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Integer Points on A^4+59*B^4+236*C^4=D^4

[2026.04.23]A^4+59*B^4+236*C^4=D^4の整点

■正整数nに対して、Diophantine Equation
       A^4+n*B^4+4*n*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、x=B/C,y=A/C.t=D/Cとすると、
       n*(x^4+4)+y^4=t^4
       n*(x^2+2*x+2)*(x^2-2*x+2)=(t^2+y^2)*(t^2-y^2) -----(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数uに対して、
       n=n1*n2 ----------(3)
       n1*(x^2+2*x+2)=u*(t^2+y^2) ----------(4a)
       ±n2*(x^2-2*x+2)=(1/u)*(t^2-y^2) ----------(4b±)
を満たす有理数の組(n1,n2,x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。
(4a)-u^2*(4b+)より、
       2*u*y^2=(n1-n2*u^2)*x^2+2*(n1+n2*u^2)*x+2*(n1-n2*u^2) ----------(5a+)
(4a)+u^2*(4b+)より、
       2*u*t^2=(n1+n2*u^2)*x^2+2*(n1-n2*u^2)*x+2*(n1+n2*u^2) ----------(5b+)
となる。

また、(4a)+u^2*(4b-)より、
       2*u*t^2=(n1-n2*u^2)*x^2+2*(n1+n2*u^2)*x+2*(n1-n2*u^2) ----------(5a-)
(4a)-u^2*(4b-)より、
       2*u*y^2=(n1+n2*u^2)*x^2+2*(n1-n2*u^2)*x+2*(n1+n2*u^2) ----------(5b-)
となり、それぞれ(5b+),(5a+)と一致する。
よって、u > 0, n1, n2 > 0として良い。

[pari/gpによる計算]
(06:57) gp > YY2(n1,n2,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n1 - 1/2*u*n2)*x^2 + (1/u*n1 + u*n2)*x + (1/u*n1 - u*n2)
(06:57) gp > TT2(n1,n2,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n1 + 1/2*u*n2)*x^2 + (1/u*n1 - u*n2)*x + (1/u*n1 + u*n2)
(06:57) gp > n1*n2*(x^4+4)+YY2(n1,n2,u,x)^2-TT2(n1,n2,u,x)^2
%3 = 0

■２次曲線(5a),(5b)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a)の右辺の判別式は
    4*(n1-n2*u^2)^2-4*2*(n1+n2*u^2)^2=-4*(n1^2-6*n1*n2*u^2+n2^2*u^4) となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b)の右辺の判別式は
    4*(n1+n2*u^2)^2-4*2*(n1-n2*u^2)^2=-4*(n1^2+6*n1*n2*u^2+n2^2*u^4) となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■以下では、n=59とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが400以下の範囲で、２つの２次曲線(5a)と(5b+)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように17個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(59,1,1,400);
**u= 118/17 ;  3127*x^2 - 4012*y^2 + 61950*x*z + 6254*z^2
; C5a (407/6 : 817/12 : 1)  C5b (37/89 : -743/178 : 1)
**u= 118/45 ;  105551*x^2 - 10620*y^2 + 266798*x*z + 211102*z^2
; C5a (-1629/832 : 14801/4992 : 1)  C5b (-443/379 : 9925/2274 : 1)
**u= 118/97 ;  541207*x^2 - 22892*y^2 + 1138110*x*z + 1082414*z^2
; C5a (8253/886 : -89687/1772 : 1)  C5b (-167/165 : 115/22 : 1)
**u= 118/109 ;  687055*x^2 - 25724*y^2 + 1429806*x*z + 1374110*z^2
; C5a (-2019/476 : 967/56 : 1)  C5b (-1871/1111 : -14813/2222 : 1)
**u= 118/137 ;  1093447*x^2 - 32332*y^2 + 2242590*x*z + 2186894*z^2
; C5a (-572731/27010 : 6346593/54020 : 1)  C5b (-2919/14593 : 220773/29186 : 1)
**u= 118/153 ;  1367207*x^2 - 36108*y^2 + 2790110*x*z + 2734414*z^2
; C5a (-399/422 : -15301/2532 : 1)  C5b (-6565/3311 : -176585/19866 : 1)
**u= 118/233 ;  3189127*x^2 - 54988*y^2 + 6433950*x*z + 6378254*z^2
; C5a (-20233/14871 : 238231/29742 : 1)  C5b (-2401/1027 : 26431/2054 : 1)
**u= 118/377 ;  8371687*x^2 - 88972*y^2 + 16799070*x*z + 16743374*z^2
; C5a (-2597/1114 : -35883/2228 : 1)  C5b (-40163/32469 : -216981/21646 : 1)
**u= 236/29 ;  -6077*x^2 - 13688*y^2 + 210630*x*z - 12154*z^2
; C5a (78/35 : -391/70 : 1)  C5b (-6082/11855 : -20045/4742 : 1)
**u= 236/61 ;  163843*x^2 - 28792*y^2 + 550470*x*z + 327686*z^2
; C5a (-92/119 : -9/238 : 1)  C5b (-6/457 : 3981/914 : 1)
**u= 236/153 ;  1325435*x^2 - 72216*y^2 + 2873654*x*z + 2650870*z^2
; C5a (-362/237 : -6157/1422 : 1)  C5b (648/8573 : 336047/51438 : 1)
**u= 236/173 ;  1710115*x^2 - 81656*y^2 + 3643014*x*z + 3420230*z^2
; C5a (47420/7939 : -30345/934 : 1)  C5b (-15476/2769 : -41579/1846 : 1)
**u= 236/193 ;  2141995*x^2 - 91096*y^2 + 4506774*x*z + 4283990*z^2
; C5a (-1594/2389 : -23643/4778 : 1)  C5b (-2688/3107 : -32469/6214 : 1)
**u= 236/245 ;  3485779*x^2 - 115640*y^2 + 7194342*x*z + 6971558*z^2
; C5a (-398/1613 : -154437/22582 : 1)  C5b (-68/429 : 14635/2002 : 1)
**u= 236/265 ;  4087579*x^2 - 125080*y^2 + 8397942*x*z + 8175158*z^2
; C5a (-592/2007 : -27925/4014 : 1)  C5b (-151538/385113 : -1753007/256742 : 1)
**u= 236/337 ;  6644875*x^2 - 159064*y^2 + 13512534*x*z + 13289750*z^2
; C5a (-11048/10325 : 26277/4130 : 1)  C5b (-12280/7171 : -116897/14342 : 1)
**u= 236/397 ;  9243235*x^2 - 187384*y^2 + 18709254*x*z + 18486470*z^2
; C5a (-11276/9569 : -134643/19138 : 1)  C5b (2482/473 : -42223/946 : 1)
17

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A, B, C, Dを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.24
H.Nakao

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