Integer Points on A^4+B^4+C^4=33784*D^4

[2026.02.15]A^4+B^4+C^4=33784*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

33784=2*411^2であるので、以下では、n=411とする。

■n=411のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないつことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=411;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように182個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(411,1,200);
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (26/35 : -11/245 : 1)
** u= -3/61 ; tau(u)= 125/64 ; -8183*x^2 + 7433*y^2 + 15634*x*z - 8183*z^2
  (253/227 : 80/227 : 1)  C2b (373886/454009 : 20747/454009 : 1)
** u= 3/101 ; tau(u)= 199/98 ; -19199*x^2 + 20393*y^2 + 39610*x*z - 19199*z^2
  (7797/10837 : 1918/10837 : 1)  C1b (-2139274/883 : -104011/883 : 1)
** u= -3/145 ; tau(u)= 293/148 ; -43799*x^2 + 42041*y^2 + 85858*x*z - 43799*z^2
  (-4785/4033 : 8956/4033 : 1)  C2b (369263305/84322622 : -16658639/84322622 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (1031/202 : 59/202 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (-1864150/6835187 : -418275/6835187 : 1)
** u= 5/9 ; tau(u)= 13/4 ; -7*x^2 + 137*y^2 + 194*x*z - 7*z^2
  (-445/2537 : -1392/2537 : 1)  C1b (5/61 : -347/8357 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (-1063/754 : 49/754 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (-9635/358 : -11619/6086 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (27326/43115 : -1863/43115 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (-269/125 : 79/875 : 1)
** u= -8/9 ; tau(u)= 26/17 ; -514*x^2 + 98*y^2 + 740*x*z - 514*z^2
  (-1/2 : -45/14 : 1)  C2b (3311/22822 : -13861/159754 : 1)
** u= 8/13 ; tau(u)= 18/5 ; 14*x^2 + 274*y^2 + 388*x*z + 14*z^2
  (-8/217 : 1/31 : 1)  C1b (-7/2 : 41/274 : 1)
** u= -8/45 ; tau(u)= 98/53 ; -5554*x^2 + 3986*y^2 + 9668*x*z - 5554*z^2
  (172/241 : -147/241 : 1)  C2b (167302/83735 : 7469/83735 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (-269/125 : 79/875 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (26/35 : -11/245 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (-1909/3653 : 193/3653 : 1)
** u= -12/13 ; tau(u)= 38/25 ; -1106*x^2 + 194*y^2 + 1588*x*z - 1106*z^2
  (-32/11 : -97/11 : 1)  C2b (2202190/924377 : 169013/924377 : 1)
** u= -12/29 ; tau(u)= 70/41 ; -3218*x^2 + 1538*y^2 + 5044*x*z - 3218*z^2
  (18/49 : -53/49 : 1)  C2b (3929/3766 : -207/3766 : 1)
** u= -12/41 ; tau(u)= 94/53 ; -5474*x^2 + 3218*y^2 + 8980*x*z - 5474*z^2
  (276/1717 : -115/101 : 1)  C2b (19709/8062 : -939/8062 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (19537/4310 : 22497/118094 : 1)
** u= -12/49 ; tau(u)= 110/61 ; -7298*x^2 + 4658*y^2 + 12244*x*z - 7298*z^2
  (265/1686 : 1841/1686 : 1)  C2b (551/250 : 3481/34250 : 1)
** u= 12/65 ; tau(u)= 118/53 ; -5474*x^2 + 8306*y^2 + 14068*x*z - 5474*z^2
  (214/557 : 181/557 : 1)  C1b (-63470/151271 : 8417/151271 : 1)
** u= -12/181 ; tau(u)= 374/193 ; -74354*x^2 + 65378*y^2 + 140020*x*z - 74354*z^2
  (25971/20068 : -10435/20068 : 1)  C2b (8694253/4221086 : -376589/4221086 : 1)
** u= 12/197 ; tau(u)= 382/185 ; -68306*x^2 + 77474*y^2 + 146068*x*z - 68306*z^2
  (3907/6272 : 199/896 : 1)  C1b (238901/14134 : 11141/14134 : 1)
** u= 13/4 ; tau(u)= 5/9 ; 7*x^2 - 137*y^2 + 194*x*z + 7*z^2
  (5/361 : 96/361 : 1)  C1a (-7/2 : 41/274 : 1)
** u= -15/17 ; tau(u)= 49/32 ; -1823*x^2 + 353*y^2 + 2626*x*z - 1823*z^2
  (-425/3057 : -7672/3057 : 1)  C2b (13394/7615 : 931/7615 : 1)
** u= 15/121 ; tau(u)= 227/106 ; -22247*x^2 + 29057*y^2 + 51754*x*z - 22247*z^2
  (-14123/301929 : -1949266/2113503 : 1)  C1b (-168965/19307 : 58039/135149 : 1)
** u= 16/125 ; tau(u)= 234/109 ; -23506*x^2 + 30994*y^2 + 55012*x*z - 23506*z^2
  (143/10508 : 9005/10508 : 1)  C1b (601526/765071 : -34583/765071 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
  (-18059/2029 : 24066/2029 : 1)  C2b (-14999/9578 : -1219/9578 : 1)
** u= 18/5 ; tau(u)= 8/13 ; -14*x^2 - 274*y^2 + 388*x*z - 14*z^2
  (8/217 : -1/31 : 1)  C1a (5/61 : -347/8357 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
  (-929/1733 : 3156/1733 : 1)  C2b (197729/369494 : 16697/369494 : 1)
** u= 20/109 ; tau(u)= 198/89 ; -15442*x^2 + 23362*y^2 + 39604*x*z - 15442*z^2
  (-899/770 : -207/110 : 1)  C1b (-4644566/3149455 : 297439/3149455 : 1)
** u= -20/153 ; tau(u)= 326/173 ; -59458*x^2 + 46418*y^2 + 106676*x*z - 59458*z^2
  (-29/4504 : 5127/4504 : 1)  C2b (181315/1344146 : 66209/1344146 : 1)
** u= 20/193 ; tau(u)= 366/173 ; -59458*x^2 + 74098*y^2 + 134356*x*z - 59458*z^2
  (7598/20771 : 10313/20771 : 1)  C1b (178018/556063 : 23637/556063 : 1)
** u= 21/25 ; tau(u)= 29/4 ; 409*x^2 + 809*y^2 + 1282*x*z + 409*z^2
  (-581/1329 : 400/1329 : 1)  C1b (3046/15101 : -717/15101 : 1)
** u= -21/37 ; tau(u)= 95/58 ; -6287*x^2 + 2297*y^2 + 9466*x*z - 6287*z^2
  (-4795/11157 : 24982/11157 : 1)  C2b (928661/415210 : -51187/415210 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (-17854/5573 : -961/5573 : 1)
** u= 23/81 ; tau(u)= 139/58 ; -6199*x^2 + 12593*y^2 + 19850*x*z - 6199*z^2
  (277/1537 : 5094/10759 : 1)  C1b (131654/94687 : -41707/662809 : 1)
** u= -24/89 ; tau(u)= 202/113 ; -24962*x^2 + 15266*y^2 + 41380*x*z - 24962*z^2
  (8441/47349 : 51952/47349 : 1)  C2b (-854738/865391 : 88439/865391 : 1)
** u= 24/109 ; tau(u)= 194/85 ; -13874*x^2 + 23186*y^2 + 38212*x*z - 13874*z^2
  (-53175/32953 : -72316/32953 : 1)  C1b (2319418/625565 : 97253/625565 : 1)
** u= 24/145 ; tau(u)= 266/121 ; -28706*x^2 + 41474*y^2 + 71332*x*z - 28706*z^2
  (-3581/1007771 : 842116/1007771 : 1)  C1b (49462/381095 : 16651/381095 : 1)
** u= 25/89 ; tau(u)= 153/64 ; -7567*x^2 + 15217*y^2 + 24034*x*z - 7567*z^2
  (829/6323 : -3456/6323 : 1)  C1b (41282/104495 : -4363/104495 : 1)
** u= 26/17 ; tau(u)= -8/9 ; 514*x^2 - 98*y^2 + 740*x*z + 514*z^2
  (-257/113 : -3084/791 : 1)  C1a (-1/2 : -1/14 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (141230/47141 : -891/2773 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-1320094/907055 : 72783/907055 : 1)
** u= -28/117 ; tau(u)= 262/145 ; -41266*x^2 + 26594*y^2 + 69428*x*z - 41266*z^2
  (-187171/12020 : -245883/12020 : 1)  C2b (4928578/2993615 : 13141/176095 : 1)
** u= 28/173 ; tau(u)= 318/145 ; -41266*x^2 + 59074*y^2 + 101908*x*z - 41266*z^2
  (42387/95936 : 25871/95936 : 1)  C1b (-4140250/418673 : 198213/418673 : 1)
** u= 29/4 ; tau(u)= 21/25 ; -409*x^2 - 809*y^2 + 1282*x*z - 409*z^2
  (89/237 : 32/237 : 1)  C1a (-311369/34270 : -14223/34270 : 1)
** u= -29/45 ; tau(u)= 119/74 ; -10111*x^2 + 3209*y^2 + 15002*x*z - 10111*z^2
  (431/6563 : 11094/6563 : 1)  C2b (1742962/1569617 : 101569/1569617 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-83791/14257 : 3787/14257 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (-606599/62785 : -6875/12557 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
  (20317/15223 : 18548/15223 : 1)  C2b (208439/829778 : -45477/829778 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-214/541 : 507/9197 : 1)
** u= 33/37 ; tau(u)= 41/4 ; 1057*x^2 + 1649*y^2 + 2770*x*z + 1057*z^2
  (-747/763 : -68/109 : 1)  C1b (348967/152474 : 19477/152474 : 1)
** u= -33/89 ; tau(u)= 211/122 ; -28679*x^2 + 14753*y^2 + 45610*x*z - 28679*z^2
  (59971/478031 : -602146/478031 : 1)  C2b (312869/211453 : -14947/211453 : 1)
** u= 38/25 ; tau(u)= -12/13 ; 1106*x^2 - 194*y^2 + 1588*x*z + 1106*z^2
  (-3/2 : 5/2 : 1)  C1a (-5053/4427 : 373/4427 : 1)
** u= -39/97 ; tau(u)= 233/136 ; -35471*x^2 + 17297*y^2 + 55810*x*z - 35471*z^2
  (-411/1391 : 17372/9737 : 1)  C2b (288247/143810 : 19823/201334 : 1)
** u= 41/4 ; tau(u)= 33/37 ; -1057*x^2 - 1649*y^2 + 2770*x*z - 1057*z^2
  (149/213 : -100/213 : 1)  C1a (-74746318/15792641 : -3710537/15792641 : 1)
** u= 43/117 ; tau(u)= 191/74 ; -9103*x^2 + 25529*y^2 + 38330*x*z - 9103*z^2
  (-4883/43237 : 220482/302659 : 1)  C1b (-21221/140438 : 43957/983066 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (-684001/1565057 : 119947/1565057 : 1)
** u= -47/117 ; tau(u)= 281/164 ; -51583*x^2 + 25169*y^2 + 81170*x*z - 51583*z^2
  (6347/32969 : 40440/32969 : 1)  C2b (14955026/20244247 : -987769/20244247 : 1)
** u= 47/145 ; tau(u)= 243/98 ; -16999*x^2 + 39841*y^2 + 61258*x*z - 16999*z^2
  (-62651/854813 : 629118/854813 : 1)  C1b (-6616537/220943 : -2651/2027 : 1)
** u= 49/32 ; tau(u)= -15/17 ; 1823*x^2 - 353*y^2 + 2626*x*z + 1823*z^2
  (-3039/2953 : -5096/2953 : 1)  C1a (-7615/13394 : -931/13394 : 1)
** u= -49/153 ; tau(u)= 355/202 ; -79207*x^2 + 44417*y^2 + 128426*x*z - 79207*z^2
  (-605/67 : -882/67 : 1)  C2b (1555147/2373275 : 110929/2373275 : 1)
** u= -49/169 ; tau(u)= 387/218 ; -92647*x^2 + 54721*y^2 + 152170*x*z - 92647*z^2
  (5781/7861 : -5902/7861 : 1)  C2b (-11538253/53381606 : 3553571/53381606 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (-1548361/271810 : 720189/1902670 : 1)
** u= 51/197 ; tau(u)= 343/146 ; -40031*x^2 + 75017*y^2 + 120250*x*z - 40031*z^2
  (-43483/2304469 : 1730750/2304469 : 1)  C1b (2623726/2101667 : 121977/2101667 : 1)
** u= -52/49 ; tau(u)= 150/101 ; -17698*x^2 + 2098*y^2 + 25204*x*z - 17698*z^2
  (-3377/124912 : 369845/124912 : 1)  C2b (-4501/19970 : 2823/19970 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (-275503/53591 : -84543/375137 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (450965/1441874 : 71625/1441874 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (60223/24385 : 2981/24385 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (1173494/87985 : -9735/17597 : 1)
** u= -59/45 ; tau(u)= 149/104 ; -18151*x^2 + 569*y^2 + 25682*x*z - 18151*z^2
  (-17287/73979 : 491772/73979 : 1)  C2b (137541473/21204385 : 28932299/21204385 : 1)
** u= 60/61 ; tau(u)= 62 ; 3598*x^2 + 3842*y^2 + 7444*x*z + 3598*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1b (-8734/6751 : 391/6751 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (8069/33910 : 3111/33910 : 1)
** u= -61/117 ; tau(u)= 295/178 ; -59647*x^2 + 23657*y^2 + 90746*x*z - 59647*z^2
  (163435/1673839 : -2466186/1673839 : 1)  C2b (-6096166/615601 : 445213/615601 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (912242/1052147 : 54779/1052147 : 1)
** u= 62 ; tau(u)= 60/61 ; -3598*x^2 - 3842*y^2 + 7444*x*z - 3598*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1a (-13630/6809 : -871/6809 : 1)
** u= 67/173 ; tau(u)= 279/106 ; -17983*x^2 + 55369*y^2 + 82330*x*z - 17983*z^2
  (-3203/19581 : -14870/19581 : 1)  C1b (-6533122/1667915 : 60283/333583 : 1)
** u= 69/73 ; tau(u)= 77/4 ; 4729*x^2 + 5897*y^2 + 10690*x*z + 4729*z^2
  (-7113/7681 : -3340/7681 : 1)  C1b (22602967/6525071 : 1228153/6525071 : 1)
** u= 69/85 ; tau(u)= 101/16 ; 4249*x^2 + 9689*y^2 + 14962*x*z + 4249*z^2
  (-1847/2559 : 1712/2559 : 1)  C1b (5090681/632185 : 229933/632185 : 1)
** u= -69/157 ; tau(u)= 383/226 ; -97391*x^2 + 44537*y^2 + 151450*x*z - 97391*z^2
  (358093/1558749 : -1922350/1558749 : 1)  C2b (2273006/1765675 : -22731/353135 : 1)
** u= 69/169 ; tau(u)= 269/100 ; -15239*x^2 + 52361*y^2 + 77122*x*z - 15239*z^2
  (-5745/77429 : -49088/77429 : 1)  C1b (1085770/403223 : 45757/403223 : 1)
** u= 70/41 ; tau(u)= -12/29 ; 3218*x^2 - 1538*y^2 + 5044*x*z + 3218*z^2
  (21/212 : -331/212 : 1)  C1a (-104174/66385 : -5067/66385 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (-38251/1915 : 1713/1915 : 1)
** u= 75/181 ; tau(u)= 287/106 ; -16847*x^2 + 59897*y^2 + 87994*x*z - 16847*z^2
  (-385293/7342267 : -4400050/7342267 : 1)  C1b (291550/251231 : 14649/251231 : 1)
** u= -75/197 ; tau(u)= 469/272 ; -142343*x^2 + 71993*y^2 + 225586*x*z - 142343*z^2
  (-22649/4481 : 37040/4481 : 1)  C2b (24197095/20152034 : 1197579/20152034 : 1)
** u= 77/4 ; tau(u)= 69/73 ; -4729*x^2 - 5897*y^2 + 10690*x*z - 4729*z^2
  (1143/707 : -128/707 : 1)  C1a (247877/63419 : 10663/63419 : 1)
** u= 77/117 ; tau(u)= 157/40 ; 2729*x^2 + 21449*y^2 + 30578*x*z + 2729*z^2
  (-1841/14005 : 3372/14005 : 1)  C1b (-1754/6425 : 271/6425 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (42178/29381 : 3303/29381 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-14899/20194 : -1923/20194 : 1)
** u= -79/153 ; tau(u)= 385/232 ; -101407*x^2 + 40577*y^2 + 154466*x*z - 101407*z^2
  (-775/18251 : 29796/18251 : 1)  C2b (61360954/62388515 : -3490633/62388515 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (-49682/32575 : 2151/32575 : 1)
** u= 84/85 ; tau(u)= 86 ; 7054*x^2 + 7394*y^2 + 14452*x*z + 7054*z^2
  (-1842/2107 : -337/2107 : 1)  C1b (-155342/176303 : 8229/176303 : 1)
** u= 84/101 ; tau(u)= 118/17 ; 6478*x^2 + 13346*y^2 + 20980*x*z + 6478*z^2
  (-1641/4744 : 83/4744 : 1)  C1b (1457378/1203259 : -94349/1203259 : 1)
** u= 84/173 ; tau(u)= 262/89 ; -8786*x^2 + 52802*y^2 + 75700*x*z - 8786*z^2
  (-872/503 : -893/503 : 1)  C1b (8469425/1866142 : 353245/1866142 : 1)
** u= -84/185 ; tau(u)= 454/269 ; -137666*x^2 + 61394*y^2 + 213172*x*z - 137666*z^2
  (-1148/3981 : 7373/3981 : 1)  C2b (18920522/4648975 : 1059981/4648975 : 1)
** u= -84/193 ; tau(u)= 470/277 ; -146402*x^2 + 67442*y^2 + 227956*x*z - 146402*z^2
  (183/1208 : -1579/1208 : 1)  C2b (1111246135/539120306 : -55755007/539120306 : 1)
** u= 86 ; tau(u)= 84/85 ; -7054*x^2 - 7394*y^2 + 14452*x*z - 7054*z^2
  (4070/5073 : 29/5073 : 1)  C1a (4483033/301930 : -211809/301930 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (710/83 : -4515/11371 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (510194/294175 : 21783/294175 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (973013/460762 : -91661/460762 : 1)
** u= -88/109 ; tau(u)= 306/197 ; -69874*x^2 + 16018*y^2 + 101380*x*z - 69874*z^2
  (-244819/72500449 : -21685032/10357207 : 1)  C2b (641924222/106630799 : 50337169/106630799 : 1)
** u= 88/117 ; tau(u)= 146/29 ; 6062*x^2 + 19634*y^2 + 29060*x*z + 6062*z^2
  (-40897/67007 : -46404/67007 : 1)  C1b (-89738/428411 : -17779/428411 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (26239/13295 : 1133/13295 : 1)
** u= -91/153 ; tau(u)= 397/244 ; -110791*x^2 + 38537*y^2 + 165890*x*z - 110791*z^2
  (-409/521 : 1476/521 : 1)  C2b (5077585/2797793 : -276835/2797793 : 1)
** u= 93/97 ; tau(u)= 101/4 ; 8617*x^2 + 10169*y^2 + 18850*x*z + 8617*z^2
  (-3733/4237 : -1516/4237 : 1)  C1b (192725/378262 : -23595/378262 : 1)
** u= 94/53 ; tau(u)= -12/41 ; 5474*x^2 - 3218*y^2 + 8980*x*z + 5474*z^2
  (-2259/946 : 2059/946 : 1)  C1a (-8062/19709 : 939/19709 : 1)
** u= 95/58 ; tau(u)= -21/37 ; 6287*x^2 - 2297*y^2 + 9466*x*z + 6287*z^2
  (-5755/6531 : -7246/6531 : 1)  C1a (-6956863/1705070 : 422161/1705070 : 1)
** u= 96/145 ; tau(u)= 194/49 ; 4414*x^2 + 32834*y^2 + 46852*x*z + 4414*z^2
  (-5119/4209 : 4984/4209 : 1)  C1b (-324467/424610 : -21229/424610 : 1)
** u= -96/173 ; tau(u)= 442/269 ; -135506*x^2 + 50642*y^2 + 204580*x*z - 135506*z^2
  (-8917/8227 : -26272/8227 : 1)  C2b (9826087/6217766 : 516473/6217766 : 1)
** u= 98/53 ; tau(u)= -8/45 ; 5554*x^2 - 3986*y^2 + 9668*x*z + 5554*z^2
  (-3877/2269 : -2604/2269 : 1)  C1a (4051/20314 : -1243/20314 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (-55970/31693 : -2387/31693 : 1)
** u= 101/4 ; tau(u)= 93/97 ; -8617*x^2 - 10169*y^2 + 18850*x*z - 8617*z^2
  (28253/39477 : 8396/39477 : 1)  C1a (556379/34838 : 25707/34838 : 1)
** u= 101/16 ; tau(u)= 69/85 ; -4249*x^2 - 9689*y^2 + 14962*x*z - 4249*z^2
  (20279/37287 : -19432/37287 : 1)  C1a (149578/1936345 : -82321/1936345 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (426605/227821 : 21807/227821 : 1)
** u= -103/153 ; tau(u)= 409/256 ; -120463*x^2 + 36209*y^2 + 177890*x*z - 120463*z^2
  (-37363/288467 : -578304/288467 : 1)  C2b (3452810/25083679 : 1769375/25083679 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (-52075022/31432771 : -5622059/31432771 : 1)
** u= 109/117 ; tau(u)= 125/8 ; 11753*x^2 + 15497*y^2 + 27506*x*z + 11753*z^2
  (-35593/33533 : 17460/33533 : 1)  C1b (334793/396577 : 28751/396577 : 1)
** u= 110/61 ; tau(u)= -12/49 ; 7298*x^2 - 4658*y^2 + 12244*x*z + 7298*z^2
  (-15122/625 : -18277/625 : 1)  C1a (61/301 : -2641/41237 : 1)
** u= 112/197 ; tau(u)= 282/85 ; -1906*x^2 + 65074*y^2 + 92068*x*z - 1906*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1b (266230/171907 : 13023/171907 : 1)
** u= 115/117 ; tau(u)= 119/2 ; 13217*x^2 + 14153*y^2 + 27386*x*z + 13217*z^2
  (-27653/21163 : -174/21163 : 1)  C1b (-6348670/150133 : 304577/150133 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (-4700422/5899439 : 749523/5899439 : 1)
** u= 118/17 ; tau(u)= 84/101 ; -6478*x^2 - 13346*y^2 + 20980*x*z - 6478*z^2
  (503/558 : -409/558 : 1)  C1a (143909/41693 : 5987/41693 : 1)
** u= 118/53 ; tau(u)= 12/65 ; 5474*x^2 - 8306*y^2 + 14068*x*z + 5474*z^2
  (-12336/57065 : -32467/57065 : 1)  C1a (-73117/62750 : 3431/62750 : 1)
** u= 119/2 ; tau(u)= 115/117 ; -13217*x^2 - 14153*y^2 + 27386*x*z - 13217*z^2
  (5407/4181 : -342/4181 : 1)  C1a (601574/4331741 : 197741/4331741 : 1)
** u= 119/74 ; tau(u)= -29/45 ; 10111*x^2 - 3209*y^2 + 15002*x*z + 10111*z^2
  (905/187 : 1866/187 : 1)  C1a (-1486802/474625 : 91889/474625 : 1)
** u= -119/89 ; tau(u)= 297/208 ; -72367*x^2 + 1681*y^2 + 102370*x*z - 72367*z^2
  (51/509 : -3112/509 : 1)  C2b (4523/7811 : 62653/320251 : 1)
** u= -120/169 ; tau(u)= 458/289 ; -152642*x^2 + 42722*y^2 + 224164*x*z - 152642*z^2
  (-15091/107265 : 224536/107265 : 1)  C2b (13879907005/5455992443 : 872603267/5455992443 : 1)
** u= -123/121 ; tau(u)= 365/244 ; -103943*x^2 + 14153*y^2 + 148354*x*z - 103943*z^2
  (-47371/247759 : 768328/247759 : 1)  C2b (-1007074/483865 : -156927/483865 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (19775858/2180875 : 2087019/3053225 : 1)
** u= 125/8 ; tau(u)= 109/117 ; -11753*x^2 - 15497*y^2 + 27506*x*z - 11753*z^2
  (14093/25033 : -540/25033 : 1)  C1a (601526/765071 : -34583/765071 : 1)
** u= 125/64 ; tau(u)= -3/61 ; 8183*x^2 - 7433*y^2 + 15634*x*z + 8183*z^2
  (-253/227 : -80/227 : 1)  C1a (13435/14398 : -1229/14398 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (717778/204485 : 30107/204485 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (-709235/603109 : -36443/603109 : 1)
** u= -127/193 ; tau(u)= 513/320 ; -188671*x^2 + 58369*y^2 + 279298*x*z - 188671*z^2
  (102487361/17493921583 : 31315886688/17493921583 : 1)  C2b (699694/4330621 : -296971/4330621 : 1)
** u= 128/153 ; tau(u)= 178/25 ; 15134*x^2 + 30434*y^2 + 48068*x*z + 15134*z^2
  (-3635/9949 : -1152/9949 : 1)  C1b (7648229/5888515 : 483229/5888515 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (5563066/3155957 : 368959/3155957 : 1)
** u= 128/193 ; tau(u)= 258/65 ; 7934*x^2 + 58114*y^2 + 82948*x*z + 7934*z^2
  (-2283/23621 : -2048/165347 : 1)  C1b (-166975/40871 : -49023/286097 : 1)
** u= -131/197 ; tau(u)= 525/328 ; -198007*x^2 + 60457*y^2 + 292786*x*z - 198007*z^2
  (-639053/2860753 : 6082340/2860753 : 1)  C2b (3124949/975350 : 197103/975350 : 1)
** u= 132/157 ; tau(u)= 182/25 ; 16174*x^2 + 31874*y^2 + 50548*x*z + 16174*z^2
  (-383804/517709 : -323045/517709 : 1)  C1b (3257837/1490083 : -175367/1490083 : 1)
** u= -132/157 ; tau(u)= 446/289 ; -149618*x^2 + 31874*y^2 + 216340*x*z - 149618*z^2
  (820842/718661 : -1258255/718661 : 1)  C2b (1973614/1608233 : -131409/1608233 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (-95393/178585 : -91/2101 : 1)
** u= -136/121 ; tau(u)= 378/257 ; -113602*x^2 + 10786*y^2 + 161380*x*z - 113602*z^2
  (-373/15104 : -49885/15104 : 1)  C2b (-2093035/355802 : 318005/355802 : 1)
** u= 139/58 ; tau(u)= 23/81 ; 6199*x^2 - 12593*y^2 + 19850*x*z + 6199*z^2
  (-1523/21143 : 91386/148001 : 1)  C1a (-37046/34543 : 12883/241801 : 1)
** u= 139/197 ; tau(u)= 255/58 ; 12593*x^2 + 58297*y^2 + 84346*x*z + 12593*z^2
  (-14107/72105 : -17482/72105 : 1)  C1b (-1558195/333818 : -64779/333818 : 1)
** u= 146/29 ; tau(u)= 88/117 ; -6062*x^2 - 19634*y^2 + 29060*x*z - 6062*z^2
  (5761/3263 : 3780/3263 : 1)  C1a (-252921094/199982963 : -15006331/199982963 : 1)
** u= -147/109 ; tau(u)= 365/256 ; -109463*x^2 + 2153*y^2 + 154834*x*z - 109463*z^2
  (-107199/146047 : -98336/8591 : 1)  C2b (4196737/1788305 : 944611/1788305 : 1)
** u= 147/157 ; tau(u)= 167/10 ; 21409*x^2 + 27689*y^2 + 49498*x*z + 21409*z^2
  (-33283/20869 : 6958/20869 : 1)  C1b (274718/539995 : -32823/539995 : 1)
** u= 147/197 ; tau(u)= 247/50 ; 16609*x^2 + 56009*y^2 + 82618*x*z + 16609*z^2
  (-4549/2899 : 3290/2899 : 1)  C1b (491868134/130385491 : 22603811/130385491 : 1)
** u= 149/104 ; tau(u)= -59/45 ; 18151*x^2 - 569*y^2 + 25682*x*z + 18151*z^2
  (-5575/7957 : 31764/7957 : 1)  C1a (459845/113387 : 127921/113387 : 1)
** u= 150/101 ; tau(u)= -52/49 ; 17698*x^2 - 2098*y^2 + 25204*x*z + 17698*z^2
  (-207/32 : -539/32 : 1)  C1a (-68873/29102 : 6369/29102 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (650269/1056637 : -137583/1056637 : 1)
** u= 153/64 ; tau(u)= 25/89 ; 7567*x^2 - 15217*y^2 + 24034*x*z + 7567*z^2
  (-865/7391 : -4176/7391 : 1)  C1a (7648229/5888515 : 483229/5888515 : 1)
** u= 157/40 ; tau(u)= 77/117 ; -2729*x^2 - 21449*y^2 + 30578*x*z - 2729*z^2
  (18515/11623 : 15684/11623 : 1)  C1a (-34517233/7433822 : -1497203/7433822 : 1)
** u= -159/113 ; tau(u)= 385/272 ; -122687*x^2 + 257*y^2 + 173506*x*z - 122687*z^2
  (179/109 : 2792/109 : 1)  C2b (1944145/1232846 : 1252477/1232846 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-613762/469655 : -6195/93931 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (360780214/148895567 : 33056059/148895567 : 1)
** u= 167/10 ; tau(u)= 147/157 ; -21409*x^2 - 27689*y^2 + 49498*x*z - 21409*z^2
  (2949/4651 : -1034/4651 : 1)  C1a (-539995/274718 : -32823/274718 : 1)
** u= 172/185 ; tau(u)= 198/13 ; 29246*x^2 + 38866*y^2 + 68788*x*z + 29246*z^2
  (-1133/1808 : -447/1808 : 1)  C1b (10828451/27483866 : -1556837/27483866 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (61726/91823 : 34557/642761 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
  (135463/95547 : -318868/95547 : 1)  C1a (-7366373/2971901 : -376899/2971901 : 1)
** u= -177/169 ; tau(u)= 515/346 ; -208103*x^2 + 25793*y^2 + 296554*x*z - 208103*z^2
  (-4427/4049 : 22282/4049 : 1)  C2b (34723306/2744909 : -3885717/2744909 : 1)
** u= 178/25 ; tau(u)= 128/153 ; -15134*x^2 - 30434*y^2 + 48068*x*z - 15134*z^2
  (194/103 : 87/103 : 1)  C1a (41282/104495 : -4363/104495 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
  (-4189/3469 : 2646/3469 : 1)  C1a (-2885/2866 : -145/2866 : 1)
** u= 181/185 ; tau(u)= 189/4 ; 32729*x^2 + 35689*y^2 + 68482*x*z + 32729*z^2
  (-1613/2085 : -284/2085 : 1)  C1b (-286427/506710 : 21611/506710 : 1)
** u= 182/25 ; tau(u)= 132/157 ; -16174*x^2 - 31874*y^2 + 50548*x*z - 16174*z^2
  (268016/660521 : -151355/660521 : 1)  C1a (-1368083/251605 : 64483/251605 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-2609/3775 : 291/3775 : 1)
** u= 187/197 ; tau(u)= 207/10 ; 34769*x^2 + 42649*y^2 + 77818*x*z + 34769*z^2
  (-3967/3709 : -1674/3709 : 1)  C1b (4183618/9275605 : 553897/9275605 : 1)
** u= 189/4 ; tau(u)= 181/185 ; -32729*x^2 - 35689*y^2 + 68482*x*z - 32729*z^2
  (4897/6601 : 12/287 : 1)  C1a (770395/128198 : 34691/128198 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (137735486/74338519 : 6837013/74338519 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
  (-865/707 : -564/707 : 1)  C1a (398581/328490 : -36223/328490 : 1)
** u= 191/74 ; tau(u)= 43/117 ; 9103*x^2 - 25529*y^2 + 38330*x*z + 9103*z^2
  (-4249/17029 : -7674/119203 : 1)  C1a (-3377614/648923 : 982633/4542461 : 1)
** u= -192/145 ; tau(u)= 482/337 ; -190274*x^2 + 5186*y^2 + 269188*x*z - 190274*z^2
  (3891/359 : -22084/359 : 1)  C2b (1197967/979457 : -215539/979457 : 1)
** u= 194/49 ; tau(u)= 96/145 ; -4414*x^2 - 32834*y^2 + 46852*x*z - 4414*z^2
  (10285/46531 : 19432/46531 : 1)  C1a (30794/28235 : -1657/28235 : 1)
** u= 194/85 ; tau(u)= 24/109 ; 13874*x^2 - 23186*y^2 + 38212*x*z + 13874*z^2
  (-1327/3231 : -484/3231 : 1)  C1a (-2447662/1861283 : 111017/1861283 : 1)
** u= 195/197 ; tau(u)= 199/2 ; 38017*x^2 + 39593*y^2 + 77626*x*z + 38017*z^2
  (-10801/13095 : 13538/222615 : 1)  C1b (-55 : -6201/2329 : 1)
** u= 198/13 ; tau(u)= 172/185 ; -29246*x^2 - 38866*y^2 + 68788*x*z - 29246*z^2
  (900/521 : -127/521 : 1)  C1a (135830/43867 : -5741/43867 : 1)
** u= 198/89 ; tau(u)= 20/109 ; 15442*x^2 - 23362*y^2 + 39604*x*z + 15442*z^2
  (-8/21 : -1/3 : 1)  C1a (-133082/755255 : -32423/755255 : 1)
** u= 199/2 ; tau(u)= 195/197 ; -38017*x^2 - 39593*y^2 + 77626*x*z - 38017*z^2
  (13/15 : 2/15 : 1)  C1a (253/307 : 32607/715003 : 1)
** u= 199/98 ; tau(u)= 3/101 ; 19199*x^2 - 20393*y^2 + 39610*x*z + 19199*z^2
  (8521/6099 : -14294/6099 : 1)  C1a (-390595/396206 : -19415/396206 : 1)
182
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=8/13のとき

709143050^4+1507433879^4+2644231063^4=337842*112597693^4
676082378782375^4+1321702600725601^4+2079967110679922^4=337842*89807861096633^4
1239362874930774943^4+2871518433965422201^4+5683479881206071890^4=337842*239618306663453897^4
1076087239223249428366352218515218762^4+1940080738659405639306695213854116959^4+2765320399826299099261137651752768335^4=337842*121648498786382280304655482356016477^4
3601809166405110182824914934303407845900042^4+9105001629996073998760651835686095520600559^4+20659779457405086722162116357805495272313215^4=337842*865096081694318545405608286685411166891517^4
2864509191648041430912532536118039494319738279027550454000615373134875983^4+4775542392853742786688854577427731205903444562707721523113395196180364841^4+6211691882492700845035237687134637337997403782864614796696382429234822610^4=337842*279989165337490473740481388473076374118551002953298363567216134597918217^4
17376860559174378562058041626669079738639494722566706586234975812334396347186538295^4+47811917267157488104571740377983165274274957555149168693355617775941146523935606641^4+127040669100624679706761645276001250576840338875016944731865492539223110357116331122^4=337842*5296125313155490917876824443978276905492520905782164237831403148530779604392257593^4
343305331257814592468449538789211807423175019083111439334526357977091926517565549935^4+831105652379728284842684255665336276966469677686131511058404437212065402017712449641^4+1758116769331084107122091630730025552396893639045197128586095190256887601056204472562^4=337842*73843198015854855915510190572700974510710642608568522460541297724042958210646013977^4
86768802639164587922395521936016646925922514258330019089150902673866982494644926384762^4+229049743914149869211663835158340302392785637929923416399287335143413642796794329045879^4+560987914332854304656450313480847341433533992630163256910134304849016911383400839512775^4=337842*23432128858696832303530112342590598311744842853749303105037608442339753703075410847093^4
2256589080371883575452012229023648989914375041943580379664876371138842862391318999976617112562010^4+5008223316259409134268549436211852837741144543421642131607543276284252890260252049592910784728879^4+9319556731973031494762367651067387724907098680445464341852730260420749219204283247342946351994223^4=337842*394691481031487295904809977461119815221802308238541715856776025562208517411698588399395721978277^4
36389514234808598003710127618064421626312580697713364112903555606571871233702411475748906333473797715383^4+104170949951423805142791427950543785535301314495745420432122210084778122813307058216745977254550029811761^4+302840827960569910840685754530043795671274601005017986401396338196425078805053515158916934597221291766450^4=337842*12605724929841158576044429899529861202796830291837467940337032044369188798922449061005159589327523431513^4
12772868025898722451413662772226059923517492234185109495752625495246154785013294424822544267176148099028668966793610258249930^4+19736282742950050631734511871908440240364023565583144509060853802703171805885911785824172969676823670244124950894724253763399^4+23565453358317626269512973814627579278711072648345949792305315420052098306832444116896084694369910409003239761252491471362983^4=337842*1095581742308950816366199293062948270336417592359270202696178022533687613718544085894970803015472511903800303182939056260573^4
24689446697602645030456153064119938348650991369452657034240930897829200184174078282494847986846827574915239198328860017477063^4+50327823440490728171731260322586218801496695145781487187128599812498016792958282610896936656035404452142550209325111882866561^4+83537091266755498062170795679976413702861013237325892269219711481182558738592204541946591482669344991442361057334369697686130^4=337842*3579868460193187716242629815026775171619869219412800447241261386421283301891216572812797942835783088440660854702211997303353^4
25347638280903700228041568984632780936738506903869561566005210676822817071095436296588225555977816924641794655188662174934548697800572890^4+77372802637929834998439955828832631350413809399513346477988283026366908235868829094819872177021731195341213510116368217518637130020566239^4+276641599131465913150953643188222487841041923226055660013340206835410428614444627864683512859670163146562397512173952856723571384557554623^4=337842*11492354771550884975666415250115308668461740504329363075148391841705795904174974527990463666409266491110013718240379857600032873260890917^4
139116176991961635918882853453415655150613387551655069130441114517528591239573254092288986666339355619887971646021634333908498545584874570^4+412467586665293595275676209550554458278169201231757355267859366124991080774901025980066708145838489695464950302239617749262370798179562599^4+1321782643706255944056530674531391638391999929585123393834978748164706264062281107162508608024081615237090648660743353269024559342233826823^4=337842*54956557651405571365204942319922953627176961770198265078711532415119560110358900070241629898420149697598926895933080866943383908512465693^4
450537903619546936316277537559299522253584198201284566112450190198463242175758082316988121285759486838098356410529489469096221581228677479089980389966766622240624409722^4+845772471701179487694034944536901527162530607158890094348376923249976213913488052586382889306986108086765186752135362011007035890692824127681095840205269568693240895239^4+1265808108291524107096623821491520628074599158258001772189356613887125341174242974686136034099670212329043057057317087712423457754582412833970665479095339615849399248055^4=337842*55127231885763778660078081916077862180998294847951916353765209345436962526298269197342648442234508172614745601099981880147075680769314691073756582424743934090306267573^4
...

u=-28/25のとき

16943291510^4+52061983579^4+209988295627^4=337842*8718278127^4
2779112676470201^4+3049249734503006^4+7188531118958695^4=337842*302165890697373^4
203894448240499586^4+333368536315352231^4+763092494665998695^4=337842*31975386001930413^4
20862688400289590602953684419^4+403314429902582058903038373530^4+1252144759599264618769324376723^4=337842*52076109953345043669586569063^4
2706187372585673495311484795933350^4+5840118520787742655397219036151421^4+14030142530917661204319148578938003^4=337842*586463641620684246570396478245063^4
4976131036991512015653781673372106655936043467358119031^4+11225578380796012213245287332897552853856119675269447586^4+27217238817148502411073670310135173709141408428758715895^4=337842*1137314892202105255432156528639430077881296074221863613^4
182204529903361732941044742278818474691299092495442964801726^4+10214601132133667394806413218600820938394366406468263571580521^4+32484674083730307347473752897465138083799786497943717771675895^4=337842*1350692195302882249433925529943768892406409230309795352829933^4
821936153059571280991428381306753123327973446955091321349606909096223060249861811676309701^4+1305311743673031815835541435016171905706215543584366826198679132324415841279547833558823030^4+2978299821464477545917164697151214166304206708750645348755700808262299021670432296899011947^4=337842*124833037653377636523969487194225331596743583969545414572835067890782301652912792976981167^4
147052458457656772408171798182206254338782556914897684154096455660110453512504309556189741602412810^4+157978355021645078238292063627926221123314797710033773458108978316960885383699517704240559401503419^4+375265728918399663908754815443519997964500346766728279093923158103903491705662659198835366519322987^4=337842*15775105624204931842763048102420541160581755459962754157071779837432402096540576661011432405837167^4
1839135221926566452307015893785669653812395724852608078227914446633490126110662036035130426616085396365^4+6839936637278693675268807965510857726395903449442851956399949437114891322000301711196144437260207699998^4+18303095202599199481452664014291150875737227074879687254884167301839902555221267508874623782784239443819^4=337842*762876353778139491085714925838760138185143345195325020430328456151493102847282953394879396107303996291^4
2005755827873293231784059520180443814156149184615120504871555893696146123685020810148942849203657882785247^4+2605044993095903276773433671476843163863477151679422269167859209588338387232629070160795208460340577120762^4+5926291664343498947644344494808693872816017604031819688801928372552454625751042507374323509238954413075335^4=337842*248856639473866709429933013124862772357773986260382009423324849318989287455355563677512763889417360104201^4
726974995068516138762663658767417904075579560275015287299966947873794709220254780432063369685227837340064978177^4+2654868199138250093506459903503607414198085203203958387012003128429610379761180479947402992163179676582589898342^4+7081824143959183782678123748122671814840706298671557760530017294896232641670621757811434387806779686942407206535^4=337842*295190309487672226535332023766683182890058866521913634989994979440892763537376099529387882749520777754073102841^4
1576138729720941895757167509685037854870822579058760072335967245461288627747676958551960206973172132775622795279285362^4+1695587483097064597618758837712193946778479582236227547215906612283265981033908489895852904889060375248218483613944485^4+9745816647716131807454273133935625344535547998632454775825610527370322011046161103093428792580278996843135414235339571^4=337842*404402134945799801583808473222211988373336747567703641505730024293903734132599612047940437149491899902936161671920699^4
4627957655806067288573957601447908042720501467927968465702045236642673296267058203991605027445407570316270624948886359808830694555^4+6039040188261846858257565488400252421523301838541437989287492683311485614039791452206473250663919872535853172179060404263532995762^4+13732641823879994598620784012811497436600629348844427342495253564432926315507740992000636880876779557549234025346625656110911392051^4=337842*576638626093138743645382003965409099794598898463985325983266376431814018045359271513127685403059504361348227868612885389149168859^4
...

u=-52/49のとき

1370435^4+3452522^4+7717157^4=337842*323331^4
104002166504011445061947883334021630757636850266042566705997^4+223886984972216224240902353130040017110796590228691270008750^4+484103931927936615418079713625091238048566377662977747011053^4=337842*20315980019285037592820250553376097827849039416589003771391^4
265996839060084113172754037484431678233004361456420988161682285793992087056058891677009109528921292938182972273902080024832219584899593005054847741207357597694624557^4+820394351087572293983006360276183856553427572972142018201780529270419599909717257501350284224345314982813673982149229621938192650352738833480313349509383445350520670^4+1911247983260198642239596037282379967772461457158969727530698151771449160722593785327077180444977741867850113857021742266359570726162695035433200084157936583299744573^4=337842*79947108799496456680682385940108213758218567311060197636196313059115817668731443215128191241460047771246963652619124065027990370543416193895846023849292180992288551^4
...

u=28/65とき

8184612805944733726220525884707713241311^4+9357564648829656786716687157278078872225^4+56670855799647703949406059474945314000822^4=337842*2351306444135130151938061193856194951211^4
14336650911323737740659456000436834639490774769801929008950658778610149327164871002717982316410965358180694642436811869853294712191190056085565700548333918561647765568639787008819245341077954985116705927761887365622814751544027943646803574914948722365462078245993615437380042835155305784160585321318870332820392287612483255806654301722939688383857245357907541337729^4+150631397459969687971403092036542307005183423216533548691554351593233893117379654883608119166062443765056343489312811340057955882354870372349842787636018975064881731053727723167777364109090428792100370739095954672294503742986774701210395043042050220921532303133799445079587043217117379160771082938592435688296466269405972119094633903177272987728455554214912182715737^4+341869998828172871257310895359815643757993185805283535305649255095319952072077127212272233427592697931820232047504173409007557213185416449558465203668255152402755125448722407899934353347137570503901342762859441249787111930144635674374782898247848221969626772883273178600412621170490231222102133475285865860267915061092912203196850890908723010970505169941157631623630^4=337842*14311980596408697804581718186850252886828509329376729348465990519384054977210641422071152672334452249978795378245649724757802228736992438833156096586434549238046978104693998626453040875034034493285223397334900955885647202431791653791778375736086155712644699850275300106127573026966485104611059245693298477514746199229439924670314091942077781233976985827396161287607^4
...

u=24/109のとき

2277118787802850^4+7296223785732277^4+12811244661608741^4=337842*544968521897521^4
225695672181099690261323^4+816200139052178108853691^4+1387364931830684039682430^4=337842*59205822935697196036097^4
36678308913294635371713558204029464867727837667450249304917410861441164641094432723959338^4+86919954238774411337682602832420900280937664124109080721968425033294135729580529830214261^4+168119034469462365990254342162616338950340937946141924725466188929148428600254418974070125^4=337842*7098407409868542073235429617443687330885805358119816685382460733997435148499959124590397^4
3985657592199134324777742400626007142286476634853445321894959352780444088283684947694988531^4+11421672910407235123710364895527123270041476313952845050607252455974703838164282486047305187^4+20728556003868391310717097934323675610131637756770126431137559375190302569301807391675541390^4=337842*879225174735859667443993492857879920060208402779448329051851278904494897325586453779781369^4
51468421597165681731875873241269288724728095574624745922134813316345337950123110009254284970621746108587493033315^4+111112018857165013291957201999848685514161670810056898230955556631696403496226159290862099358693605186976613010907^4+222557733608104238389633892119100540431795590423911527464938263349899710085269959194957864251712264390930500053366^4=337842*9377785024535604484771708658047277479369992397911952637336098689644355077410069220676579565357216675511440866541^4
3871552276696097749266907318075089618090068266290740021852372645505054246373811611130204560839766004327143013956690^4+15989753746888181062138591618263315551260413860035006196393341872548474144077085709694015662976831562442300570421069^4+26324680692120715304298743694039294858278064819657162605961614827658038754880165817817561113694265599046258549823037^4=337842*1127418701091956259800564492352994259208160952901795717399233894630589426936890036857062584454633202334675969437417^4
4552601934228016557032228063764275136219488819436542711830842875486482234034352701109740153220725725894118856297586688370109474639390929916210566795^4+11905599622575364759459915782575897611309214605104705119253831298587630556326318045161668218744392623542128130662663794171007043593894293119885482819^4+22252497522910613895671891491740147228846970724755746340484077810108654657618770859978793865652315908129992458779296370606354201586003707367831539782^4=337842*941730643471227308199246856961746270025517805896229724551845417071595373989130663836970797025576073689905635591506773800923282401098297355471774277^4
...

u=-84/193のとき

44687025534424112445775429236779751569^4+45535721698790785069557140762520918266^4+45608107611243020567751609284141976175^4=337842*2471919970383079903915053140576796667^4
4601904173303756008253883753635284582486224218642779922370259589178726701616928228041987216901215329785798901658738009200511630068284790714568455297739428069770894850539425691406956122482112584327634972915856906301706341316693668960830280752645857412451742757855254678351863746050678353828478955674601270111079472912311110855882768066891769^4+4681754223474486739348089950745680782461330984777443339016495133079328119786213362662895416038084251299296466306880985824722604795722199853633741162411779230161810956361562154208198693167307845569389023225543394506299051640654683518973123709497168461912218374139571571370065153685450829746656830166487519789555466104903240435689983883401311^4+4704117078143077511548200362333873332756739992397328258953533576650642422834339822615084726156709001342540989849291851245136249867605774158750908799686207612679063834588595799423245180379546048809746053103644895427158221404362338158593485538631855856072853165986422407123920530678909032719128341256738646014256456888981253101123188852840130^4=337842*254558005600790839386862189626207020418976981374868126216492919640457092356768455944397151507737769501905916446074304481400756723020373520266689203971512808310199848632574050174862885110041542171497854398514952748561435419486655775718506332534282706371465105084535532803372008998696821807483144722511621178026457193832895608914072366039063^4
...

[2026.02.17追記] u=-52/49,-84/193のときの整点を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.02.17

H.Nakao