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Integer Points on A^4+20014*B^4=C^4+20014*D^4

[2026.08.19]A^4+20014*B^4=C^4+20014*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=20014とする。

Pari/GPで簡単なプログラム("a45s.gp")を作成して、max{A,B,C,D} <= 100000の範囲で、小さい整数解を探すと、1個の整数解
    19932^4+20014*769^4=20096^4+20014*543^4
が見つかった。
これらの整数解から、(3a),(3b)を満たす有理数uをいくつか求めると、
    u = 10007/452, 443105/164
となる。
[gp2cによる計算]
gp > ss2p(20014,100000,10007)
1:19932^4+20014*769^4=20096^4+20014*543^4
1 solutions,
time = 5h, 37min, 13,697 ms.
%2 = 1
{Pari/GPによる計算]
(08:06) gp > uu(20014,19932,769,20096,543)
[u, -1; 164*u + 443105, 1; 452*u - 10007, 1]
[u, -1; 164*u - 443105, 1; 452*u - 10007, 1]
[u, -1; 164*u + 443105, 1; 452*u + 10007, 1]
time = 1 ms.
%75 = [10007/452, -443105/164]

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが1000以下の範囲で、２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、
このように8491個のuが抽出される。
[MAGMAによる計算]
> PP(20014,1,1000);
**u= 1/4 , ht= 77 ; ( 15/77 , -15695/77 ), ( -7121/1423 , -1452868/1423 )
**u= 1/22 , ht= 5815 ; ( -279/5815 , -546314/1163 ), ( -40790/31 , -38277815/62 )
**u= 1/28 , ht= 1571 ; ( -1571/95 , -166621/19 ), ( -95/1571 , 833105/1571 )
**u= 1/36 , ht= 857 ; ( -6001/3985 , 4323688/3985 ), ( -857/569 , 617432/569 )
**u= 1/46 , ht= 1245 ; ( -14507/1213 , 9876916/1213 ), ( 848/1245 , 408809/498 )
**u= 1/56 , ht= 684 ; ( 671/2367 , 204638/263 ), ( -684/23 , -2049309/92 )
**u= 1/64 , ht= 35 ; ( 13/35 , 8537/10 ), ( -35/13 , -59759/26 )
**u= 1/78 , ht= 235 ; ( 77/235 , -43696/47 ), ( 74980/54557 , -163847475/109114 )
**u= 1/100 , ht= 5963 ; ( 8959/17891 , 20015789/17891 ), ( 2987/5963 , 6671632/5963 )
**u= 1/120 , ht= 13807 ; ( -13807/10097 , -18744198/10097 ), ( 41749/6179 , -46248103/6179 )
**u= 1/136 , ht= 546559 ; ( 617456/37943 , -2886727903/151772 ), ( 546559/376848 , -3097941401/1507392 )
**u= 1/156 , ht= 166693 ; ( -166693/87925 , 235469466/87925 ), ( -19091953/2507807 , -24059095154/2507807 )
**u= 1/196 , ht= 43963 ; ( 65065/35401 , -726161200/247807 ), ( -43963/40905 , 16819795/8181 )
**u= 1/200 , ht= 45568 ; ( -45568/32625 , 528564667/217500 ), ( 32625/45568 , 1585694001/911360 )
**u= 1/214 , ht= 97649 ; ( 97649/25959 , -49287112/8653 ), ( -105771/373 , -154784742/373 )
**u= 1/256 , ht= 16827 ; ( -8657/50483 , 655843993/403864 ), ( -2885/16827 , 27325601/16827 )
**u= 1/274 , ht= 5042436 ; ( -5042436/84515 , -16701620627/169030 ), ( 8043739/672317 , 13365860708/672317 )
**u= 1/294 , ht= 18634 ; ( -4733/25949 , -28791094/16513 ), ( 18634/13799 , 556799419/193186 )
**u= 1/306 , ht= 14631 ; ( 3568/15961 , 57238953/31922 ), ( 14631/11044 , -192467267/66264 )
**u= 1/322 , ht= 41432 ; ( -41432/33405 , -12738079/4454 ), ( -20047935/3399776 , 73002238395/6799552 )
**u= 1/324 , ht= 61319 ; ( -21017/61319 , -350154724/183957 ), ( -21015/61321 , 1050484324/551889 )
**u= 1/340 , ht= 1430063 ; ( 1679709/126269 , 3107056156/126269 ), ( -1404993/1430063 , 3697898886/1430063 )
**u= 1/346 , ht= 454115 ; ( -454115/58291 , 851931290/58291 ), ( -919249/2485910 , 1972722329/994364 )
**u= 1/364 , ht= 621989 ; ( -621989/286919 , 1307309221/286919 ), ( 806387/1215341 , 2783674264/1215341 )
**u= 1/376 , ht= 53708 ; ( -8191/53708 , 421538927/214832 ), ( 10935624/8072243 , 105462214779/32288972 )
**u= 1/406 , ht= 26893 ; ( 21267/26893 , 69108226/26893 ), ( -1150853/10015771 , 20321116958/10015771 )
**u= 1/424 , ht= 77067 ; ( 77067/16541 , -162361483/16541 ), ( 135619/7253 , -279753553/7253 )
**u= 1/444 , ht= 80407 ; ( -99073/101615 , 299147018/101615 ), ( 37117/80407 , -186673797/80407 )
**u= 1/484 , ht= 11987 ; ( -16111/27969 , -23678362/9323 ), ( -6905/11987 , -30444467/11987 )
**u= 1/516 , ht= 1421497 ; ( 502267/2469775 , -5727091479/2469775 ), ( 1421497/32167 , -3230977356/32167 )
**u= 1/522 , ht= 4042631 ; ( -32451623/11568375 , -47244574802/6941025 ), ( -1780225/4042631 , -10095755740/4042631 )
**u= 1/524 , ht= 73301 ; ( 73301/2037 , 7996056/97 ), ( -112875/17077 , 261414468/17077 )
**u= 1/528 , ht= 182813 ; ( -801767/842315 , 1069225781/336926 ), ( 121235/182813 , 504225765/182813 )
**u= 1/570 , ht= 277559 ; ( -11330494/1344311 , 54500894131/2688622 ), ( -277559/37114 , 1337589821/74228 )
**u= 1/600 , ht= 147049 ; ( -503557/364421 , -7615537848/1822105 ), ( 34774/147049 , -1481036037/588196 )
**u= 1/604 , ht= 255491 ; ( -538305/108881 , 1350223850/108881 ), ( 200225/255491 , -798031531/255491 )
**u= 1/610 , ht= 907876 ; ( 907876/3891 , 1495395717/2594 ), ( -1249509/124181 , -3102348114/124181 )
**u= 1/614 , ht= 511554 ; ( 381509/511554 , 1054552691/341036 ), ( 5435553/763391 , 13605712914/763391 )
**u= 1/630 , ht= 197923 ; ( 2567189/461694 , 39295563617/2770164 ), ( 156483/197923 , 1900545662/593769 )
**u= 1/640 , ht= 15201 ; ( 15201/8791 , -177756451/35164 ), ( 296267/24538 , -12037317097/392608 )
**u= 1/676 , ht= 112309 ; ( -112311/75355 , 4572996509/979615 ), ( -112309/75353 , 4572902677/979589 )
**u= 1/694 , ht= 775511 ; ( -14875473/392527 , -39215126158/392527 ), ( 342455/775511 , -2234103626/775511 )
**u= 1/700 , ht= 4903 ; ( -4903/697 , 13107124/697 ), ( -5511945/129701 , 72961885977/648505 )
**u= 1/722 , ht= 79575 ; ( 224116/17625 , -1530821611/44650 ), ( 79575/15143 , -4136903790/287717 )
**u= 1/780 , ht= 6489559 ; ( -6489559/1728521 , 18762811956/1728521 ), ( -14642431/2411489 , 41459470392/2411489 )
**u= 1/794 , ht= 1242861 ; ( 66459257/1523817 , 62461233526/507939 ), ( -1242861/966946 , 8877500793/1933892 )
**u= 1/796 , ht= 544217 ; ( 365515/544217 , 1850240695/544217 ), ( -615167/311775 , 77858308/12471 )
**u= 1/820 , ht= 2824349 ; ( -14382293/892667 , -41278311334/892667 ), ( -2824349/2554031 , 10907951569/2554031 )
**u= 1/904 , ht= 373841 ; ( 2350280/3613507 , -51860130715/14454028 ), ( 373841/117935 , -235805924/23587 )
**u= 1/940 , ht= 2984153 ; ( -1405177/2984153 , 10116357484/2984153 ), ( -16800379/2767131 , 52221252784/2767131 )
**u= 1/946 , ht= 66311 ; ( 7929435/3574739 , 3823115600/510677 ), ( -66311/49316 , -508525759/98632 )
**u= 1/956 , ht= 618255 ; ( 402469/1930635 , -2033280026/643545 ), ( 618255/564241 , -2588917308/564241 )
**u= 1/984 , ht= 2668249 ; ( -521243/2997787 , -9548122132/2997787 ), ( -2668249/842663 , 8780519672/842663 )
**u= 2/15 , ht= 6371 ; ( 6371/949 , -1764637/949 ), ( -34471/9929 , 9827525/9929 )
...省略...
**u= 997/978 , ht= 9382849 ; ( -7176647/9382849 , -1170386772/9382849 ), ( -54451915/56139347 , -7748717352/56139347 )
**u= 1000/27 , ht= 323 ; ( -269/323 , -3659/170 ), ( -781/427 , 446977/12810 )
**u= 1000/43 , ht= 2303 ; ( 248137/81039 , -2550213/38590 ), ( -2303/449 , 492779/4490 )
**u= 1000/147 , ht= 15419 ; ( 15419/1307 , 5928243/13070 ), ( 194639/58463 , 546152807/4092410 )
**u= 1000/243 , ht= 60559 ; ( -60559/30377 , 100202857/911310 ), ( 326429/320213 , -2029411439/28819170 )
**u= 1000/307 , ht= 9491 ; ( -533133/245419 , 65049875/490838 ), ( 9491/947 , 5288069/9470 )
**u= 1000/331 , ht= 83457 ; ( 35041/83457 , 17367367/278190 ), ( -59026203/20565989 , -35980578969/205659890 )
**u= 1000/339 , ht= 56443 ; ( -56443/509 , -32868897/5090 ), ( 723499/463373 , -500458543/4633730 )
**u= 1000/371 , ht= 1052787 ; ( -764891/1052787 , 52863289/701858 ), ( 59459649/7693913 , 36537867363/76939130 )
**u= 1000/411 , ht= 8251157 ; ( 5010011/8251157 , -6191103127/82511570 ), ( -11850961/29616473 , -4091106571/59232946 )
**u= 1000/427 , ht= 8868439 ; ( -8868439/89167 , -5796629177/891670 ), ( 15531217/3923649 , -10472688509/39236490 )
**u= 1000/459 , ht= 7483 ; ( -7483/779 , 5098287/7790 ), ( 5827867/22096459 , 46457995523/662893770 )
**u= 1000/579 , ht= 6995899 ; ( 11159237/13479869 , -13320637143/134798690 ), ( 6995899/384877 , -5333633343/3848770 )
**u= 1000/627 , ht= 295067 ; ( 147931/295067 , 2273601/25658 ), ( -18012887/15807911 , -18983626679/158079110 )
**u= 1000/643 , ht= 33925213 ; ( -20066211/33925213 , 4516872731/48464590 ), ( -97181791/3040047 , -77997541433/30400470
)
**u= 1000/651 , ht= 1146641 ; ( 512567/1146641 , -1013784503/11466410 ), ( 1146641/512567 , -1013784503/5125670 )
**u= 1000/739 , ht= 22633949 ; ( 64360591/4182343 , -55461233933/41823430 ), ( -22633949/4601157 , 3972610133/9202314 )
**u= 1000/787 , ht= 3470849 ; ( -3470849/1100047 , 3231066703/11000470 ), ( 3504443/3483981 , -4385362807/34839810 )
**u= 1000/803 , ht= 9661199 ; ( 101060263/1557321 , -30199769707/5191070 ), ( -4689753/9661199 , -9626651709/96611990 )
**u= 1000/867 , ht= 21979 ; ( 490543/112831 , -7970200809/19181270 ), ( -21979/12707 , 402016617/2160190 )
**u= 1000/963 , ht= 1371 ; ( 1371/1157 , -5283199/34710 ), ( 1197827/2124019 , 2393759333/21240190 )
8491
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また、小さい整点から求めたuについても調べる。

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.08.21
H.Nakao

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