Integer Points on A^4+B^4+C^4=1885682*D^4

[2026.02.05]A^4+B^4+C^4=1885682*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム"syzygy3.gp"(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム"x200.gp"(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム"conics.magma"(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム"rp4.magma"(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

1885682=2*971^2であるので、以下では、n=971とする。

■n=971のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=971;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように144個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(971,1,200);
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
  (-523/244295 : -240208/244295 : 1)  C1b (-125109234/11232065 : -4164367/11232065 : 1)
** u= 1/197 ; tau(u)= 393/196 ; -76831*x^2 + 77617*y^2 + 154450*x*z - 76831*z^2
  (48201/123271 : -74284/123271 : 1)  C1b (2782650/1409299 : -77275/1409299 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (-169147/1462 : -6003/1462 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (-25/33 : -1/33 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-60354/49649 : 2299/49649 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (1422978/843611 : 45817/843611 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (-22659/2806 : -649/2806 : 1)
** u= -5/29 ; tau(u)= 63/34 ; -2287*x^2 + 1657*y^2 + 3994*x*z - 2287*z^2
  (177/181 : -106/181 : 1)  C2b (-44422/41253 : 2677/41253 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (10/37 : -1/37 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (-43378/51 : 71/3 : 1)
** u= -7/45 ; tau(u)= 97/52 ; -5359*x^2 + 4001*y^2 + 9458*x*z - 5359*z^2
  (4051/74305 : -81888/74305 : 1)  C2b (-8719674/6678505 : -476627/6678505 : 1)
** u= 7/153 ; tau(u)= 299/146 ; -42583*x^2 + 46769*y^2 + 89450*x*z - 42583*z^2
  (-15341/404539 : 401358/404539 : 1)  C1b (2147345526/110218067 : 65812619/110218067 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-52478206/7034627 : -1853823/7034627 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (25353/120610 : 3649/120610 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (-10215/10514 : -9329/178738 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (723/1789 : -49/1789 : 1)
** u= -11/117 ; tau(u)= 245/128 ; -32647*x^2 + 27257*y^2 + 60146*x*z - 32647*z^2
  (527/257 : -336/257 : 1)  C2b (-38163/2750 : -1339/2750 : 1)
** u= 12/37 ; tau(u)= 62/25 ; -1106*x^2 + 2594*y^2 + 3988*x*z - 1106*z^2
  (-1355/21194 : -15377/21194 : 1)  C1b (-32242/23545 : -1263/23545 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-157206/4969 : 4279/4969 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (-28871/70458 : -10487/70458 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (-284501/440501 : -27487/440501 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (-258430/88189 : -12419/88189 : 1)
** u= 16/89 ; tau(u)= 162/73 ; -10402*x^2 + 15586*y^2 + 26500*x*z - 10402*z^2
  (-491/2763 : -2750/2763 : 1)  C1b (2944227/1150750 : -641/9206 : 1)
** u= 16/125 ; tau(u)= 234/109 ; -23506*x^2 + 30994*y^2 + 55012*x*z - 23506*z^2
  (143/10508 : 9005/10508 : 1)  C1b (-76014655/50170618 : -3249671/50170618 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-140837/44474 : -4423/44474 : 1)
** u= -19/181 ; tau(u)= 381/200 ; -79639*x^2 + 65161*y^2 + 145522*x*z - 79639*z^2
  (-129741/141361 : -293180/141361 : 1)  C2b (197634397/16609253 : 6411173/16609253 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (-155506/120189 : -12911/120189 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (-24566/1785 : 671/1785 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (8719433/99070 : 243243/99070 : 1)
** u= 21/85 ; tau(u)= 149/64 ; -7751*x^2 + 14009*y^2 + 22642*x*z - 7751*z^2
  (-439/20487 : 15712/20487 : 1)  C1b (64914634/2258555 : -1851423/2258555 : 1)
** u= -21/125 ; tau(u)= 271/146 ; -42191*x^2 + 30809*y^2 + 73882*x*z - 42191*z^2
  (497/157 : -430/157 : 1)  C2b (-5740522/11891275 : 558189/11891275 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (5529778/1718891 : 152229/1718891 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (-3574/1125 : 1/9 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
  (1/3 : -124/21 : 1)  C2b (-4258/5285 : -12309/36995 : 1)
** u= 24/53 ; tau(u)= 82/29 ; -1106*x^2 + 5042*y^2 + 7300*x*z - 1106*z^2
  (-309/763 : 100/109 : 1)  C1b (591499346/22545037 : 16068897/22545037 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (-1633/130 : -49/130 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (-104589/28877 : -2857/28877 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-864994/179681 : -25047/179681 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (-177739/416310 : 21137/416310 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (4740307/1363954 : -128807/1363954 : 1)
** u= -28/117 ; tau(u)= 262/145 ; -41266*x^2 + 26594*y^2 + 69428*x*z - 41266*z^2
  (-187171/12020 : -245883/12020 : 1)  C2b (-1063805/1163818 : 72943/1163818 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (197489/310665 : 1789/62133 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (1841550/59351 : -56393/59351 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (21307/7693 : 813/7693 : 1)
** u= 32/73 ; tau(u)= 114/41 ; -2338*x^2 + 9634*y^2 + 14020*x*z - 2338*z^2
  (3769/30054 : -7603/30054 : 1)  C1b (3988994/147317 : -108597/147317 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1b (11270926/852671 : 320107/852671 : 1)
** u= 35/181 ; tau(u)= 327/146 ; -41407*x^2 + 64297*y^2 + 108154*x*z - 41407*z^2
  (-49501/393027 : -365762/393027 : 1)  C1b (-7147093/265422 : 213457/265422 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (18050/11333 : 927/11333 : 1)
** u= -37/109 ; tau(u)= 255/146 ; -41263*x^2 + 22393*y^2 + 66394*x*z - 41263*z^2
  (-129/1111 : 11566/7777 : 1)  C2b (-1559898/1544255 : 764483/10809785 : 1)
** u= -41/89 ; tau(u)= 219/130 ; -32119*x^2 + 14161*y^2 + 49642*x*z - 32119*z^2
  (79/87 : 10118/10353 : 1)  C2b (-29582/46957 : -353103/5587883 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
  (3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1)  C1b (-41504357/13926731 : -1376569/13926731 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (-30338/36749 : -2973/36749 : 1)
** u= 43/101 ; tau(u)= 159/58 ; -4879*x^2 + 18553*y^2 + 27130*x*z - 4879*z^2
  (76871/10871 : 2722/1553 : 1)  C1b (-1160757/384014 : -35303/384014 : 1)
** u= 47/97 ; tau(u)= 147/50 ; -2791*x^2 + 16609*y^2 + 23818*x*z - 2791*z^2
  (4189/93097 : 30002/93097 : 1)  C1b (899338/237125 : -24533/237125 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (-252010/138763 : -7497/138763 : 1)
** u= -49/153 ; tau(u)= 355/202 ; -79207*x^2 + 44417*y^2 + 128426*x*z - 79207*z^2
  (-605/67 : -882/67 : 1)  C2b (352081638/81112195 : 11912581/81112195 : 1)
** u= 51/125 ; tau(u)= 199/74 ; -8351*x^2 + 28649*y^2 + 42202*x*z - 8351*z^2
  (-107/1017 : -682/1017 : 1)  C1b (3132046/1804535 : 90633/1804535 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (-1302514/450793 : 876497/450793 : 1)
** u= 53/157 ; tau(u)= 261/104 ; -18823*x^2 + 46489*y^2 + 70930*x*z - 18823*z^2
  (113573/28287 : 3628/4041 : 1)  C1b (-9638081/2973570 : -60623/594714 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (-23597626/15926015 : 272703/3185203 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (585050/198057 : -16165/198057 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
  (18969/262357 : -116378/262357 : 1)  C1b (-27191959/277241 : 20313/7493 : 1)
** u= 56/81 ; tau(u)= 106/25 ; 1886*x^2 + 9986*y^2 + 14372*x*z + 1886*z^2
  (-463/113 : 180/113 : 1)  C1b (-147475/34386 : -4001/34386 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (-9503413/2121677 : -258741/2121677 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
  (7/3 : -484/21 : 1)  C1a (59030/8099 : -90673/56693 : 1)
** u= 57/193 ; tau(u)= 329/136 ; -33743*x^2 + 71249*y^2 + 111490*x*z - 33743*z^2
  (139247/443397 : -75356/443397 : 1)  C1b (130039/354818 : -9621/354818 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (-17162867/3801350 : -1403607/3801350 : 1)
** u= 61/65 ; tau(u)= 69/4 ; 3689*x^2 + 4729*y^2 + 8482*x*z + 3689*z^2
  (-9063/8731 : 4288/8731 : 1)  C1b (1879394/933015 : 73993/933015 : 1)
** u= -61/85 ; tau(u)= 231/146 ; -38911*x^2 + 10729*y^2 + 57082*x*z - 38911*z^2
  (30037/59109 : 80606/59109 : 1)  C2b (148250/489293 : -21099/489293 : 1)
** u= 62/25 ; tau(u)= 12/37 ; 1106*x^2 - 2594*y^2 + 3988*x*z + 1106*z^2
  (336/6541 : -4655/6541 : 1)  C1a (-2799883/115922 : -77937/115922 : 1)
** u= 63/34 ; tau(u)= -5/29 ; 2287*x^2 - 1657*y^2 + 3994*x*z + 2287*z^2
  (-295/911 : -786/911 : 1)  C1a (-328741/57125 : 10559/57125 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (-15675/139642 : 3815/139642 : 1)
** u= -64/193 ; tau(u)= 450/257 ; -128002*x^2 + 70402*y^2 + 206596*x*z - 128002*z^2
  (521/469 : -60/67 : 1)  C2b (5755719/1337470 : 195827/1337470 : 1)
** u= 67/173 ; tau(u)= 279/106 ; -17983*x^2 + 55369*y^2 + 82330*x*z - 17983*z^2
  (-3203/19581 : -14870/19581 : 1)  C1b (-5281263/527081 : 149999/527081 : 1)
** u= 69/4 ; tau(u)= 61/65 ; -3689*x^2 - 4729*y^2 + 8482*x*z - 3689*z^2
  (565/333 : -44/333 : 1)  C1a (-1632210/168707 : 52039/168707 : 1)
** u= 73/81 ; tau(u)= 89/8 ; 5201*x^2 + 7793*y^2 + 13250*x*z + 5201*z^2
  (-24217/29837 : -15588/29837 : 1)  C1b (-4689547/625821 : -132589/625821 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (53387/25786 : 32713/180502 : 1)
** u= -76/81 ; tau(u)= 238/157 ; -43522*x^2 + 7346*y^2 + 62420*x*z - 43522*z^2
  (427/796 : 1395/796 : 1)  C2b (6249030/1768781 : -342215/1768781 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (831010/1297179 : -3109/99783 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (-219262/39117 : -9943/39117 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (-15675/139642 : 3815/139642 : 1)
** u= 82/29 ; tau(u)= 24/53 ; 1106*x^2 - 5042*y^2 + 7300*x*z + 1106*z^2
  (-953/7296 : 1345/7296 : 1)  C1a (400546/5167 : -10959/5167 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (-3319510/1519877 : 91629/1519877 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (217131271/352769 : 6808113/352769 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (-2509626/1381435 : -77117/1381435 : 1)
** u= 89/8 ; tau(u)= 73/81 ; -5201*x^2 - 7793*y^2 + 13250*x*z - 5201*z^2
  (841/1013 : 540/1013 : 1)  C1a (2944227/1150750 : -641/9206 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-47915/124662 : -4199/124662 : 1)
** u= -92/185 ; tau(u)= 462/277 ; -144994*x^2 + 59986*y^2 + 221908*x*z - 144994*z^2
  (158941/296050 : -314393/296050 : 1)  C2b (5344710/661453 : 215519/661453 : 1)
** u= -96/97 ; tau(u)= 290/193 ; -65282*x^2 + 9602*y^2 + 93316*x*z - 65282*z^2
  (107/355 : -752/355 : 1)  C2b (1006930/505781 : -52803/505781 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (886243/514910 : 33381/514910 : 1)
** u= 97/52 ; tau(u)= -7/45 ; 5359*x^2 - 4001*y^2 + 9458*x*z + 5359*z^2
  (-107/173 : -108/173 : 1)  C1a (13566795/9540094 : -716497/9540094 : 1)
** u= 97/197 ; tau(u)= 297/100 ; -10591*x^2 + 68209*y^2 + 97618*x*z - 10591*z^2
  (93229/1125431 : 218760/1125431 : 1)  C1b (866164829/178776390 : -23487941/178776390 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-140837/44474 : -4423/44474 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (-2918083/460085 : 81117/460085 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (785/20559 : 611/20559 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-379747/243755 : -11037/243755 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (1895195/78163 : -52371/78163 : 1)
** u= -103/153 ; tau(u)= 409/256 ; -120463*x^2 + 36209*y^2 + 177890*x*z - 120463*z^2
  (-37363/288467 : -578304/288467 : 1)  C2b (30792194/4909235 : -278689/981847 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (6121947/6146950 : -355267/6146950 : 1)
** u= -104/125 ; tau(u)= 354/229 ; -94066*x^2 + 20434*y^2 + 136132*x*z - 94066*z^2
  (-1577/3783 : 10820/3783 : 1)  C2b (-433806235/46609451 : -27365847/46609451 : 1)
** u= 104/193 ; tau(u)= 282/89 ; -5026*x^2 + 63682*y^2 + 90340*x*z - 5026*z^2
  (2246/79391 : 15649/79391 : 1)  C1b (2930002/4557641 : -142687/4557641 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
  (-1583/473 : 1076/473 : 1)  C1a (-582582/105265 : -463/2845 : 1)
** u= 106/25 ; tau(u)= 56/81 ; -1886*x^2 - 9986*y^2 + 14372*x*z - 1886*z^2
  (161/262 : 207/262 : 1)  C1a (-866890/130633 : -24323/130633 : 1)
** u= 107/117 ; tau(u)= 127/10 ; 11249*x^2 + 15929*y^2 + 27578*x*z + 11249*z^2
  (-13739/17245 : -8178/17245 : 1)  C1b (2284913/3758705 : 153283/3758705 : 1)
** u= 109/117 ; tau(u)= 125/8 ; 11753*x^2 + 15497*y^2 + 27506*x*z + 11753*z^2
  (-35593/33533 : 17460/33533 : 1)  C1b (-379891/570741 : 949/33573 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (-3385/10202 : -299/10202 : 1)
** u= 114/41 ; tau(u)= 32/73 ; 2338*x^2 - 9634*y^2 + 14020*x*z + 2338*z^2
  (4351/5129 : 6592/5129 : 1)  C1a (-34777/6706 : -939/6706 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-218474/94141 : 6839/94141 : 1)
** u= -119/137 ; tau(u)= 393/256 ; -116911*x^2 + 23377*y^2 + 168610*x*z - 116911*z^2
  (-7611/660443 : 1489280/660443 : 1)  C2b (1148206/704393 : 50731/704393 : 1)
** u= 119/169 ; tau(u)= 219/50 ; 9161*x^2 + 42961*y^2 + 62122*x*z + 9161*z^2
  (-10329/44687 : -14794/44687 : 1)  C1b (2177850/903457 : -67613/903457 : 1)
** u= 125/8 ; tau(u)= 109/117 ; -11753*x^2 - 15497*y^2 + 27506*x*z - 11753*z^2
  (14093/25033 : -540/25033 : 1)  C1a (-76014655/50170618 : -3249671/50170618 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (2953046/3251619 : -101959/3251619 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (-83/21 : 37/21 : 1)
** u= 127/10 ; tau(u)= 107/117 ; -11249*x^2 - 15929*y^2 + 27578*x*z - 11249*z^2
  (38993/25867 : 14142/25867 : 1)  C1a (960550/1456977 : 41197/1456977 : 1)
** u= 127/153 ; tau(u)= 179/26 ; 14777*x^2 + 30689*y^2 + 48170*x*z + 14777*z^2
  (-22699/37949 : 20262/37949 : 1)  C1b (-184366/88553 : 5071/88553 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (-330346/2076227 : 136367/2076227 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (-5510350/772991 : -166827/772991 : 1)
** u= 132/197 ; tau(u)= 262/65 ; 8974*x^2 + 60194*y^2 + 86068*x*z + 8974*z^2
  (-213/100 : 149/100 : 1)  C1b (-800434/2401369 : 66501/2401369 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
  (-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1)  C2b (-597698854/5409245 : 35801451/5409245 : 1)
** u= -136/121 ; tau(u)= 378/257 ; -113602*x^2 + 10786*y^2 + 161380*x*z - 113602*z^2
  (-373/15104 : -49885/15104 : 1)  C2b (227430/493079 : -32485/493079 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (63938/84715 : -6453/84715 : 1)
** u= 139/197 ; tau(u)= 255/58 ; 12593*x^2 + 58297*y^2 + 84346*x*z + 12593*z^2
  (-14107/72105 : -17482/72105 : 1)  C1b (1284105/2117458 : -71929/2117458 : 1)
** u= -145/153 ; tau(u)= 451/298 ; -156583*x^2 + 25793*y^2 + 224426*x*z - 156583*z^2
  (-684647/143197 : -1955286/143197 : 1)  C2b (34086145/17992314 : -1679819/17992314 : 1)
** u= 147/50 ; tau(u)= 47/97 ; 2791*x^2 - 16609*y^2 + 23818*x*z + 2791*z^2
  (-9/89 : 14/89 : 1)  C1a (3008255/354018 : -83423/354018 : 1)
** u= -148/157 ; tau(u)= 462/305 ; -164146*x^2 + 27394*y^2 + 235348*x*z - 164146*z^2
  (549136/1886425 : -3772333/1886425 : 1)  C2b (3187246/1931385 : 153151/1931385 : 1)
** u= 149/64 ; tau(u)= 21/85 ; 7751*x^2 - 14009*y^2 + 22642*x*z + 7751*z^2
  (-13805/65971 : -32272/65971 : 1)  C1a (-1424647010/79923019 : 40368363/79923019 : 1)
** u= -149/125 ; tau(u)= 399/274 ; -127951*x^2 + 9049*y^2 + 181402*x*z - 127951*z^2
  (-32881/119579 : 544330/119579 : 1)  C2b (-48925/53902 : -9649/53902 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (-831313/1733889 : 131237/1733889 : 1)
** u= 159/58 ; tau(u)= 43/101 ; 4879*x^2 - 18553*y^2 + 27130*x*z + 4879*z^2
  (-183/1111 : 190/1111 : 1)  C1a (778434/1230827 : 43087/1230827 : 1)
** u= 162/73 ; tau(u)= 16/89 ; 10402*x^2 - 15586*y^2 + 26500*x*z + 10402*z^2
  (607/12628 : 1563/1804 : 1)  C1a (-4689547/625821 : -132589/625821 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
  (15/11 : -26/11 : 1)  C2b (61615298/34979125 : 3025113/34979125 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (1714514/1315475 : 213993/1315475 : 1)
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b (1403230790/276576883 : -48484443/276576883 : 1)
** u= 172/173 ; tau(u)= 174 ; 29582*x^2 + 30274*y^2 + 59860*x*z + 29582*z^2
  (-287/264 : 35/264 : 1)  C1b (-3247094/340747 : -98691/340747 : 1)
** u= -173/125 ; tau(u)= 423/298 ; -147679*x^2 + 1321*y^2 + 208858*x*z - 147679*z^2
  (4523/3463 : 33930/3463 : 1)  C2b (715219/596150 : -146597/596150 : 1)
** u= 174 ; tau(u)= 172/173 ; -29582*x^2 - 30274*y^2 + 59860*x*z - 29582*z^2
  (764/861 : 11/123 : 1)  C1a (2561942/668599 : 73581/668599 : 1)
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a (34287923/42363395 : -1250703/42363395 : 1)
** u= 179/26 ; tau(u)= 127/153 ; -14777*x^2 - 30689*y^2 + 48170*x*z - 14777*z^2
  (1639/4541 : 678/4541 : 1)  C1a (-15009547/1792659 : -445003/1792659 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-1478510/897913 : -74757/897913 : 1)
** u= 187/197 ; tau(u)= 207/10 ; 34769*x^2 + 42649*y^2 + 77818*x*z + 34769*z^2
  (-3967/3709 : -1674/3709 : 1)  C1b (12259783/811830 : 387547/811830 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (714588550/1239247 : 27767831/1239247 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (-41427/30565 : 4847/42791 : 1)
** u= 199/74 ; tau(u)= 51/125 ; 8351*x^2 - 28649*y^2 + 42202*x*z + 8351*z^2
  (107/1017 : 682/1017 : 1)  C1a (1179301/502654 : -37743/502654 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (-190885570/83417593 : 32548265/83417593 : 1)
144
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-16/13のとき

83653717^4+247059774^4+1300882915^4=1885682*35116733^4
3477594175419544564438607^4+4453246382814222024556694^4+13178994314491788157140905^4=1885682*357223370883346520640831^4
2217309448275498526814980170259^4+2440246845851932401799239938278^4+7467527010117979076345116772515^4=1885682*202475288983818945431648692353^4
5064173341208908934675725054176631440297990528297499212254934085471722660681^4+204951759993513828061053365990231430974043504627171178097057176154568075633982^4+869767287378191457629860954228356162541170901169378777235358242708310283772905^4=1885682*23489306199333307683460828195915024931018353267258399451000602055996201326331^4
83689102809750881499995679905652631573975591414563073777479255745359691509138414542^4+332885236222437808345034529646977814537451266029719389817161793113040687165728442639^4+1167294880656080355766882598016908869531732642502997762589069546270517432506418849585^4=1885682*31552374250697815027876046191844662012444204950960828624473159943358372276897965411^4
33766873110798210009207070568452596661978043157399361013058548372135468646683835199127889^4+38706160419101783019657907360470305861219115754309270398235596737140881013524048753034558^4+279425048236670541499079351048303683531122336225484565007581488141786568978768067253742945^4=1885682*7541562436308415441630651375674618323331450139577941575128172947233256354654484850027739^4
1103795996624635639281953818372465000580906719155461073330287297489529182857226620227883071118^4+2259248506936445839546473045291128981436886465380605085707296760872807080702810167967508115979^4+6965603721333327630425409481667519405437380108207429408160076606836095483905284884041521990355^4=1885682*188518640767039858460768953268269904843630669464424675000497129628210645895799025657701403893^4
263643365163929736605362157160662869237012023542128798985007869770021106512273588402711420119162388162001447454^4+426975265472779551718902178148920735106257322616969605899286193847298388578994575293576905339807416737352446487^4+1267316227618657453847662620622634391729456191789219489052640497071773961560344542096782884152794957514717678185^4=1885682*34324834762365538091678501958953491008231036123448622543441612249700528006723547528908854842830490533375452971^4
310903434284993869349997871997407644445107645750184022588587625525299734889864796593015332281884602458553008776574574338798962003132403267374^4+759909946125254446004133283753446746142217286840201424635116234398166451330923918627668200617027704319405977927659497801758973038482271944083^4+2429640468149578736226781653975156474233313186924841892154455127163664661520267820222145778128921497776829999395762963617557879816372302331755^4=1885682*65726085078577184839298160065590617848106502493908454309874947104302467985670660542041679078034349792494279689381948812529685006098390725733^4
744623965305418048021665500425670186586839781769351355748681678032038189049369116087589594438749868955723302565692518849482962595361324054356973435973437634640533520091^4+1132033044906867561346431110551824968258123749317735877105841655005874316756770757945133590007061668099689019205907365777456488906397345976437133538255103313732858676422^4+3341073906012750687730989671178248442652356844848965461594574588676151450923614647074462050480787330542480214174869622615477817715462266614724743400349233568319127698235^4=1885682*90511676982808996777775967574145359690678891521772706847766963199955871896238482907923742566297456654179483301277290288253258884635059228661435936611038055231535666097^4
...

u=32/73のとき

24685943^4+52389550^4+201210809^4=1885682*5436339^4
32176801710654567432248728317929901582342041127611327600502622518971176529^4+90156279484620446944831857923108340986938999185288713928385965399253334050^4+107889884861831096515145869458865579492209631710886249895898769529348369473^4=1885682*3219666005177810740636220217828249857906904537590977811689674124845395883^4
24431687987201714880381818509174395135793572503944720817765801559577263009846100480282425632764289961461318447928312802517145774990089971607841337541645170402612507496131510949781861843278631134817088749457^4+43287567179926154118285223840914202122250270851159426810257209646519446800565358206429086467199548462869333623069439268275313568496520682622575578288732260039046161181569339317131894764439701060786984195361^4+46245742001414678191454656412016805952851184126998994900001395896166766402521901970016814752357976673382722295041244505943891582934697458845411091969443763334087157607626071209683563898556043152381510210750^4=1885682*1454575390003464222914803326307481621755980285337887135888452235378981086132084037780968034848261436705516940038651767729128825829647025403759599680288240805956203286136924363499208205974385486257318941147^4
...

u=16/125のとき

1211646595286675^4+1517740100342883^4+2474760507828194^4=1885682*69881845741121^4
243927977615849437684245548298584659103286892524523616477141136516292901462699650849205791905661533339799278866240489738651340074727729764545^4+493293030492840051580532737169382813238198131395904255123032445194215920907334585778353470977065359131621836679612872247693816018559995207313^4+665768350006689455782543027002782281932151567821323413338606025127884066929851332053203858596971318794613845909133007220083586448190568207094^4=1885682*19255326429196623579627176330675807096920550827287732074851358671716710284941973208110554003111915568788728967589911498605529938271697169899^4
...

u=51/125のとき

96854722522699032687788249350823^4+250900775106782191455174108740230^4+271480552113081463274044818885137^4=1885682*8421063655097638650397019028759^4
1775057862287986079741717003910488145771541300982795374591850428089456677210638808817366791746913486063756941275030237949795524940346739217666058975470971372005253376858112618465543252910226996774195386740721154169370743969217593201412079624478423856871470667530961434807193315183062332807^4+3180317176812769704833051541173140729840628730577502659145976513745476889643232402497090962809885706192288056385581087469389344670224573237889467884893274489973815831677926442850137011381451954388103512793703389608563216137959700249770329401940199489557846972684424251818824158725239210646^4+11672942109164689745501968422844061146668345748416689191152332506331992757604198603903427596312119681693455643257966823885559287612772229278502992133686862032478137046735948967542774907243485716164236125199309938847365222611866359259372569575154344422833610375162482119750765645361985144735^4=1885682*315476890622571791759420498773828353250518970990298753483216831149109364330475630950260424697583771931695857635657478361475479341403276861179674490017625948478405607526613215961303028150686979441565494174274043458521847325221388390144188735188149948668914846301072519994922053284411422399^4
...

u=-53/173のとき

325100788049770^4+352523050588809^4+425468165559353^4=1885682*13321385014829^4
78590827479087958346396128433434717540409947918661534159689688960083573301071560133433352548130388667477803272120222743235502756947299^4+137932812397977014635095096800180672667974730851158553329425906468320684031043469377298117717279403757664409936232528714340153209300270^4+158188772148693166830153107458759345475889072537687717953346922918948926022844301789150251927983423190850124248346807947597298449161747^4=1885682*4830051153614026042978843833218313760180900164183408842493490965663143131430684122271403676241077097013185392973813414907528563948607^4
...

u=173/125のとき

7601005205^4+10857822779^4+180795496662^4=1885682*4878903703^4
2433483103751750754142102983254678806717370333936520331891887926296696334740400622480848421786679355^4+8077691987033346970345170261686454557391347221337305541293647026739489499151048313455788318469783381^4+105187050365063320033452802494382550880707193496750759922039287101421602778143134420282145577119819798^4=1885682*2838565826411349692905929156807743970891566933276860600100409066560232872801434241614809370986058423^4
133017417247918268760292945293620848198349445292350227959589925038540201872671442710971675064686811142976723737861779551298481554014229484226514791106845536100007466985785529377342326334014675309182605544644929802312860830505351583105149524944135873799370639260340550059302822741^4+3272095014780791544701958107077452538405252426543554515290081157083387276070125460590008472802287631455255355066203771702236572503362780436358973808982905136282781046968667733152697274598072898243224413814971056039455484650982369217800457142128476732539576977729303449880171816635^4+35605058215274890195213440370930070945958518069746546629341072744252346007246413605324100138108008506014820208348812761801518733350048473576755375337861800434445568351684380864417843044164446228149745946504188724945491601722750839439936117729301173036377281049088491011126608711318^4=1885682*960842778338248772898141773664868568429360284037193808862612397909292670178639517359283010512316049243236426423740945001791870777165785440429261039562507622552721324706868040939783603266349835542316927352537636447544574938990339966281507272805735917417308069814586325666570828023^4
...

[2026.02.06追記] u=-173/125のときの整点を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.04.23

H.Nakao