Integer Points on A^4+B^4+C^4=351122*D^4

[2026.02.20]A^4+B^4+C^4=351122*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

351122=2*419^2であるので、以下では、n=419とする。

■n=419のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

;> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=419;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが400以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように165個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(419,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (11/3 : -1/3 : 1)
** u= -1/25 ; tau(u)= 51/26 ; -1351*x^2 + 1249*y^2 + 2602*x*z - 1351*z^2
  (151/171 : -50/171 : 1)  C2b (-32297/1230 : -1643/1230 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (-126/43 : -11/43 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (-31075/12251 : 2025/12251 : 1)
** u= 4/45 ; tau(u)= 86/41 ; -3346*x^2 + 4034*y^2 + 7412*x*z - 3346*z^2
  (-2650/11177 : 12801/11177 : 1)  C1b (33397/1315 : 1537/1315 : 1)
** u= 5/9 ; tau(u)= 13/4 ; -7*x^2 + 137*y^2 + 194*x*z - 7*z^2
  (-445/2537 : -1392/2537 : 1)  C1b (-12869/1186 : 533/1186 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (-741/1514 : 77/1514 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
  (16243/11791 : 5662/11791 : 1)  C2b (77091/796955 : -37687/796955 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (106690/1807 : -8897/1807 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
  (1/7 : 8/7 : 1)  C2b (192809/13990 : 10571/13990 : 1)
** u= -7/45 ; tau(u)= 97/52 ; -5359*x^2 + 4001*y^2 + 9458*x*z - 5359*z^2
  (4051/74305 : -81888/74305 : 1)  C2b (-155165/44938 : -9793/44938 : 1)
** u= -7/73 ; tau(u)= 153/80 ; -12751*x^2 + 10609*y^2 + 23458*x*z - 12751*z^2
  (45/67 : 3512/6901 : 1)  C2b (237633/19582 : -1204103/2016946 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (9406179/751558 : 427489/751558 : 1)
** u= 7/185 ; tau(u)= 363/178 ; -63319*x^2 + 68401*y^2 + 131818*x*z - 63319*z^2
  (443265/818897 : 321134/818897 : 1)  C1b (4673675/644459 : -211029/644459 : 1)
** u= 8/13 ; tau(u)= 18/5 ; 14*x^2 + 274*y^2 + 388*x*z + 14*z^2
  (-8/217 : 1/31 : 1)  C1b (623/4582 : -191/4582 : 1)
** u= 8/45 ; tau(u)= 82/37 ; -2674*x^2 + 3986*y^2 + 6788*x*z - 2674*z^2
  (1091/227423 : -26448/32489 : 1)  C1b (851678/411095 : 35453/411095 : 1)
** u= -11/117 ; tau(u)= 245/128 ; -32647*x^2 + 27257*y^2 + 60146*x*z - 32647*z^2
  (527/257 : -336/257 : 1)  C2b (2285965/754318 : -101633/754318 : 1)
** u= 13/4 ; tau(u)= 5/9 ; 7*x^2 - 137*y^2 + 194*x*z + 7*z^2
  (5/361 : 96/361 : 1)  C1a (623/4582 : -191/4582 : 1)
** u= -13/181 ; tau(u)= 375/194 ; -75103*x^2 + 65353*y^2 + 140794*x*z - 75103*z^2
  (627/1435 : 134/205 : 1)  C2b (34556875/2154163 : -1696407/2154163 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (-8326/1557 : -1627/1557 : 1)
** u= 17/25 ; tau(u)= 33/8 ; 161*x^2 + 961*y^2 + 1378*x*z + 161*z^2
  (-3/7 : 20/31 : 1)  C1b (-87/73 : -137/2263 : 1)
** u= 18/5 ; tau(u)= 8/13 ; -14*x^2 - 274*y^2 + 388*x*z - 14*z^2
  (8/217 : -1/31 : 1)  C1a (-12869/1186 : 533/1186 : 1)
** u= 19/29 ; tau(u)= 39/10 ; 161*x^2 + 1321*y^2 + 1882*x*z + 161*z^2
  (-1097/2523 : -1738/2523 : 1)  C1b (-5025/1222 : 209/1222 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (-1574111/5142 : -96919/5142 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
  (239/369 : -244/369 : 1)  C2b (226370/259223 : 12195/259223 : 1)
** u= 19/101 ; tau(u)= 183/82 ; -13087*x^2 + 20041*y^2 + 33850*x*z - 13087*z^2
  (1881/233 : 8870/1631 : 1)  C1b (60926/177743 : -51573/1244201 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
  (-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1)  C1b (81824914/31044925 : 3395669/31044925 : 1)
** u= -19/181 ; tau(u)= 381/200 ; -79639*x^2 + 65161*y^2 + 145522*x*z - 79639*z^2
  (-129741/141361 : -293180/141361 : 1)  C2b (8625903/3986407 : -374621/3986407 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
  (125/192 : 193/192 : 1)  C2b (-1375246/25639 : -91843/25639 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (12713/7175 : 671/7175 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (175519/73415 : -7317/73415 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
  (-4371/15581 : -23578/15581 : 1)  C2b (-282252791/684977 : 15479739/684977 : 1)
** u= -21/149 ; tau(u)= 319/170 ; -57359*x^2 + 43961*y^2 + 102202*x*z - 57359*z^2
  (-14759/26981 : 46474/26981 : 1)  C2b (-19544521/615166 : 1047963/615166 : 1)
** u= -23/41 ; tau(u)= 105/64 ; -7663*x^2 + 2833*y^2 + 11554*x*z - 7663*z^2
  (9657/8327 : -10576/8327 : 1)  C2b (21467/36883 : 1937/36883 : 1)
** u= 24/137 ; tau(u)= 250/113 ; -24962*x^2 + 36962*y^2 + 63076*x*z - 24962*z^2
  (-5857/6022 : 10385/6022 : 1)  C1b (2675/12838 : -543/12838 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (12825/14794 : 2141/14794 : 1)
** u= -28/37 ; tau(u)= 102/65 ; -7666*x^2 + 1954*y^2 + 11188*x*z - 7666*z^2
  (993/2230 : 3271/2230 : 1)  C2b (-199625/466577 : -51301/466577 : 1)
** u= 28/125 ; tau(u)= 222/97 ; -18034*x^2 + 30466*y^2 + 50068*x*z - 18034*z^2
  (-6393/130342 : 107005/130342 : 1)  C1b (152195/23461 : -6439/23461 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (6099063/2118985 : -252889/2118985 : 1)
** u= 28/197 ; tau(u)= 366/169 ; -56338*x^2 + 76834*y^2 + 134740*x*z - 56338*z^2
  (1380316/3397353 : -1279265/3397353 : 1)  C1b (-95597/217706 : -12439/217706 : 1)
** u= -29/53 ; tau(u)= 135/82 ; -12607*x^2 + 4777*y^2 + 19066*x*z - 12607*z^2
  (-3377/4051 : 11314/4051 : 1)  C2b (-2571566/1926885 : -283531/1926885 : 1)
** u= 33/8 ; tau(u)= 17/25 ; -161*x^2 - 961*y^2 + 1378*x*z - 161*z^2
  (9/61 : 380/1891 : 1)  C1a (46/95 : -129/2945 : 1)
** u= 33/149 ; tau(u)= 265/116 ; -25823*x^2 + 43313*y^2 + 71314*x*z - 25823*z^2
  (60287/239769 : 112436/239769 : 1)  C1b (7150570/794627 : -305967/794627 : 1)
** u= 37/41 ; tau(u)= 45/4 ; 1337*x^2 + 1993*y^2 + 3394*x*z + 1337*z^2
  (-1579/835 : -324/835 : 1)  C1b (81141/4934 : -3751/4934 : 1)
** u= -37/109 ; tau(u)= 255/146 ; -41263*x^2 + 22393*y^2 + 66394*x*z - 41263*z^2
  (-129/1111 : 11566/7777 : 1)  C2b (32137/16185 : -10601/113295 : 1)
** u= 39/10 ; tau(u)= 19/29 ; -161*x^2 - 1321*y^2 + 1882*x*z - 161*z^2
  (3113/23499 : -854/3357 : 1)  C1a (261/11491 : 473/11491 : 1)
** u= 39/73 ; tau(u)= 107/34 ; -791*x^2 + 9137*y^2 + 12970*x*z - 791*z^2
  (1399/30183 : 4370/30183 : 1)  C1b (-62582/831005 : 6891/166201 : 1)
** u= 41/157 ; tau(u)= 273/116 ; -25231*x^2 + 47617*y^2 + 76210*x*z - 25231*z^2
  (3503453/1243719 : -591280/1243719 : 1)  C1b (33642/48091 : -2129/48091 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (-4171/910 : -123/182 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (12963/70133 : -2897/70133 : 1)
** u= -44/113 ; tau(u)= 270/157 ; -47362*x^2 + 23602*y^2 + 74836*x*z - 47362*z^2
  (10997/5944 : -10311/5944 : 1)  C2b (-361520947/23011507 : -23159597/23011507 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (8473022/1269609 : -448759/1269609 : 1)
** u= 44/153 ; tau(u)= 262/109 ; -21826*x^2 + 44882*y^2 + 70580*x*z - 21826*z^2
  (848/9509 : -5625/9509 : 1)  C1b (614199/48385 : 5207/9677 : 1)
** u= 44/169 ; tau(u)= 294/125 ; -29314*x^2 + 55186*y^2 + 88372*x*z - 29314*z^2
  (-3998/253 : 3185/253 : 1)  C1b (15618185/1645462 : 662359/1645462 : 1)
** u= 45/4 ; tau(u)= 37/41 ; -1337*x^2 - 1993*y^2 + 3394*x*z - 1337*z^2
  (749/433 : -224/433 : 1)  C1a (851678/411095 : 35453/411095 : 1)
** u= -47/113 ; tau(u)= 273/160 ; -48991*x^2 + 23329*y^2 + 76738*x*z - 48991*z^2
  (-30319/38615 : -94408/38615 : 1)  C2b (67198/41957 : 3241/41957 : 1)
** u= 48/73 ; tau(u)= 98/25 ; 1054*x^2 + 8354*y^2 + 11908*x*z + 1054*z^2
  (-1094/9879 : -1715/9879 : 1)  C1b (-5856223/676858 : 18513/52066 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (-1984838/179213 : 137643/179213 : 1)
** u= 49/53 ; tau(u)= 57/4 ; 2369*x^2 + 3217*y^2 + 5650*x*z + 2369*z^2
  (-3209/4701 : 1624/4701 : 1)  C1b (-1069541/348850 : 8937/69770 : 1)
** u= 51/26 ; tau(u)= -1/25 ; 1351*x^2 - 1249*y^2 + 2602*x*z + 1351*z^2
  (-959/1139 : -350/1139 : 1)  C1a (-119470/45523 : 5157/45523 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (-1487593/183994 : 65707/183994 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (6489813/285334 : 276557/285334 : 1)
** u= 53/61 ; tau(u)= 69/8 ; 2681*x^2 + 4633*y^2 + 7570*x*z + 2681*z^2
  (-7179/16087 : 3020/16087 : 1)  C1b (-19631/20558 : -1009/20558 : 1)
** u= -53/149 ; tau(u)= 351/202 ; -78799*x^2 + 41593*y^2 + 126010*x*z - 78799*z^2
  (24641/94489 : 104934/94489 : 1)  C2b (-4614366/1232213 : 328901/1232213 : 1)
** u= -55/49 ; tau(u)= 153/104 ; -18607*x^2 + 1777*y^2 + 26434*x*z - 18607*z^2
  (-1/181 : 588/181 : 1)  C2b (13818034/3145319 : 1574447/3145319 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
  (-91167/3659 : -147064/3659 : 1)  C2b (587335/147026 : -33637/147026 : 1)
** u= -55/157 ; tau(u)= 369/212 ; -86863*x^2 + 46273*y^2 + 139186*x*z - 86863*z^2
  (5959/6065 : -5196/6065 : 1)  C2b (36634631/1717255 : -2132153/1717255 : 1)
** u= -56/41 ; tau(u)= 138/97 ; -15682*x^2 + 226*y^2 + 22180*x*z - 15682*z^2
  (-1327/146 : 11945/146 : 1)  C2b (6519/7393 : 1843/7393 : 1)
** u= 57/4 ; tau(u)= 49/53 ; -2369*x^2 - 3217*y^2 + 5650*x*z - 2369*z^2
  (457/477 : -248/477 : 1)  C1a (24142/154139 : 6669/154139 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
  (-957/5627 : 6280/5627 : 1)  C1a (-1889583/74930 : -105623/74930 : 1)
** u= -57/137 ; tau(u)= 331/194 ; -72023*x^2 + 34289*y^2 + 112810*x*z - 72023*z^2
  (-382793/178043 : -773686/178043 : 1)  C2b (428196946/24153833 : 25889811/24153833 : 1)
** u= 57/193 ; tau(u)= 329/136 ; -33743*x^2 + 71249*y^2 + 111490*x*z - 33743*z^2
  (139247/443397 : -75356/443397 : 1)  C1b (2489851/1060658 : 103401/1060658 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (80285/31819 : 6657/31819 : 1)
** u= 61/65 ; tau(u)= 69/4 ; 3689*x^2 + 4729*y^2 + 8482*x*z + 3689*z^2
  (-9063/8731 : 4288/8731 : 1)  C1b (283245/103702 : 15793/103702 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b (130134/387001 : 16519/387001 : 1)
** u= -64/49 ; tau(u)= 162/113 ; -21442*x^2 + 706*y^2 + 30340*x*z - 21442*z^2
  (-19/86 : 553/86 : 1)  C2b (6516482/2498101 : 1147927/2498101 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (-1900190/248757 : 194777/248757 : 1)
** u= -64/121 ; tau(u)= 306/185 ; -64354*x^2 + 25186*y^2 + 97732*x*z - 64354*z^2
  (-2515/28307 : 338602/198149 : 1)  C2b (352906/443145 : 161509/3102015 : 1)
** u= -64/193 ; tau(u)= 450/257 ; -128002*x^2 + 70402*y^2 + 206596*x*z - 128002*z^2
  (521/469 : -60/67 : 1)  C2b (-842349/1180069 : -108049/1180069 : 1)
** u= -68/125 ; tau(u)= 318/193 ; -69874*x^2 + 26626*y^2 + 105748*x*z - 69874*z^2
  (-64/71 : 205/71 : 1)  C2b (1856525/6163182 : 353123/6163182 : 1)
** u= 68/181 ; tau(u)= 294/113 ; -20914*x^2 + 60898*y^2 + 91060*x*z - 20914*z^2
  (67687/836328 : 396403/836328 : 1)  C1b (4448599/151633 : -186549/151633 : 1)
** u= 69/4 ; tau(u)= 61/65 ; -3689*x^2 - 4729*y^2 + 8482*x*z - 3689*z^2
  (565/333 : -44/333 : 1)  C1a (-523019/6490 : 24329/6490 : 1)
** u= 69/8 ; tau(u)= 53/61 ; -2681*x^2 - 4633*y^2 + 7570*x*z - 2681*z^2
  (1197/2449 : -700/2449 : 1)  C1a (31866431/139742 : 1404937/139742 : 1)
** u= 71/169 ; tau(u)= 267/98 ; -14167*x^2 + 52081*y^2 + 76330*x*z - 14167*z^2
  (-58073/2031807 : 1138774/2031807 : 1)  C1b (-76516358/41906401 : 3923343/41906401 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (3417019082/154620433 : 143212657/154620433 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
  (894/5539 : -211183/127397 : 1)  C2b (69611/2405 : 122331/55315 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (-13823/13394 : -669/13394 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (6083765/242798 : 589347/242798 : 1)
** u= -80/101 ; tau(u)= 282/181 ; -59122*x^2 + 14002*y^2 + 85924*x*z - 59122*z^2
  (-1847/51171 : -107938/51171 : 1)  C2b (1561673/6976423 : 514271/6976423 : 1)
** u= 82/37 ; tau(u)= 8/45 ; 2674*x^2 - 3986*y^2 + 6788*x*z + 2674*z^2
  (-593/3074 : 1863/3074 : 1)  C1a (81141/4934 : -3751/4934 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
  (10511/53693 : 90160/53693 : 1)  C2b (-3475405/2647226 : 455385/2647226 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
  (-1068/5543 : -1529/5543 : 1)  C1b (-2926930/110749 : -120825/110749 : 1)
** u= 86/41 ; tau(u)= 4/45 ; 3346*x^2 - 4034*y^2 + 7412*x*z + 3346*z^2
  (-3944/6971 : -1641/6971 : 1)  C1a (5671817/268618 : 271493/268618 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (-523451621/10071870 : -66240421/10071870 : 1)
** u= 88/117 ; tau(u)= 146/29 ; 6062*x^2 + 19634*y^2 + 29060*x*z + 6062*z^2
  (-40897/67007 : -46404/67007 : 1)  C1b (-41043/40699 : 2161/40699 : 1)
** u= 88/137 ; tau(u)= 186/49 ; 2942*x^2 + 29794*y^2 + 42340*x*z + 2942*z^2
  (-2279/32337 : -980/32337 : 1)  C1b (-6619187/352434 : 271957/352434 : 1)
** u= -91/73 ; tau(u)= 237/164 ; -45511*x^2 + 2377*y^2 + 64450*x*z - 45511*z^2
  (107/201 : -640/201 : 1)  C2b (-2271482/1914921 : -695953/1914921 : 1)
** u= -91/109 ; tau(u)= 309/200 ; -71719*x^2 + 15481*y^2 + 103762*x*z - 71719*z^2
  (13/7 : 20/7 : 1)  C2b (-1399889/752634 : -178477/752634 : 1)
** u= -93/125 ; tau(u)= 343/218 ; -86399*x^2 + 22601*y^2 + 126298*x*z - 86399*z^2
  (-99833/10107 : -210070/10107 : 1)  C2b (992313847/366950 : -81012417/366950 : 1)
** u= -93/197 ; tau(u)= 487/290 ; -159551*x^2 + 68969*y^2 + 245818*x*z - 159551*z^2
  (649/66497 : -100382/66497 : 1)  C2b (20077970/3361021 : -1178997/3361021 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (4562119/265094 : -187663/265094 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (-2421334/405625 : 101331/405625 : 1)
** u= 96/149 ; tau(u)= 202/53 ; 3598*x^2 + 35186*y^2 + 50020*x*z + 3598*z^2
  (-27331/370237 : -2440/52891 : 1)  C1b (7862674/358457 : 325239/358457 : 1)
** u= 97/52 ; tau(u)= -7/45 ; 5359*x^2 - 4001*y^2 + 9458*x*z + 5359*z^2
  (-107/173 : -108/173 : 1)  C1a (361190/719199 : 51551/719199 : 1)
** u= 97/197 ; tau(u)= 297/100 ; -10591*x^2 + 68209*y^2 + 97618*x*z - 10591*z^2
  (93229/1125431 : 218760/1125431 : 1)  C1b (13904731/382115 : 573127/382115 : 1)
** u= 98/25 ; tau(u)= 48/73 ; -1054*x^2 - 8354*y^2 + 11908*x*z - 1054*z^2
  (8/3 : -5/3 : 1)  C1a (1522514/87455 : 62577/87455 : 1)
** u= -100/157 ; tau(u)= 414/257 ; -122098*x^2 + 39298*y^2 + 181396*x*z - 122098*z^2
  (98/5233 : -63675/36631 : 1)  C2b (-2772305/1495298 : 2045507/10467086 : 1)
** u= 100/197 ; tau(u)= 294/97 ; -8818*x^2 + 67618*y^2 + 96436*x*z - 8818*z^2
  (-5249/17926 : 13405/17926 : 1)  C1b (-277921962/253103665 : 16197989/253103665 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-949022/255205 : -39039/255205 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (18678626/1339229 : 1639429/1339229 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
  (-1024/471 : -1123/471 : 1)  C1a (-1774/4585 : -243/4585 : 1)
** u= 102/65 ; tau(u)= -28/37 ; 7666*x^2 - 1954*y^2 + 11188*x*z + 7666*z^2
  (-1466/4283 : 6667/4283 : 1)  C1a (8736909/14738629 : 1792063/14738629 : 1)
** u= -103/153 ; tau(u)= 409/256 ; -120463*x^2 + 36209*y^2 + 177890*x*z - 120463*z^2
  (-37363/288467 : -578304/288467 : 1)  C2b (32950390/6308821 : -2224405/6308821 : 1)
** u= 105/64 ; tau(u)= -23/41 ; 7663*x^2 - 2833*y^2 + 11554*x*z + 7663*z^2
  (2309/661 : 4672/661 : 1)  C1a (1026690/281273 : 85903/281273 : 1)
** u= 105/137 ; tau(u)= 169/32 ; 8977*x^2 + 26513*y^2 + 39586*x*z + 8977*z^2
  (-123991/510351 : 32968/510351 : 1)  C1b (-14083/3037 : 579/3037 : 1)
** u= 107/34 ; tau(u)= 39/73 ; 791*x^2 - 9137*y^2 + 12970*x*z + 791*z^2
  (4439/3261 : 4814/3261 : 1)  C1a (176986/250315 : -2595/50063 : 1)
** u= -113/185 ; tau(u)= 483/298 ; -164839*x^2 + 55681*y^2 + 246058*x*z - 164839*z^2
  (5117/8441 : 9878/8441 : 1)  C2b (115644850/7451141 : 8045429/7451141 : 1)
** u= 115/149 ; tau(u)= 183/34 ; 10913*x^2 + 31177*y^2 + 46714*x*z + 10913*z^2
  (-2051/4821 : -2282/4821 : 1)  C1b (-881823/164210 : -36299/164210 : 1)
** u= 116/117 ; tau(u)= 118 ; 13454*x^2 + 13922*y^2 + 27380*x*z + 13454*z^2
  (-4808/5599 : -555/5599 : 1)  C1b (-188498/102981 : 7969/102981 : 1)
** u= 116/121 ; tau(u)= 126/5 ; 13406*x^2 + 15826*y^2 + 29332*x*z + 13406*z^2
  (-2603/3656 : 759/3656 : 1)  C1b (-8135/35022 : 1511/35022 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
  (-15994/66679 : -15579/66679 : 1)  C1b (-1818478/26659 : 75937/26659 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-201283/217586 : 11069/217586 : 1)
** u= 118 ; tau(u)= 116/117 ; -13454*x^2 - 13922*y^2 + 27380*x*z - 13454*z^2
  (10487/10102 : 1857/10102 : 1)  C1a (1249286/318907 : -54613/318907 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (-95407/343529 : -14853/343529 : 1)
** u= -120/113 ; tau(u)= 346/233 ; -94178*x^2 + 11138*y^2 + 134116*x*z - 94178*z^2
  (28439/15195 : 59896/15195 : 1)  C2b (15643/239885 : 27471/239885 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (37589731/312962 : -1800021/312962 : 1)
** u= -124/169 ; tau(u)= 462/293 ; -156322*x^2 + 41746*y^2 + 228820*x*z - 156322*z^2
  (278/57807 : -111469/57807 : 1)  C2b (-877297/234489 : 85043/234489 : 1)
** u= 126/5 ; tau(u)= 116/121 ; -13406*x^2 - 15826*y^2 + 29332*x*z - 13406*z^2
  (393/256 : 11/256 : 1)  C1a (-46634/4315 : -2293/4315 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (36025/158082 : -6797/158082 : 1)
** u= 128/169 ; tau(u)= 210/41 ; 13022*x^2 + 40738*y^2 + 60484*x*z + 13022*z^2
  (-785/1087 : -832/1087 : 1)  C1b (-2702/2045 : 127/2045 : 1)
** u= 128/193 ; tau(u)= 258/65 ; 7934*x^2 + 58114*y^2 + 82948*x*z + 7934*z^2
  (-2283/23621 : -2048/165347 : 1)  C1b (2658521/159770 : -773811/1118390 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (-68764345/217151 : -3007899/217151 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (1350188738/20614067 : 60837753/20614067 : 1)
** u= 135/82 ; tau(u)= -29/53 ; 12607*x^2 - 4777*y^2 + 19066*x*z + 12607*z^2
  (3059/2201 : -8022/2201 : 1)  C1a (-36682/793953 : -53153/793953 : 1)
** u= 138/97 ; tau(u)= -56/41 ; 15682*x^2 - 226*y^2 + 22180*x*z + 15682*z^2
  (-144/121 : -863/121 : 1)  C1a (54647/13506 : -22211/13506 : 1)
** u= 140/193 ; tau(u)= 246/53 ; 13982*x^2 + 54898*y^2 + 80116*x*z + 13982*z^2
  (-7713/35228 : 8081/35228 : 1)  C1b (-958417/830665 : 48139/830665 : 1)
** u= 146/29 ; tau(u)= 88/117 ; -6062*x^2 - 19634*y^2 + 29060*x*z - 6062*z^2
  (5761/3263 : 3780/3263 : 1)  C1a (6850537/610454 : 283663/610454 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-725906/304091 : -30171/304091 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (1627669/1149382 : 97299/1149382 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (362875/234994 : -46575/234994 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (6075774/2776163 : -999317/2776163 : 1)
** u= 153/80 ; tau(u)= -7/73 ; 12751*x^2 - 10609*y^2 + 23458*x*z + 12751*z^2
  (-45/67 : -3512/6901 : 1)  C1a (4345/4002 : 38807/412206 : 1)
** u= 153/104 ; tau(u)= -55/49 ; 18607*x^2 - 1777*y^2 + 26434*x*z + 18607*z^2
  (-6089/8763 : 868/381 : 1)  C1a (-398034/118039 : -43423/118039 : 1)
** u= -155/137 ; tau(u)= 429/292 ; -146503*x^2 + 13513*y^2 + 208066*x*z - 146503*z^2
  (-18609/216985 : -759196/216985 : 1)  C2b (4563578/3086635 : -439591/3086635 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
  (2757/18968 : -1991/18968 : 1)  C1a (-1793174/533497 : -80379/533497 : 1)
** u= -160/153 ; tau(u)= 466/313 ; -170338*x^2 + 21218*y^2 + 242756*x*z - 170338*z^2
  (965/1109 : 232728/114227 : 1)  C2b (3530/2553 : -30283/262959 : 1)
** u= 162/113 ; tau(u)= -64/49 ; 21442*x^2 - 706*y^2 + 30340*x*z + 21442*z^2
  (667/1153 : -9324/1153 : 1)  C1a (-2188914/1296857 : 355241/1296857 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (-37214/1067741 : -48489/1067741 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a (-78111470/363901 : -3212861/363901 : 1)
** u= -168/121 ; tau(u)= 410/289 ; -138818*x^2 + 1058*y^2 + 196324*x*z - 138818*z^2
  (3/14 : -3179/322 : 1)  C2b (-11675/9818 : -215049/225814 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
  (-1042/895 : 551/895 : 1)  C1b (4762970/358069 : -222519/358069 : 1)
** u= 169/32 ; tau(u)= 105/137 ; -8977*x^2 - 26513*y^2 + 39586*x*z - 8977*z^2
  (174929/435449 : -197912/435449 : 1)  C1a (-1139813954/14520175 : -48254673/14520175 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (9090990/220217 : -432515/220217 : 1)
** u= 172/185 ; tau(u)= 198/13 ; 29246*x^2 + 38866*y^2 + 68788*x*z + 29246*z^2
  (-1133/1808 : -447/1808 : 1)  C1b (238901/859035 : 45251/859035 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
  (21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1)  C2b (46683455/131438 : 4445823/131438 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-4553185/389951 : -458127/389951 : 1)
** u= 183/34 ; tau(u)= 115/149 ; -10913*x^2 - 31177*y^2 + 46714*x*z - 10913*z^2
  (255/721 : -38/103 : 1)  C1a (352209110/9071989 : 14808177/9071989 : 1)
** u= 183/82 ; tau(u)= 19/101 ; 13087*x^2 - 20041*y^2 + 33850*x*z + 13087*z^2
  (-2843/7151 : -14570/50057 : 1)  C1a (-10183/13831 : -4287/96817 : 1)
** u= 184/185 ; tau(u)= 186 ; 33854*x^2 + 34594*y^2 + 68452*x*z + 33854*z^2
  (-2037/1787 : 916/12509 : 1)  C1b (-7724099/3556115 : -2285293/24892805 : 1)
** u= 184/197 ; tau(u)= 210/13 ; 33518*x^2 + 43762*y^2 + 77956*x*z + 33518*z^2
  (-68857/119615 : -9052/119615 : 1)  C1b (-37170042/794935 : -1698313/794935 : 1)
** u= 186 ; tau(u)= 184/185 ; -33854*x^2 - 34594*y^2 + 68452*x*z - 33854*z^2
  (482/501 : 487/3507 : 1)  C1a (489939/344251 : -148937/2409757 : 1)
** u= 186/49 ; tau(u)= 88/137 ; -2942*x^2 - 29794*y^2 + 42340*x*z - 2942*z^2
  (4/11 : 7/11 : 1)  C1a (3017414/72057 : 124087/72057 : 1)
** u= -187/169 ; tau(u)= 525/356 ; -218503*x^2 + 22153*y^2 + 310594*x*z - 218503*z^2
  (36403/54837 : -121420/54837 : 1)  C2b (2770846/12947925 : 1445269/12947925 : 1)
** u= 198/13 ; tau(u)= 172/185 ; -29246*x^2 - 38866*y^2 + 68788*x*z - 29246*z^2
  (900/521 : -127/521 : 1)  C1a (-704149/208035 : 37439/208035 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
  (61541/289924 : 38411/289924 : 1)  C1a (338246/187643 : 14821/187643 : 1)
165
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-1のとき

450612197607551^4+720563011119447^4+1344950564084470^4=351122*56518961154947^4
29998081807042399462638140229985101742276875304633521796611263261961758675955602260264122111859134213520610679020001852693220121819691^4+37704211238806342922369940611696804220711597863390009161462230146967410197868816388923506834516110184747335659599161538562703165196397^4+166015021407145481168659229281375418680206819618888615095248951063223744751341605956847643084730727787787092155604646759624052487917730^4=351122*6826321438981094635045324194391706684891856709453261506325244558101194037530994798561318087072177997054597063424715815976540151754409^4
719321298258633623588397667591900990833951425187818469888273851885143112014286160332349076350563397265688224150308497597100630696274834728074287444491808439854615213887963227826158785978398961294812416162324944975685938432843840359664452486947000052703309193122801011217478894634444765261975511828769720130075654185899943236982292444202167978852421647968703461110567034019^4+1291626358405144779846874535762244755823680842422495428454478824445572946208687054914106503742466824339045525843649492404347670876583727631546873303010056777899868451901569663354136609735781238101047700760343291505219914530161068267207735204682344172084838133283331258761504972635654833934405871146365787324157094199819619049983668962600533254668593067220183130082106822027^4+2451348398138737050793429616308957007609784681720902184195119312141173476061808882165055504831134281218132114660277740760467504854246545837668539677128918515627095521950032411257993202631992278716950084471602485991385097797296453550847590784556760438269362921101037286981831537631893937340862052883677368308461322911219628238164221861237227996450498622209112272210631584050^4=351122*102765442501917971731003270476410529851402601628276193827073910460627448971503489812817794177832753216328957869297143677275799123746984935750551992977207749830204928803091067269537284973229674344156426769866849195453187493615008392858391134719996341289475369669373378625893890378965354736120714475563104815177768915618785702146268331565430236514548893246279510833054853681^4
...

u=8/45のとき

2953752370^4+12090601559^4+12834970287^4=351122*609898949^4
10801339050280786733393815913701581161823^4+18683449438289794508363380165306572637670^4+43391597208874173787205786325542475098111^4=351122*1799337389129749628468747654145921822721^4
256390014754013785194150940625758731447268830457^4+3323510749086743598611125414640730341940664286199^4+4388119377805880706475031171517420159847235221690^4=351122*193553483900059782089424242320947870016966566673^4
112027310326422535434672239058563063993691330923680275758451190868011959134464488578290465^4+143836727516683103719130151390749529182901557780494560670442720118224372218537420077491679^4+338427429938028271561038634842973960406883189238165192725837987384035979410780610810979258^4=351122*14055373550622125457190215523215909248112512017510762858209020905498770632172263809364177^4
951588019284584299354668307314052377241586676509152554864793911177840547471065064917230688160556629749816110793^4+2861856737625640711526839083080050693287077827928261231496443251867083017704539082127108878877014997791599567745^4+6153193297429618575421134870823423529200901273978266701253129362888756630955452342134451606433634623161053784514^4=351122*255717621339769688610050069781560736148835811832520300594769966425306682825969560469889580424855907298789586541^4
4870494451065761170661471469521886460176749952172317449249195046218080385831408846152635182183341094082769116515326822468289393700885335^4+6278676215591660493206307773218746308402367959808947776218178506044405099682024551958449408004548368895116880328560235864402538342626658^4+9717852098842594386403003322549966248433148043900786971297080669375000091503178852709908004592654166148640765346852208632261365336913279^4=351122*421045791483115965568536522855600565960365324696619300537821261598619115169203009297866603708529096394501120267395908488673585303502877^4
19151566384006587363185071109104116592072416077634212477038956162532211640705784083903280736475490258114594859874304239930508145141859124089^4+23545357258351290878115417646133030894690049812651874804311211723082359373074772031774202282127644460538270075278147385703798977289440246990^4+59642253744926793177448675792574997800529804212102658499714867275697437830111325434860610833688226868016549979318897939229029734943111880127^4=351122*2471247666657621667738487349651049300372928760527052901748211975305694138794041352783360985522552799626427939855494550770644973383506384997^4
98566288499140991606206977154964065841449816493901790075948531925631693871610108446377847516762811397410052445141704405725247177357317397263216749060243959^4+542354751358281242401126461839221809753251888455964215060664653134907729404207846556933893018074489792126822814110971821076502176955771579471656432808052337^4+1129084748268164220160421667420428104448122773020285242775573377661520877676767680471444489809823046041200815382461356696906512620170224428030244693441253490^4=351122*46989380765299967555133862327392388396305989597033228090939930044240257033172167746311610545266182595145720415617254953513914506262853542616240148636281093^4
2345271790410347305505289334955024356905726320937899709933700217838495253553496189825782832106692542097368035042062851006357035417722235222131769045424235003425740777806558408612548581991915386918743095^4+38791666398275268704258408003814821100975551657878385725001009593165810655666112158939441943019081503091681551575546631683918917174036578532166189834005237714725761269285578030851965852201107741023377977^4+44420310057761861233739487957409583341558303454975237422796184256973980485623347139905397751698178001392135465800198690524502437829287371597054702662397308057129296891578015511671768114523276471324831546^4=351122*2046407170886082470500445614210008894541995533894521439928008221620075891851083281499404961634510226013145443073013896016363013785524359053262469387514146686209372498917811752075770681668406010940853649^4
401294039120155641372007874219094639943640427008742180825278786736565661899857753358703891928135690879949196895798565618696390242754892576296313666569947104271105797260329773564067978380303791197573342720844809655611379753499867509097883999783231^4+62936297344348720478850446548766175086042136330875123003111672492754267907150170393826157135438836827094779313355127803588307271405982384830290716026122695338777759924245427799964095958144987684610049599253181156682162051892847719723672437579370678^4+129080825094430338284175838991443259493018046826242628208615808495295808389537902794359010534398538939877631854153192775475549720157271624970372048010539273596367540595236667462745672744703988044250045015087237148600664149162882797026040488667948655^4=351122*5376084178270172632876277328876099309181987608464244431238087800312952802128392756704951944226114488906038211950721027729661039779057951850301204006879853882497165397178814631771218161002541170216983528502217320258362703264907159062629196653244473^4
...

u=--29/53のとき

91330318771^4+117380751875^4+124852500366^4=351122*6150341941^4
184077827666251^4+233103722568195^4+248127732813734^4=351122*12243964044481^4
30051096152154998776397880963068751021127705^4+87278723677944077684103265331668930110126561^4+109629562093000822129997017957570502201275714^4=351122*4905292144382357042511256062091300194528571^4
2237403187453541313050828709782520563619270256158764785^4+6234480383862245194447175427589199939509508133943428209^4+7753476898299403538512808815928191339961592183606368874^4=351122*348003432024317026173528754973338615421067372135876319^4
31879187884519960348120124994076754416412215545521755373525227503489275315^4+41591134859088921811847537532142980198582505887090478918915770861002500891^4+44219318339301110235380859303010795712866053057375538263757769227746075174^4=351122*2174363702993288337777282266372953646198646188626097856361041673532655169^4
783056487642146089070179934032114730192881484527433070538579294270087832856643199985^4+977189021052664594029665185190369274518380086259289756876449913683551699200149420433^4+1041281026177226185713429201740194749260215005765594511065093040678178425375483955978^4=351122*51466123373988385338226955148013353011268599269384743169694078676798167584479445327^4
849795029765942072085240613520569035771748293825362388709794480801441714256611266324784156567241947^4+2579073553659856894589606987615747479995669134078617469634747131629814450615296837837041181414910795^4+3273023901932657170235463764088432241693911469912070656639216340055413451810262631385413601202958782^4=351122*145997078768282702513424868249709003728151677513052681612404042390071155169358731143468891307389053^4
323974052784310992465833787593986338932963651509446454070980518228081995806819961472865556318918594949398002046311^4+605907742405583963786795559770367835056976338160907237791852448801296122380554001397768814363731703001009118255865^4+1424550743309988128397159002473053775957112014313164151543478681135670955355007944516583836533951225896734398771034^4=351122*59032439514554050556083333177006671302588702611051520799606089677661472974489633335837385186655159066247174084039^4
85327163836591008407871583811705465265555389005206919612386048271292300628933937643570047349615500755735798931022108004110056683399^4+174716925513187946760309421132222949814599310344034742573310540652646669154550353497474437558631482440124993758104034998083722898385^4+399095497461657862517494239714431618045749150603287586178798949770773645419066544762195718925414360654299974325774434355970877226194^4=351122*16551884382826159893294310461256333168492072904750879650715251230184097490530311377189631036579714323743134974298185410373455452051^4
116940262718319086959461575899553502855728799329115243062061401327859356489552812372248909559130741619671267750076487055764458780881^4+313343406175362933451248190982649024563351040937088691457075135792784955712524805466893052075349041192822618684247888574605489817225^4+385953581711890086802611474955460817632458236673355408280479588949040959429088261430948760651129749538832074290969971971609892989474^4=351122*17377132652466576865465830527967421508017893108335617016546712819869480863505291453295760721425330297882139856639027024720023314699^4
862414107131828131335931105082613814409766937950801350143714341995896799013213994157260714191941756774985483129710017218037407375659873332098941275224056281092095^4+1477303912538604190500170443196868107195747846199229986500642573120410044950424709145372105858443113679309297616571898906605020298272961269540350292183905668669161^4+3578756187569468113777213744091616369407698859082941827359095259348847962825143571573753418888740270720309058480254925369534225461107897504736395253034741306300914^4=351122*148193986192035927029504242245005032661847589784660659465850790548283747030998014522467381209335010663645245730953895340193996311251944919040181091645281732806979^4
7828398538920545465679356465323702740920262426990985536870527199250531764283783765847532133209558772632927979438453424160670920371295731135896844731383859253604703370618330599333976661476256851008902155^4+10369580993992699834270066247822519111801580586988016874124445276423537824761727366813259416938621692031091457932705675639465672414843116894412628591016781870728748385579856094911445648388097825021908171^4+11023492632411461935023676160925306299317104922843034339889192019931090204358863206826149824715464010122720839092648912932273815224458367825685183355922855477071701573888315976770593902250886495410128046^4=351122*541029798479280416837673912714237364535919508195593038356536635779087685523615268988653399091899397200059524651967428313527614400720388783829750598055646993882783885658559719030766729974355669197315269^4
47243692497573252713585244588598311985725255762206642945053481031688718605355671741632768229379241742158685549388961263342141314315631274051064147938754198567589844509052109391423034536201232971476902996827882207965^4+106268186372345578087646998994121641327448194245389783070244019960442544330161379639504990593829752634144344400652765617949331655030027697564611344591842431990189721506336245202997236253701603985033255032003932772307^4+236075130745004309012502821860250350338782494205495499642909542236537329833337789637952376559027575339943045323647847224443104627737581466268431954939584033447342007824196336284141986159437426481668725218962137093582^4=351122*9799902265465599639590503643402003155148077636828910727082598103340747383612561833698538757857326159026512977848840118298217462631859877990522874339862782488078187800617118814314117564602709668979004789870059405973^4
...

u=44/85のとき

27632886667327965935^4+46263393842922882758^4+46373721334465922079^4=351122*2297823026763254473^4
259860224714133590368973212655479257455679340236844135108047174558983023306277990401134905546632286315525217261238006300721430799862769249213212049596965827310038048056437293241150^4+1026860615445512894588832941506511834241759847368197864548495275290063451544391506859277542823811016587312741806562991733521900976108854446354027373913443050866908047812339202822167^4+1815048278582161173177373241343376191730206569312047676561582263706318867373019118095711979434292633318038666361703003454822772481439874869155123936212554674831890035821453582952639^4=351122*76410727131074806434182589849062770595109237940170814102821576911866598179884395347473923743511351339927452812529354944936836528785406048791084347626645364846949801612537102196381^4
...

[2026.02.21追記] u=44/85のときの整点を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.02.21

H.Nakao