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Integer Points on A^4+26*B^4+104*C^4=D^4

[2026.04.24]A^4+26*B^4+104*C^4=D^4の整点

■正整数nに対して、Diophantine Equation
       A^4+n*B^4+4*n*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、x=B/C,y=A/C.t=D/Cとすると、
       n*(x^4+4)+y^4=t^4
       n*(x^2+2*x+2)*(x^2-2*x+2)=(t^2+y^2)*(t^2-y^2) -----(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数uに対して、
       n=n1*n2 ----------(3)
       n1*(x^2+2*x+2)=u*(t^2+y^2) ----------(4a)
       ±n2*(x^2-2*x+2)=(1/u)*(t^2-y^2) ----------(4b±)
を満たす有理数の組(n1,n2,x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

ここで、nを固定したとき、n1/uが同じなら、(3),(4a),(4b±)を満たす(x,y,t)も同じになるので、n1=n, n2=1として良い(つまり、uをうまく選択すれば同じx,y,tを解に持つようにできる)。
よって、以下では、n1=n, n2=1とする。

(4a)-u^2*(4b+)より、
       2*u*y^2=(n-u^2)*x^2+2*(n+u^2)*x+2*(n-u^2) ----------(5a+)
(4a)+u^2*(4b+)より、
       2*u*t^2=(n+u^2)*x^2+2*(n-u^2)*x+2*(n+u^2) ----------(5b+)
となる。

また、(4a)+u^2*(4b-)より、
       2*u*t^2=(n-u^2)*x^2+2*(n+u^2)*x+2*(n-u^2) ----------(5a-)
(4a)-u^2*(4b-)より、
       2*u*y^2=(n+u^2)*x^2+2*(n-u^2)*x+2*(n+u^2) ----------(5b-)
となり、それぞれ(5b+),(5a+)と一致する。
よって、u > 0, n > 0として良い。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/u*n + u)*x + (1/u*n - u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/u*n - u)*x + (1/u*n + u)
gp > n*(x^4+4)+YY2(n,u,x)^2-TT2(n,u,x)^2
%3 = 0

■２次曲線(5a),(5b)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a)の右辺の判別式は
    4*(n1-n2*u^2)^2-4*2*(n1+n2*u^2)^2=-4*(n1^2-6*n1*n2*u^2+n2^2*u^4) となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b)の右辺の判別式は
    4*(n1+n2*u^2)^2-4*2*(n1-n2*u^2)^2=-4*(n1^2+6*n1*n2*u^2+n2^2*u^4) となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■以下では、n=26とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが400以下の範囲で、２つの２次曲線(5a)と(5b+)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように115個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(26,1,1,200);
**u= 4/29 ;  21850*x^2 - 232*y^2 + 43764*x*z + 43700*z^2
; C5a (-299/43 : -5037/86 : 1)  C5b (-2791/3388 : -9557/968 : 1)
**u= 4/37 ;  35578*x^2 - 296*y^2 + 71220*x*z + 71156*z^2
; C5a (3709/679 : -97371/1358 : 1)  C5b (-3605/1609 : -56285/3218 : 1)
**u= 4/41 ;  43690*x^2 - 328*y^2 + 87444*x*z + 87380*z^2
; C5a (-3661/7935 : -41597/3174 : 1)  C5b (3509/4537 : -213263/9074 : 1)
**u= 4/45 ;  52634*x^2 - 360*y^2 + 105332*x*z + 105268*z^2
; C5a (-33939/12707 : -1794391/76242 : 1)  C5b (121/159 : -23365/954 : 1)
**u= 4/65 ;  109834*x^2 - 520*y^2 + 219732*x*z + 219668*z^2
; C5a (-2641/2331 : -68329/4662 : 1)  C5b (-569/462 : -4597/308 : 1)
**u= 4/73 ;  138538*x^2 - 584*y^2 + 277140*x*z + 277076*z^2
; C5a (3921/509 : 137363/1018 : 1)  C5b (-47083/15158 : -1088909/30316 : 1)
**u= 4/97 ;  244618*x^2 - 776*y^2 + 489300*x*z + 489236*z^2
; C5a (-6293/86398 : 4183677/172796 : 1)  C5b (262149/232414 : 2772129/66404 : 1)
**u= 4/197 ;  1009018*x^2 - 1576*y^2 + 2018100*x*z + 2018036*z^2
; C5a (-13883/71503 : 4647123/143006 : 1)  C5b (20543/13728 : -622767/9152 : 1)
**u= 8/5 ;  586*x^2 - 80*y^2 + 1428*x*z + 1172*z^2
; C5a (-162/37 : 649/74 : 1)  C5b (-176/103 : -895/206 : 1)
**u= 8/37 ;  35530*x^2 - 592*y^2 + 71316*x*z + 71060*z^2
; C5a (2768/739 : 55563/1478 : 1)  C5b (702/89 : -12351/178 : 1)
**u= 8/41 ;  43642*x^2 - 656*y^2 + 87540*x*z + 87284*z^2
; C5a (-2890/859 : 35919/1718 : 1)  C5b (1084/705 : 2093/94 : 1)
**u= 8/153 ;  608570*x^2 - 2448*y^2 + 1217396*x*z + 1217140*z^2
; C5a (167396/180507 : 37080163/1083042 : 1)  C5b (-4746/4943 : 468133/29658 : 1)
**u= 16/5 ;  394*x^2 - 160*y^2 + 1812*x*z + 788*z^2
; C5a (1/4 : 45/16 : 1)  C5b (7/8 : 143/32 : 1)
**u= 16/45 ;  52394*x^2 - 1440*y^2 + 105812*x*z + 104788*z^2
; C5a (-37/136 : 715/96 : 1)  C5b (-1897/1532 : -115843/18384 : 1)
**u= 16/61 ;  96490*x^2 - 1952*y^2 + 194004*x*z + 192980*z^2
; C5a (23941/50987 : -2550807/203948 : 1)  C5b (-4769/2800 : -97099/11200 : 1)
**u= 16/65 ;  109594*x^2 - 2080*y^2 + 220212*x*z + 219188*z^2
; C5a (329/18 : 10091/72 : 1)  C5b (9/53 : -2373/212 : 1)
**u= 16/125 ;  405994*x^2 - 4000*y^2 + 813012*x*z + 811988*z^2
; C5a (-757/516 : 114577/10320 : 1)  C5b (-3793/628 : 130151/2512 : 1)
**u= 16/197 ;  1008778*x^2 - 6304*y^2 + 2018580*x*z + 2017556*z^2
; C5a (-38149/33909 : 1728181/135636 : 1)  C5b (-21571/18571 : -952661/74284 : 1)
**u= 20/17 ;  7114*x^2 - 680*y^2 + 15828*x*z + 14228*z^2
; C5a (-5363/3412 : 21777/6824 : 1)  C5b (-397/128 : -2147/256 : 1)
**u= 20/89 ;  205546*x^2 - 3560*y^2 + 412692*x*z + 411092*z^2
; C5a (-1307/223 : 16803/446 : 1)  C5b (-6509/9721 : -156253/19442 : 1)
**u= 32/37 ;  34570*x^2 - 2368*y^2 + 73236*x*z + 69140*z^2
; C5a (-3202/1789 : -32487/7156 : 1)  C5b (-6/127 : 2763/508 : 1)
**u= 32/65 ;  108826*x^2 - 4160*y^2 + 221748*x*z + 217652*z^2
; C5a (692/6223 : -190503/24892 : 1)  C5b (-5918/2929 : 87985/11716 : 1)
**u= 32/73 ;  137530*x^2 - 4672*y^2 + 279156*x*z + 275060*z^2
; C5a (-6260/1931 : -102045/7724 : 1)  C5b (-7036/2773 : 112411/11092 : 1)
**u= 32/113 ;  330970*x^2 - 7232*y^2 + 666036*x*z + 661940*z^2
; C5a (5588/6649 : -377301/26596 : 1)  C5b (30582/11 : -830397/44 : 1)
**u= 32/181 ;  850762*x^2 - 11584*y^2 + 1705620*x*z + 1701524*z^2
; C5a (121760/97493 : 748137/35452 : 1)  C5b (-194536/188449 : 209261/24316 : 1)
**u= 40/9 ;  506*x^2 - 720*y^2 + 7412*x*z + 1012*z^2
; C5a (22 : 143/6 : 1)  C5b (312 : -4249/6 : 1)
**u= 40/13 ;  2794*x^2 - 1040*y^2 + 11988*x*z + 5588*z^2
; C5a (-4 : 3/2 : 1)  C5b (2564/527 : -13907/1054 : 1)
**u= 40/17 ;  5914*x^2 - 1360*y^2 + 18228*x*z + 11828*z^2
; C5a (-1552/713 : 507/1426 : 1)  C5b (-2488/1447 : 12367/2894 : 1)
**u= 40/53 ;  71434*x^2 - 4240*y^2 + 149268*x*z + 142868*z^2
; C5a (34/37 : -663/74 : 1)  C5b (-4414/3981 : 11715/2654 : 1)
**u= 40/101 ;  263626*x^2 - 8080*y^2 + 533652*x*z + 527252*z^2
; C5a (-720964/822401 : -9366561/1644802 : 1)  C5b (-60644/78473 : -933001/156946 : 1)
**u= 40/149 ;  575626*x^2 - 11920*y^2 + 1157652*x*z + 1151252*z^2
; C5a (-278318/136481 : 2720751/272962 : 1)  C5b (-186068/354581 : 5484371/709162 : 1)
**u= 40/153 ;  607034*x^2 - 12240*y^2 + 1220468*x*z + 1214068*z^2
; C5a (-65424/46711 : 2112643/280266 : 1)  C5b (-165344/98841 : -5077387/593046 : 1)
**u= 52/5 ;  -2054*x^2 - 520*y^2 + 6708*x*z - 4108*z^2
; C5a (7/3 : -5/6 : 1)  C5b (39/31 : -225/62 : 1)
**u= 52/41 ;  41002*x^2 - 4264*y^2 + 92820*x*z + 82004*z^2
; C5a (-229/96 : 901/192 : 1)  C5b (-363/563 : 4197/1126 : 1)
**u= 52/97 ;  241930*x^2 - 10088*y^2 + 494676*x*z + 483860*z^2
; C5a (-447/1735 : 4217/694 : 1)  C5b (62321/81972 : 545587/54648 : 1)
**u= 52/109 ;  306202*x^2 - 11336*y^2 + 623220*x*z + 612404*z^2
; C5a (33995/9371 : -462489/18742 : 1)  C5b (-16897/37898 : 457013/75796 : 1)
**u= 52/113 ;  329290*x^2 - 11752*y^2 + 669396*x*z + 658580*z^2
; C5a (6239/1753 : -86853/3506 : 1)  C5b (-2919/1508 : -22407/3016 : 1)
**u= 52/153 ;  605930*x^2 - 15912*y^2 + 1222676*x*z + 1211860*z^2
; C5a (2239269/1340755 : -28360403/1608906 : 1)  C5b (-2221/1800 : 69457/10800 : 1)
**u= 64/41 ;  39610*x^2 - 5248*y^2 + 95604*x*z + 79220*z^2
; C5a (42053/24289 : -1617123/194312 : 1)  C5b (-1663/10 : -39953/80 : 1)
**u= 64/65 ;  105754*x^2 - 8320*y^2 + 227892*x*z + 211508*z^2
; C5a (-857/2286 : -75269/18288 : 1)  C5b (-781/751 : 23855/6008 : 1)
**u= 64/97 ;  240538*x^2 - 12416*y^2 + 497460*x*z + 481076*z^2
; C5a (75735/78899 : 6153923/631192 : 1)  C5b (89/5 : 673/8 : 1)
**u= 64/113 ;  327898*x^2 - 14464*y^2 + 672180*x*z + 655796*z^2
; C5a (-20935/13094 : -563991/104752 : 1)  C5b (6843/14855 : 202083/23768 : 1)
**u= 64/153 ;  604538*x^2 - 19584*y^2 + 1225460*x*z + 1209076*z^2
; C5a (5863/8087 : 2155417/194088 : 1)  C5b (13/210 : -8221/1008 : 1)
**u= 64/193 ;  964378*x^2 - 24704*y^2 + 1945140*x*z + 1928756*z^2
; C5a (-5547/5138 : 255271/41104 : 1)  C5b (1097/317 : 72637/2536 : 1)
**u= 68/25 ;  11626*x^2 - 3400*y^2 + 41748*x*z + 23252*z^2
; C5a (-301/914 : 16263/9140 : 1)  C5b (-4957/5890 : -194207/58900 : 1)
**u= 68/29 ;  17242*x^2 - 3944*y^2 + 52980*x*z + 34484*z^2
; C5a (-3687/3947 : -787/7894 : 1)  C5b (-2095/1796 : -12635/3592 : 1)
**u= 68/37 ;  30970*x^2 - 5032*y^2 + 80436*x*z + 61940*z^2
; C5a (-31121/35617 : -124221/71234 : 1)  C5b (-300593/294225 : 672409/196150 : 1)
**u= 68/41 ;  39082*x^2 - 5576*y^2 + 96660*x*z + 78164*z^2
; C5a (-558957/637858 : -2617379/1275716 : 1)  C5b (-150647/47653 : -736037/95306 : 1)
**u= 68/65 ;  105226*x^2 - 8840*y^2 + 228948*x*z + 210452*z^2
; C5a (13309/1501 : -103527/3002 : 1)  C5b (-14529/3487 : -85845/6974 : 1)
**u= 68/73 ;  133930*x^2 - 9928*y^2 + 286356*x*z + 267860*z^2
; C5a (3635/3659 : -60765/7318 : 1)  C5b (-71437/115315 : 969299/230630 : 1)
**u= 68/137 ;  483370*x^2 - 18632*y^2 + 985236*x*z + 966740*z^2
; C5a (-3416085/3364814 : 33608545/6729628 : 1)  C5b (-39343/43521 : 152373/29014 : 1)
**u= 72/29 ;  16682*x^2 - 4176*y^2 + 54100*x*z + 33364*z^2
; C5a (-664/259 : 1579/1554 : 1)  C5b (-2702/1983 : -44669/11898 : 1)
**u= 72/73 ;  133370*x^2 - 10512*y^2 + 287476*x*z + 266740*z^2
; C5a (-12940/49301 : 1291795/295806 : 1)  C5b (-396/2155 : 62207/12930 : 1)
**u= 72/113 ;  326810*x^2 - 16272*y^2 + 674356*x*z + 653620*z^2
; C5a (-92260/115183 : -3079765/691098 : 1)  C5b (6644/2415 : 254623/14490 : 1)
**u= 80/13 ;  -2006*x^2 - 2080*y^2 + 21588*x*z - 4012*z^2
; C5a (1411/151 : 1989/604 : 1)  C5b (3489/8089 : -104907/32356 : 1)
**u= 80/137 ;  481594*x^2 - 21920*y^2 + 988788*x*z + 963188*z^2
; C5a (-88001/131449 : 2553711/525796 : 1)  C5b (-1567/1628 : -857/176 : 1)
**u= 100/49 ;  52426*x^2 - 9800*y^2 + 144852*x*z + 104852*z^2
; C5a (-279/166 : 2287/2324 : 1)  C5b (309/77 : 14331/1078 : 1)
**u= 100/73 ;  128554*x^2 - 14600*y^2 + 297108*x*z + 257108*z^2
; C5a (9627/1942 : -71075/3884 : 1)  C5b (-567/457 : -17199/4570 : 1)
**u= 100/173 ;  768154*x^2 - 34600*y^2 + 1576308*x*z + 1536308*z^2
; C5a (753883/723237 : -77899291/7232370 : 1)  C5b (-28291/15996 : -329901/53320 : 1)
**u= 104/17 ;  -3302*x^2 - 3536*y^2 + 36660*x*z - 6604*z^2
; C5a (322/227 : 1503/454 : 1)  C5b (8/3 : -13/2 : 1)
**u= 104/29 ;  11050*x^2 - 6032*y^2 + 65364*x*z + 22100*z^2
; C5a (324/337 : 2677/674 : 1)  C5b (52/381 : 859/254 : 1)
**u= 104/45 ;  41834*x^2 - 9360*y^2 + 126932*x*z + 83668*z^2
; C5a (-148/303 : -3343/1818 : 1)  C5b (6/7 : 215/42 : 1)
**u= 104/73 ;  127738*x^2 - 15184*y^2 + 298740*x*z + 255476*z^2
; C5a (-1186/1329 : -6493/2658 : 1)  C5b (3464/2199 : 12317/1466 : 1)
**u= 104/113 ;  321178*x^2 - 23504*y^2 + 685620*x*z + 642356*z^2
; C5a (-1390/1423 : -9807/2846 : 1)  C5b (-2016/935 : -2307/374 : 1)
**u= 104/197 ;  998218*x^2 - 40976*y^2 + 2039700*x*z + 1996436*z^2
; C5a (3126/199 : 32921/398 : 1)  C5b (-6726/10625 : -22851/4250 : 1)
**u= 116/17 ;  -5942*x^2 - 3944*y^2 + 41940*x*z - 11884*z^2
; C5a (8655/4349 : -30359/8698 : 1)  C5b (-5769/2389 : 33417/4778 : 1)
**u= 116/41 ;  30250*x^2 - 9512*y^2 + 114324*x*z + 60500*z^2
; C5a (-55839/11372 : 111469/22744 : 1)  C5b (-11307/4555 : 52539/9110 : 1)
**u= 116/49 ;  48970*x^2 - 11368*y^2 + 151764*x*z + 97940*z^2
; C5a (-2447/2696 : 8187/37744 : 1)  C5b (-8567/6980 : 350041/97720 : 1)
**u= 116/85 ;  174394*x^2 - 19720*y^2 + 402612*x*z + 348788*z^2
; C5a (-1103/2938 : -19725/5876 : 1)  C5b (-725001/621566 : -4596987/1243132 : 1)
**u= 116/149 ;  563770*x^2 - 34568*y^2 + 1181364*x*z + 1127540*z^2
; C5a (-283553/350015 : -553611/140006 : 1)  C5b (-18511/13790 : -126929/27580 : 1)
**u= 116/153 ;  595178*x^2 - 35496*y^2 + 1244180*x*z + 1190356*z^2
; C5a (23855/14376 : -1012789/86256 : 1)  C5b (-9/24296 : 862901/145776 : 1)
**u= 116/157 ;  627418*x^2 - 36424*y^2 + 1308660*x*z + 1254836*z^2
; C5a (-48407/45497 : 360819/90994 : 1)  C5b (-118573/303558 : 1016153/202372 : 1)
**u= 116/185 ;  876394*x^2 - 42920*y^2 + 1806612*x*z + 1752788*z^2
; C5a (-319257/71836 : -2303579/143672 : 1)  C5b (-53279/42307 : -414877/84614 : 1)
**u= 128/61 ;  80362*x^2 - 15616*y^2 + 226260*x*z + 160724*z^2
; C5a (-1112/253 : -597/88 : 1)  C5b (-310/2959 : -86945/23672 : 1)
**u= 128/85 ;  171466*x^2 - 21760*y^2 + 408468*x*z + 342932*z^2
; C5a (-5522/1257 : -92911/10056 : 1)  C5b (1574/5493 : -71847/14648 : 1)
**u= 128/109 ;  292522*x^2 - 27904*y^2 + 650580*x*z + 585044*z^2
; C5a (-84808/38573 : -1393107/308584 : 1)  C5b (-11254/9915 : 20161/5288 : 1)
**u= 128/197 ;  992650*x^2 - 50432*y^2 + 2050836*x*z + 1985300*z^2
; C5a (221194/83867 : 11297541/670936 : 1)  C5b (6864/6013 : -509307/48104 : 1)
**u= 136/49 ;  43930*x^2 - 13328*y^2 + 161844*x*z + 87860*z^2
; C5a (-5822/1841 : 27687/25774 : 1)  C5b (1366/247 : -52931/3458 : 1)
**u= 136/61 ;  78250*x^2 - 16592*y^2 + 230484*x*z + 156500*z^2
; C5a (-66850/35477 : -3195/70954 : 1)  C5b (-205872/440161 : 2919573/880322 : 1)
**u= 136/81 ;  152090*x^2 - 22032*y^2 + 378164*x*z + 304180*z^2
; C5a (-87076/57635 : 395371/207486 : 1)  C5b (1876/485 : -123143/8730 : 1)
**u= 136/109 ;  290410*x^2 - 29648*y^2 + 654804*x*z + 580820*z^2
; C5a (-16358/14579 : -77919/29158 : 1)  C5b (77402/37631 : 786121/75262 : 1)
**u= 136/117 ;  337418*x^2 - 31824*y^2 + 748820*x*z + 674836*z^2
; C5a (21592/25503 : -1068137/153018 : 1)  C5b (-23402/17297 : -419977/103782 : 1)
**u= 136/125 ;  387754*x^2 - 34000*y^2 + 849492*x*z + 775508*z^2
; C5a (464/271 : 26967/2710 : 1)  C5b (-3862/531 : 13453/590 : 1)
**u= 136/145 ;  528154*x^2 - 39440*y^2 + 1130292*x*z + 1056308*z^2
; C5a (-40836/92281 : 754745/184562 : 1)  C5b (-2084/207589 : 2212205/415178 : 1)
**u= 136/185 ;  871354*x^2 - 50320*y^2 + 1816692*x*z + 1742708*z^2
; C5a (-62276/168573 : 1639873/337146 : 1)  C5b (-28398/109993 : -1171611/219986 : 1)
**u= 144/29 ;  1130*x^2 - 8352*y^2 + 85204*x*z + 2260*z^2
; C5a (99/20 : 353/48 : 1)  C5b (-1599/80 : -43387/960 : 1)
**u= 144/37 ;  14858*x^2 - 10656*y^2 + 112660*x*z + 29716*z^2
; C5a (3661/659 : -80861/7908 : 1)  C5b (-4937/10548 : 408691/126576 : 1)
**u= 144/65 ;  89114*x^2 - 18720*y^2 + 261172*x*z + 178228*z^2
; C5a (-199/242 : -3269/2904 : 1)  C5b (-57/11 : -1627/132 : 1)
**u= 144/73 ;  117818*x^2 - 21024*y^2 + 318580*x*z + 235636*z^2
; C5a (-20737/13143 : 176341/157716 : 1)  C5b (-6587/2630 : 37133/6312 : 1)
**u= 144/85 ;  167114*x^2 - 24480*y^2 + 417172*x*z + 334228*z^2
; C5a (-1639/1147 : 24779/13764 : 1)  C5b (-7699/12424 : 513277/149088 : 1)
**u= 144/97 ;  223898*x^2 - 27936*y^2 + 530740*x*z + 447796*z^2
; C5a (5533/12762 : 777463/153144 : 1)  C5b (121081/61349 : 6891781/736188 : 1)
**u= 148/53 ;  51130*x^2 - 15688*y^2 + 189876*x*z + 102260*z^2
; C5a (-1021/4443 : -17569/8886 : 1)  C5b (28401/20162 : -232671/40324 : 1)
**u= 148/81 ;  148682*x^2 - 23976*y^2 + 384980*x*z + 297364*z^2
; C5a (-2597/2152 : 55549/38736 : 1)  C5b (3771/140 : 39605/504 : 1)
**u= 148/145 ;  524746*x^2 - 42920*y^2 + 1137108*x*z + 1049492*z^2
; C5a (5637/46963 : -495307/93926 : 1)  C5b (344669/142068 : -1212115/94712 : 1)
**u= 160/49 ;  36826*x^2 - 15680*y^2 + 176052*x*z + 73652*z^2
; C5a (-146/29 : 2253/812 : 1)  C5b (-5728/4001 : 448243/112028 : 1)
**u= 160/89 ;  180346*x^2 - 28480*y^2 + 463092*x*z + 360692*z^2
; C5a (-682208/424261 : 2885781/1697044 : 1)  C5b (-1139798/3888131 : 56604085/15552524 : 1)
**u= 160/121 ;  355066*x^2 - 38720*y^2 + 812532*x*z + 710132*z^2
; C5a (-108878/64231 : 8533821/2826164 : 1)  C5b (-30502/22719 : 1302275/333212 : 1)
**u= 160/157 ;  615274*x^2 - 50240*y^2 + 1332948*x*z + 1230548*z^2
; C5a (-7708/10957 : -151125/43828 : 1)  C5b (84394/107889 : -1055213/143852 : 1)
**u= 160/169 ;  716986*x^2 - 54080*y^2 + 1536372*x*z + 1433972*z^2
; C5a (456/3863 : -1101233/200876 : 1)  C5b (-5482/6489 : -451957/112476 : 1)
**u= 164/49 ;  35530*x^2 - 16072*y^2 + 178644*x*z + 71060*z^2
; C5a (-343/801 : -2903/11214 : 1)  C5b (-12319/6033 : 141499/28154 : 1)
**u= 164/53 ;  46138*x^2 - 17384*y^2 + 199860*x*z + 92276*z^2
; C5a (885/547 : -6077/1094 : 1)  C5b (-1051/2180 : 2795/872 : 1)
**u= 164/81 ;  143690*x^2 - 26568*y^2 + 394964*x*z + 287380*z^2
; C5a (-2817/2795 : 11593/10062 : 1)  C5b (-39617/28755 : 1941667/517590 : 1)
**u= 164/89 ;  179050*x^2 - 29192*y^2 + 465684*x*z + 358100*z^2
; C5a (-97461/325483 : -1845839/650966 : 1)  C5b (-1487447/953454 : 2560561/635636 : 1)
**u= 164/117 ;  329018*x^2 - 38376*y^2 + 765620*x*z + 658036*z^2
; C5a (188883/52213 : -4447199/313278 : 1)  C5b (-53147/13732 : -836219/82392 : 1)
**u= 164/169 ;  715690*x^2 - 55432*y^2 + 1538964*x*z + 1431380*z^2
; C5a (2341/918 : -320741/23868 : 1)  C5b (-36901/42390 : -1460483/367380 : 1)
**u= 180/101 ;  232826*x^2 - 36360*y^2 + 595252*x*z + 465652*z^2
; C5a (-6791/5562 : 51311/33372 : 1)  C5b (-25763/25206 : -520231/151236 : 1)
**u= 180/157 ;  608474*x^2 - 56520*y^2 + 1346548*x*z + 1216948*z^2
; C5a (18749/9749 : 605539/58494 : 1)  C5b (-68379/85286 : -1929563/511716 : 1)
**u= 196/37 ;  -2822*x^2 - 14504*y^2 + 148020*x*z - 5644*z^2
; C5a (5091/1816 : 131351/25424 : 1)  C5b (303/445 : 4371/1246 : 1)
**u= 196/73 ;  100138*x^2 - 28616*y^2 + 353940*x*z + 200276*z^2
; C5a (-48417/69803 : -313909/977242 : 1)  C5b (-6251/1546 : -199753/21644 : 1)
**u= 196/113 ;  293578*x^2 - 44296*y^2 + 740820*x*z + 587156*z^2
; C5a (-3551/3006 : -69757/42084 : 1)  C5b (-25269/151 : 1018179/2114 : 1)
**u= 196/181 ;  813370*x^2 - 70952*y^2 + 1780404*x*z + 1626740*z^2
; C5a (669/355 : -10469/994 : 1)  C5b (42263/29960 : 3807493/419440 : 1)
**u= 196/193 ;  930058*x^2 - 75656*y^2 + 2013780*x*z + 1860116*z^2
; C5a (25993/13477 : 2081049/188678 : 1)  C5b (101599/28411 : -6711727/397754 : 1)
**u= 200/29 ;  -18134*x^2 - 11600*y^2 + 123732*x*z - 36268*z^2
; C5a (30224/22181 : 646881/221810 : 1)  C5b (-36198/4775 : -881577/47750 : 1)
**u= 200/181 ;  811786*x^2 - 72400*y^2 + 1783572*x*z + 1623572*z^2
; C5a (-60266/33965 : -1271517/339650 : 1)  C5b (-4532218/46990897 : 446652727/93981794 : 1)
**u= 200/197 ;  969034*x^2 - 78800*y^2 + 2098068*x*z + 1938068*z^2
; C5a (-17870/4259 : -484431/42590 : 1)  C5b (-9370/7737 : 104329/25790 : 1)
115
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A, B, C, Dを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.24
H.Nakao

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