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Integer Points on A^4+2*B^4=C^4+2*D^4

[2026.05.16]A^4+2*B^4=C^4+2*D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■２次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
２次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、２次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、２次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、２次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=2とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが100以下の範囲で、２つの２次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように305個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(2,1,100);
**u= 1/2 ; 7*x^2 - 4*y^2 + 9*z^2
; C3a (0 : 3/2 : 1)  C4a (1 : -2 : 1)
**u= 1/6 ; 71*x^2 - 12*y^2 + 73*z^2
; C3a (1/2 : -11/4 : 1)  C4a (187/109 : -532/109 : 1)
**u= 1/8 ; 127*x^2 - 16*y^2 + 129*z^2
; C3a (-16/21 : -299/84 : 1)  C4a (-49/64 : -911/256 : 1)
**u= 1/18 ; 647*x^2 - 36*y^2 + 649*z^2
; C3a (-288/323 : -11017/1938 : 1)  C4a (-289/324 : -11051/1944 : 1)
**u= 1/24 ; 1151*x^2 - 48*y^2 + 1153*z^2
; C3a (11/2 : -219/8 : 1)  C4a (-2/11 : 219/44 : 1)
**u= 1/30 ; 1799*x^2 - 60*y^2 + 1801*z^2
; C3a (239/344 : 4589/688 : 1)  C4a (92/317 : -3615/634 : 1)
**u= 1/32 ; 2047*x^2 - 64*y^2 + 2049*z^2
; C3a (-320/341 : -21163/2728 : 1)  C4a (-961/1024 : -63551/8192 : 1)
**u= 1/34 ; 2311*x^2 - 68*y^2 + 2313*z^2
; C3a (81/47 : 546/47 : 1)  C4a (611/120 : 2421/80 : 1)
**u= 1/36 ; 2591*x^2 - 72*y^2 + 2593*z^2
; C3a (31/63 : -1264/189 : 1)  C4a (33/65 : 1312/195 : 1)
**u= 1/38 ; 2887*x^2 - 76*y^2 + 2889*z^2
; C3a (17/2 : 211/4 : 1)  C4a (-379/75 : 794/25 : 1)
**u= 1/42 ; 3527*x^2 - 84*y^2 + 3529*z^2
; C3a (-5/37 : 242/37 : 1)  C4a (-1511/505 : 10326/505 : 1)
**u= 1/44 ; 3871*x^2 - 88*y^2 + 3873*z^2
; C3a (-25/3 : -167/3 : 1)  C4a (147/29 : -994/29 : 1)
**u= 1/50 ; 4999*x^2 - 100*y^2 + 5001*z^2
; C3a (-800/833 : -81667/8330 : 1)  C4a (-2401/2500 : -245099/25000 : 1)
**u= 1/52 ; 5407*x^2 - 104*y^2 + 5409*z^2
; C3a (-525/151 : 3939/151 : 1)  C4a (-181/105 : 503/35 : 1)
**u= 1/62 ; 7687*x^2 - 124*y^2 + 7689*z^2
; C3a (3307/517 : 26354/517 : 1)  C4a (12/43 : 703/86 : 1)
**u= 1/66 ; 8711*x^2 - 132*y^2 + 8713*z^2
; C3a (4715/6827 : -67406/6827 : 1)  C4a (-4397/1939 : -39042/1939 : 1)
**u= 1/72 ; 10367*x^2 - 144*y^2 + 10369*z^2
; C3a (-888/737 : 117503/8844 : 1)  C4a (-5041/5184 : -736271/62208 : 1)
**u= 1/74 ; 10951*x^2 - 148*y^2 + 10953*z^2
; C3a (-897/601 : -9288/601 : 1)  C4a (109/298 : -5459/596 : 1)
**u= 1/86 ; 14791*x^2 - 172*y^2 + 14793*z^2
; C3a (397/741 : 7796/741 : 1)  C4a (99/13 : 926/13 : 1)
**u= 1/98 ; 19207*x^2 - 196*y^2 + 19209*z^2
; C3a (140 : 19403/14 : 1)  C4a (-9409/9604 : -1863371/134456 : 1)
**u= 2 ; -2*x^2 - 4*y^2 + 6*z^2
; C3a (-5/3 : 1/3 : 1)  C4a (1 : 1 : 1)
**u= 2/9 ; 158*x^2 - 36*y^2 + 166*z^2
; C3a (-195/157 : -1589/471 : 1)  C4a (-203/165 : -1669/495 : 1)
**u= 2/25 ; 1246*x^2 - 100*y^2 + 1254*z^2
; C3a (-1 : -5 : 1)  C4a (45/29 : -947/145 : 1)
**u= 2/33 ; 2174*x^2 - 132*y^2 + 2182*z^2
; C3a (-29/37 : -191/37 : 1)  C4a (-37/29 : 191/29 : 1)
**u= 2/49 ; 4798*x^2 - 196*y^2 + 4806*z^2
; C3a (1 : 7 : 1)  C4a (-1 : -7 : 1)
**u= 2/81 ; 13118*x^2 - 324*y^2 + 13126*z^2
; C3a (-13443/13117 : -1075757/118053 : 1)  C4a (-13451/13125 : -1076413/118125 : 1)
**u= 4 ; -14*x^2 - 8*y^2 + 18*z^2
; C3a (0 : 3/2 : 1)  C4a (-4/3 : 3/2 : 1)
**u= 4/9 ; 146*x^2 - 72*y^2 + 178*z^2
; C3a (5/4 : -19/8 : 1)  C4a (-4/5 : 19/10 : 1)
**u= 4/17 ; 562*x^2 - 136*y^2 + 594*z^2
; C3a (15/32 : 147/64 : 1)  C4a (-8/25 : -107/50 : 1)
**u= 4/57 ; 6482*x^2 - 456*y^2 + 6514*z^2
; C3a (-25/1856 : -14031/3712 : 1)  C4a (1/20 : -151/40 : 1)
**u= 4/81 ; 13106*x^2 - 648*y^2 + 13138*z^2
; C3a (13/76 : -2083/456 : 1)  C4a (17/80 : 2207/480 : 1)
**u= 8 ; -62*x^2 - 16*y^2 + 66*z^2
; C3a (-65/63 : 1/126 : 1)  C4a (-63/65 : -1/130 : 1)
**u= 8/9 ; 98*x^2 - 144*y^2 + 226*z^2
; C3a (-15/7 : -13/6 : 1)  C4a (7/15 : -91/90 : 1)
**u= 8/25 ; 1186*x^2 - 400*y^2 + 1314*z^2
; C3a (1 : 5/2 : 1)  C4a (-541/435 : 4113/1450 : 1)
**u= 8/49 ; 4738*x^2 - 784*y^2 + 4866*z^2
; C3a (-1645/1579 : -78983/22106 : 1)  C4a (-5063/4865 : -243349/68110 : 1)
**u= 8/73 ; 10594*x^2 - 1168*y^2 + 10722*z^2
; C3a (515/1829 : -11509/3658 : 1)  C4a (-9/137 : -827/274 : 1)
**u= 8/81 ; 13058*x^2 - 1296*y^2 + 13186*z^2
; C3a (-1 : -9/2 : 1)  C4a (-13511/13185 : -1081333/237330 : 1)
**u= 8/97 ; 18754*x^2 - 1552*y^2 + 18882*z^2
; C3a (2907/2131 : 25089/4262 : 1)  C4a (129/65 : -1007/130 : 1)
**u= 9/2 ; -73*x^2 - 36*y^2 + 89*z^2
; C3a (-40/37 : -71/222 : 1)  C4a (-41/44 : -91/264 : 1)
**u= 9/4 ; -49*x^2 - 72*y^2 + 113*z^2
; C3a (9/7 : 2/3 : 1)  C4a (-7/9 : -14/27 : 1)
**u= 9/8 ; 47*x^2 - 144*y^2 + 209*z^2
; C3a (-8/23 : -337/276 : 1)  C4a (-89/104 : -1471/1248 : 1)
**u= 9/16 ; 431*x^2 - 288*y^2 + 593*z^2
; C3a (33/79 : -361/237 : 1)  C4a (-33/31 : -182/93 : 1)
**u= 9/20 ; 719*x^2 - 360*y^2 + 881*z^2
; C3a (13/73 : 347/219 : 1)  C4a (119/89 : 674/267 : 1)
**u= 9/22 ; 887*x^2 - 396*y^2 + 1049*z^2
; C3a (-485/54 : -4387/324 : 1)  C4a (111 : -542/3 : 1)
**u= 9/32 ; 1967*x^2 - 576*y^2 + 2129*z^2
; C3a (-1 : 8/3 : 1)  C4a (-1 : -8/3 : 1)
**u= 9/46 ; 4151*x^2 - 828*y^2 + 4313*z^2
; C3a (-165/157 : -1544/471 : 1)  C4a (-1347/539 : -9908/1617 : 1)
**u= 9/50 ; 4919*x^2 - 900*y^2 + 5081*z^2
; C3a (-2360/2459 : -241081/73770 : 1)  C4a (-2441/2540 : -249019/76200 : 1)
**u= 9/64 ; 8111*x^2 - 1152*y^2 + 8273*z^2
; C3a (-65/129 : 1159/387 : 1)  C4a (-47/111 : 961/333 : 1)
**u= 9/76 ; 11471*x^2 - 1368*y^2 + 11633*z^2
; C3a (-315/103 : 2881/309 : 1)  C4a (-111/383 : 3466/1149 : 1)
**u= 9/82 ; 13367*x^2 - 1476*y^2 + 13529*z^2
; C3a (-168/37 : 3107/222 : 1)  C4a (-37/168 : -3107/1008 : 1)
**u= 9/98 ; 19127*x^2 - 1764*y^2 + 19289*z^2
; C3a (520/293 : 82631/12306 : 1)  C4a (451/304 : -10777/1824 : 1)
**u= 10/9 ; 62*x^2 - 180*y^2 + 262*z^2
; C3a (143/21 : 263/63 : 1)  C4a (19/17 : -25/17 : 1)
**u= 10/17 ; 478*x^2 - 340*y^2 + 678*z^2
; C3a (-31/3 : -37/3 : 1)  C4a (109/143 : -229/143 : 1)
**u= 10/41 ; 3262*x^2 - 820*y^2 + 3462*z^2
; C3a (77/159 : -361/159 : 1)  C4a (-899/167 : 1877/167 : 1)
**u= 10/97 ; 18718*x^2 - 1940*y^2 + 18918*z^2
; C3a (29769/41797 : -22851/5971 : 1)  C4a (-3241/1107 : 3563/369 : 1)
**u= 16/33 ; 1922*x^2 - 1056*y^2 + 2434*z^2
; C3a (20/31 : 7/4 : 1)  C4a (124/91 : 899/364 : 1)
**u= 16/41 ; 3106*x^2 - 1312*y^2 + 3618*z^2
; C3a (-25/16 : 187/64 : 1)  C4a (-209/168 : -577/224 : 1)
**u= 16/49 ; 4546*x^2 - 1568*y^2 + 5058*z^2
; C3a (15/32 : 1761/896 : 1)  C4a (-31/48 : -923/448 : 1)
**u= 16/57 ; 6242*x^2 - 1824*y^2 + 6754*z^2
; C3a (-68/103 : 939/412 : 1)  C4a (2363/368 : -18391/1472 : 1)
**u= 16/81 ; 12866*x^2 - 2592*y^2 + 13378*z^2
; C3a (80 : -713/4 : 1)  C4a (-1/80 : 713/320 : 1)
**u= 16/89 ; 15586*x^2 - 2848*y^2 + 16098*z^2
; C3a (1739/48 : -16279/192 : 1)  C4a (-1112/401 : 11221/1604 : 1)
**u= 17/4 ; -257*x^2 - 136*y^2 + 321*z^2
; C3a (83/93 : -86/93 : 1)  C4a (-23/7 : 34/7 : 1)
**u= 17/6 ; -217*x^2 - 204*y^2 + 361*z^2
; C3a (-133/107 : 38/107 : 1)  C4a (523/475 : 26/25 : 1)
**u= 17/10 ; -89*x^2 - 340*y^2 + 489*z^2
; C3a (-26/19 : 37/38 : 1)  C4a (27/62 : -13/124 : 1)
**u= 17/12 ; -x^2 - 408*y^2 + 577*z^2
; C3a (-5/37 : 44/37 : 1)  C4a (37/5 : 44/5 : 1)
**u= 17/16 ; 223*x^2 - 544*y^2 + 801*z^2
; C3a (-215/27 : 283/54 : 1)  C4a (-13/1293 : 276/431 : 1)
**u= 17/18 ; 359*x^2 - 612*y^2 + 937*z^2
; C3a (-5/3 : 16/9 : 1)  C4a (3/5 : 16/15 : 1)
**u= 17/20 ; 511*x^2 - 680*y^2 + 1089*z^2
; C3a (33/47 : -66/47 : 1)  C4a (-13/33 : 1 : 1)
**u= 17/28 ; 1279*x^2 - 952*y^2 + 1857*z^2
; C3a (-1009/8133 : 11419/8133 : 1)  C4a (-219/145 : -349/145 : 1)
**u= 17/30 ; 1511*x^2 - 1020*y^2 + 2089*z^2
; C3a (907/112 : 2231/224 : 1)  C4a (-23/7 : 34/7 : 1)
**u= 17/38 ; 2599*x^2 - 1292*y^2 + 3177*z^2
; C3a (123/86 : -441/172 : 1)  C4a (2849/1065 : -1572/355 : 1)
**u= 17/52 ; 5119*x^2 - 1768*y^2 + 5697*z^2
; C3a (-113637/4949 : 193566/4949 : 1)  C4a (653/159 : 401/53 : 1)
**u= 17/60 ; 6911*x^2 - 2040*y^2 + 7489*z^2
; C3a (4139/869 : -7798/869 : 1)  C4a (41/91 : -185/91 : 1)
**u= 17/66 ; 8423*x^2 - 2244*y^2 + 9001*z^2
; C3a (29/139 : 284/139 : 1)  C4a (191/3656 : -14187/7312 : 1)
**u= 17/70 ; 9511*x^2 - 2380*y^2 + 10089*z^2
; C3a (-587/342 : -2737/684 : 1)  C4a (382/87 : -537/58 : 1)
**u= 17/72 ; 10079*x^2 - 2448*y^2 + 10657*z^2
; C3a (-95/329 : 713/329 : 1)  C4a (329/95 : 713/95 : 1)
**u= 17/74 ; 10663*x^2 - 2516*y^2 + 11241*z^2
; C3a (-59250/1567 : -244041/3134 : 1)  C4a (256097/117825 : -197726/39275 : 1)
**u= 17/76 ; 11263*x^2 - 2584*y^2 + 11841*z^2
; C3a (217/407 : -982/407 : 1)  C4a (-9031/5371 : 22349/5371 : 1)
**u= 17/84 ; 13823*x^2 - 2856*y^2 + 14401*z^2
; C3a (-739/899 : 2592/899 : 1)  C4a (-227/143 : 599/143 : 1)
**u= 17/88 ; 15199*x^2 - 2992*y^2 + 15777*z^2
; C3a (855/1306 : 14259/5224 : 1)  C4a (249/7 : 572/7 : 1)
**u= 17/94 ; 17383*x^2 - 3196*y^2 + 17961*z^2
; C3a (10177/3832 : 50827/7664 : 1)  C4a (608/373 : -3367/746 : 1)
**u= 18 ; -322*x^2 - 36*y^2 + 326*z^2
; C3a (-325/323 : 1/969 : 1)  C4a (-323/325 : -1/975 : 1)
**u= 18/25 ; 926*x^2 - 900*y^2 + 1574*z^2
; C3a (-1027/925 : -24101/13875 : 1)  C4a (-1675/1573 : -40949/23595 : 1)
**u= 18/49 ; 4478*x^2 - 1764*y^2 + 5126*z^2
; C3a (-1 : 7/3 : 1)  C4a (-1 : -7/3 : 1)
**u= 18/73 ; 10334*x^2 - 2628*y^2 + 10982*z^2
; C3a (-85/523 : -3247/1569 : 1)  C4a (-4553/119 : 1643/21 : 1)
**u= 20 ; -398*x^2 - 40*y^2 + 402*z^2
; C3a (-46/83 : 439/166 : 1)  C4a (-261/98 : 1535/196 : 1)
**u= 20/33 ; 1778*x^2 - 1320*y^2 + 2578*z^2
; C3a (-61/38 : 177/76 : 1)  C4a (-347/566 : -1633/1132 : 1)
**u= 20/41 ; 2962*x^2 - 1640*y^2 + 3762*z^2
; C3a (-39/2 : -105/4 : 1)  C4a (229/222 : 305/148 : 1)
**u= 20/49 ; 4402*x^2 - 1960*y^2 + 5202*z^2
; C3a (51/2 : -153/4 : 1)  C4a (-33/34 : -61/28 : 1)
**u= 20/57 ; 6098*x^2 - 2280*y^2 + 6898*z^2
; C3a (-847/46 : 2775/92 : 1)  C4a (-23/34 : -137/68 : 1)
**u= 20/81 ; 12722*x^2 - 3240*y^2 + 13522*z^2
; C3a (-131/238 : 3307/1428 : 1)  C4a (-242/321 : -14501/5778 : 1)
**u= 20/97 ; 18418*x^2 - 3880*y^2 + 19218*z^2
; C3a (-769/3402 : -15509/6804 : 1)  C4a (-14/83 : -367/166 : 1)
**u= 25/2 ; -617*x^2 - 100*y^2 + 633*z^2
; C3a (-104/103 : -41/206 : 1)  C4a (-313/316 : -127/632 : 1)
**u= 25/4 ; -593*x^2 - 200*y^2 + 657*z^2
; C3a (87/91 : -69/91 : 1)  C4a (65/33 : -172/55 : 1)
**u= 25/8 ; -497*x^2 - 400*y^2 + 753*z^2
; C3a (-88/83 : -1157/1660 : 1)  C4a (-361/376 : -5279/7520 : 1)
**u= 25/14 ; -233*x^2 - 700*y^2 + 1017*z^2
; C3a (-93/205 : -1206/1025 : 1)  C4a (4/3 : -3/2 : 1)
**u= 25/18 ; 23*x^2 - 900*y^2 + 1273*z^2
; C3a (24/11 : -409/330 : 1)  C4a (-11/48 : 91/288 : 1)
**u= 25/26 ; 727*x^2 - 1300*y^2 + 1977*z^2
; C3a (-434/125 : -3593/1250 : 1)  C4a (-553/110 : 6869/1100 : 1)
**u= 25/32 ; 1423*x^2 - 1600*y^2 + 2673*z^2
; C3a (-9/49 : -639/490 : 1)  C4a (-217/144 : -277/128 : 1)
**u= 25/36 ; 1967*x^2 - 1800*y^2 + 3217*z^2
; C3a (1/93 : -373/279 : 1)  C4a (-93 : 373/3 : 1)
**u= 25/38 ; 2263*x^2 - 1900*y^2 + 3513*z^2
; C3a (-211/74 : -2513/740 : 1)  C4a (66/161 : 1973/1610 : 1)
**u= 25/42 ; 2903*x^2 - 2100*y^2 + 4153*z^2
; C3a (682/157 : 8317/1570 : 1)  C4a (-47/79 : -114/79 : 1)
**u= 25/56 ; 5647*x^2 - 2800*y^2 + 6897*z^2
; C3a (55/104 : 3619/2080 : 1)  C4a (-380/187 : 1187/340 : 1)
**u= 25/66 ; 8087*x^2 - 3300*y^2 + 9337*z^2
; C3a (5344/1945 : -89827/19450 : 1)  C4a (-1517/595 : 13582/2975 : 1)
**u= 25/68 ; 8623*x^2 - 3400*y^2 + 9873*z^2
; C3a (-91/79 : 989/395 : 1)  C4a (113/91 : -241/91 : 1)
**u= 25/72 ; 9743*x^2 - 3600*y^2 + 10993*z^2
; C3a (-1 : 12/5 : 1)  C4a (-5353/5496 : -156115/65952 : 1)
**u= 25/84 ; 13487*x^2 - 4200*y^2 + 14737*z^2
; C3a (-659/55 : 5927/275 : 1)  C4a (43/155 : 1446/775 : 1)
**u= 25/94 ; 17047*x^2 - 4700*y^2 + 18297*z^2
; C3a (-15/32 : 693/320 : 1)  C4a (-236189/40923 : 157496/13641 : 1)
**u= 25/98 ; 18583*x^2 - 4900*y^2 + 19833*z^2
; C3a (-3032/3097 : -600883/216790 : 1)  C4a (513/284 : 16393/3976 : 1)
**u= 26 ; -674*x^2 - 52*y^2 + 678*z^2
; C3a (133/249 : -761/249 : 1)  C4a (23/11 : -73/11 : 1)
**u= 26/9 ; -514*x^2 - 468*y^2 + 838*z^2
; C3a (-19/17 : -11/17 : 1)  C4a (-211/193 : -197/193 : 1)
**u= 26/33 ; 1502*x^2 - 1716*y^2 + 2854*z^2
; C3a (-3125/703 : -3061/703 : 1)  C4a (1681/1021 : -2369/1021 : 1)
**u= 26/73 ; 9982*x^2 - 3796*y^2 + 11334*z^2
; C3a (-317/1873 : 3277/1873 : 1)  C4a (-737/3205 : 5351/3205 : 1)
**u= 26/81 ; 12446*x^2 - 4212*y^2 + 13798*z^2
; C3a (205/119 : -59/17 : 1)  C4a (-679/1077 : -19999/9693 : 1)
**u= 32 ; -1022*x^2 - 64*y^2 + 1026*z^2
; C3a (-1 : -1/4 : 1)  C4a (-43/3 : 229/4 : 1)
**u= 32/9 ; -862*x^2 - 576*y^2 + 1186*z^2
; C3a (-825/863 : -8611/10356 : 1)  C4a (-1 : -3/4 : 1)
**u= 32/17 ; -446*x^2 - 1088*y^2 + 1602*z^2
; C3a (93/59 : -159/236 : 1)  C4a (-59/93 : 53/124 : 1)
**u= 32/25 ; 226*x^2 - 1600*y^2 + 2274*z^2
; C3a (-1 : -5/4 : 1)  C4a (-2375/2273 : -59149/45460 : 1)
**u= 32/33 ; 1154*x^2 - 2112*y^2 + 3202*z^2
; C3a (-95/7 : -283/28 : 1)  C4a (-7/95 : -283/380 : 1)
**u= 32/49 ; 3778*x^2 - 3136*y^2 + 5826*z^2
; C3a (-1325/1259 : -62983/35252 : 1)  C4a (-1 : 7/4 : 1)
**u= 32/81 ; 12098*x^2 - 5184*y^2 + 14146*z^2
; C3a (-12423/12097 : -992117/435492 : 1)  C4a (-14471/14145 : -1160053/509220 : 1)
**u= 34/33 ; 1022*x^2 - 2244*y^2 + 3334*z^2
; C3a (-179/19 : -123/19 : 1)  C4a (-241/199 : 323/199 : 1)
**u= 34/41 ; 2206*x^2 - 2788*y^2 + 4518*z^2
; C3a (1483/171 : 1337/171 : 1)  C4a (623/279 : -277/93 : 1)
**u= 34/49 ; 3646*x^2 - 3332*y^2 + 5958*z^2
; C3a (405/709 : 7269/4963 : 1)  C4a (37/141 : 363/329 : 1)
**u= 34/57 ; 5342*x^2 - 3876*y^2 + 7654*z^2
; C3a (-41/79 : -121/79 : 1)  C4a (-251/205 : -427/205 : 1)
**u= 34/89 ; 14686*x^2 - 6052*y^2 + 16998*z^2
; C3a (763/229 : 1249/229 : 1)  C4a (604873/1631 : -1013713/1631 : 1)
**u= 36/17 ; -718*x^2 - 1224*y^2 + 1874*z^2
; C3a (-23/28 : 179/168 : 1)  C4a (844/385 : 6011/2310 : 1)
**u= 36/49 ; 3506*x^2 - 3528*y^2 + 6098*z^2
; C3a (-840/193 : -36749/8106 : 1)  C4a (-81/32 : 667/192 : 1)
**u= 36/65 ; 7154*x^2 - 4680*y^2 + 9746*z^2
; C3a (67/28 : 79/24 : 1)  C4a (-5992/1013 : 52423/6078 : 1)
**u= 36/97 ; 17522*x^2 - 6984*y^2 + 20114*z^2
; C3a (-85/12 : 817/72 : 1)  C4a (-3504/1055 : 37061/6330 : 1)
**u= 40/9 ; -1438*x^2 - 720*y^2 + 1762*z^2
; C3a (-17/19 : -35/38 : 1)  C4a (51/7 : 475/42 : 1)
**u= 40/17 ; -1022*x^2 - 1360*y^2 + 2178*z^2
; C3a (11/23 : 55/46 : 1)  C4a (-109/143 : 11/26 : 1)
**u= 40/33 ; 578*x^2 - 2640*y^2 + 3778*z^2
; C3a (-53/119 : -17/14 : 1)  C4a (-119/163 : 323/326 : 1)
**u= 40/41 ; 1762*x^2 - 3280*y^2 + 4962*z^2
; C3a (-23/59 : -149/118 : 1)  C4a (-583/1139 : 2201/2278 : 1)
**u= 41/6 ; -1609*x^2 - 492*y^2 + 1753*z^2
; C3a (-73/1106 : 4167/2212 : 1)  C4a (179/53 : -324/53 : 1)
**u= 41/12 ; -1393*x^2 - 984*y^2 + 1969*z^2
; C3a (73/83 : -79/83 : 1)  C4a (-61/25 : -81/25 : 1)
**u= 41/24 ; -529*x^2 - 1968*y^2 + 2833*z^2
; C3a (-37/46 : -9/8 : 1)  C4a (-1081/1447 : 1058/1447 : 1)
**u= 41/26 ; -329*x^2 - 2132*y^2 + 3033*z^2
; C3a (-159/127 : 138/127 : 1)  C4a (-383/735 : -118/245 : 1)
**u= 41/28 ; -113*x^2 - 2296*y^2 + 3249*z^2
; C3a (513/107 : -57/107 : 1)  C4a (101/171 : 2/3 : 1)
**u= 41/34 ; 631*x^2 - 2788*y^2 + 3993*z^2
; C3a (4400/949 : 4763/1898 : 1)  C4a (103/16 : 247/32 : 1)
**u= 41/36 ; 911*x^2 - 2952*y^2 + 4273*z^2
; C3a (621/13 : 1036/39 : 1)  C4a (-233/35 : 281/35 : 1)
**u= 41/40 ; 1519*x^2 - 3280*y^2 + 4881*z^2
; C3a (-514/89 : -1465/356 : 1)  C4a (777/802 : 4375/3208 : 1)
**u= 41/42 ; 1847*x^2 - 3444*y^2 + 5209*z^2
; C3a (-1651/1541 : -2248/1541 : 1)  C4a (-73/655 : -488/655 : 1)
**u= 41/46 ; 2551*x^2 - 3772*y^2 + 5913*z^2
; C3a (1041/512 : 2139/1024 : 1)  C4a (-259/293 : -404/293 : 1)
**u= 41/58 ; 5047*x^2 - 4756*y^2 + 8409*z^2
; C3a (1963/1267 : 376/181 : 1)  C4a (7/22 : 49/44 : 1)
**u= 41/60 ; 5519*x^2 - 4920*y^2 + 8881*z^2
; C3a (-97/53 : 125/53 : 1)  C4a (5441/11249 : 13978/11249 : 1)
**u= 41/66 ; 7031*x^2 - 5412*y^2 + 10393*z^2
; C3a (-32 : 73/2 : 1)  C4a (151/47 : -216/47 : 1)
**u= 41/70 ; 8119*x^2 - 5740*y^2 + 11481*z^2
; C3a (353/143 : -466/143 : 1)  C4a (-2/23 : -55/46 : 1)
**u= 41/78 ; 10487*x^2 - 6396*y^2 + 13849*z^2
; C3a (-301/284 : -1137/568 : 1)  C4a (43432/11023 : -130899/22046 : 1)
**u= 41/80 ; 11119*x^2 - 6560*y^2 + 14481*z^2
; C3a (267/1583 : 4755/3166 : 1)  C4a (1439/159 : -716/53 : 1)
**u= 41/90 ; 14519*x^2 - 7380*y^2 + 17881*z^2
; C3a (1206/71 : -10171/426 : 1)  C4a (-427/93 : -2032/279 : 1)
**u= 41/94 ; 15991*x^2 - 7708*y^2 + 19353*z^2
; C3a (2899/2147 : -5386/2147 : 1)  C4a (-23/1105 : 1592/1105 : 1)
**u= 41/96 ; 16751*x^2 - 7872*y^2 + 20113*z^2
; C3a (1415/1009 : -5239/2018 : 1)  C4a (-1/73 : 213/146 : 1)
**u= 49/2 ; -2393*x^2 - 196*y^2 + 2409*z^2
; C3a (-400/399 : -797/5586 : 1)  C4a (-1201/1204 : -2411/16856 : 1)
**u= 49/8 ; -2273*x^2 - 784*y^2 + 2529*z^2
; C3a (245/253 : 1261/1771 : 1)  C4a (-439/420 : -3099/3920 : 1)
**u= 49/10 ; -2201*x^2 - 980*y^2 + 2601*z^2
; C3a (-102/103 : 969/1442 : 1)  C4a (107/102 : -23/28 : 1)
**u= 49/12 ; -2113*x^2 - 1176*y^2 + 2689*z^2
; C3a (1/31 : 328/217 : 1)  C4a (221/125 : 2024/875 : 1)
**u= 49/18 ; -1753*x^2 - 1764*y^2 + 3049*z^2
; C3a (-840/877 : 33289/36834 : 1)  C4a (-1561/1524 : 57949/64008 : 1)
**u= 49/26 ; -1049*x^2 - 2548*y^2 + 3753*z^2
; C3a (285/181 : 852/1267 : 1)  C4a (9/17 : 4/119 : 1)
**u= 49/30 ; -601*x^2 - 2940*y^2 + 4201*z^2
; C3a (169/64 : 53/896 : 1)  C4a (64/169 : -53/2366 : 1)
**u= 49/32 ; -353*x^2 - 3136*y^2 + 4449*z^2
; C3a (-80/59 : -3637/3304 : 1)  C4a (-1 : 8/7 : 1)
**u= 49/36 ; 191*x^2 - 3528*y^2 + 4993*z^2
; C3a (103/21 : -727/441 : 1)  C4a (-129/95 : -3256/1995 : 1)
**u= 49/46 ; 1831*x^2 - 4508*y^2 + 6633*z^2
; C3a (-135/49 : 732/343 : 1)  C4a (7/375 : 558/875 : 1)
**u= 49/48 ; 2207*x^2 - 4704*y^2 + 7009*z^2
; C3a (331/181 : -2216/1267 : 1)  C4a (3467/1397 : 30372/9779 : 1)
**u= 49/50 ; 2599*x^2 - 4900*y^2 + 7401*z^2
; C3a (-400/433 : -42467/30310 : 1)  C4a (47/140 : -8203/9800 : 1)
**u= 49/54 ; 3431*x^2 - 5292*y^2 + 8233*z^2
; C3a (169/263 : 2486/1841 : 1)  C4a (509/83 : 13406/1743 : 1)
**u= 49/60 ; 4799*x^2 - 5880*y^2 + 9601*z^2
; C3a (-49 : -310/7 : 1)  C4a (1/49 : -310/343 : 1)
**u= 49/66 ; 6311*x^2 - 6468*y^2 + 11113*z^2
; C3a (260/73 : 3837/1022 : 1)  C4a (-703/65 : 6466/455 : 1)
**u= 49/72 ; 7967*x^2 - 7056*y^2 + 12769*z^2
; C3a (0 : 113/84 : 1)  C4a (3983/113 : -332/7 : 1)
**u= 49/80 ; 10399*x^2 - 7840*y^2 + 15201*z^2
; C3a (-561/131 : 9399/1834 : 1)  C4a (13/3 : -43/7 : 1)
**u= 49/90 ; 13799*x^2 - 8820*y^2 + 18601*z^2
; C3a (-61/99 : 3418/2079 : 1)  C4a (-3/2 : 211/84 : 1)
**u= 50 ; -2498*x^2 - 100*y^2 + 2502*z^2
; C3a (1 : 1/5 : 1)  C4a (-1 : 1/5 : 1)
**u= 50/9 ; -2338*x^2 - 900*y^2 + 2662*z^2
; C3a (1 : 3/5 : 1)  C4a (1 : 3/5 : 1)
**u= 50/17 ; -1922*x^2 - 1700*y^2 + 3078*z^2
; C3a (-81/217 : -9/7 : 1)  C4a (155/189 : -31/105 : 1)
**u= 50/49 ; 2302*x^2 - 4900*y^2 + 7302*z^2
; C3a (-1 : 7/5 : 1)  C4a (-7499/7301 : -365149/255535 : 1)
**u= 50/81 ; 10622*x^2 - 8100*y^2 + 15622*z^2
; C3a (597/179 : 6547/1611 : 1)  C4a (-15947/15621 : -256217/140589 : 1)
**u= 52/17 ; -2126*x^2 - 1768*y^2 + 3282*z^2
; C3a (1/18 : 49/36 : 1)  C4a (-231/262 : 257/524 : 1)
**u= 52/33 ; -526*x^2 - 3432*y^2 + 4882*z^2
; C3a (-166/67 : -93/134 : 1)  C4a (458/535 : 1009/1070 : 1)
**u= 52/41 ; 658*x^2 - 4264*y^2 + 6066*z^2
; C3a (-35/6 : -31/12 : 1)  C4a (298/645 : 291/430 : 1)
**u= 52/89 ; 13138*x^2 - 9256*y^2 + 18546*z^2
; C3a (-337/642 : -1987/1284 : 1)  C4a (-7859/1486 : 22529/2972 : 1)
**u= 58/41 ; -2*x^2 - 4756*y^2 + 6726*z^2
; C3a (755/17 : 13/17 : 1)  C4a (557/3263 : 659/3263 : 1)
**u= 58/57 ; 3134*x^2 - 6612*y^2 + 9862*z^2
; C3a (4325/1489 : -3489/1489 : 1)  C4a (-157259/50335 : 195159/50335 : 1)
**u= 58/65 ; 5086*x^2 - 7540*y^2 + 11814*z^2
; C3a (-15857/653 : 13049/653 : 1)  C4a (-847/1493 : -1621/1493 : 1)
**u= 64/9 ; -3934*x^2 - 1152*y^2 + 4258*z^2
; C3a (-91/108 : -2923/2592 : 1)  C4a (41/40 : 219/320 : 1)
**u= 64/41 ; -734*x^2 - 5248*y^2 + 7458*z^2
; C3a (989/948 : 8543/7584 : 1)  C4a (-496/1103 : 3389/8824 : 1)
**u= 64/57 ; 2402*x^2 - 7296*y^2 + 10594*z^2
; C3a (-80/91 : -951/728 : 1)  C4a (-91/80 : -951/640 : 1)
**u= 64/81 ; 9026*x^2 - 10368*y^2 + 17218*z^2
; C3a (47/16 : -1163/384 : 1)  C4a (-17/80 : -1867/1920 : 1)
**u= 65/4 ; -4193*x^2 - 520*y^2 + 4257*z^2
; C3a (-487/711 : -1492/711 : 1)  C4a (1063/141 : -1005/47 : 1)
**u= 65/6 ; -4153*x^2 - 780*y^2 + 4297*z^2
; C3a (-41/263 : 610/263 : 1)  C4a (427/419 : -264/419 : 1)
**u= 65/12 ; -3937*x^2 - 1560*y^2 + 4513*z^2
; C3a (157/239 : 321/239 : 1)  C4a (-32917/1841 : 55911/1841 : 1)
**u= 65/16 ; -3713*x^2 - 2080*y^2 + 4737*z^2
; C3a (1387/1579 : -1498/1579 : 1)  C4a (-1309/227 : 1952/227 : 1)
**u= 65/22 ; -3257*x^2 - 2860*y^2 + 5193*z^2
; C3a (-197/419 : -524/419 : 1)  C4a (383/9 : -172/3 : 1)
**u= 65/28 ; -2657*x^2 - 3640*y^2 + 5793*z^2
; C3a (2081/13967 : 17530/13967 : 1)  C4a (3343/4001 : 2470/4001 : 1)
**u= 65/34 ; -1913*x^2 - 4420*y^2 + 6537*z^2
; C3a (112/129 : 277/258 : 1)  C4a (-32009/54572 : -30091/109144 : 1)
**u= 65/46 ; 7*x^2 - 5980*y^2 + 8457*z^2
; C3a (-18097/671 : -1010/671 : 1)  C4a (-251/5453 : 352/5453 : 1)
**u= 65/48 ; 383*x^2 - 6240*y^2 + 8833*z^2
; C3a (-451/1073 : 2563/2146 : 1)  C4a (29/583 : 27/106 : 1)
**u= 65/54 ; 1607*x^2 - 7020*y^2 + 10057*z^2
; C3a (883/86 : -2609/516 : 1)  C4a (-151/103 : 562/309 : 1)
**u= 65/58 ; 2503*x^2 - 7540*y^2 + 10953*z^2
; C3a (46/17 : 67/34 : 1)  C4a (-2359/1257 : 978/419 : 1)
**u= 65/64 ; 3967*x^2 - 8320*y^2 + 12417*z^2
; C3a (6319/5023 : -15059/10046 : 1)  C4a (207/229 : -1193/916 : 1)
**u= 65/72 ; 6143*x^2 - 9360*y^2 + 14593*z^2
; C3a (11/3 : 29/9 : 1)  C4a (1431/8572 : 86047/102864 : 1)
**u= 65/86 ; 10567*x^2 - 11180*y^2 + 19017*z^2
; C3a (-546303/116174 : -1104609/232348 : 1)  C4a (13538/5511 : 12301/3674 : 1)
**u= 65/88 ; 11263*x^2 - 11440*y^2 + 19713*z^2
; C3a (-17767/6169 : -19400/6169 : 1)  C4a (-919/137 : 1214/137 : 1)
**u= 68 ; -4622*x^2 - 136*y^2 + 4626*z^2
; C3a (67/208 : -2297/416 : 1)  C4a (-88/63 : -239/42 : 1)
**u= 68/33 ; -2446*x^2 - 4488*y^2 + 6802*z^2
; C3a (-65/56 : 99/112 : 1)  C4a (4208/1205 : -10207/2410 : 1)
**u= 68/49 ; 178*x^2 - 6664*y^2 + 9426*z^2
; C3a (535/36 : 1363/504 : 1)  C4a (-523/1072 : -9047/15008 : 1)
**u= 68/57 ; 1874*x^2 - 7752*y^2 + 11122*z^2
; C3a (223/5296 : 12689/10592 : 1)  C4a (113/2336 : -2313/4672 : 1)
**u= 68/73 ; 6034*x^2 - 9928*y^2 + 15282*z^2
; C3a (885/64 : 1389/128 : 1)  C4a (-592/1671 : 997/1114 : 1)
**u= 68/97 ; 14194*x^2 - 13192*y^2 + 23442*z^2
; C3a (-3095/3404 : -11117/6808 : 1)  C4a (317/1384 : -2993/2768 : 1)
**u= 72 ; -5182*x^2 - 144*y^2 + 5186*z^2
; C3a (-5185/5183 : 1/31098 : 1)  C4a (-5183/5185 : -1/31110 : 1)
**u= 72/17 ; -4606*x^2 - 2448*y^2 + 5762*z^2
; C3a (321/287 : -1/246 : 1)  C4a (-399/433 : -889/2598 : 1)
**u= 72/25 ; -3934*x^2 - 3600*y^2 + 6434*z^2
; C3a (655/569 : 9941/17070 : 1)  C4a (-505/457 : 14311/13710 : 1)
**u= 72/41 ; -1822*x^2 - 5904*y^2 + 8546*z^2
; C3a (-189/139 : 781/834 : 1)  C4a (-1179/461 : 8371/2766 : 1)
**u= 72/49 ; -382*x^2 - 7056*y^2 + 9986*z^2
; C3a (-1 : 7/6 : 1)  C4a (-10183/9985 : -499349/419370 : 1)
**u= 72/89 ; 10658*x^2 - 12816*y^2 + 21026*z^2
; C3a (-22711/12921 : 2179/1062 : 1)  C4a (73/105 : 803/630 : 1)
**u= 73/14 ; -4937*x^2 - 2044*y^2 + 5721*z^2
; C3a (199/1431 : -2374/1431 : 1)  C4a (148/127 : -299/254 : 1)
**u= 73/16 ; -4817*x^2 - 2336*y^2 + 5841*z^2
; C3a (-129/751 : -1173/751 : 1)  C4a (-2039/2055 : 433/685 : 1)
**u= 73/20 ; -4529*x^2 - 2920*y^2 + 6129*z^2
; C3a (381/359 : 213/359 : 1)  C4a (-209/241 : 40/241 : 1)
**u= 73/24 ; -4177*x^2 - 3504*y^2 + 6481*z^2
; C3a (-1025/1306 : 5517/5224 : 1)  C4a (-742/187 : -3953/748 : 1)
**u= 73/30 ; -3529*x^2 - 4380*y^2 + 7129*z^2
; C3a (5579/5144 : -8483/10288 : 1)  C4a (413/493 : 286/493 : 1)
**u= 73/38 ; -2441*x^2 - 5548*y^2 + 8217*z^2
; C3a (37915/21707 : -8086/21707 : 1)  C4a (574/927 : 221/618 : 1)
**u= 73/44 ; -1457*x^2 - 6424*y^2 + 9201*z^2
; C3a (-623/1137 : 1328/1137 : 1)  C4a (1237/2447 : 913/2447 : 1)
**u= 73/48 ; -721*x^2 - 7008*y^2 + 9937*z^2
; C3a (-347/121 : -183/242 : 1)  C4a (11/5 : -13/5 : 1)
**u= 73/52 ; 79*x^2 - 7592*y^2 + 10737*z^2
; C3a (27 : 3 : 1)  C4a (1747/28605 : 1194/9535 : 1)
**u= 73/54 ; 503*x^2 - 7884*y^2 + 11161*z^2
; C3a (1363/82 : 2147/492 : 1)  C4a (-397/3005 : 894/3005 : 1)
**u= 73/62 ; 2359*x^2 - 9052*y^2 + 13017*z^2
; C3a (2225/799 : 1486/799 : 1)  C4a (-18567/140215 : -74962/140215 : 1)
**u= 73/68 ; 3919*x^2 - 9928*y^2 + 14577*z^2
; C3a (65/3 : 41/3 : 1)  C4a (2711/1657 : -3446/1657 : 1)
**u= 73/74 ; 5623*x^2 - 10804*y^2 + 16281*z^2
; C3a (-981/499 : -936/499 : 1)  C4a (-20927/15777 : 3122/1753 : 1)
**u= 73/84 ; 8783*x^2 - 12264*y^2 + 19441*z^2
; C3a (-2755/221 : 2348/221 : 1)  C4a (-15289/1399 : -19286/1399 : 1)
**u= 73/86 ; 9463*x^2 - 12556*y^2 + 20121*z^2
; C3a (-13957/8747 : 16414/8747 : 1)  C4a (-217/127 : 296/127 : 1)
**u= 73/88 ; 10159*x^2 - 12848*y^2 + 20817*z^2
; C3a (17361/278 : -61767/1112 : 1)  C4a (277/405 : -56/45 : 1)
**u= 73/90 ; 10871*x^2 - 13140*y^2 + 21529*z^2
; C3a (3974/4149 : 38545/24894 : 1)  C4a (39/31 : 172/93 : 1)
**u= 73/96 ; 13103*x^2 - 14016*y^2 + 23761*z^2
; C3a (965/797 : 2791/1594 : 1)  C4a (1171/811 : -3429/1622 : 1)
**u= 73/98 ; 13879*x^2 - 14308*y^2 + 24537*z^2
; C3a (3757/261 : 3716/261 : 1)  C4a (3989/10832 : 166301/151648 : 1)
**u= 74/9 ; -5314*x^2 - 1332*y^2 + 5638*z^2
; C3a (417/421 : -713/1263 : 1)  C4a (-421/417 : -713/1251 : 1)
**u= 74/49 ; -674*x^2 - 7252*y^2 + 10278*z^2
; C3a (203/71 : -403/497 : 1)  C4a (-2173/1281 : -5967/2989 : 1)
**u= 74/57 ; 1022*x^2 - 8436*y^2 + 11974*z^2
; C3a (17819/719 : 6261/719 : 1)  C4a (661/1991 : 1049/1991 : 1)
**u= 74/73 ; 5182*x^2 - 10804*y^2 + 16134*z^2
; C3a (-455/2027 : 2497/2027 : 1)  C4a (-1943/1853 : 2699/1853 : 1)
**u= 80/33 ; -4222*x^2 - 5280*y^2 + 8578*z^2
; C3a (-1163/1114 : 3867/4456 : 1)  C4a (-697/766 : 2263/3064 : 1)
**u= 80/57 ; 98*x^2 - 9120*y^2 + 12898*z^2
; C3a (26/7 : -5/4 : 1)  C4a (7/26 : 35/104 : 1)
**u= 80/73 ; 4258*x^2 - 11680*y^2 + 17058*z^2
; C3a (9106/857 : -22379/3428 : 1)  C4a (-847/2146 : 6605/8584 : 1)
**u= 80/81 ; 6722*x^2 - 12960*y^2 + 19522*z^2
; C3a (39/2 : 1015/72 : 1)  C4a (-118/199 : -815/796 : 1)
**u= 80/97 ; 12418*x^2 - 15520*y^2 + 25218*z^2
; C3a (-1573/1434 : 9227/5736 : 1)  C4a (-4726/4047 : 9371/5396 : 1)
**u= 81/2 ; -6553*x^2 - 324*y^2 + 6569*z^2
; C3a (-3280/3277 : -6551/58986 : 1)  C4a (-3281/3284 : -6571/59112 : 1)
**u= 81/8 ; -6433*x^2 - 1296*y^2 + 6689*z^2
; C3a (-3232/3217 : -45023/115812 : 1)  C4a (-3329/3344 : -46831/120384 : 1)
**u= 81/10 ; -6361*x^2 - 1620*y^2 + 6761*z^2
; C3a (-238/267 : -4933/4806 : 1)  C4a (43/18 : -1445/324 : 1)
**u= 81/28 ; -4993*x^2 - 4536*y^2 + 8129*z^2
; C3a (-159/191 : -1744/1719 : 1)  C4a (79/51 : -821/459 : 1)
**u= 81/32 ; -4513*x^2 - 5184*y^2 + 8609*z^2
; C3a (-1 : 8/9 : 1)  C4a (-1 : -8/9 : 1)
**u= 81/44 ; -2689*x^2 - 7128*y^2 + 10433*z^2
; C3a (817/619 : 5003/5571 : 1)  C4a (-193/115 : 2003/1035 : 1)
**u= 81/50 ; -1561*x^2 - 8100*y^2 + 11561*z^2
; C3a (-80/71 : -6949/6390 : 1)  C4a (-5681/5780 : -566539/520200 : 1)
**u= 81/52 ; -1153*x^2 - 8424*y^2 + 11969*z^2
; C3a (-87/43 : -359/387 : 1)  C4a (-423/253 : 4459/2277 : 1)
**u= 81/62 ; 1127*x^2 - 10044*y^2 + 14249*z^2
; C3a (-55/7 : -26/9 : 1)  C4a (1309/8005 : 27916/72045 : 1)
**u= 81/64 ; 1631*x^2 - 10368*y^2 + 14753*z^2
; C3a (951/73 : 3484/657 : 1)  C4a (3/31 : 461/1116 : 1)
**u= 81/68 ; 2687*x^2 - 11016*y^2 + 15809*z^2
; C3a (-2503/523 : 12473/4707 : 1)  C4a (-3671/1225 : 39952/11025 : 1)
**u= 81/74 ; 4391*x^2 - 11988*y^2 + 17513*z^2
; C3a (346/457 : -10633/8226 : 1)  C4a (-391/793 : 6062/7137 : 1)
**u= 81/86 ; 8231*x^2 - 13932*y^2 + 21353*z^2
; C3a (2843/5251 : -61724/47259 : 1)  C4a (-67/19 : -758/171 : 1)
**u= 81/98 ; 12647*x^2 - 15876*y^2 + 25769*z^2
; C3a (-6128/6323 : -1226857/796698 : 1)  C4a (-1 : -14/9 : 1)
**u= 81/100 ; 13439*x^2 - 16200*y^2 + 26561*z^2
; C3a (-33/17 : 334/153 : 1)  C4a (17/33 : 334/297 : 1)
**u= 82/17 ; -6146*x^2 - 2788*y^2 + 7302*z^2
; C3a (43/59 : -71/59 : 1)  C4a (-59/43 : 71/43 : 1)
**u= 82/33 ; -4546*x^2 - 5412*y^2 + 8902*z^2
; C3a (317/229 : -43/229 : 1)  C4a (3077/3011 : 2821/3011 : 1)
**u= 82/57 ; -226*x^2 - 9348*y^2 + 13222*z^2
; C3a (-2405/331 : -123/331 : 1)  C4a (217/559 : -243/559 : 1)
**u= 82/65 ; 1726*x^2 - 10660*y^2 + 15174*z^2
; C3a (2649/881 : -1497/881 : 1)  C4a (4997/6843 : 2189/2281 : 1)
**u= 89/6 ; -7849*x^2 - 1068*y^2 + 7993*z^2
; C3a (-505/527 : 452/527 : 1)  C4a (527/505 : 452/505 : 1)
**u= 89/10 ; -7721*x^2 - 1780*y^2 + 8121*z^2
; C3a (-239/561 : -1090/561 : 1)  C4a (2241/2126 : 3637/4252 : 1)
**u= 89/24 ; -6769*x^2 - 4272*y^2 + 9073*z^2
; C3a (67/214 : 1201/856 : 1)  C4a (2542/1949 : 11103/7796 : 1)
**u= 89/28 ; -6353*x^2 - 4984*y^2 + 9489*z^2
; C3a (-3221/2981 : -1922/2981 : 1)  C4a (-2897/1933 : -3349/1933 : 1)
**u= 89/30 ; -6121*x^2 - 5340*y^2 + 9721*z^2
; C3a (-6157/5528 : 6979/11056 : 1)  C4a (16067/15757 : -13614/15757 : 1)
**u= 89/36 ; -5329*x^2 - 6408*y^2 + 10513*z^2
; C3a (99/73 : -1/3 : 1)  C4a (6643/9325 : -292/9325 : 1)
**u= 89/38 ; -5033*x^2 - 6764*y^2 + 10809*z^2
; C3a (-1551/1114 : -879/2228 : 1)  C4a (222038/86997 : 180311/57998 : 1)
**u= 89/40 ; -4721*x^2 - 7120*y^2 + 11121*z^2
; C3a (-1138/1757 : 7963/7028 : 1)  C4a (-1609/1751 : 1418/1751 : 1)
**u= 89/42 ; -4393*x^2 - 7476*y^2 + 11449*z^2
; C3a (-535/767 : 856/767 : 1)  C4a (2519/4066 : 1/76 : 1)
**u= 89/52 ; -2513*x^2 - 9256*y^2 + 13329*z^2
; C3a (-2913/2833 : 3042/2833 : 1)  C4a (-9407/4155 : 3693/1385 : 1)
**u= 89/58 ; -1193*x^2 - 10324*y^2 + 14649*z^2
; C3a (1243/547 : -496/547 : 1)  C4a (4653/2710 : -10931/5420 : 1)
**u= 89/66 ; 791*x^2 - 11748*y^2 + 16633*z^2
; C3a (-4480/41 : 2327/82 : 1)  C4a (10973/1964 : 26133/3928 : 1)
**u= 89/72 ; 2447*x^2 - 12816*y^2 + 18289*z^2
; C3a (-2165/363 : 3122/1089 : 1)  C4a (363/2165 : 3122/6495 : 1)
**u= 89/76 ; 3631*x^2 - 13528*y^2 + 19473*z^2
; C3a (-26321/5003 : -14899/5003 : 1)  C4a (-33169/17827 : 40853/17827 : 1)
**u= 90 ; -8098*x^2 - 180*y^2 + 8102*z^2
; C3a (3/41 : -823/123 : 1)  C4a (1051/567 : -17813/1701 : 1)
**u= 90/17 ; -7522*x^2 - 3060*y^2 + 8678*z^2
; C3a (-1187/2281 : 10081/6843 : 1)  C4a (-2803/1039 : -13291/3117 : 1)
**u= 90/73 ; 2558*x^2 - 13140*y^2 + 18758*z^2
; C3a (-5077/471 : 6929/1413 : 1)  C4a (-39/107 : -199/321 : 1)
**u= 90/89 ; 7742*x^2 - 16020*y^2 + 23942*z^2
; C3a (139/217 : 121/93 : 1)  C4a (-49/307 : 665/921 : 1)
**u= 97/4 ; -9377*x^2 - 776*y^2 + 9441*z^2
; C3a (-285/2099 : 7254/2099 : 1)  C4a (497/27 : 577/9 : 1)
**u= 97/6 ; -9337*x^2 - 1164*y^2 + 9481*z^2
; C3a (1271/2399 : 5824/2399 : 1)  C4a (-1462/1415 : 2323/2830 : 1)
**u= 97/8 ; -9281*x^2 - 1552*y^2 + 9537*z^2
; C3a (595/587 : -17/587 : 1)  C4a (1007/544 : 497/128 : 1)
**u= 97/12 ; -9121*x^2 - 2328*y^2 + 9697*z^2
; C3a (6575/6379 : 347/6379 : 1)  C4a (139/143 : 19/143 : 1)
**u= 97/14 ; -9017*x^2 - 2716*y^2 + 9801*z^2
; C3a (-33/47 : -66/47 : 1)  C4a (47/33 : -2 : 1)
**u= 97/18 ; -8761*x^2 - 3492*y^2 + 10057*z^2
; C3a (1053/1181 : 3334/3543 : 1)  C4a (329/328 : -409/656 : 1)
**u= 97/22 ; -8441*x^2 - 4268*y^2 + 10377*z^2
; C3a (-4431/5623 : -6168/5623 : 1)  C4a (-9413/5811 : -4064/1937 : 1)
**u= 97/38 ; -6521*x^2 - 7372*y^2 + 12297*z^2
; C3a (5557/15874 : 39649/31748 : 1)  C4a (-43619/11443 : -55298/11443 : 1)
**u= 97/44 ; -5537*x^2 - 8536*y^2 + 13281*z^2
; C3a (-251/1351 : 239/193 : 1)  C4a (21287/3397 : 26411/3397 : 1)
**u= 97/48 ; -4801*x^2 - 9312*y^2 + 14017*z^2
; C3a (-4199/2653 : -2453/5306 : 1)  C4a (-451/125 : -546/125 : 1)
**u= 97/50 ; -4409*x^2 - 9700*y^2 + 14409*z^2
; C3a (-276/349 : 765/698 : 1)  C4a (-111/17 : -674/85 : 1)
**u= 97/54 ; -3577*x^2 - 10476*y^2 + 15241*z^2
; C3a (-221/109 : -74/327 : 1)  C4a (2366/3335 : -12509/20010 : 1)
**u= 97/56 ; -3137*x^2 - 10864*y^2 + 15681*z^2
; C3a (6595/4096 : 13657/16384 : 1)  C4a (1788/143 : -8587/572 : 1)
**u= 97/68 ; -161*x^2 - 13192*y^2 + 18657*z^2
; C3a (-20055/3643 : -3723/3643 : 1)  C4a (3/31 : 1/31 : 1)
**u= 97/74 ; 1543*x^2 - 14356*y^2 + 20361*z^2
; C3a (-4091/1829 : 2558/1829 : 1)  C4a (113/1297 : -446/1297 : 1)
**u= 97/78 ; 2759*x^2 - 15132*y^2 + 21577*z^2
; C3a (77177/5911 : -33702/5911 : 1)  C4a (-10991/2503 : -13168/2503 : 1)
**u= 97/90 ; 6791*x^2 - 17460*y^2 + 25609*z^2
; C3a (22826/4071 : 90391/24426 : 1)  C4a (639/1559 : -3728/4677 : 1)
**u= 97/92 ; 7519*x^2 - 17848*y^2 + 26337*z^2
; C3a (-11269/277 : -7322/277 : 1)  C4a (-93/31049 : -20153/31049 : 1)
**u= 97/96 ; 9023*x^2 - 18624*y^2 + 27841*z^2
; C3a (-409/1529 : 1891/1529 : 1)  C4a (-122/65 : -1247/520 : 1)
**u= 98 ; -9602*x^2 - 196*y^2 + 9606*z^2
; C3a (-9605/9603 : 1/67221 : 1)  C4a (-9603/9605 : -1/67235 : 1)
**u= 98/9 ; -9442*x^2 - 1764*y^2 + 9766*z^2
; C3a (-1 : -3/7 : 1)  C4a (-1 : -3/7 : 1)
**u= 98/25 ; -8354*x^2 - 4900*y^2 + 10854*z^2
; C3a (147/155 : 4479/5425 : 1)  C4a (-1315/1197 : -4581/4655 : 1)
**u= 98/81 ; 3518*x^2 - 15876*y^2 + 22726*z^2
; C3a (-3843/3517 : -288557/221571 : 1)  C4a (-23051/22725 : -1863613/1431675 : 1)
**u= 100/9 ; -9838*x^2 - 1800*y^2 + 10162*z^2
; C3a (17/144 : -2039/864 : 1)  C4a (41/40 : -273/400 : 1)
**u= 100/33 ; -7822*x^2 - 6600*y^2 + 12178*z^2
; C3a (-188/241 : 511/482 : 1)  C4a (10336/3571 : 134911/35710 : 1)
**u= 100/97 ; 8818*x^2 - 19400*y^2 + 28818*z^2
; C3a (-417/68 : -2931/680 : 1)  C4a (553/708 : -2753/2360 : 1)
305
>

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.18
H.Nakao

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