Integer Points on A^4+B^4+C^4=1909058*D^4

[2026.01.24]A^4+B^4+C^4=1909058*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

1909058=2*977^2であるので、以下では、n=977とする。

■n=977のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=977;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように129個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(977,1,200);
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (-26933/34476 : 133/2652 : 1)
** u= 1/197 ; tau(u)= 393/196 ; -76831*x^2 + 77617*y^2 + 154450*x*z - 76831*z^2
  (48201/123271 : -74284/123271 : 1)  C1b (9342400/2638637 : -266455/2638637 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (-47599/14047 : 2001/14047 : 1)
** u= -3/101 ; tau(u)= 205/104 ; -21623*x^2 + 20393*y^2 + 42034*x*z - 21623*z^2
  (20951/17421 : 5908/17421 : 1)  C2b (24093424/2317199 : 746601/2317199 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (-28/31 : 1/31 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (11541/5837 : -329/5837 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (1179877/271236 : 35459/271236 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (189144/11747 : 5159/11747 : 1)
** u= -5/29 ; tau(u)= 63/34 ; -2287*x^2 + 1657*y^2 + 3994*x*z - 2287*z^2
  (177/181 : -106/181 : 1)  C2b (1265156/257317 : 39953/257317 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (31/28 : -1/28 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (-435087/997463 : 27397/997463 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (-21413/901 : 16803/15317 : 1)
** u= 7/81 ; tau(u)= 155/74 ; -10903*x^2 + 13073*y^2 + 24074*x*z - 10903*z^2
  (185/293 : -18/293 : 1)  C1b (3636228/1547161 : 99571/1547161 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-133432376/7701979 : -4503813/7701979 : 1)
** u= -8/53 ; tau(u)= 114/61 ; -7378*x^2 + 5554*y^2 + 13060*x*z - 7378*z^2
  (212/279 : 5/9 : 1)  C2b (61752/438977 : 14129/438977 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (-5208631/1887008 : -214077/1887008 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (210087/71216 : 98819/1210672 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (73901/71460 : -497/14292 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (8611549/475292 : 256719/475292 : 1)
** u= 13/45 ; tau(u)= 77/32 ; -1879*x^2 + 3881*y^2 + 6098*x*z - 1879*z^2
  (24137/70751 : -4728/70751 : 1)  C1b (-120537/167137 : 6643/167137 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (-813472/62599 : -24089/62599 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-2116/2241 : -77/2241 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (-254264/29485 : -6195/5897 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
  (-18059/2029 : 24066/2029 : 1)  C2b (112105/704308 : 23165/704308 : 1)
** u= -19/181 ; tau(u)= 381/200 ; -79639*x^2 + 65161*y^2 + 145522*x*z - 79639*z^2
  (-129741/141361 : -293180/141361 : 1)  C2b (492827/1164541 : 33311/1164541 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (-226456/241229 : 8063/241229 : 1)
** u= 21/25 ; tau(u)= 29/4 ; 409*x^2 + 809*y^2 + 1282*x*z + 409*z^2
  (-581/1329 : 400/1329 : 1)  C1b (-71471/22511 : 1929/22511 : 1)
** u= 21/85 ; tau(u)= 149/64 ; -7751*x^2 + 14009*y^2 + 22642*x*z - 7751*z^2
  (-439/20487 : 15712/20487 : 1)  C1b (-27905633/3167393 : -838137/3167393 : 1)
** u= -21/125 ; tau(u)= 271/146 ; -42191*x^2 + 30809*y^2 + 73882*x*z - 42191*z^2
  (497/157 : -430/157 : 1)  C2b (-4626377/9671849 : -451431/9671849 : 1)
** u= -24/25 ; tau(u)= 74/49 ; -4226*x^2 + 674*y^2 + 6052*x*z - 4226*z^2
  (3/4 : 7/4 : 1)  C2b (11456/128227 : 8169/128227 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (442547/314819 : -13563/314819 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (-6343/4977 : -269/4977 : 1)
** u= -28/117 ; tau(u)= 262/145 ; -41266*x^2 + 26594*y^2 + 69428*x*z - 41266*z^2
  (-187171/12020 : -245883/12020 : 1)  C2b (232461/336452 : 9961/336452 : 1)
** u= 29/4 ; tau(u)= 21/25 ; -409*x^2 - 809*y^2 + 1282*x*z - 409*z^2
  (89/237 : 32/237 : 1)  C1a (-640984/370013 : -23811/370013 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (-14451628/6704167 : -659527/6704167 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (846804/72661 : 22801/72661 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
  (20317/15223 : 18548/15223 : 1)  C2b (-8908157/291637 : -375561/291637 : 1)
** u= 31/81 ; tau(u)= 131/50 ; -4039*x^2 + 12161*y^2 + 18122*x*z - 4039*z^2
  (727/8503 : 3870/8503 : 1)  C1b (2458889/289103 : 66581/289103 : 1)
** u= 32/49 ; tau(u)= 66/17 ; 446*x^2 + 3778*y^2 + 5380*x*z + 446*z^2
  (-178/291 : -245/291 : 1)  C1b (-642792/209063 : 17797/209063 : 1)
** u= 32/157 ; tau(u)= 282/125 ; -30226*x^2 + 48274*y^2 + 80548*x*z - 30226*z^2
  (129717/1594973 : 1121680/1594973 : 1)  C1b (86536347/22214672 : -2363051/22214672 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-413/344 : -243/5848 : 1)
** u= 35/61 ; tau(u)= 87/26 ; -127*x^2 + 6217*y^2 + 8794*x*z - 127*z^2
  (-83/93 : 106/93 : 1)  C1b (-103439/305932 : -8727/305932 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (1226404/7752093 : -211337/7752093 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (-418567/66209 : -1041/5093 : 1)
** u= -37/109 ; tau(u)= 255/146 ; -41263*x^2 + 22393*y^2 + 66394*x*z - 41263*z^2
  (-129/1111 : 11566/7777 : 1)  C2b (-208827/93244 : 75421/652708 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-4984123/376608 : -150559/376608 : 1)
** u= -40/97 ; tau(u)= 234/137 ; -35938*x^2 + 17218*y^2 + 56356*x*z - 35938*z^2
  (-2995/14101 : -23916/14101 : 1)  C2b (-531081/124087 : -25279/124087 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (-21904944/7137281 : -814693/7137281 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (-4777/145 : -105/29 : 1)
** u= -43/85 ; tau(u)= 213/128 ; -30919*x^2 + 12601*y^2 + 47218*x*z - 30919*z^2
  (-5899/16283 : 33104/16283 : 1)  C2b (5059976/3986987 : 170049/3986987 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (92673204/2558363 : 2496631/2558363 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (1873952/359101 : -52371/359101 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (-669161/270289 : 32853/270289 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (37008/5383 : -1067/5383 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (54392/71001 : 2519/71001 : 1)
** u= 56/121 ; tau(u)= 186/65 ; -5314*x^2 + 26146*y^2 + 37732*x*z - 5314*z^2
  (-141/1795 : -1012/1795 : 1)  C1b (900664/829303 : -30849/829303 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1b (-176048803/4499816 : -4913227/4499816 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (52388428/17995127 : 1668573/17995127 : 1)
** u= -59/185 ; tau(u)= 429/244 ; -115591*x^2 + 64969*y^2 + 187522*x*z - 115591*z^2
  (6609/16291 : 15464/16291 : 1)  C2b (6529256/3713799 : -197959/3713799 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (-81187/138684 : -4961/74676 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (-289617/1453664 : -40999/1453664 : 1)
** u= 63/34 ; tau(u)= -5/29 ; 2287*x^2 - 1657*y^2 + 3994*x*z + 2287*z^2
  (-295/911 : -786/911 : 1)  C1a (33113/4796 : 1267/4796 : 1)
** u= -64/181 ; tau(u)= 426/245 ; -115954*x^2 + 61426*y^2 + 185572*x*z - 115954*z^2
  (-55487/60261 : 150892/60261 : 1)  C2b (-91510696/23297097 : -4231507/23297097 : 1)
** u= -64/193 ; tau(u)= 450/257 ; -128002*x^2 + 70402*y^2 + 206596*x*z - 128002*z^2
  (521/469 : -60/67 : 1)  C2b (-20637629/20475147 : 1433737/20475147 : 1)
** u= 66/17 ; tau(u)= 32/49 ; -446*x^2 - 3778*y^2 + 5380*x*z - 446*z^2
  (5951/20649 : -10976/20649 : 1)  C1a (1146333/54688 : 30859/54688 : 1)
** u= -67/145 ; tau(u)= 357/212 ; -85399*x^2 + 37561*y^2 + 131938*x*z - 85399*z^2
  (35/81 : -88/81 : 1)  C2b (-5731776/315341 : 251881/315341 : 1)
** u= 67/173 ; tau(u)= 279/106 ; -17983*x^2 + 55369*y^2 + 82330*x*z - 17983*z^2
  (-3203/19581 : -14870/19581 : 1)  C1b (-68230308/24718183 : -2137333/24718183 : 1)
** u= -71/125 ; tau(u)= 321/196 ; -71791*x^2 + 26209*y^2 + 108082*x*z - 71791*z^2
  (47121/1625711 : -2632420/1625711 : 1)  C2b (-1488151/183688 : -74239/183688 : 1)
** u= 74/49 ; tau(u)= -24/25 ; 4226*x^2 - 674*y^2 + 6052*x*z + 4226*z^2
  (-461/1401 : 2800/1401 : 1)  C1a (1371296/19601 : -5523/1153 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
  (24/35 : 7/5 : 1)  C2b (-3872747/553293 : -18259/42561 : 1)
** u= 77/32 ; tau(u)= 13/45 ; 1879*x^2 - 3881*y^2 + 6098*x*z + 1879*z^2
  (-1235/19013 : -11784/19013 : 1)  C1a (13197/10856 : -553/10856 : 1)
** u= -79/153 ; tau(u)= 385/232 ; -101407*x^2 + 40577*y^2 + 154466*x*z - 101407*z^2
  (-775/18251 : 29796/18251 : 1)  C2b (-9217237/775304 : 430073/775304 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (-26441047/1668336 : -712609/1668336 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (-3225692/299579 : 479721/299579 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (19943609/19131580 : 137079/3826316 : 1)
** u= 87/26 ; tau(u)= 35/61 ; 127*x^2 - 6217*y^2 + 8794*x*z + 127*z^2
  (319/12585 : -2986/12585 : 1)  C1a (198901/189413 : -7443/189413 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (-142109/31032 : 13523/31032 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (21493577/506951 : -591239/506951 : 1)
** u= -92/185 ; tau(u)= 462/277 ; -144994*x^2 + 59986*y^2 + 221908*x*z - 144994*z^2
  (158941/296050 : -314393/296050 : 1)  C2b (226652/17161 : -9391/17161 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-10304/9229 : -323/9229 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (-737268/149591 : 22397/149591 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (-16058436/2265013 : 445453/2265013 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (33808/192289 : 5193/192289 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (-47167433/969031 : -1276097/969031 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (80547/39659 : -3439/39659 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (1759509/185843 : -51871/185843 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (-35268/23681 : 1063/23681 : 1)
** u= 112/149 ; tau(u)= 186/37 ; 9806*x^2 + 31858*y^2 + 47140*x*z + 9806*z^2
  (-5417/15609 : -6410/15609 : 1)  C1b (-633667073/471357735 : -3889543/94271547 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (-20088/3479 : 559/3479 : 1)
** u= 114/61 ; tau(u)= -8/53 ; 7378*x^2 - 5554*y^2 + 13060*x*z + 7378*z^2
  (-7819/4723 : -4900/4723 : 1)  C1a (-12817504/50382015 : -308177/10076403 : 1)
** u= -115/157 ; tau(u)= 429/272 ; -134743*x^2 + 36073*y^2 + 197266*x*z - 134743*z^2
  (5097/191 : 9584/191 : 1)  C2b (1915359/988313 : -75917/988313 : 1)
** u= -116/149 ; tau(u)= 414/265 ; -126994*x^2 + 30946*y^2 + 184852*x*z - 126994*z^2
  (-1510/2383 : 7359/2383 : 1)  C2b (9712772/221089 : 528697/221089 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
  (-15994/66679 : -15579/66679 : 1)  C1b (-30019196/2208639 : -813719/2208639 : 1)
** u= 121/125 ; tau(u)= 129/4 ; 14609*x^2 + 16609*y^2 + 31282*x*z + 14609*z^2
  (-3535/2603 : 616/2603 : 1)  C1b (-6479/424 : -190857/414248 : 1)
** u= -123/121 ; tau(u)= 365/244 ; -103943*x^2 + 14153*y^2 + 148354*x*z - 103943*z^2
  (-47371/247759 : 768328/247759 : 1)  C2b (-7890008/2422859 : -713541/2422859 : 1)
** u= -124/117 ; tau(u)= 358/241 ; -100786*x^2 + 12002*y^2 + 143540*x*z - 100786*z^2
  (172/169 : 375/169 : 1)  C2b (3558860/2999813 : 202085/2999813 : 1)
** u= -124/121 ; tau(u)= 366/245 ; -104674*x^2 + 13906*y^2 + 149332*x*z - 104674*z^2
  (4798/7669 : 14861/7669 : 1)  C2b (-861061/166348 : -73009/166348 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (96921/123511 : 4399/123511 : 1)
** u= -128/101 ; tau(u)= 330/229 ; -88498*x^2 + 4018*y^2 + 125284*x*z - 88498*z^2
  (2661/2885 : 69968/20195 : 1)  C2b (170472/192661 : 124361/1348627 : 1)
** u= 129/4 ; tau(u)= 121/125 ; -14609*x^2 - 16609*y^2 + 31282*x*z - 14609*z^2
  (19631/26239 : -5060/26239 : 1)  C1a (44703/1408 : 1336541/1375616 : 1)
** u= 131/50 ; tau(u)= 31/81 ; 4039*x^2 - 12161*y^2 + 18122*x*z + 4039*z^2
  (1309/347 : -1134/347 : 1)  C1a (-41668/389041 : 10547/389041 : 1)
** u= -136/145 ; tau(u)= 426/281 ; -139426*x^2 + 23554*y^2 + 199972*x*z - 139426*z^2
  (-14561/1023 : -37252/1023 : 1)  C2b (-2912427/2218157 : -312047/2218157 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (44553/151664 : 4093/151664 : 1)
** u= -145/153 ; tau(u)= 451/298 ; -156583*x^2 + 25793*y^2 + 224426*x*z - 156583*z^2
  (-684647/143197 : -1955286/143197 : 1)  C2b (944237284/113101401 : -57996077/113101401 : 1)
** u= 145/197 ; tau(u)= 249/52 ; 15617*x^2 + 56593*y^2 + 83026*x*z + 15617*z^2
  (-20227/103455 : -1888/103455 : 1)  C1b (18182553/42872 : -498439/42872 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-315693173/14724044 : 8767479/14724044 : 1)
** u= -148/169 ; tau(u)= 486/317 ; -179074*x^2 + 35218*y^2 + 258100*x*z - 179074*z^2
  (33172/34121 : -56745/34121 : 1)  C2b (-188582644/4163979 : -11727547/4163979 : 1)
** u= 149/64 ; tau(u)= 21/85 ; 7751*x^2 - 14009*y^2 + 22642*x*z + 7751*z^2
  (-13805/65971 : -32272/65971 : 1)  C1a (-31739659/3660197 : -882363/3660197 : 1)
** u= -149/125 ; tau(u)= 399/274 ; -127951*x^2 + 9049*y^2 + 181402*x*z - 127951*z^2
  (-32881/119579 : 544330/119579 : 1)  C2b (1265023/1120641 : -93727/1120641 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (43439153/4027719 : -1169189/4027719 : 1)
** u= 155/74 ; tau(u)= 7/81 ; 10903*x^2 - 13073*y^2 + 24074*x*z + 10903*z^2
  (3841/60059 : 58698/60059 : 1)  C1a (-66680089/8542167 : -1942369/8542167 : 1)
** u= -160/153 ; tau(u)= 466/313 ; -170338*x^2 + 21218*y^2 + 242756*x*z - 170338*z^2
  (965/1109 : 232728/114227 : 1)  C2b (5153/5561 : 32747/572783 : 1)
** u= 161/169 ; tau(u)= 177/8 ; 25793*x^2 + 31201*y^2 + 57250*x*z + 25793*z^2
  (-47169/42661 : -18668/42661 : 1)  C1b (-796977/1096033 : 31391/1096033 : 1)
** u= -164/173 ; tau(u)= 510/337 ; -200242*x^2 + 32962*y^2 + 286996*x*z - 200242*z^2
  (1750/1479 : -3059/1479 : 1)  C2b (2046421/527892 : -114827/527892 : 1)
** u= -165/149 ; tau(u)= 463/314 ; -169967*x^2 + 17177*y^2 + 241594*x*z - 169967*z^2
  (44621/15157 : -111634/15157 : 1)  C2b (23689/498932 : -40941/498932 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (-124056/95161 : -35551/95161 : 1)
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b (-68461/256339 : -7227/256339 : 1)
** u= 169/185 ; tau(u)= 201/16 ; 28049*x^2 + 39889*y^2 + 68962*x*z + 28049*z^2
  (-39447/20951 : 728/2993 : 1)  C1b (-39759736/706463 : -1174269/706463 : 1)
** u= 177/8 ; tau(u)= 161/169 ; -25793*x^2 - 31201*y^2 + 57250*x*z - 25793*z^2
  (5209/7661 : -1508/7661 : 1)  C1a (17934649/517281 : -542627/517281 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
  (135463/95547 : -318868/95547 : 1)  C1a (-3660968/1045067 : -127881/1045067 : 1)
** u= -177/193 ; tau(u)= 563/370 ; -242471*x^2 + 43169*y^2 + 348298*x*z - 242471*z^2
  (191/1303 : 19466/9121 : 1)  C2b (315103/399329 : -130023/2795303 : 1)
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a (-38570888/878569 : 1213881/878569 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
  (-4189/3469 : 2646/3469 : 1)  C1a (-512339/324965 : 2989/64993 : 1)
** u= 186/37 ; tau(u)= 112/149 ; -9806*x^2 - 31858*y^2 + 47140*x*z - 9806*z^2
  (353/1617 : 38/1617 : 1)  C1a (34376783/51419673 : 1529771/51419673 : 1)
** u= 186/65 ; tau(u)= 56/121 ; 5314*x^2 - 26146*y^2 + 37732*x*z + 5314*z^2
  (-939/48635 : 20372/48635 : 1)  C1a (-1969512/331571 : 53011/331571 : 1)
** u= 187/197 ; tau(u)= 207/10 ; 34769*x^2 + 42649*y^2 + 77818*x*z + 34769*z^2
  (-3967/3709 : -1674/3709 : 1)  C1b (-78065838228/1321143541 : -2367764699/1321143541 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (5839664/939353 : 162983/939353 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
  (61541/289924 : 38411/289924 : 1)  C1a (-16162348/49193 : 443447/49193 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (4448388/46343 : -126131/46343 : 1)
129
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-16/13のとき

38226631^4+282173544^4+1069737841^4=1909058*28813573^4
60984642796651870364314725278868699814765913733168059244638566793267234709605621248^4+64960262714767458161948974420511991606559155060660854681767233101824075836949124827^4+201172537374940549229658955895946319257487784729754805554346060931148319188224899403^4=1909058*5438025798881088490255722070306310141815446713162434767428048099432185046424824859^4
206089151603969152967453955026795120018573493795115172014507164757750674217803418952667393974313196210380765451855347545090947545466987898211329614161227777361676783428460049347204620548306593460440086497769943801620728365926579376^4+698708676395465105195430280291389396483453338978274449697017930709412123968889975501344831538985410312963691353514134178619127509847527733706159743964736854250706449647493157359970355874977240081090646926505061360200523191597145999^4+2383525832094797802006619118347039245459448572170288303133353214868568778706898402963764630467560018023799078338153281734974620074722384800362127666217372891755046497060035330190464727339809558751069883296356777326150019093278872689^4=1909058*64242124200204631970064175668018789278094021280456322124148145834211887291385520005811923118027127674296977048219563359941524268724883396827710554786442269714309517585758101350508707630413833148629566815196182952556548666468167017^4
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[参考文献]

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Last Update: 2026.01.24

H.Nakao