Integer Points on A^4+B^4+C^4=321602*D^4

[2026.02.06]A^4+B^4+C^4=321602*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

321602=2*401^2であるので、以下では、n=401とする。

■n=401のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=401;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように202個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(401,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (-156/85 : 5/17 : 1)
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (2280/1027 : -677/7189 : 1)
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
  (-523/244295 : -240208/244295 : 1)  C1b (62760/616771 : -29117/616771 : 1)
** u= 1/81 ; tau(u)= 161/80 ; -12799*x^2 + 13121*y^2 + 25922*x*z - 12799*z^2
  (-1237/653 : 1872/653 : 1)  C1b (185845/384331 : 16589/384331 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (-55/17 : 5/17 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (-2919/41 : -127/41 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (-3668/31 : 241/31 : 1)
** u= -4/121 ; tau(u)= 246/125 ; -31234*x^2 + 29266*y^2 + 60532*x*z - 31234*z^2
  (-2742/131557 : -138655/131557 : 1)  C2b (404369/268260 : 17849/268260 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (17285/19056 : 979/19056 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (-2212/305 : -101/305 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (3317/1059 : -161/1059 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (615/361 : 553/6137 : 1)
** u= -7/45 ; tau(u)= 97/52 ; -5359*x^2 + 4001*y^2 + 9458*x*z - 5359*z^2
  (4051/74305 : -81888/74305 : 1)  C2b (-12341/1024 : 703/1024 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (16/25 : -11/175 : 1)
** u= -8/9 ; tau(u)= 26/17 ; -514*x^2 + 98*y^2 + 740*x*z - 514*z^2
  (-1/2 : -45/14 : 1)  C2b (837/685 : -83/959 : 1)
** u= 8/25 ; tau(u)= 42/17 ; -514*x^2 + 1186*y^2 + 1828*x*z - 514*z^2
  (-151/14 : 115/14 : 1)  C1b (81880/32373 : 3469/32373 : 1)
** u= -8/29 ; tau(u)= 66/37 ; -2674*x^2 + 1618*y^2 + 4420*x*z - 2674*z^2
  (19/27 : 20/27 : 1)  C2b (8191/1208 : 439/1208 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
  (1123/1460 : -903/1460 : 1)  C2b (30304/13155 : 1393/13155 : 1)
** u= -8/53 ; tau(u)= 114/61 ; -7378*x^2 + 5554*y^2 + 13060*x*z - 7378*z^2
  (212/279 : 5/9 : 1)  C2b (3900864/518677 : 196727/518677 : 1)
** u= 8/81 ; tau(u)= 154/73 ; -10594*x^2 + 13058*y^2 + 23780*x*z - 10594*z^2
  (1973/7193 : -4392/7193 : 1)  C1b (-1703873/80071 : 82963/80071 : 1)
** u= 8/97 ; tau(u)= 186/89 ; -15778*x^2 + 18754*y^2 + 34660*x*z - 15778*z^2
  (25953/40597 : 2456/40597 : 1)  C1b (-698168/749701 : 59301/749701 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (90963/827 : -74233/14059 : 1)
** u= 8/153 ; tau(u)= 298/145 ; -41986*x^2 + 46754*y^2 + 88868*x*z - 41986*z^2
  (45115/66751 : 10248/66751 : 1)  C1b (434480/192233 : 18653/192233 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (16/25 : -11/175 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (2280/1027 : -677/7189 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (-2921/2303 : -179/2303 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
  (149/8615 : 34632/8615 : 1)  C2b (-31045/19704 : 8051/19704 : 1)
** u= 11/61 ; tau(u)= 111/50 ; -4879*x^2 + 7321*y^2 + 12442*x*z - 4879*z^2
  (-230291/336901 : -492790/336901 : 1)  C1b (-496188/662813 : 44713/662813 : 1)
** u= -11/149 ; tau(u)= 309/160 ; -51079*x^2 + 44281*y^2 + 95602*x*z - 51079*z^2
  (-16633/5217 : 23192/5217 : 1)  C2b (391140304/77839475 : 18454819/77839475 : 1)
** u= 12/37 ; tau(u)= 62/25 ; -1106*x^2 + 2594*y^2 + 3988*x*z - 1106*z^2
  (-1355/21194 : -15377/21194 : 1)  C1b (27052/36563 : 1707/36563 : 1)
** u= -12/41 ; tau(u)= 94/53 ; -5474*x^2 + 3218*y^2 + 8980*x*z - 5474*z^2
  (276/1717 : -115/101 : 1)  C2b (31629860/1758691 : -1804395/1758691 : 1)
** u= -13/157 ; tau(u)= 327/170 ; -57631*x^2 + 49129*y^2 + 107098*x*z - 57631*z^2
  (5549/8957 : 4678/8957 : 1)  C2b (-1836228/726845 : -120437/726845 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (953/1424 : 177/1424 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (-1932688/466705 : -146471/466705 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (-2171/7120 : 339/7120 : 1)
** u= 16/89 ; tau(u)= 162/73 ; -10402*x^2 + 15586*y^2 + 26500*x*z - 10402*z^2
  (-491/2763 : -2750/2763 : 1)  C1b (-36675/33704 : -2705/33704 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (-9108320/959341 : 432587/959341 : 1)
** u= -17/185 ; tau(u)= 387/202 ; -81319*x^2 + 68161*y^2 + 150058*x*z - 81319*z^2
  (4443/39619 : 38842/39619 : 1)  C2b (-972820/4077763 : -245041/4077763 : 1)
** u= 19/101 ; tau(u)= 183/82 ; -13087*x^2 + 20041*y^2 + 33850*x*z - 13087*z^2
  (1881/233 : 8870/1631 : 1)  C1b (-38383/9724 : -13841/68068 : 1)
** u= 19/117 ; tau(u)= 215/98 ; -18847*x^2 + 27017*y^2 + 46586*x*z - 18847*z^2
  (-3065833/17710799 : 17860626/17710799 : 1)  C1b (4185751/552724 : 185207/552724 : 1)
** u= -20/17 ; tau(u)= 54/37 ; -2338*x^2 + 178*y^2 + 3316*x*z - 2338*z^2
  (-5/96 : 361/96 : 1)  C2b (-68241/9599 : 11479/9599 : 1)
** u= -20/53 ; tau(u)= 126/73 ; -10258*x^2 + 5218*y^2 + 16276*x*z - 10258*z^2
  (878/3607 : -4149/3607 : 1)  C2b (2725/39356 : 2351/39356 : 1)
** u= 20/81 ; tau(u)= 142/61 ; -7042*x^2 + 12722*y^2 + 20564*x*z - 7042*z^2
  (-1193/25276 : -20079/25276 : 1)  C1b (2256465/319129 : -97331/319129 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (-19056/17285 : 979/17285 : 1)
** u= 21/25 ; tau(u)= 29/4 ; 409*x^2 + 809*y^2 + 1282*x*z + 409*z^2
  (-581/1329 : 400/1329 : 1)  C1b (8229280/244463 : -369411/244463 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (69145/86879 : 4179/86879 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (1288451/398008 : -55209/398008 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (-8556/12187 : 611/12187 : 1)
** u= -25/121 ; tau(u)= 267/146 ; -42007*x^2 + 28657*y^2 + 71914*x*z - 42007*z^2
  (-8087/164833 : 208010/164833 : 1)  C2b (818281/367876 : 37659/367876 : 1)
** u= 26/17 ; tau(u)= -8/9 ; 514*x^2 - 98*y^2 + 740*x*z + 514*z^2
  (-257/113 : -3084/791 : 1)  C1a (-22248/13919 : 10921/97433 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (-2388708/50405 : -19333/2965 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (503028/1068019 : 45449/1068019 : 1)
** u= -28/169 ; tau(u)= 366/197 ; -76834*x^2 + 56338*y^2 + 134740*x*z - 76834*z^2
  (2051/12048 : 12025/12048 : 1)  C2b (14459020/3508729 : -698295/3508729 : 1)
** u= 28/173 ; tau(u)= 318/145 ; -41266*x^2 + 59074*y^2 + 101908*x*z - 41266*z^2
  (42387/95936 : 25871/95936 : 1)  C1b (-29347369/350204 : 1367751/350204 : 1)
** u= 28/197 ; tau(u)= 366/169 ; -56338*x^2 + 76834*y^2 + 134740*x*z - 56338*z^2
  (1380316/3397353 : -1279265/3397353 : 1)  C1b (5030652/3759721 : 227291/3759721 : 1)
** u= 29/4 ; tau(u)= 21/25 ; -409*x^2 - 809*y^2 + 1282*x*z - 409*z^2
  (89/237 : 32/237 : 1)  C1a (96035/13979 : -4113/13979 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
  (-101/107 : -324/107 : 1)  C1a (63064/21609 : 13649/21609 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (243616/510665 : -21791/510665 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
  (20317/15223 : 18548/15223 : 1)  C2b (2229403/596944 : -122643/596944 : 1)
** u= 31/81 ; tau(u)= 131/50 ; -4039*x^2 + 12161*y^2 + 18122*x*z - 4039*z^2
  (727/8503 : 3870/8503 : 1)  C1b (1071979/512061 : 46559/512061 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (191/280 : 513/4760 : 1)
** u= -37/61 ; tau(u)= 159/98 ; -17839*x^2 + 6073*y^2 + 26650*x*z - 17839*z^2
  (10401/44129 : 63434/44129 : 1)  C2b (30100/156421 : -10215/156421 : 1)
** u= -40/49 ; tau(u)= 138/89 ; -14242*x^2 + 3202*y^2 + 20644*x*z - 14242*z^2
  (173/1461 : 2828/1461 : 1)  C2b (-25008/38515 : -5257/38515 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (-5817/4208 : 1931/29456 : 1)
** u= -41/81 ; tau(u)= 203/122 ; -28087*x^2 + 11441*y^2 + 42890*x*z - 28087*z^2
  (-8597/367 : -13914/367 : 1)  C2b (772804/761823 : 43591/761823 : 1)
** u= 41/169 ; tau(u)= 297/128 ; -31087*x^2 + 55441*y^2 + 89890*x*z - 31087*z^2
  (8479/49169 : 26832/49169 : 1)  C1b (60984712/305827259 : -13058513/305827259 : 1)
** u= 42/17 ; tau(u)= 8/25 ; 514*x^2 - 1186*y^2 + 1828*x*z + 514*z^2
  (-157/721 : 248/721 : 1)  C1a (-37381/37840 : -1977/37840 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (909920/38893 : 164355/38893 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (-13444/111077 : 4671/111077 : 1)
** u= -44/125 ; tau(u)= 294/169 ; -55186*x^2 + 29314*y^2 + 88372*x*z - 55186*z^2
  (2/11 : 13/11 : 1)  C2b (-46315860/3833519 : -2992043/3833519 : 1)
** u= 48/157 ; tau(u)= 266/109 ; -21458*x^2 + 46994*y^2 + 73060*x*z - 21458*z^2
  (18158/63211 : 13805/63211 : 1)  C1b (-655408/1789819 : -91533/1789819 : 1)
** u= -48/185 ; tau(u)= 418/233 ; -106274*x^2 + 66146*y^2 + 177028*x*z - 106274*z^2
  (-24740/465767 : 616741/465767 : 1)  C2b (-3962545/668143 : -253959/668143 : 1)
** u= 49/53 ; tau(u)= 57/4 ; 2369*x^2 + 3217*y^2 + 5650*x*z + 2369*z^2
  (-3209/4701 : 1624/4701 : 1)  C1b (-3635528/149359 : 167319/149359 : 1)
** u= 49/149 ; tau(u)= 249/100 ; -17599*x^2 + 42001*y^2 + 64402*x*z - 17599*z^2
  (-91869/133069 : -172340/133069 : 1)  C1b (1296741/315280 : -54569/315280 : 1)
** u= -52/49 ; tau(u)= 150/101 ; -17698*x^2 + 2098*y^2 + 25204*x*z - 17698*z^2
  (-3377/124912 : 369845/124912 : 1)  C2b (-32580/13603 : -5291/13603 : 1)
** u= 52/101 ; tau(u)= 150/49 ; -2098*x^2 + 17698*y^2 + 25204*x*z - 2098*z^2
  (34261/1283440 : -364399/1283440 : 1)  C1b (-5220612/791995 : 225239/791995 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (4336876/350067 : 7676369/14352747 : 1)
** u= 53/157 ; tau(u)= 261/104 ; -18823*x^2 + 46489*y^2 + 70930*x*z - 18823*z^2
  (113573/28287 : 3628/4041 : 1)  C1b (-4398367/552184 : 199589/552184 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (32572/879789 : -51187/879789 : 1)
** u= 54/37 ; tau(u)= -20/17 ; 2338*x^2 - 178*y^2 + 3316*x*z + 2338*z^2
  (-1/230 : 831/230 : 1)  C1a (-27804/25085 : 3119/25085 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
  (-91167/3659 : -147064/3659 : 1)  C2b (-2632848/371327 : -197323/371327 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-17701989/299995 : 761123/299995 : 1)
** u= 56/81 ; tau(u)= 106/25 ; 1886*x^2 + 9986*y^2 + 14372*x*z + 1886*z^2
  (-463/113 : 180/113 : 1)  C1b (-12447904/3708969 : -530099/3708969 : 1)
** u= 57/4 ; tau(u)= 49/53 ; -2369*x^2 - 3217*y^2 + 5650*x*z - 2369*z^2
  (457/477 : -248/477 : 1)  C1a (19064/82753 : 3591/82753 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (426355/149957 : -18585/149957 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (-237826043/2575184 : 15496921/2575184 : 1)
** u= -59/197 ; tau(u)= 453/256 ; -127591*x^2 + 74137*y^2 + 208690*x*z - 127591*z^2
  (1871/1617 : 9920/11319 : 1)  C2b (4855752/9953861 : -3306161/69677027 : 1)
** u= 61/65 ; tau(u)= 69/4 ; 3689*x^2 + 4729*y^2 + 8482*x*z + 3689*z^2
  (-9063/8731 : 4288/8731 : 1)  C1b (-849248/24525 : 39671/24525 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (205996/124169 : 77143/869183 : 1)
** u= -61/117 ; tau(u)= 295/178 ; -59647*x^2 + 23657*y^2 + 90746*x*z - 59647*z^2
  (163435/1673839 : -2466186/1673839 : 1)  C2b (24636385/4033444 : -1534933/4033444 : 1)
** u= 62/25 ; tau(u)= 12/37 ; 1106*x^2 - 2594*y^2 + 3988*x*z + 1106*z^2
  (336/6541 : -4655/6541 : 1)  C1a (-201844/95015 : -8661/95015 : 1)
** u= -64/73 ; tau(u)= 210/137 ; -33442*x^2 + 6562*y^2 + 48196*x*z - 33442*z^2
  (1187/38511 : -85028/38511 : 1)  C2b (-4564991/510336 : 472057/510336 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (239925/5888 : -71849/41216 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (-1517303/326375 : 63753/326375 : 1)
** u= 66/37 ; tau(u)= -8/29 ; 2674*x^2 - 1618*y^2 + 4420*x*z + 2674*z^2
  (-172/151 : 125/151 : 1)  C1a (-636957/23504 : -2797/1808 : 1)
** u= 68/121 ; tau(u)= 174/53 ; -994*x^2 + 24658*y^2 + 34900*x*z - 994*z^2
  (-18/983 : -253/983 : 1)  C1b (296292/535859 : 25411/535859 : 1)
** u= 69/4 ; tau(u)= 61/65 ; -3689*x^2 - 4729*y^2 + 8482*x*z - 3689*z^2
  (565/333 : -44/333 : 1)  C1a (244081/290865 : 13577/290865 : 1)
** u= -71/125 ; tau(u)= 321/196 ; -71791*x^2 + 26209*y^2 + 108082*x*z - 71791*z^2
  (47121/1625711 : -2632420/1625711 : 1)  C2b (2343272/16405 : 167251/16405 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (59342244/8645831 : 2505167/8645831 : 1)
** u= 73/81 ; tau(u)= 89/8 ; 5201*x^2 + 7793*y^2 + 13250*x*z + 5201*z^2
  (-24217/29837 : -15588/29837 : 1)  C1b (-61413/68821 : -3317/68821 : 1)
** u= -76/81 ; tau(u)= 238/157 ; -43522*x^2 + 7346*y^2 + 62420*x*z - 43522*z^2
  (427/796 : 1395/796 : 1)  C2b (3134580/205021 : -308305/205021 : 1)
** u= 76/113 ; tau(u)= 150/37 ; 3038*x^2 + 19762*y^2 + 28276*x*z + 3038*z^2
  (-899/8232 : 31/1176 : 1)  C1b (4610975/84039 : 195173/84039 : 1)
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b (-16136252/1501839 : 1164623/1501839 : 1)
** u= 77/97 ; tau(u)= 117/20 ; 5129*x^2 + 12889*y^2 + 19618*x*z + 5129*z^2
  (-289/465 : 292/465 : 1)  C1b (1647720/3040009 : 166321/3040009 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (-186197/1604 : -7947/1604 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-2644/2989 : 297/2989 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
  (10511/53693 : 90160/53693 : 1)  C2b (-371801513/27700624 : -32368803/27700624 : 1)
** u= -84/101 ; tau(u)= 286/185 ; -61394*x^2 + 13346*y^2 + 88852*x*z - 61394*z^2
  (659/280 : -1063/280 : 1)  C2b (443492/4760755 : 406887/4760755 : 1)
** u= -84/137 ; tau(u)= 358/221 ; -90626*x^2 + 30482*y^2 + 135220*x*z - 90626*z^2
  (-7319/14552 : 35515/14552 : 1)  C2b (31814181433/49784996 : 2363615751/49784996 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (552695/51471 : -28627/51471 : 1)
** u= 88/101 ; tau(u)= 114/13 ; 7406*x^2 + 12658*y^2 + 20740*x*z + 7406*z^2
  (-1377/2188 : 1013/2188 : 1)  C1b (-54921/933823 : 41387/933823 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (-2782961971/1448049480 : 288823043/1448049480 : 1)
** u= 89/8 ; tau(u)= 73/81 ; -5201*x^2 - 7793*y^2 + 13250*x*z - 5201*z^2
  (841/1013 : 540/1013 : 1)  C1a (-36675/33704 : -2705/33704 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (-29792/89155 : 5281/89155 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (-1612800/1398487 : -101981/1398487 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
  (-1613/1789 : 1092/1789 : 1)  C1a (15954328/3382965 : 1007149/3382965 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-563048/1416847 : -73891/1416847 : 1)
** u= -91/73 ; tau(u)= 237/164 ; -45511*x^2 + 2377*y^2 + 64450*x*z - 45511*z^2
  (107/201 : -640/201 : 1)  C2b (383408/1188325 : -35189/237665 : 1)
** u= -91/109 ; tau(u)= 309/200 ; -71719*x^2 + 15481*y^2 + 103762*x*z - 71719*z^2
  (13/7 : 20/7 : 1)  C2b (16180715/1018288 : 1416467/1018288 : 1)
** u= 94/53 ; tau(u)= -12/41 ; 5474*x^2 - 3218*y^2 + 8980*x*z + 5474*z^2
  (-2259/946 : 2059/946 : 1)  C1a (-32345/10612 : -1605/10612 : 1)
** u= -95/137 ; tau(u)= 369/232 ; -98623*x^2 + 28513*y^2 + 145186*x*z - 98623*z^2
  (-135587/1142951 : 2317572/1142951 : 1)  C2b (-215617536/103451395 : 23569549/103451395 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (34891247/794857 : 1470677/794857 : 1)
** u= -96/97 ; tau(u)= 290/193 ; -65282*x^2 + 9602*y^2 + 93316*x*z - 65282*z^2
  (107/355 : -752/355 : 1)  C2b (483487/254135 : -39141/254135 : 1)
** u= 97/52 ; tau(u)= -7/45 ; 5359*x^2 - 4001*y^2 + 9458*x*z + 5359*z^2
  (-107/173 : -108/173 : 1)  C1a (36408/77 : -1979/77 : 1)
** u= -97/73 ; tau(u)= 243/170 ; -48391*x^2 + 1249*y^2 + 68458*x*z - 48391*z^2
  (12763/27719 : 129186/27719 : 1)  C2b (54538684/1559261 : -13972499/1559261 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-320695/203273 : -14463/203273 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
  (-1583/473 : 1076/473 : 1)  C1a (-89099/98320 : -4697/98320 : 1)
** u= 106/25 ; tau(u)= 56/81 ; -1886*x^2 - 9986*y^2 + 14372*x*z - 1886*z^2
  (161/262 : 207/262 : 1)  C1a (101121/31855 : -4319/31855 : 1)
** u= 109/149 ; tau(u)= 189/40 ; 8681*x^2 + 32521*y^2 + 47602*x*z + 8681*z^2
  (-48903/257411 : -10004/257411 : 1)  C1b (-2278413869/225688829 : 96047251/225688829 : 1)
** u= 111/50 ; tau(u)= 11/61 ; 4879*x^2 - 7321*y^2 + 12442*x*z + 4879*z^2
  (11 : 10 : 1)  C1a (-6074708/702307 : -268613/702307 : 1)
** u= -112/193 ; tau(u)= 498/305 ; -173506*x^2 + 61954*y^2 + 260548*x*z - 173506*z^2
  (237/164 : -263/164 : 1)  C2b (-1452707/1346912 : -185053/1346912 : 1)
** u= 114/13 ; tau(u)= 88/101 ; -7406*x^2 - 12658*y^2 + 20740*x*z - 7406*z^2
  (1479/656 : -241/656 : 1)  C1a (12232/19165 : -169/3833 : 1)
** u= 114/61 ; tau(u)= -8/53 ; 7378*x^2 - 5554*y^2 + 13060*x*z + 7378*z^2
  (-7819/4723 : -4900/4723 : 1)  C1a (-67736/12303 : 3337/12303 : 1)
** u= -115/157 ; tau(u)= 429/272 ; -134743*x^2 + 36073*y^2 + 197266*x*z - 134743*z^2
  (5097/191 : 9584/191 : 1)  C2b (-48264/850631 : 73021/850631 : 1)
** u= 116/121 ; tau(u)= 126/5 ; 13406*x^2 + 15826*y^2 + 29332*x*z + 13406*z^2
  (-2603/3656 : 759/3656 : 1)  C1b (-1047821/230316 : 46369/230316 : 1)
** u= 117/20 ; tau(u)= 77/97 ; -5129*x^2 - 12889*y^2 + 19618*x*z - 5129*z^2
  (10239/33971 : 232/1477 : 1)  C1a (2301167/1378992 : 102517/1378992 : 1)
** u= -119/89 ; tau(u)= 297/208 ; -72367*x^2 + 1681*y^2 + 102370*x*z - 72367*z^2
  (51/509 : -3112/509 : 1)  C2b (-46379/8472 : -1687/984 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (-516593567/5159911 : -25266603/5159911 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (-3096416/1396739 : 133599/1396739 : 1)
** u= 121/125 ; tau(u)= 129/4 ; 14609*x^2 + 16609*y^2 + 31282*x*z + 14609*z^2
  (-3535/2603 : 616/2603 : 1)  C1b (-2819608/778385 : -123609/778385 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (-949129/175503 : 51371/175503 : 1)
** u= 123/149 ; tau(u)= 175/26 ; 13777*x^2 + 29273*y^2 + 45754*x*z + 13777*z^2
  (-4873/2443 : -2150/2443 : 1)  C1b (-33892/655 : -596589/262655 : 1)
** u= -124/117 ; tau(u)= 358/241 ; -100786*x^2 + 12002*y^2 + 143540*x*z - 100786*z^2
  (172/169 : 375/169 : 1)  C2b (48443/143579 : -14027/143579 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (-292211796/15891335 : 54307301/15891335 : 1)
** u= 126/5 ; tau(u)= 116/121 ; -13406*x^2 - 15826*y^2 + 29332*x*z - 13406*z^2
  (393/256 : 11/256 : 1)  C1a (133765/5548 : -6313/5548 : 1)
** u= 126/73 ; tau(u)= -20/53 ; 10258*x^2 - 5218*y^2 + 16276*x*z + 10258*z^2
  (185/564 : 1009/564 : 1)  C1a (6027145/518863 : -397067/518863 : 1)
** u= -127/193 ; tau(u)= 513/320 ; -188671*x^2 + 58369*y^2 + 279298*x*z - 188671*z^2
  (102487361/17493921583 : 31315886688/17493921583 : 1)  C2b (-4009600/2906887 : 490193/2906887 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (74920/310557 : -15719/310557 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (-392400544/4095293 : 1248247/141217 : 1)
** u= 129/4 ; tau(u)= 121/125 ; -14609*x^2 - 16609*y^2 + 31282*x*z - 14609*z^2
  (19631/26239 : -5060/26239 : 1)  C1a (713216/634665 : -33877/634665 : 1)
** u= 131/50 ; tau(u)= 31/81 ; 4039*x^2 - 12161*y^2 + 18122*x*z + 4039*z^2
  (1309/347 : -1134/347 : 1)  C1a (-122620/13101 : -5189/13101 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (-22874020/181921 : -3816477/181921 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
  (-1351/1944 : -259/1944 : 1)  C1b (94252/6905 : 4713/6905 : 1)
** u= 133/153 ; tau(u)= 173/20 ; 16889*x^2 + 29129*y^2 + 47618*x*z + 16889*z^2
  (-64579/119891 : 43644/119891 : 1)  C1b (4431121240/1401079339 : -230216851/1401079339 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
  (-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1)  C2b (-2069924/1127579 : 274561/1127579 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (-1197207/84136 : -50317/84136 : 1)
** u= 137/157 ; tau(u)= 177/20 ; 17969*x^2 + 30529*y^2 + 50098*x*z + 17969*z^2
  (-379/803 : 188/803 : 1)  C1b (5832152/3065225 : 339207/3065225 : 1)
** u= 138/89 ; tau(u)= -40/49 ; 14242*x^2 - 3202*y^2 + 20644*x*z + 14242*z^2
  (-101/710 : 1351/710 : 1)  C1a (-18833/13425 : 1223/13425 : 1)
** u= -140/137 ; tau(u)= 414/277 ; -133858*x^2 + 17938*y^2 + 190996*x*z - 133858*z^2
  (3164/14377 : 33657/14377 : 1)  C2b (-1012453/1142707 : -229073/1142707 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
  (4380/3017 : 73/431 : 1)  C1a (-2871692/482515 : -150807/482515 : 1)
** u= 142/61 ; tau(u)= 20/81 ; 7042*x^2 - 12722*y^2 + 20564*x*z + 7042*z^2
  (712/161 : 99/23 : 1)  C1a (82795/53117 : 5057/53117 : 1)
** u= -143/149 ; tau(u)= 441/292 ; -150079*x^2 + 23953*y^2 + 214930*x*z - 150079*z^2
  (-351/1499 : 4424/1499 : 1)  C2b (2326291/1490208 : 176711/1490208 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (74920/310557 : -15719/310557 : 1)
** u= 145/149 ; tau(u)= 153/4 ; 20993*x^2 + 23377*y^2 + 44434*x*z + 20993*z^2
  (-469/345 : 56/345 : 1)  C1b (-4745568/1096495 : 211117/1096495 : 1)
** u= -145/153 ; tau(u)= 451/298 ; -156583*x^2 + 25793*y^2 + 224426*x*z - 156583*z^2
  (-684647/143197 : -1955286/143197 : 1)  C2b (-1688381191/947344535 : -254712209/947344535 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-257929180/2463727 : 11289561/2463727 : 1)
** u= -148/109 ; tau(u)= 366/257 ; -110194*x^2 + 1858*y^2 + 155860*x*z - 110194*z^2
  (-5784/2489 : -59659/2489 : 1)  C2b (566724/498355 : -26683/99671 : 1)
** u= 150/37 ; tau(u)= 76/113 ; -3038*x^2 - 19762*y^2 + 28276*x*z - 3038*z^2
  (49/24 : 35/24 : 1)  C1a (1283253/149755 : -53891/149755 : 1)
** u= 150/49 ; tau(u)= 52/101 ; 2098*x^2 - 17698*y^2 + 25204*x*z + 2098*z^2
  (244/111 : -217/111 : 1)  C1a (-181035/151883 : -9541/151883 : 1)
** u= 150/101 ; tau(u)= -52/49 ; 17698*x^2 - 2098*y^2 + 25204*x*z + 17698*z^2
  (-207/32 : -539/32 : 1)  C1a (-1518157/104245 : 177081/104245 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (24455125/4681768 : 3953175/4681768 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (1201813/179517 : -315623/179517 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (-11989317/4022560 : -257795/804512 : 1)
** u= 153/4 ; tau(u)= 145/149 ; -20993*x^2 - 23377*y^2 + 44434*x*z - 20993*z^2
  (487/391 : 108/391 : 1)  C1a (434480/192233 : 18653/192233 : 1)
** u= 154/73 ; tau(u)= 8/81 ; 10594*x^2 - 13058*y^2 + 23780*x*z + 10594*z^2
  (-1223/458 : 603/458 : 1)  C1a (10936/7263 : -743/7263 : 1)
** u= -155/137 ; tau(u)= 429/292 ; -146503*x^2 + 13513*y^2 + 208066*x*z - 146503*z^2
  (-18609/216985 : -759196/216985 : 1)  C2b (6966776/2776935 : 746209/2776935 : 1)
** u= 159/98 ; tau(u)= -37/61 ; 17839*x^2 - 6073*y^2 + 26650*x*z + 17839*z^2
  (7921/128279 : -230174/128279 : 1)  C1a (-476391/74873 : 31799/74873 : 1)
** u= -159/169 ; tau(u)= 497/328 ; -189887*x^2 + 31841*y^2 + 272290*x*z - 189887*z^2
  (7737/1211 : 16900/1211 : 1)  C2b (17499544/10118357 : -1312887/10118357 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (4598531/1173469 : -371781/1173469 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (131360/277031 : -13275/277031 : 1)
** u= 161/80 ; tau(u)= 1/81 ; 12799*x^2 - 13121*y^2 + 25922*x*z + 12799*z^2
  (-200033/84023 : 112752/84023 : 1)  C1a (-4244048/309167 : -203503/309167 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (97424953/27993399 : -9688223/27993399 : 1)
** u= 161/169 ; tau(u)= 177/8 ; 25793*x^2 + 31201*y^2 + 57250*x*z + 25793*z^2
  (-47169/42661 : -18668/42661 : 1)  C1b (15754600/1538587 : 789465/1538587 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (-9108320/959341 : 432587/959341 : 1)
** u= 162/73 ; tau(u)= 16/89 ; 10402*x^2 - 15586*y^2 + 26500*x*z + 10402*z^2
  (607/12628 : 1563/1804 : 1)  C1a (-61413/68821 : -3317/68821 : 1)
** u= 173/20 ; tau(u)= 133/153 ; -16889*x^2 - 29129*y^2 + 47618*x*z - 16889*z^2
  (37621/30677 : -22812/30677 : 1)  C1a (90909/174224 : 7471/174224 : 1)
** u= 174/53 ; tau(u)= 68/121 ; 994*x^2 - 24658*y^2 + 34900*x*z + 994*z^2
  (-409/15336 : -11/216 : 1)  C1a (-1494447/421700 : 12949/84340 : 1)
** u= 175/26 ; tau(u)= 123/149 ; -13777*x^2 - 29273*y^2 + 45754*x*z - 13777*z^2
  (3527/2325 : 2102/2325 : 1)  C1a (-9515/2221 : 184137/890621 : 1)
** u= -175/181 ; tau(u)= 537/356 ; -222847*x^2 + 34897*y^2 + 318994*x*z - 222847*z^2
  (549/551 : 1048/551 : 1)  C2b (654975/136616 : 60641/136616 : 1)
** u= 177/8 ; tau(u)= 161/169 ; -25793*x^2 - 31201*y^2 + 57250*x*z - 25793*z^2
  (5209/7661 : -1508/7661 : 1)  C1a (-369153568/4912525 : 3552873/982505 : 1)
** u= 177/20 ; tau(u)= 137/157 ; -17969*x^2 - 30529*y^2 + 50098*x*z - 17969*z^2
  (72807/171839 : -5516/171839 : 1)  C1a (-8720/303811 : 13889/303811 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
  (135463/95547 : -318868/95547 : 1)  C1a (31245/173984 : 12595/173984 : 1)
** u= 183/82 ; tau(u)= 19/101 ; 13087*x^2 - 20041*y^2 + 33850*x*z + 13087*z^2
  (-2843/7151 : -14570/50057 : 1)  C1a (-29900/6519 : 9005/45633 : 1)
** u= -184/169 ; tau(u)= 522/353 ; -215362*x^2 + 23266*y^2 + 306340*x*z - 215362*z^2
  (1269/944 : -2717/944 : 1)  C2b (7717/53336 : 6179/53336 : 1)
** u= 184/185 ; tau(u)= 186 ; 33854*x^2 + 34594*y^2 + 68452*x*z + 33854*z^2
  (-2037/1787 : 916/12509 : 1)  C1b (-280545/72664 : 87839/508648 : 1)
** u= 186 ; tau(u)= 184/185 ; -33854*x^2 - 34594*y^2 + 68452*x*z - 33854*z^2
  (482/501 : 487/3507 : 1)  C1a (162736/60015 : 49691/420105 : 1)
** u= 186/89 ; tau(u)= 8/97 ; 15778*x^2 - 18754*y^2 + 34660*x*z + 15778*z^2
  (-7389/18817 : -9320/18817 : 1)  C1a (-140192/138595 : 1397/27719 : 1)
** u= -188/137 ; tau(u)= 462/325 ; -175906*x^2 + 2194*y^2 + 248788*x*z - 175906*z^2
  (-4538/19963 : 209465/19963 : 1)  C2b (139259/59876 : 39771/59876 : 1)
** u= 189/40 ; tau(u)= 109/149 ; -8681*x^2 - 32521*y^2 + 47602*x*z - 8681*z^2
  (37/193 : 12/193 : 1)  C1a (33088665/2452361 : 1398281/2452361 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (-6617077/647840 : -286957/647840 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (1714566935/1963784 : 73910769/1963784 : 1)
** u= -196/181 ; tau(u)= 558/377 ; -245842*x^2 + 27106*y^2 + 349780*x*z - 245842*z^2
  (43931/5704 : 120687/5704 : 1)  C2b (2677019/432852 : 303503/432852 : 1)
202
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-7/13のとき

13151^4+13495^4+40268^4=321602*1701^4
104672266858538355^4+193432271062993429^4+214415904275247452^4=321602*10309921568621759^4
12980676558371812148886202237723^4+23643463654233749213326886862045^4+26115231388321771008201410189596^4=321602*1258220052043034158491259165487^4
41620456227078557289780528861194451235^4+78057329569735317776172211971169859637^4+86844300029021414179278795752878052284^4=321602*4167440223758201252126442039285954887^4
631706804352058256696818451466968225599^4+682614361324683769935158292939012325895^4+1986412597562987226182620422938871351788^4=321602*83913745915986844744907098321809943629^4
595269444891571595904001980159249572583011673324946333997243043872877^4+781357374680139830072917051546704433943098861559586713950592238576395^4+822076830398831291133372521263666324216722539249355467402105225953316^4=321602*41511916852967916304812951442645869934647340248210388291455492813407^4
1993369118048102012118607308024740719523217102024893352853495308829793000557^4+2591059005884581681385950558357702520324048938115523432648452450853913376955^4+2726468497158573257733395567087744959689643313861761990653063101039236850564^4=321602*137846913767326096850520388129649996646388396748594853761563308045809560567^4
79379775687276515990952038281921478022032214902893681576401160339281400084313691^4+142547777348200249976596841507212208389748878632959076940022118265923767816820685^4+156910559858601060908290553736858686352819702245109814020530576678001248296165628^4=321602*7574830505540616348289866521514291524303693173715678883563478355897497767268119^4
816049794320070082394281446023840271123443441778247487621919589551914788045864749449888480811^4+1553692627038604159955050499735032686890705555800716469173412506206929045887314271327607081405^4+1735188419694871614297308654198857152378632594090975722988908242679977942779575101743902469948^4=321602*83099581991236120525493754128541535200340099590711488659589860580841624002275063100107176839^4
8767443736030952346746572438928544793185206509586223327180910264514645821015360801500207962514325^4+11622286179873137831670307096307877744862973743947070395739976553746149527556453906129205586035187^4+12227871274987816405299726109360826624949843029255466270711864082688471612258571600385102693401764^4=321602*616679507777823155841907627882627686805127282514546740935337266375971965796580131205821871137343^4
1495630004631442684197654855401274146714292129199436203781038258423875247982897759083090392661530575547379415^4+1702090099279715891752053468769049181670443665103393258502085654380940609091469559854693695465556432432738639^4+4833795422056862504190125396982435552965276882973467999057508490818272132349661756963286725555785172133674028^4=321602*204216436132543213131047451164404950730864602521760691103253258941544660404894285965658954182291672917417309^4
329228108518458172642999712693176792246807400000241282549574039500518802243070204431713980058563118965186743410617365^4+423812970480931318516140960188685089134074641725518291364650215853105174214115780102964848137647057138134127643019267^4+446082541977619583182082850943972421227117824391262754308479010468996454858502849281609916691762022017642573153056196^4=321602*22580429217023559480336981264329957936443265597696218954886007511663595561554270981385640076646026141581701940041543^4
73909940015040712835817234227655591727334326561650073630153019045846025653693816666384181750318115442447962745486516481054005363625597878992874274003577^4+638513522332206847204334693348498666895754825182133048941394989476113492907607573666121247238871453859322712478587591233081708403293242200592029903522625^4+1122265798309428777567553830755166488078222921427086215503642437424206563113135660974408011529587021866647627589197124966498919703423475287204099260993556^4=321602*48315590841332037759099210258392965994909770159653961829993238985282783628754125804785712450151165838437918176461698881563626947183694672953833409224653^4
6368898680545791466311774895613097635961380478832346873028491593901797772874534269217409815968611306527673868561647011187594129663748116936351514377511021919525^4+8527130803316963864097125947751507875633742678515816234564860176498030573851802793389793834074630276602316595514775752169852879153467741774256733349911039088307^4+8972545915633618923175378947235876256375847235807819733199863296401614832411017588065171418693803934953385749346668139750073367821605111987359481920676252968196^4=321602*451915607608859811256072019480702464371825771278945661124617871682468470880588371050754368896509712496062696856654238932891226541089935411814064378614456502423^4
3098700316631651697624212661787021005465622910276454543691268661856448414089883742450461864845410288963204496202830505713787433766758336160855781215093787211001^4+23163249190980703297039963287662665002786212189414259456240717595952374957809766630534400757676880571623118612477989490261871020511279746193399922604227584751825^4+41253320375539098493071267632176932104930854730125746344416011874638222813668124835359978058930460750141449381293221567154614394189170406175622656020651848416372^4=321602*1773865782669648204058822568483805745447583409306290617356256770517451351054439350464542498463869211774201908413539494327318478705407079176038434753737572861589^4
23937282762176883037926124635216548977707062719203708335427193320166844407015071791467510514241664474464605311986177404156376511984076285495027353660192285644836275^4+42391347999592605677740300952354394299595717375013553231813209780911735487487360574326664955212757423557164470564755436854866184412318534080949318197088734521240037^4+46508473248308747040838273255126286810848040276011184164449863781560673086802186377710874379184777777998524273371377260117078710907310524423544704493014845268538364^4=321602*2249593941007386055429922259275088621366696889046836937296277609072577097943530156179766470105849190246462565304333761150011946592140579974932501718716880021015607^4
85218917362921192944110890932734293407805109325673482473123719262636148209340842326857420823210398529756124177314669262053200535586641502734034192231707821988098535068263337147265^4+868046434241581001095300588725130044176266788034857018526507908393452930324600611154477279998389187584400683108843345562710890194539088294829752875644274194860923341886036615604601^4+1506064223856054705597777349111731230899133287675515797180395438364765064157259843137547451976954757251715136503262730568945068393561711752925182155752994059345736021663016296127508^4=321602*64920284990628954191769400814067387428079142883311994085619713427844450845094803217455362994551867141318599783127882755726788888832796352479061371712649905827635468813170667945709^4
788958983564612094255807852129988533181191949134576978263491283909617519466572793691397758846131626251188869821535641018465029420686278412692515826826120204829760155750267934889979083^4+1525397016825245116057514580193822468319847212784612474183369359397462024050201019865272434549214566241416392761855396914779419350415161743251043607900777693482800098779683551737717485^4+1710301801707314544652275391054654304762135376447248682748291934249236672901888066886698512713558902421709383168379576042926125194250251937337026240255078248463681064292022303748677596^4=321602*81741749249140502604111393179588942949902692499482492904555986955420522435885100069008944276311936246891259127819004203323361670007272483420797941058605127003749248250140582421991807^4
2681900064052164240337537967440307032767651778520381926023748616218621561540077311305482392286962978790526945938089286593449095140165866204529617224066501128619735401128656912789398962854834085^4+3419325472911337662852421884855375742452280505313320443197194565622147164976158244089151867027424587892439461326944923207015704353719905359278262429483177756580375920752228221032977086699712547^4+3600449915181466206889839897933207307406393115263901201529936381160807218510013972227780956005774057165888005986938740651218122863446923630575126221586292630384368969732868324445284017023820004^4=321602*182464392616504191944621028706860609954007751451962238837155570738809627615169696381460897756866960832351220957065171221054290694330047678672878038672872303591112903836906624793539756408036303^4
6309975442695746772677481150368058666768568263013543316137574540870114254852050803573998622451736037121598495768157035032161850979798237480809251661502020784174282923724744280268075812663920478808914305^4+41440798568613139210704650057968809735016784663819528387147741172152070052907158799860815742904053186004369905546548991795846669112836912015588757685021358320234741606059969943525812719257172257044864297^4+74805397754031008981510004154146765132778061650028456180549452010558105471423328188969206972590628731698935791526549361742580276192702573771372099043347196126813998180344215712652998204006709159440105524^4=321602*3212779661767787204366727675439321682132322464400760286152974938159594858702449151590465101651266792041489437643193738323373444457924392867628996520501705148376880570713326198078759823981009030336621573^4
...

u=-16/37のとき

4707730316011215672320120149359167312^4+9413347294618758641129182207769627475^4+19710532213478568429282782413782561773^4=321602*838899928821810598025717191940368901^4
27547935777641867053785282430394893209881073^4+55700444472217979685803498500110360564919360^4+56357549751316137715022574764491530290180993^4=321602*2818314411410482266627779538205336302056719^4
169371041355264490835534377717006933607781057640^4+228265507138008786984882893893958969621810868027^4+245324104931288082907916628734417361019674447773^4=321602*12215129652632600152381357122465857755552106561^4
5559048483039352482088478599073707272423498682117911566402897081128^4+6676623114018390095389321739553281604948587005024028030090584721967^4+7245889661533485074501586100379222797427354031844445231404661699495^4=321602*364849739163713323537945579511263948529450010630610531708122844699^4
24059136458383326742351527046923329053858397295932596916962137299801963115^4+40369320844940670968818982694561035505191184602377159298071290867907141469^4+41701959127105471712456472458099854343531150250964309724075457152881584824^4=321602*2079616940097177467230910515280736639883294714108872661223852606593453513^4
1696650989374126128793182469453958630871928218762309477769283300552897376669162450478945148501368261480360^4+7094457844298559078964698355341204359932960276944925466956239074642365067141287546861009050792980884743849^4+12469001800429910602922492899634521961797112887855381827661009959988552202763256053675380380145068388068769^4=321602*536854177799848374953036868815559209216856521707351938227618171936694392286698683229924307527212534219787^4
104623253670412964607930739014401050585407618988572964331691269154852154642187392105849400586305992508996092685509520^4+118216851857329394932516361027508084390070156480044707153545251147329171981455943419948376865453589628527873655743617^4+308995332385693425441209457813765246975125362398734016640554181100372160370517759023422157502647789256513666205594337^4=321602*13086152332806749517809559452370194783000990445047469885268341219052559050514487442963007988140443011539885730166711^4
296559189074044571612096505395214318065208305881981384562861380796343105773515777780011889245551086139806188548309837827001500222414171554240738944757248291296035^4+730295998084888964282995065176884146155163185305326769885116517786737811799193030622660278608242440117381148439786320881479816684004811017080787071968507936660672^4+782975645370398513357406927372893339058442535039547281973965280717263322004428496677110029045427282144400664277830777631708928595901108522106810903106889106986797^4=321602*37963474639397549742655830104652786322281678572634420106528906270609899307475520952435671695798834743710199105639997434169513763452917614137489202574152070257629^4
50018183410736292313778061822753899210594833694666720770428381209222000710016707473717563195901926749785819106029931743029611622803583067326125244783029401513114757560910921376^4+77805658742628657550076757783950372107371737385054490439244339894251185467622724757104324010145668854119746252148569064764805551528125104055500138632644090971994892364656998559^4+81626816253692656991147247061005127008168431258603777450534871100934052610600948207753627174989351264405246214564436408193674195486770890138918388500824796791758479155525582095^4=321602*4059060900187521926449268853973791948088965428914565699015500725935160672272798194920773404312303918877085629087911905155977197018761053187638927345290603289418105090089795103^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.02.06

H.Nakao