Integer Points on A^4+B^4+C^4=3362*D^4

[2025.10.13]A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■平方因子を持たない正整数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■(1)およびC!=0より、x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

ここで、ある有理数uに対して、
       (u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、その(x,y,t)が(2)を満たすことが分かる。

(3a)の右辺の２次式の判別式は、
      4*(u^2-2*u+2)^2-4*(-u^2+4*u-2)^2=4*u*(u-1)*(u-2)
であるので、２次曲線(3a)がsingular(２本の直線)になるのは、u=0,1,2のとき、また、そのときに限る。

(i)u=0のとき、(3a)は、
       y^2=(x+1)^2
       y=±(x+1)
となるので、(2)より、
       x^4 +2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 1=n^2*t^4 -----(*)
       (x^2 + x + 1)^2=(n*t^2)^2
       x^2 + x + 1=±(n*t^2)
n > 0なので、右辺の復号±のうち、+のみが成立する。よって、
       x^2 + x + 1=n*t^2　--------(**)
となる。
２次曲線(**)が有理点を持つかどうかの議論が必要である。

(ii)u=1のとき、(3a)は、
       -y^2=(x+1)^2
となり、有理点を持たない。

(iii)u=2のとき、(3a)は、
       y^2=(x-1)^2
       y=±(x-1)
となるので、(2)より、
       x^4 -2*x^3 + 3*x^2 ^ 2*x + 1=n^2*t^4
となり、これは、(*)のxを-xで置き換えたものであるので、(*)または(**)に帰着できる。

以下では、u!=0,1,2のとき、つまり、(3a)がnon-singularである場合のみを考察する。

■２次曲線(3a),(3b±)は、u,xの変換τ(u,x)=((u-2)/(u-1),-x)に対する対称性を持つ。
ここで、τ(τ(u,v))=τ((u-2)/(u-1),-x))=(u,x)である。つまり、τはinvolutionである。
(3a)をinvolution τで変換すると、不変であり、(3b+),(3b-)をτで変換すると、それぞれ(3b-),(3b+)になる。
よって、有理数uとτ(u)=(u-2)/(u-1)のどちらか一方(例えば、高さが大ききくない方)について、(3a),(3b±)が有理点を持つかどうか調べれば良い。

[pari/gpによる計算]

(02:59) gp > YY2(u,x)-YY2((u-2)/(u-1),-x)
%39 = 0
(07:07) gp > TT2(n,u,x)+TT2(n,(u-2)/(u-1),-x)
%40 = 0

3362=2*41^2であるので、以下では、n=41の場合について、議論する。

■n=41のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=41;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
さらに、(3a),(3b±)を共に満たす有理数(x,y,t)が存在すれば、2次曲線(3a)が有理点を持ち、かつ、(3b+)と(3b-)の少なくとも一方が有理点を持つ。

例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように144個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a),(3b±)を共に満たす有理数(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(41,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
  (347/237 : -32/237 : 1)  C1b
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
  (-523/244295 : -240208/244295 : 1)  C1b
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a
** u= 4/17 ; tau(u)= 30/13 ; -322*x^2 + 562*y^2 + 916*x*z - 322*z^2
  (9/22 : -1/22 : 1)  C1b
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b
** u= -4/49 ; tau(u)= 102/53 ; -5602*x^2 + 4786*y^2 + 10420*x*z - 5602*z^2
  (88/81 : -35/81 : 1)  C2b
** u= 4/173 ; tau(u)= 342/169 ; -57106*x^2 + 59842*y^2 + 116980*x*z - 57106*z^2
  (45732/59503 : 7423/59503 : 1)  C1b
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b
** u= 8/25 ; tau(u)= 42/17 ; -514*x^2 + 1186*y^2 + 1828*x*z - 514*z^2
  (-151/14 : 115/14 : 1)  C1b
** u= -8/45 ; tau(u)= 98/53 ; -5554*x^2 + 3986*y^2 + 9668*x*z - 5554*z^2
  (172/241 : -147/241 : 1)  C2b
** u= 8/81 ; tau(u)= 154/73 ; -10594*x^2 + 13058*y^2 + 23780*x*z - 10594*z^2
  (1973/7193 : -4392/7193 : 1)  C1b
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a
** u= -11/149 ; tau(u)= 309/160 ; -51079*x^2 + 44281*y^2 + 95602*x*z - 51079*z^2
  (-16633/5217 : 23192/5217 : 1)  C2b
** u= 12/109 ; tau(u)= 206/97 ; -18674*x^2 + 23618*y^2 + 42580*x*z - 18674*z^2
  (-67/12586 : 78815/88102 : 1)  C1b
** u= -12/185 ; tau(u)= 382/197 ; -77474*x^2 + 68306*y^2 + 146068*x*z - 77474*z^2
  (311/402 : -1121/2814 : 1)  C2b
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b
** u= 15/17 ; tau(u)= 19/2 ; 217*x^2 + 353*y^2 + 586*x*z + 217*z^2
  (-2563/5209 : -1202/5209 : 1)  C1b
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
  (78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1)  C1b
** u= -16/97 ; tau(u)= 210/113 ; -25282*x^2 + 18562*y^2 + 44356*x*z - 25282*z^2
  (-1115/271 : -1586/271 : 1)  C2b
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b
** u= 19/2 ; tau(u)= 15/17 ; -217*x^2 - 353*y^2 + 586*x*z - 217*z^2
  (5/3 : -2/3 : 1)  C1a
** u= 19/149 ; tau(u)= 279/130 ; -33439*x^2 + 44041*y^2 + 78202*x*z - 33439*z^2
  (7299/4079 : 466/4079 : 1)  C1b
** u= -19/193 ; tau(u)= 405/212 ; -89527*x^2 + 74137*y^2 + 164386*x*z - 89527*z^2
  (269/163 : -1044/1141 : 1)  C2b
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b
** u= 20/109 ; tau(u)= 198/89 ; -15442*x^2 + 23362*y^2 + 39604*x*z - 15442*z^2
  (-899/770 : -207/110 : 1)  C1b
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b
** u= -28/153 ; tau(u)= 334/181 ; -64738*x^2 + 46034*y^2 + 112340*x*z - 64738*z^2
  (18401/5756 : -16257/5756 : 1)  C2b
** u= 29/49 ; tau(u)= 69/20 ; 41*x^2 + 3961*y^2 + 5602*x*z + 41*z^2
  (-95/12687 : 196/12687 : 1)  C1b
** u= 30/13 ; tau(u)= 4/17 ; 322*x^2 - 562*y^2 + 916*x*z + 322*z^2
  (-324/107 : 101/107 : 1)  C1a
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b
** u= -32/117 ; tau(u)= 266/149 ; -43378*x^2 + 26354*y^2 + 71780*x*z - 43378*z^2
  (4453/4972 : 3609/4972 : 1)  C2b
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
  (87/47 : 128/47 : 1)  C1a
** u= -37/181 ; tau(u)= 399/218 ; -93679*x^2 + 64153*y^2 + 160570*x*z - 93679*z^2
  (-13631/8029 : 25286/8029 : 1)  C2b
** u= 40/113 ; tau(u)= 186/73 ; -9058*x^2 + 23938*y^2 + 36196*x*z - 9058*z^2
  (1085/8289 : 3584/8289 : 1)  C1b
** u= 42/17 ; tau(u)= 8/25 ; 514*x^2 - 1186*y^2 + 1828*x*z + 514*z^2
  (-157/721 : 248/721 : 1)  C1a
** u= -43/153 ; tau(u)= 349/196 ; -74983*x^2 + 44969*y^2 + 123650*x*z - 74983*z^2
  (-46909/149 : -60732/149 : 1)  C2b
** u= 44/169 ; tau(u)= 294/125 ; -29314*x^2 + 55186*y^2 + 88372*x*z - 29314*z^2
  (-3998/253 : 3185/253 : 1)  C1b
** u= 48/193 ; tau(u)= 338/145 ; -39746*x^2 + 72194*y^2 + 116548*x*z - 39746*z^2
  (15393/1559 : -9646/1559 : 1)  C1b
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b
** u= -52/73 ; tau(u)= 198/125 ; -28546*x^2 + 7954*y^2 + 41908*x*z - 28546*z^2
  (602/843 : -1085/843 : 1)  C2b
** u= 52/137 ; tau(u)= 222/85 ; -11746*x^2 + 34834*y^2 + 51988*x*z - 11746*z^2
  (391/4038 : -1787/4038 : 1)  C1b
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a
** u= -55/49 ; tau(u)= 153/104 ; -18607*x^2 + 1777*y^2 + 26434*x*z - 18607*z^2
  (-1/181 : 588/181 : 1)  C2b
** u= -56/89 ; tau(u)= 234/145 ; -38914*x^2 + 12706*y^2 + 57892*x*z - 38914*z^2
  (24903/68491 : 92168/68491 : 1)  C2b
** u= 56/145 ; tau(u)= 234/89 ; -12706*x^2 + 38914*y^2 + 57892*x*z - 12706*z^2
  (-4351/433281 : 253196/433281 : 1)  C1b
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b
** u= -61/117 ; tau(u)= 295/178 ; -59647*x^2 + 23657*y^2 + 90746*x*z - 59647*z^2
  (163435/1673839 : -2466186/1673839 : 1)  C2b
** u= -64/49 ; tau(u)= 162/113 ; -21442*x^2 + 706*y^2 + 30340*x*z - 21442*z^2
  (-19/86 : 553/86 : 1)  C2b
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b
** u= -64/157 ; tau(u)= 378/221 ; -93586*x^2 + 45202*y^2 + 146980*x*z - 93586*z^2
  (-122/49 : -235/49 : 1)  C2b
** u= -64/169 ; tau(u)= 402/233 ; -104482*x^2 + 53026*y^2 + 165700*x*z - 104482*z^2
  (81143/30651 : -4940/1803 : 1)  C2b
** u= -67/61 ; tau(u)= 189/128 ; -28279*x^2 + 2953*y^2 + 40210*x*z - 28279*z^2
  (-271/511 : 2256/511 : 1)  C2b
** u= -67/81 ; tau(u)= 229/148 ; -39319*x^2 + 8633*y^2 + 56930*x*z - 39319*z^2
  (1073/11243 : 22392/11243 : 1)  C2b
** u= 67/101 ; tau(u)= 135/34 ; 2177*x^2 + 15913*y^2 + 22714*x*z + 2177*z^2
  (-428387/713321 : 83478/101903 : 1)  C1b
** u= 69/20 ; tau(u)= 29/49 ; -41*x^2 - 3961*y^2 + 5602*x*z - 41*z^2
  (107/2203 : 532/2203 : 1)  C1a
** u= 76/113 ; tau(u)= 150/37 ; 3038*x^2 + 19762*y^2 + 28276*x*z + 3038*z^2
  (-899/8232 : 31/1176 : 1)  C1b
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b
** u= -76/193 ; tau(u)= 462/269 ; -138946*x^2 + 68722*y^2 + 219220*x*z - 138946*z^2
  (-261804/3787507 : -5683805/3787507 : 1)  C2b
** u= 76/197 ; tau(u)= 318/121 ; -23506*x^2 + 71842*y^2 + 106900*x*z - 23506*z^2
  (-81883/626328 : 454817/626328 : 1)  C1b
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
  (-14779/36579 : 21064/36579 : 1)  C1b
** u= -79/153 ; tau(u)= 385/232 ; -101407*x^2 + 40577*y^2 + 154466*x*z - 101407*z^2
  (-775/18251 : 29796/18251 : 1)  C2b
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b
** u= -84/101 ; tau(u)= 286/185 ; -61394*x^2 + 13346*y^2 + 88852*x*z - 61394*z^2
  (659/280 : -1063/280 : 1)  C2b
** u= 88/117 ; tau(u)= 146/29 ; 6062*x^2 + 19634*y^2 + 29060*x*z + 6062*z^2
  (-40897/67007 : -46404/67007 : 1)  C1b
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b
** u= 91/149 ; tau(u)= 207/58 ; 1553*x^2 + 36121*y^2 + 51130*x*z + 1553*z^2
  (-659/3361 : 1622/3361 : 1)  C1b
** u= -91/181 ; tau(u)= 453/272 ; -139687*x^2 + 57241*y^2 + 213490*x*z - 139687*z^2
  (1166807/2368673 : 2589616/2368673 : 1)  C2b
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a
** u= -95/149 ; tau(u)= 393/244 ; -110047*x^2 + 35377*y^2 + 163474*x*z - 110047*z^2
  (11575/13669 : -16336/13669 : 1)  C2b
** u= 98/53 ; tau(u)= -8/45 ; 5554*x^2 - 3986*y^2 + 9668*x*z + 5554*z^2
  (-3877/2269 : -2604/2269 : 1)  C1a
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b
** u= 102/53 ; tau(u)= -4/49 ; 5602*x^2 - 4786*y^2 + 10420*x*z + 5602*z^2
  (-2432/4917 : -3031/4917 : 1)  C1a
** u= -104/125 ; tau(u)= 354/229 ; -94066*x^2 + 20434*y^2 + 136132*x*z - 94066*z^2
  (-1577/3783 : 10820/3783 : 1)  C2b
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
  (-1583/473 : 1076/473 : 1)  C1a
** u= -112/117 ; tau(u)= 346/229 ; -92338*x^2 + 14834*y^2 + 132260*x*z - 92338*z^2
  (-1187/1987 : 7374/1987 : 1)  C2b
** u= 116/121 ; tau(u)= 126/5 ; 13406*x^2 + 15826*y^2 + 29332*x*z + 13406*z^2
  (-2603/3656 : 759/3656 : 1)  C1b
** u= -116/149 ; tau(u)= 414/265 ; -126994*x^2 + 30946*y^2 + 184852*x*z - 126994*z^2
  (-1510/2383 : 7359/2383 : 1)  C2b
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b
** u= -119/89 ; tau(u)= 297/208 ; -72367*x^2 + 1681*y^2 + 102370*x*z - 72367*z^2
  (51/509 : -3112/509 : 1)  C2b
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b
** u= -120/101 ; tau(u)= 322/221 ; -83282*x^2 + 6002*y^2 + 118084*x*z - 83282*z^2
  (821/4465 : 14624/4465 : 1)  C2b
** u= 120/169 ; tau(u)= 218/49 ; 9598*x^2 + 42722*y^2 + 61924*x*z + 9598*z^2
  (-2683/814 : -1183/814 : 1)  C1b
** u= 126/5 ; tau(u)= 116/121 ; -13406*x^2 - 15826*y^2 + 29332*x*z - 13406*z^2
  (393/256 : 11/256 : 1)  C1a
** u= 127/153 ; tau(u)= 179/26 ; 14777*x^2 + 30689*y^2 + 48170*x*z + 14777*z^2
  (-22699/37949 : 20262/37949 : 1)  C1b
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b
** u= -132/97 ; tau(u)= 326/229 ; -87458*x^2 + 1394*y^2 + 123700*x*z - 87458*z^2
  (27/122 : 829/122 : 1)  C2b
** u= -132/181 ; tau(u)= 494/313 ; -178514*x^2 + 48098*y^2 + 261460*x*z - 178514*z^2
  (-1261/12634 : -26171/12634 : 1)  C2b
** u= 135/34 ; tau(u)= 67/101 ; -2177*x^2 - 15913*y^2 + 22714*x*z - 2177*z^2
  (175/57 : 98/57 : 1)  C1a
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
  (683/163 : 232/163 : 1)  C1a
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a
** u= 146/29 ; tau(u)= 88/117 ; -6062*x^2 - 19634*y^2 + 29060*x*z - 6062*z^2
  (5761/3263 : 3780/3263 : 1)  C1a
** u= 147/157 ; tau(u)= 167/10 ; 21409*x^2 + 27689*y^2 + 49498*x*z + 21409*z^2
  (-33283/20869 : 6958/20869 : 1)  C1b
** u= 150/37 ; tau(u)= 76/113 ; -3038*x^2 - 19762*y^2 + 28276*x*z - 3038*z^2
  (49/24 : 35/24 : 1)  C1a
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a
** u= 153/104 ; tau(u)= -55/49 ; 18607*x^2 - 1777*y^2 + 26434*x*z + 18607*z^2
  (-6089/8763 : 868/381 : 1)  C1a
** u= 154/73 ; tau(u)= 8/81 ; 10594*x^2 - 13058*y^2 + 23780*x*z + 10594*z^2
  (-1223/458 : 603/458 : 1)  C1a
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a
** u= 161/169 ; tau(u)= 177/8 ; 25793*x^2 + 31201*y^2 + 57250*x*z + 25793*z^2
  (-47169/42661 : -18668/42661 : 1)  C1b
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a
** u= 162/113 ; tau(u)= -64/49 ; 21442*x^2 - 706*y^2 + 30340*x*z + 21442*z^2
  (667/1153 : -9324/1153 : 1)  C1a
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a
** u= 167/10 ; tau(u)= 147/157 ; -21409*x^2 - 27689*y^2 + 49498*x*z - 21409*z^2
  (2949/4651 : -1034/4651 : 1)  C1a
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
  (21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1)  C2b
** u= 177/8 ; tau(u)= 161/169 ; -25793*x^2 - 31201*y^2 + 57250*x*z - 25793*z^2
  (5209/7661 : -1508/7661 : 1)  C1a
** u= -177/193 ; tau(u)= 563/370 ; -242471*x^2 + 43169*y^2 + 348298*x*z - 242471*z^2
  (191/1303 : 19466/9121 : 1)  C2b
** u= 177/197 ; tau(u)= 217/20 ; 30529*x^2 + 46289*y^2 + 78418*x*z + 30529*z^2
  (-1791/859 : -64/859 : 1)  C1b
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a
** u= 179/26 ; tau(u)= 127/153 ; -14777*x^2 - 30689*y^2 + 48170*x*z - 14777*z^2
  (1639/4541 : 678/4541 : 1)  C1a
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a
** u= 186/73 ; tau(u)= 40/113 ; 9058*x^2 - 23938*y^2 + 36196*x*z + 9058*z^2
  (2843/6609 : -6928/6609 : 1)  C1a
** u= 187/197 ; tau(u)= 207/10 ; 34769*x^2 + 42649*y^2 + 77818*x*z + 34769*z^2
  (-3967/3709 : -1674/3709 : 1)  C1b
** u= -188/137 ; tau(u)= 462/325 ; -175906*x^2 + 2194*y^2 + 248788*x*z - 175906*z^2
  (-4538/19963 : 209465/19963 : 1)  C2b
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a
** u= 189/128 ; tau(u)= -67/61 ; 28279*x^2 - 2953*y^2 + 40210*x*z + 28279*z^2
  (1487/8383 : 29392/8383 : 1)  C1a
** u= -196/153 ; tau(u)= 502/349 ; -205186*x^2 + 8402*y^2 + 290420*x*z - 205186*z^2
  (-1384/1073 : 11235/1073 : 1)  C2b
** u= -196/181 ; tau(u)= 558/377 ; -245842*x^2 + 27106*y^2 + 349780*x*z - 245842*z^2
  (43931/5704 : 120687/5704 : 1)  C2b
** u= 198/89 ; tau(u)= 20/109 ; 15442*x^2 - 23362*y^2 + 39604*x*z + 15442*z^2
  (-8/21 : -1/3 : 1)  C1a
** u= 198/125 ; tau(u)= -52/73 ; 28546*x^2 - 7954*y^2 + 41908*x*z + 28546*z^2
  (-15559/420776 : 775755/420776 : 1)  C1a
** u= -199/193 ; tau(u)= 585/392 ; -267727*x^2 + 34897*y^2 + 381826*x*z - 267727*z^2
  (729/1427 : 2884/1427 : 1)  C2b
144
>

■以下では、u=198/125のときに、(3a),(3b±)を満たす有理数(x,y,t)を求める。
u=198/125のとき、(3a),(3b±)より
     7954*y^2 = 28546*x^2 + 41908*x + 28546 ------- (4a)
     ±15816529*t^2=1016269*x^2 + 1384481*x + 1016269 ------- (4b±)
となる。

ここで、２次曲線(4a)の有理点の１つを探す。
例えば、(x₀,y₀)=(-15559/420776, 775755/420776)は(3a)の有理点なので、任意の有理数kに対して、直線
     y=k*(x+15559/420776) + 775755/420776 ---------------(6)

と２次曲線(4a)の交点は高々2個の有理点であり、(x₀,y₀)と異なる交点(x(k),y(k))は、以下のようになる。
     x(k)=(61878143*k^2 + 6170355270*k - 8594866697)/(-1673426152*k^2 + 6005735848) ------- (7)
     y(k)=(3085177635*k^2 - 8372793090*k + 11072351115)/(-1673426152*k^2 + 6005735848) ----- - (8)

さらに、(7)を(4b±)に代入して、
     ±t^2=(-7015712318801663789*k^4 + 35045844339021901740*k^3 - 97498048856953916558*k^2 + 146426811189378455340*k - 104374351035488335469)/(-114814558534098611264*k^4 + 824112745263861945472*k^2 - 1478823386114043443264) -------- (9)
を得る。
両辺に適当な有理数の平方数を掛けて、
     ±(t*(3977*k^2 - 14273)*17251816)^2=287644205070868215349*k^4 - 1436879617899897971340*k^3 + 3997420003135110578878*k^2 - 6003499258764516668940*k + 4279348392455021754229 ---------- (10±)
つまり、
     ±□=287644205070868215349*k^4 - 1436879617899897971340*k^3 + 3997420003135110578878*k^2 - 6003499258764516668940*k + 4279348392455021754229 ---------- (11±)
を満たす有理数kを求めれば良い。

■(11)の右辺の4次多項式は、実根を持たない(負にならない)ので、(11+)のみ、考慮すれば良い。
よって、楕円曲線

     E₊: Y^2=287644205070868215349*X^4 - 1436879617899897971340*X^3 + 3997420003135110578878*X^2 - 6003499258764516668940*X + 4279348392455021754229 --------- (12)

の有理点を求める。

楕円曲線E₊をsyzygy mapで写すと。楕円曲線
     E₀: y^2=x^3 - 131533381367244164215248081536630341171740672*x - 496946952622325121564854492450656958760656582555086171408919691264
が得られる。
E₀のminimal standard modelは、楕円曲線
     E₂: y^2=x^3 + x^2 - 3237629437155959990*x - 1919096286007227296033058600
であることが分かる。

[pari/gpによるsyzygyの計算]

(08:08) gp > v=V(287644205070868215349*x^4 - 1436879617899897971340*x^3 + 3997420003135110578878*x^2 - 6003499258764516668940*x + 4279348392455021754229)
%1 = [287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
(08:09) gp > e0=E0(v)
v=[287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
I=4871606717305339415379558575430753376731136
J=18405442689715745243142758979653961435579873427966154496626655232
%2 = [0, 0, 0, -131533381367244164215248081536630341171740672, -496946952622325121564854492450656958760656582555086171408919691264, 0, -263066762734488328430496163073260682343481344, -1987787810489300486259417969802627835042626330220344685635678765056, -17301030413900894278369859986709427802384131133245294602033481221399655787353162419011584, 6313602305627719882331907913758256376243552256, 429362167065688905032034281477367612369207287327594452097306613252096, 38957323767280780602286963641277929776911445974775009083860804370163649169527768164395707769955957793908669755309328911621423104000000, 12345879053944502914377148189239145836992482212544/1911082634971811704047467743911970767517640625, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, 1])], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]
(08:09) gp > e2=E2(v)
v=[287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
I=4871606717305339415379558575430753376731136
J=18405442689715745243142758979653961435579873427966154496626655232
rr=[2524656, 2124629306112, 0, 0]
%3 = [0, 1, 0, -3237629437155959990, -1919096286007227296033058600, 4, -6475258874311919980, -7676385144028909184132234400, -10482244380015203422289683962613034500, 155406212983486079536, 1658099190177807105871646153216, 580981870673987692214356057322685073501028465608089000000, 12345879053944502914377148189239145836992482212544/1911082634971811704047467743911970767517640625, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, 1])], [0, 0, 0, 0, 0, [64096668788529680160, 73728, [2, 5; 3, 1; 5, 1; 11, 1; 13, 1; 17, 1; 41, 2; 73, 1; 97, 1; 131, 1; 35227, 1], [[5, 3, 0, 2], [1, 10, 0, 6], [1, 10, 0, 6], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [2, -8, 0, 4], [1, 6, 0, 2], [1, 8, 0, 4], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2]]], 0, [[2, 41]~]]]

■楕円曲線E₊をある楕円曲線の2-descentと見なして、MAGMAで4-descentを求めると、成功する。
E₊は、楕円曲線E₀の2-descentの１つになっているので、そのminimal standard modelである楕円曲線E₂の有理点を求める。
さらに、E₂の有理点から、E₀の有理点を求める。

[MAGMA 4-descentによる計算]

> SetClassGroupBounds("GRH");
> P := PolynomialRing(Rationals());
> f :=  287644205070868215349*x^4 - 1436879617899897971340*x^3 + 3997420003135110578878*x^2 - 6003499258764516668940*x\
 + 4279348392455021754229   ;
> C := HyperellipticCurve((f));
> time fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
Time: 22.078
> #fd;
2
> RP4(fd,10^6);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 3237629437155959990*x - 1919096286007227296033058600 over Rational Field
rootno=1
(-174942651055478264675987/244780606357156 : -20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696 : 1)
height 36.9962224017345060609216575337
true (-174942651055478264675987/244780606357156 : 20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696 : 1)
(-174942651055478264675987/244780606357156 : -20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696 : 1)
height 36.9962224017345060609216575337
true (-174942651055478264675987/244780606357156 : 20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696 : 1)
(-174942651055478264675987/244780606357156 : -20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696 : 1)
height 36.9962224017345060609216575337
true (-174942651055478264675987/244780606357156 : 20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696 : 1)
(-174942651055478264675987/244780606357156 : -20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696 : 1)
height 36.9962224017345060609216575337
true (-174942651055478264675987/244780606357156 : 20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696 : 1)
J=2
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - 3237629437155959990*x - 1919096286007227296033058600 over Rational Field
rootno=1
(-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796 :
-5513451734757779144704564173941245101175055697275239743153358521/1108444452616653816973134639524599540568006219348344 :
1)
height 82.3227669260234809866404587323
true (-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796 :
5513451734757779144704564173941245101175055697275239743153358521/1108444452616653816973134639524599540568006219348344 :
1)
(-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796 :
-5513451734757779144704564173941245101175055697275239743153358521/1108444452616653816973134639524599540568006219348344 :
1)
height 82.3227669260234809866404587323
true (-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796 :
5513451734757779144704564173941245101175055697275239743153358521/1108444452616653816973134639524599540568006219348344 :
1)
(-12809308108101805039622169849007356722051087806079663963/10662986919353356508233584268494411612549069124 :
16938726381485529637262909781345059397306307345660154988348340726522206651166214127/11010785814195173067531823505807795\
34492121078438995214271032277893432 : 1)
height 109.928798827137085827881942845
true (-12809308108101805039622169849007356722051087806079663963/10662986919353356508233584268494411612549069124 :
16938726381485529637262909781345059397306307345660154988348340726522206651166214127/11010785814195173067531823505807795\
34492121078438995214271032277893432 : 1)
(-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796 :
-5513451734757779144704564173941245101175055697275239743153358521/1108444452616653816973134639524599540568006219348344 :
1)
height 82.3227669260234809866404587323
true (-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796 :
5513451734757779144704564173941245101175055697275239743153358521/1108444452616653816973134639524599540568006219348344 :
1)
(-12809308108101805039622169849007356722051087806079663963/10662986919353356508233584268494411612549069124 :
16938726381485529637262909781345059397306307345660154988348340726522206651166214127/11010785814195173067531823505807795\
34492121078438995214271032277893432 : 1)
height 109.928798827137085827881942845
true (-12809308108101805039622169849007356722051087806079663963/10662986919353356508233584268494411612549069124 :
16938726381485529637262909781345059397306307345660154988348340726522206651166214127/11010785814195173067531823505807795\
34492121078438995214271032277893432 : 1)
realtime=3.255
2
>

これらのE₂の有理点から、一次独立なものを選択すると、
P1(-174942651055478264675987/244780606357156, 20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696)
P2(-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796, 5513451734757779144704564173941245101175055697275239743153358521/1108444452616653816973134639524599540568006219348344)
の2個である。よって、rank(E₂)は2以上である。

[pari/gpによる計算]

(13:35) gp > v=V(287644205070868215349*x^4 - 1436879617899897971340*x^3 + 3997420003135110578878*x^2 - 6003499258764516668940*x + 4279348392455021754229)
%4 = [287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
(13:58) gp > e=E2(v)
v=[287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
I=4871606717305339415379558575430753376731136
J=18405442689715745243142758979653961435579873427966154496626655232
rr=[2524656, 2124629306112, 0, 0]
%5 = [0, 1, 0, -3237629437155959990, -1919096286007227296033058600, 4, -6475258874311919980, -7676385144028909184132234400, -10482244380015203422289683962613034500, 155406212983486079536, 1658099190177807105871646153216, 580981870673987692214356057322685073501028465608089000000, 12345879053944502914377148189239145836992482212544/1911082634971811704047467743911970767517640625, Vecsmall([1]), [Vecsmall([128, 1])], [0, 0, 0, 0, 0, [64096668788529680160, 73728, [2, 5; 3, 1; 5, 1; 11, 1; 13, 1; 17, 1; 41, 2; 73, 1; 97, 1; 131, 1; 35227, 1], [[5, 3, 0, 2], [1, 10, 0, 6], [1, 10, 0, 6], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2], [2, -8, 0, 4], [1, 6, 0, 2], [1, 8, 0, 4], [1, 6, 0, 2], [1, 6, 0, 2]]], 0, [[2, 41]~]]]
(13:58) gp > P1=r(e,-174942651055478264675987/244780606357156)
%6 = [-174942651055478264675987/244780606357156, 20891124644686233492499046337781371/3829706654220268054696]
(14:00) gp > P2=r(e,-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796)
%7 = [-14294068250419325295136330646500671045398507/10710488752832501604605089844433796, 5513451734757779144704564173941245101175055697275239743153358521/1108444452616653816973134639524599540568006219348344]
(14:01) gp > P3=r(e,-12809308108101805039622169849007356722051087806079663963/10662986919353356508233584268494411612549069124)
%8 = [-12809308108101805039622169849007356722051087806079663963/10662986919353356508233584268494411612549069124, 16938726381485529637262909781345059397306307345660154988348340726522206651166214127/1101078581419517306753182350580779534492121078438995214271032277893432]
(14:01) gp > matdet(ellheightmatrix(e,[P1,P2]))
time = 2 ms.
%9 = 2139.9395575113731884578223884306279106
(14:01) gp > matdet(ellheightmatrix(e,[P1,P2,P3]))
time = 1 ms.
%10 = 3.622301079776301326 E-33

さらに、P1,P2を有理変換[2524656, 2124629306112, 0, 0]^-1で写すことにより、(楕円曲線E₊の有理点をsyzygy mapで写した)楕円曲線E₀の有理点を求めると、
Q1(-278766212361028884962560363157615040/61195151589289, 42022169170381781318268794555009598687378195785697792/478713331777533506837)
Q2(-22777197225615531144367809302749081158104851178197540800/2677622188208125401151272461108449, 11090221586976991451411531078086682941672735310414994171896001971993851427077934592/138555556577081727121641829940574942571000777418543)
となる。ここで、E₀の有理点Q1,Q2は一次独立である。

[pari/gpによる計算]

(14:02) gp > Q1=chpi(v,P1[1])
v=[287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
I=4871606717305339415379558575430753376731136
J=18405442689715745243142758979653961435579873427966154496626655232
rr=[2524656, 2124629306112, 0, 0]
v=[287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
I=4871606717305339415379558575430753376731136
J=18405442689715745243142758979653961435579873427966154496626655232
time = 1 ms.
%11 = [-278766212361028884962560363157615040/61195151589289, 42022169170381781318268794555009598687378195785697792/478713331777533506837]
(14:13) gp > Q2=chpi(v,P2[1])
v=[287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
I=4871606717305339415379558575430753376731136
J=18405442689715745243142758979653961435579873427966154496626655232
rr=[2524656, 2124629306112, 0, 0]
v=[287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
I=4871606717305339415379558575430753376731136
J=18405442689715745243142758979653961435579873427966154496626655232
%12 = [-22777197225615531144367809302749081158104851178197540800/2677622188208125401151272461108449, 11090221586976991451411531078086682941672735310414994171896001971993851427077934592/138555556577081727121641829940574942571000777418543]



■楕円曲線E₀の有理点Q1,Q2から、E₀の有理点をいくつか計算する。

さらに、syzygy mapの逆変換によって、楕円曲線E₊の有理点P(x,y)を求めると、そのx座標は以下のようになる。

 30407075/26279287,
 945967865/1248057599,
 1588437129/13721456335,
 -1219384020107/2053661177915,
  7238621986098507/15401438000287805,
 7238621986098507/15401438000287805,
 2523484525026218281/616919842550050055,
 2523484525026218281/616919842550050055,
 7918680427205562475/1555531906528806611,
 7918680427205562475/1555531906528806611,
 206736470097243783595/455301048052810772797,
 206736470097243783595/455301048052810772797,
 67894850173916916719315/284272617120491254805807,
 -11406552876127364645246855/8312938824148780426752383,
 290157027339362326908805193/203403933781733781606373135,
 24836379138590189117837568873/37450259193857864779920643975,
 59119753168574500344511852042541599146030143212531/80531942916272290909196354054205076510511037257045,
 5899052009973968657607739374986290502199527513150091/4872598158246038860927066737600301097060213712856325,
 -7156549106013460647943623161255911730566650508310945/9904307575498282160550911204810848846693742352348679,
 306339257986856753681671914442787946614938121166815315/2070347241147865363291315221807210585802457450699932501,
　...



[pari/gpによる計算]

(14:14) gp > L=ss2x(v,Q1,Q2,10);
v=[287644205070868215349, -1436879617899897971340, 3997420003135110578878, -6003499258764516668940, 4279348392455021754229]
I=4871606717305339415379558575430753376731136
J=18405442689715745243142758979653961435579873427966154496626655232
time = 1,605 ms.
(14:14) gp > #L
%14 = 440
(14:15) gp > L[1..20]
%15 = [2558149/3980783, 41021807/13655501, 14788729/49974203, 330413341/86871163, -31145871143/3862611419, -3019955969993/834385389601, 13717287202379/8893169459297, 126066305416193/73804006159651, 431808066142349/326200619036507, 482060239105477/246713455686239, 10394002144961011/192432661134137, -56530686689987759/35997071277915763, 42041898049222025570390197943/16054003360228530162598916101, -17343999215485048407387590807/618879358155435961929403117999, 8293517906945049688708880839333/9703099224128674332461216478319, 52368010678183032840070558459789/10827070089912940353261785022263, 34309115383062652319268813713938321/4130474606045023602688640458990547, 969414219124685069574749128934218271/876930469304553073908384414500020553, -3607802204449280119048946937332963149/5725928851961196570604549935514845593, -4686413274039099144252404080250569589/28653439382230384730327228889914091777]





■kをE₊の有理点のx座標とする。kを(7),(8),(9)に代入すると、方程式系(3a),(3b+)の有理数解x,y,tが求まる。

つまり、(2)の有理数解(r,s,t)が求まる。

(2)の両辺に適当な整数を掛けることにより、(1)の整数解(A,B,C,D)をいくつか求めることができる。

A,B,C,Dを正整数として良い。

ここで、0 <= A <= B <= Cを満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。




  u=198/125のとき

35401855^4+40865628^4+53562031^4=3362*7822733^4
76298339723306940^4+144376098024837517^4+392097054273222611^4=3362*51745745604910607^4
22630934278564908444565^4+218426009168410193424516^4+383430470008039234123883^4=3362*51630869931062938919159^4
66362246478987836342552992091201664685210465639474020^4+96903091845971137820040019904874448516482466179139001^4+124994312898188111523490811243725150204657332635449303^4=3362*17983883123274685049847136904533151182677188556511541^4
37682872887674456007962886831727581567709687419316284566119455689^4+87890763112391594397658900321621501270731784581369209175727203300^4+123973647924119793711813764065522766229845905720563581825933541127^4=3362*17253275064778568487130075273315604954065636718785561424329636709^4
691048672272960450860044325926062322311036853674019263752393076169781180^4+1113195841691642261609432943293771082922611362472659021789669936692090693^4+1451927091024265743100085140482652585315995467075892655672274233243677261^4=3362*207292626492004064390780316253678173463653077794812959325479503602344027^4
1375264224556970098004930773169751389408776978489210681466961434325806165060^4+4519018974736434083751707707535162981744055785321927624712001472392742745881^4+10621824150096890956503166656188111136261875880054887640991085813674140885297^4=3362*1406304480535317240678813038068191557786115844877151765411393010709498093969^4
3122793754570276003157686426033946207249051015808100293789380288671631689828459606007469513668^4+7111848865895376315018712332298545276376308615783816731877711086530409960537793403480985384815^4+9975195170028730915333972418116337972137485116113409614987181502014605614027959514688731960969^4=3362*1390111864478121947531763518436960565357352057410118972180675722331529886337996117982422217497^4
2371358018736222913999604631525182774678956752414704221249207280543026627959120412266162167230408636505075^4+2537316709571518816896772361509275165914271047005433346761381580030988907372753933223584343700312505242564^4+3403665880261360592249544021829545501895086488549717613682200583777397561645990998722562264921628649313077^4=3362*498299099990680920383550770631411664795924385303751407618549788997629606334459888697226951497559140781091^4
503577896650953023898293301338371650378404156126498756556090395279351539401014557584583326507017038213092234488316^4+1385906101668572430216215143000284425167201569489797032500180359803693982950685039302715305651132783830413898841595^4+2031318755890767688393986163381127290478139198318740716527298398290132174985144181550003170689300546478280141578427^4=3362*280388023331442409541093181630146227916737162867356420493916846904071896790833562038432255017650327489239721797031^4
930420365511662308468787694417550103071060883900322601113329865585375088443129051904245661967981091218743923452538910422966860978147^4+1477117118797640160848099102275493643080137465818443908417464741635835986692005008376867962977419022607922133220591964558832088490300^4+1922555425595120056578627173418380120717914551161038092970685945630745603382205345751505285512276321777618175744379331768789894670979^4=3362*274800519431372196452524849818037054137439190301781307764978537328094347163075466796285141070272417976535445594553982954997540494943^4
163002998672743040804864528686806634360931394862246567713359935990175684275719532060777326078883598586662022713282168510300755953961910039236^4+1855512589162620370819149049417998842417486532134355860843757843097899262149262562294772885288137673406680917237235511309573816815407538536195^4+3295157118904722423957095211075167224204280225149090517154163325181600372937679512150228338020991884386729171687721309649309764468077116456933^4=3362*443229877760514298718929817775172200630715082638117984030719633008951437131721015814628588186880609807529438035748731688738173367772408474899^4
489464227496254213233779924899942805363119056371139856635650715786440271109976181297169362501237608899729085842746483835204043546177036061970491372708065962975^4+29942919353219540894434230775520660722869465441526581639331257866642941755952878582137099532195930508933179415934970950798341214721431063101600266911625902165308^4+57409032693715384319238456483485241631100015460795753891295979688225554322553910832925439615665316153970009437250988351438108434900854514177689924289187128443481^4=3362*7675068938713652458428976735057696779861290987790677567589005749302909344553581532715129853876751158024298793370989977126969298339828346832472973272313930939273^4
321992683886898671333867154082132469833095337784459652805785581122211036057805160624793107776320047686200696348970662764748937861976285725430026256278657348317230323729386549479571605074728993273795^4+1560547751734916831108361568933073810599508967560653527241810809001219804498923566807121784319868716848487038636912669751284043306653458339303650855545940398879946408126891857869572239863570681822564^4+2542567651139128489818846455525447862781473025179532275185096701313586573755419298116389030951210808224449622161995760859897101344459466072490277271158523791655089818754027049376718133179453581403963^4=3362*345187986926067539759684601572499125642105107099106288330520287087671403694429490160345295504712136122943804122960062616497196293623058776763591351131900687568297335442537064982552133505001845596419^4
84380493047123884093326717982197674922939393699427208680134160260236374684327831644904900706141181897784586661119346218207942851331001881134823454138697212833617617024784288385288406449707825352225791^4+239617972981144163833169854174065469161238647809737351246306896750903621909014666818401756659280677446177308021578687870642695381387522659411634035934442078771506119267907936835002147549584248330423460^4+353673799308088490676759249752276213819696576108376953244910162722060422243886879857846749515311915004992694360806445409611236343229954208252816704438469421637226119271862867522035905737850270153160807^4=3362*48753167567020242760155243008647661427062731038928872748446995455184759471302565302098958053731057546206346061749108501896825770925732610071211310981887873955735095401087132541656328354602602247911449^4
182658830400384027192003403539649777495478890780350549483768689004837738604257302306368870627775426991308289012350202594108331356166682106333059854972605162184808316309901196694308708920502337556743132^4+948042133543024012033573793064114601627151806727216007843492577042994126199291123262772643509051986432536956977258955364639341943664145934396119902212122989903268528002492249321951604693909329735592335^4+1559802962227082513871189868127481402415835906745123852385751181099986627600555071921293629922936619811941260198530829604800377244745852214768278084775268702255294214706909574556167348548753215856021119^4=3362*211508392180960152347810626303214554773492341477133123103786129474686412349853639682737647873381942329863773821520777411512931101103131029486946952636724128899340536058137512299598597259376675262139997^4
32696478694860074703153133306391165021191077967205334111406492579396507183887724629625535282061890937879082038223995135332620075033381701195692596641341959578325296810557318193403036724263419273681833657286655688380^4+37335311667479755781571978560017598380529367794186232674054015663671221027144895928232691131800041528436591011433078478187224132413928766627179303268535003592102152024244795542958000722665806052032296000297471926409^4+49067092789777122310019355210186223696826292040866173194834595699950528565785447634561354538629628716513139161934993021369870415775522479733100895898885904463156281484609051207765621756120692750486660577807564069473^4=3362*7169396879170904602699191144589660720034416717659867949612668045584765577372677863983580736234596519532688167229764006453553288872905327733692866350585895866991117688672967213385504424034566714611627781476603342881^4
519039272098047219835659966108764248066637062680392791338677229370260229632398471460787025902158652892298330185486124274242885881158461740250902921801598287426839420965778497586787759361963445037535611008344683103700272665^4+648233788336967460250878794018760441644620173487432789479007228092791338244662065682902604545683653303031931566071935618623535883386933160830911809795702281775228195189842327163726139357157236258165199812700166718197957212^4+837970684090004971944897591739161562479352505908880569505618457648172797989262817902327951099417518047707937571601534938498673546497457850451584950882200867214691680869353895714032172043430596182812354472679117416058982511^4=3362*121894760478809319848157343835845189465223868173557653502081762330865786530916008774246100055704735466343480012473259709373940818666117134575666204617108422433692044316851142343639006639452634626622337596495206132810276033^4
208363819894107666402610509686633819456513386802627944356963469470585258627480048946953043475809418823217866347760838563718289619018096259628223897706497101083062179703244142732574710539254082871259118232685049636705264038545^4+626997630672448534838946262754905047771282033517014135365286117559343285730288156941732935531627696621448867644403475038890207959805197965317581954635063695085309718432256303381724470168819772681314310708561733790449007166172^4+1501676493287490505537155043535396644138142895646497635649569167969324091384601234377856974312863601262016463529354127161301146875676310494751993467559124250365719526484499381141880627459010561228070451788509070372924791254239^4=3362*198708578443763517369034693679023828456737430124317695634341578691070110640544259542773168620871447460426695833673453820380283571970324045541463266373251362206625700448100614639516176669149593843345075730262225050617247543997^4
1248382676438767277961577246959608351757222467511018110039324262947893659875077887288891696678666257178184226432927781724755987200918177429970077143503585599169769609334312802574699390805575429961670929623262597960659082137141093^4+1799286951793220100130849071169950158701832399374800616409059347151298975935322698521957199577570168242962603804372724478533442834385044121883790533794335970187178606614851298427876476567930725057764106964304559569149424936331420^4+2318868597111669429528954982819082826902409142883691417340528308643726378854822342599628771008245573050090757802317775711218651000374759748831507400205306932724923042544437162995287017007105500654360684085214914793470571753206259^4=3362*333968683746559849852589522931952733179828750926334173359929712365553459213156914595423803709405480543185217931441680530073258376894423109983495083287597211180293547504310060094227750611645342256422625060400889730589129345412843^4
15863104265337237010942418153229789475975291810025679441365893218011528650059898880268338596904472400112837405520872556994544056705501141846269527298768839735512514546499465841454632452139857762138808301039389428068520120151844922968703582037^4+31723575872170616802705117896867630215666301520852326442620311574884328422652039122113533539346318269662989566981407670325092848299414584051591938681630965691217562132148288570955357997927947607588153646707683819323316272844042372525992264380^4+43167850850016020656340994578594650149289790458627807385227056923115325423928709131458472151579911080465568132334046458690932768877336556285060926695104338205817932577921602195614094460851339224829425603399108261998012948607804178878068890269^4=3362*6064858794823197245492402609577927061607976640847886799041835488201409566123398090356481456377612722649331703454678119460850183537708764638219131626293773492349877328901675435858924666712583422105633373149853488841074081848676706722673197163^4
3708271457847154161471550038213772576738759202657562755555889620259665860717029348426730747738394382386271736992549623822657460038448853047304069136685706312399978964123155157551769861048989280835278036995238489725847580136259584857066173153202086895547071412730170627740^4+4430897331369024058579861486204740995393361344707905759102402695623723373115908865005192015365113620177324453180850343851242301726368566193925341720207682409766149860222792785097090470321977231740947932801743616003183952667167742978543812347006321281122619299054067795563^4+14366045269031683556080492634927988081159154385865579288748798962942180480079602985159423969237134085701206454190315713068221211373666674701149764588706726173493449590478286647098281020277075317754021059050249203478008597386718561924917482821262971668749102684086992401411^4=3362*1892964857633879248348898262415343536108099576546693118188642444710175373140830049553472629780447747469072546420331028782172701082251905655263977568511062767585243300841982650401019126357514654477822769972652049930866263639035862357930215204296025744933501519235105248667^4
158148536494161579160856482377423692501263546779852092261906521441303426858854812130223313106709531343745394489291416199371855166371445800438398578490481236734654976618208955116113838456592445044555518015933300584743063649162378693710903937900100576375135770844503503619762046215575^4+279477168960634891307926588876852577018770216353485561563954285270502058102672790601714965430336377465399799551208639620771098312935014733011153829515925182563134798918537080880550305330938394997611220872810694166763277432468439354068884584948592257901271944677590939867510440275548^4+776502001939751746534613760526851572470020027045242977407950242502511914786744578572533234695454435577155558635812809831718260951994970136029771933212112775484333613517302960372731675082929444277742509850667207077774557647254331734615599299224850612658671859240280324617987948931039^4=3362*102443303365120196329725227641122862120422846029526573670052826298975650515481180508724520680969996541758613675269549306899830956452081101793161403992267685403674951006546498160039197989083189974632643951962049295213038420907260225057336372635105007750385593094698761427137641860337^4
7107596434287441350518058939688508674580332345484468746520219596222477739347518280619182158733573158091728451489971406869081414659473811353372499179589685296323594307701030764716670053426165654131911757740916548864621767914380688971720905792328100119203822414932359098241230903998088297361466870769279468531837237^4+14425887287046372494310635577862608034580023062164976274123132676934605014335414335329730558370537788908897514372431011866426073484217937415334270025342053054026776184012411751929977663205212827616757362670356519099936326648451384074229499686371109085230576647516695723107860418453435260613627591840375890642991940^4+38319708572122264015010695729848220370483298958623955818388341657381190988065014444058846608673072920139792342366583798372808506021758643947885447669645183450067927992406196715697507713410504182650160212286013147567724567933322939593979334970648768542483847179719546092775850243256364465459728421330793067536786429^4=3362*5058919992785220026209651761658459062559019335494037622303036174968890961655013471378060551600476926972820365882497320894279781861548765853922319278000693390019009849063007033078485759090095101317009900491683686448890739922784498521601040758506324181774798602410207430742536209289124755388478169733331432473461323^4
34276019407275208380521470132287061805338534499513083902443507981814062161611400499033388119981035499639521541766365471679044545720332247272441716416333192688297851136263315822323414234595458135225254180042542669552522791532784062315454871252668871366491387302302677704756776266972852871476897911849254076671306180^4+42324158609442695063576430192226685549483989589143136502963482580833107555598627548522779406674922164481226211637012172830831238397318940865577664427312550005641806927630639500273373043271095421533336630514342070172368441359599104388368267712985718738557931825603535386507479178583291743799359833727213241430246653^4+54788873774979183867906551587312218207928993213340985994235997441180918088113954315347255064492266012202511022907267583326151896824434674830764513460468856160842597063972409311435332105016460526383388184450359307433850136770993081287995448064560124260285376268551982062141056532367607893606947483755673219407498019^4=3362*7975094640291677956943454105780853781846759269963581507638953313570410365671814440053356883844901950877977573941997587656576620647286883232810151128352783914037022883567154792754480215872713736087255459599430593315144330848293045530689404810762020739871439918171697209804427431734345651965272753577667317609473983^4
...

[pari/gpによる計算]

(14:26) gp > sss4(41,u0,L[1..20])
35401855^4+40865628^4+53562031^4=3362*7822733^4
76298339723306940^4+144376098024837517^4+392097054273222611^4=3362*51745745604910607^4
22630934278564908444565^4+218426009168410193424516^4+383430470008039234123883^4=3362*51630869931062938919159^4
66362246478987836342552992091201664685210465639474020^4+96903091845971137820040019904874448516482466179139001^4+124994312898188111523490811243725150204657332635449303^4=3362*17983883123274685049847136904533151182677188556511541^4
37682872887674456007962886831727581567709687419316284566119455689^4+87890763112391594397658900321621501270731784581369209175727203300^4+123973647924119793711813764065522766229845905720563581825933541127^4=3362*17253275064778568487130075273315604954065636718785561424329636709^4
691048672272960450860044325926062322311036853674019263752393076169781180^4+1113195841691642261609432943293771082922611362472659021789669936692090693^4+1451927091024265743100085140482652585315995467075892655672274233243677261^4=3362*207292626492004064390780316253678173463653077794812959325479503602344027^4
time = 1 ms.
%18 = 6

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2025.10.13

H.Nakao