Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+20015*B^4=C^4+20015*D^4

[2026.09.03]A^4+20015*B^4=C^4+20015*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(y^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=20015とする。

Pari/GPで簡単なプログラム("a45s.gp")を作成して、max{A,B,C,D} <= 100000の範囲で、小さい整数解を探すと、１つも見つからない。
[gp2cによる計算]
gp > sss(20015,100000)
0 solutions,
time = 18h, 59min, 44,560 ms.
%3 = 0

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが10000以下の範囲で、２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、このように594個のuが抽出される。
[MAGMAによる計算]
> time PP0(20015,1,10000);
5/4003,20/4003,45/4003,80/4003,125/4003,153/4003,180/4003,193/8006,245/4003,320/4003,386/4003,405/4003,464/4003,500/4003,605/4003,661/8006,720/4003,745/8006,845/4003,857/4003,865/8006,884/4003,954/4003,980/4003,1073/4003,1125/4003,1125/8006,1268/4003,1280/4003,1322/4003,1385/4003,1445/4003,1517/4003,1620/4003,1669/8006,1706/4003,1805/4003,1808/4003,2000/4003,2113/8006,2205/4003,2205/8006,2378/4003,2420/4003,2645/4003,2880/4003,2978/4003,3026/4003,3125/4003,3181/8006,3265/8006,3314/4003,3321/8006,3380/4003,3617/4003,3645/4003,3877/8006,3920/4003,4003/5,4003/17,4003/20,4003/45,4003/80,4003/90,4003/125,4003/180,4003/245,4003/281,4003/320,4003/353,4003/405,4003/500,4003/593,4003/605,4003/720,4003/810,4003/845,4003/980,4003/1125,4003/1202,4003/1224,4003/1280,4003/1445,4003/1469,4003/1553,4003/1620,4003/1800,4003/1805,4003/1874,4003/2000,4003/2205,4003/2405,4003/2420,4003/2477,4003/2645,4003/2729,4003/2817,4003/2853,4003/2861,4003/2880,4003/3029,4003/3044,4003/3092,4003/3125,4003/3380,4003/3482,4003/3609,4003/3645,4003/3770,4003/3920,4003/4106,4003/4148,4003/4205,4003/4337,4003/4388,4003/4457,4003/4500,4003/4520,4003/4616,4003/4673,4003/4805,4003/4868,4003/4913,4003/4973,4003/5120,4003/5165,4003/5193,4003/5261,4003/5309,4003/5337,4003/5381,4003/5426,4003/5445,4003/5465,4003/5498,4003/5625,4003/5666,4003/5669,4003/5780,4003/5876,4003/5954,4003/5978,4003/6068,4003/6125,4003/6137,4003/6269,4003/6480,4003/6516,4003/6570,4003/6602,4003/6713,4003/6845,4003/6957,4003/7034,4003/7208,4003/7220,4003/7497,4003/7578,4003/7605,4003/8000,4003/8117,4003/8405,4003/8501,4003/8705,4003/8820,4003/9245,4003/9657,4003/9680,4003/9860,4003/9882,4093/8006,4205/4003,4241/4003,4500/4003,4805/4003,4850/4003,4885/8006,5000/4003,5120/4003,5445/4003,5465/4003,5498/4003,5570/4003,5780/4003,5813/4003,5913/4003,6125/4003,6257/4003,6305/4003,6408/4003,6480/4003,6641/4003,6845/4003,6989/4003,7081/8006,7213/8006,7220/4003,7226/4003,7565/4003,7605/4003,7713/8006,8000/4003,8006/97,8006/265,8006/405,8006/661,8006/733,8006/769,8006/829,8006/937,8006/985,8006/1069,8006/1153,8006/1417,8006/1741,8006/2377,8006/2385,8006/2473,8006/2521,8006/2749,8006/3169,8006/3517,8006/3601,8006/3681,8006/3853,8006/4369,8006/4525,8006/5341,8006/5445,8006/5521,8006/5809,8006/6109,8006/6205,8006/6373,8006/6805,8006/7057,8006/7369,8006/7461,8006/7929,8006/7957,8006/8473,8006/8973,8006/9997,8192/4003,8237/4003,8249/4003,8405/4003,8581/8006,8685/4003,8820/4003,8825/4003,8864/4003,9089/4003,9245/4003,9497/4003,9554/4003,9649/8006,9680/4003,9941/4003,

[29994, 1847, 259]
Time: 25380.594
>

■２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つという条件だけでも、有理数パラメータuの候補を絞り込むことはできるが、さらに、もう少し絞り込むことも可能である。

(2b)より、ある有理数vに対して、
       y-t = (u/v)*(1+x) ----------(4a)
       y+t = v*(1-x) ----------(4b)
が成立する。
(4a),(4b)より、
       2*y = (u/v-v)*x+(u/v-v) ----------(5a)
       2*t = (u/v+v)*x+(u/v-v) ----------(5b)
よって、
       4(y^2+t^2) = 2*(u^2/v^2+v^2)*x^2+4*(u^2/v^2-v^2)*x+2*(u^2/v^2-v^2) ----------(6)
となる。
(2a),(6)より、
       (n/u)*x^2+(n/u) = (1/2)*(u^2/v^2+v^2)*x^2+(u^2/v^2-v^2)*x+(1/2)*(u^2/v^2-v^2)
       (1/2)*(u^2/v^2+v^2-2*n/v)*x^2+(u^2/v^2-v^2)*x+(1/2)*(u^2/v^2-v^2-2*n/v) = 0 --------- (7)
となる。
ここで、(7)をxの２次方程式とみたときの判別式は、有理数の平方数□でなければならに。
       □ = (u^2/v^2-v^2)^2-4*(1/2)*(1/2)*(u^2/v^2+v^2^2*n/v)^2
          = (2/(uv))^2*(u^3-n*v^2)*(n-u*v^2)
が有理数の平方数であるので。X=v, Y^2=□とすると、４次曲線(または楕円曲線)
       Y^2 = (u^3-n*X^2)*(n-u*X^2) ----- (8)
が有理点(X,Y)を持つ。
よって、２次曲線
       Y^2 = (u^3-n*X)*(n-u*X) ----- (9)
が有理点を持つことが必要である。
２次曲線(9)が有理点を持ち、さらに、(8)がrank > 0の楕円曲線になるという条件を追加することで、有理数uの候補をかなり絞り込むことができる。

■３つの２次曲線(3aj,(3b),(9)が共に有理点を持つような有理数uに対して、楕円曲線(9)がねじれ点でない有理点(X,Y)を持つならば、x=Xとして、(5a),(5b)から、y,tを求めることができて、最終的に、整数A,B,C,Dを求めることができる。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。
ここで、u=8006/985は、小さい整数解(種)を全く使わずに、求めたものであることに注意する。
■u=8006/985のときの楕円曲線およびそのMordell-Weil群の基底は、以下の通りである。

変数 値
n, u 20015, 8006/985
２次曲線(3a)
 y^2 = -4415056519/60970206*x^2 + 9690560203/60970206
２次曲線(3b)
 t^2 = 9690560203/60970206*x^2 - 4415056519/60970206
２次曲線(9)
 y^2 = 153136907200446250*x^2 - 377103742282929803921*x + 10116693258623991400
楕円曲線(8) Fn,u
 Y^2 = 153136907200446250*X^4 - 377103742282929803921*X^2 + 10116693258623991400
楕円曲線 Fstdn,u
(Fn,uのminimal standard model) 		y^2 = x^3 + x^2 -184635344615950945959251120*x - 965083425855704104383933700824216129900
Fstdn.u(Q)の基底 (3276206855965617012253699521940/9332518876231369.
  5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347)
height 53.4387126319060925112522463457
Fn.u(Q)の基底 (472481713312693204887256919009789132103/9332518876231369,
  10262356120822160434554830535180433233970200961362178625550/901567640735132981684347)
height 53.4387126319060925112522463457
En.uの有理点(x,y)のx座標 1546673/9768639,
-1546673/9768639,
396993522/7733365,
-396993522/7733365,
6198839448337183977399493498348284782118475835722337/53070903182267823065004553226172326628653590868354625,
-6198839448337183977399493498348284782118475835722337/53070903182267823065004553226172326628653590868354625,
84977130175447238291685290625747129397800129698409425550/1221171371322425243547700219174612102077339739637300389,
-84977130175447238291685290625747129397800129698409425550/1221171371322425243547700219174612102077339739637300389,
550997977492043584091721141782087679468490530790155007214310889568539847312753348992828043380162743745314744074766067525359783306926138626176589/12343207398095239673700867823165839849990076668468449213712828211731716932451228380084815577581772045482443284203824918795347022029919265565086093,
-550997977492043584091721141782087679468490530790155007214310889568539847312753348992828043380162743745314744074766067525359783306926138626176589/12343207398095239673700867823165839849990076668468449213712828211731716932451228380084815577581772045482443284203824918795347022029919265565086093,
98819718429150488827649147792265713839020553807758404404984902663124125761204534410959033514119666996132440933335822299875548258371533640114079260558/542733007829662930330345324655356364276463172828302682106096226225011749603062048757935622729460302589135022913644576512479386557322246546783940165,
-98819718429150488827649147792265713839020553807758404404984902663124125761204534410959033514119666996132440933335822299875548258371533640114079260558/542733007829662930330345324655356364276463172828302682106096226225011749603062048757935622729460302589135022913644576512479386557322246546783940165,
...

[Pari/GPによる計算]
gp > Pnu(20015,8006/985)
%1 = 153136907200446250*x^4 - 377103742282929803921*x^2 + 101166932586239
[MAGMAによる計算]
> fd:=C0(153136907200446250*x^4 - 377103742282929803921*x^2 + 1011669325862399\
1400);
Time: 1.391
4
> fd;
[
    Curve over Rational Field defined by
    $.1^2 - 6*$.2^2 - 25*$.3^2 - 210*$.3*$.4 + 150*$.4^2,
    8230*$.1^2 + 4925*$.1*$.2 + 49120*$.2^2 - 1876*$.3^2 - 4550*$.3*$.4 -
        4756*$.4^2,
    Curve over Rational Field defined by
    35*$.1^2 + 272*$.1*$.3 - 215*$.2^2 + 2252*$.2*$.4 + 1619*$.3^2 + 2341*$.4^2,
    220*$.1^2 - 401*$.1*$.3 + 319*$.2^2 - 3602*$.2*$.4 + 9473*$.3^2 -
        3883*$.4^2,
    Curve over Rational Field defined by
    180*$.1^2 + 140*$.1*$.2 + 370*$.2^2 - 11002*$.3^2 + 19374*$.3*$.4 -
        15305*$.4^2,
    80*$.1^2 + 63*$.1*$.2 + 165*$.2^2 - 6888*$.3^2 + 22881*$.3*$.4 +
        15505*$.4^2,
    Curve over Rational Field defined by
    30*$.1^2 + 44*$.2^2 - 9147*$.3^2 + 29106*$.3*$.4 - 29750*$.4^2,
    76*$.1^2 + $.1*$.2 + 112*$.2^2 - 12112*$.3^2 - 58449*$.3*$.4 - 82500*$.4^2
]
> RP4(fd,10^6);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 184635344615950945959251120*x -
965083425855704104383933700824216129900 over Rational Field
rootno=-1
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 184635344615950945959251120*x -
965083425855704104383933700824216129900 over Rational Field
rootno=-1
J=3
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 184635344615950945959251120*x -
965083425855704104383933700824216129900 over Rational Field
rootno=-1
(3276206855965617012253699521940/9332518876231369 :
5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347 : 1)
height 53.4387126319060925112522463457
true (3276206855965617012253699521940/9332518876231369 :
5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347 : 1)
(3276206855965617012253699521940/9332518876231369 :
5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347 : 1)
height 53.4387126319060925112522463457
true (3276206855965617012253699521940/9332518876231369 :
5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347 : 1)
(3276206855965617012253699521940/9332518876231369 :
5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347 : 1)
height 53.4387126319060925112522463457
true (3276206855965617012253699521940/9332518876231369 :
5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347 : 1)
(3276206855965617012253699521940/9332518876231369 :
5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347 : 1)
height 53.4387126319060925112522463457
true (3276206855965617012253699521940/9332518876231369 :
5925521071618378748598409085628689220832477950/901567640735132981684347 : 1)
J=4
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 184635344615950945959251120*x -
965083425855704104383933700824216129900 over Rational Field
rootno=-1
realtime=7.903
4
> RP4(fd[1..2] cat fd[4..4],10^10);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 184635344615950945959251120*x -
965083425855704104383933700824216129900 over Rational Field
rootno=-1
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 184635344615950945959251120*x -
965083425855704104383933700824216129900 over Rational Field
rootno=-1
J=3
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 184635344615950945959251120*x -
965083425855704104383933700824216129900 over Rational Field
rootno=-1
realtime=5809.197
3
>
[Pari/GPによる計算]
gp > Pnu(20015,8006/985)
%2 = 153136907200446250*x^4 - 377103742282929803921*x^2 + 10116693258623991400
gp > v=V(153136907200446250*x^4 - 377103742282929803921*x^2 + 10116693258623991400)
%3 = [153136907200446250, 0, -377103742282929803921, 0, 10116693258623991400]
gp > e=E2(v)
time = 2 ms.
%4 = [0, 1, 0, -184635344615950945959251120, -965083425855704104383933700824216129900, 4, -369270689231901891918502240, -3860333703422816417535734803296864519600, -34090210481454826301722471691684389367582808085774000, 8862496541565645406044053776, 833832079939275171208469323639686471910976, 473736509406290773171557026552585777874843025693094249229904578277094976000000, 169944959527371057095204134489011099621796224664680509299008648299724293740184881/115658327491770208293837164685689887176475348069603088190894672430931390625, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, 1])], [0, 0, 0, 0, 0, [494880963003186220560, 393216, [2, 4; 3, 1; 5, 1; 11, 1; 197, 1; 211, 1; 233, 1; 4003, 1; 4835113, 1], [[4, -8, 0, 4], [1, 12, 0, 8], [1, 10, 0, 6], [1, 8, 0, 4], [1, 8, 0, 4], [1, 8, 0, 4], [1, 8, 0, 4], [1, 6, 0, 2], [1, 8, 0, 4]]], 0, [[2]~]]]
gp > Q=chpi(v,3276206855965617012253699521940/9332518876231369)
time = 3 ms.
%5 = [472481713312693204887256919009789132103/9332518876231369, 10262356120822160434554830535180433233970200961362178625550/901567640735132981684347]
gp > L=ss1x(v,Q,40);
time = 7,638 ms.
gp > L[1..12]
%6 = [1546673/9768639, -1546673/9768639, 396993522/7733365, -396993522/7733365, 6198839448337183977399493498348284782118475835722337/53070903182267823065004553226172326628653590868354625, -6198839448337183977399493498348284782118475835722337/53070903182267823065004553226172326628653590868354625, 84977130175447238291685290625747129397800129698409425550/1221171371322425243547700219174612102077339739637300389, -84977130175447238291685290625747129397800129698409425550/1221171371322425243547700219174612102077339739637300389, 550997977492043584091721141782087679468490530790155007214310889568539847312753348992828043380162743745314744074766067525359783306926138626176589/12343207398095239673700867823165839849990076668468449213712828211731716932451228380084815577581772045482443284203824918795347022029919265565086093, -550997977492043584091721141782087679468490530790155007214310889568539847312753348992828043380162743745314744074766067525359783306926138626176589/12343207398095239673700867823165839849990076668468449213712828211731716932451228380084815577581772045482443284203824918795347022029919265565086093, 98819718429150488827649147792265713839020553807758404404984902663124125761204534410959033514119666996132440933335822299875548258371533640114079260558/542733007829662930330345324655356364276463172828302682106096226225011749603062048757935622729460302589135022913644576512479386557322246546783940165, -98819718429150488827649147792265713839020553807758404404984902663124125761204534410959033514119666996132440933335822299875548258371533640114079260558/542733007829662930330345324655356364276463172828302682106096226225011749603062048757935622729460302589135022913644576512479386557322246546783940165]
gp > #L
%7 = 80
(05:59) gp > sss4u(20015, u0, L[1..40])
u0=8006/985
8513710387513^4+20015*209949857134^4=8527633537859^4+20015*122012568856^4
9892332126346429069688889044164658960191848102869506039998033551555613270738667910553646254942303626304035^4+20015*282375846852921480964433503904805379625885825616798886856138678934021519680884390219919579234359698449992^4=9925032812819466394586889015510060805356844220367653327693761849044080174621341735884401992515201427554265^4+20015*2411350229317465545384305070959991472669092998108164006242023765105913395933698810937773983094372796242^4
2677651100023618434981109559850488552207531569795312055822533434762892478328869837245922825028883845330896533406380578399171989175645491578236184558369650942043167887283166034896128860985587951254126001206787530210231033783856955984867477707280557291599961248650508760544906753647258616108293^4+20015*66680387190839598447192830900882557165237093380565781626016688802289031437057753259818562302480089665266565530086182295250137953199601610360376839747332802418023869520001221278145719210939803794285672907913249355673307795087120078111916422228362388282962817283155153566658992906461835606058^4=2682290206168498752428379800354386881589412555237532430773808981536199171442827714063918824549894051072804350925002296223125105100397923131621600995058828381645481051740753148842918794116724793219285668091432989366306082302758312409560397598020095239610331676397752987509204244284658329188551^4+20015*37242769748266728770397483705109275936877996884424010539720740943619058778327792120177159846186420220824987595710455752892289885898906305825286884259430380430854143969290056224344204387451055476689659943242500742109470154591035119059513486687681708894272710610625443818053264525957547224088^4
842272747303162799033067012868319848061936255572096947813402955308565656208300443031102939857877232544527729248469653194941771186006990401175443674151808690713995636786030082125943948892901609224652169476445917664244349138849376177434655828715258616476857572594131251280529425678698069649862788471673857934038332170661482490528750032188990767662393857654484936034064078596279177299734492529169544709584923026613569127941416182926931964103784178562076768309931287053084484381909585540151063040249791240000267869247982770087689793991242525250778001690995650188375619553249^4+20015*20560428278649130478131645038585085860100779058859482329625615321946467751318728417244613393861950485519583137611507922286499692101520881873282285453297272612592453753115166454962187213750051662695770556889628564364897857132398831135850493229371461388079963333599770245450505941323410860998939463728561084979560980244864095659347201615930415792919526381222132147319492038441366480045567298078105926148678754187341425532272000175272419268881228575433560191323045651668900781044050601890653407691970005712657670408400379758531033038985572747921701757218017674536046240226^4=843566757587447067141368165552832665540238907018480047221389890209409079966484047974769174689184960209106299340288878825567211414238260332429862315344343150841294318441944321675448133356831363078515575140398414628962266803174228685361496587737536519698959571909683876039096179489673184688718286243022195132764483877257563392240770087099696382166803030186470784857706272187823486033712499812354964489129151019066352700468022825506375267865366976943432811794558956671446339191264546337065222778800253219646373004462081364417741344279704157303683674250608255612070425301243^4+20015*12423208153223079198982841619014313958456801783604296608570426719866483557573296642474189456637895524839368897964055496152026223447065158793227434611382805062075373253678175025931469341427994072405183852807502737436679933528049505797213200850030785360822585390899119254640497457100618974420940845715449826518155483708187188469489906052856489229120994811536853286188391520565177783072472048367566379272525478748064242373373015668000029707200422181279117506151232618023900124696755679256879934350056577655613030946453504625607803349011937724209487568932854664017981427736^4
307799637634703415443287758724178004223477276460755239588327558931890603368248493481303234114197813223358945225766072173399682352924424000515646306800581496934310144897164042278774969495518372299714897573284788131925777153994041375464265957962512765916865317475014714392554089923885798812987823700104077501486781259393278208431878539959781766294170196274126723457751021310031367066797545614005848066135832209877127160273569303950241916746383045837580070494784577625443146284759567486634882117582415288158214963839581437451889870108336211598537327793196408074356342756841482486638442602041080434823214288192943372261416094484680528115965890512396790009194719143661973094185107743579978903925896310344917131342662577248509079169459431174808702011501310959958220214325389427616102327627727834781427044653732824718212644584066047044507769980595957962892880665054659392074000578324363520230371024528038178302226798890959578866318356451138015405695^4+20015*8783536959737599743638933460951559331884984127896709415312609534133803557034440941876978877286255428243365688707522116659979287718944372246208551054732361284446145011936476968449201562825908662073204456440430199701835480492911015324997361589621245325068377030060216900715399065520127369363576732554734481649939787456285474026478455883036817192763569457007121260625783874454052909511919254554541688345733130079360832728493976000623172318958963049576518391192076094678710024186818527392695222000381889932104833462062183392288931524150771816044532912741707288420217738455533786301812739441438385069852125207239284675107836718240603766626888867919562423682228525756106540684823298585068457123734158765159452065934930233552738070640582851105819165697317614037850875684873060136563098793827647785091475520782228120120405303702701548469994052117586884755426764997776198043405000066537093239435022766965312341282370651393425823343418888067473000776^4=308815929620570358911053873918078908916985005829258319384537848924206459188632933655087021538198437111374071630303069277751271555234399920518354419924596954578621480964970826561546864507876116245437224999395234319836859441958075306365508185568446434710615702481418361427101155063254912843092914801940986076762510906052295344794203743043926920257029751212164080878385714841671362169941861328994275839746846410990245038190495710482499432375630648735759053818176906589264822611011981099418872846458746904198580142331831017284634154091743613486475003963383803794485348989348126143113919696951526038552885439780996336885067575114469631564151590176754552828490842837112085867693163581546656021772659809576321345126981794064770593854329376735953825948840847657480809355368316260350139131760160882385659800351216913676728824177170709661669281626233733894847614381843268773733427396683095928230963754104367660591654585705022819294299183160517642969005^4+20015*225064967402089797900280197762236239759273799369744467565259816475123592617418357511124982408379525662997016028614967064108351759680284408914219974841702067109495308813961957345525876897723237342035902822095626570147355089406826552999636971872721862484717213511854715526103168887853176569720682686580659391730865482688115685526894727467347071094718835618855103809018449770448181521380674254490103055245497624454320765968279598045522264371615312154386640762179674049221917893258586951629348527573353658739718085664978927978388915971261289990419053374780691260895752024633723442449758818119192054053564850055006775305329897074962912553470727105729727912913645080110749118841568029463802922708222806881572332190470063558643123379848417019993536865295158863756920225548983568642952373163601467784623912704797731487573178111383250693582365569869661146271649115065748198235425986038198833979874935578041988059153595344789314958570809244117427974^4
26203428449672810931176668294307522526887356105702129225842529960205544351748428120431456494469359085745883969937011781899792218889929254539455140074209547878159861907713464955645033441245509982015008842822294734946207023472206191854550054192763259490129543262312194517578287858737934608321333265900666312752095212538820565357919312227008509836428555593882450225670581257779663166022241128736584613783380167640916445254759201370019239540499313865754058822569180735536189098938812507325698639661185041459623576086891179997850581054068360515711757644395634339742498273106843093841839436885599528616902028904107358562695843285164393010461029111419344260819317081569230589360469113050577823509239649832870205632779975863431334237257115680296006902018126231747532898602506085452947580218021119381148284568872631516880170882027439449624354572385260585253154698501201478592950254831568306549699041125247705934097540122595568310971259281177284322523341059849914937376333264200614408347614805799682442419727833640266614528419059595022656620705446733693455723457848362229442397594793376440556646803802914902090181714916324214941333977878934918601316805892498859174455265847714284591239787414502865539782714312791217291532480250350541820534417844711837933093033606043981739728938735646341551414816643821594549857572365312227666448587295777030562176094513583336937868984100251058362921929275406506858320451352997590869^4+20015*658692946075198488715180697213319743958119165936570834905690316623105840082183637614700664758038083978852729977462422605415621126538190260086668515748173561061004949953922195784216238806126746694898302175466465321376087610742754662485253789650077707487215993618599846249057245921030981946684193079055880455946840873914818893263164295446068504974768162032219228443096271936575876111066135640584362741257743213889160794545474898993186991464476529318630957771092701691486746557050398108168479667798633374955470741566645313222138513227573267417785682853284916814950629090241513770350925796843979468688911645888650611804028481416227086601128659457500389911557117301625790102175643428806395036707836699218916480216362367927468846658362947785474285119846478131278817835097350326494632675192642586423476941280969640361981068963670342762836599982622000973989036271304203866749081624816185200219615544392704529626336057704659191328566246987081060444231219873044137995153390308688934398198655147667311162184597380496599708632603508920200655879065823087314131556148366364481038161903787139989465111109414222991176855130047002393834919838634029039201805815552875532232425100324178973940115810305176802413756493895718668254589345589417147840300705132144770015209035698938863878951786194340865460127764725774546726925998321788500728940775565017541122752588212837182666774665049499911581412118462641915203552520378777398^4=26251319484812343146875013470222920731923773172406136840744695179731113069093132915755985378505769296056142005218220374562427130024584745662487579788044709984205993377492305086244025075957133656710564104597136469924365358683041042866555343761649598609765038227027446205083364205911695233761284717257215719161430078315875836428870100765011741318166381301369138109794074842766037732211534642400082615627650276441855525402515538313256978983544472965960499816207753188750794141946052046085022789624269503457178805066479304106721394816409637384569178230774079510462184691057075195890253821569784460513568832705416937071535856437829117554436687588420166081732037151543427790423337563696456552007823857798427612857171518680844276690490738578692792463052444155039990265913853316834970238026325183489770755713436477330343734437014761199696667606210032475981229517612017842803372333925763545841479819550527760927105147507924667119240279326661436515727090201469363303545631561980640988318039020841584463407219115146656820254186120514284749905623973904348170358660147803651507852862968292000983062381244274356882638030864123337777680332083665200198224767345425041071684803407067485699845945075970000268323639022289426540805009590182720301068220207233898671907999709683495480523503990341042229494031184094678162594750796349251019541815390698309231101389955724858910267800425066838935901829334839087716369611452850387767^4+20015*353276647226177133771635049614430937715943963867266670643415610739874966278023087350736278649664818286501453183186699892399191539564549031354717565774877972905146609675691717202752808578631649565791704148543835798728982946113859415119115605296966047145785956909588709739399620460828186956562530087796220477537895254831792652983718600671836940976662272772357296231249650746970288315682639859242203525836015472426548276993795600698104949547762825058554948383518375093121173060355471264405103900543007362198283941314226134201105552581594169795011461485167939491777279101502707627606090613857005246003575183098117719014679381669360904012494618376501811089914734535987432253008549611892194520842004714925052389862423264675054247705885513747378319211348390501381340476779430585053340644585948448963036971807163442379442410244011839414943276512722428404525219994775824197309436398281995325924906901798730845562625334721193371319030131306552246946563930411185648597079284726259528723305908853362605061826882736317617782356849982359660539828673415362758147293337311766441103873289110992698367470440180393771709659325356875576612200586473459430205525605338977844059934988113446223923689222961960643133209068621690632575073221244465947026513195640878575557116680319242589778005373840629608213780924011832980924357414988782762775211354300168497139781419192064714014030370437045721496649500915197028903220180877367832^4
2592719839741002694062817459353966108348384503423721924045800763582483130094317259852397811343503464233690591185314062093031796404554294024874950730507065004083252161616861458175360250140481048330440506227481711774449989430509913124439364550576604858374098002572187058585538783091084691178722251013909932575208128833710615983327819925182547589850512775331003037964448554875518793351406183709472743348931948670880783895453165821279442939375503623584826344134105626392097792135827439333375441866407401590766893892622955458198458238822077228142605677203845899526643012246404627187119762843528024247598106486221996970181540112970459784434159604514819475300045540155421465618933838779921837501362456930714498178723080643911994205759287897244308620135883360626975323975997096247071980279488418519932064352562436892729221767855906152955805754590735655534497491811172560677690147940657683468203988937319596071565843645998323685216008614820730380246779981851680820250441681677816214095246489300280787078992986885337174914415201197773883771472466856880854452239303285900400758482459571531806583011855170622793413396450121577709247342945934405706414505765502173567453138970829602543699420606790004207864561825362718645378455442494926557012055133745824263492348110839954381719951741964331535025150202264151281935728673862091030844048398027853574744730096051566588822258830971177592617442459143471867083171686559249375637537060272471563418319786387441613514903304626715949590436696977761902687705217511277054845619257538847524649801953980401834665211092163233627270631106677973506527697387536591806837984696781677266776561607036691131505218713296748250732144501302617827628283237168689430910752987124706524288443335979945837149395756909899202380867508144084853335783042142650036224756565900358701683265263193218685269176676497035098087602296376987697172978617703221770879271769839868185597581473805996415823644482813152673627325565442557429000761580972972442735389121473669981^4+20015*62624513763162577248523893143369795577363905439647211598325726102577870039996410542247906944282555933805811065903091961003581498344296706903216015395788192231042226123387413935396733731456008229845636459580877071521053744178817689781302956450086344883405845072034942384061508959722551702781604140519862367450710788294255613400110532812841287179035068513115588094529830380297848804083498708773391008005185110529572416424986575750819636439072606324328354571965494763055850142497634694359814219200959597118128438832733603116822719705039079991458861951070907161943332427980061818405329392280305306586196612563186521132261973206458918783206939183363729218796965551748945964328656635709460181050050680225918226509444870621400808344486886736459302165560413328027997974752874927976480988285520955158090254245768173165429108981572262079035532953233860718627076260353504630452561981050155483321857511194729954017633551866857250090849022171336822426456882085542637364808985368599386550140685231513820571380579727453480591668128908909306491883290302129656211662890753161147791682070028608436136697151684144865969289052758845922279445615994510471512408369145982240214123421909578308466267768369290292116418733378752220054994281771464779615225422034018425901356497269764206085344168634501380247194886465084905983727034615665362073610099439253679946050162349521620008661454689874634829253510431984110725186059435856339228040021807005853584538465670737462458902053343996575603310993974840393883768985287992469777485458776274562451556875858994662017912852277010801995648597515460095121184461236998603955236017536061580411538404439578050927504978688882246253162993342514394699470055336638380418549908561751470181176095088963727931588841715981432720643249062725677435058215750793296289192761552950458084906292628256811508973099155094082083082875240122951481842652953230760965152099902023505737139940830849913270093188964522295729490704590241631962443250947873511825605180852236582^4=2596441688497406247114034235485170101221181455859581325916651141246167538990629976625872546938552615214724306625275417231666040804262216005610814484446204460372641369052756394455076685825606878155204888942789012653558307894633839081957536823973127791361283763869816546991077258944553354350739267826268959535350186547753722233264327694766848308893625189607087412007657812282877118548392624787116169197463247302433112827336380377313990198735558781502329667612654969148378677464362391789174904234144257693431670113824617902526100988584433270793601053594345806354021610053533861893495703695323289204297108494170705883175940968810030793275231226871725512618388440055461928323044418438308319194761999419239009082866837301995519144592184015305683792486538564025849417817064051385186816162528191047279998059533179755705818750977895885940694185159592731842728395853650606866707852632799535875055444819527782311850911108512282423446931864997329734678773576113992990962912229032576919822303341246238042808385347542805613694482377967346436348027823189242597685580193793755767976019040590468124004477344483152172144025848037177628533759797397941845432918928968327318992697583315731492043592002706320591331673853864550790793247919026738953905457171582498734786094782784204265611985093911744002205311619163387802845360545554867149965011694004021136818937210628201063305388762357355611755190511633694989612650141421566299855093600851362605669451600236733091799821409911219299977488737481042628553105657118523780931621653279462188235925221175841915319259893419641045132874358763536470643164615893602669283007181474427925834329545279218856779308110753130589138678508109111676180306821403652964532700692452296379614610732252051329245103330029920972569028805026952259215028114550652462141992801073582851639172556115523465837496022111736458196751539633340836901668433804725544130132385138354785272799077946243393884150917239265199109842525972690997854723834202152259690546530271584783^4+20015*39314945498413790792667552699650389448695589331031449894503749191558491642299687309062656289086328138135991903535614442269390638658540228253991309920245555583270258081608497458766757273394119020971793406753821511511035381622923607356175188677441742015646813021120816222321801559848646638801629682812246956050541249140655368582855736832276759380381844334863032399871668003552979582036186407065937241355577796338450394937052481088265008178269121405377951413854410261945651119156051863576497998009479568856056735757830790378480501560973291600436255758035074338603376723036877446263176225232684421394939667821591359388865390655381744920206390003032884149815683066924770689329321994848838601486558532043111876643684976167512025937057771847854599327704880672686247950759498968693177315219340884168729921003723305289497594151298080930724646948668444633868204406977192461946231749362129838807692237554748101387722027122096967503559871346942805719420230325804070215637959722264483954143085104361194658435067694569098584812146573275798090189209305336507716265954427323125867043569020139106019216964324409627939335595241066018853208326345778748887247020395874308428531726256235391308383975696597752359152542295346524871392438473210196401250062805685547757931674492735836744274612249972564382760483935620745495123210923686224551362458856936046716657732710890918633648274082928451017029812074391494943907600123397180712400395204269634779210780200665863257943339264869632385176076024028152720707764367904100424719273550191909309184936582836558220692207224803096018499814526082266340617802030593756200604689993536476231432496810053900643214419908390958032414165089548652359405888942029183920243138158807920349288795726519464728133687505687385919772762912202439536211823086182092956232045375229455441263659166926388069547593465078523163610228633660834940854156546985846339677564276416480251047062096904771985074218400568612788120692466479986996199518315205805786895338268548888^4
297993597822743574104197778016274078157616070251008996306208175549829781542222635533635572694049001557213255557921362485941056658240420491161113771462221542677716730879873815064443685452704012163353608466544754102094751970962401105704828747687817133542259380668061838817375537746023717683643494381911987935239990134251714549842067127360544623860799987272809724285434871983440218325747649826512495361830827571794570577538778194835061520487660419714996419936732105522723605506970350150861478195628445783938303995556811614030922991030680892231806234918712838874042536824625229339329162957780422926738318262329033743547988721996247712604949001257439247157488753657663007459284403351064053423407177876677090777158461521987691478320911194521506092272538874807646516612128307044580087073901976589421406823809277144821123542409014856985962506012310456357468675727447605371588768009543919044932876420129854965659277930687648394192917036163661815515550915687914832290295524625168454137606178426177308261045641813216937781668275856501317214435716609383594030755056551159127995881185778379581506515317232015594196407183959734234368437856434438906559721416392199993053859189754789941080440844679726103977563127551571280985992848541372455170816380635579149536592269789019732297718905048359293171704864338874911714743942016548555226708826363525371393994895521057082361991335180910023771347289867931239400961965537969096942468022289549372352782745425263888373235374795324177823128229199319132713190642301934888137823165791136917234867607481362294725656497050396450279893300704747256548204535176485298764150411389216510467024972658410615371045589095387901094026971823082893983460896842159230455753164768245563720398204572603790254314422742394049520841347585056535929005708885974084464190070954769835420052462772408946832130547181191117622026987025401951653365596553799313422776916006247344066428282638726926048921353583102830969888610872739852952355351770987622699944491516107749976311764868894956450852621616057464125361322879079365150098871639358875006868060040194764879599274099937968819042121412633786506037111233190429105536849246663552459478049416982527833075503081700759382924992885789371246066933055840660936529858871635040816874194790662643261547976720073742703683610269843881766642258407777634515441495999507492478252259058647279213408530214883606174752750260760032908699889643601792896488761716553492083671046241182584945578306651462861898118928470451208494678379720550115117436459793423385728642745011566165584014330297053102072292337612002571376256802133424197154216175192759339683705484298583024200313724352052878855^4+20015*8498712394660392584429727567861283276882268396274464157850010845330572238885904041334347595302386321720192419513684867699453372414655364138749993041032938434670011061057509892368487755397552090659141358089073476920101698115004626767212633529589627829475306067540783119010037408917037409609097015042445075494277180427580030002797700771906688573065404326027625798631794534782466946201752545000862554729369073740208325893109351157405543898051090902280781777935271701516721551525555960173244513582420967119722737637311143327287971306175285006876556746653471704873438692853153519555311703256901019786179085516813803931579682465240096562317138919877415955559628418283183273339552716560886860507947390652069499857247600007109760075398839338335320722412401469880735432897807883817524209957462631362688808128996160786636462045181190311566432375427787533310569948320776074939784599456574074234617008388932626820947425319907069437901213536310180859430795498115798139722549451280504177958687078277498693321122419771038236203444079818584924746260697649071626225386713159793580996240268782351391568948895661656166259064217005328955697638915984743389492789980642066542027099253178415990453110495933818167659798796878023281568230122898810608944177120617862515264719030945066036052619343320598827328418679810380048118294146766980351120057598805915176425989960496957826172275035242895328566797696826149207400001424645955860163689210413081570940572886502312351552241740369695870924127859056040746700404474203563136600778065756729220250229301051798886066518932430405468337708546628035480724638701450112018205456763128037344750839487941905442648706288176275783850914581913680349179985234384472948142592331445018947084834136394887232651895662523508626146164143521277371247887521608360548331037754924165388607268986796849000941428729964286628450435463667232725728242486098921694311298905647377636857446272481524466620320421964152326066969957492256436890090285849922471823594934119770703849194313391857010861812591435806747782024890580033869614549123023490157307648615391085184510122440419060678080460191364218064251780109541600189952646622818289050118430738077734359014299341841454041016038102338806369491219825851781056808293357917804055240930668895110043157721187086646334822922241956130473905272160786271832107625303924745214500650893173630073565113478944678858251794838727818165508299584159012487428570959423199607517822051867504801531238951991337790001566581767480977729607626678915933078172176066395982690729310891095960538899323645580701433232368990455006919825917407152069832469538354688705179667699367206613630175043880461384^4=298975211447229733899029541484664600746694432409589502046098644375136373277021741388367085284154871866736024637536794869473535563568169377445902020053120013640345770340212454852169261875039594803134754991077222755217551745083644484903762735303430649739596717819453170007932324815193348835457231869460155997116922339786547343581169539154674751554453931557654183828074194085972571341715930633859219067689829647730558053316702262742528629626301214620333129012515898373104239008726089885211241594410916296589970215631469499363382406065253291960049000135658981174086335845854127550623627796648754471102180607234297395451019865247701196119648130058204101774512328221407697972520087111132862557127791948984540077692898660818163175573545208770294883819921174953235353169138554531532455313599763974921787181078519416630516816443870746417685396291170567541711133167975644369913431091292883453893491614814273567771460657221302146179676146379021700536112472136597065920129181343557872887749272837722242641831127178048753976794933857666286506293434681915643624807532773081951333878448851890653722679641203911300435089809413896962220042226626046376625383405716553604291303982319261191145562105908222136987396919129919988512075864693526905872129069704702204069840912637373131217369961487264816633876411444823327294414999608069350848720368119317708839235343327762824744774240006103761515701823901343764559067243091247689576048630289677707509877816507749353596989248007242984672942128934704656923315333398277696601432914222454851921822210076446002076114601813538798524430054300904198475922788607355923903268421048368180087028777249264743455365891165837060120362909717899644431752355718875075488691005638078367273239301266666805128921404512936157092455235982428102805608990188152211794624958211199133314549246569742147375559123229364028035250347888057504732479364368740152787198420663596924144431992599590298061489656087194012506657811649688123266879956683684496148736023262348630718413987876742850401615520575823862017629463154479291996504491739757374313799651076190230154397491629182587732776170437310123273444918249073634289934214587045416534177027828533687062654685477514245762034373173695210284002412398787349849549960916959396593811566827653867535120321602727845974577713984374504123789515559182584136466410331941440715414412896158972782856347804615760917756394957693748515772854685119015377484217675571177395629286797166340611126659678674094238455386624900053964197929932241158161256722850883320493336942122135874957535560928696727219755061537435715602333466698199535982444305789094095508113795262281045044082216522561000645^4+20015*363085871255293717638400936372893510079295703523080419380167568414957365412283334194874984574235440984939977281432434787348042564926446864469522636278408407821476558754132031411548695952677551840956728598996432701965250129247964666588325390513017005097247898137836749336580413302742277205722552603215651168514236821998289400507304928930378402390988560804169442367197142700443285542604112664752891208537868315613569205327900159268639698788856555015395093436078211548133631983336884594037298563313691729840972413017109678429952232658705210714915403062103366769607784266127033898960698303301038021955643928202923123811335724049114938803029662093141740217772267512246108964706002759237362028970736296445239345740741752549602317275604008471939325186314583544242972366833370081202860395517325563205242224883592533983034810628506931239885824223971076811559359399662907317643519844996348867830768646064293886763095325131320974878524201403039385258830955941291521182935282187992912062946996892168821269080914535221505695209268074121822124649472750394120304720255247342057444369234467041724862809886185883088016647220651719684349658786358367416945623830744893761859215738812557142295517657491352442048297455442770036130192977825242707839090102461555958365073484746621444003595543307654929903826946520252765187531178379057674117046439429917226299624540355595487314386834496686624548938142556001199459011980962373954801870612446761510562398302615333886515859847844156136621002053832626361910891565235126805250643994394696682429031309272422867362876498411602419654135733902210691682755726473827765814134269725388080877747011838618707694103488457002106059222458872372918568294103070346925273316493754522537312668956971467167542590141125046180393149830784638413239300095773267318803113933268243581802762054649330951915940358711387188667256676514498572191750738633827882672392073900815951482019612420411898026463674127282277913868208847240336171064017227149114829520438979587837786423435504064170266291540518865088504715519394383561116966983936685364324811419623363049883883278385467744744120294338849058612061593796788882121119653306088826187737899405221719637087086016482989160546646513454506585428441392007829075365018496799206874293787382517413335915396097710321254633718200124946699423141889503220546563506362669639997362828421098254493246221670122571717267730012707735550057155632561410538988193287975815111263652510842221697768055721679112247018718306572241011157964174938347661867806418916045157037561912372906945487604930046748514878368635590957643845793450611190556621651461167849061135722033158022458893812848142634^4
7978684431058617971673574174746471086861853316492069738118194899887372893083715890424236997242651484429990345340328174330791884290672592682992717075311741475857100598520295736448516114789815521785331463104534008529855697184500993829819147304202520019527058550365560099843587106746195804004740951620733044978229658796250798235096183224375652750148968449757377118504374980340864634292534695339868987403247156556029017117028629853011912975207010690458008395989509470898401325662253259601084979090646690578045488755400541335190205741539972328077442543117904990054892217674206485766470777932304004255565798597126822454033697752244548631655616253802643633320514352869474498578244131388242088116871735944223515384782133592919533946918478291146545333590145472459991296792982635282986524845586118370097358147585909334683102406581075842068321041822236351199811149603536349566136022270496163581626909072758402201284136854852006534267995155262546131260438420516361845387580161251570199730967334425725349768004958418331734091594569349175985797240325126897729704996857077469404086085379565552069971759183681771691692394177569741485282526228619967251278257764572162058205654995818188432096606774580399595751814318615945479234075441146186129209561579145451227245238083545324328632913053770833625188779032748293186984625412374534979945435690744937061438479543026802983592531067046664966222793300915350734943178199181706762410912258847370479751547607251445661192258561847166628374222554805414063543596483605001249848326811511676931259552287152387737083050704352272338601966980632077960192024781361351274869504961910451831358728603998376614473977799448263747012755004252030670410768956439910375551364977943396596733178767291130431383070603893587440861519146368224433370478664706235141474082111976072824374195167498592224751865029076167188029063377015777166014752187758907819215637297892165436893049993279781852262309168564997309564098705785221164294553077331310668560720621946825993132944967952070653837806734048885370450072197475129493410413326048029835475756945667317302762944174429574907995087103013356129967529496122745611541308973459245806962704727917311900328977684504234935351089795526445558590569673323302535761844014055655503424417769042955721464813024507451523495382716793285948278918025810847554926572347109081929336079052657680782044280403806021518812474120061542497670703319288392952889116193186494272554103772444714558583777858247039881349681228109078842977446400306694817775329949909338864974232105276958675588553246682224577851216963766281470608127244963108019509068723757705083151110109172558021376270562109801867621572047214003753609827898143753846698046766976060200946755081737579005185554486755474881747920555514472826741636668083536086867345856788218384255030735544814142814569442348600164052474017181930867492761228859138853632093337406729753605513397105161438360499182103476927269801607776656987482807759136131440588568131480030674334017210646893660552543778032613918457530424720238802758696061610896150747661949126493089731628001522136419168430498200245603231766671116343544298536749856561544122434079745813739622845163603252510477737748635546075341497273302990003665520787176590813544288506558584377488090850160148539062713837941292889586458115536894466448458640132149040577165915410274644789222582530329284550340265478575987058399510117560513000681^4+20015*202382688904283192651600293679556839916504884315067042825267876504297437238612922724591557329967218586324356164529066175139030306638469181033837185635356931621195691449405879307811484970054597402846854360543370244485950731438807886708362397213199776821917973890864870770388013750819636119622854147810080953623826986287941446382257834695339872106591259566814420294457721605295158375496739710439471526550498709120567455700223368782724177498574333768382832345486788887036244277077017198055657801753063194031761465397764681988659025676480258203631946943794164587952297227223538560174256388569393068697081934252203307735065617388433037535070578886846118862777204000557800486267168926907729819245495874968708740007529113137233108373452335333424813204180112443074598973225400500911798319110660117885789207631385285723014934948103576035929949981911649117312063449366188531260807130075622902675098964340853320654439292363158779371916193543748070331194622412387967351390742583298800848850424516583578343563803815601666470973317979489281625333147092553369539457163170322713930882987859220634313229073316674742552988071703149396931982455127631768403633239572306313960580056063395007956150724158659012948293418829486840049233014025914908006223917258431979905261201915434979625903501191063376905743271910426393787242169378537555617099329604195875655142353782310371852374931058402869586355986200880370604188564082693666438743166312680218418376536903461069532511073215609856205994357318661426529427322933767898797315075154042661656021513982419579686609186975329564522764452312533996598744865859941333699303019428644081170143477872704624582138112631048206245600349226873504877833559718191040315056924076235919811013859414471927580176468033240290470226258698638573483635551752211719896643684244106289678876644092690025671411778727059749212939452546217815296639216656825585640428811336180925986232497968371321127973644702967813248989102693878690607850476104041828624685438319039591582588900134150591045569251735164017923070323330452973483935324732766930569410550007923957985133816360984471711590413714594901077404554916971982154102953592585332071100239015002823722048304626879511547740860566998542235455140428446901473152262642378729119856667348397036566483790132083036151939370241228153045857369201962207746125967260338287604634950978336844950337347235859009947743362082708921448153489754760291573791270330869195880343069378876574051814497998133521412278178294270911560717837907829369130964680170152606472041217998109287195027551600364260571205022795915940078902111936609906190845678406217455834121114761238826043707886004447505863503586061832319451715753117180954872882652579427458956200064073873390786964607097491404483459109986967140871325653677696591426119844634761127327013190666310554039090823675181666933842764947675801956599019280850459128507840722053939897817507347861482795605441050320642702550646579111726140656225416145701217901475639024084934119652616392382235837973897062773138635389248287129611016878895785127177954171928763903622825571736198752223306526096342721488732724578982728028412995897948970346366423230794328419953677387262363392653161058356602608730135730154159357846984339283612762372468002265377312284883588347582237173042647992461035807230913555779097118923355938188489514004603164020922912174219593787845284476208651583076447125073175963227634^4=7994008869841131865657002049496321973777185479892831331008221104049536647870299778534810594535722320434370459407326838196698691870294201784029910240218231544909238428490438465715360043198507019173125848366720261127187346959342608299652635103734047405564366818594501993282535790903692293204075217868413296960734903876346105760280384180378821420013923757508591627949095142339136220555778118473682374270849342177960225114808987014021598460448834642048811555867497227413604382359737845274703452287160874975158902063295699259819052255142158108667297559295666684429203678034365075643013442568302791661562180230057001176648852708344138389892829300478957211496529497539336055091615026482804111848857098655597792833886082157623281405876199890981922365988840023394785385701662943842554210353596955106256497221318110221582268261277838037998061524276571853034668632200283287893163924226611477294831396021204381149665025260703927538153821401417800427161433668557932390189790968170993014460885696950721748771649270268804050586261304883259764863998964612472902786813771434641319704581370150773198687438960854997746526736486986636123145762404739319291352067514983833322213830230810534583912580585771663757775949821551545576256915697111233493216287520077386729586006519655649641301976319308570583196250195599440339965761756275778359466896463968335542211339556520939532831078782302177357486872197301895729462883489799616213374069299477430127359704687079312627884554022467344459701762137910355334735552259503426806897305686942262466763141854116407914763857871199273054256698624959244015893024504356530848467183964557572153767562896138846853822042396932596585620320109035014458543620841870479152156852939482620917417292748297728931570934908284606700262762596617358485531659886345645145617784988879245242382827404740302882451199650230201354722219658224200825654613488261339425615864605634501397230200858948242685200613664897668195176940525676357879518223124009389497422408044888347099833092071630178810154671496329148317739149594808876310867621588416538841721021635418184919026081451297678474268122110745318773039878523099488078833457127804504398819332399016467496836919477649312058377358904791582613002819757649686849702180262394159083553117180940752099161610377380071556249222951189731815660146752514106690270316363007781820431168608941339420311508860655940705409538472386986913600087897130867405664231122664900708564496791934255180771141626706589344383982454513073563533614682903034175949078133854143308651123569848221830518060090859833742409119511087206024904317973270155318627211800341381263187589089767535100416069214192433972412213983354813067050543772430292956295117061282311625258728600233580199340096409036352609785109747822078323433731091200610958716391520666014416655704554124228536104166294474104615439950792425341777077605868754647324883018027453864505923412973324740482789477699532990468779616589653626120903073969998000947916479447549121086356110150697635851287304477725250784113476070903984044989744438605041862604291750022129572773074355749536544719860113896440726783278670817868451017647456393598081633059357744932680939301859931564209086600230372519819211379598241831665170048157831144359633061158656936482074371162550341229100602778132131909145577540464583502930683314412093599827168189057458808838748113211186587703211789837322442399170584837258548845267^4+20015*104133171999417651253999802367803334447933093180450339085692686869701644680101917310537440444402244867219015427950735690783227479940847563110272079750819298460150334693145182810954136687695718047195095075071523028907449918956400283301495270668317021927447018751067784991736167866319520279127767270536962286794614671194476322805191639090699956607291571735840936404289835302035706616042196596205218278682830164526132501845332838128164631044989274908154803127521887779914141072320144467772161822786191066325032174662953763118502180907328610585403182933334634540569085767237497836691362827541363167940427900794653583691037406851325154053534809012492254847759232068714106053659769210959939482432295593013410715016871767474504058332708052791706400888957818244119646528477553888621787423927355603600777746269682724977827902892829400715544098856282923290606408028089495855559431963711059908942073747324139751184128317771603475173057596783133356895882253984465519370800888977268692592193409510998736876513403362036821098257305154879198127416601745818876162238598501284461949166806789933221598796089863238625425083153699724111643254494568834546888201472289480319903649323513026068394103675937042970705758169706395565999495570192497851979586706827130476593022644511795575570740785025002379447248905937360972615207786948145785706816778910401913554189038060409304817084926818173423146167991970699172333994481445407583271448542858941715304497794085790740017414258528841187156866353727136483017591727958466151092956793059652389431689919485020948617685591795101095439144428989197419270630894471635715583603724054120483333532781206622620994227099980086101141030888676245158469738223875193412602469287826601520823324849795293437992048044190205636285607516114197922035215283335578325705527987355168041662517061683443060940751874099413575671426545679999131097834969976349203547263237092005001644765007815897571536278091641598520787153988014734577287010828379979695213178995821397471068832083486846885867382370473216740352009883672654547627309695368512799696230505928865644568734515475963999719653799607940928881452566579560373699222150011482411401173207505452743599852625272684129900579947602287187256588477874288859070911740614415375927338922048359318461769285782283274818693638791831225659796759353560644408521530698267103887476580967660145113664741874667073905816490187075085255259471739216476631381198159128448871179509824704999328345800020553481351924814672844974643421419776012696778351276243253875549064157293505599280632523476739515518712169771403162287805641384075937317598096742847783650505650335058012486771866313721963045392324965829311513546744229127040181130247621287843140648294093210764241422358975788411761379709335534866356828749825705888174677892712118202663777719285648732766289817765847154339730695567587703528610687797857897808865680286770181386473708694476934852029565893743328645864149820522653461042301928000777616783568772005786688972416047807419083786420478761708615374564807717329775592520311060316928668941728707330384272500984658698090781558636843880179812564080968895616772191005057892483254352690215821648615482801639874245571721518631487335465817995251671102173481977473064894598984351911025555133490450193416224173341272747531083120891091366784305409693514183343254753737100575943625740304306603944007935256234095494977472566945569756998424^4
248328962127024991389696024500618653992174385478483329736549187055914533461177787859834488669971075369922810427576166921488898653362312207514652175111789588943102532125265326954860571191278311221801680537348084204225417565655804094468250200324567206500746611510303261451236960356664020257741927633811423176615977551557928018259086797114425987862632039972846862166947971162293688433209099523364153395342429758943886953955749011615682623000083688084171967546316836254784391487732043552198211389235031133825655476623330560094705426349054578384835551378178582822128807607979349854366275982030188565532317541417285489263008749761805295060346177353511864121302709842252416989863639269118388787298848747185352386136893227921481089933718643488861343687122796132933733269207196478983825897417211098646474043127243391480235506969785624734275166818599541024522175246308154282229110951239689254725340180510863357219812879160454492048423305000827272836296656630853748808058837405005431387157587185730928141668910528527372179633099949003628371125752819030946471116628458669478305476589729780634759960157715795437711014305427019985376343568572655054546360197320120933147013495958100826046618645773676176274342545853420427057687729416466610459940727156143992465023972726078138094262586431771564304170682125738118572560149730227420795689645789615697643744582163078226761459461224944333094528728075752228635743378776477189118887689128714520118948099401385780154922247143814034947387342662378934219657954270413137898766872640836194043687745951444555670806127949344831549463433167345665977988616075346454837722570797877232509672915902797648837914673563220677257656792744242409580284286630559834663274089684519026211709592491196613039867212470165256765932685658888921878949071813125816361179241159636986105029949675453523555289670017843325179513098829633389314317743187751794039488151406388832163592902795297011231387640839717406471324071595697716197669930014508063764052026748038091470863566950904373928680187399468604284035099043759366137904323718917588463775663591114391787981637083235476555681470295133809927974786797762025132796520216103763002142594067703690551289079757886196241202053211207927209629139862189888497605227426636302681337804231968034776440100185362676376053478328086035665156293244171570145838786364411601859743380372397421292730263549205922976765847005085965083737416209945981199139980497790385060205960244585160771340054872766928765428733833253313376727903928964860686219631451082038448140406945464868089824131626322247164359628259189750553523768285063600962357485629327288744822143505512493035382550272216023267389577366345224379068575152678914242469411860430008356662782937925484480387669981651913583333377161969084971218932408733067924820295161734460786419919414386013248303544166678646710219876177450499544234637746669289138054375718478199329729384658419901007378563372900792698142264870977180681895879678538744879143640750268553698141308598077390642367396980163254449078527220007453919593912464284893675882902467375080193700718969251488446871012668519536453061195757958900109141556046683144986613534599926116366447719339909139517850117891212754887298685893551483246334329958526437889373081055240059690305659672087224544906864945450291182205985409915685152374457147093419693562590623178773830531632657516376811169038358530882935633409088623429035844309468209630064830981508271664896852565077968155032269799729669914438633279968356827373728446336182318902463625669371656046345885641176284918490309719244402495323646197519472157616720280797084795148880101857800872339694737546633707108690219507232665344470859488794807346574755104452567489346930710667081865432182790715988391824039685764115255275933900707789100609445428214970801262916698885458996665702296619802730546734421253372610938787768751986288171444884175659778522940576073680021634726474499961079181964508808394565519830271763436920807997230943742391718583138713278963792757167514035829097624303794474541657449518437184873426345372970616006740575999947893871203368701513301318592872032460942688100771469706366188753808680910141869372051276043192060229781720685031587909997547191765222441274448397215719538957135932274198615685117^4+20015*5932647376030089915473402015211260785595710928135032266063306250129026394830482172344899475070653463345816156712519489626152129508140991894284221155281883386814536736613693903527040831303640771437484586645519783779002042240648713962839354508919542008475603992865618421535693840912651429246313473285608289257291491398809274333103299287149324575736524167600984424420077523698298551850038748871035234842110222638104563243672384089566162468174051936733340344986328531567773544080549478588388663082247770446780731035422307236343343244812280466855204885504968223769021719551675625220501854411723297770336612074435317460426568480278313327365146233940209121409783135277439501235335933508315790916622944388621839380509903861766056946466507020730059471147246821054061272897537302399785921826452700835300971320788396780068306631527754152087057572483262958829803511307738465998299822589837259433713422867688417812813227524106389436805320973216268630435265779268973333620550308582890548707773502134715486240077483831836076853418749346374724659485667077882094825265183713664685735740692350863061467349535850253138201219401535696975659156794479259948984341654997857515616601105772833660999564402273045637213593411821352516878540876612767595629956403566062589178842187459537198925509447397992143385044262168652336950166730359937827903886959159999254183206774611567560436912883411316905844590695722359741387296443517584125907046258877764136485200249193156301196244720327921116749427082998628908533209333914786614671913584795836128596301478375821444477201613036282934346741084891995743854587163214425263621247912508309192267219652452597164338645145021561621551074400193723417211991165736778777390813860478139554362312181474705426994425572018871505139923616349618916638516200853204923586270243298262942485321738647791980143040906624389692552106960820487105525953798212785996825803112646574148502790982338589053831798184906815381557612630527904724258512464191756408386843644473543178536532103242145785198286812682055634954530030973768670977343939886717980427632634500406532727695275205873306002528033163130664989161344214028987579939104310658155940493340188009720178057591823073574299724934082156046568849582206095683411352926002095823153407318490825056655143926737719315360786918034020354551012499749489513206001522888686255007765802039224603410503167392584514016803845291874944674998794422391614698210366879834469914836369914612459354228093207673986925856094980948966239694717995125709028030619202505712526044670294013540885736555263878441827185131646663675342898876454521393595306164807023551193036485101187907385850124804100654118404144378165701904862284817081257223712461349444655412953493252104934686539479973735213582054076083836460490081896021636690383411158026206947633314124906128573126118439802839255292463750800365044407986172411784068652094874909580556128521524565135236227482923629442435639192672734429372989575881110479173075623192784702200019513835049148787377299343686986822001132586820033529790035588661056083962532926997679210500943619173539148527047627712289050500084293895470740145738475272235513090980742077227612076419131440443656340303239050243068362293527486511904392854471379363217787618174419924554632432437500753390246163451074824004159772423468394672147012206468617425139842303527832255259314777747644727932546974932739375166312928970557262375242255105579285908270343606604451319473827239937846750548332688377864661453224256048619351862900563384971563088150508157388425871395896338220823613001552242604291979950979592289041191858328790249310784082263324898967347864450267621896160106459934210538490741721641685789422850992414707248606582089054466188236423981733751026984055812444099640385581010527013421567001192662908539802131301368539656101176247356822912943130654119303024652398128117927569676312771055107298360022845856540598057585722011733160469552423323460119872347891448390672859383562108600497819956605990192651313065916599443132460624867228804439882984827488245111746523209827972756029658419408557240866436125418289843553930638340363136836572072094790279713695831957429458385643505586859543757389180494709117160166706249192674431087779488262511880828704659747276456800282^4=248659985220896029779801249858933709459729554318411481477454369698947274974740950918087102786985138180366534023012520064430329000441349427451798975443376553828460531001081821117512935039416285234123297035675967965080097902371014983639080389993219441942146609624785906750681476663252381998759872093112466222560963575692222334447384085245361578064576270942844729455875418758554822374256548816659300342073291943955683940313410990520048099571787467650194007108621632314094753756811395806261483081802201856140439385217077572263819984060368420366660228449782494740664421213955352951767592253890022514323736529349395041980074511297874919164933849238292929072873326736753066177241120115968724924807386894648496288244324404747745047959647431359787344724107074879437096041186910083731436492930431814299474282220731992473846225590397464570657275519472961593215892987466753492426574496570217082559850069397092948948946192421078510384206326417362366798027855236590098250182093824543038492568331332595387037275131807398027513820511511210459924775216189311182744389475508932073135381921968206009309417328393743072778529612705002946358911768734976115518418453494386794366409507269692453204977790201292659717413706812414782416488304694268630978842075676632451470413789391468083443550979977415407676255872573260036774138938340906687996764823621522627003474456650143458492351357353525994856271429217706361981445811508887295890046240511975240138866249579312034414764701382708668194568587216779438942792154609600665329068725555657052838464306601541590852144427790128028191967443002158671511652984594942755240028191884277848599003925501141506033014727548331754329954695720427174550792509943732895063418338172828724187607954304723324367626486479701472070613855748852357851265244767060015262374412955788282897008217229539535465704884664476535079882488971631855313492854215748567142568471481029214822152988281429334207386664983686245371184540049040428220611780543616473469188976263094751923614863619140362629715236213691964289952002114970904439995106926265903845356608316804935784978623623550240670600024740773606969183469772643909659142426330335954587195136899771130750339826198591458208657820227979749888178633667905381848429145417023591770791519442530321766958441039752186822491291395864861676297584598551647578088513403208942272739662231593178590455308956567964992749129140598179047340801853496590239535997526578006097716359030331237922600141422018108196914234667862785284792746679679522088465806190775759496936431922594587903612250020055047881162820788690576420976198020772995973836958123266059799950018409178003753302702637450715058415185877614485595832700761961115019450753588838910968394756787487237578806414585459625474697145751143785410190294836157444144530661351529410875385708251277243215610413758847909945005196047958995909362157339827779961792468380430623636800314563171103184834451039350532576920779564452741984808850176896665571432730442754594594392009300536744320766113655151642842993975924347242638518919639335658816947370948743736426526858735398656639053844759015256216078987774068434254096931984068151302290291142523756834594478615647606795220002471474370622126722002429170535018583967594968725209532180670587876097886249593566708099396104603497617845361268613627203369196510534741703379449457242850571087039178103636334156942617220220736388679386938995867303632659441562896478639937379210136160939586623332157867055958670536366847029915340821828157938601604221360567500086799801128199507253939849626025290718583002031886409082214211671144978273545483730847199203196695972419362747222904739314112264851725508917872272003684942341639386235351105954727007595825228416963888332084151441126476379517423080875374271518659390023339128373281460318087876511429477420541282370449252760264668530746137906793427296842036285733172386020468224697843186045958177400016886661690617566397346615710898931761028733388176573202095321515990394520760665806144215308881908839368486711469808648096513604665694453465762646832530344590893957701735554527055751555416852842092654978134544444730982198428524422894454728721032265279393006236114702500144483557565579782521122437259485586443378723703107249877346111089418862319^4+20015*3867246867275409586550023039923868696934001250962388906460007757636395990248760135789530023196082952704588644198938533895099096864200577183771543061878923776621480509258126527294141451208145168868405839884988629649231546395370331298374180640738163571216846400587688223877213664668813913953375063408567935588517141913516188551442170229783148365433665173685622363883633600207934136508269874447303233012430279475736890648030557973646263387159092760472673373470947038732605610340712390733511836245623846813703152252335642688485378184100743831550384452325060189712284610061198825898674400941196897332799696219609702407414086562035222633615672948918550395489546234668903770578312476078286026808398013915049302396801559419952117802092656011202065563867139099715454464014505574794026440091120409776623283315039374461753769955567328293897404572174335162090516870309545547900963835934492047780207358560336232645101193026068967396308032058172119293796507435500048750378308780019391095420129806827909827782596817201339475375475455282330387248103287426363818988666855216915351748269648149942138613317456794058701538559662299017292364649392107460167007848990850937800766955077118925160993535503853671421243028742918730326864830073692326611571675866490854723084113411697976557193369453398272583162927770034048604726226470881373815783961337404215303721866130148482670565978238243995530575413602910228588931749537084906759383034148158464344274424587930744720417736305101229989895458402149242297665499175978052411514707177807628306751564443026426385182108083009101096335831300242928215049150563478907008841687332788413480799477003686557750801014366145107068351518936085009080643123498237157232658194451936445335161497331641615263612040468165294222113352023820623271696938939092421877391512503341536264248431144335277426758077625370427056026882088815377487612702266681713929797720874558323187239421366701237745415763785342626067266660153265080735401310393558118793875291544081542948021041663955117319276152162162472536410128366033172706032183881817904621947419548063234547318229513841255226619082775889297397856178434291856883832907774247314340407579989343989310879113207652535758920170378662631955795899027748270778438463576931960996510408669739638880434479455658653699215527776449668569600301563630001133837932797215889244201755375247864397399482853803391503805353898704394614736506594381876236025922097192946288334413337553094438481947810008921794064140549297431664937890225551711763203750701719074435180119646159096646053733298944591133186479397815120094320267165596767830574611610822016414009046626018133755884618507629372263083691934704508533707894068269704653933384050999891916947938775725837932425199763201173963994237763301633182808725788226377258789730405947201581167141394849956322810331109724115575476124169137009009720660544033815034667062441659889928449507117433017176327964617293513579250566198084396398196304601844483526483302938696301739301546513280893215420720270161405603668763946304246273042276315349832127296801707789059474596550780192871979285403568680852623769592356089581518017726532027297312024189414972735127510043221566397528388765146307086834757215698225459657010646499177811044318068866852614086411830403811508673754558007790903312480140648600961695524415516074497102627163564916011135243240004337278994222532062058026154495494357520751303977025234696657695671711376253846817749181469216603657511072768287116281451201372369185767565868545652947466247855416010820912378601336981383039132851582944100097187634570786743694345850529856541865079019526093178931698145428521288575872185494228000143008351534416172252886602030696687900640150896232418352613516053314217143421243109383067322680772483599944137129898210206136854033045892625825798921930420964697160157760527675736077521799437650818573497979565063549350794758905117610625794021610189137172160445570810139357700872073276426950711611187644112194616333480651508014493185862930815434346857169500814809656056257409690386328281270558398142315665768123831446009693305690981463147652092383262950391199643171363420448601037599543569001606627135256009446838588202447765815702883106573860982543566604238402397127800410604644646618102552^4
time = 165 ms.
%8 = 10

[参考文献]

Last Update: 2026.09.03
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]