Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+20001*B^4=C^4+20001*D^4

[2026.06.06]A^4+20001*B^4=C^4+20001*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=20001とする。

Pari/GPで簡単なプログラム("a45s.gp")を作成して、max{A,B,C,D} <= 100000の範囲で、小さい整数解を探すと、7個の整数解
    36^4+20001*197^4=2337^4+20001*62^4
    5072^4+20001*769^4=8557^4+20001*582^4
    16604^4+20001*6439^4=76607^4+20001*956^4
    27208^4+20001*6149^4=49982^4+20001*5817^4
    34522^4+20001*5175^4=63005^4+20001*772^4
    37099^4+20001*6267^4=75449^4+20001*2033^4
    49187^4+20001*3466^4=52234^4+20001*2837^4
が見つかった。
これらの整数解から、(3a),(3b)を満たす有理数uを求めると、
    u = 3281/21, 36285/193, 20001/145, 885/2, 66729/629, 260013/2117, 49029/629
となる。
{gp2cによる計算]
gp > ss(20001,100000)
1:36^4+20001*197^4=2337^4+20001*62^4
2:5072^4+20001*769^4=8557^4+20001*582^4
3:16604^4+20001*6439^4=76607^4+20001*956^4
4:27208^4+20001*6149^4=49982^4+20001*5817^4
5:34522^4+20001*5175^4=63005^4+20001*772^4
6:37099^4+20001*6267^4=75449^4+20001*2033^4
7:49187^4+20001*3466^4=52234^4+20001*2837^4
7 solutions,
time = 35h, 29min, 35,654 ms.
%1 = 7
{Pari/GPによる計算]
gp > uu(20001,36,197,2337,62)
[u, -1; 21*u + 3281, 1; 555*u - 86671, 1]
[u, -1; 21*u - 3281, 1; 555*u - 86671, 1]
[u, -1; 21*u + 3281, 1; 555*u + 86671, 1]
time = 3 ms.
%1 = [-3281/21, 86671/555]
gp > uu(20001,5072,769,8557,582)
[u, -1; 193*u - 36285, 1; 1309*u + 512681, 1]
[u, -1; 193*u - 36285, 1; 1309*u - 512681, 1]
[u, -1; 193*u + 36285, 1; 1309*u + 512681, 1]
time = 1 ms.
%2 = [36285/193, -512681/1309]
gp > uu(20001,16604,6439,76607,956)
[u, -1; 145*u - 20001, 1; 279633*u + 42374657, 1]
[u, -1; 145*u - 20001, 1; 279633*u - 42374657, 1]
[u, -1; 145*u + 20001, 1; 279633*u + 42374657, 1]
time = 1 ms.
%3 = [20001/145, -42374657/279633]
gp > uu(20001,27208,6149,49982,5817)
[u, -1; 2*u - 885, 1; 993178*u + 809618897, 1]
[u, -1; 2*u - 885, 1; 993178*u - 809618897, 1]
[u, -1; 2*u + 885, 1; 993178*u + 809618897, 1]
time = 1 ms.
%4 = [885/2, -809618897/993178]
gp > uu(20001,34522,5175,63005,772)
[u, -1; 629*u - 66729, 1; 41629*u + 8205721, 1]
[u, -1; 629*u - 66729, 1; 41629*u - 8205721, 1]
[u, -1; 629*u + 66729, 1; 41629*u + 8205721, 1]
time = 1 ms.
%5 = [66729/629, -8205721/41629]
gp > uu(20001,37099,6267,75449,2033)
[u, -1; 2117*u - 260013, 1; 8300*u + 1669553, 1]
[u, -1; 2117*u - 260013, 1; 8300*u - 1669553, 1]
[u, -1; 2117*u + 260013, 1; 8300*u + 1669553, 1]
time = 1 ms.
%6 = [260013/2117, -1669553/8300]
gp > uu(20001, 49187, 3466, 52234, 2837)
[u, -1; 629*u - 49029, 1; 6303*u + 8184025, 1]
[u, -1; 629*u - 49029, 1; 6303*u - 8184025, 1]
[u, -1; 629*u + 49029, 1; 6303*u + 8184025, 1]
time = 1 ms.
%7 = [49029/629, -8184025/6303]

■２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つような有理数について、その高さが小さいものから、順に調べる。
また、小さい整点から求めたuについても調べる。

[pari/gpによる計算]
> PP1(20001,3281,21);
**u= 3281/21 ; -1944520*x^2 - 137802*y^2 + 19585402*z^2
; C3a (-188558/110153 : 1105813/110153 : 1)  C4a (197/62 : 2337/62 : 1)
1
> PP1(20001,36285,193);
**u= 36285/193 ; -571583976*x^2 - 14006010*y^2 + 2061618474*z^2
; C3a (-65696/100863 : -1149493/100863 : 1)  C4a (-3862/2511 : 44024/2511 : 1)
1
> PP1(20001,20001,145);
**u= 20001/145 ; 20481024*x^2 - 5800290*y^2 + 820561026*z^2
; C3a (503/68 : 311/17 : 1)  C4a (-376/349 : 4520/349 : 1)
1
> PP1(20001,885,2);
**u= 885/2 ; -703221*x^2 - 3540*y^2 + 863229*z^2
; C3a (-12/41 : -1235/82 : 1)  C4a (-693/599 : -6770/599 : 1)
1
> PP1(20001,66729,629);
**u= 66729/629 ; 3460456200*x^2 - 83945082*y^2 + 12365975082*z^2
; C3a (4452174/710845 : 5971765/142169 : 1)  C4a (-8708788/1691727 : -106256438/1691727 : 1)
1
> PP1(20001,260013,2117);
**u= 260013/2117 ; 22031501520*x^2 - 1100895042*y^2 + 157245021858*z^2
; C3a (-4066/4431 : 7999/633 : 1)  C4a (-1619/498 : -19477/498 : 1)
1
> PP1(20001,49029,629);
**u= 49029/629 ; 5509372800*x^2 - 61678482*y^2 + 10317058482*z^2
; C3a (-598537/2600200 : -852544/65005 : 1)  C4a (11000/2618849 : 24751520/2618849 : 1)
1
>

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.06.08
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]