2 - 7208*y^2 + 7433*z^2
; C3a (1861/1001 : 73/182 : 1)  C4a (-869/1505 : -913/3010 : 1)
**u= 68/57 ; -1375*x^2 - 7752*y^2 + 7873*z^2
; C3a (539/235 : 27/94 : 1)  C4a (41/79 : -49/158 : 1)
**u= 72/29 ; -4343*x^2 - 4176*y^2 + 6025*z^2
; C3a (-10/19 : -245/228 : 1)  C4a (-31109/17450 : 78857/41880 : 1)
**u= 72/37 ; -3815*x^2 - 5328*y^2 + 6553*z^2
; C3a (-334/1257 : 16381/15084 : 1)  C4a (-8238/5341 : 95279/64092 : 1)
**u= 72/53 ; -2375*x^2 - 7632*y^2 + 7993*z^2
; C3a (-698/415 : -407/996 : 1)  C4a (-230/283 : 2095/3396 : 1)
**u= 72/65 ; -959*x^2 - 9360*y^2 + 9409*z^2
; C3a (-2716/989 : -5723/11868 : 1)  C4a (-32/97 : 1/12 : 1)
**u= 72/73 ; 145*x^2 - 10512*y^2 + 10513*z^2
; C3a (-332/33 : 613/396 : 1)  C4a (52/855 : 1357/10260 : 1)
**u= 72/77 ; 745*x^2 - 11088*y^2 + 11113*z^2
; C3a (-142/23 : -521/276 : 1)  C4a (-1522/4099 : 22291/49188 : 1)
**u= 72/85 ; 2041*x^2 - 12240*y^2 + 12409*z^2
; C3a (-4122/553 : 21275/6636 : 1)  C4a (2/87 : -427/1044 : 1)
**u= 72/97 ; 4225*x^2 - 13968*y^2 + 14593*z^2
; C3a (488/585 : -121/108 : 1)  C4a (-585/488 : 7865/5856 : 1)
**u= 73/7 ; -5280*x^2 - 1022*y^2 + 5378*z^2
; C3a (71/92 : 34/23 : 1)  C4a (-15916/7611 : -32152/7611 : 1)
**u= 73/8 ; -5265*x^2 - 1168*y^2 + 5393*z^2
; C3a (-280/333 : 177/148 : 1)  C4a (81/76 : 261/304 : 1)
**u= 73/17 ; -5040*x^2 - 2482*y^2 + 5618*z^2
; C3a (53/117 : 53/39 : 1)  C4a (-117/53 : -3 : 1)
**u= 73/28 ; -4545*x^2 - 4088*y^2 + 6113*z^2
; C3a (-155/827 : -998/827 : 1)  C4a (27 : 33 : 1)
**u= 73/33 ; -4240*x^2 - 4818*y^2 + 6418*z^2
; C3a (1427/2467 : -2513/2467 : 1)  C4a (-1357/664 : -1437/664 : 1)
**u= 73/40 ; -3729*x^2 - 5840*y^2 + 6929*z^2
; C3a (-3809/4439 : -3757/4439 : 1)  C4a (-1063/377 : 86/29 : 1)
**u= 73/48 ; -3025*x^2 - 7008*y^2 + 7633*z^2
; C3a (113/715 : -27/26 : 1)  C4a (-2365/2867 : -1595/2867 : 1)
**u= 73/55 ; -2304*x^2 - 8030*y^2 + 8354*z^2
; C3a (-3/8 : -1 : 1)  C4a (-9288/4943 : 9096/4943 : 1)
**u= 73/57 ; -2080*x^2 - 8322*y^2 + 8578*z^2
; C3a (47/28 : -4/7 : 1)  C4a (1844/3725 : -192/3725 : 1)
**u= 73/63 ; -1360*x^2 - 9198*y^2 + 9298*z^2
; C3a (25/18 : 23/27 : 1)  C4a (-134/251 : 94/251 : 1)
**u= 73/72 ; -145*x^2 - 10512*y^2 + 10513*z^2
; C3a (-59/13 : -11/13 : 1)  C4a (13/59 : -11/59 : 1)
**u= 73/87 ; 2240*x^2 - 12702*y^2 + 12898*z^2
; C3a (51593/6668 : 5671/1667 : 1)  C4a (43556/785 : 43892/785 : 1)
**u= 73/97 ; 4080*x^2 - 14162*y^2 + 14738*z^2
; C3a (-10470/1061 : 5723/1061 : 1)  C4a (-3397/1356 : 3541/1356 : 1)
**u= 73/100 ; 4671*x^2 - 14600*y^2 + 15329*z^2
; C3a (175/93 : -229/155 : 1)  C4a (-395/1161 : 3857/5805 : 1)
**u= 80/9 ; -6319*x^2 - 1440*y^2 + 6481*z^2
; C3a (-103/221 : 1665/884 : 1)  C4a (503/341 : -3171/1364 : 1)
**u= 80/17 ; -6111*x^2 - 2720*y^2 + 6689*z^2
; C3a (-287/1069 : 6481/4276 : 1)  C4a (-9459/3767 : -54867/15068 : 1)
**u= 80/21 ; -5959*x^2 - 3360*y^2 + 6841*z^2
; C3a (-43/979 : -5583/3916 : 1)  C4a (-79/47 : -375/188 : 1)
**u= 80/33 ; -5311*x^2 - 5280*y^2 + 7489*z^2
; C3a (1663/1531 : -2947/6124 : 1)  C4a (247/269 : -469/1076 : 1)
**u= 80/37 ; -5031*x^2 - 5920*y^2 + 7769*z^2
; C3a (41/33 : 1/44 : 1)  C4a (-1767/1841 : 4413/7364 : 1)
**u= 80/41 ; -4719*x^2 - 6560*y^2 + 8081*z^2
; C3a (-43/121 : 47/44 : 1)  C4a (-29843/14919 : -122441/59676 : 1)
**u= 80/57 ; -3151*x^2 - 9120*y^2 + 9649*z^2
; C3a (7801/4837 : -7723/19348 : 1)  C4a (919/1603 : -303/6412 : 1)
**u= 80/69 ; -1639*x^2 - 11040*y^2 + 11161*z^2
; C3a (2399/1433 : -4421/5732 : 1)  C4a (-191/223 : -687/892 : 1)
**u= 80/77 ; -471*x^2 - 12320*y^2 + 12329*z^2
; C3a (-963/269 : 769/1076 : 1)  C4a (-269/963 : 769/3852 : 1)
**u= 80/89 ; 1521*x^2 - 14240*y^2 + 14321*z^2
; C3a (2377/1131 : -141/116 : 1)  C4a (-247/109 : -1001/436 : 1)
**u= 81 ; -6560*x^2 - 162*y^2 + 6562*z^2
; C3a (11/13 : -397/117 : 1)  C4a (-44/5 : -2504/45 : 1)
**u= 81/4 ; -6545*x^2 - 648*y^2 + 6577*z^2
; C3a (2629/2623 : 1319/23607 : 1)  C4a (-1 : 2/9 : 1)
**u= 81/16 ; -6305*x^2 - 2592*y^2 + 6817*z^2
; C3a (-1 : 4/9 : 1)  C4a (-1 : -4/9 : 1)
**u= 81/17 ; -6272*x^2 - 2754*y^2 + 6850*z^2
; C3a (375/392 : -40/63 : 1)  C4a (49/15 : 133/27 : 1)
**u= 81/20 ; -6161*x^2 - 3240*y^2 + 6961*z^2
; C3a (1689/1589 : 95/14301 : 1)  C4a (117/7 : 1541/63 : 1)
**u= 81/25 ; -5936*x^2 - 4050*y^2 + 7186*z^2
; C3a (-1 : -5/9 : 1)  C4a (-169/32 : -9979/1440 : 1)
**u= 81/40 ; -4961*x^2 - 6480*y^2 + 8161*z^2
; C3a (14/11 : -5/36 : 1)  C4a (11/14 : 55/504 : 1)
**u= 81/49 ; -4160*x^2 - 7938*y^2 + 8962*z^2
; C3a (1 : -7/9 : 1)  C4a (-1 : 7/9 : 1)
**u= 81/55 ; -3536*x^2 - 8910*y^2 + 9586*z^2
; C3a (-161/106 : 191/477 : 1)  C4a (-542/377 : 4586/3393 : 1)
**u= 81/56 ; -3425*x^2 - 9072*y^2 + 9697*z^2
; C3a (3/11 : -101/99 : 1)  C4a (75/107 : 370/963 : 1)
**u= 81/64 ; -2465*x^2 - 10368*y^2 + 10657*z^2
; C3a (-1 : -8/9 : 1)  C4a (1 : 8/9 : 1)
**u= 81/65 ; -2336*x^2 - 10530*y^2 + 10786*z^2
; C3a (177/148 : -280/333 : 1)  C4a (36/29 : 304/261 : 1)
**u= 81/76 ; -785*x^2 - 12312*y^2 + 12337*z^2
; C3a (91/23 : -13/207 : 1)  C4a (49/65 : 32/45 : 1)
**u= 81/92 ; 1903*x^2 - 14904*y^2 + 15025*z^2
; C3a (475/261 : 2810/2349 : 1)  C4a (1/45 : 29/81 : 1)
**u= 81/100 ; 3439*x^2 - 16200*y^2 + 16561*z^2
; C3a (-1 : -10/9 : 1)  C4a (143/181 : 7511/8145 : 1)
**u= 85/12 ; -7081*x^2 - 2040*y^2 + 7369*z^2
; C3a (-101/217 : -367/217 : 1)  C4a (2033/2051 : 573/2051 : 1)
**u= 85/13 ; -7056*x^2 - 2210*y^2 + 7394*z^2
; C3a (-1721/3843 : -301/183 : 1)  C4a (5481/1048 : -9849/1048 : 1)
**u= 85/16 ; -6969*x^2 - 2720*y^2 + 7481*z^2
; C3a (-1/13 : -43/26 : 1)  C4a (503/521 : 20/521 : 1)
**u= 85/19 ; -6864*x^2 - 3230*y^2 + 7586*z^2
; C3a (1613/2966 : 1945/1483 : 1)  C4a (314/257 : -302/257 : 1)
**u= 85/21 ; -6784*x^2 - 3570*y^2 + 7666*z^2
; C3a (-1/13 : -19/13 : 1)  C4a (214/193 : 166/193 : 1)
**u= 85/28 ; -6441*x^2 - 4760*y^2 + 8009*z^2
; C3a (-491/1063 : 1255/1063 : 1)  C4a (923/881 : -619/881 : 1)
**u= 85/32 ; -6201*x^2 - 5440*y^2 + 8249*z^2
; C3a (1123/2019 : 726/673 : 1)  C4a (-9/2 : -87/16 : 1)
**u= 85/36 ; -5929*x^2 - 6120*y^2 + 8521*z^2
; C3a (-7/11 : 1 : 1)  C4a (-12243/5741 : -39886/17223 : 1)
**u= 85/37 ; -5856*x^2 - 6290*y^2 + 8594*z^2
; C3a (2437/2336 : -347/584 : 1)  C4a (683/464 : 661/464 : 1)
**u= 85/52 ; -4521*x^2 - 8840*y^2 + 9929*z^2
; C3a (7119/6833 : -5150/6833 : 1)  C4a (269/243 : 226/243 : 1)
**u= 85/64 ; -3129*x^2 - 10880*y^2 + 11321*z^2
; C3a (-183/409 : 811/818 : 1)  C4a (-1277/2371 : -283/2371 : 1)
**u= 85/72 ; -2041*x^2 - 12240*y^2 + 12409*z^2
; C3a (-281/223 : 193/223 : 1)  C4a (757/1494 : -5483/17928 : 1)
**u= 85/77 ; -1296*x^2 - 13090*y^2 + 13154*z^2
; C3a (2/9 : 1 : 1)  C4a (-124623/31519 : 124533/31519 : 1)
**u= 85/84 ; -169*x^2 - 14280*y^2 + 14281*z^2
; C3a (-1373/3571 : 3568/3571 : 1)  C4a (-3571/1373 : 3568/1373 : 1)
**u= 85/88 ; 519*x^2 - 14960*y^2 + 14969*z^2
; C3a (5289/383 : -1057/383 : 1)  C4a (19/723 : 136/723 : 1)
**u= 85/93 ; 1424*x^2 - 15810*y^2 + 15874*z^2
; C3a (11581/3707 : 5087/3707 : 1)  C4a (1889/587 : 1901/587 : 1)
**u= 85/96 ; 1991*x^2 - 16320*y^2 + 16441*z^2
; C3a (5677/4 : 15863/32 : 1)  C4a (-736/343 : 5987/2744 : 1)
**u= 89 ; -7920*x^2 - 178*y^2 + 7922*z^2
; C3a (-56/213 : -457/71 : 1)  C4a (-471/83 : 3093/83 : 1)
**u= 89/9 ; -7840*x^2 - 1602*y^2 + 8002*z^2
; C3a (-27/28 : -2/3 : 1)  C4a (28/27 : -56/81 : 1)
**u= 89/15 ; -7696*x^2 - 2670*y^2 + 8146*z^2
; C3a (1303/1622 : 885/811 : 1)  C4a (-1334/1301 : -742/1301 : 1)
**u= 89/39 ; -6400*x^2 - 6942*y^2 + 9442*z^2
; C3a (50833/92680 : 2411/2317 : 1)  C4a (-8/5 : -8/5 : 1)
**u= 89/41 ; -6240*x^2 - 7298*y^2 + 9602*z^2
; C3a (-3281/2707 : 661/2707 : 1)  C4a (-1928/493 : 2164/493 : 1)
**u= 89/48 ; -5617*x^2 - 8544*y^2 + 10225*z^2
; C3a (-605/1613 : -1695/1613 : 1)  C4a (6817/4205 : 2653/1682 : 1)
**u= 89/56 ; -4785*x^2 - 9968*y^2 + 11057*z^2
; C3a (4673/4967 : 4109/4967 : 1)  C4a (988/673 : 3721/2692 : 1)
**u= 89/60 ; -4321*x^2 - 10680*y^2 + 11521*z^2
; C3a (-27817/17063 : 1004/17063 : 1)  C4a (1519/419 : -1555/419 : 1)
**u= 89/71 ; -2880*x^2 - 12638*y^2 + 12962*z^2
; C3a (-239/116 : -7/29 : 1)  C4a (5028/1975 : -5004/1975 : 1)
**u= 89/80 ; -1521*x^2 - 14240*y^2 + 14321*z^2
; C3a (15121/34749 : -1769/1782 : 1)  C4a (13/3 : 13/3 : 1)
**u= 89/84 ; -865*x^2 - 14952*y^2 + 14977*z^2
; C3a (-1163/293 : -88/293 : 1)  C4a (30559/68065 : 25834/68065 : 1)
**u= 89/96 ; 1295*x^2 - 17088*y^2 + 17137*z^2
; C3a (-2779/146 : -6231/1168 : 1)  C4a (-3967/1289 : 7977/2578 : 1)
**u= 97/7 ; -9360*x^2 - 1358*y^2 + 9458*z^2
; C3a (-647/654 : -51/109 : 1)  C4a (-1426/929 : -2866/929 : 1)
**u= 97/12 ; -9265*x^2 - 2328*y^2 + 9553*z^2
; C3a (-14401/21263 : 32092/21263 : 1)  C4a (-59/37 : -94/37 : 1)
**u= 97/20 ; -9009*x^2 - 3880*y^2 + 9809*z^2
; C3a (7897/7947 : -1285/2649 : 1)  C4a (-3231/2891 : -2643/2891 : 1)
**u= 97/28 ; -8625*x^2 - 5432*y^2 + 10193*z^2
; C3a (-281/265 : -16/53 : 1)  C4a (265/281 : -80/281 : 1)
**u= 97/52 ; -6705*x^2 - 10088*y^2 + 12113*z^2
; C3a (745/2331 : -827/777 : 1)  C4a (2279/1369 : 2234/1369 : 1)
**u= 97/60 ; -5809*x^2 - 11640*y^2 + 13009*z^2
; C3a (-3499/6071 : -5923/6071 : 1)  C4a (5261/5411 : 4040/5411 : 1)
**u= 97/63 ; -5440*x^2 - 12222*y^2 + 13378*z^2
; C3a (-139/148 : 31/37 : 1)  C4a (284/445 : 12/445 : 1)
**u= 97/65 ; -5184*x^2 - 12610*y^2 + 13634*z^2
; C3a (4/9 : -1 : 1)  C4a (9/4 : -9/4 : 1)
**u= 97/72 ; -4225*x^2 - 13968*y^2 + 14593*z^2
; C3a (-5/13 : 1 : 1)  C4a (-3185/36 : 39065/432 : 1)
**u= 97/73 ; -4080*x^2 - 14162*y^2 + 14738*z^2
; C3a (-212/299 : -283/299 : 1)  C4a (-77/142 : 19/142 : 1)
**u= 97/88 ; -1665*x^2 - 17072*y^2 + 17153*z^2
; C3a (-619/1493 : -1484/1493 : 1)  C4a (-2217/6385 : -981/6385 : 1)
**u= 100 ; -9999*x^2 - 200*y^2 + 10001*z^2
; C3a (-1/31 : -2191/310 : 1)  C4a (31 : -2191/10 : 1)
**u= 100/9 ; -9919*x^2 - 1800*y^2 + 10081*z^2
; C3a (-19801/19839 : -198371/595170 : 1)  C4a (-1 : -3/10 : 1)
**u= 100/13 ; -9831*x^2 - 2600*y^2 + 10169*z^2
; C3a (-61/95 : 1457/950 : 1)  C4a (47/21 : 167/42 : 1)
**u= 100/17 ; -9711*x^2 - 3400*y^2 + 10289*z^2
; C3a (739/723 : -99/482 : 1)  C4a (2127/665 : -35253/6650 : 1)
**u= 100/37 ; -8631*x^2 - 7400*y^2 + 11369*z^2
; C3a (-721/795 : -2013/2650 : 1)  C4a (-1257/1405 : -3537/14050 : 1)
**u= 100/49 ; -7599*x^2 - 9800*y^2 + 12401*z^2
; C3a (681/911 : -58171/63770 : 1)  C4a (-1 : -7/10 : 1)
**u= 100/53 ; -7191*x^2 - 10600*y^2 + 12809*z^2
; C3a (17/195 : 713/650 : 1)  C4a (-393/349 : 645/698 : 1)
**u= 100/57 ; -6751*x^2 - 11400*y^2 + 13249*z^2
; C3a (2095/1639 : 7231/16390 : 1)  C4a (-571/797 : 105/1594 : 1)
**u= 100/73 ; -4671*x^2 - 14600*y^2 + 15329*z^2
; C3a (301/885 : 2969/2950 : 1)  C4a (-363/509 : 471/1018 : 1)
**u= 100/81 ; -3439*x^2 - 16200*y^2 + 16561*z^2
; C3a (-1 : 9/10 : 1)  C4a (-1 : -9/10 : 1)
**u= 100/93 ; -1351*x^2 - 18600*y^2 + 18649*z^2
; C3a (-95/29 : 137/290 : 1)  C4a (-305/811 : 2133/8110 : 1)
432
>

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

例えば、n=1,u=1/4のときの計算は以下のようになる。
(i)２次曲線(3a)の有理点(1,-2)より、(3a)の有理点(xk(k),yk(k))を求めると、
    xk(k)=(-8*k^2-32*k-15)/(-8*k^2+15)
となる。 [Pari/GPによる計算]
gp > uxy(1,1/4,1,-2)
(3a+) YY2(x)=15/8*x^2 + 17/8
%15 = (-8*k^2 - 32*k - 15)/(-8*k^2 + 15)
gp > xk(k)=(-8*k^2 - 32*k - 15)/(-8*k^2 + 15)
%16 = (k)->(-8*k^2-32*k-15)/(-8*k^2+15)
(ii)２次曲線(3b)上に、有理点(xk(k),tk(k))が存在するので、楕円曲線
    E: Y^2=256*X^4 + 1088*X^3 + 2236*X^2 + 2040*X + 900
を得る。
[Pari/GPによる計算]
gp > PP4(TT2(1, u0, xk(x)))
%17 = 256*x^4 + 1088*x^3 + 2236*x^2 + 2040*x + 900
(iii)楕円曲線Eを2-descentの結果と見なして、MAGMAで-descentを実行すると、成功する。
4-descentの結果から、Eのminimal standard model
    E2: y^2 = x^3 + x^2 - 23040*x - 1089612
の有理点を計算すると、E2の有理点
P(-7433076/66049, 5110591170/16974593); height 11.1518978623326526359851761363
が求まる。
[MAGMAによる計算]
> fd:=C0(256*x^4 + 1088*x^3 + 2236*x^2 + 2040*x + 900);
Time: 1.656
2
> fd;
[
    Curve over Rational Field defined by
    $.1*$.4 + 8*$.2*$.3 - $.2*$.4 + $.4^2,
    2*$.1*$.2 + 2*$.1*$.3 + 2*$.2*$.4 + $.3^2 - 14*$.3*$.4 - 2*$.4^2,
    Curve over Rational Field defined by
    2*$.1*$.2 + 3*$.1*$.3 + 3*$.1*$.4 + 2*$.2*$.3 - 2*$.2*$.4 + $.3^2 - $.4^2,
    -5*$.1*$.3 + 3*$.1*$.4 + $.2^2 + 2*$.2*$.3 + 6*$.2*$.4 + 2*$.3*$.4 - $.4^2
]
> RP4(fd,10^2);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 23040*x - 1089612 over Rational Field
rootno=-1
(-84 : 510 : 1)
height 0.000000000000000000000000000000
true (-84 : 510 : 1)
(-2549211301295770854036/22286547681928698529 : -26265584217822723268141244995230/105211738861943558208070593167 : 1)
height 44.6075914493306105439407045454
true (-2549211301295770854036/22286547681928698529 : 26265584217822723268141244995230/105211738861943558208070593167 :
1)
(-1417987018543371498516/24942003744727758049 : -24828060474509765738948895541470/124565280450502161278135959343 : 1)
height 44.6075914493306105439407045454
true (-1417987018543371498516/24942003744727758049 : 24828060474509765738948895541470/124565280450502161278135959343 :
1)
(-84 : 510 : 1)
height 0.000000000000000000000000000000
true (-84 : 510 : 1)
(-84 : 510 : 1)
height 0.000000000000000000000000000000
true (-84 : 510 : 1)
(-84 : 510 : 1)
height 0.000000000000000000000000000000
true (-84 : 510 : 1)
(-84 : 510 : 1)
height 0.000000000000000000000000000000
true (-84 : 510 : 1)
(-84 : 510 : 1)
height 0.000000000000000000000000000000
true (-84 : 510 : 1)
(-2549211301295770854036/22286547681928698529 : -26265584217822723268141244995230/105211738861943558208070593167 : 1)
height 44.6075914493306105439407045454
true (-2549211301295770854036/22286547681928698529 : 26265584217822723268141244995230/105211738861943558208070593167 :
1)
(-84 : 510 : 1)
height 0.000000000000000000000000000000
true (-84 : 510 : 1)
(-84 : 510 : 1)
height 0.000000000000000000000000000000
true (-84 : 510 : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 23040*x - 1089612 over Rational Field
rootno=-1
(-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
(-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
(-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
(-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
(-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
(-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
(-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
(-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
(-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
(-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
(-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
(-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-4284084/73441 : 4846575390/19902511 : 1)
(-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
(-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
(-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
(-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
height 11.1518978623326526359851761363
true (-7433076/66049 : 5110591170/16974593 : 1)
realtime=35.668
2
>
(iv)有理点Pから、Eのsyzygyによる楕円曲線
    E0: y-2=x^3 - 29860272*x - 50478615936
の有理点
    Q(-266798148/66049, 1103887692720/16974593)
を求める。
gp > v=V(256*x^4 + 1088*x^3 + 2236*x^2 + 2040*x + 900)
%4 = [256, 1088, 2236, 2040, 900]
gp > Q=chpi(v,-7433076/66049)
v=[256, 1088, 2236, 2040, 900]
I=1105936
J=1869578368
rr=[6, 12, 0, 0]
v=[256, 1088, 2236, 2040, 900]
I=1105936
J=1869578368
%5 = [-266798148/66049, 1103887692720/16974593]
(v)有理点Qのm倍点から、Eの有理点のX座標(つまりk)をいくつか求める。
    k=-11/16, -8/21, -30/11, -315/64, -108065151403/55574463248, -104202118590/108065151403, 111928184216/3083775093, 46256626395/895425473728, 1206897228315835392955786994453/572360750632430207104549770512, 1073176407435806638321030819710/1206897228315835392955786994453
[Pari/GPによる計算]
gp > L=ss1x(v,Q,20);
v=[256, 1088, 2236, 2040, 900]
I=1105936
J=1869578368
time = 39 ms.
gp > L[1..10]
%7 = [-11/16, -8/21, -30/11, -315/64, -108065151403/55574463248, -104202118590/108065151403, 111928184216/3083775093, 46256626395/895425473728, 1206897228315835392955786994453/572360750632430207104549770512, 1073176407435806638321030819710/1206897228315835392955786994453]
(vi)Eの有理点のX座標から、(1)の整数点をいくつか求める。
[Pari/GPによる計算]
(14:47) gp > sss4(1, u0, L)
[u0,x0,y0]=[1/4, 1, -2]
103^4+542^4=359^4+514^4
6553597382445311099047^4+12416872071510589133918^4=5887100137809620288089^4+12500065387625324926786^4
4833967387977622932389399227844307124630957930685120267040473^4+6732117210931278917381556685913800620634033429405725224458718^4=842356865595472662646264276427110306934014002763539306377689^4+7140435634222255566117756314157630141431697165300873682821826^4
59698737512122790297963709810886750778921255332552835146120211940301408913131090158260118586246294842199924294187709977^4+89081013148941668894102352104773954246602473482616250007545303509390166547550588492970414780572491253833594863260012702^4=24283044582122941762196014074848286291872408768227495399332723977338641045880703955312375025999852876370068449102986521^4+93161124699269867282795493645819438408583017261969555477763501141900017175679240598593290469963801485128508446179910274^4
11683673854706312810689922652427322476000750588061567959202237680744299764473585158307521479532752
... 省略 ...
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time = 5 ms.
%8 = 10

他のuについても、同様に計算できるので、ここからは、最終的に得られた整点のみ記述する。

ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[2026.05.17追記]u=1/4のときの整数解を求める計算手墳を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.17
H.Nakao

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