Integer Points on A^4+B^4+C^4=4418*D^4

[2025.10.21]A^4+B^4+C^4=4418*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

4418=2*47^2であるので、以下では、n=47とする。

■n=47のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=47;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように165個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(47,1,200);
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
  (347/237 : -32/237 : 1)  C1b (5006/739 : -667/739 : 1)
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (55467/24922 : -7049/24922 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-92162/1179 : -11479/1179 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (87/422 : 71/422 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (1021/114 : -137/114 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (-9894/148753 : 23063/148753 : 1)
** u= 4/101 ; tau(u)= 198/97 ; -18802*x^2 + 20386*y^2 + 39220*x*z - 18802*z^2
  (5558/11821 : 5565/11821 : 1)  C1b (-9771482/74615 : 280615/14923 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (202123/22911 : 24959/22911 : 1)
** u= 5/37 ; tau(u)= 69/32 ; -2023*x^2 + 2713*y^2 + 4786*x*z - 2023*z^2
  (4817/1271 : 2776/1271 : 1)  C1b (40614/5563 : -5287/5563 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (-9621/25903 : -8377/25903 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (606/127 : 1847/2159 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (-8879039/596877 : -1232843/596877 : 1)
** u= -7/45 ; tau(u)= 97/52 ; -5359*x^2 + 4001*y^2 + 9458*x*z - 5359*z^2
  (4051/74305 : -81888/74305 : 1)  C2b (69183/109987 : 14413/109987 : 1)
** u= 7/153 ; tau(u)= 299/146 ; -42583*x^2 + 46769*y^2 + 89450*x*z - 42583*z^2
  (-15341/404539 : 401358/404539 : 1)  C1b (-36951/406054 : 60607/406054 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (953/2758 : 5909/46886 : 1)
** u= -8/197 ; tau(u)= 402/205 ; -83986*x^2 + 77554*y^2 + 161668*x*z - 83986*z^2
  (327/784 : 71/112 : 1)  C2b (99221/148831 : -19217/148831 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
  (149/8615 : 34632/8615 : 1)  C2b (1094/39 : 41/3 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (179579/15943 : -23389/15943 : 1)
** u= 12/37 ; tau(u)= 62/25 ; -1106*x^2 + 2594*y^2 + 3988*x*z - 1106*z^2
  (-1355/21194 : -15377/21194 : 1)  C1b (-3611/818 : -501/818 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (36746/5113 : 4839/5113 : 1)
** u= 13/29 ; tau(u)= 45/16 ; -343*x^2 + 1513*y^2 + 2194*x*z - 343*z^2
  (47/297 : 16/297 : 1)  C1b (65551/567683 : -69701/567683 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (5450498/73193 : 711909/73193 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-50118/20183 : 6331/20183 : 1)
** u= -15/121 ; tau(u)= 257/136 ; -36767*x^2 + 29057*y^2 + 66274*x*z - 36767*z^2
  (245/223 : 836/1561 : 1)  C2b (1536946/66449 : 1636779/465143 : 1)
** u= 17/25 ; tau(u)= 33/8 ; 161*x^2 + 961*y^2 + 1378*x*z + 161*z^2
  (-3/7 : 20/31 : 1)  C1b (-818/43 : 3117/1333 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (-32028050/5305671 : -4292725/5305671 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
  (-18059/2029 : 24066/2029 : 1)  C2b (559079/355994 : -74369/355994 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
  (-929/1733 : 3156/1733 : 1)  C2b (-745762/254611 : -151717/254611 : 1)
** u= 19/149 ; tau(u)= 279/130 ; -33439*x^2 + 44041*y^2 + 78202*x*z - 33439*z^2
  (7299/4079 : 466/4079 : 1)  C1b (320234/664923 : 82759/664923 : 1)
** u= -19/181 ; tau(u)= 381/200 ; -79639*x^2 + 65161*y^2 + 145522*x*z - 79639*z^2
  (-129741/141361 : -293180/141361 : 1)  C2b (11073483/661694 : 1653221/661694 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
  (125/192 : 193/192 : 1)  C2b (-51154/105107 : -28323/105107 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (266/867 : -121/867 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (-12143/918 : -2209/918 : 1)
** u= 24/173 ; tau(u)= 322/149 ; -43826*x^2 + 59282*y^2 + 104260*x*z - 43826*z^2
  (-63/76 : 125/76 : 1)  C1b (-1332442/472093 : 217443/472093 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (-8058/613 : 1927/613 : 1)
** u= 25/173 ; tau(u)= 321/148 ; -43183*x^2 + 59233*y^2 + 103666*x*z - 43183*z^2
  (-98039/193251 : 259600/193251 : 1)  C1b (19491162/1247849 : 2593259/1247849 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (13193/779 : -1917/779 : 1)
** u= -28/37 ; tau(u)= 102/65 ; -7666*x^2 + 1954*y^2 + 11188*x*z - 7666*z^2
  (993/2230 : 3271/2230 : 1)  C2b (1867851/2120281 : 394667/2120281 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
  (-101/107 : -324/107 : 1)  C1a (-4391/2363 : -1597/2363 : 1)
** u= -29/53 ; tau(u)= 135/82 ; -12607*x^2 + 4777*y^2 + 19066*x*z - 12607*z^2
  (-3377/4051 : 11314/4051 : 1)  C2b (-3211/2073 : -997/2073 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (309278/598383 : -4487/35199 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (54611/11127 : 7121/11127 : 1)
** u= 32/45 ; tau(u)= 58/13 ; 686*x^2 + 3026*y^2 + 4388*x*z + 686*z^2
  (-167/1030 : -51/1030 : 1)  C1b (-2585982/270091 : -317677/270091 : 1)
** u= 32/85 ; tau(u)= 138/53 ; -4594*x^2 + 13426*y^2 + 20068*x*z - 4594*z^2
  (-165/4573 : -20158/32011 : 1)  C1b (1262/153 : 1091/1071 : 1)
** u= 33/8 ; tau(u)= 17/25 ; -161*x^2 - 961*y^2 + 1378*x*z - 161*z^2
  (9/61 : 380/1891 : 1)  C1a (-334/247 : 129/589 : 1)
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
  (87/47 : 128/47 : 1)  C1a (2465/2678 : -625/2678 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-379/367 : -63/367 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
  (99583/15937 : 128916/15937 : 1)  C2b (19246978/8119717 : 2905559/8119717 : 1)
** u= -37/109 ; tau(u)= 255/146 ; -41263*x^2 + 22393*y^2 + 66394*x*z - 41263*z^2
  (-129/1111 : 11566/7777 : 1)  C2b (-197201/83627 : -320303/585389 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (4421086/1226393 : 622773/1226393 : 1)
** u= -40/117 ; tau(u)= 274/157 ; -47698*x^2 + 25778*y^2 + 76676*x*z - 47698*z^2
  (27635/42419 : 35436/42419 : 1)  C2b (-1102042/592701 : 274339/592701 : 1)
** u= -43/85 ; tau(u)= 213/128 ; -30919*x^2 + 12601*y^2 + 47218*x*z - 30919*z^2
  (-5899/16283 : 33104/16283 : 1)  C2b (1684401/11074 : -334861/11074 : 1)
** u= 43/101 ; tau(u)= 159/58 ; -4879*x^2 + 18553*y^2 + 27130*x*z - 4879*z^2
  (76871/10871 : 2722/1553 : 1)  C1b (604774/458469 : -86071/458469 : 1)
** u= 44/49 ; tau(u)= 54/5 ; 1886*x^2 + 2866*y^2 + 4852*x*z + 1886*z^2
  (-1580/2879 : 777/2879 : 1)  C1b (-25798/25729 : 3823/25729 : 1)
** u= 44/181 ; tau(u)= 318/137 ; -35602*x^2 + 63586*y^2 + 103060*x*z - 35602*z^2
  (324/101 : -107/101 : 1)  C1b (-2553315/1137839 : -411515/1137839 : 1)
** u= 45/16 ; tau(u)= 13/29 ; 343*x^2 - 1513*y^2 + 2194*x*z + 343*z^2
  (-49/2279 : -1008/2279 : 1)  C1a (-2585982/270091 : -317677/270091 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (97757/20566 : 963/1582 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (1663174/425933 : 277887/425933 : 1)
** u= 48/157 ; tau(u)= 266/109 ; -21458*x^2 + 46994*y^2 + 73060*x*z - 21458*z^2
  (18158/63211 : 13805/63211 : 1)  C1b (2100938/1171267 : 267927/1171267 : 1)
** u= 51/125 ; tau(u)= 199/74 ; -8351*x^2 + 28649*y^2 + 42202*x*z - 8351*z^2
  (-107/1017 : -682/1017 : 1)  C1b (57041/54118 : -8817/54118 : 1)
** u= 52/81 ; tau(u)= 110/29 ; 1022*x^2 + 10418*y^2 + 14804*x*z + 1022*z^2
  (-281/1672 : -621/1672 : 1)  C1b (10063202/29801 : 1237543/29801 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (-42417/44573 : -9029/44573 : 1)
** u= -52/181 ; tau(u)= 414/233 ; -105874*x^2 + 62818*y^2 + 174100*x*z - 105874*z^2
  (-18007/9442 : 239229/66094 : 1)  C2b (-2488123/614442 : -3489361/4301094 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (686401/110853 : 273847/110853 : 1)
** u= 54/5 ; tau(u)= 44/49 ; -1886*x^2 - 2866*y^2 + 4852*x*z - 1886*z^2
  (1580/2879 : -777/2879 : 1)  C1a (-211657/23034 : -29743/23034 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
  (4/7 : -11/7 : 1)  C2b (723789/55703 : 188641/55703 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (-7401407214/532012267 : 972838601/532012267 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-1990/6769 : -885/6769 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (-3227246/5135651 : -1315251/5135651 : 1)
** u= 58/13 ; tau(u)= 32/45 ; -686*x^2 - 3026*y^2 + 4388*x*z - 686*z^2
  (13/53 : 18/53 : 1)  C1a (65551/567683 : -69701/567683 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-57523/4631 : 7503/4631 : 1)
** u= -59/101 ; tau(u)= 261/160 ; -47719*x^2 + 16921*y^2 + 71602*x*z - 47719*z^2
  (-11329/30921 : 67384/30921 : 1)  C2b (16587/15782 : -2809/15782 : 1)
** u= -59/185 ; tau(u)= 429/244 ; -115591*x^2 + 64969*y^2 + 187522*x*z - 115591*z^2
  (6609/16291 : 15464/16291 : 1)  C2b (-2520667/409257 : -489173/409257 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (-11878/234709 : 77541/234709 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b (10980423/107846 : -1348181/107846 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (-75929737/7179291 : 9515467/7179291 : 1)
** u= 62/25 ; tau(u)= 12/37 ; 1106*x^2 - 2594*y^2 + 3988*x*z + 1106*z^2
  (336/6541 : -4655/6541 : 1)  C1a (-2738/433 : 339/433 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (-2191067/269350 : -54331/53870 : 1)
** u= -64/121 ; tau(u)= 306/185 ; -64354*x^2 + 25186*y^2 + 97732*x*z - 64354*z^2
  (-2515/28307 : 338602/198149 : 1)  C2b (329759/44349 : 430091/310443 : 1)
** u= -64/181 ; tau(u)= 426/245 ; -115954*x^2 + 61426*y^2 + 185572*x*z - 115954*z^2
  (-55487/60261 : 150892/60261 : 1)  C2b (-157622/235383 : -63791/235383 : 1)
** u= -65/113 ; tau(u)= 291/178 ; -59143*x^2 + 21313*y^2 + 88906*x*z - 59143*z^2
  (337/2061 : -3034/2061 : 1)  C2b (-1167867/14537 : 248069/14537 : 1)
** u= -67/49 ; tau(u)= 165/116 ; -22423*x^2 + 313*y^2 + 31714*x*z - 22423*z^2
  (1315/5949 : 43204/5949 : 1)  C2b (267/1022 : -887/1022 : 1)
** u= 69/32 ; tau(u)= 5/37 ; 2023*x^2 - 2713*y^2 + 4786*x*z + 2023*z^2
  (-705/2023 : -8/17 : 1)  C1a (125726/58393 : -21843/58393 : 1)
** u= -69/109 ; tau(u)= 287/178 ; -58607*x^2 + 19001*y^2 + 87130*x*z - 58607*z^2
  (14889/16421 : 19858/16421 : 1)  C2b (-125839/66454 : -39201/66454 : 1)
** u= 69/185 ; tau(u)= 301/116 ; -22151*x^2 + 63689*y^2 + 95362*x*z - 22151*z^2
  (-13883/125951 : -90568/125951 : 1)  C1b (-2224298/1474979 : -371133/1474979 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (-221/6686 : -891/6686 : 1)
** u= -76/169 ; tau(u)= 414/245 ; -114274*x^2 + 51346*y^2 + 177172*x*z - 114274*z^2
  (7240/3743 : -7371/3743 : 1)  C2b (177787/87102 : 26561/87102 : 1)
** u= 77/81 ; tau(u)= 85/4 ; 5897*x^2 + 7193*y^2 + 13154*x*z + 5897*z^2
  (-2063/3319 : 36/3319 : 1)  C1b (28339566/11364203 : 4873871/11364203 : 1)
** u= 77/85 ; tau(u)= 93/8 ; 5801*x^2 + 8521*y^2 + 14578*x*z + 5801*z^2
  (-11/7 : -4/7 : 1)  C1b (8709522/1905821 : -1298899/1905821 : 1)
** u= -77/101 ; tau(u)= 279/178 ; -57439*x^2 + 14473*y^2 + 83770*x*z - 57439*z^2
  (-73329/562759 : 1231694/562759 : 1)  C2b (981586/252671 : -205709/252671 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (-98114/144183 : -66583/144183 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (-2191067/269350 : -54331/53870 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
  (-1068/5543 : -1529/5543 : 1)  C1b (364906/79001 : 47493/79001 : 1)
** u= 85/4 ; tau(u)= 77/81 ; -5897*x^2 - 7193*y^2 + 13154*x*z - 5897*z^2
  (4403/3067 : -1044/3067 : 1)  C1a (-397562/216221 : 74053/216221 : 1)
** u= -85/157 ; tau(u)= 399/242 ; -109903*x^2 + 42073*y^2 + 166426*x*z - 109903*z^2
  (132361/79785 : -143594/79785 : 1)  C2b (-8289078/233239 : -1732369/233239 : 1)
** u= -91/109 ; tau(u)= 309/200 ; -71719*x^2 + 15481*y^2 + 103762*x*z - 71719*z^2
  (13/7 : 20/7 : 1)  C2b (5938/2133 : -1261/2133 : 1)
** u= 92/109 ; tau(u)= 126/17 ; 7886*x^2 + 15298*y^2 + 24340*x*z + 7886*z^2
  (-16064/6749 : 3999/6749 : 1)  C1b (-4246130/1224659 : 522995/1224659 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (75639/113062 : 16687/113062 : 1)
** u= 93/8 ; tau(u)= 77/85 ; -5801*x^2 - 8521*y^2 + 14578*x*z - 5801*z^2
  (44093/83833 : -14692/83833 : 1)  C1a (-41647/25398 : 7657/25398 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (41374/6813 : 5797/6813 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (9625278/5658049 : -1310653/5658049 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (-5359301/193058 : -691293/193058 : 1)
** u= -96/145 ; tau(u)= 386/241 ; -106946*x^2 + 32834*y^2 + 158212*x*z - 106946*z^2
  (-3763/33211 : 65122/33211 : 1)  C2b (629533/491006 : 106077/491006 : 1)
** u= 97/52 ; tau(u)= -7/45 ; 5359*x^2 - 4001*y^2 + 9458*x*z + 5359*z^2
  (-107/173 : -108/173 : 1)  C1a (91762/6267 : -15137/6267 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (-32028050/5305671 : -4292725/5305671 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (-266354/57799 : -34173/57799 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (-14176538/14011 : -2088233/14011 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (100238/118519 : -24167/118519 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (-422943/102338 : -52529/102338 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (8826474/599503 : 2319097/599503 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (304405/17777 : -44025/17777 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
  (-1024/471 : -1123/471 : 1)  C1a (-119341/12154 : 22023/12154 : 1)
** u= 102/65 ; tau(u)= -28/37 ; 7666*x^2 - 1954*y^2 + 11188*x*z + 7666*z^2
  (-1466/4283 : 6667/4283 : 1)  C1a (-25398/24623 : 4901/24623 : 1)
** u= 110/29 ; tau(u)= 52/81 ; -1022*x^2 - 10418*y^2 + 14804*x*z - 1022*z^2
  (587/5398 : -1269/5398 : 1)  C1a (483162/18199 : 59293/18199 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (939019/58078 : 129523/58078 : 1)
** u= 112/149 ; tau(u)= 186/37 ; 9806*x^2 + 31858*y^2 + 47140*x*z + 9806*z^2
  (-5417/15609 : -6410/15609 : 1)  C1b (32590/52413 : -8435/52413 : 1)
** u= -112/153 ; tau(u)= 418/265 ; -127906*x^2 + 34274*y^2 + 187268*x*z - 127906*z^2
  (356269/160168855 : 308911362/160168855 : 1)  C2b (-254717/200218 : -100751/200218 : 1)
** u= 112/173 ; tau(u)= 234/61 ; 5102*x^2 + 47314*y^2 + 67300*x*z + 5102*z^2
  (-1161/14573 : 1010/14573 : 1)  C1b (-7116854/913491 : 874153/913491 : 1)
** u= -113/185 ; tau(u)= 483/298 ; -164839*x^2 + 55681*y^2 + 246058*x*z - 164839*z^2
  (5117/8441 : 9878/8441 : 1)  C2b (22848077/7109041 : -4084909/7109041 : 1)
** u= 115/149 ; tau(u)= 183/34 ; 10913*x^2 + 31177*y^2 + 46714*x*z + 10913*z^2
  (-2051/4821 : -2282/4821 : 1)  C1b (16278/2329 : -2143/2329 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (70309/208231 : -38493/208231 : 1)
** u= -119/173 ; tau(u)= 465/292 ; -156367*x^2 + 45697*y^2 + 230386*x*z - 156367*z^2
  (209905/806419 : 1233944/806419 : 1)  C2b (55289/98362 : -16939/98362 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (-60857/47163 : 9277/47163 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (3448219/79538 : -436647/79538 : 1)
** u= 120/181 ; tau(u)= 242/61 ; 6958*x^2 + 51122*y^2 + 72964*x*z + 6958*z^2
  (-5563/34878 : 10351/34878 : 1)  C1b (-3039821/1589666 : 405807/1589666 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (28779446/5353639 : 42745131/37475473 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (5586/10603 : 1327/10603 : 1)
** u= 126/17 ; tau(u)= 92/109 ; -7886*x^2 - 15298*y^2 + 24340*x*z - 7886*z^2
  (511/194 : -61/194 : 1)  C1a (383522034/76503659 : -47612077/76503659 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (3064194/795731 : -23791/27439 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (-596182/147677 : 86097/147677 : 1)
** u= -131/197 ; tau(u)= 525/328 ; -198007*x^2 + 60457*y^2 + 292786*x*z - 198007*z^2
  (-639053/2860753 : 6082340/2860753 : 1)  C2b (535658/400953 : 89993/400953 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (175589/15870 : 4565/3174 : 1)
** u= 135/82 ; tau(u)= -29/53 ; 12607*x^2 - 4777*y^2 + 19066*x*z + 12607*z^2
  (3059/2201 : -8022/2201 : 1)  C1a (3721254/162191 : 789289/162191 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (-4158434/988987 : 517161/988987 : 1)
** u= 138/53 ; tau(u)= 32/85 ; 4594*x^2 - 13426*y^2 + 20068*x*z + 4594*z^2
  (-76/583 : 1597/4081 : 1)  C1a (-85382/12229 : 73649/85603 : 1)
** u= 140/169 ; tau(u)= 198/29 ; 17918*x^2 + 37522*y^2 + 58804*x*z + 17918*z^2
  (-4093/6606 : -3679/6606 : 1)  C1b (-11614/1233 : 1459/1233 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-1334/1733 : -551/1733 : 1)
** u= -148/109 ; tau(u)= 366/257 ; -110194*x^2 + 1858*y^2 + 155860*x*z - 110194*z^2
  (-5784/2489 : -59659/2489 : 1)  C2b (26203/56710 : 8019/11342 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (-41614/1649 : 5301/1649 : 1)
** u= -157/117 ; tau(u)= 391/274 ; -125503*x^2 + 2729*y^2 + 177530*x*z - 125503*z^2
  (35143/986239 : 6521790/986239 : 1)  C2b (-33006/389995 : 68879/77999 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
  (2757/18968 : -1991/18968 : 1)  C1a (-67189/39191 : -10179/39191 : 1)
** u= 159/58 ; tau(u)= 43/101 ; 4879*x^2 - 18553*y^2 + 27130*x*z + 4879*z^2
  (-183/1111 : 190/1111 : 1)  C1a (-661905/428293 : -89905/428293 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-512282/92173 : 63189/92173 : 1)
** u= -161/137 ; tau(u)= 435/298 ; -151687*x^2 + 11617*y^2 + 215146*x*z - 151687*z^2
  (126043/70479 : -328298/70479 : 1)  C2b (-16241/55882 : -30321/55882 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a (-659342/659891 : 111423/659891 : 1)
** u= 165/116 ; tau(u)= -67/49 ; 22423*x^2 - 313*y^2 + 31714*x*z + 22423*z^2
  (-579/6025 : -47656/6025 : 1)  C1a (-468706/67637 : -439783/67637 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (-511894/221527 : -65617/221527 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (28553/148349 : -103689/148349 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
  (-1042/895 : 551/895 : 1)  C1b (-2112218/495581 : -265749/495581 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (-15918194/8429 : 4420119/8429 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (23646/16369 : 3097/16369 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
  (-4189/3469 : 2646/3469 : 1)  C1a (-204902/520145 : -14189/104029 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-2141678/216367 : 636609/216367 : 1)
** u= 183/34 ; tau(u)= 115/149 ; -10913*x^2 - 31177*y^2 + 46714*x*z - 10913*z^2
  (255/721 : -38/103 : 1)  C1a (633907/37137 : 79069/37137 : 1)
** u= 186/37 ; tau(u)= 112/149 ; -9806*x^2 - 31858*y^2 + 47140*x*z - 9806*z^2
  (353/1617 : 38/1617 : 1)  C1a (318015/184027 : -41735/184027 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
  (-26113/330661 : -692824/330661 : 1)  C1a (-388506/41707 : -99179/41707 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-629579/39327 : -77327/39327 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
  (-865/707 : -564/707 : 1)  C1a (1614653/106671 : -277259/106671 : 1)
** u= -192/173 ; tau(u)= 538/365 ; -229586*x^2 + 22994*y^2 + 326308*x*z - 229586*z^2
  (893/811 : -2062/811 : 1)  C2b (-263993/350354 : 220683/350354 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (13513/75661 : 9297/75661 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
  (83809/260225 : 484524/260225 : 1)  C1a (-11775009/5433077 : -1755359/5433077 : 1)
** u= 198/29 ; tau(u)= 140/169 ; -17918*x^2 - 37522*y^2 + 58804*x*z - 17918*z^2
  (86162/186149 : -71019/186149 : 1)  C1a (157109/59438 : 19379/59438 : 1)
** u= 198/97 ; tau(u)= 4/101 ; 18802*x^2 - 20386*y^2 + 39220*x*z + 18802*z^2
  (659/768 : -1385/768 : 1)  C1a (-257999/182389 : -33463/182389 : 1)
** u= 199/74 ; tau(u)= 51/125 ; 8351*x^2 - 28649*y^2 + 42202*x*z + 8351*z^2
  (107/1017 : 682/1017 : 1)  C1a (-45839/64363 : -8919/64363 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (-55078674/9721751 : -2763163/747827 : 1)
165
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-56/65のとき

839990066^4+10754417721^4+25232397949^4=4418*3120163151^4
139725878854678372058371^4+665867942359528116571674^4+1271597488901889913049231^4=4418*158828760986524532820581^4
152225944905867415902156376625783^4+270819182019128571674398824263238^4+876128187714445505030017880090917^4=4418*107732306964835629315765660587467^4
27976976606216771059969867199249783114828840295678863020736113224455472178^4+66935168501509522550508168943393326707191758808523265480393414548117535867^4+112243133090369611154103870833729902480342772885524997500179682338364779503^4=4418*14195620786961928858799910212095048686523439299180433325439012228248461297^4
9451233251494891395594729120327332438777390080635592116901480829211499184868111795647690643^4+16256316640632516748539518110555177665986374835874970545218326698723516928876809336940343918^4+53204232132725472171175713731932661107108471546847593400545707395100057547319048301800992247^4=4418*6541676750724214902274348291755731900597459532178521212691899738140121428088891896741144753^4
776019275660415541191213622196314923881791185250630001686856910678889682735563065746618543469^4+1304045309205365113303726093967897855993625472304502975328055200197103930219487629177759650046^4+2035810629765041003543068517591616184827158990338819685690794081255401893717496286707431218279^4=4418*260776786109832932788100033329158371735960138482633117436944867823352432532375901877520780121^4
73678013962724340432547882983199783507679375420868167086651116328655067957613753394147436635308278^4+97604987092157004955891843293017578929964049191442590664810070032983998579118511762481495393956437^4+150068683215397799144325552296176676528554674145267329854596527072842505964713652494620197023537943^4=4418*19412456385566804432752631850823398927422281514728920110535222932413000772523791643475701602118493^4
12273430234441703982889876537344587024856079814808941125027586699845124806942393354289804627208987441678176611212543941773194^4+28999561235173034447743939942729602109038050775769089646545410621327532497295702208402069168061643157807303776949009612968631^4+48494361296080007255269298782396362682170968820635097859783711042777215825588041796710207982007560681813701814666220005177749^4=4418*6135426193923451469639402526301199698031897365794101431489913855131310262120154218264228103092187416205971764233099269892499^4
11193933050821716097694485118337773098433821828631416190800042682152556794339716884897831010105535258793002361182072798858583489715395103327^4+12173022170379561475114950056766234945345023983512955255417709528716846674680580783953684579552813788686855060867093357724761351733669624258^4+19444040369487715882340790937399224063372860387637956764401138973379194427671732236552127970381529130626577720919360310670050695257717655237^4=4418*2528546718762943844660223797806624751798234579080902510765035947724061060850578037899431654704005735245641552798389781327484058503575165063^4
...

u=-32/85のとき

9051^4+142546^4+264089^4=4418*33059^4
24000781^4+25966847^4+116783982^4=4418*14339531^4
33272354409^4+58269337042^4+66621823003^4=4418*9257840411^4
43103330871658442^4+57227097369762201^4+73778630076639421^4=4418*9978790896262367^4
2863644978578959^4+70427731847023901^4+290668002211852398^4=4418*35683246575072683^4
248041367259095991^4+403625188294084558^4+1383244226619101077^4=4418*170015342827525709^4
34382145308152216827^4+58853622177277602031^4+67928342504169980474^4=4418*9413114274806487023^4
520250449616169361593^4+2004269918338039317982^4+2435881926928224453301^4=4418*328450750319584146581^4
7732822990865154381087^4+32871445785888220274198^4+41276705315453785107707^4=4418*5510580601179596151833^4
1261103413416092726720317^4+6400198942855136759600938^4+13966487049130423660785303^4=4418*1731701565584458239798377^4
12597507716405684594171993^4+13138660555601851813927126^4+60724343101352169090403251^4=4418*7455805283772757033068983^4
198632831301686965851467261^4+1071059971050808431657222569^4+2305041372814233889461128454^4=4418*285972925426052161313752151^4
629377758753444959412792213872121^4+2761441144909596890780661762902149^4+3501746510291958431544824290283426^4=4418*466184341405041558946269620264579^4
196958404933444664948613601985237889^4+780472931788317419196156248196513731^4+957789235458796859968898981409872738^4=4418*128753048673995723524485851389702163^4
348275004712791127431486357734530797327^4+4748079887535792039387151556667918569597^4+8905815012747098477884640630288753130418^4=4418*1113789645567902795848256432069010976763^4
48733062375480609272907775113327559390458^4+82147921038716647373617397243169292282289^4+275782042462422407293742824228198960866571^4=4418*33901269507160994597536216614064530551207^4
3721930427727747618538029064946699102578539659^4+5049058713904100301525162167703839208051873567^4+6446084355959569740263819956206246901883004422^4=4418*873187646789167205739127167547227793897591889^4
296571315437192092180130110600638466051277027342^4+870463499645220890846114817983065811550068105567^4+947873853790441054788228180170732845162973880819^4=4418*133160838753188954168459160014982810146530981061^4
213643748293551175735694307104711310705029566699^4+1521117556605284326381396486158624419500402848794^4+2166655216606884707023811949015831745957353572319^4=4418*280610442748608568372861395710916481233382661249^4
132711884324080214067711092938844624670797970162^4+2468660966831446310361769990346277416624893247447^4+4517984219710536204290896413890188073877041319803^4=4418*566120872265967792047996961548735855904248614763^4
1195089997375080664986028435723439808303813933512842^4+3765076563809326874629211067417257807514416727149107^4+4231823581212459947275074399714437677627680659886537^4=4418*586765449192653566146544766818215406440498130004447^4
18892041949800382352479627382184043332228922540960999^4+113430315771055100232382093767610464279455261008615654^4+156089347121762149599253382306657406745117104669562083^4=4418*20360706183825656980926522247498288692312496993177967^4
68462442000599203636272118603268031735641689102467861^4+705458687053330741867991745995569876901442214527938186^4+1362843201617098343409736542821764578723013178951996623^4=4418*170085849944378660691823832290039861563250846126620887^4
204011926150118133323351609690174233172009513739921638^4+3141715916613851620898638905156402338828238910494290317^4+12972484206339081959110544943744046341667383207626813271^4=4418*1592537237095690399283975550057798061127174013218528561^4
...

u=-77/101のとき

102300437430854778742034199160949^4+1121555880372128695035018116259759^4+2387007549683564413844112467948854^4=4418*296288281017186677704135044633257^4
159997717031109118888115266793646757753191406734197664160718032926204116194535606467595139941135734703298774428125984151960272389414469639332578029684855143367043672203784016036911527023150793588111554340251082860418439220163389818414288557160677382699630810336645868499975765861059736128572268237295219^4+277324490028255617977708804444418149502576228180308807481713855365563475040956786254878518821015782914612082038135251580243229474655879797177405262353710758781823192119020800661915271981694909018018092119937801390216182040629943279941353680583782529251926822151708757050912386523094978545158072283988751^4+387301243715557271972088128365962002372326977229619228738738031097236225267411187633224078682093130789276240626349058593911285953695100647040756375760588159795949954605899329704482851862595986696432856930804717785830335747106328120026313357239026340633688268074458132956025428290715366056694067635438866^4=4418*50647552732098885142364171045119818201409087470818400358372076244057998109732787555110215183815078994144934368872114412547512344150214497726707530454556623558683478813580839148600771807392605219924134876426484882235485189289947523050358391232241332876315637330530941106552778646713429380322352806664403^4
2313604436789194401796552814141334078369544120729641850418252340124621460632132931899292129290522058714201305903668497890030155878698938682706590677817216325537274028901495847700326721705502525871993939520473812391008599956917023519686523013584584134390471093428269488119991835441267130575574263871638481084439226279044798405226504100909185425327594571369102100730644409291054693603716479861518587215458367769240459255339238439430664968711259929664901761185259192978153753761287920109065241056861120198691529595191204310004059419515977205636352941734157635801682053301831449417970540834215950578536632758830816369542968813821095824311931605239526215886998788719220179511194575656266419584361101123991057904680353669142495111513056491054977063901189066567808815339394896870575716095293948203320729118185358718995032896632133528434699028270727^4+2487822340482325216817379167499594706044994322102928616317425745293872956131972719401116962579746929300671535473227301881817077560927771690211994649715280860305305933067436525136640424559449260018690555127902095886579809271699278312191036085744707439486024767655288117606651357877627533937784017737638818258978881516437717516322840234655000839801475684907811925746020785643299080551023077124938988937538032939258275508656102445981561668082807277062824494196093445998733410109137468465625962102876014496314826843569645849247258590874344529436215640815804158731143099267085706282103134043636138564716343070213203982504874959466003886570588979488766079221352889360902499832606198145160666069473008862708943648280604779743324137854240060649103005166600875221301793514507767832392289333792294464227888000761654722697326703371425951066179020611923^4+3534394894522304215018382192879221132825849152082923639981931002781830324931224764581121277074911660791508303919189587146754049121612875866723362937516100108586948884878617632335446984078376720123708774513753632625137785615474022476303853182917715859461782951872777776500204630743361913583681361449331643307281894304569921849451965305056565726499259259581951729975352483920632031729648781269000588806935013545324864251312945483330218390292980514736856424239756647498896908266038883870022961972713599863745926029350188338431371827297901601697306496472218933278889224072896059440436470935138717885657211999936914900723791140614362942893907839121731618129579219538002893340801902846736286218047277356074413015340365346547300362199349371122042813221884772293688681110050838285472877809152582611401018626272733252037137147506882260444204878524502^4=4418*473994800636395253125304922350413464511327357468333769846582184305597892707794111487229929329475725016758191684571701855373530871926545293814493946947578927948398617955690444134822653704013546658258357730590628307703676628493305831792064794719586767634032202296249290046013025721438625979372956398401892382169082691875573950666967302213361358762500017164620973433763968089230869776133369883281810866664293541047981018320472526059833415069907085180790395971264721515779699611242488205700036230429375953404178115150840336028245769620268391063043084547922288375138100725844041410968621778263398744102178159979530654597735024748274159981668227667938735794797540044475878268772653300708369821062879992829754130152024848461637833010943708745744951592889691208313980322744403638561268846925939564009534243996919346809349161556890674738663850170441^4
...

u=-116/173のとき

2320229827735239^4+5387196649410614^4+7263410412294109^4=4418*953679704196799^4
1211221052237154301310035358890094636715447599896801186191832535165007511969494346943588189352046902130206861849047223720328798285091152110422569283^4+3272469300708372236123521334601108745681462835131078794632679439541832339896773632771072817642192194567351128226282761428994928579896394440200335158^4+4573816569291802623428730789480651312571522751657474330259281069850599538403153418748744533922269978769135173348652862492731253112387178187945406327^4=4418*595201315308552009176732427378165387763282720074551370392840543834647624513697574919003706553689937834016624966443867798811663483023715260315891897^4
221445782323685579615016633725220848678405599744136852120042975279116342791452680892725291112028972470135250104232960417865861213208768145491885190367723670659072389504098464552492787256933621886251591173488551452361385336745523677151873308960086007407585754165770314227975216430830979590255087348191756017978053149216461038630283148174690309433816117459040986054010032850616483936309355053189952899975295109849^4+453872540948623959918174143385723001929147797782660836257629908663327396846625095739357461751028601977705647887976413493142585341597816321245191635377433047211607383792610694264461165433566376561406907208917956376259994724099009201137961155650535579525102955504787574865098292817919591709329992022609325196306142789213513373872155634764704057529722892860211802340816085174869188444366021425240512202412735655474^4+593868435986531763230825810134173783948378936620486837516137881986298760292890209738238470252287883870789878315985776520161020556508758156703576451491934137414300527155318293564113403740287048966555224796433309444932534595994037640446969175203867464531513417204065154385311701473157818784588072075828016810663803667290377006243000996034592946795186605586055427007165487813156223168645595182125576682487479362981^4=4418*78669966405701884800573652770689608786838430430020949468760159172366354897698830216563285517596860278394589819848760242102691786845081731646931427173675561696806267099239100571802314135595172255225729244706987443970111818542639320345156179767528158827351388816825354211710859481596227985081622167648485074015093199870031587844855878047646033696711353870005804718119608926026622623134466898145717669980873234691^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+v+v!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2025.11.04

H.Nakao