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Integer Points on A^4+B^4+C^4=5202*D^4

[2025.10.14]A^4+B^4+C^4=5202*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

5202=2*51^2であるので、以下では、n=51とする。

■n=51のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2< x,y,z > := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=51;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2-x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように135個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(51,1,200);
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (685/22 : 607/154 : 1)
** u= 1/41 ; tau(u)= 81/40 ; -3199*x^2 + 3361*y^2 + 6562*x*z - 3199*z^2
  (887/9805 : -8676/9805 : 1)  C1b (-688930/573053 : -150793/573053 : 1)
** u= -1/81 ; tau(u)= 163/82 ; -13447*x^2 + 13121*y^2 + 26570*x*z - 13447*z^2
  (-1117/7127 : -8334/7127 : 1)  C2b (4815991/3124487 : 593209/3124487 : 1)
** u= -3/49 ; tau(u)= 101/52 ; -5399*x^2 + 4793*y^2 + 10210*x*z - 5399*z^2
  (6497/32943 : 28532/32943 : 1)  C2b (1681343/647335 : 41833/129467 : 1)
** u= -3/61 ; tau(u)= 125/64 ; -8183*x^2 + 7433*y^2 + 15634*x*z - 8183*z^2
  (253/227 : 80/227 : 1)  C2b (115487/26650 : -14941/26650 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (-515/427 : 12433/50813 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (1406/25787 : -57709/438379 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (694/71 : 649/497 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (-3486470/1433353 : -645519/1433353 : 1)
** u= 8/193 ; tau(u)= 378/185 ; -68386*x^2 + 74434*y^2 + 142948*x*z - 68386*z^2
  (78991/110195 : -13128/110195 : 1)  C1b (-32257213/176143118 : -26572853/176143118 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (694/71 : 649/497 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (685/22 : 607/154 : 1)
** u= 11/37 ; tau(u)= 63/26 ; -1231*x^2 + 2617*y^2 + 4090*x*z - 1231*z^2
  (899/23 : -590/23 : 1)  C1b (-1019486/3189553 : -449213/3189553 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-17638/1819 : 2223/1819 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (1163/2314 : 363/3026 : 1)
** u= -12/49 ; tau(u)= 110/61 ; -7298*x^2 + 4658*y^2 + 12244*x*z - 7298*z^2
  (265/1686 : 1841/1686 : 1)  C2b (256217/5758 : -689977/97886 : 1)
** u= 12/65 ; tau(u)= 118/53 ; -5474*x^2 + 8306*y^2 + 14068*x*z - 5474*z^2
  (214/557 : 181/557 : 1)  C1b (-5393/4370 : -1051/4370 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (300830/1753 : 681453/29801 : 1)
** u= 12/149 ; tau(u)= 286/137 ; -37394*x^2 + 44258*y^2 + 81940*x*z - 37394*z^2
  (40808/70867 : 17207/70867 : 1)  C1b (-75463/6526 : 10597/6526 : 1)
** u= 12/185 ; tau(u)= 358/173 ; -59714*x^2 + 68306*y^2 + 128308*x*z - 59714*z^2
  (1484/16225 : 95681/113575 : 1)  C1b (-3325513/399577 : 56993519/47549663 : 1)
** u= -12/185 ; tau(u)= 382/197 ; -77474*x^2 + 68306*y^2 + 146068*x*z - 77474*z^2
  (311/402 : -1121/2814 : 1)  C2b (-4369/1306 : -89277/155414 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (576946/345605 : 75547/345605 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (74/17 : -9/17 : 1)
** u= 15/41 ; tau(u)= 67/26 ; -1127*x^2 + 3137*y^2 + 4714*x*z - 1127*z^2
  (15063/81119 : 24686/81119 : 1)  C1b (1094/295 : -129/295 : 1)
** u= -15/113 ; tau(u)= 241/128 ; -32543*x^2 + 25313*y^2 + 58306*x*z - 32543*z^2
  (5490053/9654187 : -6040624/9654187 : 1)  C2b (236890/94403 : -511349/1604851 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (122/125 : -19/125 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
  (-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1)  C1b (344965946/233799649 : -42808927/233799649 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (167297/287782 : -37127/287782 : 1)
** u= -21/29 ; tau(u)= 79/50 ; -4559*x^2 + 1241*y^2 + 6682*x*z - 4559*z^2
  (-940973/973083 : 3414890/973083 : 1)  C2b (4457/1153 : -14709/19601 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (281537/136345 : -34083/136345 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (2278/4475 : -9159/76075 : 1)
** u= -24/89 ; tau(u)= 202/113 ; -24962*x^2 + 15266*y^2 + 41380*x*z - 24962*z^2
  (8441/47349 : 51952/47349 : 1)  C2b (1988429/1032547 : 4419251/17553299 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (667/850 : -231/850 : 1)
** u= 29/49 ; tau(u)= 69/20 ; 41*x^2 + 3961*y^2 + 5602*x*z + 41*z^2
  (-95/12687 : 196/12687 : 1)  C1b (-495197/99730 : -59397/99730 : 1)
** u= -33/41 ; tau(u)= 115/74 ; -9863*x^2 + 2273*y^2 + 14314*x*z - 9863*z^2
  (4217/37405 : 71798/37405 : 1)  C2b (43016786/14994085 : -8558477/14994085 : 1)
** u= 33/65 ; tau(u)= 97/32 ; -959*x^2 + 7361*y^2 + 10498*x*z - 959*z^2
  (-2585/48737 : -22136/48737 : 1)  C1b (-66250/2677 : -7869/2677 : 1)
** u= -33/169 ; tau(u)= 371/202 ; -80519*x^2 + 56033*y^2 + 138730*x*z - 80519*z^2
  (-363/2653 : -3562/2653 : 1)  C2b (6663046/1255367 : -938193/1255367 : 1)
** u= -35/173 ; tau(u)= 381/208 ; -85303*x^2 + 58633*y^2 + 146386*x*z - 85303*z^2
  (-83483/163555 : -288352/163555 : 1)  C2b (3170650/1132783 : -7111971/19257311 : 1)
** u= 39/89 ; tau(u)= 139/50 ; -3479*x^2 + 14321*y^2 + 20842*x*z - 3479*z^2
  (127177/768221 : 71486/768221 : 1)  C1b (2739875/1651006 : 352781/1651006 : 1)
** u= -43/117 ; tau(u)= 277/160 ; -49351*x^2 + 25529*y^2 + 78578*x*z - 49351*z^2
  (2869/1363 : 19128/9541 : 1)  C2b (-1268605/284218 : 1780109/1989526 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (26869/50203 : -112517/853451 : 1)
** u= 44/169 ; tau(u)= 294/125 ; -29314*x^2 + 55186*y^2 + 88372*x*z - 29314*z^2
  (-3998/253 : 3185/253 : 1)  C1b (3664814/495521 : -442491/495521 : 1)
** u= -47/117 ; tau(u)= 281/164 ; -51583*x^2 + 25169*y^2 + 81170*x*z - 51583*z^2
  (6347/32969 : 40440/32969 : 1)  C2b (-406429/242770 : 21025/48554 : 1)
** u= 48/53 ; tau(u)= 58/5 ; 2254*x^2 + 3314*y^2 + 5668*x*z + 2254*z^2
  (-282/539 : -13/77 : 1)  C1b (74662/182255 : -28843/182255 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (746278/469727 : -106341/469727 : 1)
** u= -48/157 ; tau(u)= 362/205 ; -81746*x^2 + 46994*y^2 + 133348*x*z - 81746*z^2
  (593/2611 : -406/373 : 1)  C2b (424354/209201 : 56561/209201 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (2542 : 99997/17 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (4369/8158 : -7233/57106 : 1)
** u= -52/193 ; tau(u)= 438/245 ; -117346*x^2 + 71794*y^2 + 194548*x*z - 117346*z^2
  (3519/5042 : -3703/5042 : 1)  C2b (-3078862/2439755 : -47451/143515 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (241/146 : -5161/17374 : 1)
** u= -55/157 ; tau(u)= 369/212 ; -86863*x^2 + 46273*y^2 + 139186*x*z - 86863*z^2
  (5959/6065 : -5196/6065 : 1)  C2b (-76164431/84742750 : 24908101/84742750 : 1)
** u= -56/53 ; tau(u)= 162/109 ; -20626*x^2 + 2482*y^2 + 29380*x*z - 20626*z^2
  (79/14 : -201/14 : 1)  C2b (5170/3133 : -1655/4097 : 1)
** u= -56/81 ; tau(u)= 218/137 ; -34402*x^2 + 9986*y^2 + 50660*x*z - 34402*z^2
  (4811/983759 : 1819368/983759 : 1)  C2b (23545/29663 : 4915/29663 : 1)
** u= 56/145 ; tau(u)= 234/89 ; -12706*x^2 + 38914*y^2 + 57892*x*z - 12706*z^2
  (-4351/433281 : 253196/433281 : 1)  C1b (3528410/12111761 : 1430927/12111761 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-3464822/151559 : -410817/151559 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (74203/5027 : 149729/85459 : 1)
** u= -57/193 ; tau(u)= 443/250 ; -121751*x^2 + 71249*y^2 + 199498*x*z - 121751*z^2
  (12109/21597 : -17758/21597 : 1)  C2b (-457003/68893 : -83177/68893 : 1)
** u= 58/5 ; tau(u)= 48/53 ; -2254*x^2 - 3314*y^2 + 5668*x*z - 2254*z^2
  (110/159 : 67/159 : 1)  C1a (-230111/125425 : 39199/125425 : 1)
** u= -61/117 ; tau(u)= 295/178 ; -59647*x^2 + 23657*y^2 + 90746*x*z - 59647*z^2
  (163435/1673839 : -2466186/1673839 : 1)  C2b (190910/285451 : 41723/285451 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (-4272875/284773 : 511339/284773 : 1)
** u= 63/26 ; tau(u)= 11/37 ; 1231*x^2 - 2617*y^2 + 4090*x*z + 1231*z^2
  (581/47 : 450/47 : 1)  C1a (170327/153361 : -32339/153361 : 1)
** u= -64/49 ; tau(u)= 162/113 ; -21442*x^2 + 706*y^2 + 30340*x*z - 21442*z^2
  (-19/86 : 553/86 : 1)  C2b (-6754/27647 : 21271/27647 : 1)
** u= 67/26 ; tau(u)= 15/41 ; 1127*x^2 - 3137*y^2 + 4714*x*z + 1127*z^2
  (2731/3877 : 4898/3877 : 1)  C1a (4886873/2327 : -593223/2327 : 1)
** u= 69/20 ; tau(u)= 29/49 ; -41*x^2 - 3961*y^2 + 5602*x*z - 41*z^2
  (107/2203 : 532/2203 : 1)  C1a (-271/10 : 543/170 : 1)
** u= 69/73 ; tau(u)= 77/4 ; 4729*x^2 + 5897*y^2 + 10690*x*z + 4729*z^2
  (-7113/7681 : -3340/7681 : 1)  C1b (-196927/83641 : 23549/83641 : 1)
** u= 69/109 ; tau(u)= 149/40 ; 1561*x^2 + 19001*y^2 + 26962*x*z + 1561*z^2
  (-7999/71755 : 19652/71755 : 1)  C1b (2819/19210 : 2309/19210 : 1)
** u= -69/149 ; tau(u)= 367/218 ; -90287*x^2 + 39641*y^2 + 139450*x*z - 90287*z^2
  (833/8017 : -78098/56119 : 1)  C2b (30787798/1296875 : 7790603/1815625 : 1)
** u= 69/169 ; tau(u)= 269/100 ; -15239*x^2 + 52361*y^2 + 77122*x*z - 15239*z^2
  (-5745/77429 : -49088/77429 : 1)  C1b (664298/607795 : -96967/607795 : 1)
** u= -71/185 ; tau(u)= 441/256 ; -126031*x^2 + 63409*y^2 + 199522*x*z - 126031*z^2
  (1123/54429 : -75488/54429 : 1)  C2b (848234/1413059 : 192563/1413059 : 1)
** u= -73/121 ; tau(u)= 315/194 ; -69943*x^2 + 23953*y^2 + 104554*x*z - 69943*z^2
  (835/1143 : -1298/1143 : 1)  C2b (-668342/210397 : 2898017/3576749 : 1)
** u= 75/149 ; tau(u)= 223/74 ; -5327*x^2 + 38777*y^2 + 55354*x*z - 5327*z^2
  (3217/40401 : -6334/40401 : 1)  C1b (-50921/38879 : 134693/660943 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (-239/367 : 34399/43673 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
  (894/5539 : -211183/127397 : 1)  C2b (-5330/4201 : 766689/1642591 : 1)
** u= 77/4 ; tau(u)= 69/73 ; -4729*x^2 - 5897*y^2 + 10690*x*z - 4729*z^2
  (1143/707 : -128/707 : 1)  C1a (-464354/372367 : 94949/372367 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (17033/7225 : 8631/7225 : 1)
** u= 79/50 ; tau(u)= -21/29 ; 4559*x^2 - 1241*y^2 + 6682*x*z + 4559*z^2
  (-3343/5367 : -7090/5367 : 1)  C1a (30958/8893 : 8637/8893 : 1)
** u= 80/81 ; tau(u)= 82 ; 6398*x^2 + 6722*y^2 + 13124*x*z + 6398*z^2
  (-2227/2651 : -342/2651 : 1)  C1b (5429/1819 : 53/107 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (9727/2057 : 20539/34969 : 1)
** u= -80/117 ; tau(u)= 314/197 ; -71218*x^2 + 20978*y^2 + 104996*x*z - 71218*z^2
  (1369/727 : -1782/727 : 1)  C2b (-2294/2345 : 16003/39865 : 1)
** u= 81/40 ; tau(u)= 1/41 ; 3199*x^2 - 3361*y^2 + 6562*x*z + 3199*z^2
  (-115/89 : 12/89 : 1)  C1a (5429/1819 : 53/107 : 1)
** u= 82 ; tau(u)= 80/81 ; -6398*x^2 - 6722*y^2 + 13124*x*z - 6398*z^2
  (2227/2651 : -342/2651 : 1)  C1a (-688930/573053 : -150793/573053 : 1)
** u= -84/109 ; tau(u)= 302/193 ; -67442*x^2 + 16706*y^2 + 98260*x*z - 67442*z^2
  (18028/7763 : -27059/7763 : 1)  C2b (1557149/1140958 : 272491/1140958 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-32093/1579 : -67641/26843 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (23987/96718 : 29221/96718 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (131954/109841 : 28933/109841 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (1916186/671551 : -234433/671551 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (433/110 : 1577/1870 : 1)
** u= 91/149 ; tau(u)= 207/58 ; 1553*x^2 + 36121*y^2 + 51130*x*z + 1553*z^2
  (-659/3361 : 1622/3361 : 1)  C1b (-15331469/7405963 : 1981777/7405963 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (6493/3790 : -15051/64430 : 1)
** u= 93/113 ; tau(u)= 133/20 ; 7849*x^2 + 16889*y^2 + 26338*x*z + 7849*z^2
  (-11319/8263 : 7388/8263 : 1)  C1b (285809/181225 : -47149/181225 : 1)
** u= 93/173 ; tau(u)= 253/80 ; -4151*x^2 + 51209*y^2 + 72658*x*z - 4151*z^2
  (-105085/1584357 : -663776/1584357 : 1)  C1b (-51935/185438 : 23047/185438 : 1)
** u= -95/117 ; tau(u)= 329/212 ; -80863*x^2 + 18353*y^2 + 117266*x*z - 80863*z^2
  (10057/6943 : 14556/6943 : 1)  C2b (123250/149819 : 27611/149819 : 1)
** u= 97/32 ; tau(u)= 33/65 ; 959*x^2 - 7361*y^2 + 10498*x*z + 959*z^2
  (-19653/947555 : 42968/135365 : 1)  C1a (-4321390/647729 : 509727/647729 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-794990/304453 : 94497/304453 : 1)
** u= 101/52 ; tau(u)= -3/49 ; 5399*x^2 - 4793*y^2 + 10210*x*z + 5399*z^2
  (-13421/16431 : 6104/16431 : 1)  C1a (-65137/13865 : -1705/2773 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-82094/41599 : -10837/41599 : 1)
** u= -105/137 ; tau(u)= 379/242 ; -106103*x^2 + 26513*y^2 + 154666*x*z - 106103*z^2
  (15/7 : 22/7 : 1)  C2b (815966/294175 : -155539/294175 : 1)
** u= 110/61 ; tau(u)= -12/49 ; 7298*x^2 - 4658*y^2 + 12244*x*z + 7298*z^2
  (-15122/625 : -18277/625 : 1)  C1a (-28325/4771 : -70321/81107 : 1)
** u= 112/137 ; tau(u)= 162/25 ; 11294*x^2 + 24994*y^2 + 38788*x*z + 11294*z^2
  (-339/944 : -205/944 : 1)  C1b (-61680047/34952407 : -7574227/34952407 : 1)
** u= 115/74 ; tau(u)= -33/41 ; 9863*x^2 - 2273*y^2 + 14314*x*z + 9863*z^2
  (6039/90845 : -198554/90845 : 1)  C1a (-9775/109694 : -25643/109694 : 1)
** u= 118/53 ; tau(u)= 12/65 ; 5474*x^2 - 8306*y^2 + 14068*x*z + 5474*z^2
  (-12336/57065 : -32467/57065 : 1)  C1a (-1270474/334799 : 152207/334799 : 1)
** u= 125/64 ; tau(u)= -3/61 ; 8183*x^2 - 7433*y^2 + 15634*x*z + 8183*z^2
  (-253/227 : -80/227 : 1)  C1a (-136840739/98565571 : -17184763/98565571 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (-554/395 : -3083/1343 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (-4016450/164287 : 474661/164287 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (-44386/8855 : -10921/8855 : 1)
** u= -129/145 ; tau(u)= 419/274 ; -133511*x^2 + 25409*y^2 + 192202*x*z - 133511*z^2
  (-2329/3895 : -13298/3895 : 1)  C2b (383350/88331 : 89377/88331 : 1)
** u= -132/181 ; tau(u)= 494/313 ; -178514*x^2 + 48098*y^2 + 261460*x*z - 178514*z^2
  (-1261/12634 : -26171/12634 : 1)  C2b (2236970/247231 : -479265/247231 : 1)
** u= 133/20 ; tau(u)= 93/113 ; -7849*x^2 - 16889*y^2 + 26338*x*z - 7849*z^2
  (1943/5459 : 968/5459 : 1)  C1a (-69565/90509 : 16019/90509 : 1)
** u= 139/50 ; tau(u)= 39/89 ; 3479*x^2 - 14321*y^2 + 20842*x*z + 3479*z^2
  (-1268581/7616849 : -649970/7616849 : 1)  C1a (-54502/14963 : 6457/14963 : 1)
** u= 141/193 ; tau(u)= 245/52 ; 14473*x^2 + 54617*y^2 + 79906*x*z + 14473*z^2
  (-16169/44445 : -21416/44445 : 1)  C1b (19272773/13927717 : 3082979/13927717 : 1)
** u= -141/197 ; tau(u)= 535/338 ; -208607*x^2 + 57737*y^2 + 306106*x*z - 208607*z^2
  (89541/315253 : 488254/315253 : 1)  C2b (-3109634/299615 : -757157/299615 : 1)
** u= 148/197 ; tau(u)= 246/49 ; 17102*x^2 + 55714*y^2 + 82420*x*z + 17102*z^2
  (-8856/12041 : 9443/12041 : 1)  C1b (-688583/127951 : 81141/127951 : 1)
** u= 149/40 ; tau(u)= 69/109 ; -1561*x^2 - 19001*y^2 + 26962*x*z - 1561*z^2
  (1103/18579 : -788/18579 : 1)  C1a (53227/64477 : 157/1057 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (-759118/68093 : 661243/68093 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (32374/231023 : -131569/231023 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (1859/395 : 3737/6715 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (28535/2162 : -62229/36754 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-639427/1261730 : 32391/252346 : 1)
** u= 162/25 ; tau(u)= 112/137 ; -11294*x^2 - 24994*y^2 + 38788*x*z - 11294*z^2
  (61/133 : -54/133 : 1)  C1a (9190/4121 : 1099/4121 : 1)
** u= 162/109 ; tau(u)= -56/53 ; 20626*x^2 - 2482*y^2 + 29380*x*z + 20626*z^2
  (-2087/1171 : -4320/1171 : 1)  C1a (3806/1633 : 1733/1633 : 1)
** u= 162/113 ; tau(u)= -64/49 ; 21442*x^2 - 706*y^2 + 30340*x*z + 21442*z^2
  (667/1153 : -9324/1153 : 1)  C1a (-43678/59971 : -27553/59971 : 1)
** u= 163/82 ; tau(u)= -1/81 ; 13447*x^2 - 13121*y^2 + 26570*x*z + 13447*z^2
  (-6329/18821 : -12762/18821 : 1)  C1a (-2244911/1519063 : 278093/1519063 : 1)
** u= 168/193 ; tau(u)= 218/25 ; 26974*x^2 + 46274*y^2 + 75748*x*z + 26974*z^2
  (-64203/148033 : -19520/148033 : 1)  C1b (87398/79795 : 296639/1356515 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (-80446/41155 : 32857/139927 : 1)
** u= 172/185 ; tau(u)= 198/13 ; 29246*x^2 + 38866*y^2 + 68788*x*z + 29246*z^2
  (-1133/1808 : -447/1808 : 1)  C1b (-3221801/3351970 : -464467/3351970 : 1)
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b (-735950/229063 : 89305/229063 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (-176030/19601 : -145185/137207 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
  (21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1)  C2b (3329/4391 : -867/4391 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (-1039859/1556554 : -11857/91562 : 1)
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a (71747/98101 : -12311/98101 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-48490/74467 : -9971/74467 : 1)
** u= 196/197 ; tau(u)= 198 ; 38414*x^2 + 39202*y^2 + 77620*x*z + 38414*z^2
  (-349/344 : 49/344 : 1)  C1b (-537382/34055 : 246977/115787 : 1)
** u= 198 ; tau(u)= 196/197 ; -38414*x^2 - 39202*y^2 + 77620*x*z - 38414*z^2
  (9131/10434 : -511/10434 : 1)  C1a (2115449/14578 : 4993537/247826 : 1)
** u= 198/13 ; tau(u)= 172/185 ; -29246*x^2 - 38866*y^2 + 68788*x*z - 29246*z^2
  (900/521 : -127/521 : 1)  C1a (182710/158927 : 24271/158927 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (-86/77 : 227/539 : 1)
135
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[参考文献]

Last Update: 2025.11.30
H.Nakao

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