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Integer Points on A^4+20013*B^4=C^4+20013*D^4

[2026.07.21]A^4+20013*B^4=C^4+20013*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=20013とする。

Pari/GPで簡単なプログラム("a45s.gp")を作成して、max{A,B,C,D} <= 100000の範囲で、小さい整数解を探すと、3個の整数解
    7618^4+20013*4101^4=43832^4+20013*3151^4
    9253^4+20013*1568^4=17431^4+20013*1158^4
    10697^4+20013*724^4=11677^4+20013*46^4
が見つかった。
これらの整数解から、(3a),(3b)を満たす有理数uをいくつか求めると、
    u = 42, 20013/74, 40026/205
となる。
[gp2cによる計算]
gp > sss(20013,100000)
1:7618^4+20013*4101^4=43832^4+20013*3151^4
2:9253^4+20013*1568^4=17431^4+20013*1158^4
3:10697^4+20013*724^4=11677^4+20013*46^4
3 solutions,
time = 18h, 51min, 36,938 ms.
%1 = 3
{Pari/GPによる計算]
gp > uu(20013, 7618, 4101, 43832, 3151)
[u, -1; 74*u - 20013, 1; 46550*u + 13373501, 1]
[u, -1; 74*u - 20013, 1; 46550*u - 13373501, 1]
[u, -1; 74*u + 20013, 1; 46550*u + 13373501, 1]
time = 3 ms.
%1 = [20013/74, -13373501/46550]
gp > uu(20013, 9253, 1568, 17431, 1158)
[u, -1; 205*u - 40026, 1; 2726*u + 949897, 1]
[u, -1; 205*u - 40026, 1; 2726*u - 949897, 1]
[u, -1; 205*u + 40026, 1; 2726*u + 949897, 1]
time = 3 ms.
%2 = [40026/205, -949897/2726]
gp > uu(20013, 10697, 724, 11677, 46)
[u - 42, 1; u, -1; 261030*u + 125389069, 1]
[u - 42, 1; u, -1; 261030*u - 125389069, 1]
[u, -1; u + 42, 1; 261030*u + 125389069, 1]
time = 1 ms.
%3 = [42, -125389069/261030]

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが1000以下の範囲で、２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、
このように28081個のuが抽出される。
[MAGMAによる計算]
> PP(20013,1,1000);
**u= 1/4 , ht= 1007 ; ( -299/1007 , -11061/53 ), ( 1007/299 , -210159/299 )
**u= 1/21 , ht= 223 ; ( -94907/137269 , 76500499/137269 ), ( 223/209 , -140103/209 )
**u= 1/23 , ht= 479 ; ( -133448/41375 , 67026693/41375 ), ( -479/4 , 229803/4 )
**u= 1/28 , ht= 13409 ; ( -26861/4961 , -1314417/451 ), ( -13409/241 , -7098828/241 )
**u= 1/29 , ht= 6111 ; ( -25697/4985 , -14100819/4985 ), ( 6053/6111 , -4633471/6111 )
**u= 1/31 , ht= 17675 ; ( 89902/45355 , -56082717/45355 ), ( -17675/398 , 9846717/398 )
**u= 1/36 , ht= 6763 ; ( -2477/6765 , 12971806/20295 ), ( -2475/6763 , 12967186/20289 )
**u= 1/40 , ht= 15691 ; ( 34333/11683 , 22944300/11683 ), ( 15691/11366 , -49031415/45464 )
**u= 1/45 , ht= 2879 ; ( 2571/2879 , 7770385/8637 ), ( 2261/3789 , -8882525/11367 )
**u= 1/52 , ht= 291 ; ( 31/291 , -211099/291 ), ( -291/31 , 211099/31 )
**u= 1/64 , ht= 10905 ; ( 6707/10905 , -40981171/43620 ), ( 6705/10907 , -40983271/43628 )
**u= 1/69 , ht= 115817 ; ( 115817/84905 , 119326151/84905 ), ( -670835/2072467 , -1810048099/2072467 )
**u= 1/71 , ht= 45125 ; ( 27928782/12018179 , 25627887331/12018179 ), ( 45125/2738 , 38105307/2738 )
**u= 1/76 , ht= 62471 ; ( 204557/214931 , 15220758/12643 ), ( -61523/62471 , 76462107/62471 )
**u= 1/77 , ht= 10709 ; ( -32499/6925 , 29167463/6925 ), ( 10709/5209 , -10453209/5209 )
**u= 1/80 , ht= 15443 ; ( -4707/15443 , 14444695/15443 ), ( -60869/44411 , 67415502/44411 )
**u= 1/96 , ht= 8003 ; ( 8003/686 , 62980947/5488 ), ( -147346/22187 , 1168351653/177496 )
**u= 1/100 , ht= 15707 ; ( 15709/12391 , 20014239/12391 ), ( 15707/12389 , -100057146/61945 )
**u= 1/120 , ht= 5944 ; ( -3911/5944 , -31187679/23776 ), ( -17519/1351 , 19254337/1351 )
**u= 1/124 , ht= 21497 ; ( 7807/97521 , -108977612/97521 ), ( -21497/17191 , -30661026/17191 )
**u= 1/128 , ht= 45857 ; ( 45857/24713 , 235818969/98852 ), ( 1751545/43823 , 7931644923/175292 )
**u= 1/133 , ht= 1083063 ; ( 37117123/2180683 , -42893300811/2180683 ), ( -1083063/142133 , 1260168161/142133 )
**u= 1/135 , ht= 4852 ; ( -148856/3569 , 173060965/3569 ), ( -857/4852 , 17179913/14556 )
**u= 1/141 , ht= 262861 ; ( 4086973/321991 , -4869631501/321991 ), ( -87383/262861 , -329031933/262861 )
**u= 1/144 , ht= 21851 ; ( -21853/18771 , -103742699/56313 ), ( -21851/18773 , 34580643/18773 )
**u= 1/149 , ht= 29821 ; ( 16667/29821 , -3792207/2711 ), ( 1534951/989313 , 2229821473/989313 )
**u= 1/151 , ht= 17229 ; ( 719332/101289 , -892940029/101289 ), ( 17229/7112 , -22911649/7112 )
**u= 1/152 , ht= 10357 ; ( 1237/10357 , -12863898/10357 ), ( 16598/18897 , 124074953/75588 )
**u= 1/156 , ht= 14855 ; ( 6587/14855 , -20302727/14855 ), ( -182575/935009 , -1190268036/935009 )
**u= 1/159 , ht= 19832 ; ( -121396/56843 , 169079489/56843 ), ( 18719/19832 , -34398637/19832 )
**u= 1/165 , ht= 109057 ; ( 109057/16987 , -141821523/16987 ), ( 210079/529 , -269939905/529 )
...省略...
**u= 999/995 , ht= 8467673 ; ( 1333523/8467673 , 2567352205/25403019 ), ( 154762901/311933101 , -104287496015/935799303
)
**u= 1000 , ht= 3312 ; ( -589/3312 , -1473017/66240 ), ( 8637/5204 , -3148049/104080 )
**u= 1000/37 , ht= 9851 ; ( -106619/43342 , -8741649/173368 ), ( 3598/9851 , 3979221/197020 )
**u= 1000/49 , ht= 2013 ; ( -4/2013 , -81883/3660 ), ( 3388/20071 , 62477811/2809940 )
**u= 1000/57 , ht= 34103 ; ( 34103/1556 , 16180847/31120 ), ( -50932/122861 , 63180907/2457220 )
**u= 1000/77 , ht= 227258 ; ( -163671/227258 , 155685781/4545160 ), ( -3523007/5717686 , -3721321677/114353720 )
**u= 1000/81 , ht= 36992 ; ( -36992/13581 , 40270453/488916 ), ( -129768/30619 , -685587361/5511420 )
**u= 1000/109 , ht= 76862 ; ( 76862/6121 , -50823573/122420 ), ( 1206642/334969 , 165727553/1339876 )
**u= 1000/121 , ht= 57828 ; ( 39068/83001 , -140603951/3652044 ), ( -57828/3391 , 444196163/746020 )
**u= 1000/157 , ht= 28411 ; ( 28411/622 , -22504599/12440 ), ( -5221687/1489906 , 4308253299/29798120 )
**u= 1000/173 , ht= 548346 ; ( -548346/40373 , -457155409/807460 ), ( 743066/720057 , 861043477/14401140 )
**u= 1000/177 , ht= 207868 ; ( 581312/22169 , 489256941/443380 ), ( 207868/88511 , -190268547/1770220 )
**u= 1000/189 , ht= 2466451 ; ( -2466451/3758 , 6431203997/225480 ), ( -10190021/22118 , 8869142569/442360 )
**u= 1000/197 , ht= 1219833 ; ( -1219833/172366 , -1093273303/3447320 ), ( -714214/1317447 , -1330252391/26348940 )
**u= 1000/209 , ht= 258688 ; ( -348273/5564 , 63679705/22256 ), ( -258688/46091 , 48091659/184364 )
**u= 1000/217 , ht= 89588 ; ( 89588/48141 , -18951295/192564 ), ( 4458648/402701 , -4174408291/8054020 )
**u= 1000/233 , ht= 293956 ; ( 123633/293956 , -61612541/1175824 ), ( -9418169/991572 , 9149653561/19831440 )
**u= 1000/253 , ht= 6716011 ; ( 14490067/1166834 , -14623047999/23336680 ), ( -6716011/1783018 , 6994874439/35660360 )
**u= 1000/261 , ht= 242 ; ( -347238/4792229 , -14738212673/287533740 ), ( -242/39 , -751877/2340 )
**u= 1000/309 , ht= 2511283 ; ( 2511283/1160026 , -3075883499/23200520 ), ( -15807253/1009454 , -3523977879/4037816 )
**u= 1000/329 , ht= 114837 ; ( 114837/3964 , 131828539/79280 ), ( 3904279/1779268 , -4924386471/35585360 )
**u= 1000/373 , ht= 570127 ; ( -1544183/518134 , 1989889569/10362680 ), ( -294114/570127 , 156754661/2280508 )
**u= 1000/377 , ht= 541999 ; ( 10250313/3328216 , -2647353835/13312864 ), ( 364432/541999 , 160450083/2167996 )
**u= 1000/397 , ht= 32494 ; ( -126851417/51059766 , 172352944763/1021195320 ), ( 12247/32494 , 43768443/649880 )
**u= 1000/437 , ht= 421658 ; ( 421658/39929 , 560086191/798580 ), ( -2334793/1026174 , -674652637/4104696 )
**u= 1000/477 , ht= 195418 ; ( -22359/195418 , 815430217/11725080 ), ( -195418/22359 , -815430217/1341540 )
**u= 1000/497 , ht= 9627 ; ( 9627/5864 , 3179605/23456 ), ( -59113031/3154608 , -16700278775/12618432 )
**u= 1000/513 , ht= 880864 ; ( 5800097/289964 , -8320818427/5799280 ), ( -880864/190793 , 1291611131/3815860 )
**u= 1000/553 , ht= 4226093 ; ( 4226093/712884 , -6375758413/14257680 ), ( 18058969/4788628 , -27797955321/95772560 )
**u= 1000/589 , ht= 5542147 ; ( -7343447/1042146 , 2277500737/4168584 ), ( -4523274/5542147 , -10983812297/110842940 )
**u= 1000/609 , ht= 330296 ; ( -3886144/1151707 , 6327829217/23034140 ), ( -179437/330296 , -586846167/6605920 )
**u= 1000/649 , ht= 1664604 ; ( 1204463/1664604 , -3311631263/33292080 ), ( -2928711/349388 , -4754048759/6987760 )
**u= 1000/661 , ht= 202073 ; ( 55267121/14140362 , -92786716871/282807240 ), ( 38806/202073 , 334673343/4041460 )
**u= 1000/669 , ht= 647803 ; ( -430354/1266007 , 2188187309/25320140 ), ( -548146/647803 , 277722069/2591212 )
**u= 1000/693 , ht= 146499 ; ( -146499/122398 , 50200699/386520 ), ( -3116114/2932623 , -4276020433/35191476 )
**u= 1000/697 , ht= 26887976 ; ( 34308724/6698463 , -58384144343/133969260 ), ( 26887976/724687 , 44928878607/14493740 )
**u= 1000/701 , ht= 1024906 ; ( -31577362/46957771 , -94789468119/939155420 ), ( 1024906/447983 , 374735439/1791932 )
**u= 1000/741 , ht= 254554 ; ( -17900969/180561802 , -312499506183/3611236040 ), ( -91493/254554 , -465830213/5091080 )
**u= 1000/761 , ht= 352763 ; ( -72636/352763 , -628608563/7055260 ), ( -51248024/6368047 , -90133436751/127360940 )
**u= 1000/773 , ht= 31523299 ; ( -72789391/24541358 , 135111871521/490827160 ), ( -31523299/13410418 ,
-12051903705/53641672 )
**u= 1000/793 , ht= 581532 ; ( 68461/581532 , 1043246459/11630640 ), ( 581532/68461 , -1043246459/1369220 )
**u= 1000/801 , ht= 2773547 ; ( -2773547/448876 , -5030617689/8977520 ), ( -550183121/44424188 , -988376560069/888483760
)
**u= 1000/849 , ht= 15949283 ; ( -70240292/5275711 , 129842821197/105514220 ), ( 15949283/4592776 , 30596896719/91855520
)
**u= 1000/853 , ht= 3483639 ; ( -9678289/6517622 , -21559898553/130352440 ), ( 3483639/132202 , 1288356701/528808 )
**u= 1000/897 , ht= 676583 ; ( 261919087/12326744 , 496822751859/246534880 ), ( 670304/676583 , -1804629589/13531660 )
**u= 1000/941 , ht= 3843691 ; ( 268294787/15210014 , 521510120073/304200280 ), ( 3843691/428802 , -7506062561/8576040 )
**u= 1000/953 , ht= 18030072 ; ( 18030072/3610229 , 7182409777/14440916 ), ( 24022516/12976293 , 53325858637/259525860 )
**u= 1000/957 , ht= 1925323 ; ( 856354/1925323 , -4124172233/38506460 ), ( -156027842/4578131 , -61102342259/18312524 )
28081
>
また、小さい整点から求めたuについても調べる。

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.07.21
H.Nakao

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