Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+20011*B^4=C^4+20011*D^4

[2026.07.18]A^4+20011*B^4=C^4+20011*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=20011とする。

Pari/GPで簡単なプログラム("a45s.gp")を作成して、max{A,B,C,D} <= 100000の範囲で、小さい整数解を探すと、1個の整数解
    48159^4+20011*9898^4=88181^4+20011*9096^4
が見つかった。
これらの整数解から、(3a),(3b)を満たす有理数uをいくつか求めると、
    u = 3401870/9497
となる。
[gp2cによる計算]
gp > sss(20011,100000)
1:48159^4+20011*9898^4=88181^4+20011*9096^4
1 solutions,
time = 3h, 12min, 27,494 ms.
%1 = 1
{Pari/GPによる計算]
gp > uu(20011,48159,9898,88181,9096)
[u, -1; 802*u + 531493, 1; 9497*u - 3401870, 1]
[u, -1; 802*u - 531493, 1; 9497*u - 3401870, 1]
[u, -1; 802*u + 531493, 1; 9497*u + 3401870, 1]
time = 1 ms.
%1 = [-531493/802, 3401870/9497]

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが1000以下の範囲で、２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、
このように7361個のuが抽出される。
[MAGMAによる計算]
> PP(20011,1,1000);
**u= 1/24 , ht= 1229 ; ( -3403/629 , -1695828/629 ), ( 1229/83 , 603622/83 )
**u= 1/36 , ht= 6767 ; ( 2465/6769 , 4323504/6769 ), ( 2467/6767 , 4322787/6767 )
**u= 1/60 , ht= 53987 ; ( -53987/16493 , -43738092/16493 ), ( 40159/69619 , 62272481/69619 )
**u= 1/64 , ht= 853 ; ( -467/12797 , 20494463/25594 ), ( -31/853 , 2732153/3412 )
**u= 1/96 , ht= 231167 ; ( 231167/12985 , 90766359/5194 ), ( 243655/47801 , -243349830/47801 )
**u= 1/140 , ht= 94163 ; ( -132611/32511 , 53866145/10837 ), ( -23043/94163 , 114734244/94163 )
**u= 1/144 , ht= 4347 ; ( 21737/18903 , -103732298/56709 ), ( 4347/3781 , -20746318/11343 )
**u= 1/171 , ht= 32537 ; ( -676631/50195 , -177497023/10039 ), ( 9015/32537 , -132488185/97611 )
**u= 1/172 , ht= 22645 ; ( -234205/534947 , 766079290/534947 ), ( 11239/22645 , -6632875/4529 )
**u= 1/244 , ht= 8729 ; ( -8729/8363 , 18888251/8363 ), ( -33167/10875 , -1880599/375 )
**u= 1/256 , ht= 103 ; ( 103/39 , -117511/26 ), ( 368169/215833 , -2732076489/863332 )
**u= 1/264 , ht= 21623 ; ( -21623/5321 , 36191288/5321 ), ( -86963/151291 , -40516123/21613 )
**u= 1/291 , ht= 1276541 ; ( -1276541/364699 , -2265364701/364699 ), ( -5685011/217051 , 9707636411/217051 )
**u= 1/315 , ht= 87433 ; ( 816513/178393 , 4451276663/535179 ), ( -87433/15887 , 157762477/15887 )
**u= 1/316 , ht= 21337 ; ( 2377/21337 , 38174612/21337 ), ( 7133/33203 , -60386192/33203 )
**u= 1/324 , ht= 61077 ; ( -21707/61077 , 1050367906/549693 ), ( -1150047/305809 , 2754783748/393183 )
**u= 1/372 , ht= 210551 ; ( -125/210551 , 406207795/210551 ), ( -1085849/113975 , -421278816/22795 )
**u= 1/460 , ht= 1696531 ; ( 3260397/198803 , -7007686210/198803 ), ( -1696531/745619 , -567950990/106517 )
**u= 1/472 , ht= 321247 ; ( -45025/321247 , -704942600/321247 ), ( 1846771/383925 , 163964947/15357 )
**u= 1/484 , ht= 6443 ; ( 393/6443 , -14204849/6443 ), ( 5897/96647 , 213077396/96647 )
**u= 1/491 , ht= 402547 ; ( 402547/215967 , -337509011/71989 ), ( -2365719/1515145 , -6226753629/1515145 )
**u= 1/520 , ht= 92347 ; ( 72688/92347 , -1072263941/369388 ), ( -132917/17493 , 43685018/2499 )
**u= 1/536 , ht= 77237 ; ( 77237/2091 , -59643762/697 ), ( -2963283/1806997 , -8037636237/1806997 )
**u= 1/616 , ht= 33739 ; ( 5389/53899 , -134477749/53899 ), ( 31627/33739 , 114808288/33739 )
**u= 1/619 , ht= 3270469 ; ( 3270469/31861 , -8139455767/31861 ), ( 11702941/143735 , -29126781083/143735 )
**u= 1/628 , ht= 140843 ; ( 231815/100249 , -633095030/100249 ), ( 140843/37195 , -73030478/7439 )
**u= 1/636 , ht= 292319 ; ( 114640945/735253 , -289198905573/735253 ), ( 292319/9617 , 737802124/9617 )
**u= 1/676 , ht= 8755 ; ( -32293/131323 , -4572207706/1707199 ), ( -2153/8755 , -304819301/113815 )
**u= 1/691 , ht= 347311 ; ( 347311/202201 , -1056716201/202201 ), ( 72495569/20723085 , -198255712771/20723085 )
**u= 1/739 , ht= 11711 ; ( 4823/102371 , 278676287/102371 ), ( 11711/2843 , 32769517/2843 )
**u= 1/756 , ht= 190613 ; ( -190613/76619 , -565009834/76619 ), ( 186720167/5230355 , -1541214538309/15691065 )
**u= 1/820 , ht= 473249 ; ( 67349/473249 , 1369209505/473249 ), ( 200289691/4962411 , 573876152132/4962411 )
**u= 1/859 , ht= 296779 ; ( 5108633/20805679 , 62807313307/20805679 ), ( 296779/435 , 870060823/435 )
**u= 1/900 , ht= 2079 ; ( -151769/96873 , 8104503436/1453095 ), ( -2079/1327 , 111018892/19905 )
**u= 1/931 , ht= 1593 ; ( -61133/7173 , 20873563/797 ), ( 1593/73 , -4867047/73 )
**u= 1/976 , ht= 1620945 ; ( -1620945/623107 , -10853509049/1246214 ), ( -61266223/396031 , -191458427477/396031 )
**u= 2/35 , ht= 386 ; ( 386/141 , -114639/94 ), ( 40834/8271 , -34867549/16542 )
**u= 2/47 , ht= 115520 ; ( 115520/5963 , -112180741/11926 ), ( 290009/111268 , -301241647/222536 )
**u= 2/83 , ht= 1030 ; ( 56123/24470 , -15781067/9788 ), ( -1030/947 , 1803215/1894 )
**u= 2/87 , ht= 5936 ; ( 245000/28631 , -325465917/57262 ), ( -589/5936 , -1124391/1696 )
**u= 2/119 , ht= 2521 ; ( -1100/2521 , 4244485/5042 ), ( 261763/140100 , -91631291/56040 )
...省略...
**u= 986/975 , ht= 679429 ; ( 347731238/7936861 , -345962451589/79368610 ), ( -679429/425402 , -797361549/4254020 )
**u= 997/7 , ht= 4759 ; ( 4759/503 , -3733/503 ), ( -2131/25799 , -301/25799 )
**u= 997/8 , ht= 86750 ; ( -86750/9747 , 514327/12996 ), ( 2488221/185434 , -118893093/741736 )
**u= 997/60 , ht= 917099 ; ( 1756237/423697 , 44058723/423697 ), ( 917099/3221 , -22659066/3221 )
**u= 997/143 , ht= 49015 ; ( 49015/837 , -618277/279 ), ( 178569/1156403 , -44275413/1156403 )
**u= 997/172 , ht= 3973689 ; ( 733687411/13052223 , -10153830041/4350741 ), ( -3973689/752731 , -168160659/752731 )
**u= 997/183 , ht= 16811519 ; ( -169607555/41206703 , -7474971689/41206703 ), ( -16811519/4292041 , -43767261/252473 )
**u= 997/192 , ht= 140071 ; ( -140071/10679 , 12324513/21358 ), ( -632849/82477 , 112130159/329908 )
**u= 997/207 , ht= 2388227 ; ( 9782217/1878313 , 1361267669/5634939 ), ( -2388227/578727 , 336177299/1736181 )
**u= 997/247 , ht= 5213707 ; ( 5213707/44491 , 259481191/44491 ), ( -160463549/23147853 , 8074927601/23147853 )
**u= 997/255 , ht= 3160961 ; ( 2456549/3160961 , -202534773/3160961 ), ( 9551101/16823701 , -978461725/16823701 )
**u= 997/260 , ht= 94641497 ; ( 94641497/37448907 , -1732562269/12482969 ), ( 202210161/3438341 , 10334361603/3438341 )
**u= 997/287 , ht= 443325 ; ( 5812493/2917965 , -23265445/194531 ), ( 443325/215447 , 26457945/215447 )
**u= 997/312 , ht= 921091 ; ( 921091/88610 , 41412669/70888 ), ( -399281185/91347031 , -22924807605/91347031 )
**u= 997/316 , ht= 2077233 ; ( -96545/2077233 , 39044100/692411 ), ( -2077233/96545 , -23426460/19309 )
**u= 997/352 , ht= 702747 ; ( -55508153/2234532 , -8803056323/5958752 ), ( -702747/106963 , 84513969/213926 )
**u= 997/359 , ht= 7643155 ; ( 10329245/1007451 , -207606125/335817 ), ( -1333281/7643155 , 93121965/1528631 )
**u= 997/367 , ht= 546440877 ; ( 621093715/5374879 , 37687572139/5374879 ), ( -59517227/546440877 ,
33352676803/546440877 )
**u= 997/368 , ht= 1862571 ; ( -14731861/23784951 , -1133579377/15856634 ), ( -1862571/646315 , 119828352/646315 )
**u= 997/372 , ht= 2969863 ; ( -2969863/305783 , 182386748/305783 ), ( 7851723871/117653221 , 68554649407/16807603 )
**u= 997/388 , ht= 2473333 ; ( 49312037/1256879 , -236737321/96683 ), ( 976235/2473333 , 165904310/2473333 )
**u= 997/400 , ht= 1173745 ; ( 1173745/206947 , -755022241/2069470 ), ( 3464525/2547261 , -1362315397/12736305 )
**u= 997/408 , ht= 3502696 ; ( 697951/3502696 , -914280043/14010784 ), ( -52394413/21962771 , -3635657764/21962771 )
**u= 997/472 , ht= 20365235 ; ( 2164678221/150305944 , -597300144931/601223776 ), ( -854587/20365235 , 82511999/1197955
)
**u= 997/495 , ht= 35995463 ; ( 35995463/1004643 , 7613223299/3013929 ), ( 724115817/76865587 , 153985519087/230596761 )
**u= 997/516 , ht= 34727891 ; ( -1568785/34727891 , -2501831715/34727891 ), ( -213293963/32497195 , -3105467306/6499439
)
**u= 997/532 , ht= 1857841 ; ( -6492203867/1531893057 , -162453802149/510631019 ), ( 1857841/382411 , 138605939/382411 )
**u= 997/559 , ht= 193171 ; ( 32756115/6749017 , -2504761595/6749017 ), ( 193171/155645 , -530881/4447 )
**u= 997/568 , ht= 5078803 ; ( -5078803/3553581 , 155992696/1184527 ), ( 87333954/29324939 , -3974807361/16757108 )
**u= 997/575 , ht= 3712463 ; ( 3289755593/4539758121 , -709822785079/7566263535 ), ( -1496439/3712463 ,
1520220867/18562315 )
**u= 997/588 , ht= 12895375 ; ( 37248929/39053425 , -5804092768/54674795 ), ( 12895375/769103 , 6946955630/5383721 )
**u= 997/592 , ht= 333207919 ; ( -720995589/4168891 , -55570174726/4168891 ), ( 333207919/155012219 ,
-56655219343/310024438 )
**u= 997/607 , ht= 653027 ; ( -577969/653027 , 68063953/653027 ), ( -622131517/146142313 , -49881328057/146142313 )
**u= 997/640 , ht= 456732 ; ( 456732/171367 , -625494881/2741872 ), ( -4677639/2902244 , -7058926143/46435904 )
**u= 997/663 , ht= 14836439 ; ( -21005201/17572525 , -89354901/702901 ), ( 8875535/14836439 , 1410185795/14836439 )
**u= 997/684 , ht= 522172595 ; ( 522172595/29405581 , 43328990890/29405581 ), ( -1711909629/17698105 , 5006443157/624639
)
**u= 997/759 , ht= 18503305 ; ( 574370155/72955967 , 50529139345/72955967 ), ( 3429587/18503305 , 328465119/3700661 )
**u= 997/807 , ht= 297019621 ; ( -2024999675/199248883 , 183108917153/199248883 ), ( 297019621/240200365 ,
34376749111/240200365 )
**u= 997/816 , ht= 2392583 ; ( -156258155/16903879 , -28444625685/33807758 ), ( 2392583/1646005 , 105122085/658402 )
**u= 997/823 , ht= 30783345 ; ( 30783345/12242801 , -3010665637/12242801 ), ( -177998711/1774117 , -16178046737/1774117
)
**u= 997/852 , ht= 14282707 ; ( 15493109/15513557 , -2027364342/15513557 ), ( -14282707/4977889 , 1398645433/4977889 )
**u= 997/892 , ht= 9229773 ; ( -81227147/2057241 , -2562476537/685747 ), ( -9229773/3239101 , -925500192/3239101 )
**u= 997/928 , ht= 3665056 ; ( -1407068/21563721 , 5561260817/57503256 ), ( 3661547/3665056 , 3999663857/29320448 )
**u= 997/940 , ht= 1805647 ; ( 30924069/66657049 , 7137051031/66657049 ), ( -1805647/1304157 , -216337777/1304157 )
**u= 997/984 , ht= 4437409 ; ( 129909985/33409556 , -53317405705/133638224 ), ( -4437409/2292535 , 99267941/458507 )
**u= 997/988 , ht= 93298507 ; ( 126939493/3011575 , -2528646941/602315 ), ( -93298507/21059035 , -9524135984/21059035 )
**u= 997/991 , ht= 40247525 ; ( -60626015/2222421 , 2016633915/740807 ), ( 17024347/40247525 , -871590761/8049505 )
7361
>
また、小さい整点から求めたuについても調べる。

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.07.18
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]