Integer Points on A^4+B^4+C^4=371522*D^4

[2026.02.24]A^4+B^4+C^4=371522*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

371522=2*431^2であるので、以下では、n=431とする。

■n=431のとき、２次曲線(**)は、有理点(19/3, 1/3)を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=431;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが400以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように158個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(431,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (46/65 : -1/13 : 1)
** u= -1/25 ; tau(u)= 51/26 ; -1351*x^2 + 1249*y^2 + 2602*x*z - 1351*z^2
  (151/171 : -50/171 : 1)  C2b (409142/20517 : 19609/20517 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (109/82 : 19/82 : 1)
** u= 4/17 ; tau(u)= 30/13 ; -322*x^2 + 562*y^2 + 916*x*z - 322*z^2
  (9/22 : -1/22 : 1)  C1b (-165758/14293 : 7449/14293 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (119401/1155 : -5993/1155 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (442302/99839 : 18871/99839 : 1)
** u= -4/117 ; tau(u)= 238/121 ; -29266*x^2 + 27362*y^2 + 56660*x*z - 29266*z^2
  (17717/15866 : 4785/15866 : 1)  C2b (938954/468345 : 7883/93669 : 1)
** u= 4/185 ; tau(u)= 366/181 ; -65506*x^2 + 68434*y^2 + 133972*x*z - 65506*z^2
  (6098/4515 : 157/645 : 1)  C1b (-41354/602435 : 29723/602435 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (10482/1753 : -779/1753 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (2814/1135 : 151/1135 : 1)
** u= 7/137 ; tau(u)= 267/130 ; -33751*x^2 + 37489*y^2 + 71338*x*z - 33751*z^2
  (-11937/31495 : 41674/31495 : 1)  C1b (14712642/2266003 : -647723/2266003 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-188946/27403 : -10081/27403 : 1)
** u= 8/81 ; tau(u)= 154/73 ; -10594*x^2 + 13058*y^2 + 23780*x*z - 10594*z^2
  (1973/7193 : -4392/7193 : 1)  C1b (-170570/43593 : 8915/43593 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-9722/3539 : 399/3539 : 1)
** u= 12/181 ; tau(u)= 350/169 ; -56978*x^2 + 65378*y^2 + 122644*x*z - 56978*z^2
  (2050/4697 : 2197/4697 : 1)  C1b (-11748550/1377169 : 580713/1377169 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (-247375/221198 : -23861/221198 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (-9106/4577 : -531/4577 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (173186/70375 : -8683/70375 : 1)
** u= 16/89 ; tau(u)= 162/73 ; -10402*x^2 + 15586*y^2 + 26500*x*z - 10402*z^2
  (-491/2763 : -2750/2763 : 1)  C1b (-412001/190578 : -22979/190578 : 1)
** u= -16/97 ; tau(u)= 210/113 ; -25282*x^2 + 18562*y^2 + 44356*x*z - 25282*z^2
  (-1115/271 : -1586/271 : 1)  C2b (4654495/7867053 : 340459/7867053 : 1)
** u= -17/65 ; tau(u)= 147/82 ; -13159*x^2 + 8161*y^2 + 21898*x*z - 13159*z^2
  (-103/1389 : 1874/1389 : 1)  C2b (34358/89793 : 4151/89793 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
  (-46883/215739 : -338432/215739 : 1)  C2b (-9600554/64779 : -555169/64779 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
  (-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1)  C1b (2044163/1231055 : -85541/1231055 : 1)
** u= 19/149 ; tau(u)= 279/130 ; -33439*x^2 + 44041*y^2 + 78202*x*z - 33439*z^2
  (7299/4079 : 466/4079 : 1)  C1b (-43715806/1384995 : 2011789/1384995 : 1)
** u= -20/53 ; tau(u)= 126/73 ; -10258*x^2 + 5218*y^2 + 16276*x*z - 10258*z^2
  (878/3607 : -4149/3607 : 1)  C2b (2557/2330 : -127/2330 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (-245873222/5257829 : 11279781/5257829 : 1)
** u= -24/61 ; tau(u)= 146/85 ; -13874*x^2 + 6866*y^2 + 21892*x*z - 13874*z^2
  (-17/59 : -104/59 : 1)  C2b (-1542826/1972201 : 193539/1972201 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (8880419/273601 : -377901/273601 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (13465/17726 : 2387/17726 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
  (-29/3351 : -27170/23457 : 1)  C2b (67049/50350 : -391/6650 : 1)
** u= -28/73 ; tau(u)= 174/101 ; -19618*x^2 + 9874*y^2 + 31060*x*z - 19618*z^2
  (548/2247 : 2599/2247 : 1)  C2b (-58455/55442 : 6215/55442 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (176270/153191 : -8495/153191 : 1)
** u= 29/97 ; tau(u)= 165/68 ; -8407*x^2 + 17977*y^2 + 28066*x*z - 8407*z^2
  (11/393 : 256/393 : 1)  C1b (29983973/9225 : 1275931/9225 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (-1374107254/3717145 : 59163071/3717145 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (12858470/3507757 : 586895/3507757 : 1)
** u= 30/13 ; tau(u)= 4/17 ; 322*x^2 - 562*y^2 + 916*x*z + 322*z^2
  (-324/107 : 101/107 : 1)  C1a (-162770/27493 : -6751/27493 : 1)
** u= 32/49 ; tau(u)= 66/17 ; 446*x^2 + 3778*y^2 + 5380*x*z + 446*z^2
  (-178/291 : -245/291 : 1)  C1b (-350906/310613 : -18247/310613 : 1)
** u= -32/117 ; tau(u)= 266/149 ; -43378*x^2 + 26354*y^2 + 71780*x*z - 43378*z^2
  (4453/4972 : 3609/4972 : 1)  C2b (-13189646/5940867 : 980027/5940867 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1b (-106222082/9717373 : -4814109/9717373 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (379/105 : -523/1785 : 1)
** u= 35/37 ; tau(u)= 39/2 ; 1217*x^2 + 1513*y^2 + 2746*x*z + 1217*z^2
  (-5/7 : -2/7 : 1)  C1b (11675/42039 : -2219/42039 : 1)
** u= 35/181 ; tau(u)= 327/146 ; -41407*x^2 + 64297*y^2 + 108154*x*z - 41407*z^2
  (-49501/393027 : -365762/393027 : 1)  C1b (148083138/21186883 : -6243347/21186883 : 1)
** u= 39/2 ; tau(u)= 35/37 ; -1217*x^2 - 1513*y^2 + 2746*x*z - 1217*z^2
  (7/5 : -2/5 : 1)  C1a (22234/565 : 1009/565 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (1193342/127945 : -51867/127945 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-2597494/30375 : 121571/30375 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (28185/13886 : 9857/97202 : 1)
** u= -41/153 ; tau(u)= 347/194 ; -73591*x^2 + 45137*y^2 + 122090*x*z - 73591*z^2
  (1321/230401 : 292794/230401 : 1)  C2b (723322/572071 : 33217/572071 : 1)
** u= 41/169 ; tau(u)= 297/128 ; -31087*x^2 + 55441*y^2 + 89890*x*z - 31087*z^2
  (8479/49169 : 26832/49169 : 1)  C1b (7473961/574557 : -316391/574557 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (-32720890/3546659 : 1625851/3546659 : 1)
** u= 43/53 ; tau(u)= 63/10 ; 1649*x^2 + 3769*y^2 + 5818*x*z + 1649*z^2
  (-791/809 : 654/809 : 1)  C1b (4050/4811 : 301/4811 : 1)
** u= -43/85 ; tau(u)= 213/128 ; -30919*x^2 + 12601*y^2 + 47218*x*z - 30919*z^2
  (-5899/16283 : 33104/16283 : 1)  C2b (-19084763/4371730 : 1463349/4371730 : 1)
** u= -47/117 ; tau(u)= 281/164 ; -51583*x^2 + 25169*y^2 + 81170*x*z - 51583*z^2
  (6347/32969 : 40440/32969 : 1)  C2b (4322603/1191431 : -225227/1191431 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (1808251/176474 : 74511/176474 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (1002568805/9984626 : -40629459/9984626 : 1)
** u= 51/26 ; tau(u)= -1/25 ; 1351*x^2 - 1249*y^2 + 2602*x*z + 1351*z^2
  (-959/1139 : -350/1139 : 1)  C1a (-32930/70763 : 2979/70763 : 1)
** u= -51/97 ; tau(u)= 245/148 ; -41207*x^2 + 16217*y^2 + 62626*x*z - 41207*z^2
  (3641/23323 : -32984/23323 : 1)  C2b (202673/96490 : -10509/96490 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (487966/622859 : 203499/4360013 : 1)
** u= -52/49 ; tau(u)= 150/101 ; -17698*x^2 + 2098*y^2 + 25204*x*z - 17698*z^2
  (-3377/124912 : 369845/124912 : 1)  C2b (31214/45635 : -3837/45635 : 1)
** u= -52/73 ; tau(u)= 198/125 ; -28546*x^2 + 7954*y^2 + 41908*x*z - 28546*z^2
  (602/843 : -1085/843 : 1)  C2b (-17341790/25339893 : 3069547/25339893 : 1)
** u= -52/121 ; tau(u)= 294/173 ; -57154*x^2 + 26578*y^2 + 89140*x*z - 57154*z^2
  (1642/157 : -2233/157 : 1)  C2b (-310290/205487 : -29275/205487 : 1)
** u= 52/137 ; tau(u)= 222/85 ; -11746*x^2 + 34834*y^2 + 51988*x*z - 11746*z^2
  (391/4038 : -1787/4038 : 1)  C1b (-53626/122775 : 6019/122775 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (-682610/290731 : -33855/290731 : 1)
** u= -52/193 ; tau(u)= 438/245 ; -117346*x^2 + 71794*y^2 + 194548*x*z - 117346*z^2
  (3519/5042 : -3703/5042 : 1)  C2b (338430/158767 : -15347/158767 : 1)
** u= 53/61 ; tau(u)= 69/8 ; 2681*x^2 + 4633*y^2 + 7570*x*z + 2681*z^2
  (-7179/16087 : 3020/16087 : 1)  C1b (-1214/2453 : 101/2453 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
  (-91167/3659 : -147064/3659 : 1)  C2b (298190/696303 : -2129/40959 : 1)
** u= -56/53 ; tau(u)= 162/109 ; -20626*x^2 + 2482*y^2 + 29380*x*z - 20626*z^2
  (79/14 : -201/14 : 1)  C2b (-10541890/62492449 : 8237545/62492449 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (54445/7186 : 2229/7186 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (-102677/86945 : 18417/86945 : 1)
** u= -61/117 ; tau(u)= 295/178 ; -59647*x^2 + 23657*y^2 + 90746*x*z - 59647*z^2
  (163435/1673839 : -2466186/1673839 : 1)  C2b (15112642/2610795 : -903251/2610795 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (1734711/119510 : 1901/3230 : 1)
** u= 63/10 ; tau(u)= 43/53 ; -1649*x^2 - 3769*y^2 + 5818*x*z - 1649*z^2
  (293/771 : 226/771 : 1)  C1a (4812753/943058 : 196123/943058 : 1)
** u= -64/49 ; tau(u)= 162/113 ; -21442*x^2 + 706*y^2 + 30340*x*z - 21442*z^2
  (-19/86 : 553/86 : 1)  C2b (-1907235/557119 : -521245/557119 : 1)
** u= -64/109 ; tau(u)= 282/173 ; -55762*x^2 + 19666*y^2 + 83620*x*z - 55762*z^2
  (13451/76439 : 112732/76439 : 1)  C2b (193245/151214 : 10235/151214 : 1)
** u= -64/169 ; tau(u)= 402/233 ; -104482*x^2 + 53026*y^2 + 165700*x*z - 104482*z^2
  (81143/30651 : -4940/1803 : 1)  C2b (2036847074/204326387 : 115275933/204326387 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (27493/1265 : -7911/8855 : 1)
** u= 66/17 ; tau(u)= 32/49 ; -446*x^2 - 3778*y^2 + 5380*x*z - 446*z^2
  (5951/20649 : -10976/20649 : 1)  C1a (2777435/1148934 : 118535/1148934 : 1)
** u= -68/125 ; tau(u)= 318/193 ; -69874*x^2 + 26626*y^2 + 105748*x*z - 69874*z^2
  (-64/71 : 205/71 : 1)  C2b (-557665699/9404735 : 38278083/9404735 : 1)
** u= 69/8 ; tau(u)= 53/61 ; -2681*x^2 - 4633*y^2 + 7570*x*z - 2681*z^2
  (1197/2449 : -700/2449 : 1)  C1a (-66517/29761 : 3567/29761 : 1)
** u= 69/197 ; tau(u)= 325/128 ; -28007*x^2 + 72857*y^2 + 110386*x*z - 28007*z^2
  (10011/313301 : -181712/313301 : 1)  C1b (-83245/521278 : 237/5374 : 1)
** u= 73/81 ; tau(u)= 89/8 ; 5201*x^2 + 7793*y^2 + 13250*x*z + 5201*z^2
  (-24217/29837 : -15588/29837 : 1)  C1b (-1539994/641847 : 62927/641847 : 1)
** u= -73/145 ; tau(u)= 363/218 ; -89719*x^2 + 36721*y^2 + 137098*x*z - 89719*z^2
  (2037335/1208027 : -2125586/1208027 : 1)  C2b (-14341759/1614510 : -1016573/1614510 : 1)
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b (80279/144422 : 7219/144422 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (-559410/654563 : -2773/50351 : 1)
** u= -79/121 ; tau(u)= 321/200 ; -73759*x^2 + 23041*y^2 + 109282*x*z - 73759*z^2
  (9157/1303 : -14740/1303 : 1)  C2b (-2664962/1798687 : 304107/1798687 : 1)
** u= -80/89 ; tau(u)= 258/169 ; -50722*x^2 + 9442*y^2 + 72964*x*z - 50722*z^2
  (5/8 : -13/8 : 1)  C2b (-4077726/1198715 : -16279/41335 : 1)
** u= 80/109 ; tau(u)= 138/29 ; 4718*x^2 + 17362*y^2 + 25444*x*z + 4718*z^2
  (-609/205 : -266/205 : 1)  C1b (3294946/242135 : 138059/242135 : 1)
** u= 84/145 ; tau(u)= 206/61 ; -386*x^2 + 34994*y^2 + 49492*x*z - 386*z^2
  (-5636/31145 : -16103/31145 : 1)  C1b (2713502/625135 : 112599/625135 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (-163385/1496237 : -114919/1496237 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (196054/333425 : -15707/333425 : 1)
** u= 89/8 ; tau(u)= 73/81 ; -5201*x^2 - 7793*y^2 + 13250*x*z - 5201*z^2
  (841/1013 : 540/1013 : 1)  C1a (-412001/190578 : -22979/190578 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-1469/12135 : 703/12135 : 1)
** u= 91/149 ; tau(u)= 207/58 ; 1553*x^2 + 36121*y^2 + 51130*x*z + 1553*z^2
  (-659/3361 : 1622/3361 : 1)  C1b (573815/204747 : -24925/204747 : 1)
** u= 91/197 ; tau(u)= 303/106 ; -14191*x^2 + 69337*y^2 + 100090*x*z - 14191*z^2
  (-24277/146867 : 98398/146867 : 1)  C1b (-543539/454838 : 30961/454838 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (-76010/116573 : -4991/116573 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (-3376013/224662 : -138393/224662 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (-17167726/3034849 : 715561/3034849 : 1)
** u= 100/117 ; tau(u)= 134/17 ; 9422*x^2 + 17378*y^2 + 27956*x*z + 9422*z^2
  (-12427/16148 : 9885/16148 : 1)  C1b (-7889918/317257 : -336473/317257 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (-200605/107478 : 8923/107478 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (292018/39011 : 14487/39011 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-7380982/3135805 : -341231/3135805 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (-949515/48262 : -110627/48262 : 1)
** u= -112/145 ; tau(u)= 402/257 ; -119554*x^2 + 29506*y^2 + 174148*x*z - 119554*z^2
  (17337/532423 : -1046582/532423 : 1)  C2b (-341390/42523 : 2367/3271 : 1)
** u= 112/185 ; tau(u)= 258/73 ; 1886*x^2 + 55906*y^2 + 79108*x*z + 1886*z^2
  (-2781/3305 : 3518/3305 : 1)  C1b (-586338/409537 : 28651/409537 : 1)
** u= 112/197 ; tau(u)= 282/85 ; -1906*x^2 + 65074*y^2 + 92068*x*z - 1906*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1b (57673/389075 : 15887/389075 : 1)
** u= 119/193 ; tau(u)= 267/74 ; 3209*x^2 + 60337*y^2 + 85450*x*z + 3209*z^2
  (-1741/87 : -230/87 : 1)  C1b (-5215698/3996029 : -261451/3996029 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (2301038/422233 : -101097/422233 : 1)
** u= -124/117 ; tau(u)= 358/241 ; -100786*x^2 + 12002*y^2 + 143540*x*z - 100786*z^2
  (172/169 : 375/169 : 1)  C2b (-385758/4561 : -45817/4561 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (-14581222/3515643 : 2974897/3515643 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (-89794261/67170 : -3947911/67170 : 1)
** u= 126/73 ; tau(u)= -20/53 ; 10258*x^2 - 5218*y^2 + 16276*x*z + 10258*z^2
  (185/564 : 1009/564 : 1)  C1a (-31067/28785 : 1553/28785 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (809962/92059 : -66193/92059 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (-1595675/801182 : 71157/801182 : 1)
** u= 131/181 ; tau(u)= 231/50 ; 12161*x^2 + 48361*y^2 + 70522*x*z + 12161*z^2
  (-1655/301 : 122/301 : 1)  C1b (4127/6290 : -9/170 : 1)
** u= -132/97 ; tau(u)= 326/229 ; -87458*x^2 + 1394*y^2 + 123700*x*z - 87458*z^2
  (27/122 : 829/122 : 1)  C2b (1987498/70589 : -621879/70589 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (851575/1133222 : -128769/1133222 : 1)
** u= 132/173 ; tau(u)= 214/41 ; 14062*x^2 + 42434*y^2 + 63220*x*z + 14062*z^2
  (-1691/6068 : -10235/42476 : 1)  C1b (769742/267991 : 253047/1875937 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-2953/18981 : -773/18981 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (12507518/6647375 : -717891/6647375 : 1)
** u= 134/17 ; tau(u)= 100/117 ; -9422*x^2 - 17378*y^2 + 27956*x*z - 9422*z^2
  (83/154 : 9/22 : 1)  C1a (-63550/40479 : -3719/40479 : 1)
** u= 136/173 ; tau(u)= 210/37 ; 15758*x^2 + 41362*y^2 + 62596*x*z + 15758*z^2
  (-71/205 : 64/205 : 1)  C1b (1736593/326467 : -77349/326467 : 1)
** u= 138/29 ; tau(u)= 80/109 ; -4718*x^2 - 17362*y^2 + 25444*x*z - 4718*z^2
  (4807/24126 : -2347/24126 : 1)  C1a (444511/424614 : -22879/424614 : 1)
** u= 139/197 ; tau(u)= 255/58 ; 12593*x^2 + 58297*y^2 + 84346*x*z + 12593*z^2
  (-14107/72105 : -17482/72105 : 1)  C1b (63422230/5626189 : 2642607/5626189 : 1)
** u= -140/149 ; tau(u)= 438/289 ; -147442*x^2 + 24802*y^2 + 211444*x*z - 147442*z^2
  (3568/44661 : -102833/44661 : 1)  C2b (-2812243/1091722 : -363803/1091722 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (-1722/5483 : -223/5483 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
  (-65107/357717 : 407008/357717 : 1)  C1a (-59786/59225 : -3009/59225 : 1)
** u= 143/145 ; tau(u)= 147/2 ; 20441*x^2 + 21601*y^2 + 42058*x*z + 20441*z^2
  (-13/11 : -2/11 : 1)  C1b (64678105/55924326 : 4945183/55924326 : 1)
** u= 146/85 ; tau(u)= -24/61 ; 13874*x^2 - 6866*y^2 + 21892*x*z + 13874*z^2
  (-1853/688 : 1957/688 : 1)  C1a (-1934842/346895 : 105573/346895 : 1)
** u= 147/2 ; tau(u)= 143/145 ; -20441*x^2 - 21601*y^2 + 42058*x*z - 20441*z^2
  (13/11 : -2/11 : 1)  C1a (-3803286/2435201 : -257687/2435201 : 1)
** u= 147/82 ; tau(u)= -17/65 ; 13159*x^2 - 8161*y^2 + 21898*x*z + 13159*z^2
  (-10103/8111 : -7126/8111 : 1)  C1a (-24275/195239 : 10137/195239 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (21330451/679807 : 916389/679807 : 1)
** u= 150/101 ; tau(u)= -52/49 ; 17698*x^2 - 2098*y^2 + 25204*x*z + 17698*z^2
  (-207/32 : -539/32 : 1)  C1a (-128974/62171 : 11347/62171 : 1)
** u= -151/145 ; tau(u)= 441/296 ; -152431*x^2 + 19249*y^2 + 217282*x*z - 152431*z^2
  (15733/101615 : 256284/101615 : 1)  C2b (16119686/4324795 : 1538417/4324795 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (-1275649/227555 : 52461/227555 : 1)
** u= 154/73 ; tau(u)= 8/81 ; 10594*x^2 - 13058*y^2 + 23780*x*z + 10594*z^2
  (-1223/458 : 603/458 : 1)  C1a (790654/392883 : -47239/392883 : 1)
** u= -155/137 ; tau(u)= 429/292 ; -146503*x^2 + 13513*y^2 + 208066*x*z - 146503*z^2
  (-18609/216985 : -759196/216985 : 1)  C2b (-64474/32269111 : -4318859/32269111 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (32631931/8675894 : 2528109/8675894 : 1)
** u= 161/181 ; tau(u)= 201/20 ; 25121*x^2 + 39601*y^2 + 66322*x*z + 25121*z^2
  (-155/319 : 10928/63481 : 1)  C1b (41183/2347 : 369527/467053 : 1)
** u= 162/73 ; tau(u)= 16/89 ; 10402*x^2 - 15586*y^2 + 26500*x*z + 10402*z^2
  (607/12628 : 1563/1804 : 1)  C1a (-1539994/641847 : 62927/641847 : 1)
** u= 162/109 ; tau(u)= -56/53 ; 20626*x^2 - 2482*y^2 + 29380*x*z + 20626*z^2
  (-2087/1171 : -4320/1171 : 1)  C1a (160134/261863 : 45851/261863 : 1)
** u= 162/113 ; tau(u)= -64/49 ; 21442*x^2 - 706*y^2 + 30340*x*z + 21442*z^2
  (667/1153 : -9324/1153 : 1)  C1a (-79581/207118 : -35957/207118 : 1)
** u= -164/117 ; tau(u)= 398/281 ; -131026*x^2 + 482*y^2 + 185300*x*z - 131026*z^2
  (-193/98 : 639/14 : 1)  C2b (473234/26025 : -60799/5205 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (2850161/137406 : 123683/137406 : 1)
** u= 165/68 ; tau(u)= 29/97 ; 8407*x^2 - 17977*y^2 + 28066*x*z + 8407*z^2
  (-531/5897 : -3392/5897 : 1)  C1a (-24481510/2207423 : -1017691/2207423 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
  (15/11 : -26/11 : 1)  C2b (12810331/4712495 : 1022721/4712495 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (15299221/1493783 : -1311123/1493783 : 1)
** u= 172/185 ; tau(u)= 198/13 ; 29246*x^2 + 38866*y^2 + 68788*x*z + 29246*z^2
  (-1133/1808 : -447/1808 : 1)  C1b (-8183594/5547575 : 348473/5547575 : 1)
** u= 174/101 ; tau(u)= -28/73 ; 19618*x^2 - 9874*y^2 + 31060*x*z + 19618*z^2
  (-1546/1179 : 1333/1179 : 1)  C1a (-820897/226739 : -42293/226739 : 1)
** u= 177/197 ; tau(u)= 217/20 ; 30529*x^2 + 46289*y^2 + 78418*x*z + 30529*z^2
  (-1791/859 : -64/859 : 1)  C1b (7750820993/61328845 : -344675397/61328845 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-547270/652151 : -50019/652151 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
  (2075/22547 : -580866/157829 : 1)  C2b (21098230/12165321 : -16939793/85157247 : 1)
** u= -187/169 ; tau(u)= 525/356 ; -218503*x^2 + 22153*y^2 + 310594*x*z - 218503*z^2
  (36403/54837 : -121420/54837 : 1)  C2b (971065/805461 : 89387/805461 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b (-638566/30587349 : 3421133/30587349 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-315345/445741 : -21037/445741 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (-63946210/2097801 : 2722621/2097801 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (5235169/192610 : 216081/192610 : 1)
** u= -196/153 ; tau(u)= 502/349 ; -205186*x^2 + 8402*y^2 + 290420*x*z - 205186*z^2
  (-1384/1073 : 11235/1073 : 1)  C2b (546622/464079 : 79019/464079 : 1)
** u= 198/13 ; tau(u)= 172/185 ; -29246*x^2 - 38866*y^2 + 68788*x*z - 29246*z^2
  (900/521 : -127/521 : 1)  C1a (12765098/10748375 : 576391/10748375 : 1)
** u= 198/125 ; tau(u)= -52/73 ; 28546*x^2 - 7954*y^2 + 41908*x*z + 28546*z^2
  (-15559/420776 : 775755/420776 : 1)  C1a (-335/3301 : -241/3301 : 1)
158
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=8/81のとき

29768810805^4+33567699514^4+74887661767^4=371522*3081668981^4
1244543788770911633600138033622995252025799158850552909755688175029821862312180720538255677442263^4+21821704350920420676714649836529560093426801198316336284360187873724058413769673490874053716038435^4+22838358644785317240498518968058845986083322406417307894578396577841160379699587156692217379225054^4=371522*1076436246977312976510904161811639847581849527855639316538761638975647114153310106813554186417209^4
406998037361386029526321809271869353908124157089946646289391555122980300102492391264518534686226988999224413033014030963872694075174341125993250438950647276118726778970168645424788679506661764089083034275665367563197313892155803344069628986154562218345995203659088032275^4+5027840636675934373208088586851220152415181931547130363565020704773030773865228074596636694467131435787685613503257228530029909816055374563089619649286221356073453655237094936831114682576346705525033853908153069467563431442172580325434472574354047545461616937171633304777^4+8244348684590540885543886766330666413960394504889178130911875285710238764442259852415223682786374909255817084451881201084946740158326116239564810385131631710946243479858506509681506914795979952903762128126990621061010069147378848819711276305958684168714973682908586728334^4=371522*344927126419379228999223076286532701603684604880930954509445443001728627599288289997690988886097914715760932646553967817692595486267799586843918121481837475831991476035864687288366409061794997849588920598388646851744433316081865142086225255464411551880188804534750294289^4
...

u=-4/45のとき

223392352426183057067757258207677912488339^4+285086449931905485589230299117951560881543^4+454134676178516083544994899016218757620230^4=371522*19307665068198080148550695508936854709463^4
5658211272504189565471804103234269640167979637878398618239599013878016930776478661995126684551998685241706457683299425916876311022057151959810672701733058157389099517786592466669214805255303202693109160304594644000166872765976013853725674103168591290556214026974930747520596548211160023734989944331872592153548942036024950953706244617108496572372671440198600545464888975405^4+6088976380018831673534096227485711769152922567683989466591952659285784593496272095159130524542636595889581524346901060292968968440537832885057048848579649708046173783103209433727812901676942084033856094269891430712119345689316720465767275339889356528230766851543992926394782945918957633143125775973887798001047749814136027395636149769058882686389855522211671844014643024239^4+10391568792487641435126677585694847541246664047746513718889351656211476527374277199931160056144503401691962844031909580917243969316020111956288001072725598979462580091931949308808798648007082725897275839096300129509727346127332767923464514643623437973000965392385911420738880634338230317854082325837739457643369688004597955968163966688723540865358217922489527312761313351762^4=371522*441064769150170001736679739164201901488247490467331652336119099658803221447541803854794489605973560461537760585669312449116199360779540295627336709237916676405317557061788598231953104969785446738638886166297934041255189393030658445470767486637875700026604993521692775600472639541232910319174634633043325779434574980046326439637251577164326379800737427694346095602609013811^4
...

[2026.02.25追記] u=-4/45のときの整点を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
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Last Update: 2026.02.25

H.Nakao