Integer Points on A^4+B^4+C^4=15842*D^4

[2025.11.02]A^4+B^4+C^4=15842*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

15842=2*89^2であるので、以下では、n=89とする。

■n=89のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=89;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように132個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(89,1,200);
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
  (347/237 : -32/237 : 1)  C1b (131776/40437 : 12191/40437 : 1)
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (-27052/340077 : 37981/340077 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (-4580/1119 : -409/1119 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-52/1995 : 181/1995 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (401/668 : -71/668 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (-26141135/39289 : 2674095/39289 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (75185/31764 : -7013/31764 : 1)
** u= 4/101 ; tau(u)= 198/97 ; -18802*x^2 + 20386*y^2 + 39220*x*z - 18802*z^2
  (5558/11821 : 5565/11821 : 1)  C1b (-2988727/355996 : -330061/355996 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (133896/14425 : -12023/14425 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (-4/9 : -1/9 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (11760/11209 : -20767/190553 : 1)
** u= -8/197 ; tau(u)= 402/205 ; -83986*x^2 + 77554*y^2 + 161668*x*z - 83986*z^2
  (327/784 : 71/112 : 1)  C2b (1517975/15144 : -163427/15144 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (8355/3268 : -751/3268 : 1)
** u= 11/117 ; tau(u)= 223/106 ; -22351*x^2 + 27257*y^2 + 49850*x*z - 22351*z^2
  (-31309/1105559 : 147522/157937 : 1)  C1b (1006587/123469 : 97067/123469 : 1)
** u= 13/17 ; tau(u)= 21/4 ; 137*x^2 + 409*y^2 + 610*x*z + 137*z^2
  (-397/1673 : 16/1673 : 1)  C1b (-6007/959 : -537/959 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (-41523/54212 : -10747/54212 : 1)
** u= -13/157 ; tau(u)= 327/170 ; -57631*x^2 + 49129*y^2 + 107098*x*z - 57631*z^2
  (5549/8957 : 4678/8957 : 1)  C2b (17159/3109420 : -343087/3109420 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-892/1693 : -161/1693 : 1)
** u= 16/113 ; tau(u)= 210/97 ; -18562*x^2 + 25282*y^2 + 44356*x*z - 18562*z^2
  (61/123 : -26/123 : 1)  C1b (-59731/24205 : 7271/24205 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
  (-18059/2029 : 24066/2029 : 1)  C2b (896396/515393 : -86483/515393 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
  (-929/1733 : 3156/1733 : 1)  C2b (-14610760/1502707 : 1864493/1502707 : 1)
** u= -19/117 ; tau(u)= 253/136 ; -36631*x^2 + 27017*y^2 + 64370*x*z - 36631*z^2
  (12073/4219 : -10020/4219 : 1)  C2b (123155/9128 : 13675/9128 : 1)
** u= -20/17 ; tau(u)= 54/37 ; -2338*x^2 + 178*y^2 + 3316*x*z - 2338*z^2
  (-5/96 : 361/96 : 1)  C2b (-4 : -137/89 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (-765028/186705 : -152089/186705 : 1)
** u= 21/4 ; tau(u)= 13/17 ; -137*x^2 - 409*y^2 + 610*x*z - 137*z^2
  (27/19 : 20/19 : 1)  C1a (-140872/679 : -12909/679 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (4384/1941 : -473/1941 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (-350155/92656 : 35553/92656 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (16691/397 : 2351/397 : 1)
** u= -23/113 ; tau(u)= 249/136 ; -36463*x^2 + 25009*y^2 + 62530*x*z - 36463*z^2
  (8223/10453 : 6556/10453 : 1)  C2b (-51/43 : 883/3827 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (-22712/7505 : -285597/667945 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
  (-29/3351 : -27170/23457 : 1)  C2b (61770925/5858379 : -47120341/41008653 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (14332/2343 : 1597/2343 : 1)
** u= -28/37 ; tau(u)= 102/65 ; -7666*x^2 + 1954*y^2 + 11188*x*z - 7666*z^2
  (993/2230 : 3271/2230 : 1)  C2b (18373/612 : -3221/612 : 1)
** u= -28/121 ; tau(u)= 270/149 ; -43618*x^2 + 28498*y^2 + 73684*x*z - 43618*z^2
  (424/1227 : 1111/1227 : 1)  C2b (205988/93675 : -20297/93675 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (-9475/15524 : -2219/15524 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (26336/24815 : -3267/24815 : 1)
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
  (87/47 : 128/47 : 1)  C1a (-126536/3793 : -12857/3793 : 1)
** u= 35/61 ; tau(u)= 87/26 ; -127*x^2 + 6217*y^2 + 8794*x*z - 127*z^2
  (-83/93 : 106/93 : 1)  C1b (175108/94945 : -17649/94945 : 1)
** u= -35/113 ; tau(u)= 261/148 ; -42583*x^2 + 24313*y^2 + 69346*x*z - 42583*z^2
  (-417/389 : 1016/389 : 1)  C2b (-15401031/973519 : -2027543/973519 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (-19380149/960685 : -1843843/960685 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (237577/2881 : 21537/2881 : 1)
** u= 44/73 ; tau(u)= 102/29 ; 254*x^2 + 8722*y^2 + 12340*x*z + 254*z^2
  (-1817/6018 : -26489/42126 : 1)  C1b (92/19 : -5239/11837 : 1)
** u= 44/117 ; tau(u)= 190/73 ; -8722*x^2 + 25442*y^2 + 38036*x*z - 8722*z^2
  (25621/118498 : 22359/118498 : 1)  C1b (-27425/22959 : -3629/22959 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (-292683484/20864475 : 1534433/834579 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (-92432/270155 : 24849/270155 : 1)
** u= -49/193 ; tau(u)= 435/242 ; -114727*x^2 + 72097*y^2 + 191626*x*z - 114727*z^2
  (2557/76225 : -93478/76225 : 1)  C2b (28067300/18764631 : -2757539/18764631 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (25467904/178235 : 22690953/1247645 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (-1509/4268 : 59899/379852 : 1)
** u= 54/37 ; tau(u)= -20/17 ; 2338*x^2 - 178*y^2 + 3316*x*z + 2338*z^2
  (-1/230 : 831/230 : 1)  C1a (-68/183 : -4129/16287 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
  (-91167/3659 : -147064/3659 : 1)  C2b (7392/1795 : -82091/159755 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-87785/37703 : 7997/37703 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (842527/1013849 : 113457/1013849 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (6519821/167620 : 811611/167620 : 1)
** u= 59/109 ; tau(u)= 159/50 ; -1519*x^2 + 20281*y^2 + 28762*x*z - 1519*z^2
  (-4923/750613 : 217810/750613 : 1)  C1b (-1333451/227875 : 121803/227875 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (229580/385221 : -306449/2696547 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (-2325304/292369 : -515329/292369 : 1)
** u= 64/125 ; tau(u)= 186/61 ; -3346*x^2 + 27154*y^2 + 38692*x*z - 3346*z^2
  (-85/13863 : 5036/13863 : 1)  C1b (-636793/223632 : 61997/223632 : 1)
** u= 67/173 ; tau(u)= 279/106 ; -17983*x^2 + 55369*y^2 + 82330*x*z - 17983*z^2
  (-3203/19581 : -14870/19581 : 1)  C1b (-2798291/1584692 : 320269/1584692 : 1)
** u= 68/181 ; tau(u)= 294/113 ; -20914*x^2 + 60898*y^2 + 91060*x*z - 20914*z^2
  (67687/836328 : 396403/836328 : 1)  C1b (5197/13565 : 245/2713 : 1)
** u= 71/73 ; tau(u)= 75/2 ; 5033*x^2 + 5617*y^2 + 10666*x*z + 5033*z^2
  (-27239/19429 : -1370/19429 : 1)  C1b (-3049/1020 : 281/1020 : 1)
** u= 71/81 ; tau(u)= 91/10 ; 4841*x^2 + 8081*y^2 + 13322*x*z + 4841*z^2
  (-1813/1175 : -18/25 : 1)  C1b (-351673/99345 : 31649/99345 : 1)
** u= -71/125 ; tau(u)= 321/196 ; -71791*x^2 + 26209*y^2 + 108082*x*z - 71791*z^2
  (47121/1625711 : -2632420/1625711 : 1)  C2b (-7154099/604491 : -1152091/604491 : 1)
** u= 75/2 ; tau(u)= 71/73 ; -5033*x^2 - 5617*y^2 + 10666*x*z - 5033*z^2
  (2371/2681 : -110/383 : 1)  C1a (10919/38460 : -3581/38460 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (14964/6553 : 30889/45871 : 1)
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b (34757/174029 : 22133/174029 : 1)
** u= 77/109 ; tau(u)= 141/32 ; 3881*x^2 + 17833*y^2 + 25810*x*z + 3881*z^2
  (-14779/36579 : 21064/36579 : 1)  C1b (16287/15121 : -2149/15121 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (-272516/81983 : -26919/81983 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (556419/251516 : 126467/251516 : 1)
** u= -84/137 ; tau(u)= 358/221 ; -90626*x^2 + 30482*y^2 + 135220*x*z - 90626*z^2
  (-7319/14552 : 35515/14552 : 1)  C2b (203657/123964 : 23943/123964 : 1)
** u= -85/157 ; tau(u)= 399/242 ; -109903*x^2 + 42073*y^2 + 166426*x*z - 109903*z^2
  (132361/79785 : -143594/79785 : 1)  C2b (152244/121499 : 17327/121499 : 1)
** u= 87/26 ; tau(u)= 35/61 ; 127*x^2 - 6217*y^2 + 8794*x*z + 127*z^2
  (319/12585 : -2986/12585 : 1)  C1a (-54888241/444820 : -4892553/444820 : 1)
** u= -87/157 ; tau(u)= 401/244 ; -111503*x^2 + 41729*y^2 + 168370*x*z - 111503*z^2
  (22233/7567 : 4028/1081 : 1)  C2b (1109254568/282751 : -166978779/282751 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (5795177/20600 : -530453/20600 : 1)
** u= 91/10 ; tau(u)= 71/81 ; -4841*x^2 - 8081*y^2 + 13322*x*z - 4841*z^2
  (15631/17993 : -11106/17993 : 1)  C1a (-7066892/310845 : 691529/310845 : 1)
** u= -91/109 ; tau(u)= 309/200 ; -71719*x^2 + 15481*y^2 + 103762*x*z - 71719*z^2
  (13/7 : 20/7 : 1)  C2b (11553/35992 : 5671/35992 : 1)
** u= -92/185 ; tau(u)= 462/277 ; -144994*x^2 + 59986*y^2 + 221908*x*z - 144994*z^2
  (158941/296050 : -314393/296050 : 1)  C2b (-20135/9772 : -353253/869708 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (13227265/846807 : 1180241/846807 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (66323/85480 : 11787/85480 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
  (-59329/90065 : -3284/90065 : 1)  C1b (-94515/53768 : -8647/53768 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (706849/405520 : -70083/405520 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (340077/27052 : 37981/27052 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-36973163/6189160 : 3314781/6189160 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (162940/452631 : -6401329/40284159 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (-2985635/2848 : -280899/2848 : 1)
** u= 102/29 ; tau(u)= 44/73 ; -254*x^2 - 8722*y^2 + 12340*x*z - 254*z^2
  (28/69 : -355/483 : 1)  C1a (279/92 : -16217/57316 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (-38078587/104339 : -3887653/104339 : 1)
** u= 102/65 ; tau(u)= -28/37 ; 7666*x^2 - 1954*y^2 + 11188*x*z + 7666*z^2
  (-1466/4283 : 6667/4283 : 1)  C1a (130028/949853 : -187109/949853 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-45828/100585 : -10153/100585 : 1)
** u= -103/153 ; tau(u)= 409/256 ; -120463*x^2 + 36209*y^2 + 177890*x*z - 120463*z^2
  (-37363/288467 : -578304/288467 : 1)  C2b (8718461/2392227 : 1215017/2392227 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
  (65205/55589 : 21796/55589 : 1)  C1a (1192437/213752 : 113503/213752 : 1)
** u= 109/149 ; tau(u)= 189/40 ; 8681*x^2 + 32521*y^2 + 47602*x*z + 8681*z^2
  (-48903/257411 : -10004/257411 : 1)  C1b (58209/91016 : -10577/91016 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (-176825/35172 : 16241/35172 : 1)
** u= -112/121 ; tau(u)= 354/233 ; -96034*x^2 + 16738*y^2 + 137860*x*z - 96034*z^2
  (18002/4593 : 36047/4593 : 1)  C2b (145928/233901 : -36283/233901 : 1)
** u= 112/149 ; tau(u)= 186/37 ; 9806*x^2 + 31858*y^2 + 47140*x*z + 9806*z^2
  (-5417/15609 : -6410/15609 : 1)  C1b (-9653384/18986313 : 1771273/18986313 : 1)
** u= -112/153 ; tau(u)= 418/265 ; -127906*x^2 + 34274*y^2 + 187268*x*z - 127906*z^2
  (356269/160168855 : 308911362/160168855 : 1)  C2b (93001/144385 : -18503/144385 : 1)
** u= -112/193 ; tau(u)= 498/305 ; -173506*x^2 + 61954*y^2 + 260548*x*z - 173506*z^2
  (237/164 : -263/164 : 1)  C2b (-1886515/1041496 : 414173/1041496 : 1)
** u= -119/137 ; tau(u)= 393/256 ; -116911*x^2 + 23377*y^2 + 168610*x*z - 116911*z^2
  (-7611/660443 : 1489280/660443 : 1)  C2b (-3888888/181541 : 808589/181541 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b (-7876/15909 : -242497/2656803 : 1)
** u= 119/169 ; tau(u)= 219/50 ; 9161*x^2 + 42961*y^2 + 62122*x*z + 9161*z^2
  (-10329/44687 : -14794/44687 : 1)  C1b (-132004/299485 : -27847/299485 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (11298131/543981 : 1022351/543981 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (9211/44320 : -3999/44320 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
  (-1351/1944 : -259/1944 : 1)  C1b (-1436/4265 : 34833/379585 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (32054845/1129243 : -3158997/1129243 : 1)
** u= 136/137 ; tau(u)= 138 ; 18494*x^2 + 19042*y^2 + 37540*x*z + 18494*z^2
  (-12093/11303 : -1832/11303 : 1)  C1b (148661/4597 : 15889/4597 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (185201/112415 : -23883/112415 : 1)
** u= 138 ; tau(u)= 136/137 ; -18494*x^2 - 19042*y^2 + 37540*x*z - 18494*z^2
  (664/771 : -61/771 : 1)  C1a (4463040/83083 : -465445/83083 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (339784/115175 : -66663/115175 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (822880/212621 : 73683/212621 : 1)
** u= 141/32 ; tau(u)= 77/109 ; -3881*x^2 - 17833*y^2 + 25810*x*z - 3881*z^2
  (683/163 : 232/163 : 1)  C1a (13932864/1072895 : 249097/214579 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
  (4380/3017 : 73/431 : 1)  C1a (141140/1601 : 1280397/142489 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (461212/609575 : 80367/609575 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (2012944/97357 : 762561/97357 : 1)
** u= 159/50 ; tau(u)= 59/109 ; 1519*x^2 - 20281*y^2 + 28762*x*z + 1519*z^2
  (-8669/168801 : 8030/168801 : 1)  C1a (25938655/4345844 : 2367663/4345844 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-4430416/2137523 : 426747/2137523 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (828199/1405372 : -259567/1405372 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (209329/116624 : 19131/116624 : 1)
** u= -165/149 ; tau(u)= 463/314 ; -169967*x^2 + 17177*y^2 + 241594*x*z - 169967*z^2
  (44621/15157 : -111634/15157 : 1)  C2b (2572/3467 : -61731/308563 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (1866916/182285 : 214003/182285 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (7541141/8736568 : -1304391/8736568 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a (-5101/4595 : 121927/767365 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (165032/156577 : 17499/156577 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
  (-4189/3469 : 2646/3469 : 1)  C1a (109404/2713 : -13207/2713 : 1)
** u= -184/169 ; tau(u)= 522/353 ; -215362*x^2 + 23266*y^2 + 306340*x*z - 215362*z^2
  (1269/944 : -2717/944 : 1)  C2b (-6147125143/466384624 : -1763355521/466384624 : 1)
** u= 186/37 ; tau(u)= 112/149 ; -9806*x^2 - 31858*y^2 + 47140*x*z - 9806*z^2
  (353/1617 : 38/1617 : 1)  C1a (-3075808/751515 : -60443/150303 : 1)
** u= 186/61 ; tau(u)= 64/125 ; 3346*x^2 - 27154*y^2 + 38692*x*z + 3346*z^2
  (-7729/669 : 220/669 : 1)  C1a (-273672/74657 : -24817/74657 : 1)
** u= 189/40 ; tau(u)= 109/149 ; -8681*x^2 - 32521*y^2 + 47602*x*z - 8681*z^2
  (37/193 : 12/193 : 1)  C1a (3096273/364928 : -276661/364928 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
  (-865/707 : -564/707 : 1)  C1a (394768/88755 : 54313/88755 : 1)
** u= 190/73 ; tau(u)= 44/117 ; 8722*x^2 - 25442*y^2 + 38036*x*z + 8722*z^2
  (-4217/18476 : -2577/18476 : 1)  C1a (-127676/38279 : 11419/38279 : 1)
** u= -191/149 ; tau(u)= 489/340 ; -194719*x^2 + 7921*y^2 + 275602*x*z - 194719*z^2
  (3881/2175 : 1235972/193575 : 1)  C2b (36968/8035 : 1251431/715115 : 1)
** u= 198/97 ; tau(u)= 4/101 ; 18802*x^2 - 20386*y^2 + 39220*x*z + 18802*z^2
  (659/768 : -1385/768 : 1)  C1a (-230524/162933 : -21727/162933 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (4051/397 : 11833/2779 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-75783/127948 : -11959/127948 : 1)
132
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-4/9のとき

126215805930147^4+485935830351899^4+2973546615480140^4=15842*265094067731333^4
236158429530448531692009863365098768151663151306576841341335723161415719322908976909991812733873357804925231937889826578804525145469101^4+283293964486964464224516447743899035752285897905685403979835833551666003081655906734176753972087965135564876383588161764282993650626435^4+1852381311834935750237261357803228034624125438244795658444100893385105070692805640862236353930093123995101725029863982842093106693337828^4=15842*165145190641921456766957238595760956513692563001125795696726264084587742066655585830135564897579894923526426130066675581025906991381169^4
94823813032644294721428142735054976174667569817339773629143976228070377333187258536302661538030391671503457646043591508300786904833534234084228686248527446510366425940299229284526972156382258200399538998018901718438574700901791635618277814147221510613493606615096627561110986694661701093871685803157481094816818576979953144623652532567128865860074301749474128517219199941075^4+153097756625465939556045833403960274117140702350818003444472732149494028689897864324963641003768624086993202932538448345490226852356797360744796764813668391470909344672028521198482456990332131598787404805009496460519727718604757380034106376914745018264797612462891528649838718454792285821491382320896630811947623109923578957561420092628872710381072695315972510963716392652211^4+718774163774293278320456835430159440537292109613301528548042843598855373971446023656684641402486766293572077506927471633729920002051962120213825401103196150319341095297419546730906733765481455935020334928399154362932200907846984156498665296169281088511281140356014254755100079056535262673973591112237138234797223896961226104828202913884475791043039076487530102866845098333332^4=15842*64105606897885694763667337375598445903952289837320872231122540950405608831207927732278818236816903710313823211845200258817794047025782946231184497166645061741607711982926663347042464546703710215352691763812940004206993207773742292506039243573577669006540212995381804932233093161684724288023946221917816631541122665914223389898411643839275939682518894539274200532613165843801^4
...

u=-4/9のとき

1741159879^4+278196472772^4+415156380825^4=15842*38743789163^4
264969655489272996898855304594180249126633464732806856821540706873750633897448848867267578935283437044^4+361682073306942838435651958694629042177131586063663165825648437842499979589004431802393339855767906825^4+382994674028578746783341775177187661309563054315698368742944007344090996679206639224538606230584240367^4=15842*40720638661305420612722155615314259167296330704627036040345118311584880879301979511492594531167168799^4
262014099938308381985789711386138418198678777871559642020065434070405615735419134217152068281282415848356685461599383924471427299226050862542567058468103262504795844378504683226359535077671648183429966726200141073800758306787816313444126128840862422420816974606141439555437054007324^4+328465036966340813444499799979927465247255104253577852843816460473958624961113059281817890897236245271737317614083469267807388755595453313473741611091354057450119015130599518974361280968600308432342395397926910030690516752842339357250374670398355684802431892446877901436996794907625^4+350566271860209455275895848718172790449574392001648100566117681567842628749040153735811210525021293959674122370848037958619931032133328212347310594573005081565834785985813173229258895829077214656716739804805315993133666363674375961662857148634323523913304805934163267150428218510657^4=15842*37538406057560437332189763255167425808113387106512247265130392580828833334849199096712423953705956545213214458284721377474304490277283334005693833168750335160943021905127461921764174005124623446959427994919247509003527954342019842018909189262752726808882087133071092614889919574071^4
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Last Update: 2025.11.30

H.Nakao