Integer Points on A^4+B^4+C^4=1932578*D^4

[2026.01.22]A^4+B^4+C^4=1932578*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

1932578=2*983^2であるので、以下では、n=983とする。

■n=983のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=983;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように166個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(983,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (462/205 : 5/41 : 1)
** u= -1/73 ; tau(u)= 147/74 ; -10951*x^2 + 10657*y^2 + 21610*x*z - 10951*z^2
  (8607/10111 : 2170/10111 : 1)  C2b (1108630/526661 : 30715/526661 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (2628755/2253727 : 78545/2253727 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (121/226 : -23/226 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (85642/160457 : 4617/160457 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (-453/286 : -1/22 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (2573/22818 : -887/22818 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (-1858021/117278 : 62873/117278 : 1)
** u= 4/117 ; tau(u)= 230/113 ; -25522*x^2 + 27362*y^2 + 52916*x*z - 25522*z^2
  (-200161/74654 : 267333/74654 : 1)  C1b (1202489/784179 : -33653/784179 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (10641/7517 : -319/7517 : 1)
** u= -5/117 ; tau(u)= 239/122 ; -29743*x^2 + 27353*y^2 + 57146*x*z - 29743*z^2
  (-45383/464953 : 530466/464953 : 1)  C2b (-11447262/1085351 : -392743/1085351 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (447/299 : -1/23 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (44990293/2790833 : -1344779/2790833 : 1)
** u= 7/153 ; tau(u)= 299/146 ; -42583*x^2 + 46769*y^2 + 89450*x*z - 42583*z^2
  (-15341/404539 : 401358/404539 : 1)  C1b (-725774562/4510757 : 22704431/4510757 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-44694634/604915 : 293755/120983 : 1)
** u= -8/53 ; tau(u)= 114/61 ; -7378*x^2 + 5554*y^2 + 13060*x*z - 7378*z^2
  (212/279 : 5/9 : 1)  C2b (-9807818/891593 : 357521/891593 : 1)
** u= -8/137 ; tau(u)= 282/145 ; -41986*x^2 + 37474*y^2 + 79588*x*z - 41986*z^2
  (2523/1738 : 1097/1738 : 1)  C2b (-6474/609901 : -20159/609901 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (-64562/58613 : -3023/58613 : 1)
** u= 13/45 ; tau(u)= 77/32 ; -1879*x^2 + 3881*y^2 + 6098*x*z - 1879*z^2
  (24137/70751 : -4728/70751 : 1)  C1b (1594414/115611 : 44177/115611 : 1)
** u= -13/109 ; tau(u)= 231/122 ; -29599*x^2 + 23593*y^2 + 53530*x*z - 29599*z^2
  (12953/20513 : -11642/20513 : 1)  C2b (670595/900047 : 26145/900047 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (-341062/108711 : -17347/108711 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-11962950/1249073 : -342955/1249073 : 1)
** u= 19/29 ; tau(u)= 39/10 ; 161*x^2 + 1321*y^2 + 1882*x*z + 161*z^2
  (-1097/2523 : -1738/2523 : 1)  C1b (27294/36353 : -1273/36353 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
  (239/369 : -244/369 : 1)  C2b (-5786482/2152847 : 257427/2152847 : 1)
** u= 19/101 ; tau(u)= 183/82 ; -13087*x^2 + 20041*y^2 + 33850*x*z - 13087*z^2
  (1881/233 : 8870/1631 : 1)  C1b (-30933538/10722725 : -1495581/15011815 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (1307/2202 : 77/2202 : 1)
** u= 21/25 ; tau(u)= 29/4 ; 409*x^2 + 809*y^2 + 1282*x*z + 409*z^2
  (-581/1329 : 400/1329 : 1)  C1b (-27446/64133 : 1737/64133 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (35112967/50222 : 975993/50222 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (31741/28841 : 2293/28841 : 1)
** u= -23/29 ; tau(u)= 81/52 ; -4879*x^2 + 1153*y^2 + 7090*x*z - 4879*z^2
  (-1691/4607 : -720/271 : 1)  C2b (873254/417195 : -7379/83439 : 1)
** u= -24/61 ; tau(u)= 146/85 ; -13874*x^2 + 6866*y^2 + 21892*x*z - 13874*z^2
  (-17/59 : -104/59 : 1)  C2b (-924842/271193 : 3459/20861 : 1)
** u= -25/121 ; tau(u)= 267/146 ; -42007*x^2 + 28657*y^2 + 71914*x*z - 42007*z^2
  (-8087/164833 : 208010/164833 : 1)  C2b (-8087491/676713 : 303701/676713 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
  (-29/3351 : -27170/23457 : 1)  C2b (-277314/160997 : 94583/1126979 : 1)
** u= 28/101 ; tau(u)= 174/73 ; -9874*x^2 + 19618*y^2 + 31060*x*z - 9874*z^2
  (-7233/34846 : -32195/34846 : 1)  C1b (190418/495977 : 13377/495977 : 1)
** u= -28/121 ; tau(u)= 270/149 ; -43618*x^2 + 28498*y^2 + 73684*x*z - 43618*z^2
  (424/1227 : 1111/1227 : 1)  C2b (65921/845851 : 29323/845851 : 1)
** u= -28/169 ; tau(u)= 366/197 ; -76834*x^2 + 56338*y^2 + 134740*x*z - 76834*z^2
  (2051/12048 : 12025/12048 : 1)  C2b (-144397037/16297657 : -5380773/16297657 : 1)
** u= 29/4 ; tau(u)= 21/25 ; -409*x^2 - 809*y^2 + 1282*x*z - 409*z^2
  (89/237 : 32/237 : 1)  C1a (1148831/17981 : 32457/17981 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-165872630/7286781 : 4649065/7286781 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (-250829/52079 : -7097/52079 : 1)
** u= 31/81 ; tau(u)= 131/50 ; -4039*x^2 + 12161*y^2 + 18122*x*z - 4039*z^2
  (727/8503 : 3870/8503 : 1)  C1b (3424611/1620058 : 94891/1620058 : 1)
** u= 33/149 ; tau(u)= 265/116 ; -25823*x^2 + 43313*y^2 + 71314*x*z - 25823*z^2
  (60287/239769 : 112436/239769 : 1)  C1b (-50934289/1127062 : -1486119/1127062 : 1)
** u= -33/169 ; tau(u)= 371/202 ; -80519*x^2 + 56033*y^2 + 138730*x*z - 80519*z^2
  (-363/2653 : -3562/2653 : 1)  C2b (26678845/358262 : -939435/358262 : 1)
** u= -35/113 ; tau(u)= 261/148 ; -42583*x^2 + 24313*y^2 + 69346*x*z - 42583*z^2
  (-417/389 : 1016/389 : 1)  C2b (126211/184887 : -5579/184887 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (-154994/50653 : -4653/50653 : 1)
** u= 39/10 ; tau(u)= 19/29 ; -161*x^2 - 1321*y^2 + 1882*x*z - 161*z^2
  (3113/23499 : -854/3357 : 1)  C1a (-9043/6218 : 307/6218 : 1)
** u= 39/145 ; tau(u)= 251/106 ; -20951*x^2 + 40529*y^2 + 64522*x*z - 20951*z^2
  (9939/87403 : -51158/87403 : 1)  C1b (32937122/7858099 : -890151/7858099 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (91658/8959 : 2999/8959 : 1)
** u= -40/49 ; tau(u)= 138/89 ; -14242*x^2 + 3202*y^2 + 20644*x*z - 14242*z^2
  (173/1461 : 2828/1461 : 1)  C2b (-52957/92874 : 7729/92874 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (-40974/17941 : 1619/17941 : 1)
** u= -43/85 ; tau(u)= 213/128 ; -30919*x^2 + 12601*y^2 + 47218*x*z - 30919*z^2
  (-5899/16283 : 33104/16283 : 1)  C2b (327179/105518 : -11793/105518 : 1)
** u= -44/153 ; tau(u)= 350/197 ; -75682*x^2 + 44882*y^2 + 124436*x*z - 75682*z^2
  (11666/9599 : 8625/9599 : 1)  C2b (-104628111/19292498 : 4407421/19292498 : 1)
** u= -47/117 ; tau(u)= 281/164 ; -51583*x^2 + 25169*y^2 + 81170*x*z - 51583*z^2
  (6347/32969 : 40440/32969 : 1)  C2b (148475614/6437455 : -1170257/1287491 : 1)
** u= -48/41 ; tau(u)= 130/89 ; -13538*x^2 + 1058*y^2 + 19204*x*z - 13538*z^2
  (7/5 : 406/115 : 1)  C2b (11858/6991 : -18831/160793 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (2182294/1250789 : 71163/1250789 : 1)
** u= -48/185 ; tau(u)= 418/233 ; -106274*x^2 + 66146*y^2 + 177028*x*z - 106274*z^2
  (-24740/465767 : 616741/465767 : 1)  C2b (71213/168967 : -5109/168967 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (-413/3785 : -431/757 : 1)
** u= -52/49 ; tau(u)= 150/101 ; -17698*x^2 + 2098*y^2 + 25204*x*z - 17698*z^2
  (-3377/124912 : 369845/124912 : 1)  C2b (-56791/154019 : -15483/154019 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (-8327/11683 : -2901/81781 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
  (18969/262357 : -116378/262357 : 1)  C1b (553085254/618893 : 15157771/618893 : 1)
** u= -55/153 ; tau(u)= 361/208 ; -83503*x^2 + 43793*y^2 + 133346*x*z - 83503*z^2
  (-33275/14731 : 63384/14731 : 1)  C2b (-8340262/4481957 : 459733/4481957 : 1)
** u= -56/41 ; tau(u)= 138/97 ; -15682*x^2 + 226*y^2 + 22180*x*z - 15682*z^2
  (-1327/146 : 11945/146 : 1)  C2b (-76770/9509 : 18715/9509 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-184053/189001 : 6391/189001 : 1)
** u= -56/101 ; tau(u)= 258/157 ; -46162*x^2 + 17266*y^2 + 69700*x*z - 46162*z^2
  (-6771/3641 : -16048/3641 : 1)  C2b (411175/334914 : 14245/334914 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-2845471/458626 : 78411/458626 : 1)
** u= -57/137 ; tau(u)= 331/194 ; -72023*x^2 + 34289*y^2 + 112810*x*z - 72023*z^2
  (-382793/178043 : -773686/178043 : 1)  C2b (1448110/958241 : -45615/958241 : 1)
** u= -59/197 ; tau(u)= 453/256 ; -127591*x^2 + 74137*y^2 + 208690*x*z - 127591*z^2
  (1871/1617 : 9920/11319 : 1)  C2b (11911294/2128539 : 2845489/14899773 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (-39739/37162 : 7809/37162 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (1169282/138013 : 75117/138013 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (-6437766/4711723 : -3245891/32982061 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b (3492287/378467 : -93801/378467 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (-6251/44550 : 241/8910 : 1)
** u= 64/125 ; tau(u)= 186/61 ; -3346*x^2 + 27154*y^2 + 38692*x*z - 3346*z^2
  (-85/13863 : 5036/13863 : 1)  C1b (185163/246274 : 7943/246274 : 1)
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b (-23092442/4631233 : 666139/4631233 : 1)
** u= 67/173 ; tau(u)= 279/106 ; -17983*x^2 + 55369*y^2 + 82330*x*z - 17983*z^2
  (-3203/19581 : -14870/19581 : 1)  C1b (1041874/861095 : -6589/172219 : 1)
** u= 68/121 ; tau(u)= 174/53 ; -994*x^2 + 24658*y^2 + 34900*x*z - 994*z^2
  (-18/983 : -253/983 : 1)  C1b (-248280466/39192091 : -6773699/39192091 : 1)
** u= -73/145 ; tau(u)= 363/218 ; -89719*x^2 + 36721*y^2 + 137098*x*z - 89719*z^2
  (2037335/1208027 : -2125586/1208027 : 1)  C2b (76962882/71713643 : 2701241/71713643 : 1)
** u= -76/81 ; tau(u)= 238/157 ; -43522*x^2 + 7346*y^2 + 62420*x*z - 43522*z^2
  (427/796 : 1395/796 : 1)  C2b (2236206/825091 : -115909/825091 : 1)
** u= 76/137 ; tau(u)= 198/61 ; -1666*x^2 + 31762*y^2 + 44980*x*z - 1666*z^2
  (7351/406496 : 66621/406496 : 1)  C1b (-1407998623/253302330 : -7728551/50660466 : 1)
** u= 77/32 ; tau(u)= 13/45 ; 1879*x^2 - 3881*y^2 + 6098*x*z + 1879*z^2
  (-1235/19013 : -11784/19013 : 1)  C1a (-347466/100237 : -9347/100237 : 1)
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
  (-14779/36579 : 21064/36579 : 1)  C1b (-3518579/8151145 : 45465/1630229 : 1)
** u= 77/117 ; tau(u)= 157/40 ; 2729*x^2 + 21449*y^2 + 30578*x*z + 2729*z^2
  (-1841/14005 : 3372/14005 : 1)  C1b (202757923/104140086 : 6356731/104140086 : 1)
** u= -79/153 ; tau(u)= 385/232 ; -101407*x^2 + 40577*y^2 + 154466*x*z - 101407*z^2
  (-775/18251 : 29796/18251 : 1)  C2b (561078/1417499 : -49781/1417499 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (-6251/44550 : 241/8910 : 1)
** u= 81/52 ; tau(u)= -23/29 ; 4879*x^2 - 1153*y^2 + 7090*x*z + 4879*z^2
  (-2087/7201 : -12060/7201 : 1)  C1a (-2279785/3621077 : -147415/3621077 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (-2061303/186614 : -179033/186614 : 1)
** u= 88/117 ; tau(u)= 146/29 ; 6062*x^2 + 19634*y^2 + 29060*x*z + 6062*z^2
  (-40897/67007 : -46404/67007 : 1)  C1b (5732254/1210249 : 167389/1210249 : 1)
** u= 88/137 ; tau(u)= 186/49 ; 2942*x^2 + 29794*y^2 + 42340*x*z + 2942*z^2
  (-2279/32337 : -980/32337 : 1)  C1b (-10291/829014 : 22271/829014 : 1)
** u= 89/97 ; tau(u)= 105/8 ; 7793*x^2 + 10897*y^2 + 18946*x*z + 7793*z^2
  (-23805/18809 : 10964/18809 : 1)  C1b (-171660914/3198811 : -5066487/3198811 : 1)
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b (-1379790/2111633 : 62705/2111633 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (-18289/11238 : -649/11238 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-1378/5823 : -209/5823 : 1)
** u= -95/137 ; tau(u)= 369/232 ; -98623*x^2 + 28513*y^2 + 145186*x*z - 98623*z^2
  (-135587/1142951 : 2317572/1142951 : 1)  C2b (-51653487/5685026 : 2833247/5685026 : 1)
** u= -96/97 ; tau(u)= 290/193 ; -65282*x^2 + 9602*y^2 + 93316*x*z - 65282*z^2
  (107/355 : -752/355 : 1)  C2b (3254/138073 : -9549/138073 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (39733/297239 : 8919/297239 : 1)
** u= -96/145 ; tau(u)= 386/241 ; -106946*x^2 + 32834*y^2 + 158212*x*z - 106946*z^2
  (-3763/33211 : 65122/33211 : 1)  C2b (34916567/567901 : -1709733/567901 : 1)
** u= 97/113 ; tau(u)= 129/16 ; 8897*x^2 + 16129*y^2 + 26050*x*z + 8897*z^2
  (-87/191 : -6400/24257 : 1)  C1b (-97518/3725 : -14023/18923 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-11962950/1249073 : -342955/1249073 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (650289/49162 : 17797/49162 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-506134/371603 : 891/21859 : 1)
** u= 105/8 ; tau(u)= 89/97 ; -7793*x^2 - 10897*y^2 + 18946*x*z - 7793*z^2
  (207/211 : 116/211 : 1)  C1a (-356086582/3031147 : -10626741/3031147 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (192506/705009 : -23531/705009 : 1)
** u= 112/153 ; tau(u)= 194/41 ; 9182*x^2 + 34274*y^2 + 50180*x*z + 9182*z^2
  (-48007/111323 : -62346/111323 : 1)  C1b (1337235/1254562 : -54415/1254562 : 1)
** u= 112/173 ; tau(u)= 234/61 ; 5102*x^2 + 47314*y^2 + 67300*x*z + 5102*z^2
  (-1161/14573 : 1010/14573 : 1)  C1b (21144681/520414 : -569983/520414 : 1)
** u= -112/181 ; tau(u)= 474/293 ; -159154*x^2 + 52978*y^2 + 237220*x*z - 159154*z^2
  (4543/12132 : 16043/12132 : 1)  C2b (1231544609/157004739 : -54033497/157004739 : 1)
** u= -112/193 ; tau(u)= 498/305 ; -173506*x^2 + 61954*y^2 + 260548*x*z - 173506*z^2
  (237/164 : -263/164 : 1)  C2b (367111/1087146 : 40981/1087146 : 1)
** u= -113/81 ; tau(u)= 275/194 ; -62503*x^2 + 353*y^2 + 88394*x*z - 62503*z^2
  (83/191 : 1926/191 : 1)  C2b (-342158/244639 : -193937/244639 : 1)
** u= 114/61 ; tau(u)= -8/53 ; 7378*x^2 - 5554*y^2 + 13060*x*z + 7378*z^2
  (-7819/4723 : -4900/4723 : 1)  C1a (825038/181343 : 32491/181343 : 1)
** u= 115/173 ; tau(u)= 231/58 ; 6497*x^2 + 46633*y^2 + 66586*x*z + 6497*z^2
  (-2498147/12621949 : 4685894/12621949 : 1)  C1b (-615734/2639643 : 71453/2639643 : 1)
** u= 116/121 ; tau(u)= 126/5 ; 13406*x^2 + 15826*y^2 + 29332*x*z + 13406*z^2
  (-2603/3656 : 759/3656 : 1)  C1b (-22037/166713 : -4847/166713 : 1)
** u= 123/149 ; tau(u)= 175/26 ; 13777*x^2 + 29273*y^2 + 45754*x*z + 13777*z^2
  (-4873/2443 : -2150/2443 : 1)  C1b (66102902/4025881 : 1901109/4025881 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (126537746/367609 : 46420587/2573263 : 1)
** u= 124/125 ; tau(u)= 126 ; 15374*x^2 + 15874*y^2 + 31252*x*z + 15374*z^2
  (-352/313 : -45/313 : 1)  C1b (-507246/101141 : 14743/101141 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (4905739/256903 : -540081/256903 : 1)
** u= 126 ; tau(u)= 124/125 ; -15374*x^2 - 15874*y^2 + 31252*x*z - 15374*z^2
  (352/313 : 45/313 : 1)  C1a (-488771/184513 : 19031/184513 : 1)
** u= 126/5 ; tau(u)= 116/121 ; -13406*x^2 - 15826*y^2 + 29332*x*z - 13406*z^2
  (393/256 : 11/256 : 1)  C1a (2418682/840183 : -66553/840183 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (-34695/4934 : -16555/4934 : 1)
** u= -127/169 ; tau(u)= 465/296 ; -159103*x^2 + 40993*y^2 + 232354*x*z - 159103*z^2
  (-33/245 : -76/35 : 1)  C2b (-327469/192743 : 25797/192743 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (2921139/59687 : 79189/59687 : 1)
** u= 128/193 ; tau(u)= 258/65 ; 7934*x^2 + 58114*y^2 + 82948*x*z + 7934*z^2
  (-2283/23621 : -2048/165347 : 1)  C1b (76319/36938 : -16581/258566 : 1)
** u= 129/16 ; tau(u)= 97/113 ; -8897*x^2 - 16129*y^2 + 26050*x*z - 8897*z^2
  (71/31 : 64/127 : 1)  C1a (2014/509 : -6921/64643 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (12935002/2334949 : -352629/2334949 : 1)
** u= 130/89 ; tau(u)= -48/41 ; 13538*x^2 - 1058*y^2 + 19204*x*z + 13538*z^2
  (-209/159 : -12154/3657 : 1)  C1a (-19/2 : 39/46 : 1)
** u= 131/50 ; tau(u)= 31/81 ; 4039*x^2 - 12161*y^2 + 18122*x*z + 4039*z^2
  (1309/347 : -1134/347 : 1)  C1a (-804266/433607 : -22693/433607 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (1872034/642719 : -3461/37807 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (478407/390787 : -21181/390787 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (-52949941594/736743439 : 1426909787/736743439 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (165023/67214 : 5757/67214 : 1)
** u= 138/89 ; tau(u)= -40/49 ; 14242*x^2 - 3202*y^2 + 20644*x*z + 14242*z^2
  (-101/710 : 1351/710 : 1)  C1a (487973/47058 : 29867/47058 : 1)
** u= 138/97 ; tau(u)= -56/41 ; 15682*x^2 - 226*y^2 + 22180*x*z + 15682*z^2
  (-144/121 : -863/121 : 1)  C1a (-254994/138391 : -41363/138391 : 1)
** u= -140/137 ; tau(u)= 414/277 ; -133858*x^2 + 17938*y^2 + 190996*x*z - 133858*z^2
  (3164/14377 : 33657/14377 : 1)  C2b (5954901/520783 : 412283/520783 : 1)
** u= 140/193 ; tau(u)= 246/53 ; 13982*x^2 + 54898*y^2 + 80116*x*z + 13982*z^2
  (-7713/35228 : 8081/35228 : 1)  C1b (-14187701/3461006 : -381559/3461006 : 1)
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
  (683/163 : 232/163 : 1)  C1a (101229227/7026777 : 2724463/7026777 : 1)
** u= -143/149 ; tau(u)= 441/292 ; -150079*x^2 + 23953*y^2 + 214930*x*z - 150079*z^2
  (-351/1499 : 4424/1499 : 1)  C2b (1140838/2658855 : 27475/531771 : 1)
** u= 143/193 ; tau(u)= 243/50 ; 15449*x^2 + 54049*y^2 + 79498*x*z + 15449*z^2
  (-4889/20855 : 4338/20855 : 1)  C1b (49818118/4758213 : 1393787/4758213 : 1)
** u= 146/29 ; tau(u)= 88/117 ; -6062*x^2 - 19634*y^2 + 29060*x*z - 6062*z^2
  (5761/3263 : 3780/3263 : 1)  C1a (985154/562785 : 5639/112557 : 1)
** u= 146/85 ; tau(u)= -24/61 ; 13874*x^2 - 6866*y^2 + 21892*x*z + 13874*z^2
  (-1853/688 : 1957/688 : 1)  C1a (-1933493/124543 : 74787/124543 : 1)
** u= 147/74 ; tau(u)= -1/73 ; 10951*x^2 - 10657*y^2 + 21610*x*z + 10951*z^2
  (-4331/4439 : -734/4439 : 1)  C1a (1930474/1806781 : 104197/1806781 : 1)
** u= 150/101 ; tau(u)= -52/49 ; 17698*x^2 - 2098*y^2 + 25204*x*z + 17698*z^2
  (-207/32 : -539/32 : 1)  C1a (-17222/539 : 1317/539 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (-84729166/7609061 : 10646127/7609061 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (-59902/166071 : -39611/166071 : 1)
** u= 152/169 ; tau(u)= 186/17 ; 22526*x^2 + 34018*y^2 + 57700*x*z + 22526*z^2
  (-1559/2961 : 92/423 : 1)  C1b (-135222/12763 : 3841/12763 : 1)
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a (-23092442/4631233 : 666139/4631233 : 1)
** u= -155/137 ; tau(u)= 429/292 ; -146503*x^2 + 13513*y^2 + 208066*x*z - 146503*z^2
  (-18609/216985 : -759196/216985 : 1)  C2b (-588619/538242 : 92069/538242 : 1)
** u= 157/40 ; tau(u)= 77/117 ; -2729*x^2 - 21449*y^2 + 30578*x*z - 2729*z^2
  (18515/11623 : 15684/11623 : 1)  C1a (-975386/1439817 : 48733/1439817 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (-191303/103477 : -15297/103477 : 1)
** u= -159/169 ; tau(u)= 497/328 ; -189887*x^2 + 31841*y^2 + 272290*x*z - 189887*z^2
  (7737/1211 : 16900/1211 : 1)  C2b (8325418/5720453 : -393573/5720453 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (2447734/182665 : 13275/36533 : 1)
** u= 161/169 ; tau(u)= 177/8 ; 25793*x^2 + 31201*y^2 + 57250*x*z + 25793*z^2
  (-47169/42661 : -18668/42661 : 1)  C1b (2552691/535894 : 86603/535894 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (2092709/1395047 : -59161/1395047 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a (-7396274/1437329 : -200307/1437329 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (511646/121917 : -19129/121917 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (-104067514/1301439 : 3178237/1301439 : 1)
** u= 174/53 ; tau(u)= 68/121 ; 994*x^2 - 24658*y^2 + 34900*x*z + 994*z^2
  (-409/15336 : -11/216 : 1)  C1a (6895439918/1075039473 : -188058763/1075039473 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (24005/24814 : 7005/173698 : 1)
** u= 174/73 ; tau(u)= 28/101 ; 9874*x^2 - 19618*y^2 + 31060*x*z + 9874*z^2
  (-7/148 : 97/148 : 1)  C1a (-145561/157891 : -5037/157891 : 1)
** u= 175/26 ; tau(u)= 123/149 ; -13777*x^2 - 29273*y^2 + 45754*x*z - 13777*z^2
  (3527/2325 : 2102/2325 : 1)  C1a (-150506/1089523 : -32253/1089523 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
  (21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1)  C2b (-118005118/19826531 : -8257551/19826531 : 1)
** u= 177/8 ; tau(u)= 161/169 ; -25793*x^2 - 31201*y^2 + 57250*x*z - 25793*z^2
  (5209/7661 : -1508/7661 : 1)  C1a (-5764049617/76822933 : 177161691/76822933 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (-749798/115679 : 23073/115679 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-1199942/859003 : -59823/859003 : 1)
** u= 183/82 ; tau(u)= 19/101 ; 13087*x^2 - 20041*y^2 + 33850*x*z + 13087*z^2
  (-2843/7151 : -14570/50057 : 1)  C1a (24369/30250 : -1871/42350 : 1)
** u= 186/17 ; tau(u)= 152/169 ; -22526*x^2 - 34018*y^2 + 57700*x*z - 22526*z^2
  (96751/193929 : -26884/193929 : 1)  C1a (4932598/289763 : 141777/289763 : 1)
** u= 186/49 ; tau(u)= 88/137 ; -2942*x^2 - 29794*y^2 + 42340*x*z - 2942*z^2
  (4/11 : 7/11 : 1)  C1a (2346222/1098295 : 13553/219659 : 1)
** u= 186/61 ; tau(u)= 64/125 ; 3346*x^2 - 27154*y^2 + 38692*x*z + 3346*z^2
  (-7729/669 : 220/669 : 1)  C1a (171369/161789 : 389/9517 : 1)
** u= 194/41 ; tau(u)= 112/153 ; -9182*x^2 - 34274*y^2 + 50180*x*z - 9182*z^2
  (137/181 : 150/181 : 1)  C1a (-553570/115359 : 15985/115359 : 1)
** u= 198/61 ; tau(u)= 76/137 ; 1666*x^2 - 31762*y^2 + 44980*x*z + 1666*z^2
  (5636/12791 : 10599/12791 : 1)  C1a (-1599085/608954 : 45355/608954 : 1)
166
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-52/37のとき

101328742831348745022^4+513314840667256393423^4+8795457442426256140061^4=1932578*235898638982606996719^4
910117410078855108112869880276133274447634032400718955410553687768670965945048560890350686134258542318002958721585291240931456607826622563147683963930714292774123078468003434946921975995608685191678^4+980620487961010471457675241520371002355820345905604022252264083932373229665902856130126497539371876593542830145170334175183700546246443712377063350950390059183625134019075372840151441280011823058107^4+14280621612470981166005906806663104969207651654565397856119056040605963844249864272719706004581809721906893617792171440063208691941087592158800964898387631984141246097399457088270479630551507222729031^4=1932578*383016125917136334159842011835706241306586240327305134815430461722266791079869142042825060750245772883187613203554135524468955319265933349803522507195600911451709683618399826463622063434726508637049^4
...

u=28/101のとき

130632161133^4+2462054303353^4+3679473248378^4=1932578*103297378891^4
99228896676684154^4+175482242020404531^4+219143015283136871^4=1932578*6453203689818037^4
24630769906415413542022482493^4+291772980288910671446492036927^4+814810532121754514297945428382^4=1932578*21942853938049280909825844471^4
64907008636499619309363239929839464148534626^4+98835865150177391530903617501110705024508899^4+262140795697053434792430456903421294493649761^4=1932578*7072480970110749446118608433710707570854153^4
51346485558946543328293060550086237211304465927313837446766985898157^4+304093264560873971641444294047666144762238528818964133995197467998663^4+513902321990058390894445153186906752721228596235928016054631353802362^4=1932578*14187720147325977331947598046947494195179180039063268056666062206539^4
220253798863731719866074320076587902495691307231642106675747018647649385017736591315779086041^4+324889177589244414002137771048525392730269628606634831229459283702919467130153841512804992134^4+1012931608456343829028406538422590104757655626425514866929808106092865343930437846414332931699^4=1932578*27253909013497711645351198066112071738516925179590427290445902377663142225429402171411841973^4
11890465214312702934244208535632904890316771680518046875106567252492154569566329791239723044606560580913423199^4+12562143223163667399478219991661831798997426169643203975690657730349393221842812835172324963243113638409730254^4+42417931800175092475070224899415033422185832166948109363974048223079955712399106631889274263073773004851326659^4=1932578*1141590778534882508954545227963498416670005001911257482298520795533729413409748275505722312631437122641428153^4
429687649246138471656913635170598959010078634330687290986394245728263806167784759565268458264745562711687017006580474^4+475743585458846714501569920066455341208456829428388915327158019027690180452834148595357951553407636908437152817872069^4+1525399913460083470402944467679643429587364549804937346630962323773810622779346924754807067770044777529188570834010129^4=1932578*41072106761577674613690922416545923994275108011048655638386321309265088966752743838480164212157001296954651069532957^4
3318989078576096824200418936704816010949107809221017923264588350973093191789444425739744157252934316945587634662594710895922^4+9574463238505585395090019574555285640701945130383360873172886187430619886396808759026392924712080197471932027802151096140963^4+10099243156619724690097502984845950854854779483766883958864671710969043344738619431155831807030180910008513521254882308550657^4=1932578*314586667518865965725679197503174526482564660842693855085247129831842737339982696044507596969965090659994685887337574622279^4
2124383410734399449508420513454748659133806943811517127142156853172782226675840470833325806334738241348797929432544559635006197114^4+2818976160200084473702949933299014448284003885211649730537874418044077747749766092946916052618185609421034923804961727212019272371^4+3968937706629514271592475474679300897863303921562865597188579662737094390648042820064785186716849776990019655525391865196429796889^4=1932578*114455798954418074240613349548476083495648034663369821302080380709776723284620307164256736391074872280028703517554077381037371317^4
60417965366778040247726534766523728689877968303244525124289423070032652793585570647728537058199677984973248723307163811252129054093892684950717234^4+146513663853004379636343349116270443384172437563531760557401048946852690202380611757403309973359167624537244809461652354180324797023892559831767811^4+163268003314959314632859662683097722724890538349750519768260735634725922755974682927894023641776015479419329785674873819606615968963396544792040929^4=1932578*4975846752485088495279368033723565809512110031162070917745295991758141956754761809931761176355553545879577847938027344179788637745888789173476537^4
3917327901900329775540574388283105609142900390682963763977333809301586277629810267475822059319971958540633955077861312319627461394753756611235975160742319859697^4+39327306260509728471331802603970171637135332749993615578494702860919198319698779471861357563935922840973625142005979514018671081511706598997651345074973230313317^4+49476215160330850210737574149303267597356546619894844678445209041149730796792748949841059722570807400001484996550295546502484471507140900541086662076070660461318^4=1932578*1443228970384476389282621064781543132937933337938028096602057710386607857936266823865248260359844078129921804996663184695852281550002544686907068848288561955299^4
7446495764925758028650303095060448518356408057608965703092885474594992531414006624165933979575035191901001745741707165063461907786247158100308152836694284619570298^4+30666548524934472052991516108941743878451511098578231593208332715703232486087049910262683934165361949118866048956216311669815369282927195089478126627909400960088327^4+32449235500791620228538784534036431074187619074099642836417058491718341518541510203678276871651581486865154140906456223425214740457755459842989033840778796077148947^4=1932578*1008131340021872792760552654556321519168186316220986592561960787505909395750737044029250570906678404639199803957947361622048247068745198103573465358182003984953931^4
13731462401298468132959208579650250681692953626314128982621803723035814276557578656857621879721057576147393361249908506789787921968877482109809675938755060686590909114464141216077977537686445858083^4+267755189009046661564580193996009423414081059949009575284744769976897680927164332536014653665515482347396362647976908477827686674453987781055046562555788314249589201647213715229478495467539975675263^4+356185476632218958366852473914350794142507957463844045521877582582580649904069362484388580600778959903276599899148755957473320536507868268052193999065148710556871067495080447732916906452569878558002^4=1932578*10238372263929470951221552451446687850305675875237477203695956226170399880818546246709639730928894029290781484074255855918505008029100104018011633196855451640727406843364668848026528610058755156039^4
...

u=-125/101のとき

12728430312948726704973^4+21461532828467021127583^4+135224697922154169800306^4=1932578*3627430878492984591263^4
19105204307188567273950811170239118440140792825736219719859382131948847221274119960343031910337958964985587096384763711646562294433228868774683763002921747724773102451769230859789597328757357091534458005827533^4+162810727100285044551721882777165384679704313264908918265044719895174016349402944973419463131482797699089452503574685570481534228998394578768670219507418832365405439334445699089990990990412140789595410371213063^4+752692643701031708712174411663419785310376833735525791591890305323409256361972217824402806850438207537092708796348517469769058839634176179725374927787751660499491125370361215030606207085344902663665387508255846^4=1932578*20198581691505507442012138872086277114827056370931394905348186078742948464003155262968196417874478750377788223161055087175618125486794037579712441967028492443287167578252874142907597317317884006491120140167333^4
...

u=-5/117のとき

452500536169517516094^4+823742386103319270269^4+1160078784327577806233^4=1932578*33077493446993186419^4
150075406015475818533634653941864962190369382129280922619402902028097202316470226803532134147459751549060227753758203526866442242688848325547933567391103299639324836202178929748189765828261^4+331772390115719076506568641631690306895478461366625026828049158592452257501066975723078667066645974539575707132126437475115042755063877108772237908368690617210650223418562063470573173875631^4+498201303247040213895239234728357960148299980947542145722552287841296116442950525432125495645122686477832453986782584684341977920624687022227655677583136769865655626521067218388059763627998^4=1932578*13999382040421745114014221982316262986159086279020284835883633195294879613339564337860894351591536456829527535848848454010733929674395732492370710951754018650695461869085318263515771104499^4
...

[2026.01.23追記] u=28/101,-52/37,-125/101のときの整点を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.01.23

H.Nakao