Integer Points on A^4+B^4+C^4=1964162*D^4
[2026.02.20]A^4+B^4+C^4=1877922*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
1877922=2*969^2であるので、以下では、n=969とする。
■n=969のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=969;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように68個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(969,1,200);
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
(1/22 : 9/22 : 1) C1b (-2785/1423 : 91/1423 : 1)
** u= 5/37 ; tau(u)= 69/32 ; -2023*x^2 + 2713*y^2 + 4786*x*z - 2023*z^2
(4817/1271 : 2776/1271 : 1) C1b (313/40 : -9/40 : 1)
** u= -5/117 ; tau(u)= 239/122 ; -29743*x^2 + 27353*y^2 + 57146*x*z - 29743*z^2
(-45383/464953 : 530466/464953 : 1) C2b (-1712285/579221 : -68083/579221 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
(5/3 : 92/51 : 1) C2b (-6059/1720 : -5601/29240 : 1)
** u= -12/29 ; tau(u)= 70/41 ; -3218*x^2 + 1538*y^2 + 5044*x*z - 3218*z^2
(18/49 : -53/49 : 1) C2b (-256205/7427 : -10737/7427 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
(6784/79263 : 64427/79263 : 1) C1b (3605/19564 : 9507/332588 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
(-1707/4423 : -4972/4423 : 1) C1b (-11117896/1551401 : 339303/1551401 : 1)
** u= -13/181 ; tau(u)= 375/194 ; -75103*x^2 + 65353*y^2 + 140794*x*z - 75103*z^2
(627/1435 : 134/205 : 1) C2b (-880831/318716 : -36171/318716 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
(-1/22 : 9/22 : 1) C1a (-692/5953 : -161/5953 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
(-747/251 : 18056/4267 : 1) C2b (12445600/41744609 : 20818779/709658353 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
(285/691 : 658/691 : 1) C2b (357055/158167 : 11151/158167 : 1)
** u= 16/125 ; tau(u)= 234/109 ; -23506*x^2 + 30994*y^2 + 55012*x*z - 23506*z^2
(143/10508 : 9005/10508 : 1) C1b (-5976197/1439128 : -203317/1439128 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
(-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1) C1b (228569980/145648079 : -6433649/145648079 : 1)
** u= -20/149 ; tau(u)= 318/169 ; -56722*x^2 + 44002*y^2 + 101524*x*z - 56722*z^2
(3018/11399 : 69953/79793 : 1) C2b (366019/128044 : -75609/896308 : 1)
** u= -21/37 ; tau(u)= 95/58 ; -6287*x^2 + 2297*y^2 + 9466*x*z - 6287*z^2
(-4795/11157 : 24982/11157 : 1) C2b (24048980/49423741 : -1751221/49423741 : 1)
** u= 21/101 ; tau(u)= 181/80 ; -12359*x^2 + 19961*y^2 + 33202*x*z - 12359*z^2
(-15289/19225 : 29368/19225 : 1) C1b (9093635/3009037 : 247511/3009037 : 1)
** u= -21/157 ; tau(u)= 335/178 ; -62927*x^2 + 48857*y^2 + 112666*x*z - 62927*z^2
(16147/702459 : -780854/702459 : 1) C2b (1722740/1055077 : 49397/1055077 : 1)
** u= -23/29 ; tau(u)= 81/52 ; -4879*x^2 + 1153*y^2 + 7090*x*z - 4879*z^2
(-1691/4607 : -720/271 : 1) C2b (-28483352/12180979 : 2135449/12180979 : 1)
** u= 24/145 ; tau(u)= 266/121 ; -28706*x^2 + 41474*y^2 + 71332*x*z - 28706*z^2
(-3581/1007771 : 842116/1007771 : 1) C1b (105627256/41993741 : -2880679/41993741 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
(-354/365 : 131/365 : 1) C1b (966811/20044 : 30369/20044 : 1)
** u= 28/149 ; tau(u)= 270/121 ; -28498*x^2 + 43618*y^2 + 73684*x*z - 28498*z^2
(-829/104548 : 85371/104548 : 1) C1b (-18034652/8735197 : -675457/8735197 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
(17477/67823 : -5976/67823 : 1) C1b (-7616/29927 : 911/29927 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
(69/62 : -23/62 : 1) C1a (83764/28319 : -2331/28319 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
(-1/583 : 15956/9911 : 1) C1a (-5881/2320 : 3591/39440 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
(99583/15937 : 128916/15937 : 1) C2b (1797025/779831 : 59503/779831 : 1)
** u= 48/185 ; tau(u)= 322/137 ; -35234*x^2 + 66146*y^2 + 105988*x*z - 35234*z^2
(-211/508 : -577/508 : 1) C1b (16175/23128 : -673/23128 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
(-1/2 : 55/2 : 1) C2b (-1708/389 : -18073/6613 : 1)
** u= -56/45 ; tau(u)= 146/101 ; -17266*x^2 + 914*y^2 + 24452*x*z - 17266*z^2
(1483/8986 : -34791/8986 : 1) C2b (-36320/2609 : 4489/2609 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
(-21933/71317 : 53012/71317 : 1) C1b (2114584/243233 : 57171/243233 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
(10025/52383 : -4624/52383 : 1) C1b (15450799/9545 : 7228409/162265 : 1)
** u= -57/193 ; tau(u)= 443/250 ; -121751*x^2 + 71249*y^2 + 199498*x*z - 121751*z^2
(12109/21597 : -17758/21597 : 1) C2b (-315383/46868 : -13151/46868 : 1)
** u= -59/101 ; tau(u)= 261/160 ; -47719*x^2 + 16921*y^2 + 71602*x*z - 47719*z^2
(-11329/30921 : 67384/30921 : 1) C2b (143173241/3198455 : 6591467/3198455 : 1)
** u= 60/121 ; tau(u)= 182/61 ; -3842*x^2 + 25682*y^2 + 36724*x*z - 3842*z^2
(-934/793 : 1133/793 : 1) C1b (328691276/49213321 : 8888497/49213321 : 1)
** u= 60/157 ; tau(u)= 254/97 ; -15218*x^2 + 45698*y^2 + 68116*x*z - 15218*z^2
(-2724/85405 : 52709/85405 : 1) C1b (4745449/1210025 : -128347/1210025 : 1)
** u= 69/32 ; tau(u)= 5/37 ; 2023*x^2 - 2713*y^2 + 4786*x*z + 2023*z^2
(-705/2023 : -8/17 : 1) C1a (-12869963/20066045 : -564411/20066045 : 1)
** u= -69/125 ; tau(u)= 319/194 ; -70511*x^2 + 26489*y^2 + 106522*x*z - 70511*z^2
(5657/7837 : -8390/7837 : 1) C2b (199343/145180 : 6833/145180 : 1)
** u= 70/41 ; tau(u)= -12/29 ; 3218*x^2 - 1538*y^2 + 5044*x*z + 3218*z^2
(21/212 : -331/212 : 1) C1a (21436/3535 : -981/3535 : 1)
** u= -71/137 ; tau(u)= 345/208 ; -81487*x^2 + 32497*y^2 + 124066*x*z - 81487*z^2
(10335/6841 : 10736/6841 : 1) C2b (68867/314765 : -12183/314765 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
(752/937 : 20403/6559 : 1) C2b (-10361/3823 : -187343/454937 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
(24/35 : 7/5 : 1) C2b (592348/751897 : -30757/751897 : 1)
** u= -77/125 ; tau(u)= 327/202 ; -75679*x^2 + 25321*y^2 + 112858*x*z - 75679*z^2
(-31203/472877 : -858490/472877 : 1) C2b (-48394139/17071195 : 2933361/17071195 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
(-2803/10199 : -4638/10199 : 1) C1b (-7352/10313 : -5513/175321 : 1)
** u= 81/52 ; tau(u)= -23/29 ; 4879*x^2 - 1153*y^2 + 7090*x*z + 4879*z^2
(-2087/7201 : -12060/7201 : 1) C1a (-31168/110749 : -5189/110749 : 1)
** u= 89/97 ; tau(u)= 105/8 ; 7793*x^2 + 10897*y^2 + 18946*x*z + 7793*z^2
(-23805/18809 : 10964/18809 : 1) C1b (-4019741/7749061 : -3621363/131734037 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
(-203/1185 : -644/1185 : 1) C1a (1089104/474265 : 38403/474265 : 1)
** u= 93/173 ; tau(u)= 253/80 ; -4151*x^2 + 51209*y^2 + 72658*x*z - 4151*z^2
(-105085/1584357 : -663776/1584357 : 1) C1b (-147557/606560 : 17111/606560 : 1)
** u= 95/58 ; tau(u)= -21/37 ; 6287*x^2 - 2297*y^2 + 9466*x*z + 6287*z^2
(-5755/6531 : -7246/6531 : 1) C1a (-222233/635860 : 23783/635860 : 1)
** u= -95/117 ; tau(u)= 329/212 ; -80863*x^2 + 18353*y^2 + 117266*x*z - 80863*z^2
(10057/6943 : 14556/6943 : 1) C2b (2545648/1600955 : -106229/1600955 : 1)
** u= -96/89 ; tau(u)= 274/185 ; -59234*x^2 + 6626*y^2 + 84292*x*z - 59234*z^2
(1185/8059 : 21718/8059 : 1) C2b (-700552/145657 : -65591/145657 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
(26171/37907 : 58398/37907 : 1) C2b (3232037/3963283 : -175747/3963283 : 1)
** u= 105/8 ; tau(u)= 89/97 ; -7793*x^2 - 10897*y^2 + 18946*x*z - 7793*z^2
(207/211 : 116/211 : 1) C1a (-5523320/13724573 : -8539059/233317741 : 1)
** u= 105/157 ; tau(u)= 209/52 ; 5617*x^2 + 38273*y^2 + 54706*x*z + 5617*z^2
(-36651/207235 : -66004/207235 : 1) C1b (18323671/1573241 : 503813/1573241 : 1)
** u= 109/117 ; tau(u)= 125/8 ; 11753*x^2 + 15497*y^2 + 27506*x*z + 11753*z^2
(-35593/33533 : 17460/33533 : 1) C1b (62557/88808 : -229/5224 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
(29/153 : -14/9 : 1) C1a (-1973000/441791 : -67287/441791 : 1)
** u= 125/8 ; tau(u)= 109/117 ; -11753*x^2 - 15497*y^2 + 27506*x*z - 11753*z^2
(14093/25033 : -540/25033 : 1) C1a (-5976197/1439128 : -203317/1439128 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
(-211/1076 : 18453/1076 : 1) C1a (283/581 : 7279/9877 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
(-37/4267 : -2556/4267 : 1) C1a (-178027/256904 : -7649/256904 : 1)
** u= 146/101 ; tau(u)= -56/45 ; 17266*x^2 - 914*y^2 + 24452*x*z + 17266*z^2
(-1255/1123 : -3984/1123 : 1) C1a (-2133829/1423880 : 177791/1423880 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
(-3373/4375 : -49776/4375 : 1) C2b (-21375137/11311792 : 5710529/11311792 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
(1703/13168 : 1191/13168 : 1) C1a (-13976/5911 : 7321/100487 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
(-717/10423 : -928/10423 : 1) C1a (1438369/6395608 : 180363/6395608 : 1)
** u= -168/125 ; tau(u)= 418/293 ; -143474*x^2 + 3026*y^2 + 202948*x*z - 143474*z^2
(371/691 : -3460/691 : 1) C2b (-34373/25712 : -175859/437104 : 1)
** u= 168/181 ; tau(u)= 194/13 ; 27886*x^2 + 37298*y^2 + 65860*x*z + 27886*z^2
(-35889/45491 : 19304/45491 : 1) C1b (-1070785/57112 : -537715/970904 : 1)
** u= 181/80 ; tau(u)= 21/101 ; 12359*x^2 - 19961*y^2 + 33202*x*z + 12359*z^2
(8909/173 : -7192/173 : 1) C1a (-518111482976/4424413279 : 1163924969/340339483 : 1)
** u= 182/61 ; tau(u)= 60/121 ; 3842*x^2 - 25682*y^2 + 36724*x*z + 3842*z^2
(793/934 : -1133/934 : 1) C1a (-11082763/1329875 : 299429/1329875 : 1)
** u= 194/13 ; tau(u)= 168/181 ; -27886*x^2 - 37298*y^2 + 65860*x*z - 27886*z^2
(752/927 : -407/927 : 1) C1a (-2760769/396713 : 1514143/6744121 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
(83809/260225 : 484524/260225 : 1) C1a (7659665/1166168 : -352331/1166168 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
(-269/126 : 6131/882 : 1) C1a (-593/260 : 97/476 : 1)
68
>
ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
- u=-7/13のとき
6618027086377083564507766756885^4+7374869221418926057583646241651^4+7934846931936738599725531657892^4=1877922*261939588213056299212881103357^4
4563400506818295558187450206711156516952446077433060794109813122527044037652765894867502917284729272184542773026392510412470791679507782124396276609846332795873287998713663058308003159623276530625002958966296296439988102149983990474202022906678618459751185083160669959340795^4+6437490650106194274315693222009511224445379689771302122020411127033418222173978634142481902859964052851135055316596804999167714668422735275119279467075692746174694118402947348675660433797196309676656313437592474509394895645525962802030758843920501799373596599413815360303149^4+6791722348183831950351244485178615470542838677841953075669389731910957952142150377210339446292266577419661680176174702303044832890927146401462899550244175190335282900649252151530755032898447495111592968711629271079572128923773462187516767265831919523512735973900618225102468^4=1877922*218479590707339395316667648321194565625906821665522237254218157688076293439470284759059290091653955315830032102419969431934778250430689937286504552721968670846335544959685039099041558253077935920793291719516754479360827052833832153085542102305413329085364946187638004530277^4
...
- u=16/125のとき
738279032073661999^4+1257885130402668527^4+2376395132578210960^4=1877922*65559923022400859^4
116129616233273701385^4+263042450880620886016^4+341938003085810830393^4=1877922*9981411108715816331^4
5001818911811138436709813393040002759^4+27576040486678431972166463045853901408^4+49983455289541081536371469325481079145^4=1877922*1380500708328627781147290496465697947^4
89775231945442478711264103536824141886713039^4+164316606933892894313569341193753122839249680^4+335798321541306751531329796808213202278541457^4=1877922*9209488462371958840251078693777162165726763^4
5971415188064130793424551342977855809859759504590783537268154095767246152367^4+1625519770819477475132997454613257615016925611287414964330614162489746848124209^4+1873550018839407896475916436282846493473717180691562139393364732240685900447280^4=1877922*56622398781564242006604749595320217117600855719617639564526703613487870255947^4
227500020427851370006023226518690888693184894413869828164315229161500538764289021193529991^4+316467844093700347980867668022018662825475653898057566674737356564438484558589014582435095^4+694711612155039246762305468400522188968994259451041956722807066886369892277888893781440608^4=1877922*19017493966089742349721601165898554686077952521110368066449689101379297170971570944473403^4
31176934775352777790531970774685181417912917923658380864446555038493906174225561569590578615350783685498973919644238058311187845570080038135^4+300697502319431107172546355001602942601016300753087894427720621380046543056308747810555711238976456800798956222166013039372310297948634348423^4+382287935324149939514347158755999429766984712240023079125515399007358983917112731146980039303824717279167852475574547301239279111071542473024^4=1877922*11198593531976622406258833681848631056791945376509834260580941864406637164514388133988808815140247587741224483594638353659173559270048778859^4
1311716576406838596014065503370272721918284029744228130571969422370830254647923189155859396431044718378520260287790115551047120174757637641024782717107073^4+6396337833368163860289861209328644736861145125784476670329621101569032439073971587371032570220835353242895831943558268550443425836444092093863259937037799^4+11653464409285278084314163302299287989610168415611325640661529448725275666765507083760690168707095757102466849518844373739499577281195968136245989492795960^4=1877922*321724526885590538679384622088205224212641305188938712812112898436807051627620566416648708678198301491299275066022246433433480423099141382733493897187159^4
1483161666221002374610021507695041480176047410825805374903099003467590583759020772765250728161283245704780037853932166181351875061863459363060776409584930640^4+2189309201273955251254467048493958304874106293787288515542837973050985070142328604723580148254516346169302330782555058965181383980064289399064024906615943569^4+3326674267252865296056467368626656230492061039508519108811854698716526177432582854793834215568340165175420191826754384590873620492313816244137606654420680337^4=1877922*94582343748668797463727153108800331686487014144918069468970398576372956983061094022855876006802288736048895368756619142165688281014362957477264874243760571^4
1184678120206749442338357277358107238542780823776059000724085236490675517857794783477899021181934140259934648010293268621089018711998723158956781355743497677896^4+46926006541694135215126123097425662524883212764141620531841347937131504104867615373758344068899385059685131314976571280262561172022196080650010664372611798701767^4+52502934345787910720069003016354710074910675449473633428385458181580303371436630349202588758406605673296897812441702401869107479766699520189684750650124573176385^4=1877922*1604546695856311915005904913951067106628460541267882578912123157018377038388073426838825095784617935628496529037289690132996965027321929601496015706617754241511^4
...
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
- [5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2026.02.20 |
| H.Nakao |