Integer Points on A^4+B^4+C^4=11858*D^4

[2025.11.01]A^4+B^4+C^4=11858*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

11858=2*77^2であるので、以下では、n=77とする。

■n=77のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=77;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように122個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(77,1,200);
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (375509/722759 : -71271/722759 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (-29984/2619 : -3437/2619 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (-405199/150499 : -45463/150499 : 1)
** u= 7/17 ; tau(u)= 27/10 ; -151*x^2 + 529*y^2 + 778*x*z - 151*z^2
  (1/5 : 6/115 : 1)  C1b (6264/907 : 13829/20861 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
  (1/7 : 8/7 : 1)  C2b (7692/4603 : -817/4603 : 1)
** u= -7/61 ; tau(u)= 129/68 ; -9199*x^2 + 7393*y^2 + 16690*x*z - 9199*z^2
  (-209/789 : -1096/789 : 1)  C2b (157155/463681 : 48335/463681 : 1)
** u= -7/73 ; tau(u)= 153/80 ; -12751*x^2 + 10609*y^2 + 23458*x*z - 12751*z^2
  (45/67 : 3512/6901 : 1)  C2b (-1471/172 : -19391/17716 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (-209816/310589 : -49091/310589 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-10708/56405 : -1461/11281 : 1)
** u= 8/25 ; tau(u)= 42/17 ; -514*x^2 + 1186*y^2 + 1828*x*z - 514*z^2
  (-151/14 : 115/14 : 1)  C1b (337017/31084 : -32977/31084 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
  (1123/1460 : -903/1460 : 1)  C2b (-8144212/2450373 : 1238963/2450373 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (-328012/142181 : 50079/142181 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (-692/1871 : 4253/31807 : 1)
** u= 8/193 ; tau(u)= 378/185 ; -68386*x^2 + 74434*y^2 + 142948*x*z - 68386*z^2
  (78991/110195 : -13128/110195 : 1)  C1b (152996/34183 : 15623/34183 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (-30917/31583 : -5253/31583 : 1)
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
  (78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1)  C1b (-9394159/3553624 : 1217817/3553624 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (1773/673 : -553/673 : 1)
** u= 16/65 ; tau(u)= 114/49 ; -4546*x^2 + 8194*y^2 + 13252*x*z - 4546*z^2
  (3429/1247 : 686/1247 : 1)  C1b (-727004/264597 : -87589/264597 : 1)
** u= -16/97 ; tau(u)= 210/113 ; -25282*x^2 + 18562*y^2 + 44356*x*z - 25282*z^2
  (-1115/271 : -1586/271 : 1)  C2b (-358692/15121 : 45781/15121 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-328861/30825 : 49/45 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (506853/337177 : -53401/337177 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (799892/447849 : -98263/447849 : 1)
** u= -21/29 ; tau(u)= 79/50 ; -4559*x^2 + 1241*y^2 + 6682*x*z - 4559*z^2
  (-940973/973083 : 3414890/973083 : 1)  C2b (-146824/15613 : 2271/1201 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (1250927/17917 : 123831/17917 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
  (-4371/15581 : -23578/15581 : 1)  C2b (-4285136/590489 : 594693/590489 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (7078804/2549555 : -137679/509911 : 1)
** u= -23/41 ; tau(u)= 105/64 ; -7663*x^2 + 2833*y^2 + 11554*x*z - 7663*z^2
  (9657/8327 : -10576/8327 : 1)  C2b (79164/66817 : 91/613 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
  (4943/44507 : -8330/44507 : 1)  C1b (13184/7527 : -1381/7527 : 1)
** u= 27/10 ; tau(u)= 7/17 ; 151*x^2 - 529*y^2 + 778*x*z + 151*z^2
  (-1/5 : -6/115 : 1)  C1a (-403/216 : 941/4968 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (-3167/3856 : 2007/3856 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (-4624/26959 : 2587/26959 : 1)
** u= 28/53 ; tau(u)= 78/25 ; -466*x^2 + 4834*y^2 + 6868*x*z - 466*z^2
  (-1379/192144 : -62735/192144 : 1)  C1b (-767568/51151 : -74221/51151 : 1)
** u= -28/61 ; tau(u)= 150/89 ; -15058*x^2 + 6658*y^2 + 23284*x*z - 15058*z^2
  (193/1062 : 1385/1062 : 1)  C2b (90481/183712 : 21543/183712 : 1)
** u= -28/73 ; tau(u)= 174/101 ; -19618*x^2 + 9874*y^2 + 31060*x*z - 19618*z^2
  (548/2247 : 2599/2247 : 1)  C2b (281/7864 : -1099/7864 : 1)
** u= -28/109 ; tau(u)= 246/137 ; -36754*x^2 + 22978*y^2 + 61300*x*z - 36754*z^2
  (8634/13901 : 10399/13901 : 1)  C2b (14954799/2900291 : -1766063/2900291 : 1)
** u= 28/197 ; tau(u)= 366/169 ; -56338*x^2 + 76834*y^2 + 134740*x*z - 56338*z^2
  (1380316/3397353 : -1279265/3397353 : 1)  C1b (-735464/536159 : 114839/536159 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (2794564/200031 : -272411/200031 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (-41912/259747 : -27709/259747 : 1)
** u= 35/157 ; tau(u)= 279/122 ; -28543*x^2 + 48073*y^2 + 79066*x*z - 28543*z^2
  (62297/151873 : 20934/151873 : 1)  C1b (9104/52323 : 5143/52323 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-61261/58876 : 6857/58876 : 1)
** u= -40/49 ; tau(u)= 138/89 ; -14242*x^2 + 3202*y^2 + 20644*x*z - 14242*z^2
  (173/1461 : 2828/1461 : 1)  C2b (36/47 : -7/47 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (51967/38749 : 5327/38749 : 1)
** u= 42/17 ; tau(u)= 8/25 ; 514*x^2 - 1186*y^2 + 1828*x*z + 514*z^2
  (-157/721 : 248/721 : 1)  C1a (-42092/44531 : -5199/44531 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (1543/1317 : 1057/1317 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (31621/43772 : 5409/43772 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (633796/443491 : -72717/443491 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (-12311/13661 : -45211/13661 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (378079/350029 : 43617/350029 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (-1466037/43577 : -142097/43577 : 1)
** u= -56/53 ; tau(u)= 162/109 ; -20626*x^2 + 2482*y^2 + 29380*x*z - 20626*z^2
  (79/14 : -201/14 : 1)  C2b (29356/36765 : 1465/7353 : 1)
** u= -56/125 ; tau(u)= 306/181 ; -62386*x^2 + 28114*y^2 + 96772*x*z - 62386*z^2
  (-103919/1438941 : 2265680/1438941 : 1)  C2b (-2770387/2052409 : 655411/2052409 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
  (-957/5627 : 6280/5627 : 1)  C1a (-10972/3543 : -1237/3543 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (239620/285893 : 34515/285893 : 1)
** u= 57/193 ; tau(u)= 329/136 ; -33743*x^2 + 71249*y^2 + 111490*x*z - 33743*z^2
  (139247/443397 : -75356/443397 : 1)  C1b (-2083211/650879 : 238203/650879 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (-1899215/545876 : -337865/545876 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (6096151/529308 : -1253879/529308 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (-4498348/20828043 : -2000207/20828043 : 1)
** u= -67/145 ; tau(u)= 357/212 ; -85399*x^2 + 37561*y^2 + 131938*x*z - 85399*z^2
  (35/81 : -88/81 : 1)  C2b (33786097/828419 : -5022553/828419 : 1)
** u= 68/181 ; tau(u)= 294/113 ; -20914*x^2 + 60898*y^2 + 91060*x*z - 20914*z^2
  (67687/836328 : 396403/836328 : 1)  C1b (37775464/3919639 : -3652989/3919639 : 1)
** u= -69/109 ; tau(u)= 287/178 ; -58607*x^2 + 19001*y^2 + 87130*x*z - 58607*z^2
  (14889/16421 : 19858/16421 : 1)  C2b (399941/20320 : -13341/4064 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (-2511888/199939 : -253409/199939 : 1)
** u= 73/89 ; tau(u)= 105/16 ; 4817*x^2 + 10513*y^2 + 16354*x*z + 4817*z^2
  (-15857/12433 : -10984/12433 : 1)  C1b (617588/146193 : 67867/146193 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
  (151/2201 : -1190/2201 : 1)  C1a (439968/174707 : 47833/174707 : 1)
** u= 78/25 ; tau(u)= 28/53 ; 466*x^2 - 4834*y^2 + 6868*x*z + 466*z^2
  (2/7 : -5/7 : 1)  C1a (87609/45403 : -9737/45403 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-603/3736 : -1033/3736 : 1)
** u= 79/50 ; tau(u)= -21/29 ; 4559*x^2 - 1241*y^2 + 6682*x*z + 4559*z^2
  (-3343/5367 : -7090/5367 : 1)  C1a (1776848/230201 : 362979/230201 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (-4498348/20828043 : -2000207/20828043 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (-761933/70079 : -403377/70079 : 1)
** u= -84/137 ; tau(u)= 358/221 ; -90626*x^2 + 30482*y^2 + 135220*x*z - 90626*z^2
  (-7319/14552 : 35515/14552 : 1)  C2b (-4084999/877024 : 800733/877024 : 1)
** u= -84/173 ; tau(u)= 430/257 ; -125042*x^2 + 52802*y^2 + 191956*x*z - 125042*z^2
  (19970/540811 : -808891/540811 : 1)  C2b (1980283/6002351 : 759939/6002351 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (422711/84221 : -47013/84221 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
  (-1613/1789 : 1092/1789 : 1)  C1a (143923/34036 : 21047/34036 : 1)
** u= -91/73 ; tau(u)= 237/164 ; -45511*x^2 + 2377*y^2 + 64450*x*z - 45511*z^2
  (107/201 : -640/201 : 1)  C2b (-2045628/36703 : -869291/36703 : 1)
** u= 91/173 ; tau(u)= 255/82 ; -5167*x^2 + 51577*y^2 + 73306*x*z - 5167*z^2
  (56029/798909 : -25202/798909 : 1)  C1b (-1157392/770993 : 137877/770993 : 1)
** u= 92/193 ; tau(u)= 294/101 ; -11938*x^2 + 66034*y^2 + 94900*x*z - 11938*z^2
  (4664/42941 : 7033/42941 : 1)  C1b (155123/1344223 : -128831/1344223 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-328861/30825 : 49/45 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (-43772/31621 : 5409/31621 : 1)
** u= -100/97 ; tau(u)= 294/197 ; -67618*x^2 + 8818*y^2 + 96436*x*z - 67618*z^2
  (208511/679166 : 1523725/679166 : 1)  C2b (1537696/210523 : -372591/210523 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-1559092/53579 : -153603/53579 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (-29294588/15253537 : 2868413/15253537 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (-31805/8 : 3495/8 : 1)
** u= 105/16 ; tau(u)= 73/89 ; -4817*x^2 - 10513*y^2 + 16354*x*z - 4817*z^2
  (8949/26485 : -3256/26485 : 1)  C1a (2642188/1314021 : -259423/1314021 : 1)
** u= 105/64 ; tau(u)= -23/41 ; 7663*x^2 - 2833*y^2 + 11554*x*z + 7663*z^2
  (2309/661 : 4672/661 : 1)  C1a (-238284/307547 : -37871/307547 : 1)
** u= -105/97 ; tau(u)= 299/202 ; -70583*x^2 + 7793*y^2 + 100426*x*z - 70583*z^2
  (43361/255877 : 683414/255877 : 1)  C2b (-2742968/1177619 : -1060941/1177619 : 1)
** u= 105/137 ; tau(u)= 169/32 ; 8977*x^2 + 26513*y^2 + 39586*x*z + 8977*z^2
  (-123991/510351 : 32968/510351 : 1)  C1b (-255851/244892 : -30669/244892 : 1)
** u= 112/117 ; tau(u)= 122/5 ; 12494*x^2 + 14834*y^2 + 27428*x*z + 12494*z^2
  (-3109/2525 : -1002/2525 : 1)  C1b (7216807/2636307 : 957539/2636307 : 1)
** u= 114/49 ; tau(u)= 16/65 ; 4546*x^2 - 8194*y^2 + 13252*x*z + 4546*z^2
  (-487/150 : -161/150 : 1)  C1a (-8401/14732 : -1459/14732 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (-20128/3813 : -1951/3813 : 1)
** u= 122/5 ; tau(u)= 112/117 ; -12494*x^2 - 14834*y^2 + 27428*x*z - 12494*z^2
  (3109/2525 : 1002/2525 : 1)  C1a (-74684/34697 : -10477/34697 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (40/547 : 1085/547 : 1)
** u= 128/169 ; tau(u)= 210/41 ; 13022*x^2 + 40738*y^2 + 60484*x*z + 13022*z^2
  (-785/1087 : -832/1087 : 1)  C1b (-1156196/490947 : 113381/490947 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (321268/655997 : -71211/655997 : 1)
** u= 129/68 ; tau(u)= -7/61 ; 9199*x^2 - 7393*y^2 + 16690*x*z + 9199*z^2
  (-23459/19257 : -11240/19257 : 1)  C1a (273347/295023 : -60617/295023 : 1)
** u= -131/197 ; tau(u)= 525/328 ; -198007*x^2 + 60457*y^2 + 292786*x*z - 198007*z^2
  (-639053/2860753 : 6082340/2860753 : 1)  C2b (794036/851021 : 117729/851021 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (93948/161815 : -3211/32363 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-374492/163047 : 2153/9591 : 1)
** u= -136/109 ; tau(u)= 354/245 ; -101554*x^2 + 5266*y^2 + 143812*x*z - 101554*z^2
  (787/21291 : -91084/21291 : 1)  C2b (541812/1832659 : 631643/1832659 : 1)
** u= 138/89 ; tau(u)= -40/49 ; 14242*x^2 - 3202*y^2 + 20644*x*z + 14242*z^2
  (-101/710 : 1351/710 : 1)  C1a (-36/47 : 7/47 : 1)
** u= -140/149 ; tau(u)= 438/289 ; -147442*x^2 + 24802*y^2 + 211444*x*z - 147442*z^2
  (3568/44661 : -102833/44661 : 1)  C2b (1635336/621413 : 301609/621413 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (-16672/35031 : -3461/35031 : 1)
** u= 145/153 ; tau(u)= 161/8 ; 20897*x^2 + 25793*y^2 + 46946*x*z + 20897*z^2
  (-47137/46037 : -20796/46037 : 1)  C1b (162203/275532 : -40969/275532 : 1)
** u= -145/169 ; tau(u)= 483/314 ; -176167*x^2 + 36097*y^2 + 254314*x*z - 176167*z^2
  (6427/4971 : -9854/4971 : 1)  C2b (73576/126243 : 19699/126243 : 1)
** u= 150/89 ; tau(u)= -28/61 ; 15058*x^2 - 6658*y^2 + 23284*x*z + 15058*z^2
  (-31/84 : -95/84 : 1)  C1a (-1460323/893143 : 168027/893143 : 1)
** u= -151/145 ; tau(u)= 441/296 ; -152431*x^2 + 19249*y^2 + 217282*x*z - 152431*z^2
  (15733/101615 : 256284/101615 : 1)  C2b (-3006156/602303 : -71963/46331 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (254753/148117 : 36613/148117 : 1)
** u= 153/80 ; tau(u)= -7/73 ; 12751*x^2 - 10609*y^2 + 23458*x*z + 12751*z^2
  (-45/67 : -3512/6901 : 1)  C1a (148/1717 : -22237/176851 : 1)
** u= 161/8 ; tau(u)= 145/153 ; -20897*x^2 - 25793*y^2 + 46946*x*z - 20897*z^2
  (79009/128645 : 5844/128645 : 1)  C1a (16315699/4317239 : 1620293/4317239 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (104381/5969 : 10089/5969 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (15677005/4089816 : 3616445/4089816 : 1)
** u= 161/169 ; tau(u)= 177/8 ; 25793*x^2 + 31201*y^2 + 57250*x*z + 25793*z^2
  (-47169/42661 : -18668/42661 : 1)  C1b (504156/107659 : -61231/107659 : 1)
** u= 162/109 ; tau(u)= -56/53 ; 20626*x^2 - 2482*y^2 + 29380*x*z + 20626*z^2
  (-2087/1171 : -4320/1171 : 1)  C1a (-31015/34556 : 7075/34556 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
  (-1042/895 : 551/895 : 1)  C1b (-484468/740053 : -74283/740053 : 1)
** u= 169/32 ; tau(u)= 105/137 ; -8977*x^2 - 26513*y^2 + 39586*x*z - 8977*z^2
  (174929/435449 : -197912/435449 : 1)  C1a (-11963164/693701 : -1195293/693701 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (-76413/164848 : -16087/164848 : 1)
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b (44567275/42393401 : -8115335/42393401 : 1)
** u= 174/101 ; tau(u)= -28/73 ; 19618*x^2 - 9874*y^2 + 31060*x*z + 19618*z^2
  (-1546/1179 : 1333/1179 : 1)  C1a (113136/197551 : -40439/197551 : 1)
** u= 177/8 ; tau(u)= 161/169 ; -25793*x^2 - 31201*y^2 + 57250*x*z - 25793*z^2
  (5209/7661 : -1508/7661 : 1)  C1a (-184972/501493 : -66333/501493 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (-32752/2173 : 4121/2173 : 1)
** u= -184/153 ; tau(u)= 490/337 ; -193282*x^2 + 12962*y^2 + 273956*x*z - 193282*z^2
  (45911/46307 : -135912/46307 : 1)  C2b (-996876/242153 : -437243/242153 : 1)
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a (26116/260229 : 27301/260229 : 1)
** u= -196/157 ; tau(u)= 510/353 ; -210802*x^2 + 10882*y^2 + 298516*x*z - 210802*z^2
  (-2010/11 : -8881/11 : 1)  C2b (-1441637/9526584 : 4471213/9526584 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-111971/301968 : 29089/301968 : 1)
122
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=28/53のとき

111417913176^4+652385155333^4+3074200685543^4=11858*294747082303^4
989522788949749^4+1923889556727881^4+2225885962409616^4=11858*239793073620943^4
1701713511620045181523042141354502976^4+2429813624428955092984771383725520743^4+2592869368970102591783500612686031981^4=11858*293873849578109621404244688453108829^4
84311176725896063265078515046409864221399709^4+1077645461411499107993340438805609092105996233^4+2903716842431288173313339427123879056416285128^4=11858*279570869292624553125365421372350883158022637^4
262905270922502054577133750613077133231805289468453226917565063106460315075798633808033^4+317852556339301283813454967602542855238925558336850897275491780986395252230505771829387^4+4812565748462729043837406947733213350791125464760386748974363038937820901253290200621032^4=11858*461186777370763959167067260886938037439442204523466088949124377949986564194020170472501^4
6060778310683696270269227303514071561740722906362208725678373722952048675709479905793317480509^4+52483952287526101770396470328040487798617782596464178119473508864268879192254362349338649602151^4+130072138410261173484893213311683101480027359849424387129049025144341205991097052796688195474552^4=11858*12546495942774991484136097073557723938025551724433856229406881975700087947882597883659513261339^4
761160107389833041746598710031445596739171839203893792216497929246977574276565306989433016916563464352^4+2025271387057428921319275682416190126942135205233819418076330679253576580878163281077430656649318792581^4+2960126243951465491590214965796210375513984557782817976567540196782564565630549743114769590690265722319^4=11858*298337664697644874927797509749916245022453787583664889262970559195759934684308416590196799787586474149^4
35634472808503584996547440145968743076178269575513104408989260509486972045820682790180226751472754561519^4+73257929213824305336768877166164926641006312127040139875296610385366237285038802052962193115333369213957^4+88628050166553404442008263815573995737203441908830737386569828538508612090131142241991409217537700880768^4=11858*9388120894058109322938842547894963687771516788857580740005542948111384674678699965202073733433176074347^4
35716388934647142648300976362024249554859539105798476647869380028575993557722160798988336874036276848158523272528^4+102808132838607489069274053957361514546238169036956679922172296438050503960868360188356753109434052286018237694057^4+158274813559361478376305376340085250632027301534761878376792081748030754352532802954424093703852836298410796133077^4=11858*15810136468889180664008219101198826867870014189545194759660192283580581801527896999945154258691621134556315007729^4
2654399107876873702056357447838028705416019594918349888474901402917041186807359293994806461925328078429246573364724987891389781839434452744^4+24972823556100086549512522259319016053467007353851854695322504930994589737330807009432177555852025888980171990555085243089008044468880143651^4+102294135453114371134215139469149560483255365618273827395129900513351686932474145263878742793051566013021128695761687701150239234302630267999^4=11858*9811443093253408960854196707073374470303575202053886233924833318763903745402184771078636859497905718595506253957778557363463619032437100353^4
...

u=21/157のとき

190718181996292699353956201280557122016275374019113727^4+208838495170498672648169667428131044329692315315005763^4+360812274643487125016468375230583903933306901853480028^4=11858*36115369939828398336378055573156499022963759300563007^4
17354695111573849442212574082352350501498888543795512400585532257378173955530213723843165663048239057953870364881410949826696694846918757816701016875109934822642815145947168333206592024720744406432667172631270500498375073522155361537505047094822068162030249654965814213975908431209191737038893365314246859774878135381634127324199682148881545669786185634264999764736411420272845945771672388194270075426218721887115451946362977489849394435472433750683902600423399240184368031187665451^4+22826264211148348329913097188345351000971733659854652655575416933233860464171300424830670772746170519091269746228675976238196509553475628561943195460329896879574556000501876733165609417917898789392400494991933954302233866469893690959382402849745081225294794117104497465787162945916046983728656177991024369491991624330292640079545124992057513225354371799513116921065085377848191005917342919585153491257794266898687523341294692216444500390289302092792539624566613037980401026989542959^4+36259912691340546556513604074157085658889848176508449864722901475774166262872380377737406898422730631760277320101316866469462670878634735024236941168753576119194403776832753023640067847449443560013190121600445521169144088865311677633735658260753543838423478934624374127072981524068632829331370453139720572540315358868515520439556502876180162563826341060342699241707893558363988205203002552084895606429484960622847642052442966030300634253283645269332878547815356939877059584239082116^4=11858*3643992842483123802993113014999960940237358152057895249507851806034330393946760123559031202264894022859877254785992353131866928707945497827166310885397176763298090443990893118000122733788475144968885339645407580858138746583762904641627418940862358162155719650059510400088921346753060569403932060825707558159188682392280835582101198220408826834142324868176138606071311902305655705947111127674322006722472103181516870363144854897152937465340791337017007383574091792234945267219796579^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2025.11.04

H.Nakao