Integer Points on A^4+B^4+C^4=368082*D^4

[2026.02.23]A^4+B^4+C^4=368082*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

364658=2*429^2であるので、以下では、n=429とする。

■n=429のとき、２次曲線(**)は、有理点(19/3, 1/3)を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=429;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが400以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように127個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(429,1,200);
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (189912115/4327636 : 9034245/4327636 : 1)
** u= 3/5 ; tau(u)= 7/2 ; x^2 + 41*y^2 + 58*x*z + z^2
  (-1/3 : 2/3 : 1)  C1b (2069/2440 : 131/2440 : 1)
** u= 3/101 ; tau(u)= 199/98 ; -19199*x^2 + 20393*y^2 + 39610*x*z - 19199*z^2
  (7797/10837 : 1918/10837 : 1)  C1b (1229816/8143 : 3431/479 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (265/1304 : 53/1304 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
  (16243/11791 : 5662/11791 : 1)  C2b (-18167/12163 : -1301/12163 : 1)
** u= 7/2 ; tau(u)= 3/5 ; -x^2 - 41*y^2 + 58*x*z - z^2
  (9/167 : 38/167 : 1)  C1a (-25192/6137 : 1057/6137 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (-15577/33677 : 1893/33677 : 1)
** u= 7/81 ; tau(u)= 155/74 ; -10903*x^2 + 13073*y^2 + 24074*x*z - 10903*z^2
  (185/293 : -18/293 : 1)  C1b (2256064/327551 : -98579/327551 : 1)
** u= -7/153 ; tau(u)= 313/160 ; -51151*x^2 + 46769*y^2 + 98018*x*z - 51151*z^2
  (5491/19333 : 14808/19333 : 1)  C2b (17490763/1963817 : 817999/1963817 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
  (1123/1460 : -903/1460 : 1)  C2b (140980/21463 : -6967/21463 : 1)
** u= -8/81 ; tau(u)= 170/89 ; -15778*x^2 + 13058*y^2 + 28964*x*z - 15778*z^2
  (2402/7199 : 243/313 : 1)  C2b (94549/97121 : -4651/97121 : 1)
** u= 8/193 ; tau(u)= 378/185 ; -68386*x^2 + 74434*y^2 + 142948*x*z - 68386*z^2
  (78991/110195 : -13128/110195 : 1)  C1b (-539503/459485 : 40681/459485 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (81520720/1462409 : -3519525/1462409 : 1)
** u= 12/65 ; tau(u)= 118/53 ; -5474*x^2 + 8306*y^2 + 14068*x*z - 5474*z^2
  (214/557 : 181/557 : 1)  C1b (54619/29999 : 2269/29999 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (-432040/48211 : -26339/48211 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (3754733/3494900 : -180591/3494900 : 1)
** u= -13/181 ; tau(u)= 375/194 ; -75103*x^2 + 65353*y^2 + 140794*x*z - 75103*z^2
  (627/1435 : 134/205 : 1)  C2b (1826056/2828935 : -120951/2828935 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-976/6329 : 257/6329 : 1)
** u= -15/17 ; tau(u)= 49/32 ; -1823*x^2 + 353*y^2 + 2626*x*z - 1823*z^2
  (-425/3057 : -7672/3057 : 1)  C2b (294125/259783 : 20381/259783 : 1)
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
  (78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1)  C1b (4592848/978023 : 193851/978023 : 1)
** u= 15/193 ; tau(u)= 371/178 ; -63143*x^2 + 74273*y^2 + 137866*x*z - 63143*z^2
  (-69/47 : -1858/799 : 1)  C1b (3234472/3079625 : 2601143/52353625 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
  (-747/251 : 18056/4267 : 1)  C2b (1290205/138263 : -1043997/2350471 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (31838189/7757476 : -1313071/7757476 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (-118067/58159 : 9793/58159 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
  (239/369 : -244/369 : 1)  C2b (18798385/2291299 : 944025/2291299 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (-380840/1738757 : 110261/1738757 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (43540/142487 : -5799/142487 : 1)
** u= 21/125 ; tau(u)= 229/104 ; -21191*x^2 + 30809*y^2 + 52882*x*z - 21191*z^2
  (40377/82547 : -9340/82547 : 1)  C1b (17127548/12814855 : 750653/12814855 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (8844985/78788 : -401415/78788 : 1)
** u= -24/125 ; tau(u)= 274/149 ; -43826*x^2 + 30674*y^2 + 75652*x*z - 43826*z^2
  (8011/25031 : 155320/175217 : 1)  C2b (908932/237467 : -298469/1662269 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (323593/67508 : -15333/67508 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (-8882200/694403 : 360955/694403 : 1)
** u= -29/53 ; tau(u)= 135/82 ; -12607*x^2 + 4777*y^2 + 19066*x*z - 12607*z^2
  (-3377/4051 : 11314/4051 : 1)  C2b (51317/49295 : -2827/49295 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
  (20317/15223 : 18548/15223 : 1)  C2b (72076/25243 : 3687/25243 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
  (99583/15937 : 128916/15937 : 1)  C2b (2506388/2017225 : 123089/2017225 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (5257855/742064 : 216907/742064 : 1)
** u= -40/117 ; tau(u)= 274/157 ; -47698*x^2 + 25778*y^2 + 76676*x*z - 47698*z^2
  (27635/42419 : 35436/42419 : 1)  C2b (17189605/2596673 : 924781/2596673 : 1)
** u= -43/153 ; tau(u)= 349/196 ; -74983*x^2 + 44969*y^2 + 123650*x*z - 74983*z^2
  (-46909/149 : -60732/149 : 1)  C2b (11724100/13792973 : -649355/13792973 : 1)
** u= -47/197 ; tau(u)= 441/244 ; -116863*x^2 + 75409*y^2 + 196690*x*z - 116863*z^2
  (-29187/285947 : 387044/285947 : 1)  C2b (-2714959/2002523 : 232891/2002523 : 1)
** u= 48/113 ; tau(u)= 178/65 ; -6146*x^2 + 23234*y^2 + 33988*x*z - 6146*z^2
  (-11589/181648 : -108827/181648 : 1)  C1b (15276620/3506527 : 621151/3506527 : 1)
** u= -48/181 ; tau(u)= 410/229 ; -102578*x^2 + 63218*y^2 + 170404*x*z - 102578*z^2
  (-6700/1473 : -10147/1473 : 1)  C2b (1662973/442457 : -80747/442457 : 1)
** u= -48/193 ; tau(u)= 434/241 ; -113858*x^2 + 72194*y^2 + 190660*x*z - 113858*z^2
  (227517/175867 : 157306/175867 : 1)  C2b (7123505/7292773 : -359045/7292773 : 1)
** u= 49/32 ; tau(u)= -15/17 ; 1823*x^2 - 353*y^2 + 2626*x*z + 1823*z^2
  (-3039/2953 : -5096/2953 : 1)  C1a (-1644380/1602679 : 118277/1602679 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (-351548/80855 : 165681/565985 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (-66173/37384 : 76859/37384 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (-3281611/816953 : 1003431/5718671 : 1)
** u= 53/157 ; tau(u)= 261/104 ; -18823*x^2 + 46489*y^2 + 70930*x*z - 18823*z^2
  (113573/28287 : 3628/4041 : 1)  C1b (-416988703/158280860 : -4079429/31656172 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (5600/41497 : 1685/41497 : 1)
** u= -56/89 ; tau(u)= 234/145 ; -38914*x^2 + 12706*y^2 + 57892*x*z - 38914*z^2
  (24903/68491 : 92168/68491 : 1)  C2b (136780/947851 : 62807/947851 : 1)
** u= 56/109 ; tau(u)= 162/53 ; -2482*x^2 + 20626*y^2 + 29380*x*z - 2482*z^2
  (53/8302 : -2769/8302 : 1)  C1b (116740/32047 : 4825/32047 : 1)
** u= -56/125 ; tau(u)= 306/181 ; -62386*x^2 + 28114*y^2 + 96772*x*z - 62386*z^2
  (-103919/1438941 : 2265680/1438941 : 1)  C2b (-7824700/9122681 : 974029/9122681 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (-509288117/193210540 : -25293839/193210540 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (560311/386108 : 26727/386108 : 1)
** u= -57/169 ; tau(u)= 395/226 ; -98903*x^2 + 53873*y^2 + 159274*x*z - 98903*z^2
  (-14201/13427 : -35566/13427 : 1)  C2b (-4546624/1437589 : -326071/1437589 : 1)
** u= 60/61 ; tau(u)= 62 ; 3598*x^2 + 3842*y^2 + 7444*x*z + 3598*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1b (21795680/400837 : 1045081/400837 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (237221/1030796 : -42139/1030796 : 1)
** u= 61/197 ; tau(u)= 333/136 ; -33271*x^2 + 73897*y^2 + 114610*x*z - 33271*z^2
  (788999/9229 : 518676/9229 : 1)  C1b (541394644/8762287 : 22912657/8762287 : 1)
** u= 62 ; tau(u)= 60/61 ; -3598*x^2 - 3842*y^2 + 7444*x*z - 3598*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1a (7864/48241 : -2137/48241 : 1)
** u= 69/85 ; tau(u)= 101/16 ; 4249*x^2 + 9689*y^2 + 14962*x*z + 4249*z^2
  (-1847/2559 : 1712/2559 : 1)  C1b (-193124/504005 : 20611/504005 : 1)
** u= 69/109 ; tau(u)= 149/40 ; 1561*x^2 + 19001*y^2 + 26962*x*z + 1561*z^2
  (-7999/71755 : 19652/71755 : 1)  C1b (12740/15193 : -829/15193 : 1)
** u= 69/137 ; tau(u)= 205/68 ; -4487*x^2 + 32777*y^2 + 46786*x*z - 4487*z^2
  (-1541/36689 : 16288/36689 : 1)  C1b (211527244/142814411 : 9936261/142814411 : 1)
** u= -71/137 ; tau(u)= 345/208 ; -81487*x^2 + 32497*y^2 + 124066*x*z - 81487*z^2
  (10335/6841 : 10736/6841 : 1)  C2b (2177596/3594025 : -181191/3594025 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (-8281465/2856173 : -392293/2856173 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (-38135/72296 : -2991/72296 : 1)
** u= 75/173 ; tau(u)= 271/98 ; -13583*x^2 + 54233*y^2 + 79066*x*z - 13583*z^2
  (5387/619 : -1582/619 : 1)  C1b (757861/2436791 : 99937/2436791 : 1)
** u= -75/181 ; tau(u)= 437/256 ; -125447*x^2 + 59897*y^2 + 196594*x*z - 125447*z^2
  (19307/37694037 : 54528800/37694037 : 1)  C2b (576606980/129448867 : 31169851/129448867 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
  (24/35 : 7/5 : 1)  C2b (39995192/3254303 : 3172237/3254303 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (108704/215549 : 13401/215549 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-437/11401 : -489/11401 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (115855/92723 : -5127/92723 : 1)
** u= -87/173 ; tau(u)= 433/260 ; -127631*x^2 + 52289*y^2 + 195058*x*z - 127631*z^2
  (-119159/68487 : 276676/68487 : 1)  C2b (22043140/6727271 : -1210627/6727271 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
  (-1613/1789 : 1092/1789 : 1)  C1a (16100/5629 : -1069/5629 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (-9920/5567 : -2963/38969 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (-4009793/562048 : 164379/562048 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-1959163/232732 : -82161/232732 : 1)
** u= 93/97 ; tau(u)= 101/4 ; 8617*x^2 + 10169*y^2 + 18850*x*z + 8617*z^2
  (-3733/4237 : -1516/4237 : 1)  C1b (-123623/61100 : -1023/12220 : 1)
** u= -96/173 ; tau(u)= 442/269 ; -135506*x^2 + 50642*y^2 + 204580*x*z - 135506*z^2
  (-8917/8227 : -26272/8227 : 1)  C2b (172649/311533 : 16181/311533 : 1)
** u= -97/73 ; tau(u)= 243/170 ; -48391*x^2 + 1249*y^2 + 68458*x*z - 48391*z^2
  (12763/27719 : 129186/27719 : 1)  C2b (-5279968/878345 : 1499669/878345 : 1)
** u= 100/117 ; tau(u)= 134/17 ; 9422*x^2 + 17378*y^2 + 27956*x*z + 9422*z^2
  (-12427/16148 : 9885/16148 : 1)  C1b (8537003/6550975 : 536461/6550975 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (-8203904/3376541 : -350653/3376541 : 1)
** u= 101/4 ; tau(u)= 93/97 ; -8617*x^2 - 10169*y^2 + 18850*x*z - 8617*z^2
  (28253/39477 : 8396/39477 : 1)  C1a (1181908/564661 : -48873/564661 : 1)
** u= 101/16 ; tau(u)= 69/85 ; -4249*x^2 - 9689*y^2 + 14962*x*z - 4249*z^2
  (20279/37287 : -19432/37287 : 1)  C1a (94475/72668 : 4307/72668 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-265108/91865 : -10821/91865 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (20597/2503 : 1727/2503 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (3451/655 : 221/655 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (3277357/1594396 : 179701/1594396 : 1)
** u= 112/117 ; tau(u)= 122/5 ; 12494*x^2 + 14834*y^2 + 27428*x*z + 12494*z^2
  (-3109/2525 : -1002/2525 : 1)  C1b (61171372/32294153 : -3766939/32294153 : 1)
** u= 112/153 ; tau(u)= 194/41 ; 9182*x^2 + 34274*y^2 + 50180*x*z + 9182*z^2
  (-48007/111323 : -62346/111323 : 1)  C1b (-1972268/958919 : 83819/958919 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (17444228/163069 : 1065559/163069 : 1)
** u= 118/53 ; tau(u)= 12/65 ; 5474*x^2 - 8306*y^2 + 14068*x*z + 5474*z^2
  (-12336/57065 : -32467/57065 : 1)  C1a (-4916960/422809 : -211859/422809 : 1)
** u= 122/5 ; tau(u)= 112/117 ; -12494*x^2 - 14834*y^2 + 27428*x*z - 12494*z^2
  (3109/2525 : 1002/2525 : 1)  C1a (28861/13711 : -1193/13711 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (169099/535268 : -243513/3746876 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (307/4769 : -3983/4769 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (-3093995/587812 : -128797/587812 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (4028539/1539047 : -280369/1539047 : 1)
** u= 129/145 ; tau(u)= 161/16 ; 16129*x^2 + 25409*y^2 + 42562*x*z + 16129*z^2
  (-277/565 : -104/565 : 1)  C1b (22857235/68393 : 1011093/68393 : 1)
** u= 134/17 ; tau(u)= 100/117 ; -9422*x^2 - 17378*y^2 + 27956*x*z - 9422*z^2
  (83/154 : 9/22 : 1)  C1a (-524395/635528 : 41159/635528 : 1)
** u= 135/82 ; tau(u)= -29/53 ; 12607*x^2 - 4777*y^2 + 19066*x*z + 12607*z^2
  (3059/2201 : -8022/2201 : 1)  C1a (1584607/790115 : -149287/790115 : 1)
** u= -141/197 ; tau(u)= 535/338 ; -208607*x^2 + 57737*y^2 + 306106*x*z - 208607*z^2
  (89541/315253 : 488254/315253 : 1)  C2b (-765280/939637 : 123007/939637 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (-55397/11248 : -17417/78736 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (-3093995/587812 : -128797/587812 : 1)
** u= -147/145 ; tau(u)= 437/292 ; -148919*x^2 + 20441*y^2 + 212578*x*z - 148919*z^2
  (275/2137 : 5264/2137 : 1)  C2b (-52656269/3521396 : -6075041/3521396 : 1)
** u= 149/40 ; tau(u)= 69/109 ; -1561*x^2 - 19001*y^2 + 26962*x*z - 1561*z^2
  (1103/18579 : -788/18579 : 1)  C1a (-12118925/11283508 : 692561/11283508 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (45363161/12278548 : 8167349/12278548 : 1)
** u= 155/74 ; tau(u)= 7/81 ; 10903*x^2 - 13073*y^2 + 24074*x*z + 10903*z^2
  (3841/60059 : 58698/60059 : 1)  C1a (3976/24751 : -1241/24751 : 1)
** u= -160/157 ; tau(u)= 474/317 ; -175378*x^2 + 23698*y^2 + 250276*x*z - 175378*z^2
  (555/1291 : -45128/21947 : 1)  C2b (-20135/15964 : -62859/271388 : 1)
** u= 161/16 ; tau(u)= 129/145 ; -16129*x^2 - 25409*y^2 + 42562*x*z - 16129*z^2
  (2321/1065 : 32/1065 : 1)  C1a (-12260261/884860 : 557709/884860 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (67867/24679 : 3009/24679 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (-47692232/11757941 : -6599227/11757941 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (31838189/7757476 : -1313071/7757476 : 1)
** u= 162/53 ; tau(u)= 56/109 ; 2482*x^2 - 20626*y^2 + 29380*x*z + 2482*z^2
  (-13957/169373 : -10404/169373 : 1)  C1a (947/17836 : -731/17836 : 1)
** u= -164/117 ; tau(u)= 398/281 ; -131026*x^2 + 482*y^2 + 185300*x*z - 131026*z^2
  (-193/98 : 639/14 : 1)  C2b (73792/18671 : -41509/18671 : 1)
** u= -168/149 ; tau(u)= 466/317 ; -172754*x^2 + 16178*y^2 + 245380*x*z - 172754*z^2
  (-89/71 : -484/71 : 1)  C2b (7153645/1790897 : -801535/1790897 : 1)
** u= 169/185 ; tau(u)= 201/16 ; 28049*x^2 + 39889*y^2 + 68962*x*z + 28049*z^2
  (-39447/20951 : 728/2993 : 1)  C1b (-4836860/2458189 : -199569/2458189 : 1)
** u= 170/89 ; tau(u)= -8/81 ; 15778*x^2 - 13058*y^2 + 28964*x*z + 15778*z^2
  (439/2441 : -3132/2441 : 1)  C1a (-47260/111839 : 4819/111839 : 1)
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b (1141621/10725223 : -523433/10725223 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (142904/94417 : 52341/660919 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
  (135463/95547 : -318868/95547 : 1)  C1a (1059868/271571 : -77949/271571 : 1)
** u= 178/65 ; tau(u)= 48/113 ; 6146*x^2 - 23234*y^2 + 33988*x*z + 6146*z^2
  (-548/7345 : 2909/7345 : 1)  C1a (93356/583361 : -25073/583361 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (-706696/115631 : 35713/115631 : 1)
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a (4103300/79027 : 188615/79027 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-1370975665/92772667 : 55721227/92772667 : 1)
** u= 194/41 ; tau(u)= 112/153 ; -9182*x^2 - 34274*y^2 + 50180*x*z - 9182*z^2
  (137/181 : 150/181 : 1)  C1a (-586457/81484 : -25061/81484 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
  (83809/260225 : 484524/260225 : 1)  C1a (-16412179/16016444 : 859963/16016444 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-166279/277469 : -11837/277469 : 1)
** u= 199/98 ; tau(u)= 3/101 ; 19199*x^2 - 20393*y^2 + 39610*x*z + 19199*z^2
  (8521/6099 : -14294/6099 : 1)  C1a (87787/108991 : -8083/108991 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (3595687516/740477335 : 118922075/148095467 : 1)
127
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=12/65のとき

470534552639^4+2403961898960^4+2422886359877^4=368082*116544939299^4
11417563511852368196068840132396185106609327491597495094950566439121565777751476336453496574881976599510889372301981^4+12442455393494659975751271305485554653141239507391719747444124665936944781827805940448000178338508699551039266643688^4+33268864910783739868890915997315359083669675883432155735999981837017797098174563281421464468110288923937436251480735^4=368082*1361829740182681490524167756489255044485217536785224151556532743916017839458514794372306532832131478888495063596143^4
353108893893730186969533889607902715066908383914503728237560214153260273345184890584910983702939259377141305658080892426981592723664380617592887021870639110413707047982712234035114474544187349752672612204044705293928551825625659733127426646108129139571415732418060379226378837912944660528284667185422547272409077081213171^4+1383527838366372896499342368540534165603904521946102781970265807123637634999158326187057599584604456608286391499383918389243245827838225690555793038278536380981787932310211541923903092612002505647657714398346860316984764548350710597004599660293761245477141221963014628420773131926808962709503987492848802030371587068899425^4+2975998204673502575304277096341111589669712000464303762035128480530054458098610337090099776695615705366341890396168433285076977381022579305377894759902666065378969143889914363000963513288314562044832556939476917056772411808916701182028788184588265469737374110604418436355231346528091683849054058874514913986236638877985448^4=368082*122214797878895509124068480408697582021105072746743260901719824573535384601734871038193011622088275190644659269309901689829446556871996362346769300134357766936232397189219763062165454945974726435615322047313269387776641484480957444238876703211905433445578652341182492878141374475676175957778658575161161735610298131082167^4
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[参考文献]

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Last Update: 2026.02.24

H.Nakao