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Integer Points on A^4+B^4+C^4=331298*D^4

[2026.02.14]A^4+B^4+C^4=331298*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

331298=2*407^2であるので、以下では、n=407とする。

■n=407のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=407;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように99個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(407,1,200);
** u= 1/41 ; tau(u)= 81/40 ; -3199*x^2 + 3361*y^2 + 6562*x*z - 3199*z^2
  (887/9805 : -8676/9805 : 1)  C1b (-1212038/101657 : 61939/101657 : 1)
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
  (-523/244295 : -240208/244295 : 1)  C1b (-2086551/913789 : -130469/913789 : 1)
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (-121306/6131 : 6147/6131 : 1)
** u= 3/37 ; tau(u)= 71/34 ; -2303*x^2 + 2729*y^2 + 5050*x*z - 2303*z^2
  (5053/7821 : -190/7821 : 1)  C1b (-39382/57823 : -3981/57823 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (1953191/193709 : 89493/193709 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (-7754/34663 : 1997/34663 : 1)
** u= -7/9 ; tau(u)= 25/16 ; -463*x^2 + 113*y^2 + 674*x*z - 463*z^2
  (77/83 : -120/83 : 1)  C2b (60086/11151 : -4541/11151 : 1)
** u= -7/73 ; tau(u)= 153/80 ; -12751*x^2 + 10609*y^2 + 23458*x*z - 12751*z^2
  (45/67 : 3512/6901 : 1)  C2b (3094/4847 : 21979/499241 : 1)
** u= -7/193 ; tau(u)= 393/200 ; -79951*x^2 + 74449*y^2 + 154498*x*z - 79951*z^2
  (5891/8561 : 3364/8561 : 1)  C2b (-13033286/2323429 : -725757/2323429 : 1)
** u= 8/193 ; tau(u)= 378/185 ; -68386*x^2 + 74434*y^2 + 142948*x*z - 68386*z^2
  (78991/110195 : -13128/110195 : 1)  C1b (-3617349/2779258 : -267937/2779258 : 1)
** u= 12/37 ; tau(u)= 62/25 ; -1106*x^2 + 2594*y^2 + 3988*x*z - 1106*z^2
  (-1355/21194 : -15377/21194 : 1)  C1b (48131/156481 : 6537/156481 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (65115389/22635158 : -3177011/22635158 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (-7674571/2545407 : -611629/2545407 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (-25351/3634 : 1071/3634 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
  (1/3 : -124/21 : 1)  C2b (-467/529 : -1983/3703 : 1)
** u= 23/97 ; tau(u)= 171/74 ; -10423*x^2 + 18289*y^2 + 29770*x*z - 10423*z^2
  (2351/191 : 1562/191 : 1)  C1b (-6877322/2149857 : -352883/2149857 : 1)
** u= -24/25 ; tau(u)= 74/49 ; -4226*x^2 + 674*y^2 + 6052*x*z - 4226*z^2
  (3/4 : 7/4 : 1)  C2b (-12169/7477 : -1911/7477 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1b (-6734/43727 : 14877/306089 : 1)
** u= 25/16 ; tau(u)= -7/9 ; 463*x^2 - 113*y^2 + 674*x*z + 463*z^2
  (-67/37 : -96/37 : 1)  C1a (19271/4714 : -1949/4714 : 1)
** u= -25/49 ; tau(u)= 123/74 ; -10327*x^2 + 4177*y^2 + 15754*x*z - 10327*z^2
  (4143/1483 : -4970/1483 : 1)  C2b (21563/27431 : -1431/27431 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (1554962/523953 : 71369/523953 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-3554234/288127 : 153099/288127 : 1)
** u= 35/61 ; tau(u)= 87/26 ; -127*x^2 + 6217*y^2 + 8794*x*z - 127*z^2
  (-83/93 : 106/93 : 1)  C1b (2087611/157522 : -87177/157522 : 1)
** u= 35/181 ; tau(u)= 327/146 ; -41407*x^2 + 64297*y^2 + 108154*x*z - 41407*z^2
  (-49501/393027 : -365762/393027 : 1)  C1b (-17549223/9077341 : -1028957/9077341 : 1)
** u= 37/89 ; tau(u)= 141/52 ; -4039*x^2 + 14473*y^2 + 21250*x*z - 4039*z^2
  (40263/648073 : 281692/648073 : 1)  C1b (-151617/70547 : -7601/70547 : 1)
** u= -37/181 ; tau(u)= 399/218 ; -93679*x^2 + 64153*y^2 + 160570*x*z - 93679*z^2
  (-13631/8029 : 25286/8029 : 1)  C2b (-1141870138/33538173 : -64420859/33538173 : 1)
** u= 40/41 ; tau(u)= 42 ; 1598*x^2 + 1762*y^2 + 3364*x*z + 1598*z^2
  (-537/451 : 128/451 : 1)  C1b (-27397/39009 : 1717/39009 : 1)
** u= 42 ; tau(u)= 40/41 ; -1598*x^2 - 1762*y^2 + 3364*x*z - 1598*z^2
  (5/4 : -1/4 : 1)  C1a (-24294/12361 : 1553/12361 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (479899/526802 : 28089/526802 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (562/212657 : 88839/1488599 : 1)
** u= 51/197 ; tau(u)= 343/146 ; -40031*x^2 + 75017*y^2 + 120250*x*z - 40031*z^2
  (-43483/2304469 : 1730750/2304469 : 1)  C1b (-1912583/231398 : -88821/231398 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (4745/6459 : -3745/6459 : 1)
** u= 52/89 ; tau(u)= 126/37 ; -34*x^2 + 13138*y^2 + 18580*x*z - 34*z^2
  (-914/12869 : -243/757 : 1)  C1b (64363/83030 : -875/16606 : 1)
** u= 52/149 ; tau(u)= 246/97 ; -16114*x^2 + 41698*y^2 + 63220*x*z - 16114*z^2
  (34506/9101 : 4001/9101 : 1)  C1b (-10904383/273978 : -473759/273978 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (1253/3422 : 153/3422 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (-63377/8658 : -2729/8658 : 1)
** u= 56/81 ; tau(u)= 106/25 ; 1886*x^2 + 9986*y^2 + 14372*x*z + 1886*z^2
  (-463/113 : 180/113 : 1)  C1b (-85282/19229 : 3571/19229 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (-3001/51578 : 2151/51578 : 1)
** u= -56/101 ; tau(u)= 258/157 ; -46162*x^2 + 17266*y^2 + 69700*x*z - 46162*z^2
  (-6771/3641 : -16048/3641 : 1)  C2b (-1793122/234225 : -27551/46845 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
  (7/3 : -484/21 : 1)  C1a (-34/13 : 57/91 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (1704218/1367617 : 87969/1367617 : 1)
** u= -57/137 ; tau(u)= 331/194 ; -72023*x^2 + 34289*y^2 + 112810*x*z - 72023*z^2
  (-382793/178043 : -773686/178043 : 1)  C2b (11047447/2349002 : -617781/2349002 : 1)
** u= 59/61 ; tau(u)= 63/2 ; 3473*x^2 + 3961*y^2 + 7450*x*z + 3473*z^2
  (-141/163 : -50/163 : 1)  C1b (-68734/152751 : -6497/152751 : 1)
** u= -60/49 ; tau(u)= 158/109 ; -20162*x^2 + 1202*y^2 + 28564*x*z - 20162*z^2
  (24/815 : -3269/815 : 1)  C2b (4751/6253 : 759/6253 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (-3140782/1817709 : -159551/1817709 : 1)
** u= 62/25 ; tau(u)= 12/37 ; 1106*x^2 - 2594*y^2 + 3988*x*z + 1106*z^2
  (336/6541 : -4655/6541 : 1)  C1a (-31531/7958 : 1317/7958 : 1)
** u= 63/2 ; tau(u)= 59/61 ; -3473*x^2 - 3961*y^2 + 7450*x*z - 3473*z^2
  (14551/10157 : 1370/10157 : 1)  C1a (4322/5193 : -239/5193 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (-19402/250081 : 25069/250081 : 1)
** u= -64/109 ; tau(u)= 282/173 ; -55762*x^2 + 19666*y^2 + 83620*x*z - 55762*z^2
  (13451/76439 : 112732/76439 : 1)  C2b (2722238/825265 : -32629/165053 : 1)
** u= -67/61 ; tau(u)= 189/128 ; -28279*x^2 + 2953*y^2 + 40210*x*z - 28279*z^2
  (-271/511 : 2256/511 : 1)  C2b (47207/47358 : 4711/47358 : 1)
** u= -67/145 ; tau(u)= 357/212 ; -85399*x^2 + 37561*y^2 + 131938*x*z - 85399*z^2
  (35/81 : -88/81 : 1)  C2b (2049053/663737 : -111453/663737 : 1)
** u= 71/34 ; tau(u)= 3/37 ; 2303*x^2 - 2729*y^2 + 5050*x*z + 2303*z^2
  (599/14357 : 1970/2051 : 1)  C1a (-1622/637 : -69/637 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (8699229026/1890545571 : 362996791/1890545571 : 1)
** u= 73/89 ; tau(u)= 105/16 ; 4817*x^2 + 10513*y^2 + 16354*x*z + 4817*z^2
  (-15857/12433 : -10984/12433 : 1)  C1b (-164909/118046 : -7529/118046 : 1)
** u= 74/49 ; tau(u)= -24/25 ; 4226*x^2 - 674*y^2 + 6052*x*z + 4226*z^2
  (-461/1401 : 2800/1401 : 1)  C1a (-126506/167503 : 12633/167503 : 1)
** u= 80/81 ; tau(u)= 82 ; 6398*x^2 + 6722*y^2 + 13124*x*z + 6398*z^2
  (-2227/2651 : -342/2651 : 1)  C1b (-5541/41873 : 1933/41873 : 1)
** u= 81/40 ; tau(u)= 1/41 ; 3199*x^2 - 3361*y^2 + 6562*x*z + 3199*z^2
  (-115/89 : 12/89 : 1)  C1a (-5541/41873 : 1933/41873 : 1)
** u= 82 ; tau(u)= 80/81 ; -6398*x^2 - 6722*y^2 + 13124*x*z - 6398*z^2
  (2227/2651 : -342/2651 : 1)  C1a (-1212038/101657 : 61939/101657 : 1)
** u= 87/26 ; tau(u)= 35/61 ; 127*x^2 - 6217*y^2 + 8794*x*z + 127*z^2
  (319/12585 : -2986/12585 : 1)  C1a (19127/1582 : 801/1582 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (342886/663739 : -59299/663739 : 1)
** u= -91/153 ; tau(u)= 397/244 ; -110791*x^2 + 38537*y^2 + 165890*x*z - 110791*z^2
  (-409/521 : 1476/521 : 1)  C2b (-900839789/43942071 : 67685779/43942071 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (-631170613/43048569 : -26368943/43048569 : 1)
** u= -95/113 ; tau(u)= 321/208 ; -77503*x^2 + 16513*y^2 + 112066*x*z - 77503*z^2
  (-1465/25793 : -407504/180551 : 1)  C2b (-576537/382379 : 565769/2676653 : 1)
** u= -95/117 ; tau(u)= 329/212 ; -80863*x^2 + 18353*y^2 + 117266*x*z - 80863*z^2
  (10057/6943 : 14556/6943 : 1)  C2b (-338938/1288319 : 136591/1288319 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (-389/383 : 21/383 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (86618/59623 : -6009/59623 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-2815958/689481 : 143573/689481 : 1)
** u= -104/125 ; tau(u)= 354/229 ; -94066*x^2 + 20434*y^2 + 136132*x*z - 94066*z^2
  (-1577/3783 : 10820/3783 : 1)  C2b (937/4198 : 327/4198 : 1)
** u= 105/16 ; tau(u)= 73/89 ; -4817*x^2 - 10513*y^2 + 16354*x*z - 4817*z^2
  (8949/26485 : -3256/26485 : 1)  C1a (-12359/197062 : -8789/197062 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
  (-1583/473 : 1076/473 : 1)  C1a (90169/65091 : 6611/65091 : 1)
** u= 106/25 ; tau(u)= 56/81 ; -1886*x^2 - 9986*y^2 + 14372*x*z - 1886*z^2
  (161/262 : 207/262 : 1)  C1a (3548674/1895501 : -159677/1895501 : 1)
** u= -111/101 ; tau(u)= 313/212 ; -77567*x^2 + 8081*y^2 + 110290*x*z - 77567*z^2
  (-73677/363017 : -1296944/363017 : 1)  C2b (1923478/884303 : 187161/884303 : 1)
** u= 112/149 ; tau(u)= 186/37 ; 9806*x^2 + 31858*y^2 + 47140*x*z + 9806*z^2
  (-5417/15609 : -6410/15609 : 1)  C1b (-378315/454127 : -22475/454127 : 1)
** u= 112/153 ; tau(u)= 194/41 ; 9182*x^2 + 34274*y^2 + 50180*x*z + 9182*z^2
  (-48007/111323 : -62346/111323 : 1)  C1b (493803/454873 : -30961/454873 : 1)
** u= 112/185 ; tau(u)= 258/73 ; 1886*x^2 + 55906*y^2 + 79108*x*z + 1886*z^2
  (-2781/3305 : 3518/3305 : 1)  C1b (-608517/1727402 : 75787/1727402 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (204869/72049 : -81/661 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (-9050753/2945738 : -379551/2945738 : 1)
** u= 123/74 ; tau(u)= -25/49 ; 10327*x^2 - 4177*y^2 + 15754*x*z + 10327*z^2
  (7153/104007 : -172270/104007 : 1)  C1a (400186/2235437 : -171261/2235437 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (1310987/71062 : -721809/497434 : 1)
** u= 126/37 ; tau(u)= 52/89 ; 34*x^2 - 13138*y^2 + 18580*x*z + 34*z^2
  (1789/6754 : 4149/6754 : 1)  C1a (2274002/3288555 : -33359/657711 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (-3547/3497 : 2209/3497 : 1)
** u= -127/169 ; tau(u)= 465/296 ; -159103*x^2 + 40993*y^2 + 232354*x*z - 159103*z^2
  (-33/245 : -76/35 : 1)  C2b (2609657/1000037 : 171753/1000037 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (-86349621/22457689 : 9378143/22457689 : 1)
** u= -140/149 ; tau(u)= 438/289 ; -147442*x^2 + 24802*y^2 + 211444*x*z - 147442*z^2
  (3568/44661 : -102833/44661 : 1)  C2b (-3457513/722638 : 408859/722638 : 1)
** u= -140/197 ; tau(u)= 534/337 ; -207538*x^2 + 58018*y^2 + 304756*x*z - 207538*z^2
  (692/269 : 997/269 : 1)  C2b (-3137767/1737587 : 361851/1737587 : 1)
** u= 141/52 ; tau(u)= 37/89 ; 4039*x^2 - 14473*y^2 + 21250*x*z + 4039*z^2
  (811/10059 : -908/1437 : 1)  C1a (1427849/85475 : 12287/17095 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-22811026/1042309 : 981759/1042309 : 1)
** u= 153/80 ; tau(u)= -7/73 ; 12751*x^2 - 10609*y^2 + 23458*x*z + 12751*z^2
  (-45/67 : -3512/6901 : 1)  C1a (-962/3277 : -15407/337531 : 1)
** u= 158/109 ; tau(u)= -60/49 ; 20162*x^2 - 1202*y^2 + 28564*x*z + 20162*z^2
  (219/964 : -4627/964 : 1)  C1a (-5852401/827483 : -905709/827483 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (7787/1909298 : 79827/1909298 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (-6213902/1285659 : -287137/1285659 : 1)
** u= 171/74 ; tau(u)= 23/97 ; 10423*x^2 - 18289*y^2 + 29770*x*z + 10423*z^2
  (-5167/12659 : 270/12659 : 1)  C1a (-1928552111/12656970 : -17208887/2531394 : 1)
** u= 186/37 ; tau(u)= 112/149 ; -9806*x^2 - 31858*y^2 + 47140*x*z - 9806*z^2
  (353/1617 : 38/1617 : 1)  C1a (2271242/31565 : 19313/6313 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b (43187246/24714687 : -3551381/24714687 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (3024839/840677 : -135511/840677 : 1)
** u= 189/128 ; tau(u)= -67/61 ; 28279*x^2 - 2953*y^2 + 40210*x*z + 28279*z^2
  (1487/8383 : 29392/8383 : 1)  C1a (-986934/167119 : -113491/167119 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (-285649/362723 : -21807/362723 : 1)
** u= 194/41 ; tau(u)= 112/153 ; -9182*x^2 - 34274*y^2 + 50180*x*z - 9182*z^2
  (137/181 : 150/181 : 1)  C1a (334605/213034 : -15365/213034 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (-2454256617/688724507 : -583810351/688724507 : 1)
99
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。




[参考文献]

Last Update: 2026.02.14
H.Nakao

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