Integer Points on A^4+B^4+C^4=1956242*D^4
[2026.01.22]A^4+B^4+C^4=1956242*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
1956242=2*989^2であるので、以下では、n=989とする。
■n=989のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=989;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように97個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(989,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
(1 : -2 : 1) C2b (24/85 : -1/17 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
(40591/47221 : -3916/47221 : 1) C1b (533993/1041995 : -5733/208399 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
(-7/3 : -14/3 : 1) C1a (-19/17 : -1/17 : 1)
** u= 3/109 ; tau(u)= 215/106 ; -22463*x^2 + 23753*y^2 + 46234*x*z - 22463*z^2
(128047/191015 : 49018/191015 : 1) C1b (25280/23893 : 783/23893 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
(-61/4 : -75/4 : 1) C2b (-9400/1348903 : -46937/1348903 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
(-5 : 4 : 1) C1b (485/79 : 13/79 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
(16243/11791 : 5662/11791 : 1) C2b (1000800/705647 : -28379/705647 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
(-137/187 : -138/187 : 1) C1b (1627/1641 : -71/1641 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
(5/3 : 92/51 : 1) C2b (205/1108 : -747/18836 : 1)
** u= -7/61 ; tau(u)= 129/68 ; -9199*x^2 + 7393*y^2 + 16690*x*z - 9199*z^2
(-209/789 : -1096/789 : 1) C2b (-1028956/2023483 : -92201/2023483 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
(17377/26853 : 1598/26853 : 1) C1b (-1179979/104872 : -37709/104872 : 1)
** u= -7/153 ; tau(u)= 313/160 ; -51151*x^2 + 46769*y^2 + 98018*x*z - 51151*z^2
(5491/19333 : 14808/19333 : 1) C2b (4535852/7988255 : -222131/7988255 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
(17/43 : 18/43 : 1) C1a (-11/32 : -1/32 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
(149/8615 : 34632/8615 : 1) C2b (51115/5284 : 5177/5284 : 1)
** u= 11/45 ; tau(u)= 79/34 ; -2191*x^2 + 3929*y^2 + 6362*x*z - 2191*z^2
(1205/401 : 342/401 : 1) C1b (48368/61053 : 1817/61053 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
(79/1393 : -144/199 : 1) C1b (6051940/2283039 : 162871/2283039 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
(-46883/215739 : -338432/215739 : 1) C2b (-296644/296129 : 20247/296129 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
(-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1) C1b (49111600/58453 : 1449343/58453 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
(1/5 : -4/5 : 1) C1a (-31645/6191 : -847/6191 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
(91/326 : -109/326 : 1) C1b (593455/211739 : 15933/211739 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
(-29/3351 : -27170/23457 : 1) C2b (24433813/11009928 : -4907557/77069496 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
(-101/107 : -324/107 : 1) C1a (139531/93756 : -1811/7212 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
(20317/15223 : 18548/15223 : 1) C2b (1796/126733 : -5153/126733 : 1)
** u= 32/37 ; tau(u)= 42/5 ; 974*x^2 + 1714*y^2 + 2788*x*z + 974*z^2
(-9/22 : 1/22 : 1) C1b (28436/17999 : -27/439 : 1)
** u= 32/49 ; tau(u)= 66/17 ; 446*x^2 + 3778*y^2 + 5380*x*z + 446*z^2
(-178/291 : -245/291 : 1) C1b (4511860/240381 : 121765/240381 : 1)
** u= 32/157 ; tau(u)= 282/125 ; -30226*x^2 + 48274*y^2 + 80548*x*z - 30226*z^2
(129717/1594973 : 1121680/1594973 : 1) C1b (3004025/535557 : 82679/535557 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
(-1/583 : 15956/9911 : 1) C1a (-16996/7579 : 10071/128843 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
(99583/15937 : 128916/15937 : 1) C2b (2404724/1504725 : -76093/1504725 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
(-537/451 : 128/451 : 1) C1b (-2771/12084 : -343/12084 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
(5/4 : -1/4 : 1) C1a (199492/443185 : -12121/443185 : 1)
** u= 42/5 ; tau(u)= 32/37 ; -974*x^2 - 1714*y^2 + 2788*x*z - 974*z^2
(141/59 : 16/59 : 1) C1a (-43235/10676 : -81/628 : 1)
** u= 43/101 ; tau(u)= 159/58 ; -4879*x^2 + 18553*y^2 + 27130*x*z - 4879*z^2
(76871/10871 : 2722/1553 : 1) C1b (1518360/1066481 : 45985/1066481 : 1)
** u= 48/85 ; tau(u)= 122/37 ; -434*x^2 + 12146*y^2 + 17188*x*z - 434*z^2
(5591/224853 : -5354/224853 : 1) C1b (2175379/606479 : 60009/606479 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
(-1383/98507 : 27748/98507 : 1) C1b (-2727117/302980 : -73771/302980 : 1)
** u= -51/181 ; tau(u)= 413/232 ; -105047*x^2 + 62921*y^2 + 173170*x*z - 105047*z^2
(-469/4513 : 6340/4513 : 1) C2b (-550140401/14248853 : 20847717/14248853 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
(34506/9101 : 4001/9101 : 1) C1b (3219320/3701783 : 117435/3701783 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
(78/241 : 935/9881 : 1) C1b (-42233/16224 : -57049/665184 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
(-274/449 : 285/449 : 1) C1a (-51595/50144 : 1639/50144 : 1)
** u= -55/153 ; tau(u)= 361/208 ; -83503*x^2 + 43793*y^2 + 133346*x*z - 83503*z^2
(-33275/14731 : 63384/14731 : 1) C2b (9779961/18355756 : 565513/18355756 : 1)
** u= -56/81 ; tau(u)= 218/137 ; -34402*x^2 + 9986*y^2 + 50660*x*z - 34402*z^2
(4811/983759 : 1819368/983759 : 1) C2b (-51155065/2728019 : -2686405/2728019 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
(9487/703 : 4740/703 : 1) C1b (19135780/5663247 : 513023/5663247 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
(7209/41819 : -53536/41819 : 1) C2b (-3359657172/60097331 : -140032453/60097331 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
(24/815 : -3269/815 : 1) C2b (250627/63695 : 23079/63695 : 1)
** u= 66/17 ; tau(u)= 32/49 ; -446*x^2 - 3778*y^2 + 5380*x*z - 446*z^2
(5951/20649 : -10976/20649 : 1) C1a (-554196777/47840701 : -15030949/47840701 : 1)
** u= -68/197 ; tau(u)= 462/265 ; -135826*x^2 + 72994*y^2 + 218068*x*z - 135826*z^2
(98541/71458 : 80833/71458 : 1) C2b (-254424/352819 : -21323/352819 : 1)
** u= 71/153 ; tau(u)= 235/82 ; -8407*x^2 + 41777*y^2 + 60266*x*z - 8407*z^2
(10799/88427 : 14814/88427 : 1) C1b (-6310405/575441 : 173269/575441 : 1)
** u= -71/185 ; tau(u)= 441/256 ; -126031*x^2 + 63409*y^2 + 199522*x*z - 126031*z^2
(1123/54429 : -75488/54429 : 1) C2b (8657925/18015964 : -567541/18015964 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
(752/937 : 20403/6559 : 1) C2b (-283192/41859 : 256919/293013 : 1)
** u= -77/125 ; tau(u)= 327/202 ; -75679*x^2 + 25321*y^2 + 112858*x*z - 75679*z^2
(-31203/472877 : -858490/472877 : 1) C2b (-6572408/147865 : -316737/147865 : 1)
** u= 79/34 ; tau(u)= 11/45 ; 2191*x^2 - 3929*y^2 + 6362*x*z + 2191*z^2
(2623/19121 : -16998/19121 : 1) C1a (-124263/36328 : 3343/36328 : 1)
** u= 79/153 ; tau(u)= 227/74 ; -4711*x^2 + 40577*y^2 + 57770*x*z - 4711*z^2
(-2209603/59070449 : 24320850/59070449 : 1) C1b (-4471168/1407191 : 128659/1407191 : 1)
** u= 83/181 ; tau(u)= 279/98 ; -12319*x^2 + 58633*y^2 + 84730*x*z - 12319*z^2
(-48053/910999 : 487970/910999 : 1) C1b (1955072/2875569 : 87403/2875569 : 1)
** u= 84/145 ; tau(u)= 206/61 ; -386*x^2 + 34994*y^2 + 49492*x*z - 386*z^2
(-5636/31145 : -16103/31145 : 1) C1b (-29486312/1678583 : -790083/1678583 : 1)
** u= 88/137 ; tau(u)= 186/49 ; 2942*x^2 + 29794*y^2 + 42340*x*z + 2942*z^2
(-2279/32337 : -980/32337 : 1) C1b (-856343/1546781 : -45973/1546781 : 1)
** u= 100/137 ; tau(u)= 174/37 ; 7262*x^2 + 27538*y^2 + 40276*x*z + 7262*z^2
(-753/142 : -275/994 : 1) C1b (-104/3595 : 681/25165 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
(763/123328 : -175/2624 : 1) C1b (125535952/21422995 : 3400101/21422995 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
(-10351/25511 : -1104/25511 : 1) C1b (37750327/2770140 : 222329/554028 : 1)
** u= -104/81 ; tau(u)= 266/185 ; -57634*x^2 + 2306*y^2 + 81572*x*z - 57634*z^2
(103/346 : 1413/346 : 1) C2b (1844293/84145 : 238819/84145 : 1)
** u= -112/121 ; tau(u)= 354/233 ; -96034*x^2 + 16738*y^2 + 137860*x*z - 96034*z^2
(18002/4593 : 36047/4593 : 1) C2b (-690060/839677 : -90995/839677 : 1)
** u= 116/121 ; tau(u)= 126/5 ; 13406*x^2 + 15826*y^2 + 29332*x*z + 13406*z^2
(-2603/3656 : 759/3656 : 1) C1b (-4975336/272815 : -148667/272815 : 1)
** u= 121/125 ; tau(u)= 129/4 ; 14609*x^2 + 16609*y^2 + 31282*x*z + 14609*z^2
(-3535/2603 : 616/2603 : 1) C1b (125684/379875 : -13961/379875 : 1)
** u= 122/37 ; tau(u)= 48/85 ; 434*x^2 - 12146*y^2 + 17188*x*z + 434*z^2
(85/178 : -151/178 : 1) C1a (-45167/365227 : -9813/365227 : 1)
** u= 126/5 ; tau(u)= 116/121 ; -13406*x^2 - 15826*y^2 + 29332*x*z - 13406*z^2
(393/256 : 11/256 : 1) C1a (-375248/87337 : 12929/87337 : 1)
** u= -128/101 ; tau(u)= 330/229 ; -88498*x^2 + 4018*y^2 + 125284*x*z - 88498*z^2
(2661/2885 : 69968/20195 : 1) C2b (-154668/52745 : 171841/369215 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
(-3593/1595 : 36/1595 : 1) C1b (221695/50564 : 7099/50564 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
(-3337/503 : -8016/503 : 1) C2b (1613524/1442757 : -70621/1442757 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
(719/431 : 880/431 : 1) C2b (20579524/7367265 : 807257/7367265 : 1)
** u= 129/4 ; tau(u)= 121/125 ; -14609*x^2 - 16609*y^2 + 31282*x*z - 14609*z^2
(19631/26239 : -5060/26239 : 1) C1a (1311548/608485 : 35787/608485 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
(-349/27159 : -5516/27159 : 1) C1a (94289369/14261989 : 2567913/14261989 : 1)
** u= 129/68 ; tau(u)= -7/61 ; 9199*x^2 - 7393*y^2 + 16690*x*z + 9199*z^2
(-23459/19257 : -11240/19257 : 1) C1a (-1503908/1024465 : -8581/204893 : 1)
** u= -132/97 ; tau(u)= 326/229 ; -87458*x^2 + 1394*y^2 + 123700*x*z - 87458*z^2
(27/122 : 829/122 : 1) C2b (638152/160271 : -113727/160271 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
(116/1119 : 4105/1119 : 1) C2b (1910200/537401 : -166671/537401 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
(227/499 : -120/499 : 1) C1a (-165674644/7809105 : 965801/1561821 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
(-18813/139661 : -24800/139661 : 1) C1b (-11235844/15729735 : 98423/3145947 : 1)
** u= 140/193 ; tau(u)= 246/53 ; 13982*x^2 + 54898*y^2 + 80116*x*z + 13982*z^2
(-7713/35228 : 8081/35228 : 1) C1b (1994413/302088 : -56189/302088 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
(-65107/357717 : 407008/357717 : 1) C1a (97871/100 : 3723/100 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
(3257/12745 : 13248/12745 : 1) C1a (221695/50564 : 7099/50564 : 1)
** u= 147/157 ; tau(u)= 167/10 ; 21409*x^2 + 27689*y^2 + 49498*x*z + 21409*z^2
(-33283/20869 : 6958/20869 : 1) C1b (-3413840/1762457 : -92931/1762457 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
(-63077/63853 : -50344/63853 : 1) C1b (-42695932/1475249 : -1187253/1475249 : 1)
** u= -152/125 ; tau(u)= 402/277 ; -130354*x^2 + 8146*y^2 + 184708*x*z - 130354*z^2
(41303/37923 : -121640/37923 : 1) C2b (4866099/377324 : 493321/377324 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
(-610/2699 : -1153/2699 : 1) C1a (-67186583/2993980 : 1879821/2993980 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
(219/964 : -4627/964 : 1) C1a (959681/590459 : 157683/590459 : 1)
** u= 159/58 ; tau(u)= 43/101 ; 4879*x^2 - 18553*y^2 + 27130*x*z + 4879*z^2
(-183/1111 : 190/1111 : 1) C1a (-238067/28696 : -6379/28696 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
(823/985 : -576/985 : 1) C1a (6051940/2283039 : 162871/2283039 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
(15/11 : -26/11 : 1) C2b (241097440/89685557 : 12678951/89685557 : 1)
** u= 167/10 ; tau(u)= 147/157 ; -21409*x^2 - 27689*y^2 + 49498*x*z - 21409*z^2
(2949/4651 : -1034/4651 : 1) C1a (481880/96083 : -13491/96083 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
(13053/73843 : -60740/10549 : 1) C2b (183366140/43586919 : 27114721/43586919 : 1)
** u= -168/157 ; tau(u)= 482/325 ; -183026*x^2 + 21074*y^2 + 260548*x*z - 183026*z^2
(-123016/5320071 : 15938425/5320071 : 1) C2b (-3805123/2322433 : -449241/2322433 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
(65479/50449 : 109194/50449 : 1) C1a (1341144/1709887 : -79969/1709887 : 1)
** u= 172/185 ; tau(u)= 198/13 ; 29246*x^2 + 38866*y^2 + 68788*x*z + 29246*z^2
(-1133/1808 : -447/1808 : 1) C1b (-1362976/326679 : 37669/326679 : 1)
** u= 174/37 ; tau(u)= 100/137 ; -7262*x^2 - 27538*y^2 + 40276*x*z - 7262*z^2
(12739/48396 : 108725/338772 : 1) C1a (20072/26323 : 5727/184261 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
(21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1) C2b (-2634248740/85679729 : 167349309/85679729 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
(135463/95547 : -318868/95547 : 1) C1a (8159/2148 : 397/2148 : 1)
** u= 186/49 ; tau(u)= 88/137 ; -2942*x^2 - 29794*y^2 + 42340*x*z - 2942*z^2
(4/11 : 7/11 : 1) C1a (-185964/470023 : -13867/470023 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
(83809/260225 : 484524/260225 : 1) C1a (-77545671/4598381 : 3080197/4598381 : 1)
** u= 198/13 ; tau(u)= 172/185 ; -29246*x^2 - 38866*y^2 + 68788*x*z - 29246*z^2
(900/521 : -127/521 : 1) C1a (-902793/321893 : -32297/321893 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
(-269/126 : 6131/882 : 1) C1a (3773248/2456281 : 4723559/17193967 : 1)
97
>
ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
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- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2026.01.22 |
| H.Nakao |