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Integer Points on A^4+223*B^4+892*C^4=D^4

[2026.05.09]A^4+223*B^4+892*C^4=D^4の整点

■正整数nに対して、Diophantine Equation
       A^4+n*B^4+4*n*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、x=B/C,y=A/C.t=D/Cとすると、
       n*(x^4+4)+y^4=t^4
       n*(x^2+2*x+2)*(x^2-2*x+2)=(t^2+y^2)*(t^2-y^2) -----(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数uに対して、
       n*(x^2+2*x+2)=u*(t^2+y^2) ----------(3a)
       ±(x^2-2*x+2)=(1/u)*(t^2-y^2) ----------(3b±)
を満たす有理数の組(n1,n2,x,y,t)が存在すれば、(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。
(3a)より、u > 0として良い。
(3a)-u^2*(3b+)より、
       2*u*y^2=(n-u^2)*x^2+2*(n+u^2)*x+2*(n-u^2) ----------(4a+)
(3a)+u^2*(3b+)より、
       2*u*t^2=(n+u^2)*x^2+2*(n-u^2)*x+2*(n+u^2) ----------(4b+)
となる。

また、(3a)+u^2*(3b-)より、
       2*u*t^2=(n-u^2)*x^2+2*(n+u^2)*x+2*(n-u^2) ----------(4a-)
(3a)-u^2*(3b-)より、
       2*u*y^2=(n+u^2)*x^2+2*(n-u^2)*x+2*(n+u^2) ----------(4b-)
となり、それぞれ(4b+),(4a+)と一致する。
よって、(4a+),(4b+)のみ、調べれば十分である。

[pari/gpによる計算]
gp >  YY2(n,u,x)
%1 = (1/(2*u)*n - 1/2*u)*x^2 + (1/u*n + u)*x + (1/u*n - u)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = (1/(2*u)*n + 1/2*u)*x^2 + (1/u*n - u)*x + (1/u*n + u)
gp > n*(x^4+4)+YY2(n,u,x)^2-TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 0

■２次曲線(4a+),(4b+)は、常にnon-singularである。
２次曲線(4a+)の右辺の判別式は
    4*(n-u^2)^2-4*2*(n+u^2)^2=-4*(n^2-6*n*u^2+u^4)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(4b+)の右辺の判別式は
    4*(n+u^2)^2-4*2*(n-u^2)^2=-4*(n^2+6*n*u^2+u^4)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■以下では、n=223とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが600以下の範囲で、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように26個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(223,1,600);
**u= 223/61 ;  780054*x^2 - 27206*y^2 + 1759024*x*z + 1560108*z^2
; C4a (-1087/798 : 1261/266 : 1)  C4b (-59/112 : 369/56 : 1)
**u= 223/109 ;  2599734*x^2 - 48614*y^2 + 5398384*x*z + 5199468*z^2
; C4a (-1229/1016 : -7247/1016 : 1)  C4b (70/209 : 2586/209 : 1)
**u= 223/113 ;  2797758*x^2 - 50398*y^2 + 5794432*x*z + 5595516*z^2
; C4a (-11459/21780 : 58937/7260 : 1)  C4b (1483/112 : -108 : 1)
**u= 223/125 ;  3434646*x^2 - 55750*y^2 + 7068208*x*z + 6869292*z^2
; C4a (-137/96 : -1317/160 : 1)  C4b (-12609/24032 : 535981/60080 : 1)
**u= 223/173 ;  6624438*x^2 - 77158*y^2 + 13447792*x*z + 13248876*z^2
; C4a (-403/1646 : -19067/1646 : 1)  C4b (-5022/1787 : -34834/1787 : 1)
**u= 223/193 ;  8256798*x^2 - 86078*y^2 + 16712512*x*z + 16513596*z^2
; C4a (-2567/710 : -19363/710 : 1)  C4b (-43918/517081 : -6909594/517081 : 1)
**u= 223/197 ;  8604678*x^2 - 87862*y^2 + 17408272*x*z + 17209356*z^2
; C4a (-2793/2690 : 26319/2690 : 1)  C4b (-1625/33316 : -228897/16658 : 1)
**u= 223/277 ;  17060838*x^2 - 123542*y^2 + 34320592*x*z + 34121676*z^2
; C4a (-73617/19550 : -673911/19550 : 1)  C4b (-6389/7484 : -44787/3742 : 1)
**u= 223/337 ;  25276158*x^2 - 150302*y^2 + 50751232*x*z + 50552316*z^2
; C4a (-667859/215054 : -6485951/215054 : 1)  C4b (-6317/2104 : -15333/526 : 1)
**u= 223/397 ;  35097078*x^2 - 177062*y^2 + 70393072*x*z + 70194156*z^2
; C4a (-1697/4452 : 24551/1484 : 1)  C4b (-118093/1193528 : 11327241/596764 : 1)
**u= 223/405 ;  36527846*x^2 - 180630*y^2 + 73254608*x*z + 73055692*z^2
; C4a (-1317/592 : 119503/5328 : 1)  C4b (-758/459 : 70426/4131 : 1)
**u= 223/425 ;  40229646*x^2 - 189550*y^2 + 80658208*x*z + 80459292*z^2
; C4a (-5659/1238 : -334147/6190 : 1)  C4b (107/4 : -405 : 1)
**u= 223/585 ;  76266446*x^2 - 260910*y^2 + 152731808*x*z + 152532892*z^2
; C4a (3123/1762 : 266429/5286 : 1)  C4b (-1009/314 : 19585/471 : 1)
**u= 446/17 ;  -134469*x^2 - 15164*y^2 + 526726*x*z - 268938*z^2
; C4a (9/14 : -27/28 : 1)  C4b (5 : -39/2 : 1)
**u= 446/37 ;  106371*x^2 - 33004*y^2 + 1008406*x*z + 212742*z^2
; C4a (-611/63 : 51/14 : 1)  C4b (30657/30787 : -26149/3622 : 1)
**u= 446/41 ;  175947*x^2 - 36572*y^2 + 1147558*x*z + 351894*z^2
; C4a (-31 : 121/2 : 1)  C4b (-709/514 : 7119/1028 : 1)
**u= 446/61 ;  630867*x^2 - 54412*y^2 + 2057398*x*z + 1261734*z^2
; C4a (-2207/544 : -8471/1088 : 1)  C4b (-1693/901 : -14073/1802 : 1)
**u= 446/73 ;  989451*x^2 - 65116*y^2 + 2774566*x*z + 1978902*z^2
; C4a (-1417/98 : 9977/196 : 1)  C4b (-3323/1589 : -27009/3178 : 1)
**u= 446/109 ;  2450547*x^2 - 97228*y^2 + 5696758*x*z + 4901094*z^2
; C4a (1003/265 : 13337/530 : 1)  C4b (-3215/319 : 32067/638 : 1)
**u= 446/197 ;  8455491*x^2 - 175724*y^2 + 17706646*x*z + 16910982*z^2
; C4a (-3211/7339 : 114977/14678 : 1)  C4b (-1075685/967472 : 14485827/1934944 : 1)
**u= 446/261 ;  14992067*x^2 - 232812*y^2 + 30779798*x*z + 29984134*z^2
; C4a (-41/37 : -47/6 : 1)  C4b (8185/4964 : 681977/29784 : 1)
**u= 446/337 ;  25126971*x^2 - 300604*y^2 + 51049606*x*z + 50253942*z^2
; C4a (-4841/778 : 75379/1556 : 1)  C4b (-26471/25478 : 477441/50956 : 1)
**u= 446/425 ;  40080459*x^2 - 379100*y^2 + 80956582*x*z + 80160918*z^2
; C4a (-587/1193 : 137051/11930 : 1)  C4b (-825889/103650 : 75513961/1036500 : 1)
**u= 446/449 ;  44758107*x^2 - 400508*y^2 + 90311878*x*z + 89516214*z^2
; C4a (4063/38015 : -1199453/76030 : 1)  C4b (-1283/7766 : 215019/15532 : 1)
**u= 446/521 ;  60332427*x^2 - 464732*y^2 + 121460518*x*z + 120664854*z^2
; C4a (89727849/102336386 : 4965590619/204672772 : 1)  C4b (-58507/29597 : 952167/59194 : 1)
**u= 446/533 ;  63152931*x^2 - 475436*y^2 + 127101526*x*z + 126305862*z^2
; C4a (316247/756517 : 30284513/1513034 : 1)  C4b (-22559/7171 : -393933/14342 : 1)
26
>

■これらのuについて、(3),(4a+),(4b+)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A, B, C, Dを満たすように、A,B,C,Dの符号を変更して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.10
H.Nakao

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