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Integer Points on A^4+B^4+C^4=364658*D^4

[2026.02.23]A^4+B^4+C^4=351122*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

364658=2*427^2であるので、以下では、n=427とする。

■n=427のとき、２次曲線(**)は、有理点(19/3, 1/3)を持つことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=427;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
true (19/3 : 1/3 : 1)
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが400以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように67個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(427,1,200);
** u= -1/17 ; tau(u)= 35/18 ; -647*x^2 + 577*y^2 + 1226*x*z - 647*z^2
  (2141/2881 : -1158/2881 : 1)  C2b (-36941/12939 : 2251/12939 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (2974/277 : -3231/4709 : 1)
** u= -7/157 ; tau(u)= 321/164 ; -53743*x^2 + 49249*y^2 + 103090*x*z - 53743*z^2
  (10141/7671 : -3688/7671 : 1)  C2b (-9805/1403 : 525/1403 : 1)
** u= 9/169 ; tau(u)= 329/160 ; -51119*x^2 + 57041*y^2 + 108322*x*z - 51119*z^2
  (2815/1753 : -696/1753 : 1)  C1b (-199929774/46645847 : -10644059/46645847 : 1)
** u= -13/109 ; tau(u)= 231/122 ; -29599*x^2 + 23593*y^2 + 53530*x*z - 29599*z^2
  (12953/20513 : -11642/20513 : 1)  C2b (1695803/1688702 : -82479/1688702 : 1)
** u= 16/113 ; tau(u)= 210/97 ; -18562*x^2 + 25282*y^2 + 44356*x*z - 18562*z^2
  (61/123 : -26/123 : 1)  C1b (165023/14654 : -7227/14654 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (-5497941/594283 : 239681/594283 : 1)
** u= 21/73 ; tau(u)= 125/52 ; -4967*x^2 + 10217*y^2 + 16066*x*z - 4967*z^2
  (1783/6957 : -2360/6957 : 1)  C1b (185329/71937 : 7589/71937 : 1)
** u= 21/89 ; tau(u)= 157/68 ; -8807*x^2 + 15401*y^2 + 25090*x*z - 8807*z^2
  (-1787/23 : 1376/23 : 1)  C1b (-11690670/2523023 : 558895/2523023 : 1)
** u= -21/125 ; tau(u)= 271/146 ; -42191*x^2 + 30809*y^2 + 73882*x*z - 42191*z^2
  (497/157 : -430/157 : 1)  C2b (103109/1158061 : -58419/1158061 : 1)
** u= -24/49 ; tau(u)= 122/73 ; -10082*x^2 + 4226*y^2 + 15460*x*z - 10082*z^2
  (5041/7869 : -7952/7869 : 1)  C2b (479714/69949 : -28623/69949 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (374658/532141 : -23417/532141 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (-3623/2263 : -717/2263 : 1)
** u= -28/61 ; tau(u)= 150/89 ; -15058*x^2 + 6658*y^2 + 23284*x*z - 15058*z^2
  (193/1062 : 1385/1062 : 1)  C2b (1283326/389353 : -68691/389353 : 1)
** u= 28/101 ; tau(u)= 174/73 ; -9874*x^2 + 19618*y^2 + 31060*x*z - 9874*z^2
  (-7233/34846 : -32195/34846 : 1)  C1b (-1154278/2211863 : 120621/2211863 : 1)
** u= -28/169 ; tau(u)= 366/197 ; -76834*x^2 + 56338*y^2 + 134740*x*z - 76834*z^2
  (2051/12048 : 12025/12048 : 1)  C2b (1460005/475366 : 66225/475366 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-13774/5989 : -12471/101813 : 1)
** u= 35/18 ; tau(u)= -1/17 ; 647*x^2 - 577*y^2 + 1226*x*z + 647*z^2
  (-209/1369 : -1242/1369 : 1)  C1a (1164859/246682 : -65437/246682 : 1)
** u= -37/125 ; tau(u)= 287/162 ; -51119*x^2 + 29881*y^2 + 83738*x*z - 51119*z^2
  (51911/41671 : 38970/41671 : 1)  C2b (2034714/1778153 : 97291/1778153 : 1)
** u= 47/49 ; tau(u)= 51/2 ; 2201*x^2 + 2593*y^2 + 4810*x*z + 2201*z^2
  (-7801/9587 : 3010/9587 : 1)  C1b (917851/121651 : -45651/121651 : 1)
** u= -49/113 ; tau(u)= 275/162 ; -50087*x^2 + 23137*y^2 + 78026*x*z - 50087*z^2
  (11495/27007 : 28602/27007 : 1)  C2b (158677/45314 : -8431/45314 : 1)
** u= 51/2 ; tau(u)= 47/49 ; -2201*x^2 - 2593*y^2 + 4810*x*z - 2201*z^2
  (3611/3529 : -1414/3529 : 1)  C1a (-377954/169241 : -22353/169241 : 1)
** u= -51/97 ; tau(u)= 245/148 ; -41207*x^2 + 16217*y^2 + 62626*x*z - 41207*z^2
  (3641/23323 : -32984/23323 : 1)  C2b (-312878/443571 : 46457/443571 : 1)
** u= 51/197 ; tau(u)= 343/146 ; -40031*x^2 + 75017*y^2 + 120250*x*z - 40031*z^2
  (-43483/2304469 : 1730750/2304469 : 1)  C1b (-11756943/2993098 : -565901/2993098 : 1)
** u= -52/121 ; tau(u)= 294/173 ; -57154*x^2 + 26578*y^2 + 89140*x*z - 57154*z^2
  (1642/157 : -2233/157 : 1)  C2b (45803798/3068537 : 2751099/3068537 : 1)
** u= -56/61 ; tau(u)= 178/117 ; -24242*x^2 + 4306*y^2 + 34820*x*z - 24242*z^2
  (3613/4697 : 7776/4697 : 1)  C2b (-200295/3151 : -19705/3151 : 1)
** u= -57/49 ; tau(u)= 155/106 ; -19223*x^2 + 1553*y^2 + 27274*x*z - 19223*z^2
  (-8767/90969 : -342622/90969 : 1)  C2b (630394/911077 : 92699/911077 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-181634689/52854799 : -7871013/52854799 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (-92007142/27105779 : -4176361/27105779 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (1755673/492554 : -86859/492554 : 1)
** u= 60/121 ; tau(u)= 182/61 ; -3842*x^2 + 25682*y^2 + 36724*x*z - 3842*z^2
  (-934/793 : 1133/793 : 1)  C1b (-356981/137133 : -16187/137133 : 1)
** u= -63/53 ; tau(u)= 169/116 ; -22943*x^2 + 1649*y^2 + 32530*x*z - 22943*z^2
  (517/787 : 2076/787 : 1)  C2b (38226/1831 : 5617/1831 : 1)
** u= -69/53 ; tau(u)= 175/122 ; -25007*x^2 + 857*y^2 + 35386*x*z - 25007*z^2
  (-18069/1295 : 102674/1295 : 1)  C2b (60749/9309 : -11999/9309 : 1)
** u= -72/125 ; tau(u)= 322/197 ; -72434*x^2 + 26066*y^2 + 108868*x*z - 72434*z^2
  (5719/4454 : 6295/4454 : 1)  C2b (34821/5123 : -2213/5123 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-61814/44141 : -5769/44141 : 1)
** u= 84/109 ; tau(u)= 134/25 ; 5806*x^2 + 16706*y^2 + 25012*x*z + 5806*z^2
  (-736/2161 : 755/2161 : 1)  C1b (-260767/218839 : -12519/218839 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
  (-1068/5543 : -1529/5543 : 1)  C1b (-5101/2386 : 219/2386 : 1)
** u= -84/121 ; tau(u)= 326/205 ; -76994*x^2 + 22226*y^2 + 113332*x*z - 76994*z^2
  (5188/15605 : -22891/15605 : 1)  C2b (6161074586/1378496531 : 411204877/1378496531 : 1)
** u= 84/169 ; tau(u)= 254/85 ; -7394*x^2 + 50066*y^2 + 71572*x*z - 7394*z^2
  (-50334/1786943 : -774943/1786943 : 1)  C1b (-3231/11887 : -517/11887 : 1)
** u= 84/173 ; tau(u)= 262/89 ; -8786*x^2 + 52802*y^2 + 75700*x*z - 8786*z^2
  (-872/503 : -893/503 : 1)  C1b (327050/1082643 : 44825/1082643 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (27546/129257 : -5863/129257 : 1)
** u= -105/193 ; tau(u)= 491/298 ; -166583*x^2 + 63473*y^2 + 252106*x*z - 166583*z^2
  (222867/77315 : -278578/77315 : 1)  C2b (108606/180883 : 9289/180883 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (20064943/12190177 : 1122549/12190177 : 1)
** u= 122/73 ; tau(u)= -24/49 ; 10082*x^2 - 4226*y^2 + 15460*x*z + 10082*z^2
  (-13421/51529 : 65072/51529 : 1)  C1a (-222562/153613 : -11057/153613 : 1)
** u= 125/52 ; tau(u)= 21/73 ; 4967*x^2 - 10217*y^2 + 16066*x*z + 4967*z^2
  (-5633/19827 : -5560/19827 : 1)  C1a (286667/73149 : 13603/73149 : 1)
** u= 129/145 ; tau(u)= 161/16 ; 16129*x^2 + 25409*y^2 + 42562*x*z + 16129*z^2
  (-277/565 : -104/565 : 1)  C1b (-63102/25331 : 2587/25331 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (-135818/790817 : -143397/790817 : 1)
** u= 134/25 ; tau(u)= 84/109 ; -5806*x^2 - 16706*y^2 + 25012*x*z - 5806*z^2
  (1487/1472 : -1325/1472 : 1)  C1a (-457/486 : 31/486 : 1)
** u= 136/145 ; tau(u)= 154/9 ; 18334*x^2 + 23554*y^2 + 42212*x*z + 18334*z^2
  (-1285/751 : -72/751 : 1)  C1b (-87047/73842 : -3953/73842 : 1)
** u= 148/193 ; tau(u)= 238/45 ; 17854*x^2 + 52594*y^2 + 78548*x*z + 17854*z^2
  (-6284/2165 : -2307/2165 : 1)  C1b (-350477294/143518811 : 14520517/143518811 : 1)
** u= -149/125 ; tau(u)= 399/274 ; -127951*x^2 + 9049*y^2 + 181402*x*z - 127951*z^2
  (-32881/119579 : 544330/119579 : 1)  C2b (84551/127214 : 13839/127214 : 1)
** u= 150/89 ; tau(u)= -28/61 ; 15058*x^2 - 6658*y^2 + 23284*x*z + 15058*z^2
  (-31/84 : -95/84 : 1)  C1a (-303754/141919 : -15231/141919 : 1)
** u= 154/9 ; tau(u)= 136/145 ; -18334*x^2 - 23554*y^2 + 42212*x*z - 18334*z^2
  (1285/751 : -72/751 : 1)  C1a (843769/212158 : -35527/212158 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (-81434/17597 : 3347/17597 : 1)
** u= 155/106 ; tau(u)= -57/49 ; 19223*x^2 - 1553*y^2 + 27274*x*z + 19223*z^2
  (11959/22705 : 113666/22705 : 1)  C1a (119494/104141 : -29621/104141 : 1)
** u= 157/68 ; tau(u)= 21/89 ; 8807*x^2 - 15401*y^2 + 25090*x*z + 8807*z^2
  (-167/417 : -44/417 : 1)  C1a (-474574/442641 : 22849/442641 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
  (2757/18968 : -1991/18968 : 1)  C1a (-3393802/381383 : 142353/381383 : 1)
** u= 161/16 ; tau(u)= 129/145 ; -16129*x^2 - 25409*y^2 + 42562*x*z - 16129*z^2
  (2321/1065 : 32/1065 : 1)  C1a (61186/175121 : 7181/175121 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (1262154/768265 : -12449/153653 : 1)
** u= -168/125 ; tau(u)= 418/293 ; -143474*x^2 + 3026*y^2 + 202948*x*z - 143474*z^2
  (371/691 : -3460/691 : 1)  C2b (299011/232117 : 59549/232117 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
  (-1042/895 : 551/895 : 1)  C1b (281863/112542 : 15367/112542 : 1)
** u= 169/116 ; tau(u)= -63/53 ; 22943*x^2 - 1649*y^2 + 32530*x*z + 22943*z^2
  (42203/147607 : -671424/147607 : 1)  C1a (-588218/431247 : 63427/431247 : 1)
** u= 174/73 ; tau(u)= 28/101 ; 9874*x^2 - 19618*y^2 + 31060*x*z + 9874*z^2
  (-7/148 : 97/148 : 1)  C1a (24194/12961 : 1329/12961 : 1)
** u= 175/122 ; tau(u)= -69/53 ; 25007*x^2 - 857*y^2 + 35386*x*z + 25007*z^2
  (-769/261 : 3310/261 : 1)  C1a (-64214/327 : 14069/327 : 1)
** u= 178/117 ; tau(u)= -56/61 ; 24242*x^2 - 4306*y^2 + 34820*x*z + 24242*z^2
  (3491/11033 : -1920/649 : 1)  C1a (-5838999/1810246 : -463139/1810246 : 1)
** u= 182/61 ; tau(u)= 60/121 ; 3842*x^2 - 25682*y^2 + 36724*x*z + 3842*z^2
  (793/934 : -1133/934 : 1)  C1a (147057/105761 : 7771/105761 : 1)
** u= -189/149 ; tau(u)= 487/338 ; -192767*x^2 + 8681*y^2 + 272890*x*z - 192767*z^2
  (4549/10141 : -35958/10141 : 1)  C2b (69640994/97150461 : -13194599/97150461 : 1)
67
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。




[参考文献]

Last Update: 2026.02.23
H.Nakao

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