Integer Points on A^4+B^4+C^4=1916882*D^4
[2026.01.24]A^4+B^4+C^4=1916882*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
1916882=2*979^2であるので、以下では、n=979とする。
■n=977のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=979;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように119個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(979,1,200);
** u= -3/49 ; tau(u)= 101/52 ; -5399*x^2 + 4793*y^2 + 10210*x*z - 5399*z^2
(6497/32943 : 28532/32943 : 1) C2b (193986/58607 : 5621/58607 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
(-4507/888 : -5047/888 : 1) C1b (39415/360394 : -10605/360394 : 1)
** u= 4/157 ; tau(u)= 310/153 ; -46802*x^2 + 49282*y^2 + 96116*x*z - 46802*z^2
(-35963/301286 : 329493/301286 : 1) C1b (6185005/2893766 : 170539/2893766 : 1)
** u= 7/25 ; tau(u)= 43/18 ; -599*x^2 + 1201*y^2 + 1898*x*z - 599*z^2
(-841/2179 : -2370/2179 : 1) C1b (3310975/63726 : -7193/4902 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
(10141/7671 : -3688/7671 : 1) C2b (-10087741/2099858 : 370293/2099858 : 1)
** u= 8/17 ; tau(u)= 26/9 ; -98*x^2 + 514*y^2 + 740*x*z - 98*z^2
(31/956 : -363/956 : 1) C1b (-101705/32558 : -3005/32558 : 1)
** u= 8/53 ; tau(u)= 98/45 ; -3986*x^2 + 5554*y^2 + 9668*x*z - 3986*z^2
(-673/3571 : -3696/3571 : 1) C1b (19225/20159 : -637/20159 : 1)
** u= 9/13 ; tau(u)= 17/4 ; 49*x^2 + 257*y^2 + 370*x*z + 49*z^2
(-167/103 : -132/103 : 1) C1b (2131/3898 : 127/3898 : 1)
** u= -12/29 ; tau(u)= 70/41 ; -3218*x^2 + 1538*y^2 + 5044*x*z - 3218*z^2
(18/49 : -53/49 : 1) C2b (-44890/21517 : 2493/21517 : 1)
** u= 13/17 ; tau(u)= 21/4 ; 137*x^2 + 409*y^2 + 610*x*z + 137*z^2
(-397/1673 : 16/1673 : 1) C1b (-18851/4078 : 507/4078 : 1)
** u= 13/49 ; tau(u)= 85/36 ; -2423*x^2 + 4633*y^2 + 7394*x*z - 2423*z^2
(-337/601 : -756/601 : 1) C1b (-3006338/1795265 : -113477/1795265 : 1)
** u= -15/101 ; tau(u)= 217/116 ; -26687*x^2 + 20177*y^2 + 47314*x*z - 26687*z^2
(111/77 : 64/77 : 1) C2b (1545894/4262705 : 125383/4262705 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
(285/691 : 658/691 : 1) C2b (-17786/6595 : 867/6595 : 1)
** u= 16/61 ; tau(u)= 106/45 ; -3794*x^2 + 7186*y^2 + 11492*x*z - 3794*z^2
(211/1817 : 1074/1817 : 1) C1b (2551/77889 : 2203/77889 : 1)
** u= 17/4 ; tau(u)= 9/13 ; -49*x^2 - 257*y^2 + 370*x*z - 49*z^2
(61/49 : -8/7 : 1) C1a (-101705/32558 : -3005/32558 : 1)
** u= -17/65 ; tau(u)= 147/82 ; -13159*x^2 + 8161*y^2 + 21898*x*z - 13159*z^2
(-103/1389 : 1874/1389 : 1) C2b (34674979/5638294 : 1170159/5638294 : 1)
** u= 21/4 ; tau(u)= 13/17 ; -137*x^2 - 409*y^2 + 610*x*z - 137*z^2
(27/19 : 20/19 : 1) C1a (39418/12545 : -213/2509 : 1)
** u= -21/37 ; tau(u)= 95/58 ; -6287*x^2 + 2297*y^2 + 9466*x*z - 6287*z^2
(-4795/11157 : 24982/11157 : 1) C2b (-2724446/5941 : -125171/5941 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
(-987/26695 : -17924/26695 : 1) C1b (389458/702147 : -19759/702147 : 1)
** u= 24/53 ; tau(u)= 82/29 ; -1106*x^2 + 5042*y^2 + 7300*x*z - 1106*z^2
(-309/763 : 100/109 : 1) C1b (186591/37022 : 5021/37022 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
(-696/1915 : -15539/13405 : 1) C1b (-25240706/829715 : 5249187/5808005 : 1)
** u= -24/125 ; tau(u)= 274/149 ; -43826*x^2 + 30674*y^2 + 75652*x*z - 43826*z^2
(8011/25031 : 155320/175217 : 1) C2b (-1031570/118267 : 274349/827869 : 1)
** u= 24/149 ; tau(u)= 274/125 ; -30674*x^2 + 43826*y^2 + 75652*x*z - 30674*z^2
(-67963/1570773 : 1383620/1570773 : 1) C1b (-1113922/445815 : 40301/445815 : 1)
** u= -25/49 ; tau(u)= 123/74 ; -10327*x^2 + 4177*y^2 + 15754*x*z - 10327*z^2
(4143/1483 : -4970/1483 : 1) C2b (37619/34739 : 1323/34739 : 1)
** u= 26/9 ; tau(u)= 8/17 ; 98*x^2 - 514*y^2 + 740*x*z + 98*z^2
(-113/1861 : -600/1861 : 1) C1a (2131/3898 : 127/3898 : 1)
** u= 27/29 ; tau(u)= 31/2 ; 721*x^2 + 953*y^2 + 1690*x*z + 721*z^2
(-443/773 : 82/773 : 1) C1b (232506/179005 : 2099/35801 : 1)
** u= 28/73 ; tau(u)= 118/45 ; -3266*x^2 + 9874*y^2 + 14708*x*z - 3266*z^2
(2758/19829 : -7149/19829 : 1) C1b (-1204341/141565 : 34297/141565 : 1)
** u= 28/109 ; tau(u)= 190/81 ; -12338*x^2 + 22978*y^2 + 36884*x*z - 12338*z^2
(3259/1052 : 891/1052 : 1) C1b (-94569/59954 : -3659/59954 : 1)
** u= 31/2 ; tau(u)= 27/29 ; -721*x^2 - 953*y^2 + 1690*x*z - 721*z^2
(941/919 : -474/919 : 1) C1a (257573/26635 : 1489/5327 : 1)
** u= -35/37 ; tau(u)= 109/72 ; -9143*x^2 + 1513*y^2 + 13106*x*z - 9143*z^2
(-253/2209 : -5892/2209 : 1) C2b (1010/243 : -5081/21627 : 1)
** u= 35/61 ; tau(u)= 87/26 ; -127*x^2 + 6217*y^2 + 8794*x*z - 127*z^2
(-83/93 : 106/93 : 1) C1b (85717/14482 : -2331/14482 : 1)
** u= 36/41 ; tau(u)= 46/5 ; 1246*x^2 + 2066*y^2 + 3412*x*z + 1246*z^2
(-865/752 : 531/752 : 1) C1b (-293742/126295 : -7961/126295 : 1)
** u= 36/137 ; tau(u)= 238/101 ; -19106*x^2 + 36242*y^2 + 57940*x*z - 19106*z^2
(778/2187 : 347/2187 : 1) C1b (-1483078/2410359 : 92003/2410359 : 1)
** u= -36/137 ; tau(u)= 310/173 ; -58562*x^2 + 36242*y^2 + 97396*x*z - 58562*z^2
(2033/8590 : 8887/8590 : 1) C2b (-10301286/3847091 : -481009/3847091 : 1)
** u= -37/61 ; tau(u)= 159/98 ; -17839*x^2 + 6073*y^2 + 26650*x*z - 17839*z^2
(10401/44129 : 63434/44129 : 1) C2b (-243818/1051399 : 58137/1051399 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
(-911/573 : 574/573 : 1) C1b (-193903/16233 : 5309/16233 : 1)
** u= 43/18 ; tau(u)= 7/25 ; 599*x^2 - 1201*y^2 + 1898*x*z + 599*z^2
(-419/1999 : -870/1999 : 1) C1a (-670/419 : 19/419 : 1)
** u= 45/49 ; tau(u)= 53/4 ; 1993*x^2 + 2777*y^2 + 4834*x*z + 1993*z^2
(-209/309 : -112/309 : 1) C1b (348835/124779 : -12407/124779 : 1)
** u= 45/53 ; tau(u)= 61/8 ; 1897*x^2 + 3593*y^2 + 5746*x*z + 1897*z^2
(-7159/18635 : 1716/18635 : 1) C1b (-8107318/232787 : 229589/232787 : 1)
** u= 46/5 ; tau(u)= 36/41 ; -1246*x^2 - 2066*y^2 + 3412*x*z - 1246*z^2
(40/57 : 29/57 : 1) C1a (-27010/14011 : 1007/14011 : 1)
** u= 48/85 ; tau(u)= 122/37 ; -434*x^2 + 12146*y^2 + 17188*x*z - 434*z^2
(5591/224853 : -5354/224853 : 1) C1b (-730903/105322 : 19923/105322 : 1)
** u= 48/185 ; tau(u)= 322/137 ; -35234*x^2 + 66146*y^2 + 105988*x*z - 35234*z^2
(-211/508 : -577/508 : 1) C1b (7468314/3923929 : 205669/3923929 : 1)
** u= -51/65 ; tau(u)= 181/116 ; -24311*x^2 + 5849*y^2 + 35362*x*z - 24311*z^2
(69341/105087 : 6424/4569 : 1) C2b (9291165/9404101 : -410689/9404101 : 1)
** u= 53/4 ; tau(u)= 45/49 ; -1993*x^2 - 2777*y^2 + 4834*x*z - 1993*z^2
(209/393 : -28/393 : 1) C1a (19225/20159 : -637/20159 : 1)
** u= 56/101 ; tau(u)= 146/45 ; -914*x^2 + 17266*y^2 + 24452*x*z - 914*z^2
(251/7507 : -564/7507 : 1) C1b (8982/863 : -21521/76807 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
(-21933/71317 : 53012/71317 : 1) C1b (-36242/716689 : -19411/716689 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
(10025/52383 : -4624/52383 : 1) C1b (-10555898/2750233 : 312211/2750233 : 1)
** u= 57/157 ; tau(u)= 257/100 ; -16751*x^2 + 46049*y^2 + 69298*x*z - 16751*z^2
(-41767/237387 : -189880/237387 : 1) C1b (-28619530/2168029 : 810057/2168029 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
(1025/347 : 266/347 : 1) C1a (201170/206367 : -6899/206367 : 1)
** u= 60/73 ; tau(u)= 86/13 ; 3262*x^2 + 7058*y^2 + 10996*x*z + 3262*z^2
(-38/113 : -11/113 : 1) C1b (41715/1181 : -1187/1181 : 1)
** u= 61/8 ; tau(u)= 45/53 ; -1897*x^2 - 3593*y^2 + 5746*x*z - 1897*z^2
(5/9 : 4/9 : 1) C1a (2551/77889 : 2203/77889 : 1)
** u= 63/73 ; tau(u)= 83/10 ; 3769*x^2 + 6689*y^2 + 10858*x*z + 3769*z^2
(-2183/3217 : -1698/3217 : 1) C1b (-71682/62567 : -2219/62567 : 1)
** u= 63/145 ; tau(u)= 227/82 ; -9479*x^2 + 38081*y^2 + 55498*x*z - 9479*z^2
(7031/55739 : 14646/55739 : 1) C1b (-2680690/5258067 : 171787/5258067 : 1)
** u= -65/97 ; tau(u)= 259/162 ; -48263*x^2 + 14593*y^2 + 71306*x*z - 48263*z^2
(-42871/387625 : -764334/387625 : 1) C2b (-1955153427/785415365 : -127540871/785415365 : 1)
** u= -67/145 ; tau(u)= 357/212 ; -85399*x^2 + 37561*y^2 + 131938*x*z - 85399*z^2
(35/81 : -88/81 : 1) C2b (-544390630/25178039 : -23762121/25178039 : 1)
** u= -68/49 ; tau(u)= 166/117 ; -22754*x^2 + 178*y^2 + 32180*x*z - 22754*z^2
(46/11 : 441/11 : 1) C2b (283/234 : -5489/20826 : 1)
** u= 68/181 ; tau(u)= 294/113 ; -20914*x^2 + 60898*y^2 + 91060*x*z - 20914*z^2
(67687/836328 : 396403/836328 : 1) C1b (-1322342/1550719 : 62379/1550719 : 1)
** u= 70/41 ; tau(u)= -12/29 ; 3218*x^2 - 1538*y^2 + 5044*x*z + 3218*z^2
(21/212 : -331/212 : 1) C1a (-120349/11515 : 4639/11515 : 1)
** u= 72/85 ; tau(u)= 98/13 ; 4846*x^2 + 9266*y^2 + 14788*x*z + 4846*z^2
(-599/253 : 144/253 : 1) C1b (760046/282035 : 25499/282035 : 1)
** u= -72/113 ; tau(u)= 298/185 ; -63266*x^2 + 20354*y^2 + 93988*x*z - 63266*z^2
(1823/8660 : 13059/8660 : 1) C2b (-154219/1117595 : -59573/1117595 : 1)
** u= -75/197 ; tau(u)= 469/272 ; -142343*x^2 + 71993*y^2 + 225586*x*z - 142343*z^2
(-22649/4481 : 37040/4481 : 1) C2b (681895/2048287 : -68099/2048287 : 1)
** u= -76/73 ; tau(u)= 222/149 ; -38626*x^2 + 4882*y^2 + 55060*x*z - 38626*z^2
(436/231 : 127/33 : 1) C2b (-55166/24595 : 1131/4919 : 1)
** u= 79/97 ; tau(u)= 115/18 ; 5593*x^2 + 12577*y^2 + 19466*x*z + 5593*z^2
(-14045/39899 : -498/2347 : 1) C1b (-469503/322250 : -13697/322250 : 1)
** u= 82/29 ; tau(u)= 24/53 ; 1106*x^2 - 5042*y^2 + 7300*x*z + 1106*z^2
(-953/7296 : 1345/7296 : 1) C1a (-79522/29069 : -2187/29069 : 1)
** u= 83/10 ; tau(u)= 63/73 ; -3769*x^2 - 6689*y^2 + 10858*x*z - 3769*z^2
(623/1321 : 366/1321 : 1) C1a (6617/2670 : -179/2670 : 1)
** u= -84/61 ; tau(u)= 206/145 ; -34994*x^2 + 386*y^2 + 49492*x*z - 34994*z^2
(5/22 : -179/22 : 1) C2b (266551/13705 : 65777/13705 : 1)
** u= -84/73 ; tau(u)= 230/157 ; -42242*x^2 + 3602*y^2 + 59956*x*z - 42242*z^2
(1809/14998 : -47167/14998 : 1) C2b (4685635/2638522 : 312617/2638522 : 1)
** u= 84/85 ; tau(u)= 86 ; 7054*x^2 + 7394*y^2 + 14452*x*z + 7054*z^2
(-1842/2107 : -337/2107 : 1) C1b (-336893/157050 : 9293/157050 : 1)
** u= -84/97 ; tau(u)= 278/181 ; -58466*x^2 + 11762*y^2 + 84340*x*z - 58466*z^2
(-1384/957 : 4855/957 : 1) C2b (-257405/147106 : -22675/147106 : 1)
** u= 85/36 ; tau(u)= 13/49 ; 2423*x^2 - 4633*y^2 + 7394*x*z + 2423*z^2
(-1163/3193 : -336/3193 : 1) C1a (760046/282035 : 25499/282035 : 1)
** u= 86 ; tau(u)= 84/85 ; -7054*x^2 - 7394*y^2 + 14452*x*z - 7054*z^2
(4070/5073 : 29/5073 : 1) C1a (-1459438/389993 : 53223/389993 : 1)
** u= 86/13 ; tau(u)= 60/73 ; -3262*x^2 - 7058*y^2 + 10996*x*z - 3262*z^2
(38/113 : 11/113 : 1) C1a (115999/232295 : 6397/232295 : 1)
** u= 87/26 ; tau(u)= 35/61 ; 127*x^2 - 6217*y^2 + 8794*x*z + 127*z^2
(319/12585 : -2986/12585 : 1) C1a (-2273863/276718 : 61461/276718 : 1)
** u= -92/169 ; tau(u)= 430/261 ; -127778*x^2 + 48658*y^2 + 193364*x*z - 127778*z^2
(38767/37844 : -43329/37844 : 1) C2b (93875/482781 : 19219/482781 : 1)
** u= 93/125 ; tau(u)= 157/32 ; 6601*x^2 + 22601*y^2 + 33298*x*z + 6601*z^2
(-6697/1393 : 40/199 : 1) C1b (122682874/7325455 : -3410819/7325455 : 1)
** u= 95/58 ; tau(u)= -21/37 ; 6287*x^2 - 2297*y^2 + 9466*x*z + 6287*z^2
(-5755/6531 : -7246/6531 : 1) C1a (-48109/930 : -2179/930 : 1)
** u= -96/173 ; tau(u)= 442/269 ; -135506*x^2 + 50642*y^2 + 204580*x*z - 135506*z^2
(-8917/8227 : -26272/8227 : 1) C2b (21512198/8557095 : -155273/1711419 : 1)
** u= 98/13 ; tau(u)= 72/85 ; -4846*x^2 - 9266*y^2 + 14788*x*z - 4846*z^2
(57/22 : 7/22 : 1) C1a (-3006338/1795265 : -113477/1795265 : 1)
** u= 98/45 ; tau(u)= 8/53 ; 3986*x^2 - 5554*y^2 + 9668*x*z + 3986*z^2
(-2764/11243 : -6489/11243 : 1) C1a (348835/124779 : -12407/124779 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
(-4345/27411 : 11068/27411 : 1) C1a (-17957/15573 : 571/15573 : 1)
** u= 101/52 ; tau(u)= -3/49 ; 5399*x^2 - 4793*y^2 + 10210*x*z + 5399*z^2
(-13421/16431 : 6104/16431 : 1) C1a (-978058/74499 : -31031/74499 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
(-977/6072 : 4613/6072 : 1) C1a (-20233922/5662271 : -565161/5662271 : 1)
** u= 106/45 ; tau(u)= 16/61 ; 3794*x^2 - 7186*y^2 + 11492*x*z + 3794*z^2
(-353/5386 : -3513/5386 : 1) C1a (-8107318/232787 : 229589/232787 : 1)
** u= 108/193 ; tau(u)= 278/85 ; -2786*x^2 + 62834*y^2 + 88948*x*z - 2786*z^2
(32/21655 : -4451/21655 : 1) C1b (-9247/1527 : -22541/135903 : 1)
** u= 109/72 ; tau(u)= -35/37 ; 9143*x^2 - 1513*y^2 + 13106*x*z + 9143*z^2
(253/2209 : -5892/2209 : 1) C1a (-6418/815 : 391/815 : 1)
** u= -113/193 ; tau(u)= 499/306 ; -174503*x^2 + 61729*y^2 + 261770*x*z - 174503*z^2
(-876041/2476379 : -5357718/2476379 : 1) C2b (-629376630/250853621 : 38079985/250853621 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
(29/153 : -14/9 : 1) C1a (-1106035/451438 : 34719/451438 : 1)
** u= 115/18 ; tau(u)= 79/97 ; -5593*x^2 - 12577*y^2 + 19466*x*z - 5593*z^2
(3061/9475 : -894/9475 : 1) C1a (-205519/42606 : -6229/42606 : 1)
** u= -115/173 ; tau(u)= 461/288 ; -152663*x^2 + 46633*y^2 + 225746*x*z - 152663*z^2
(95671/243253937 : -440001144/243253937 : 1) C2b (-38803950/32209907 : -3235319/32209907 : 1)
** u= 118/45 ; tau(u)= 28/73 ; 3266*x^2 - 9874*y^2 + 14708*x*z + 3266*z^2
(-22/2027 : -1137/2027 : 1) C1a (133082/173265 : -6641/173265 : 1)
** u= -120/157 ; tau(u)= 434/277 ; -139058*x^2 + 34898*y^2 + 202756*x*z - 139058*z^2
(2859/34375 : 64576/34375 : 1) C2b (1225286/273651 : 57553/273651 : 1)
** u= -120/169 ; tau(u)= 458/289 ; -152642*x^2 + 42722*y^2 + 224164*x*z - 152642*z^2
(-15091/107265 : 224536/107265 : 1) C2b (2496721/378066 : 116803/378066 : 1)
** u= 122/37 ; tau(u)= 48/85 ; 434*x^2 - 12146*y^2 + 17188*x*z + 434*z^2
(85/178 : -151/178 : 1) C1a (4213422/666505 : 115127/666505 : 1)
** u= 123/74 ; tau(u)= -25/49 ; 10327*x^2 - 4177*y^2 + 15754*x*z + 10327*z^2
(7153/104007 : -172270/104007 : 1) C1a (-925330/136489 : 36963/136489 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
(52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1) C2b (36412366/7111711 : -3639213/7111711 : 1)
** u= 131/149 ; tau(u)= 167/18 ; 16513*x^2 + 27241*y^2 + 45050*x*z + 16513*z^2
(-24451/13669 : -8778/13669 : 1) C1b (-3047363238/115280921 : 87390847/115280921 : 1)
** u= 136/137 ; tau(u)= 138 ; 18494*x^2 + 19042*y^2 + 37540*x*z + 18494*z^2
(-12093/11303 : -1832/11303 : 1) C1b (145685/412523 : -15885/412523 : 1)
** u= 138 ; tau(u)= 136/137 ; -18494*x^2 - 19042*y^2 + 37540*x*z - 18494*z^2
(664/771 : -61/771 : 1) C1a (-99511/74662 : 4791/74662 : 1)
** u= 146/45 ; tau(u)= 56/101 ; 914*x^2 - 17266*y^2 + 24452*x*z + 914*z^2
(2062/5965 : 4419/5965 : 1) C1a (15/26 : -73/2314 : 1)
** u= 147/82 ; tau(u)= -17/65 ; 13159*x^2 - 8161*y^2 + 21898*x*z + 13159*z^2
(-10103/8111 : -7126/8111 : 1) C1a (-12172069/4032229 : -380109/4032229 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
(-21325/10539 : 9926/10539 : 1) C1b (-1546806/792025 : -3293/60925 : 1)
** u= -147/181 ; tau(u)= 509/328 ; -193559*x^2 + 43913*y^2 + 280690*x*z - 193559*z^2
(-25927/43107 : -135268/43107 : 1) C2b (1020273/1263065 : 10591/252613 : 1)
** u= 152/169 ; tau(u)= 186/17 ; 22526*x^2 + 34018*y^2 + 57700*x*z + 22526*z^2
(-1559/2961 : 92/423 : 1) C1b (-2236687/1003754 : -60729/1003754 : 1)
** u= 157/32 ; tau(u)= 93/125 ; -6601*x^2 - 22601*y^2 + 33298*x*z - 6601*z^2
(2761/2929 : -2680/2929 : 1) C1a (-22792122/2866555 : -645413/2866555 : 1)
** u= 159/98 ; tau(u)= -37/61 ; 17839*x^2 - 6073*y^2 + 26650*x*z + 17839*z^2
(7921/128279 : -230174/128279 : 1) C1a (16320977/431671 : 786483/431671 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
(8013/153559 : 47792/21937 : 1) C2b (28785282/40077223 : 1771771/40077223 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
(-717/10423 : -928/10423 : 1) C1a (-16360942/6137705 : 91863/1227541 : 1)
** u= 166/117 ; tau(u)= -68/49 ; 22754*x^2 - 178*y^2 + 32180*x*z + 22754*z^2
(38/11 : -525/11 : 1) C1a (331/78 : 10549/6942 : 1)
** u= 167/18 ; tau(u)= 131/149 ; -16513*x^2 - 27241*y^2 + 45050*x*z - 16513*z^2
(2309/5063 : -750/5063 : 1) C1a (-201/172762 : 5023/172762 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
(13053/73843 : -60740/10549 : 1) C2b (9338515/3583531 : 1271601/3583531 : 1)
** u= -168/185 ; tau(u)= 538/353 ; -220994*x^2 + 40226*y^2 + 317668*x*z - 220994*z^2
(-106/295 : 887/295 : 1) C2b (4172570/5049701 : 234151/5049701 : 1)
** u= -171/149 ; tau(u)= 469/320 ; -175559*x^2 + 15161*y^2 + 249202*x*z - 175559*z^2
(1127/48809 : -163392/48809 : 1) C2b (7255117/2513550 : 528409/2513550 : 1)
** u= 175/193 ; tau(u)= 211/18 ; 29977*x^2 + 43873*y^2 + 75146*x*z + 29977*z^2
(-73187/36893 : 5910/36893 : 1) C1b (29457630/6143299 : 958333/6143299 : 1)
** u= -180/181 ; tau(u)= 542/361 ; -228242*x^2 + 33122*y^2 + 326164*x*z - 228242*z^2
(10/9 : 19/9 : 1) C2b (876522/345035 : 48311/345035 : 1)
** u= 181/116 ; tau(u)= -51/65 ; 24311*x^2 - 5849*y^2 + 35362*x*z + 24311*z^2
(-1046665/5850359 : 10478252/5850359 : 1) C1a (-19305510/30830017 : 1248503/30830017 : 1)
** u= 184/197 ; tau(u)= 210/13 ; 33518*x^2 + 43762*y^2 + 77956*x*z + 33518*z^2
(-68857/119615 : -9052/119615 : 1) C1b (12126578/1612217 : 389163/1612217 : 1)
** u= 186/17 ; tau(u)= 152/169 ; -22526*x^2 - 34018*y^2 + 57700*x*z - 22526*z^2
(96751/193929 : -26884/193929 : 1) C1a (-18737006/380027 : 555939/380027 : 1)
** u= 190/81 ; tau(u)= 28/109 ; 12338*x^2 - 22978*y^2 + 36884*x*z + 12338*z^2
(-517/1436 : 243/1436 : 1) C1a (-4923599/315970 : -138211/315970 : 1)
** u= -191/149 ; tau(u)= 489/340 ; -194719*x^2 + 7921*y^2 + 275602*x*z - 194719*z^2
(3881/2175 : 1235972/193575 : 1) C2b (-8674/665 : 108627/59185 : 1)
119
>
ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
- [5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2026.01.24 |
| H.Nakao |