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Integer Points on A^4+B^4+C^4=9522*D^4

[2025.10.26]A^4+B^4+C^4=9522*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

9522=2*69^2であるので、以下では、n=69とする。

■n=33のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=69;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように182個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(69,1,200);
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (53408/88655 : 9329/88655 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (-8101/13988 : 2319/13988 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (13420/9401 : 1473/9401 : 1)
** u= 3/37 ; tau(u)= 71/34 ; -2303*x^2 + 2729*y^2 + 5050*x*z - 2303*z^2
  (5053/7821 : -190/7821 : 1)  C1b (-5828903/19571 : -676017/19571 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (965/817 : -119/817 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (-2008/70687 : -9053/70687 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (964915/156272 : -110269/156272 : 1)
** u= -4/117 ; tau(u)= 238/121 ; -29266*x^2 + 27362*y^2 + 56660*x*z - 29266*z^2
  (17717/15866 : 4785/15866 : 1)  C2b (13951399/5202992 : 1483807/5202992 : 1)
** u= 5/169 ; tau(u)= 333/164 ; -53767*x^2 + 57097*y^2 + 110914*x*z - 53767*z^2
  (182033/581575 : 379548/581575 : 1)  C1b (-11298340/4957049 : 1705033/4957049 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (1436/1339 : 229/1339 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (664000/79147 : -70917/79147 : 1)
** u= -7/73 ; tau(u)= 153/80 ; -12751*x^2 + 10609*y^2 + 23458*x*z - 12751*z^2
  (45/67 : 3512/6901 : 1)  C2b (-1415/3403 : 56557/350509 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (765976/152077 : -82241/152077 : 1)
** u= -8/9 ; tau(u)= 26/17 ; -514*x^2 + 98*y^2 + 740*x*z - 514*z^2
  (-1/2 : -45/14 : 1)  C2b (-221/47 : 419/329 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
  (149/8615 : 34632/8615 : 1)  C2b (11251/3329 : -3797/3329 : 1)
** u= 11/45 ; tau(u)= 79/34 ; -2191*x^2 + 3929*y^2 + 6362*x*z - 2191*z^2
  (1205/401 : 342/401 : 1)  C1b (-4565/57161 : 6379/57161 : 1)
** u= -12/13 ; tau(u)= 38/25 ; -1106*x^2 + 194*y^2 + 1588*x*z - 1106*z^2
  (-32/11 : -97/11 : 1)  C2b (589/425 : -103/425 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (2799160/382127 : -291525/382127 : 1)
** u= -12/49 ; tau(u)= 110/61 ; -7298*x^2 + 4658*y^2 + 12244*x*z - 7298*z^2
  (265/1686 : 1841/1686 : 1)  C2b (460936/55079 : 59399/55079 : 1)
** u= -12/61 ; tau(u)= 134/73 ; -10514*x^2 + 7298*y^2 + 18100*x*z - 10514*z^2
  (1061/5602 : 5665/5602 : 1)  C2b (3848/203875 : -5407/40775 : 1)
** u= 12/185 ; tau(u)= 358/173 ; -59714*x^2 + 68306*y^2 + 128308*x*z - 59714*z^2
  (1484/16225 : 95681/113575 : 1)  C1b (63830105/8718424 : 49220653/61028968 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (-3413740/815987 : 408561/815987 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-376/3089 : -313/3089 : 1)
** u= 15/73 ; tau(u)= 131/58 ; -6503*x^2 + 10433*y^2 + 17386*x*z - 6503*z^2
  (8947/20739 : -2962/20739 : 1)  C1b (-1862944/106075 : 209357/106075 : 1)
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
  (78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1)  C1b (88544/13429 : 729/1033 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (-980/14071 : 2299/14071 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-9625/11324 : -1745/11324 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (1135859/20881 : 123779/20881 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (35300/57749 : 6775/57749 : 1)
** u= 20/193 ; tau(u)= 366/173 ; -59458*x^2 + 74098*y^2 + 134356*x*z - 59458*z^2
  (7598/20771 : 10313/20771 : 1)  C1b (-32819456/77097499 : -11030793/77097499 : 1)
** u= 21/25 ; tau(u)= 29/4 ; 409*x^2 + 809*y^2 + 1282*x*z + 409*z^2
  (-581/1329 : 400/1329 : 1)  C1b (-1765/4 : 189/4 : 1)
** u= -21/61 ; tau(u)= 143/82 ; -13007*x^2 + 7001*y^2 + 20890*x*z - 13007*z^2
  (5767/19163 : -20354/19163 : 1)  C2b (-608743/57091 : -94967/57091 : 1)
** u= -21/85 ; tau(u)= 191/106 ; -22031*x^2 + 14009*y^2 + 36922*x*z - 22031*z^2
  (12281/14013 : -9614/14013 : 1)  C2b (-12530776/11803075 : 3005071/11803075 : 1)
** u= -21/109 ; tau(u)= 239/130 ; -33359*x^2 + 23321*y^2 + 57562*x*z - 33359*z^2
  (-34941/10387 : 52882/10387 : 1)  C2b (-364475/93503 : 56911/93503 : 1)
** u= -24/125 ; tau(u)= 274/149 ; -43826*x^2 + 30674*y^2 + 75652*x*z - 43826*z^2
  (8011/25031 : 155320/175217 : 1)  C2b (50369/26485 : -38503/185395 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (-884/925 : 149/925 : 1)
** u= 26/17 ; tau(u)= -8/9 ; 514*x^2 - 98*y^2 + 740*x*z + 514*z^2
  (-257/113 : -3084/791 : 1)  C1a (-131/52 : -167/364 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (752/9335 : -2883/9335 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-12008/2005 : 1287/2005 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (-3294055/1531373 : -642047/1531373 : 1)
** u= -28/121 ; tau(u)= 270/149 ; -43618*x^2 + 28498*y^2 + 73684*x*z - 43618*z^2
  (424/1227 : 1111/1227 : 1)  C2b (619048/169405 : 73427/169405 : 1)
** u= 29/4 ; tau(u)= 21/25 ; -409*x^2 - 809*y^2 + 1282*x*z - 409*z^2
  (89/237 : 32/237 : 1)  C1a (-485867/5692 : -52263/5692 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
  (-101/107 : -324/107 : 1)  C1a (-6991/2684 : -2243/2684 : 1)
** u= 29/193 ; tau(u)= 357/164 ; -52951*x^2 + 73657*y^2 + 128290*x*z - 52951*z^2
  (1188069/498019 : -403076/498019 : 1)  C1b (-69264524/2854657 : 7919211/2854657 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (-3477656/1589227 : -594767/1589227 : 1)
** u= 31/81 ; tau(u)= 131/50 ; -4039*x^2 + 12161*y^2 + 18122*x*z - 4039*z^2
  (727/8503 : 3870/8503 : 1)  C1b (812104/803495 : 104653/803495 : 1)
** u= 33/65 ; tau(u)= 97/32 ; -959*x^2 + 7361*y^2 + 10498*x*z - 959*z^2
  (-2585/48737 : -22136/48737 : 1)  C1b (-54091/67279 : 9159/67279 : 1)
** u= -33/89 ; tau(u)= 211/122 ; -28679*x^2 + 14753*y^2 + 45610*x*z - 28679*z^2
  (59971/478031 : -602146/478031 : 1)  C2b (6038984/2066587 : 749057/2066587 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (-13412/4675 : -1509/4675 : 1)
** u= 38/25 ; tau(u)= -12/13 ; 1106*x^2 - 194*y^2 + 1588*x*z + 1106*z^2
  (-3/2 : 5/2 : 1)  C1a (-209/6085 : 1447/6085 : 1)
** u= -40/97 ; tau(u)= 234/137 ; -35938*x^2 + 17218*y^2 + 56356*x*z - 35938*z^2
  (-2995/14101 : -23916/14101 : 1)  C2b (-68028868/23585285 : 13095569/23585285 : 1)
** u= 44/117 ; tau(u)= 190/73 ; -8722*x^2 + 25442*y^2 + 38036*x*z - 8722*z^2
  (25621/118498 : 22359/118498 : 1)  C1b (20584240/8283641 : 2118119/8283641 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (-2077600/80153 : -303035/80153 : 1)
** u= -44/153 ; tau(u)= 350/197 ; -75682*x^2 + 44882*y^2 + 124436*x*z - 75682*z^2
  (11666/9599 : 8625/9599 : 1)  C2b (11188123/5144552 : 1280603/5144552 : 1)
** u= -48/73 ; tau(u)= 194/121 ; -26978*x^2 + 8354*y^2 + 39940*x*z - 26978*z^2
  (8/3 : 11/3 : 1)  C2b (96620/156013 : 21475/156013 : 1)
** u= 48/101 ; tau(u)= 154/53 ; -3314*x^2 + 18098*y^2 + 26020*x*z - 3314*z^2
  (849/6619 : 274/6619 : 1)  C1b (-8813/25076 : 2819/25076 : 1)
** u= 48/113 ; tau(u)= 178/65 ; -6146*x^2 + 23234*y^2 + 33988*x*z - 6146*z^2
  (-11589/181648 : -108827/181648 : 1)  C1b (1238380/309827 : 125711/309827 : 1)
** u= 51/149 ; tau(u)= 247/98 ; -16607*x^2 + 41801*y^2 + 63610*x*z - 16607*z^2
  (3051/1153139 : -723142/1153139 : 1)  C1b (1276607/317941 : 129417/317941 : 1)
** u= -55/153 ; tau(u)= 361/208 ; -83503*x^2 + 43793*y^2 + 133346*x*z - 83503*z^2
  (-33275/14731 : 63384/14731 : 1)  C2b (28695809/6131764 : -3759823/6131764 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1b (-62900/94907 : -13123/94907 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (554287/6243715 : 647339/6243715 : 1)
** u= -57/49 ; tau(u)= 155/106 ; -19223*x^2 + 1553*y^2 + 27274*x*z - 19223*z^2
  (-8767/90969 : -342622/90969 : 1)  C2b (129089/76240 : 33089/76240 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (1047536/1211941 : -144189/1211941 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (-1827724/768485 : 74701/153697 : 1)
** u= 60/109 ; tau(u)= 158/49 ; -1202*x^2 + 20162*y^2 + 28564*x*z - 1202*z^2
  (2657/63094 : 497/63094 : 1)  C1b (-1021/7159 : 737/7159 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (49661/6836 : -5029/6836 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (266236/87257 : 31537/87257 : 1)
** u= 64/153 ; tau(u)= 242/89 ; -11746*x^2 + 42722*y^2 + 62660*x*z - 11746*z^2
  (3797/25331 : -6270/25331 : 1)  C1b (23395/103559 : -10495/103559 : 1)
** u= -67/61 ; tau(u)= 189/128 ; -28279*x^2 + 2953*y^2 + 40210*x*z - 28279*z^2
  (-271/511 : 2256/511 : 1)  C2b (68155/110569 : -24875/110569 : 1)
** u= 67/173 ; tau(u)= 279/106 ; -17983*x^2 + 55369*y^2 + 82330*x*z - 17983*z^2
  (-3203/19581 : -14870/19581 : 1)  C1b (687943/125509 : 69733/125509 : 1)
** u= 71/34 ; tau(u)= 3/37 ; 2303*x^2 - 2729*y^2 + 5050*x*z + 2303*z^2
  (599/14357 : 1970/2051 : 1)  C1a (536/587 : 111/587 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (-21614587/8807792 : 2628347/8807792 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (-2701/16144 : 1701/16144 : 1)
** u= -75/197 ; tau(u)= 469/272 ; -142343*x^2 + 71993*y^2 + 225586*x*z - 142343*z^2
  (-22649/4481 : 37040/4481 : 1)  C2b (28622125/3886748 : -3969471/3886748 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (-43936/55127 : 283603/385889 : 1)
** u= -76/81 ; tau(u)= 238/157 ; -43522*x^2 + 7346*y^2 + 62420*x*z - 43522*z^2
  (427/796 : 1395/796 : 1)  C2b (70187/36760 : -2569/7352 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
  (24/35 : 7/5 : 1)  C2b (-682963/236753 : -180437/236753 : 1)
** u= 76/137 ; tau(u)= 198/61 ; -1666*x^2 + 31762*y^2 + 44980*x*z - 1666*z^2
  (7351/406496 : 66621/406496 : 1)  C1b (719360/358679 : 80215/358679 : 1)
** u= 77/81 ; tau(u)= 85/4 ; 5897*x^2 + 7193*y^2 + 13154*x*z + 5897*z^2
  (-2063/3319 : 36/3319 : 1)  C1b (-121420/94819 : 13331/94819 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-811/520 : 189/520 : 1)
** u= 79/34 ; tau(u)= 11/45 ; 2191*x^2 - 3929*y^2 + 6362*x*z + 2191*z^2
  (2623/19121 : -16998/19121 : 1)  C1a (26437/4825 : 3083/4825 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (141355/432007 : -59899/432007 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (266236/87257 : 31537/87257 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (-2765/472 : 303/472 : 1)
** u= 84/101 ; tau(u)= 118/17 ; 6478*x^2 + 13346*y^2 + 20980*x*z + 6478*z^2
  (-1641/4744 : 83/4744 : 1)  C1b (-15971/12017 : -1789/12017 : 1)
** u= 84/125 ; tau(u)= 166/41 ; 3694*x^2 + 24194*y^2 + 34612*x*z + 3694*z^2
  (-622/613 : 655/613 : 1)  C1b (-468136/82699 : 47509/82699 : 1)
** u= -84/145 ; tau(u)= 374/229 ; -97826*x^2 + 34994*y^2 + 146932*x*z - 97826*z^2
  (722/1293 : 1487/1293 : 1)  C2b (512125/232352 : -69293/232352 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (-782008/262765 : 30219/52553 : 1)
** u= 85/4 ; tau(u)= 77/81 ; -5897*x^2 - 7193*y^2 + 13154*x*z - 5897*z^2
  (4403/3067 : -1044/3067 : 1)  C1a (175780/84829 : 18101/84829 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-19840/8423 : 2025/8423 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (2120/3961 : 411/3961 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (-56302871/12894556 : 6102611/12894556 : 1)
** u= 89/97 ; tau(u)= 105/8 ; 7793*x^2 + 10897*y^2 + 18946*x*z + 7793*z^2
  (-23805/18809 : 10964/18809 : 1)  C1b (1546655/34517 : -175233/34517 : 1)
** u= 89/121 ; tau(u)= 153/32 ; 5873*x^2 + 21361*y^2 + 31330*x*z + 5873*z^2
  (-4161/6553 : 4840/6553 : 1)  C1b (-707812/353621 : 75209/353621 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (16084/23825 : -2531/23825 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-1204/1741 : 209/1741 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-332852/23825 : -35241/23825 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (5315/34361 : -4729/34361 : 1)
** u= -96/85 ; tau(u)= 266/181 ; -56306*x^2 + 5234*y^2 + 79972*x*z - 56306*z^2
  (2859/2033 : 6602/2033 : 1)  C2b (32669/18700 : 7851/18700 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (-8416676/1080341 : 874731/1080341 : 1)
** u= -96/169 ; tau(u)= 434/265 ; -131234*x^2 + 47906*y^2 + 197572*x*z - 131234*z^2
  (251/1980 : 2977/1980 : 1)  C2b (3371/364 : -543/364 : 1)
** u= -96/173 ; tau(u)= 442/269 ; -135506*x^2 + 50642*y^2 + 204580*x*z - 135506*z^2
  (-8917/8227 : -26272/8227 : 1)  C2b (-170929/51307 : -35671/51307 : 1)
** u= 97/32 ; tau(u)= 33/65 ; 959*x^2 - 7361*y^2 + 10498*x*z + 959*z^2
  (-19653/947555 : 42968/135365 : 1)  C1a (1159100/145049 : 120081/145049 : 1)
** u= -97/73 ; tau(u)= 243/170 ; -48391*x^2 + 1249*y^2 + 68458*x*z - 48391*z^2
  (12763/27719 : 129186/27719 : 1)  C2b (8440/3751 : -4013/3751 : 1)
** u= 97/197 ; tau(u)= 297/100 ; -10591*x^2 + 68209*y^2 + 97618*x*z - 10591*z^2
  (93229/1125431 : 218760/1125431 : 1)  C1b (-2979353/1316188 : -344741/1316188 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-9625/11324 : -1745/11324 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (198320/154411 : 37373/154411 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (1036801/397172 : -133679/397172 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (183548/80855 : -23781/80855 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (12808/13787 : 2097/13787 : 1)
** u= 103/153 ; tau(u)= 203/50 ; 5609*x^2 + 36209*y^2 + 51818*x*z + 5609*z^2
  (-193/1739 : -78/1739 : 1)  C1b (-26101/343936 : -34837/343936 : 1)
** u= 105/8 ; tau(u)= 89/97 ; -7793*x^2 - 10897*y^2 + 18946*x*z - 7793*z^2
  (207/211 : 116/211 : 1)  C1a (-11664515/39788 : 1311123/39788 : 1)
** u= -105/193 ; tau(u)= 491/298 ; -166583*x^2 + 63473*y^2 + 252106*x*z - 166583*z^2
  (222867/77315 : -278578/77315 : 1)  C2b (-496589/103280 : 96723/103280 : 1)
** u= 107/117 ; tau(u)= 127/10 ; 11249*x^2 + 15929*y^2 + 27578*x*z + 11249*z^2
  (-13739/17245 : -8178/17245 : 1)  C1b (65086280/1860163 : 7377599/1860163 : 1)
** u= 110/61 ; tau(u)= -12/49 ; 7298*x^2 - 4658*y^2 + 12244*x*z + 7298*z^2
  (-15122/625 : -18277/625 : 1)  C1a (14183/15680 : -3683/15680 : 1)
** u= 112/153 ; tau(u)= 194/41 ; 9182*x^2 + 34274*y^2 + 50180*x*z + 9182*z^2
  (-48007/111323 : -62346/111323 : 1)  C1b (116245/15164 : 12355/15164 : 1)
** u= -112/181 ; tau(u)= 474/293 ; -159154*x^2 + 52978*y^2 + 237220*x*z - 159154*z^2
  (4543/12132 : 16043/12132 : 1)  C2b (-168611983/3613541 : -30812721/3613541 : 1)
** u= 112/197 ; tau(u)= 282/85 ; -1906*x^2 + 65074*y^2 + 92068*x*z - 1906*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1b (25735/52891 : 5907/52891 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (1880347/619639 : -288093/619639 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-54659/59348 : 7427/59348 : 1)
** u= 118/17 ; tau(u)= 84/101 ; -6478*x^2 - 13346*y^2 + 20980*x*z - 6478*z^2
  (503/558 : -409/558 : 1)  C1a (-77539640/2319217 : 8355575/2319217 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b (-261935/54043 : 4457471/9025181 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (-3939244/250561 : 404433/250561 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (-96857/5525 : -5589/1547 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (-2749456/17489849 : 8420007/17489849 : 1)
** u= 127/10 ; tau(u)= 107/117 ; -11249*x^2 - 15929*y^2 + 27578*x*z - 11249*z^2
  (38993/25867 : 14142/25867 : 1)  C1a (1436887/2161960 : 229669/2161960 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (-708155/336004 : 72599/336004 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (35800108/13290545 : -1249325/2658109 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (-1569452/1227865 : 473939/1227865 : 1)
** u= -129/145 ; tau(u)= 419/274 ; -133511*x^2 + 25409*y^2 + 192202*x*z - 133511*z^2
  (-2329/3895 : -13298/3895 : 1)  C2b (73336688/14385475 : 15026933/14385475 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (565039/8404 : -60549/8404 : 1)
** u= 131/50 ; tau(u)= 31/81 ; 4039*x^2 - 12161*y^2 + 18122*x*z + 4039*z^2
  (1309/347 : -1134/347 : 1)  C1a (-10186552/8606045 : 1224049/8606045 : 1)
** u= 131/58 ; tau(u)= 15/73 ; 6503*x^2 - 10433*y^2 + 17386*x*z + 6503*z^2
  (17971/36117 : -45782/36117 : 1)  C1a (-5223835/205928 : 565969/205928 : 1)
** u= -132/101 ; tau(u)= 334/233 ; -91154*x^2 + 2978*y^2 + 128980*x*z - 91154*z^2
  (1917/464 : -8975/464 : 1)  C2b (163237/189761 : 76961/189761 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (49063/73516 : 7901/73516 : 1)
** u= 134/73 ; tau(u)= -12/61 ; 10514*x^2 - 7298*y^2 + 18100*x*z + 10514*z^2
  (107/224 : 55/32 : 1)  C1a (-37897/105224 : 11897/105224 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (1069700/365011 : -108657/365011 : 1)
** u= -141/101 ; tau(u)= 343/242 ; -97247*x^2 + 521*y^2 + 137530*x*z - 97247*z^2
  (-201/2819 : 40502/2819 : 1)  C2b (-179896/45607 : -296779/45607 : 1)
** u= 141/181 ; tau(u)= 221/40 ; 16681*x^2 + 45641*y^2 + 68722*x*z + 16681*z^2
  (-2849/7197 : -2996/7197 : 1)  C1b (6580204/1352141 : -734513/1352141 : 1)
** u= 143/82 ; tau(u)= -21/61 ; 13007*x^2 - 7001*y^2 + 20890*x*z + 13007*z^2
  (-13559/4003 : -14470/4003 : 1)  C1a (-172265/1819 : 25165/1819 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (-708155/336004 : 72599/336004 : 1)
** u= -147/193 ; tau(u)= 533/340 ; -209591*x^2 + 52889*y^2 + 305698*x*z - 209591*z^2
  (-173/681 : -1624/681 : 1)  C2b (-41037284/3798845 : -8949467/3798845 : 1)
** u= -148/169 ; tau(u)= 486/317 ; -179074*x^2 + 35218*y^2 + 258100*x*z - 179074*z^2
  (33172/34121 : -56745/34121 : 1)  C2b (368096/4523 : 84107/4523 : 1)
** u= 153/32 ; tau(u)= 89/121 ; -5873*x^2 - 21361*y^2 + 31330*x*z - 5873*z^2
  (20507/37859 : 25080/37859 : 1)  C1a (23395/103559 : -10495/103559 : 1)
** u= 153/80 ; tau(u)= -7/73 ; 12751*x^2 - 10609*y^2 + 23458*x*z + 12751*z^2
  (-45/67 : -3512/6901 : 1)  C1a (-15767/1133 : 197927/116699 : 1)
** u= 154/53 ; tau(u)= 48/101 ; 3314*x^2 - 18098*y^2 + 26020*x*z + 3314*z^2
  (-32/1731 : -685/1731 : 1)  C1a (431263/127789 : -47477/127789 : 1)
** u= 155/106 ; tau(u)= -57/49 ; 19223*x^2 - 1553*y^2 + 27274*x*z + 19223*z^2
  (11959/22705 : 113666/22705 : 1)  C1a (-191528/1165 : -68033/1165 : 1)
** u= 156/173 ; tau(u)= 190/17 ; 23758*x^2 + 35522*y^2 + 60436*x*z + 23758*z^2
  (-3502/4443 : -2251/4443 : 1)  C1b (120784/202385 : -30361/202385 : 1)
** u= 156/181 ; tau(u)= 206/25 ; 23086*x^2 + 41186*y^2 + 66772*x*z + 23086*z^2
  (-573/1426 : 29/1426 : 1)  C1b (-4535/38384 : 4017/38384 : 1)
** u= 158/49 ; tau(u)= 60/109 ; 1202*x^2 - 20162*y^2 + 28564*x*z + 1202*z^2
  (-101/13500 : 2989/13500 : 1)  C1a (-246104/94225 : 26323/94225 : 1)
** u= 159/185 ; tau(u)= 211/26 ; 23929*x^2 + 43169*y^2 + 69802*x*z + 23929*z^2
  (-8153/20543 : 1486/143801 : 1)  C1b (142537/124232 : -165819/869624 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (1135859/20881 : 123779/20881 : 1)
** u= 166/41 ; tau(u)= 84/125 ; -3694*x^2 - 24194*y^2 + 34612*x*z - 3694*z^2
  (969/3746 : 1705/3746 : 1)  C1a (-54213560/18823249 : 6033241/18823249 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (451932080/4001387 : 56060021/4001387 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (-86332/45683 : -81093/45683 : 1)
** u= 168/169 ; tau(u)= 170 ; 28222*x^2 + 28898*y^2 + 57124*x*z + 28222*z^2
  (-1331/1230 : 169/1230 : 1)  C1b (-29132/21005 : 3133/21005 : 1)
** u= 168/181 ; tau(u)= 194/13 ; 27886*x^2 + 37298*y^2 + 65860*x*z + 27886*z^2
  (-35889/45491 : 19304/45491 : 1)  C1b (-240292/7099 : 26851/7099 : 1)
** u= 170 ; tau(u)= 168/169 ; -28222*x^2 - 28898*y^2 + 57124*x*z - 28222*z^2
  (6991/8154 : 143/8154 : 1)  C1a (-738140/902119 : -169961/902119 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a (-341/296 : -9103/49432 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (9363997/3133241 : -1292713/3133241 : 1)
** u= -176/137 ; tau(u)= 450/313 ; -164962*x^2 + 6562*y^2 + 233476*x*z - 164962*z^2
  (155/237 : 842/237 : 1)  C2b (-4295/13333 : 8453/13333 : 1)
** u= -177/193 ; tau(u)= 563/370 ; -242471*x^2 + 43169*y^2 + 348298*x*z - 242471*z^2
  (191/1303 : 19466/9121 : 1)  C2b (-1575920/272213 : -3006363/1905491 : 1)
** u= 178/65 ; tau(u)= 48/113 ; 6146*x^2 - 23234*y^2 + 33988*x*z + 6146*z^2
  (-548/7345 : 2909/7345 : 1)  C1a (-27313/46892 : 5129/46892 : 1)
** u= -183/157 ; tau(u)= 497/340 ; -197711*x^2 + 15809*y^2 + 280498*x*z - 197711*z^2
  (207/121 : 524/121 : 1)  C2b (-67583812/3753865 : 25200329/3753865 : 1)
** u= 183/185 ; tau(u)= 187/2 ; 33481*x^2 + 34961*y^2 + 68458*x*z + 33481*z^2
  (-3035/2493 : 206/2493 : 1)  C1b (64753960/10796201 : 647497/830477 : 1)
** u= 187/2 ; tau(u)= 183/185 ; -33481*x^2 - 34961*y^2 + 68458*x*z - 33481*z^2
  (133771/110125 : -9742/110125 : 1)  C1a (1053944/1438961 : -155219/1438961 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (342986395/125270588 : -38541097/125270588 : 1)
** u= 189/128 ; tau(u)= -67/61 ; 28279*x^2 - 2953*y^2 + 40210*x*z + 28279*z^2
  (1487/8383 : 29392/8383 : 1)  C1a (-25405/13804 : -5815/13804 : 1)
** u= 190/17 ; tau(u)= 156/173 ; -23758*x^2 - 35522*y^2 + 60436*x*z - 23758*z^2
  (4962/5849 : 3167/5849 : 1)  C1a (63104/388205 : 40861/388205 : 1)
** u= 190/73 ; tau(u)= 44/117 ; 8722*x^2 - 25442*y^2 + 38036*x*z + 8722*z^2
  (-4217/18476 : -2577/18476 : 1)  C1a (-3449528/2699515 : -401983/2699515 : 1)
** u= 191/106 ; tau(u)= -21/85 ; 22031*x^2 - 14009*y^2 + 36922*x*z + 22031*z^2
  (-37887/29195 : 26126/29195 : 1)  C1a (-32576/34231 : -4151/34231 : 1)
** u= 194/13 ; tau(u)= 168/181 ; -27886*x^2 - 37298*y^2 + 65860*x*z - 27886*z^2
  (752/927 : -407/927 : 1)  C1a (88877/17399 : -9391/17399 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (-13003/743 : 1371/743 : 1)
** u= 194/41 ; tau(u)= 112/153 ; -9182*x^2 - 34274*y^2 + 50180*x*z - 9182*z^2
  (137/181 : 150/181 : 1)  C1a (-916397/879001 : -142247/879001 : 1)
** u= 194/121 ; tau(u)= -48/73 ; 26978*x^2 - 8354*y^2 + 39940*x*z + 26978*z^2
  (4033/4561 : 14410/4561 : 1)  C1a (-116507/206071 : 28597/206071 : 1)
** u= 195/197 ; tau(u)= 199/2 ; 38017*x^2 + 39593*y^2 + 77626*x*z + 38017*z^2
  (-10801/13095 : 13538/222615 : 1)  C1b (-301504/101461 : -540819/1724837 : 1)
** u= -196/153 ; tau(u)= 502/349 ; -205186*x^2 + 8402*y^2 + 290420*x*z - 205186*z^2
  (-1384/1073 : 11235/1073 : 1)  C2b (159584/740953 : 319441/740953 : 1)
** u= 198/61 ; tau(u)= 76/137 ; 1666*x^2 - 31762*y^2 + 44980*x*z + 1666*z^2
  (5636/12791 : 10599/12791 : 1)  C1a (-778859/50135 : -15775/10027 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (-20557/31657 : -3623/31657 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (190945/58019 : 56095/31241 : 1)
** u= 199/2 ; tau(u)= 195/197 ; -38017*x^2 - 39593*y^2 + 77626*x*z - 38017*z^2
  (13/15 : 2/15 : 1)  C1a (17840/25211 : -45909/428587 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (-26348116/16333607 : 18841283/16333607 : 1)
182
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ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[参考文献]

Last Update: 2025.11.05
H.Nakao

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