Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+10*B^4=C^4+10*D^4


[2026.05.23]A^4+10*B^4=C^4+10*D^4の整点


■Diophantine Equation
       A^4+n*B^4=C^4+n*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし 0 < A < C, 0 < D < Bかつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、A/D=y,B/D=x.C/D=tとすると、
       y^4+n*x^4 = t^4+n ----------(2)
       y^4-t^4= y n(1-x^4)
       (y^2+t^2)*(x^2-t^2) = n*(1+x^2)*(1-x^2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数u > 0に対して、
       y^2+t^2 = (n/u)*(1+x^2) ----------(2a)
       y^2-t^2 = u*(1-x^2) ----------(2b)
よって、
       2*u*y^2 = (n+u^2)*x^2+(n-u^2) ----------(3a)
       2*u*t^2 = (n-u^2)*x^2+(n+u^2) ----------(3b)
を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n + 1/2*u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/(2*u)*n - 1/2*u)
gp > YY2(n,u,x)^2+n*x^4-TT2(n,u,x)^2-n
%3 = 0

■2次曲線(3a),(3b)は、n=u^2のときはsoncularであり、それ以外のときはnon-singularである。
2次曲線(3a)の右辺の判別式は
    -4*(n+u^2)*(n-u^2)
となる。ここで、nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、2次曲線(3a)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、2次曲線(3a)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

同様に、2次曲線(3b)の右辺の判別式は
    -4*(n-u^2)*(n+u^2)
となる。nが平方数でなければ、任意の有理数uについて、判別式は0にならないので、2次曲線(3b)は常にnon-singularである。
nが平方数であるならば、n=u^2のときに限り、2次曲線(3b)はsingularであり。それ以外のuにつては、non-singularである。

■以下では、n=10とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが100以下の範囲で、2つの2次曲線(3a)と(3b)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように328個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(10,1,100);
**u= 1/6 ; 359*x^2 - 12*y^2 + 361*z^2
; C3a (-19/2 : 209/4 : 1)  C4a (-2/19 : -11/2 : 1)
**u= 1/8 ; 639*x^2 - 16*y^2 + 641*z^2
; C3a (35/3 : 74 : 1)  C4a (15/4 : 393/16 : 1)
**u= 1/10 ; 999*x^2 - 20*y^2 + 1001*z^2
; C3a (61/21 : 152/7 : 1)  C4a (-159/74 : 2481/148 : 1)
**u= 1/16 ; 2559*x^2 - 32*y^2 + 2561*z^2
; C3a (3/23 : -415/46 : 1)  C4a (11/71 : 1285/142 : 1)
**u= 1/22 ; 4839*x^2 - 44*y^2 + 4841*z^2
; C3a (43/98 : -2245/196 : 1)  C4a (194/29 : 4115/58 : 1)
**u= 1/26 ; 6759*x^2 - 52*y^2 + 6761*z^2
; C3a (-278/177 : -2505/118 : 1)  C4a (-1269/434 : 30585/868 : 1)
**u= 1/30 ; 8999*x^2 - 60*y^2 + 9001*z^2
; C3a (-1/4 : -101/8 : 1)  C4a (4 : -101/2 : 1)
**u= 1/36 ; 12959*x^2 - 72*y^2 + 12961*z^2
; C3a (161 : 2160 : 1)  C4a (3/161 : 6481/483 : 1)
**u= 1/40 ; 15999*x^2 - 80*y^2 + 16001*z^2
; C3a (-1 : 20 : 1)  C4a (-1 : 20 : 1)
**u= 1/48 ; 23039*x^2 - 96*y^2 + 23041*z^2
; C3a (-505/41 : 7849/41 : 1)  C4a (-103/23 : 1635/23 : 1)
**u= 1/52 ; 27039*x^2 - 104*y^2 + 27041*z^2
; C3a (-479/431 : 10390/431 : 1)  C4a (-2029/2911 : -57215/2911 : 1)
**u= 1/58 ; 33639*x^2 - 116*y^2 + 33641*z^2
; C3a (90/61 : 3703/122 : 1)  C4a (22459/5581 : 394100/5581 : 1)
**u= 1/62 ; 38439*x^2 - 124*y^2 + 38441*z^2
; C3a (83/165 : 1084/55 : 1)  C4a (-228/445 : -17607/890 : 1)
**u= 1/64 ; 40959*x^2 - 128*y^2 + 40961*z^2
; C3a (77/57 : 2285/76 : 1)  C4a (-57/77 : -6855/308 : 1)
**u= 1/66 ; 43559*x^2 - 132*y^2 + 43561*z^2
; C3a (-1484/769 : -60725/1538 : 1)  C4a (-107/1141 : -2974/163 : 1)
**u= 1/70 ; 48999*x^2 - 140*y^2 + 49001*z^2
; C3a (167/118 : 7651/236 : 1)  C4a (983/143 : -18584/143 : 1)
**u= 1/84 ; 70559*x^2 - 168*y^2 + 70561*z^2
; C3a (-1097/121 : 22618/121 : 1)  C4a (1979/1703 : -53507/1703 : 1)
**u= 1/90 ; 80999*x^2 - 180*y^2 + 81001*z^2
; C3a (-1 : -30 : 1)  C4a (-14411/754 : 612247/1508 : 1)
**u= 1/94 ; 88359*x^2 - 188*y^2 + 88361*z^2
; C3a (10981/19253 : 480514/19253 : 1)  C4a (-17669/5643 : -402118/5643 : 1)
**u= 2/5 ; 246*x^2 - 20*y^2 + 254*z^2
; C3a (-1131/1229 : 5909/1229 : 1)  C4a (-1 : -5 : 1)
**u= 2/21 ; 4406*x^2 - 84*y^2 + 4414*z^2
; C3a (125/83 : 1087/83 : 1)  C4a (125/13 : -911/13 : 1)
**u= 2/45 ; 20246*x^2 - 180*y^2 + 20254*z^2
; C3a (277/27 : 8855/81 : 1)  C4a (-1 : -15 : 1)
**u= 4 ; -6*x^2 - 8*y^2 + 26*z^2
; C3a (3/2 : 5/4 : 1)  C4a (-2/3 : -5/6 : 1)
**u= 4/25 ; 6234*x^2 - 200*y^2 + 6266*z^2
; C3a (42/41 : 3281/410 : 1)  C4a (22/53 : 641/106 : 1)
**u= 4/33 ; 10874*x^2 - 264*y^2 + 10906*z^2
; C3a (-2549/1114 : -35715/2228 : 1)  C4a (-1/10 : 129/20 : 1)
**u= 4/49 ; 23994*x^2 - 392*y^2 + 24026*z^2
; C3a (26/27 : 1369/126 : 1)  C4a (-89/58 : 1663/116 : 1)
**u= 4/97 ; 94074*x^2 - 776*y^2 + 94106*z^2
; C3a (114819/12290 : 2542859/24580 : 1)  C4a (-1567/470 : -36031/940 : 1)
**u= 5/2 ; 15*x^2 - 20*y^2 + 65*z^2
; C3a (-1 : 2 : 1)  C4a (-1 : -2 : 1)
**u= 5/8 ; 615*x^2 - 80*y^2 + 665*z^2
; C3a (-46/61 : -869/244 : 1)  C4a (-17/22 : -313/88 : 1)
**u= 5/12 ; 1415*x^2 - 120*y^2 + 1465*z^2
; C3a (13/19 : -80/19 : 1)  C4a (-7/11 : -45/11 : 1)
**u= 5/18 ; 3215*x^2 - 180*y^2 + 3265*z^2
; C3a (-286/321 : -10949/1926 : 1)  C4a (-291/326 : -11119/1956 : 1)
**u= 5/22 ; 4815*x^2 - 220*y^2 + 4865*z^2
; C3a (-13/108 : -341/72 : 1)  C4a (-108/13 : 1023/26 : 1)
**u= 5/32 ; 10215*x^2 - 320*y^2 + 10265*z^2
; C3a (-406/339 : -7977/904 : 1)  C4a (-519/679 : -4833/679 : 1)
**u= 5/58 ; 33615*x^2 - 580*y^2 + 33665*z^2
; C3a (613/837 : -878/93 : 1)  C4a (-1971/811 : -16236/811 : 1)
**u= 5/72 ; 51815*x^2 - 720*y^2 + 51865*z^2
; C3a (-2/99 : 10085/1188 : 1)  C4a (-291/106 : -31541/1272 : 1)
**u= 5/92 ; 84615*x^2 - 920*y^2 + 84665*z^2
; C3a (99027/18527 : 966181/18527 : 1)  C4a (-157/947 : 9206/947 : 1)
**u= 5/98 ; 96015*x^2 - 980*y^2 + 96065*z^2
; C3a (-474/241 : -73691/3374 : 1)  C4a (1 : 14 : 1)
**u= 8/5 ; 186*x^2 - 80*y^2 + 314*z^2
; C3a (1 : 5/2 : 1)  C4a (1 : -5/2 : 1)
**u= 8/21 ; 4346*x^2 - 336*y^2 + 4474*z^2
; C3a (-41 : -295/2 : 1)  C4a (-115/11 : 843/22 : 1)
**u= 8/37 ; 13626*x^2 - 592*y^2 + 13754*z^2
; C3a (2231/1047 : 7889/698 : 1)  C4a (471/713 : 357/62 : 1)
**u= 8/45 ; 20186*x^2 - 720*y^2 + 20314*z^2
; C3a (-3013/2883 : -132683/17298 : 1)  C4a (2037/2867 : -111851/17202 : 1)
**u= 8/69 ; 47546*x^2 - 1104*y^2 + 47674*z^2
; C3a (-1045/2011 : 29777/4022 : 1)  C4a (-2011/1045 : 2707/190 : 1)
**u= 9/2 ; -41*x^2 - 36*y^2 + 121*z^2
; C3a (0 : 11/6 : 1)  C4a (-21/11 : 10/3 : 1)
**u= 9/4 ; 79*x^2 - 72*y^2 + 241*z^2
; C3a (13/19 : -112/57 : 1)  C4a (-7/19 : -71/57 : 1)
**u= 9/10 ; 919*x^2 - 180*y^2 + 1081*z^2
; C3a (-1 : 10/3 : 1)  C4a (-1 : -10/3 : 1)
**u= 9/14 ; 1879*x^2 - 252*y^2 + 2041*z^2
; C3a (-177/257 : -2630/771 : 1)  C4a (-257/177 : 2630/531 : 1)
**u= 9/26 ; 6679*x^2 - 468*y^2 + 6841*z^2
; C3a (134/69 : 3425/414 : 1)  C4a (37/219 : -2518/657 : 1)
**u= 9/28 ; 7759*x^2 - 504*y^2 + 7921*z^2
; C3a (89/121 : 1780/363 : 1)  C4a (-2935/1157 : -421/39 : 1)
**u= 9/32 ; 10159*x^2 - 576*y^2 + 10321*z^2
; C3a (-136/75 : 15683/1800 : 1)  C4a (-83/72 : -11125/1728 : 1)
**u= 9/38 ; 14359*x^2 - 684*y^2 + 14521*z^2
; C3a (-9/10 : -371/60 : 1)  C4a (-10/9 : 371/54 : 1)
**u= 9/40 ; 15919*x^2 - 720*y^2 + 16081*z^2
; C3a (-39398/39797 : -3167921/477564 : 1)  C4a (-1 : -20/3 : 1)
**u= 9/56 ; 31279*x^2 - 1008*y^2 + 31441*z^2
; C3a (4421/564 : -297935/6768 : 1)  C4a (-11/3 : -191/9 : 1)
**u= 9/58 ; 33559*x^2 - 1044*y^2 + 33721*z^2
; C3a (65/7 : -1112/21 : 1)  C4a (-5/517 : -8794/1551 : 1)
**u= 9/76 ; 57679*x^2 - 1368*y^2 + 57841*z^2
; C3a (-827/199 : -16571/597 : 1)  C4a (-1207/2327 : -51080/6981 : 1)
**u= 9/80 ; 63919*x^2 - 1440*y^2 + 64081*z^2
; C3a (229/159 : 11149/954 : 1)  C4a (-387/113 : -16135/678 : 1)
**u= 9/88 ; 77359*x^2 - 1584*y^2 + 77521*z^2
; C3a (-503/542 : -62045/6504 : 1)  C4a (-58865/34063 : -1426964/102189 : 1)
**u= 9/98 ; 95959*x^2 - 1764*y^2 + 96121*z^2
; C3a (-903/335 : 149192/7035 : 1)  C4a (15/47 : -7642/987 : 1)
**u= 9/100 ; 99919*x^2 - 1800*y^2 + 100081*z^2
; C3a (-301/313 : -48551/4695 : 1)  C4a (-349/301 : -10306/903 : 1)
**u= 10 ; -90*x^2 - 20*y^2 + 110*z^2
; C3a (1 : 1 : 1)  C4a (-1 : 1 : 1)
**u= 10/9 ; 710*x^2 - 180*y^2 + 910*z^2
; C3a (-179/141 : -1429/423 : 1)  C4a (-219/181 : -1829/543 : 1)
**u= 10/13 ; 1590*x^2 - 260*y^2 + 1790*z^2
; C3a (-9/43 : 115/43 : 1)  C4a (-11/15 : 47/15 : 1)
**u= 10/37 ; 13590*x^2 - 740*y^2 + 13790*z^2
; C3a (-65/1101 : 1587/367 : 1)  C4a (33/115 : 513/115 : 1)
**u= 10/49 ; 23910*x^2 - 980*y^2 + 24110*z^2
; C3a (1401/1591 : 73471/11137 : 1)  C4a (-1 : 7 : 1)
**u= 10/53 ; 27990*x^2 - 1060*y^2 + 28190*z^2
; C3a (155/57 : 283/19 : 1)  C4a (-2523/1399 : 14865/1399 : 1)
**u= 10/81 ; 65510*x^2 - 1620*y^2 + 65710*z^2
; C3a (-13427/13101 : -1074445/117909 : 1)  C4a (-13467/13141 : -1077725/118269 : 1)
**u= 10/93 ; 86390*x^2 - 1860*y^2 + 86590*z^2
; C3a (1375/1933 : -16179/1933 : 1)  C4a (-25/347 : 2371/347 : 1)
**u= 13/4 ; -9*x^2 - 104*y^2 + 329*z^2
; C3a (27/5 : 4/5 : 1)  C4a (1/5 : -1/5 : 1)
**u= 13/6 ; 191*x^2 - 156*y^2 + 529*z^2
; C3a (-575/236 : 1541/472 : 1)  C4a (29/115 : -6/5 : 1)
**u= 13/12 ; 1271*x^2 - 312*y^2 + 1609*z^2
; C3a (-353/523 : 1385/523 : 1)  C4a (131/109 : -370/109 : 1)
**u= 13/14 ; 1791*x^2 - 364*y^2 + 2129*z^2
; C3a (-25/18 : -47/12 : 1)  C4a (18/25 : -141/50 : 1)
**u= 13/16 ; 2391*x^2 - 416*y^2 + 2729*z^2
; C3a (-673/275 : -3521/550 : 1)  C4a (-1123/495 : 6223/990 : 1)
**u= 13/18 ; 3071*x^2 - 468*y^2 + 3409*z^2
; C3a (53/109 : -324/109 : 1)  C4a (859/174 : -14165/1044 : 1)
**u= 13/22 ; 4671*x^2 - 572*y^2 + 5009*z^2
; C3a (-59/381 : 380/127 : 1)  C4a (348/271 : 2577/542 : 1)
**u= 13/24 ; 5591*x^2 - 624*y^2 + 5929*z^2
; C3a (385/428 : -7007/1712 : 1)  C4a (-368/1463 : 235/76 : 1)
**u= 13/28 ; 7671*x^2 - 728*y^2 + 8009*z^2
; C3a (-877/61 : -2854/61 : 1)  C4a (-733/313 : 2635/313 : 1)
**u= 13/36 ; 12791*x^2 - 936*y^2 + 13129*z^2
; C3a (355/579 : 7604/1737 : 1)  C4a (-69/71 : -1105/213 : 1)
**u= 13/42 ; 17471*x^2 - 1092*y^2 + 17809*z^2
; C3a (368/137 : -3145/274 : 1)  C4a (-62987/10429 : -257764/10429 : 1)
**u= 13/48 ; 22871*x^2 - 1248*y^2 + 23209*z^2
; C3a (12847/1627 : -110885/3254 : 1)  C4a (44527/47629 : 560159/95258 : 1)
**u= 13/58 ; 33471*x^2 - 1508*y^2 + 33809*z^2
; C3a (1396/207 : 4433/138 : 1)  C4a (-977/647 : -5540/647 : 1)
**u= 13/60 ; 35831*x^2 - 1560*y^2 + 36169*z^2
; C3a (-163/173 : -1142/173 : 1)  C4a (16907/347 : 81426/347 : 1)
**u= 13/64 ; 40791*x^2 - 1664*y^2 + 41129*z^2
; C3a (-418479/81569 : -4222525/163138 : 1)  C4a (1/5 : 101/20 : 1)
**u= 13/70 ; 48831*x^2 - 1820*y^2 + 49169*z^2
; C3a (-2721/6064 : -69053/12128 : 1)  C4a (296/219 : -3823/438 : 1)
**u= 13/72 ; 51671*x^2 - 1872*y^2 + 52009*z^2
; C3a (1226/7391 : -157945/29564 : 1)  C4a (-467/954 : 67007/11448 : 1)
**u= 13/84 ; 70391*x^2 - 2184*y^2 + 70729*z^2
; C3a (11549/8189 : -80440/8189 : 1)  C4a (1025/367 : 6194/367 : 1)
**u= 13/86 ; 73791*x^2 - 2236*y^2 + 74129*z^2
; C3a (-38395/10539 : -25418/1171 : 1)  C4a (72/373 : -4365/746 : 1)
**u= 13/100 ; 99831*x^2 - 2600*y^2 + 100169*z^2
; C3a (575/223 : 19112/1115 : 1)  C4a (-223/575 : -19112/2875 : 1)
**u= 16/9 ; 554*x^2 - 288*y^2 + 1066*z^2
; C3a (7/38 : 295/152 : 1)  C4a (-9/22 : -421/264 : 1)
**u= 16/25 ; 5994*x^2 - 800*y^2 + 6506*z^2
; C3a (74/33 : -1489/220 : 1)  C4a (7/6 : -517/120 : 1)
**u= 16/73 ; 53034*x^2 - 2336*y^2 + 53546*z^2
; C3a (110/37 : 2213/148 : 1)  C4a (274/55 : -5351/220 : 1)
**u= 16/81 ; 65354*x^2 - 2592*y^2 + 65866*z^2
; C3a (142/97 : -10375/1164 : 1)  C4a (126/113 : -30661/4068 : 1)
**u= 18/5 ; -74*x^2 - 180*y^2 + 574*z^2
; C3a (1 : 5/3 : 1)  C4a (-2771/2869 : 13781/8607 : 1)
**u= 18/37 ; 13366*x^2 - 1332*y^2 + 14014*z^2
; C3a (-63/233 : -2345/699 : 1)  C4a (81/7 : 113/3 : 1)
**u= 18/53 ; 27766*x^2 - 1908*y^2 + 28414*z^2
; C3a (-77/29 : -943/87 : 1)  C4a (2087/9719 : -113821/29157 : 1)
**u= 18/61 ; 36886*x^2 - 2196*y^2 + 37534*z^2
; C3a (-1911/529 : 24395/1587 : 1)  C4a (-6509/14805 : -28447/6345 : 1)
**u= 18/77 ; 58966*x^2 - 2772*y^2 + 59614*z^2
; C3a (-29/139 : -1975/417 : 1)  C4a (211/13 : 2941/39 : 1)
**u= 20/9 ; 410*x^2 - 360*y^2 + 1210*z^2
; C3a (0 : 11/6 : 1)  C4a (20/11 : -7/2 : 1)
**u= 20/41 ; 16410*x^2 - 1640*y^2 + 17210*z^2
; C3a (-9/32 : -215/64 : 1)  C4a (448/325 : -3557/650 : 1)
**u= 20/81 ; 65210*x^2 - 3240*y^2 + 66010*z^2
; C3a (-52/29 : -535/58 : 1)  C4a (-5/4 : 173/24 : 1)
**u= 20/89 ; 78810*x^2 - 3560*y^2 + 79610*z^2
; C3a (-109/20 : 1043/40 : 1)  C4a (-53/36 : 605/72 : 1)
**u= 20/93 ; 86090*x^2 - 3720*y^2 + 86890*z^2
; C3a (842/67 : -8127/134 : 1)  C4a (-146/133 : -1905/266 : 1)
**u= 25/4 ; -465*x^2 - 200*y^2 + 785*z^2
; C3a (-9/7 : 2/7 : 1)  C4a (11/7 : -19/7 : 1)
**u= 25/6 ; -265*x^2 - 300*y^2 + 985*z^2
; C3a (1/2 : -7/4 : 1)  C4a (3061/1477 : 5370/1477 : 1)
**u= 25/16 ; 1935*x^2 - 800*y^2 + 3185*z^2
; C3a (7/9 : -7/3 : 1)  C4a (9/7 : -3 : 1)
**u= 25/34 ; 10935*x^2 - 1700*y^2 + 12185*z^2
; C3a (8/9 : 7/2 : 1)  C4a (2889/2872 : 21249/5744 : 1)
**u= 25/46 ; 20535*x^2 - 2300*y^2 + 21785*z^2
; C3a (-171/148 : 37/8 : 1)  C4a (296/923 : 5809/1846 : 1)
**u= 25/56 ; 30735*x^2 - 2800*y^2 + 31985*z^2
; C3a (701/573 : -1008/191 : 1)  C4a (48/71 : 1143/284 : 1)
**u= 25/64 ; 40335*x^2 - 3200*y^2 + 41585*z^2
; C3a (-3551/413 : 50779/1652 : 1)  C4a (-59/267 : -1943/534 : 1)
**u= 25/66 ; 42935*x^2 - 3300*y^2 + 44185*z^2
; C3a (-5312 : 38321/2 : 1)  C4a (-829/227 : -3142/227 : 1)
**u= 25/94 ; 87735*x^2 - 4700*y^2 + 88985*z^2
; C3a (333/709 : 3404/709 : 1)  C4a (-23764/4107 : -5671/222 : 1)
**u= 25/96 ; 91535*x^2 - 4800*y^2 + 92785*z^2
; C3a (787/109 : 3470/109 : 1)  C4a (518/191 : -19403/1528 : 1)
**u= 26 ; -666*x^2 - 52*y^2 + 686*z^2
; C3a (7/87 : 105/29 : 1)  C4a (9/7 : -3 : 1)
**u= 26/9 ; 134*x^2 - 468*y^2 + 1486*z^2
; C3a (727/151 : -473/151 : 1)  C4a (-79/47 : -143/47 : 1)
**u= 26/17 ; 2214*x^2 - 884*y^2 + 3566*z^2
; C3a (401/1095 : -763/365 : 1)  C4a (525/389 : 1221/389 : 1)
**u= 26/33 ; 10214*x^2 - 1716*y^2 + 11566*z^2
; C3a (-2117/413 : 5275/413 : 1)  C4a (5909/35 : -15341/35 : 1)
**u= 26/57 ; 31814*x^2 - 2964*y^2 + 33166*z^2
; C3a (9755/1091 : 32167/1091 : 1)  C4a (685/1787 : 6287/1787 : 1)
**u= 26/73 ; 52614*x^2 - 3796*y^2 + 53966*z^2
; C3a (26653/10155 : -35453/3385 : 1)  C4a (309/275 : 141/25 : 1)
**u= 26/89 ; 78534*x^2 - 4628*y^2 + 79886*z^2
; C3a (57029/10611 : 79675/3537 : 1)  C4a (293/5989 : 24701/5989 : 1)
**u= 32/5 ; -774*x^2 - 320*y^2 + 1274*z^2
; C3a (-49/39 : -21/52 : 1)  C4a (93/77 : -81/44 : 1)
**u= 32/45 ; 19226*x^2 - 2880*y^2 + 21274*z^2
; C3a (-1 : 15/4 : 1)  C4a (-10581/9659 : 456919/115908 : 1)
**u= 32/69 ; 46586*x^2 - 4416*y^2 + 48634*z^2
; C3a (-245/307 : 5171/1228 : 1)  C4a (2801/1145 : -40047/4580 : 1)
**u= 34/9 ; -346*x^2 - 612*y^2 + 1966*z^2
; C3a (499/537 : 2659/1611 : 1)  C4a (-8233/4763 : -14315/4763 : 1)
**u= 34/25 ; 5094*x^2 - 1700*y^2 + 7406*z^2
; C3a (23/27 : -23/9 : 1)  C4a (-27/23 : 3 : 1)
**u= 34/57 ; 31334*x^2 - 3876*y^2 + 33646*z^2
; C3a (24061/15055 : -81533/15055 : 1)  C4a (-89933/6625 : 265637/6625 : 1)
**u= 34/97 ; 92934*x^2 - 6596*y^2 + 95246*z^2
; C3a (8629/5145 : 12611/1715 : 1)  C4a (-30895/8099 : -121273/8099 : 1)
**u= 36 ; -1286*x^2 - 72*y^2 + 1306*z^2
; C3a (-22/49 : 1121/294 : 1)  C4a (49/22 : 1121/132 : 1)
**u= 36/17 ; 1594*x^2 - 1224*y^2 + 4186*z^2
; C3a (-54/31 : 505/186 : 1)  C4a (-6/79 : -545/474 : 1)
**u= 36/41 ; 15514*x^2 - 2952*y^2 + 18106*z^2
; C3a (18/59 : -911/354 : 1)  C4a (2502/739 : 38543/4434 : 1)
**u= 36/49 ; 22714*x^2 - 3528*y^2 + 25306*z^2
; C3a (11117/5678 : -192275/34068 : 1)  C4a (-118/77 : 15605/3234 : 1)
**u= 36/65 ; 40954*x^2 - 4680*y^2 + 43546*z^2
; C3a (-29/114 : -2149/684 : 1)  C4a (10419/3334 : -199661/20004 : 1)
**u= 36/73 ; 51994*x^2 - 5256*y^2 + 54586*z^2
; C3a (254/181 : -5935/1086 : 1)  C4a (-3097/2002 : 10115/1716 : 1)
**u= 37/6 ; -1009*x^2 - 444*y^2 + 1729*z^2
; C3a (-5/67 : -132/67 : 1)  C4a (188/167 : 545/334 : 1)
**u= 37/8 ; -729*x^2 - 592*y^2 + 2009*z^2
; C3a (-14/27 : -7/4 : 1)  C4a (513/7 : 135 : 1)
**u= 37/12 ; 71*x^2 - 888*y^2 + 2809*z^2
; C3a (-53/59 : -106/59 : 1)  C4a (41/901 : -5/17 : 1)
**u= 37/16 ; 1191*x^2 - 1184*y^2 + 3929*z^2
; C3a (1319/41 : 1325/41 : 1)  C4a (5/7 : -23/14 : 1)
**u= 37/18 ; 1871*x^2 - 1332*y^2 + 4609*z^2
; C3a (-1079/73 : -1286/73 : 1)  C4a (281/534 : 4925/3204 : 1)
**u= 37/24 ; 4391*x^2 - 1776*y^2 + 7129*z^2
; C3a (-175/23 : -279/23 : 1)  C4a (-23/175 : 279/175 : 1)
**u= 37/28 ; 6471*x^2 - 2072*y^2 + 9209*z^2
; C3a (-3139/3699 : -3190/1233 : 1)  C4a (477/1049 : 2109/1049 : 1)
**u= 37/34 ; 10191*x^2 - 2516*y^2 + 12929*z^2
; C3a (-2221/635 : 4696/635 : 1)  C4a (-2939/2501 : -8350/2501 : 1)
**u= 37/40 ; 14631*x^2 - 2960*y^2 + 17369*z^2
; C3a (-832/293 : 7925/1172 : 1)  C4a (97/972 : 8695/3888 : 1)
**u= 37/42 ; 16271*x^2 - 3108*y^2 + 19009*z^2
; C3a (404/5087 : -25229/10174 : 1)  C4a (128381/48413 : 336266/48413 : 1)
**u= 37/44 ; 17991*x^2 - 3256*y^2 + 20729*z^2
; C3a (15665/639 : 12286/213 : 1)  C4a (2757/2075 : -8496/2075 : 1)
**u= 37/46 ; 19791*x^2 - 3404*y^2 + 22529*z^2
; C3a (108673/2022 : 174725/1348 : 1)  C4a (63366/4831 : -326865/9662 : 1)
**u= 37/54 ; 27791*x^2 - 3996*y^2 + 30529*z^2
; C3a (445/68 : -2377/136 : 1)  C4a (-68/445 : 2377/890 : 1)
**u= 37/58 ; 32271*x^2 - 4292*y^2 + 35009*z^2
; C3a (47201/5209 : 130280/5209 : 1)  C4a (-517/179 : -1556/179 : 1)
**u= 37/60 ; 34631*x^2 - 4440*y^2 + 37369*z^2
; C3a (-2759/311 : -7758/311 : 1)  C4a (329/949 : 2817/949 : 1)
**u= 37/72 ; 50471*x^2 - 5328*y^2 + 53209*z^2
; C3a (382/113 : -4915/452 : 1)  C4a (2317/454 : -29817/1816 : 1)
**u= 37/76 ; 56391*x^2 - 5624*y^2 + 59129*z^2
; C3a (-1975/343 : 6352/343 : 1)  C4a (-75535/22049 : -254678/22049 : 1)
**u= 37/80 ; 62631*x^2 - 5920*y^2 + 65369*z^2
; C3a (9017/2487 : -10157/829 : 1)  C4a (4191/9569 : -34098/9569 : 1)
**u= 37/84 ; 69191*x^2 - 6216*y^2 + 71929*z^2
; C3a (263/235 : -1187/235 : 1)  C4a (95/577 : -1952/577 : 1)
**u= 37/88 ; 76071*x^2 - 6512*y^2 + 78809*z^2
; C3a (-183/136 : 3137/544 : 1)  C4a (15289/2727 : 53998/2727 : 1)
**u= 37/90 ; 79631*x^2 - 6660*y^2 + 82369*z^2
; C3a (-5576/2619 : 128207/15714 : 1)  C4a (2487/12628 : -931/264 : 1)
**u= 40 ; -1590*x^2 - 80*y^2 + 1610*z^2
; C3a (-321/319 : 1/638 : 1)  C4a (-319/321 : -1/642 : 1)
**u= 40/9 ; -790*x^2 - 720*y^2 + 2410*z^2
; C3a (-1 : 3/2 : 1)  C4a (-519/481 : -4829/2886 : 1)
**u= 40/49 ; 22410*x^2 - 3920*y^2 + 25610*z^2
; C3a (-1 : 7/2 : 1)  C4a (1 : 7/2 : 1)
**u= 40/77 ; 57690*x^2 - 6160*y^2 + 60890*z^2
; C3a (-29/15 : 67/10 : 1)  C4a (-447/125 : 2913/250 : 1)
**u= 40/81 ; 64010*x^2 - 6480*y^2 + 67210*z^2
; C3a (-13127/12801 : -1049845/230418 : 1)  C4a (-13767/13441 : -1102325/241938 : 1)
**u= 41/2 ; -1641*x^2 - 164*y^2 + 1721*z^2
; C3a (-300/293 : -37/586 : 1)  C4a (233/47 : -740/47 : 1)
**u= 41/4 ; -1521*x^2 - 328*y^2 + 1841*z^2
; C3a (1207/3237 : 185/83 : 1)  C4a (-39/23 : 78/23 : 1)
**u= 41/6 ; -1321*x^2 - 492*y^2 + 2041*z^2
; C3a (1111/938 : 1159/1876 : 1)  C4a (118/119 : -281/238 : 1)
**u= 41/12 ; -241*x^2 - 984*y^2 + 3121*z^2
; C3a (1781/695 : 869/695 : 1)  C4a (-23/43 : -35/43 : 1)
**u= 41/14 ; 279*x^2 - 1148*y^2 + 3641*z^2
; C3a (-419/83 : 254/83 : 1)  C4a (116/101 : 425/202 : 1)
**u= 41/20 ; 2319*x^2 - 1640*y^2 + 5681*z^2
; C3a (21/271 : 505/271 : 1)  C4a (-139/389 : -530/389 : 1)
**u= 41/32 ; 8559*x^2 - 2624*y^2 + 11921*z^2
; C3a (-19/75 : 109/50 : 1)  C4a (-771/400 : -14361/3200 : 1)
**u= 41/36 ; 11279*x^2 - 2952*y^2 + 14641*z^2
; C3a (-429/89 : 2585/267 : 1)  C4a (3877/9801 : -521/243 : 1)
**u= 41/40 ; 14319*x^2 - 3280*y^2 + 17681*z^2
; C3a (-1/9 : 7/3 : 1)  C4a (-380787/44182 : -3555603/176728 : 1)
**u= 41/42 ; 15959*x^2 - 3444*y^2 + 19321*z^2
; C3a (7367/11855 : -32248/11855 : 1)  C4a (-907/1390 : 53/20 : 1)
**u= 41/50 ; 23319*x^2 - 4100*y^2 + 26681*z^2
; C3a (-60/157 : 4253/1570 : 1)  C4a (275/179 : -4106/895 : 1)
**u= 41/54 ; 27479*x^2 - 4428*y^2 + 30841*z^2
; C3a (-10091/406 : -150965/2436 : 1)  C4a (434/257 : -7873/1542 : 1)
**u= 41/58 ; 31959*x^2 - 4756*y^2 + 35321*z^2
; C3a (559/849 : 910/283 : 1)  C4a (-4803/8515 : 1974/655 : 1)
**u= 41/60 ; 34319*x^2 - 4920*y^2 + 37681*z^2
; C3a (9499/2999 : -26425/2999 : 1)  C4a (-4399/2639 : -2004/377 : 1)
**u= 41/78 ; 59159*x^2 - 6396*y^2 + 62521*z^2
; C3a (-23305/8129 : -75296/8129 : 1)  C4a (9064/601 : 56795/1202 : 1)
**u= 41/84 ; 68879*x^2 - 6888*y^2 + 72241*z^2
; C3a (757/5419 : -17712/5419 : 1)  C4a (-2339/1007 : 8217/1007 : 1)
**u= 41/86 ; 72279*x^2 - 7052*y^2 + 75641*z^2
; C3a (-329/114 : 745/76 : 1)  C4a (23766/10247 : -168933/20494 : 1)
**u= 45/2 ; -1985*x^2 - 180*y^2 + 2065*z^2
; C3a (-1 : -2/3 : 1)  C4a (-1 : 2/3 : 1)
**u= 45/8 ; -1385*x^2 - 720*y^2 + 2665*z^2
; C3a (-154/139 : -1931/1668 : 1)  C4a (-251/266 : -3739/3192 : 1)
**u= 45/22 ; 2815*x^2 - 1980*y^2 + 6865*z^2
; C3a (13767/2063 : 50576/6189 : 1)  C4a (-47/63 : 346/189 : 1)
**u= 45/28 ; 5815*x^2 - 2520*y^2 + 9865*z^2
; C3a (3/157 : -932/471 : 1)  C4a (-237/13 : -1408/39 : 1)
**u= 45/32 ; 8215*x^2 - 2880*y^2 + 12265*z^2
; C3a (1 : 8/3 : 1)  C4a (-1 : 8/3 : 1)
**u= 45/52 ; 25015*x^2 - 4680*y^2 + 29065*z^2
; C3a (-561/401 : 4912/1203 : 1)  C4a (-189/97 : 1565/291 : 1)
**u= 45/58 ; 31615*x^2 - 5220*y^2 + 35665*z^2
; C3a (72/43 : -1259/258 : 1)  C4a (-603/1427 : 11548/4281 : 1)
**u= 45/62 ; 36415*x^2 - 5580*y^2 + 40465*z^2
; C3a (-41/641 : 5188/1923 : 1)  C4a (-142/13 : 2303/78 : 1)
**u= 45/68 ; 44215*x^2 - 6120*y^2 + 48265*z^2
; C3a (-7/41 : -350/123 : 1)  C4a (-41/7 : 50/3 : 1)
**u= 45/98 ; 94015*x^2 - 8820*y^2 + 98065*z^2
; C3a (-9206/9401 : -1823989/394842 : 1)  C4a (-9611/9806 : -1902559/411852 : 1)
**u= 49/4 ; -2241*x^2 - 392*y^2 + 2561*z^2
; C3a (23/39 : 194/91 : 1)  C4a (-3 : 51/7 : 1)
**u= 49/10 ; -1401*x^2 - 980*y^2 + 3401*z^2
; C3a (-1 : -10/7 : 1)  C4a (-1 : 10/7 : 1)
**u= 49/16 ; 159*x^2 - 1568*y^2 + 4961*z^2
; C3a (-3949/317 : -9647/2219 : 1)  C4a (-41/297 : -76/189 : 1)
**u= 49/18 ; 839*x^2 - 1764*y^2 + 5641*z^2
; C3a (396/155 : 16343/6510 : 1)  C4a (-83/115 : -1178/805 : 1)
**u= 49/22 ; 2439*x^2 - 2156*y^2 + 7241*z^2
; C3a (-79/31 : -710/217 : 1)  C4a (-31/79 : 710/553 : 1)
**u= 49/24 ; 3359*x^2 - 2352*y^2 + 8161*z^2
; C3a (-133/122 : -7765/3416 : 1)  C4a (17/49 : 466/343 : 1)
**u= 49/30 ; 6599*x^2 - 2940*y^2 + 11401*z^2
; C3a (197/157 : 2992/1099 : 1)  C4a (296/101 : -8431/1414 : 1)
**u= 49/36 ; 10559*x^2 - 3528*y^2 + 15361*z^2
; C3a (-97/381 : -17063/8001 : 1)  C4a (-9/151 : -5500/3171 : 1)
**u= 49/40 ; 13599*x^2 - 3920*y^2 + 18401*z^2
; C3a (-11734/11331 : -306773/105756 : 1)  C4a (31203/30667 : 619527/214669 : 1)
**u= 49/46 ; 18759*x^2 - 4508*y^2 + 23561*z^2
; C3a (219/104 : 545/112 : 1)  C4a (-1144/673 : -41353/9422 : 1)
**u= 49/48 ; 20639*x^2 - 4704*y^2 + 25441*z^2
; C3a (-5/7 : 271/98 : 1)  C4a (-667/245 : -11437/1715 : 1)
**u= 49/52 ; 24639*x^2 - 5096*y^2 + 29441*z^2
; C3a (92485/21349 : 1468148/149443 : 1)  C4a (23/205 : -3179/1435 : 1)
**u= 49/76 ; 55359*x^2 - 7448*y^2 + 60161*z^2
; C3a (673/581 : -17279/4067 : 1)  C4a (1761/3521 : -75780/24647 : 1)
**u= 49/78 ; 58439*x^2 - 7644*y^2 + 63241*z^2
; C3a (5515/4072 : 269189/57008 : 1)  C4a (4832/1205 : -200091/16870 : 1)
**u= 49/86 ; 71559*x^2 - 8428*y^2 + 76361*z^2
; C3a (-2497/906 : 36261/4228 : 1)  C4a (-801/113 : 17034/791 : 1)
**u= 49/88 ; 75039*x^2 - 8624*y^2 + 79841*z^2
; C3a (419/166 : -37385/4648 : 1)  C4a (1489/1049 : 38405/7343 : 1)
**u= 49/90 ; 78599*x^2 - 8820*y^2 + 83401*z^2
; C3a (-26/609 : 78721/25578 : 1)  C4a (-3951/3934 : 709697/165228 : 1)
**u= 49/96 ; 89759*x^2 - 9408*y^2 + 94561*z^2
; C3a (-1439/658 : 274959/36848 : 1)  C4a (74/11 : -13275/616 : 1)
**u= 49/100 ; 97599*x^2 - 9800*y^2 + 102401*z^2
; C3a (-419/73 : -47011/2555 : 1)  C4a (73/419 : -47011/14665 : 1)
**u= 50/9 ; -1690*x^2 - 900*y^2 + 3310*z^2
; C3a (-19/143 : 21/11 : 1)  C4a (169/173 : -221/173 : 1)
**u= 50/13 ; -810*x^2 - 1300*y^2 + 4190*z^2
; C3a (2453/1179 : -95/131 : 1)  C4a (9/17 : -9/17 : 1)
**u= 50/41 ; 14310*x^2 - 4100*y^2 + 19310*z^2
; C3a (149/97 : -349/97 : 1)  C4a (223/141 : 551/141 : 1)
**u= 50/49 ; 21510*x^2 - 4900*y^2 + 26510*z^2
; C3a (823/1419 : -8689/3311 : 1)  C4a (-6243/2399 : -107565/16793 : 1)
**u= 50/81 ; 63110*x^2 - 8100*y^2 + 68110*z^2
; C3a (7/29 : -259/87 : 1)  C4a (-209/147 : -941/189 : 1)
**u= 50/89 ; 76710*x^2 - 8900*y^2 + 81710*z^2
; C3a (287/109 : -905/109 : 1)  C4a (-4943/4669 : -20303/4669 : 1)
**u= 50/93 ; 83990*x^2 - 9300*y^2 + 88990*z^2
; C3a (16561/7 : -49769/7 : 1)  C4a (919/113 : 2863/113 : 1)
**u= 52/21 ; 1706*x^2 - 2184*y^2 + 7114*z^2
; C3a (50/29 : 137/58 : 1)  C4a (10/11 : -41/22 : 1)
**u= 52/29 ; 5706*x^2 - 3016*y^2 + 11114*z^2
; C3a (-35/6 : 33/4 : 1)  C4a (2595/14 : -9963/28 : 1)
**u= 52/37 ; 10986*x^2 - 3848*y^2 + 16394*z^2
; C3a (97/134 : 643/268 : 1)  C4a (27127/3854 : -112739/7708 : 1)
**u= 52/69 ; 44906*x^2 - 7176*y^2 + 50314*z^2
; C3a (-3713/818 : 19075/1636 : 1)  C4a (263/470 : -2733/940 : 1)
**u= 53/6 ; -2449*x^2 - 636*y^2 + 3169*z^2
; C3a (1061/1355 : 2194/1355 : 1)  C4a (128/77 : 485/154 : 1)
**u= 53/8 ; -2169*x^2 - 848*y^2 + 3449*z^2
; C3a (-741/613 : -352/613 : 1)  C4a (63/71 : -57/71 : 1)
**u= 53/12 ; -1369*x^2 - 1272*y^2 + 4249*z^2
; C3a (403/259 : 6/7 : 1)  C4a (-407/73 : -740/73 : 1)
**u= 53/18 ; 431*x^2 - 1908*y^2 + 6049*z^2
; C3a (91/27 : 194/81 : 1)  C4a (-3249/686 : -34765/4116 : 1)
**u= 53/26 ; 3951*x^2 - 2756*y^2 + 9569*z^2
; C3a (-6389/1515 : 2718/505 : 1)  C4a (-4443/6620 : -22923/13240 : 1)
**u= 53/30 ; 6191*x^2 - 3180*y^2 + 11809*z^2
; C3a (-7/2 : -21/4 : 1)  C4a (-7162/2807 : 4099/802 : 1)
**u= 53/32 ; 7431*x^2 - 3392*y^2 + 13049*z^2
; C3a (-463/49 : 692/49 : 1)  C4a (-731/1178 : -18059/9424 : 1)
**u= 53/36 ; 10151*x^2 - 3816*y^2 + 15769*z^2
; C3a (755/19 : -1232/19 : 1)  C4a (24437/13317 : 162650/39951 : 1)
**u= 53/38 ; 11631*x^2 - 4028*y^2 + 17249*z^2
; C3a (-6807/5087 : 15640/5087 : 1)  C4a (204332/36391 : 854671/72782 : 1)
**u= 53/42 ; 14831*x^2 - 4452*y^2 + 20449*z^2
; C3a (-572/677 : -3575/1354 : 1)  C4a (347/1144 : 31/16 : 1)
**u= 53/46 ; 18351*x^2 - 4876*y^2 + 23969*z^2
; C3a (1645/219 : 1076/73 : 1)  C4a (3786/7949 : -35115/15898 : 1)
**u= 53/48 ; 20231*x^2 - 5088*y^2 + 25849*z^2
; C3a (637/1249 : 6177/2498 : 1)  C4a (5189/2129 : 24885/4258 : 1)
**u= 53/60 ; 33191*x^2 - 6360*y^2 + 38809*z^2
; C3a (1379/7549 : 18912/7549 : 1)  C4a (6181/2561 : 83/13 : 1)
**u= 53/62 ; 35631*x^2 - 6572*y^2 + 41249*z^2
; C3a (-1043/6499 : 16462/6499 : 1)  C4a (-1843/541 : 4786/541 : 1)
**u= 53/68 ; 43431*x^2 - 7208*y^2 + 49049*z^2
; C3a (-30289/1151 : 74410/1151 : 1)  C4a (47/21 : 19/3 : 1)
**u= 53/78 ; 58031*x^2 - 8268*y^2 + 63649*z^2
; C3a (1829/386 : 9925/772 : 1)  C4a (-7223/7129 : -27538/7129 : 1)
**u= 53/82 ; 64431*x^2 - 8692*y^2 + 70049*z^2
; C3a (4622/5259 : -13017/3506 : 1)  C4a (20487/11426 : 131913/22852 : 1)
**u= 53/84 ; 67751*x^2 - 8904*y^2 + 73369*z^2
; C3a (75107/18995 : 214234/18995 : 1)  C4a (695/233 : 2096/233 : 1)
**u= 53/92 ; 81831*x^2 - 9752*y^2 + 87449*z^2
; C3a (78881/9467 : 230251/9467 : 1)  C4a (99161/7943 : 297832/7943 : 1)
**u= 53/98 ; 93231*x^2 - 10388*y^2 + 98849*z^2
; C3a (-77/243 : -610/189 : 1)  C4a (-77709/22643 : 249126/22643 : 1)
**u= 58/5 ; -3114*x^2 - 580*y^2 + 3614*z^2
; C3a (-73/93 : -53/31 : 1)  C4a (1419/991 : -2697/991 : 1)
**u= 58/13 ; -1674*x^2 - 1508*y^2 + 5054*z^2
; C3a (209/131 : 95/131 : 1)  C4a (6117/2489 : -573/131 : 1)
**u= 58/21 ; 1046*x^2 - 2436*y^2 + 7774*z^2
; C3a (-611/121 : -455/121 : 1)  C4a (1613/767 : 225/59 : 1)
**u= 58/37 ; 10326*x^2 - 4292*y^2 + 17054*z^2
; C3a (21909/3631 : -34745/3631 : 1)  C4a (5299/2561 : -11285/2561 : 1)
**u= 58/45 ; 16886*x^2 - 5220*y^2 + 23614*z^2
; C3a (-42651/3239 : -231059/9717 : 1)  C4a (-1181/1209 : -9967/3627 : 1)
**u= 58/61 ; 33846*x^2 - 7076*y^2 + 40574*z^2
; C3a (28625/9227 : 66389/9227 : 1)  C4a (443/4225 : -9301/4225 : 1)
**u= 64 ; -4086*x^2 - 128*y^2 + 4106*z^2
; C3a (-14/27 : 349/72 : 1)  C4a (27/14 : 1047/112 : 1)
**u= 64/17 ; -1206*x^2 - 2176*y^2 + 6986*z^2
; C3a (-209/90 : 113/240 : 1)  C4a (279/670 : 267/5360 : 1)
**u= 64/57 ; 28394*x^2 - 7296*y^2 + 36586*z^2
; C3a (-8890/4049 : 157943/32392 : 1)  C4a (-9577/1082 : 172415/8656 : 1)
**u= 64/73 ; 49194*x^2 - 9344*y^2 + 57386*z^2
; C3a (-149/70 : 3067/560 : 1)  C4a (-1257/4250 : -81897/34000 : 1)
**u= 65/6 ; -3865*x^2 - 780*y^2 + 4585*z^2
; C3a (551/506 : -51/1012 : 1)  C4a (22/19 : -65/38 : 1)
**u= 65/14 ; -2265*x^2 - 1820*y^2 + 6185*z^2
; C3a (-97/113 : 178/113 : 1)  C4a (-209/281 : 224/281 : 1)
**u= 65/16 ; -1665*x^2 - 2080*y^2 + 6785*z^2
; C3a (7/9 : 5/3 : 1)  C4a (3369/2519 : -5652/2519 : 1)
**u= 65/24 ; 1535*x^2 - 3120*y^2 + 9985*z^2
; C3a (-49/41 : 81/41 : 1)  C4a (-121/383 : 345/383 : 1)
**u= 65/34 ; 7335*x^2 - 4420*y^2 + 15785*z^2
; C3a (1516/1119 : 1919/746 : 1)  C4a (573/148 : -2199/296 : 1)
**u= 65/56 ; 27135*x^2 - 7280*y^2 + 35585*z^2
; C3a (181/216 : 263/96 : 1)  C4a (27/83 : -171/83 : 1)
**u= 65/66 ; 39335*x^2 - 8580*y^2 + 47785*z^2
; C3a (4/59 : -279/118 : 1)  C4a (59/4 : -279/8 : 1)
**u= 65/84 ; 66335*x^2 - 10920*y^2 + 74785*z^2
; C3a (1531/3547 : -10020/3547 : 1)  C4a (-41/211 : 531/211 : 1)
**u= 68/5 ; -4374*x^2 - 680*y^2 + 4874*z^2
; C3a (113/432 : -83/32 : 1)  C4a (27/28 : 27/56 : 1)
**u= 68/21 ; -214*x^2 - 2856*y^2 + 9034*z^2
; C3a (1681/484 : 1455/968 : 1)  C4a (47/152 : -145/304 : 1)
**u= 68/29 ; 3786*x^2 - 3944*y^2 + 13034*z^2
; C3a (-2268/23 : 4445/46 : 1)  C4a (55/84 : 37/24 : 1)
**u= 68/53 ; 23466*x^2 - 7208*y^2 + 32714*z^2
; C3a (8736/7199 : 43985/14398 : 1)  C4a (1321/632 : 6073/1264 : 1)
**u= 68/69 ; 42986*x^2 - 9384*y^2 + 52234*z^2
; C3a (-427/128 : -1925/256 : 1)  C4a (220/217 : 199/62 : 1)
**u= 68/77 ; 54666*x^2 - 10472*y^2 + 63914*z^2
; C3a (1223/684 : 2177/456 : 1)  C4a (-1971/3056 : 17025/6112 : 1)
**u= 68/93 ; 81866*x^2 - 12648*y^2 + 91114*z^2
; C3a (-1924/21109 : -113735/42218 : 1)  C4a (-2956/383 : -15987/766 : 1)
**u= 72/5 ; -4934*x^2 - 720*y^2 + 5434*z^2
; C3a (-1 : -5/6 : 1)  C4a (583/353 : -7849/2118 : 1)
**u= 72/13 ; -3494*x^2 - 1872*y^2 + 6874*z^2
; C3a (-599/441 : 1265/2646 : 1)  C4a (-513/449 : -4609/2694 : 1)
**u= 72/37 ; 8506*x^2 - 5328*y^2 + 18874*z^2
; C3a (1149/187 : -8963/1122 : 1)  C4a (177/769 : -6163/4614 : 1)
**u= 74/25 ; 774*x^2 - 3700*y^2 + 11726*z^2
; C3a (19/3 : 17/5 : 1)  C4a (57/1193 : 555/1193 : 1)
**u= 74/33 ; 5414*x^2 - 4884*y^2 + 16366*z^2
; C3a (175/23 : 189/23 : 1)  C4a (461/749 : -165/107 : 1)
**u= 74/65 ; 36774*x^2 - 9620*y^2 + 47726*z^2
; C3a (1463/657 : -357/73 : 1)  C4a (3789/539 : 1215/77 : 1)
**u= 74/97 ; 88614*x^2 - 14356*y^2 + 99566*z^2
; C3a (-31493/1035 : -8699/115 : 1)  C4a (-39483/24925 : -121023/24925 : 1)
**u= 80 ; -6390*x^2 - 160*y^2 + 6410*z^2
; C3a (8/9 : -35/12 : 1)  C4a (-96/65 : -1791/260 : 1)
**u= 80/37 ; 7290*x^2 - 5920*y^2 + 20090*z^2
; C3a (-266/81 : 49/12 : 1)  C4a (-54/91 : 81/52 : 1)
**u= 80/41 ; 10410*x^2 - 6560*y^2 + 23210*z^2
; C3a (1279/8 : -6445/32 : 1)  C4a (115/156 : -1169/624 : 1)
**u= 80/53 ; 21690*x^2 - 8480*y^2 + 34490*z^2
; C3a (46/219 : 597/292 : 1)  C4a (-219/46 : 1791/184 : 1)
**u= 80/77 ; 52890*x^2 - 12320*y^2 + 65690*z^2
; C3a (-43/34 : 475/136 : 1)  C4a (106/909 : 7597/3636 : 1)
**u= 80/93 ; 80090*x^2 - 14880*y^2 + 92890*z^2
; C3a (-16777/6938 : 170433/27752 : 1)  C4a (-178/1217 : -11433/4868 : 1)
**u= 81/8 ; -5921*x^2 - 1296*y^2 + 7201*z^2
; C3a (-3/5 : -89/45 : 1)  C4a (4161/2399 : -75250/21591 : 1)
**u= 81/10 ; -5561*x^2 - 1620*y^2 + 7561*z^2
; C3a (-13802/13903 : 283601/250254 : 1)  C4a (-1 : 10/9 : 1)
**u= 81/14 ; -4601*x^2 - 2268*y^2 + 8521*z^2
; C3a (-3/11 : -188/99 : 1)  C4a (212/9 : 7393/162 : 1)
**u= 81/22 ; -1721*x^2 - 3564*y^2 + 11401*z^2
; C3a (-79/31 : 70/279 : 1)  C4a (26/59 : -395/1062 : 1)
**u= 81/28 ; 1279*x^2 - 4536*y^2 + 14401*z^2
; C3a (-149/89 : -1595/801 : 1)  C4a (-1951/191 : 31300/1719 : 1)
**u= 81/34 ; 4999*x^2 - 5508*y^2 + 18121*z^2
; C3a (92/41 : -2069/738 : 1)  C4a (107/56 : 3623/1008 : 1)
**u= 81/38 ; 7879*x^2 - 6156*y^2 + 21001*z^2
; C3a (-4183/738 : -88645/13284 : 1)  C4a (558/653 : -22825/11754 : 1)
**u= 81/40 ; 9439*x^2 - 6480*y^2 + 22561*z^2
; C3a (-7433/6737 : -138991/60633 : 1)  C4a (-1 : -20/9 : 1)
**u= 81/44 ; 12799*x^2 - 7128*y^2 + 25921*z^2
; C3a (-161/513 : -9016/4617 : 1)  C4a (-109/483 : -38/27 : 1)
**u= 81/52 ; 20479*x^2 - 8424*y^2 + 33601*z^2
; C3a (193/115 : 3407/1035 : 1)  C4a (167/505 : -7696/4545 : 1)
**u= 81/56 ; 24799*x^2 - 9072*y^2 + 37921*z^2
; C3a (-89/72 : 7493/2592 : 1)  C4a (261/37 : -4834/333 : 1)
**u= 81/64 ; 34399*x^2 - 10368*y^2 + 47521*z^2
; C3a (373/59 : -12439/1062 : 1)  C4a (-103/83 : -9625/2988 : 1)
**u= 81/76 ; 51199*x^2 - 12312*y^2 + 64321*z^2
; C3a (4249/4477 : -120677/40293 : 1)  C4a (-823/203 : 17335/1827 : 1)
**u= 81/80 ; 57439*x^2 - 12960*y^2 + 70561*z^2
; C3a (-897/563 : 41407/10134 : 1)  C4a (5713/4353 : 145589/39177 : 1)
**u= 81/82 ; 60679*x^2 - 13284*y^2 + 73801*z^2
; C3a (569/241 : -12080/2169 : 1)  C4a (78901/17155 : -1705972/154395 : 1)
**u= 82/45 ; 13526*x^2 - 7380*y^2 + 26974*z^2
; C3a (9 : -37/3 : 1)  C4a (-8327/61423 : 84665/61423 : 1)
**u= 82/53 ; 21366*x^2 - 8692*y^2 + 34814*z^2
; C3a (-26507/2763 : 13975/921 : 1)  C4a (-729/8281 : 1005/637 : 1)
**u= 82/61 ; 30486*x^2 - 10004*y^2 + 43934*z^2
; C3a (-92255/27671 : -171169/27671 : 1)  C4a (-32737/50833 : -112165/50833 : 1)
**u= 85/22 ; -2385*x^2 - 3740*y^2 + 12065*z^2
; C3a (-1369/1260 : 1321/840 : 1)  C4a (35/13 : -62/13 : 1)
**u= 85/28 ; 615*x^2 - 4760*y^2 + 15065*z^2
; C3a (385335/29273 : -147974/29273 : 1)  C4a (185/297 : -346/297 : 1)
**u= 85/42 ; 10415*x^2 - 7140*y^2 + 24865*z^2
; C3a (400/253 : 1351/506 : 1)  C4a (-71/148 : -445/296 : 1)
**u= 85/48 ; 15815*x^2 - 8160*y^2 + 30265*z^2
; C3a (-4187/2825 : 15947/5650 : 1)  C4a (19/25 : -101/50 : 1)
**u= 85/58 ; 26415*x^2 - 9860*y^2 + 40865*z^2
; C3a (3329/3225 : -2844/1075 : 1)  C4a (-1735/208 : 7097/416 : 1)
**u= 85/72 ; 44615*x^2 - 12240*y^2 + 59065*z^2
; C3a (165/37 : 976/111 : 1)  C4a (853/430 : -8183/1720 : 1)
**u= 85/78 ; 53615*x^2 - 13260*y^2 + 68065*z^2
; C3a (-23/10 : 103/20 : 1)  C4a (-3151/3713 : -10330/3713 : 1)
**u= 89/6 ; -7561*x^2 - 1068*y^2 + 8281*z^2
; C3a (-1729/5297 : 14014/5297 : 1)  C4a (-23174/12103 : 1229/266 : 1)
**u= 89/8 ; -7281*x^2 - 1424*y^2 + 8561*z^2
; C3a (23/375 : -306/125 : 1)  C4a (-437/440 : 1591/1760 : 1)
**u= 89/10 ; -6921*x^2 - 1780*y^2 + 8921*z^2
; C3a (229/669 : -476/223 : 1)  C4a (-669/229 : -1428/229 : 1)
**u= 89/14 ; -5961*x^2 - 2492*y^2 + 9881*z^2
; C3a (317/436 : 1433/872 : 1)  C4a (-1307/1451 : 1318/1451 : 1)
**u= 89/24 ; -2161*x^2 - 4272*y^2 + 13681*z^2
; C3a (31/103 : 183/103 : 1)  C4a (9118/10477 : -58065/41908 : 1)
**u= 89/28 ; -81*x^2 - 4984*y^2 + 15761*z^2
; C3a (3379/369 : -55/41 : 1)  C4a (-279/1639 : 450/1639 : 1)
**u= 89/32 ; 2319*x^2 - 5696*y^2 + 18161*z^2
; C3a (-18900/3847 : -111029/30776 : 1)  C4a (-25/49 : -109/98 : 1)
**u= 89/36 ; 5039*x^2 - 6408*y^2 + 20881*z^2
; C3a (-1249/191 : 1160/191 : 1)  C4a (499/211 : 920/211 : 1)
**u= 89/42 ; 9719*x^2 - 7476*y^2 + 25561*z^2
; C3a (3967/313 : 4560/313 : 1)  C4a (1891/2990 : -9767/5980 : 1)
**u= 89/44 ; 11439*x^2 - 7832*y^2 + 27281*z^2
; C3a (-87/199 : -386/199 : 1)  C4a (-79181/2307 : 147806/2307 : 1)
**u= 89/46 ; 13239*x^2 - 8188*y^2 + 29081*z^2
; C3a (-1717/261 : 746/87 : 1)  C4a (312192/47761 : -1182957/95522 : 1)
**u= 89/50 ; 17079*x^2 - 8900*y^2 + 32921*z^2
; C3a (1103/145 : 7766/725 : 1)  C4a (-953/95 : 9188/475 : 1)
**u= 89/54 ; 21239*x^2 - 9612*y^2 + 37081*z^2
; C3a (881/2798 : -11299/5596 : 1)  C4a (646/553 : -9071/3318 : 1)
**u= 89/64 ; 33039*x^2 - 11392*y^2 + 48881*z^2
; C3a (-4129/33 : -2344/11 : 1)  C4a (-6009/407 : 24933/814 : 1)
**u= 89/68 ; 38319*x^2 - 12104*y^2 + 54161*z^2
; C3a (6729/745 : -12076/745 : 1)  C4a (3035/1029 : 6676/1029 : 1)
**u= 89/72 ; 43919*x^2 - 12816*y^2 + 59761*z^2
; C3a (235/3491 : 7551/3491 : 1)  C4a (-211/499 : -1030/499 : 1)
**u= 89/84 ; 62639*x^2 - 14952*y^2 + 78481*z^2
; C3a (11801/1847 : 24522/1847 : 1)  C4a (55969/19009 : -134000/19009 : 1)
**u= 89/92 ; 76719*x^2 - 16376*y^2 + 92561*z^2
; C3a (23331/12641 : 58765/12641 : 1)  C4a (173/793 : -1765/793 : 1)
**u= 89/96 ; 84239*x^2 - 17088*y^2 + 100081*z^2
; C3a (16289/20402 : -489627/163216 : 1)  C4a (23183/4679 : -114117/9358 : 1)
**u= 89/98 ; 88119*x^2 - 17444*y^2 + 103961*z^2
; C3a (-12755/11187 : 13198/3729 : 1)  C4a (-16975/6393 : 307024/44751 : 1)
**u= 90 ; -8090*x^2 - 180*y^2 + 8110*z^2
; C3a (-1621/1619 : 1/4857 : 1)  C4a (-1619/1621 : -1/4863 : 1)
**u= 90/49 ; 15910*x^2 - 8820*y^2 + 32110*z^2
; C3a (169/71 : -793/213 : 1)  C4a (1 : 7/3 : 1)
**u= 90/53 ; 19990*x^2 - 9540*y^2 + 36190*z^2
; C3a (-1377/955 : -8179/2865 : 1)  C4a (-2389/1215 : -14923/3645 : 1)
**u= 90/77 ; 51190*x^2 - 13860*y^2 + 67390*z^2
; C3a (333/25 : -1927/75 : 1)  C4a (111/43 : -775/129 : 1)
**u= 98/5 ; -9354*x^2 - 980*y^2 + 9854*z^2
; C3a (1 : 5/7 : 1)  C4a (-733/597 : -9901/4179 : 1)
**u= 98/29 ; -1194*x^2 - 5684*y^2 + 18014*z^2
; C3a (-481/505 : -6101/3535 : 1)  C4a (233/465 : -2491/3255 : 1)
**u= 98/45 ; 10646*x^2 - 8820*y^2 + 29854*z^2
; C3a (271/231 : 10897/4851 : 1)  C4a (2313/1183 : -93439/24843 : 1)
**u= 98/69 ; 38006*x^2 - 13524*y^2 + 57214*z^2
; C3a (-85/421 : 6143/2947 : 1)  C4a (4423/3457 : -75505/24199 : 1)
**u= 100/13 ; -8310*x^2 - 2600*y^2 + 11690*z^2
; C3a (43/56 : -181/112 : 1)  C4a (-179/172 : 445/344 : 1)
**u= 100/37 ; 3690*x^2 - 7400*y^2 + 23690*z^2
; C3a (28/9 : 17/6 : 1)  C4a (-36/73 : -165/146 : 1)
**u= 100/81 ; 55610*x^2 - 16200*y^2 + 75610*z^2
; C3a (-194/87 : -7301/1566 : 1)  C4a (63/106 : 4301/1908 : 1)
**u= 100/93 ; 76490*x^2 - 18600*y^2 + 96490*z^2
; C3a (-17/76 : 353/152 : 1)  C4a (-76/17 : 353/34 : 1)
328
>

■これらのuについて、(2),(3a),(3b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4=C^4+D^4と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 < A < B, 0 < C < D, 0 < A < Cを満たすように、
A,B,C,Dの符号を変更したり、A,B,C,Dを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[2026.05.25追記]u=2/5,5/2,5/8,9/2,10/9,4/25,10/37,2/45,9/58のときの整数解を追加した。

[参考文献]


Last Update: 2026.05.25
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]