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Integer Points on A^4+20016*B^4=C^4+20016*D^4

[2026.07.20]A^4+20016*B^4=C^4+20016*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=20016とする。

Pari/GPで簡単なプログラム("a45s.gp")を作成して、max{A,B,C,D} <= 100000の範囲で、小さい整数解を探すと、18個の整数解
    336^4+20016*1795^4=21348^4+20016*265^4
    537^4+20016*904^4=8043^4+20016*823^4
    714^4+20016*73^4=954^4+20016*1^4
    1588^4+20016*1129^4=13424^4+20016*227^4
    1809^4+20016*226^4=2643^4+20016*163^4
    3004^4+20016*163^4=3112^4+20016*97^4
    3028^4+20016*931^4=10256^4+20016*671^4
    4053^4+20016*2290^4=22635^4+20016*1948^4
    4740^4+20016*551^4=6936^4+20016*205^4
    5231^4+20016*578^4=7279^4+20016*306^4
    5563^4+20016*531^4=6391^4+20016*458^4
    6735^4+20016*2102^4=21747^4+20016*1705^4
    16079^4+20016*749^4=16357^4+20016*528^4
    19804^4+20016*5539^4=43024^4+20016*5281^4
    26004^4+20016*2519^4=32376^4+20016*1693^4
    28748^4+20016*3255^4=33752^4+20016*3005^4
    29756^4+20016*8617^4=74216^4+20016*7971^4
    77032^4+20016*12621^4=92548^4+20016*12377^4
が見つかった。
これらの整数解から、(3a),(3b)を満たす有理数uをいくつか求めると、
    u = 533/2, 1390/13, 3614/25, 4448/13, 4930/33, 10008/73, 12510/29, 16958/173, 31690/17, 32122/117, 35978/3, 45986/99, 58936/389, 62550/313, 112312/397, 282726/541, 400320/3757
となる。
[gp2cによる計算]
gp > sss(20016,100000)
1:336^4+20016*1795^4=21348^4+20016*265^4
2:537^4+20016*904^4=8043^4+20016*823^4
3:714^4+20016*73^4=954^4+20016*1^4
4:1588^4+20016*1129^4=13424^4+20016*227^4
5:1809^4+20016*226^4=2643^4+20016*163^4
6:3004^4+20016*163^4=3112^4+20016*97^4
7:3028^4+20016*931^4=10256^4+20016*671^4
8:4053^4+20016*2290^4=22635^4+20016*1948^4
9:4740^4+20016*551^4=6936^4+20016*205^4
10:5231^4+20016*578^4=7279^4+20016*306^4
11:5563^4+20016*531^4=6391^4+20016*458^4
12:6735^4+20016*2102^4=21747^4+20016*1705^4
13:16079^4+20016*749^4=16357^4+20016*528^4
14:19804^4+20016*5539^4=43024^4+20016*5281^4
15:26004^4+20016*2519^4=32376^4+20016*1693^4
16:28748^4+20016*3255^4=33752^4+20016*3005^4
17:29756^4+20016*8617^4=74216^4+20016*7971^4
18:77032^4+20016*12621^4=92548^4+20016*12377^4
18 solutions,
time = 13h, 37min, 11,515 ms.
%1 = 18
{Pari/GPによる計算]
gp > uu(20016, 336, 1795, 21348, 265)
[u, -1; 25*u - 3614, 1; 1751*u + 253250, 1]
[u, -1; 25*u - 3614, 1; 1751*u - 253250, 1]
[u, -1; 25*u + 3614, 1; 1751*u + 253250, 1]
time = 1 ms.
%1 = [3614/25, -253250/1751]
gp > uu(20016, 537, 904, 8043, 823)
[u, -1; 99*u + 45986, 1; 157*u - 72280, 1]
[u, -1; 99*u - 45986, 1; 157*u - 72280, 1]
[u, -1; 99*u + 45986, 1; 157*u + 72280, 1]
time = 1 ms.
%2 = [-45986/99, 72280/157]
gp > uu(20016, 714, 73, 954, 1)
[u, -1; 2*u + 533, 1; 37*u - 2780, 1]
[u, -1; 2*u - 533, 1; 37*u - 2780, 1]
[u, -1; 2*u + 533, 1; 37*u + 2780, 1]
time = 1 ms.
%3 = [-533/2, 2780/37]
gp > uu(20016,1588,1129,13424,227)
[u, -1; 33*u + 4930, 1; 4633*u - 673038, 1]
[u, -1; 33*u - 4930, 1; 4633*u - 673038, 1]
[u, -1; 33*u + 4930, 1; 4633*u + 673038, 1]
time = 1 ms.
%4 = [-4930/33, 673038/4633]
gp > uu(20016,1809,226,2643,163)
[u, -1; 7*u + 2930, 1; 389*u - 58936, 1]
[u, -1; 7*u - 2930, 1; 389*u - 58936, 1]
[u, -1; 7*u + 2930, 1; 389*u + 58936, 1]
time = 1 ms.
%5 = [-2930/7, 58936/389]
gp > uu(20016,3004,163,3112,97)
[u, -1; 33*u + 35978, 1; 65*u - 2502, 1]
[u, -1; 33*u - 35978, 1; 65*u - 2502, 1]
[u, -1; 33*u + 35978, 1; 65*u + 2502, 1]
time = 1 ms.
%6 = [2502/65, -35978/33]
gp > uu(20016,3028,931,10256,671)
[u, -1; 117*u + 32122, 1; 445*u - 102582, 1]
[u, -1; 117*u - 32122, 1; 445*u - 102582, 1]
[u, -1; 117*u + 32122, 1; 445*u + 102582, 1]
time = 1 ms.
%7 = [-32122/117, 102582/445]
gp > uu(20016,4053,2290,22635,1948)
[u, -1; 13*u - 4448, 1; 6194*u + 2259701, 1]
[u, -1; 13*u - 4448, 1; 6194*u - 2259701, 1]
[u, -1; 13*u + 4448, 1; 6194*u + 2259701, 1]
time = 1 ms.
%8 = [4448/13, -2259701/6194]
gp > uu(20016,4740,551,6936,205)
[u, -1; 21*u + 5666, 1; 173*u - 16958, 1]
[u, -1; 21*u - 5666, 1; 173*u - 16958, 1]
[u, -1; 21*u + 5666, 1; 173*u + 16958, 1]
time = 1 ms.
%9 = [-5666/21, 16958/173]
gp > uu(20016,5231,578,7279,306)
[u, -1; 32*u + 10693, 1; 3757*u - 400320, 1]
[u, -1; 32*u - 10693, 1; 3757*u - 400320, 1]
[u, -1; 32*u + 10693, 1; 3757*u + 400320, 1]
time = 1 ms.
%10 = [-10693/32, 400320/3757]
gp > uu(20016,5563,531,6391,458)
[u, -1; 73*u - 10008, 1; 989*u + 983450, 1]
[u, -1; 73*u - 10008, 1; 989*u - 983450, 1]
[u, -1; 73*u + 10008, 1; 989*u + 983450, 1]
time = 1 ms.
%11 = [10008/73, -983450/989]
gp > uu(20016,6735,2102,21747,1705)
[u, -1; 397*u - 112312, 1; 423*u + 145058, 1]
[u, -1; 397*u - 112312, 1; 423*u - 145058, 1]
[u, -1; 397*u + 112312, 1; 423*u + 145058, 1]
time = 1 ms.
%12 = [112312/397, -145058/423]
gp > uu(20016,16079,749,16357,528)
[u, -1; 17*u + 31690, 1; 16601*u - 530424, 1]
[u, -1; 17*u - 31690, 1; 16601*u - 530424, 1]
[u, -1; 17*u + 31690, 1; 16601*u + 530424, 1]
time = 1 ms.
%13 = [-31690/17, 530424/16601]
gp > uu(20016,19804,5539,43024,5281)
[u, -1; 541*u - 282726, 1; 645*u + 518314, 1]
[u, -1; 541*u - 282726, 1; 645*u - 518314, 1]
[u, -1; 541*u + 282726, 1; 645*u + 518314, 1]
time = 1 ms.
%14 = [282726/541, -518314/645]
gp > uu(20016,26004,2519,32376,1693)
[u, -1; 13*u - 1390, 1; 3717*u + 1842322, 1]
[u, -1; 13*u - 1390, 1; 3717*u - 1842322, 1]
[u, -1; 13*u + 1390, 1; 3717*u + 1842322, 1]
time = 1 ms.
%15 = [1390/13, -1842322/3717]
gp > uu(20016,28748,3255,33752,3005)
[u, -1; 313*u - 62550, 1; 625*u + 785002, 1]
[u, -1; 313*u - 62550, 1; 625*u - 785002, 1]
[u, -1; 313*u + 62550, 1; 625*u + 785002, 1]
time = 1 ms.
%16 = [62550/313, -785002/625]
gp > uu(20016,29756,8617,74216,7971)
[u, -1; 29*u - 12510, 1; 46189*u + 27557906, 1]
[u, -1; 29*u - 12510, 1; 46189*u - 27557906, 1]
[u, -1; 29*u + 12510, 1; 46189*u + 27557906, 1]
time = 1 ms.
%17 = [12510/29, -27557906/46189]
gp > uu(20016,77032,12621,92548,12377)
[u, -1; 29*u - 12510, 1; 26291*u + 62495954, 1]
[u, -1; 29*u - 12510, 1; 26291*u - 62495954, 1]
[u, -1; 29*u + 12510, 1; 26291*u + 62495954, 1]
time = 3 ms.
%18 = [12510/29, -62495954/26291]

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが1000以下の範囲で、２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、
このように20324個のuが抽出される。
[MAGMAによる計算]
> PP(20016,1,1000);
**u= 1 , ht= 35 ; ( -97/177 , 20192/177 ), ( -19/35 , 3984/35 )
**u= 1/26 , ht= 13711 ; ( -12055/13711 , 9312954/13711 ), ( 247601/12834 , 252944567/25668 )
**u= 1/29 , ht= 543 ; ( -543/253 , -322726/253 ), ( -511801/128403 , 284268538/128403 )
**u= 1/34 , ht= 43423 ; ( 35389/52253 , 36813324/52253 ), ( 43423/35705 , -32793246/35705 )
**u= 1/42 , ht= 1805 ; ( 11275/10211 , -9862130/10211 ), ( -1427/1805 , -298356/361 )
**u= 1/55 , ht= 11029 ; ( 11029/1929 , -8306810/1929 ), ( 27557/13697 , 22831218/13697 )
**u= 1/56 , ht= 4000 ; ( -2357/4499 , 3802311/4499 ), ( 4000/1383 , 12673835/5532 )
**u= 1/58 , ht= 56367 ; ( -44785/56367 , -54849860/56367 ), ( -217177/38545 , -2585370/593 )
**u= 1/66 , ht= 14131 ; ( -11576/14131 , 29692483/28262 ), ( 40759/24457 , 38631904/24457 )
**u= 1/79 , ht= 3483 ; ( -27553/10209 , -26127092/10209 ), ( -3483/1889 , -3523154/1889 )
**u= 1/83 , ht= 1236645 ; ( -1236645/778153 , -1331657710/778153 ), ( -1669181/101975 , -304828158/20395 )
**u= 1/91 , ht= 991183 ; ( 991183/135419 , -954693786/135419 ), ( -3856357/546587 , 3716983788/546587 )
**u= 1/96 , ht= 3949 ; ( -3949/3866 , 43334893/30928 ), ( -8066/523 , 63382373/4184 )
**u= 1/101 , ht= 4961 ; ( 3951/4961 , 6376256/4961 ), ( 4961/3951 , 6376256/3951 )
**u= 1/114 , ht= 29576 ; ( -787307/88867 , 846290206/88867 ), ( 8543/29576 , -65765283/59152 )
**u= 1/121 , ht= 18431 ; ( -18433/15697 , 293069952/172667 ), ( -18431/15695 , 293035824/172645 )
**u= 1/125 , ht= 74717 ; ( 74717/35927 , 463643118/179635 ), ( 104339/1359 , 583555498/6795 )
**u= 1/131 , ht= 63955 ; ( -621015/91363 , -718722382/91363 ), ( 63955/30419 , -81090300/30419 )
**u= 1/133 , ht= 53845 ; ( 174835/118563 , 243717080/118563 ), ( -34049/53845 , 14700042/10769 )
...省略...
**u= 1000/807 , ht= 1279906 ; ( -1279906/326293 , -593494947/1631465 ), ( 671047/2479534 , 1154210769/12397670 )
**u= 1000/819 , ht= 557091 ; ( -7589564/311147 , 3438357027/1555735 ), ( 557091/1432 , 756572599/21480 )
**u= 1000/863 , ht= 1352354 ; ( -18954957/618746 , -8812285907/3093730 ), ( -1352354/845707 , 741175323/4228535 )
**u= 1000/887 , ht= 8903326 ; ( 12451522/580801 , -5872000977/2904005 ), ( 8903326/2013997 , 91497399/214255 )
**u= 1000/907 , ht= 910032 ; ( -2305312/5475841 , -566069223/5475841 ), ( 910032/40219 , 433951123/201095 )
**u= 1000/911 , ht= 534671 ; ( 3252974/1293413 , -1671266433/6467065 ), ( 534671/404398 , 320057613/2021990 )
**u= 1000/923 , ht= 3317237 ; ( -86933592/1176911 , -41779110811/5884555 ), ( -3317237/1917096 , -1841212039/9585480 )
**u= 1000/939 , ht= 1656544 ; ( -1656544/624287 , -858040627/3121435 ), ( 4278664/163027 , -415089663/163027 )
**u= 1000/947 , ht= 2221036 ; ( 9777964/513463 , -4765988751/2567315 ), ( 2221036/358287 , -1095126251/1791435 )
**u= 1000/951 , ht= 377977 ; ( -377977/35074 , -185160901/175370 ), ( -6649222/3320111 , -3625345811/16600555 )
**u= 1000/959 , ht= 623221 ; ( 13930558/2908771 , 6970719393/14543855 ), ( 623221/583902 , 418331449/2919510 )
**u= 1000/963 , ht= 300172 ; ( 905883/124676 , -1346522419/1870140 ), ( 300172/95909 , 14062163/43595 )
**u= 1000/971 , ht= 1587299 ; ( 1046452/1587299 , -937101681/7936495 ), ( 300679573/12829536 , -29668366189/12829536 )
**u= 1000/991 , ht= 69314 ; ( -471958/357509 , -294819927/1787545 ), ( -69314/10957 , 34943907/54785 )
**u= 1000/999 , ht= 57193 ; ( -69777814/8741477 , -21094339211/26224431 ), ( 21266/57193 , 91517129/857895 )
20324
>
また、小さい整点から求めたuについても調べる。

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.07.20
H.Nakao

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