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Integer Points on A^4+B^4+C^4=308898*D^4

[2025.12.11]A^4+B^4+C^4=308898*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

308898=2*393^2であるので、以下では、n=393とする。

■n=393のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=393;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように129個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(393, 1, 200);
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (-20449/99641 : 5681/99641 : 1)
** u= -1/81 ; tau(u)= 163/82 ; -13447*x^2 + 13121*y^2 + 26570*x*z - 13447*z^2
  (-1117/7127 : -8334/7127 : 1)  C2b (16014596/12687871 : -738659/12687871 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (37096/33101 : -1809/33101 : 1)
** u= 3/101 ; tau(u)= 199/98 ; -19199*x^2 + 20393*y^2 + 39610*x*z - 19199*z^2
  (7797/10837 : 1918/10837 : 1)  C1b (140320876/52649345 : 1229783/10529869 : 1)
** u= -3/193 ; tau(u)= 389/196 ; -76823*x^2 + 74489*y^2 + 151330*x*z - 76823*z^2
  (109881/95779 : -23072/95779 : 1)  C2b (288367/859817 : 38407/859817 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (-19796/2053 : -6871/14371 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (2580964/1170647 : -114151/1170647 : 1)
** u= 5/153 ; tau(u)= 301/148 ; -43783*x^2 + 46793*y^2 + 90626*x*z - 43783*z^2
  (1271951/969389 : -70872/969389 : 1)  C1b (358299833/191312056 : 15598597/191312056 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (-2275901/486901 : -123181/486901 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (-1021984/459371 : 69717/459371 : 1)
** u= -11/117 ; tau(u)= 245/128 ; -32647*x^2 + 27257*y^2 + 60146*x*z - 32647*z^2
  (527/257 : -336/257 : 1)  C2b (-422647/1224904 : 79319/1224904 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-25708/23767 : 1263/23767 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (-28951637/3292964 : -1470741/3292964 : 1)
** u= 13/29 ; tau(u)= 45/16 ; -343*x^2 + 1513*y^2 + 2194*x*z - 343*z^2
  (47/297 : 16/297 : 1)  C1b (14632/63727 : -2711/63727 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (-62919112/381773 : -2860947/381773 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (231635/104516 : -585/6148 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (-185963/328504 : 17859/328504 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (555928/74611 : 31251/74611 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (-185109371/118632016 : -17503883/118632016 : 1)
** u= -19/117 ; tau(u)= 253/136 ; -36631*x^2 + 27017*y^2 + 64370*x*z - 36631*z^2
  (12073/4219 : -10020/4219 : 1)  C2b (8319401/4621696 : 376693/4621696 : 1)
** u= -20/153 ; tau(u)= 326/173 ; -59458*x^2 + 46418*y^2 + 106676*x*z - 59458*z^2
  (-29/4504 : 5127/4504 : 1)  C2b (15201484/9111341 : 683339/9111341 : 1)
** u= -21/61 ; tau(u)= 143/82 ; -13007*x^2 + 7001*y^2 + 20890*x*z - 13007*z^2
  (5767/19163 : -20354/19163 : 1)  C2b (147497/249220 : -2405/49844 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
  (1/3 : -124/21 : 1)  C2b (72136/7687 : 146721/53809 : 1)
** u= 23/97 ; tau(u)= 171/74 ; -10423*x^2 + 18289*y^2 + 29770*x*z - 10423*z^2
  (2351/191 : 1562/191 : 1)  C1b (81101/7211 : 3589/7211 : 1)
** u= -24/149 ; tau(u)= 322/173 ; -59282*x^2 + 43826*y^2 + 104260*x*z - 59282*z^2
  (54377/32917 : -34744/32917 : 1)  C2b (-2747873/598055 : 34405/119611 : 1)
** u= -24/173 ; tau(u)= 370/197 ; -77042*x^2 + 59282*y^2 + 137476*x*z - 77042*z^2
  (-23232/72785 : 107273/72785 : 1)  C2b (-1120912/1564369 : -129329/1564369 : 1)
** u= -25/49 ; tau(u)= 123/74 ; -10327*x^2 + 4177*y^2 + 15754*x*z - 10327*z^2
  (4143/1483 : -4970/1483 : 1)  C2b (79508/197831 : 10917/197831 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-64073/25324 : -3141/25324 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (2556124/825587 : -109609/825587 : 1)
** u= -28/153 ; tau(u)= 334/181 ; -64738*x^2 + 46034*y^2 + 112340*x*z - 64738*z^2
  (18401/5756 : -16257/5756 : 1)  C2b (465941/480661 : 24289/480661 : 1)
** u= 29/49 ; tau(u)= 69/20 ; 41*x^2 + 3961*y^2 + 5602*x*z + 41*z^2
  (-95/12687 : 196/12687 : 1)  C1b (-7984/14957 : 717/14957 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (-29819684/8798785 : -387841/1759757 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (-2218931/1540771 : 122113/1540771 : 1)
** u= 32/45 ; tau(u)= 58/13 ; 686*x^2 + 3026*y^2 + 4388*x*z + 686*z^2
  (-167/1030 : -51/1030 : 1)  C1b (-663547/274744 : -29093/274744 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (-33344/113437 : 10287/113437 : 1)
** u= -35/173 ; tau(u)= 381/208 ; -85303*x^2 + 58633*y^2 + 146386*x*z - 85303*z^2
  (-83483/163555 : -288352/163555 : 1)  C2b (208467809/690071 : -11726529/690071 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (-416/6553 : 351/6553 : 1)
** u= -40/97 ; tau(u)= 234/137 ; -35938*x^2 + 17218*y^2 + 56356*x*z - 35938*z^2
  (-2995/14101 : -23916/14101 : 1)  C2b (-148621096/30621191 : 10956979/30621191 : 1)
** u= 45/16 ; tau(u)= 13/29 ; 343*x^2 - 1513*y^2 + 2194*x*z + 343*z^2
  (-49/2279 : -1008/2279 : 1)  C1a (-663547/274744 : -29093/274744 : 1)
** u= -48/73 ; tau(u)= 194/121 ; -26978*x^2 + 8354*y^2 + 39940*x*z - 26978*z^2
  (8/3 : 11/3 : 1)  C2b (-13480/11653 : 1795/11653 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (-28583032/1593331 : -2000757/1593331 : 1)
** u= 48/113 ; tau(u)= 178/65 ; -6146*x^2 + 23234*y^2 + 33988*x*z - 6146*z^2
  (-11589/181648 : -108827/181648 : 1)  C1b (1501312/822881 : 67997/822881 : 1)
** u= -49/97 ; tau(u)= 243/146 ; -40231*x^2 + 16417*y^2 + 61450*x*z - 40231*z^2
  (-6233/17987 : -36162/17987 : 1)  C2b (97052/845123 : 54173/845123 : 1)
** u= 49/153 ; tau(u)= 257/104 ; -19231*x^2 + 44417*y^2 + 68450*x*z - 19231*z^2
  (27193/1489843 : 948108/1489843 : 1)  C1b (16361632/3153827 : -698231/3153827 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (7529/3044 : -4829/3044 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (5084/46663 : -16237/326641 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-21928/22109 : -1193/22109 : 1)
** u= -56/89 ; tau(u)= 234/145 ; -38914*x^2 + 12706*y^2 + 57892*x*z - 38914*z^2
  (24903/68491 : 92168/68491 : 1)  C2b (4931737/635704 : 344819/635704 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1b (3565088/835891 : 151363/835891 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
  (1309/4936 : -1315/4936 : 1)  C1b (2631704/3542897 : 166579/3542897 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
  (7/3 : -484/21 : 1)  C1a (-10768/3883 : -18591/27181 : 1)
** u= 58/13 ; tau(u)= 32/45 ; -686*x^2 - 3026*y^2 + 4388*x*z - 686*z^2
  (13/53 : 18/53 : 1)  C1a (14632/63727 : -2711/63727 : 1)
** u= 60/61 ; tau(u)= 62 ; 3598*x^2 + 3842*y^2 + 7444*x*z + 3598*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1b (-16722532/1685377 : 793207/1685377 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (1111279/679988 : 88251/679988 : 1)
** u= 60/73 ; tau(u)= 86/13 ; 3262*x^2 + 7058*y^2 + 10996*x*z + 3262*z^2
  (-38/113 : -11/113 : 1)  C1b (1691783/865852 : 94243/865852 : 1)
** u= -60/89 ; tau(u)= 238/149 ; -40802*x^2 + 12242*y^2 + 60244*x*z - 40802*z^2
  (-2742/581 : 5833/581 : 1)  C2b (4555759/2629343 : -267659/2629343 : 1)
** u= 60/109 ; tau(u)= 158/49 ; -1202*x^2 + 20162*y^2 + 28564*x*z - 1202*z^2
  (2657/63094 : 497/63094 : 1)  C1b (-424199/22028 : -18073/22028 : 1)
** u= 62 ; tau(u)= 60/61 ; -3598*x^2 - 3842*y^2 + 7444*x*z - 3598*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1a (-47116/47579 : 4049/47579 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (-649/1288 : -57/1288 : 1)
** u= -67/61 ; tau(u)= 189/128 ; -28279*x^2 + 2953*y^2 + 40210*x*z - 28279*z^2
  (-271/511 : 2256/511 : 1)  C2b (2238632/2589665 : -49693/517933 : 1)
** u= 68/169 ; tau(u)= 270/101 ; -15778*x^2 + 52498*y^2 + 77524*x*z - 15778*z^2
  (-6223/108502 : 67431/108502 : 1)  C1b (-703724/975871 : 56963/975871 : 1)
** u= -68/173 ; tau(u)= 414/241 ; -111538*x^2 + 55234*y^2 + 176020*x*z - 111538*z^2
  (-12632/411 : 18415/411 : 1)  C2b (-9822695/4712209 : -847975/4712209 : 1)
** u= 69/20 ; tau(u)= 29/49 ; -41*x^2 - 3961*y^2 + 5602*x*z - 41*z^2
  (107/2203 : 532/2203 : 1)  C1a (13024/50273 : 2199/50273 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (1810604/4320053 : 186599/4320053 : 1)
** u= -75/89 ; tau(u)= 253/164 ; -48167*x^2 + 10217*y^2 + 69634*x*z - 48167*z^2
  (531119/1754169 : 3080060/1754169 : 1)  C2b (245144/160081 : -16509/160081 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (40172/29657 : -36941/207599 : 1)
** u= 76/137 ; tau(u)= 198/61 ; -1666*x^2 + 31762*y^2 + 44980*x*z - 1666*z^2
  (7351/406496 : 66621/406496 : 1)  C1b (255356/269969 : -15479/269969 : 1)
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b (1100265223/462989300 : 2390267/18519572 : 1)
** u= 77/81 ; tau(u)= 85/4 ; 5897*x^2 + 7193*y^2 + 13154*x*z + 5897*z^2
  (-2063/3319 : 36/3319 : 1)  C1b (2441488/4091441 : 271393/4091441 : 1)
** u= -79/153 ; tau(u)= 385/232 ; -101407*x^2 + 40577*y^2 + 154466*x*z - 101407*z^2
  (-775/18251 : 29796/18251 : 1)  C2b (1166957/148387 : 74839/148387 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (-59970328/2928151 : 2550769/2928151 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (192401/23999 : -10107/23999 : 1)
** u= -84/109 ; tau(u)= 302/193 ; -67442*x^2 + 16706*y^2 + 98260*x*z - 67442*z^2
  (18028/7763 : -27059/7763 : 1)  C2b (18334804/9418799 : -69737/554047 : 1)
** u= -84/121 ; tau(u)= 326/205 ; -76994*x^2 + 22226*y^2 + 113332*x*z - 76994*z^2
  (5188/15605 : -22891/15605 : 1)  C2b (7896316/5916503 : -468811/5916503 : 1)
** u= -84/193 ; tau(u)= 470/277 ; -146402*x^2 + 67442*y^2 + 227956*x*z - 146402*z^2
  (183/1208 : -1579/1208 : 1)  C2b (-512444/2068343 : 159313/2068343 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (16547612/2044357 : -998301/2044357 : 1)
** u= 85/4 ; tau(u)= 77/81 ; -5897*x^2 - 7193*y^2 + 13154*x*z - 5897*z^2
  (4403/3067 : -1044/3067 : 1)  C1a (148553/285776 : 12361/285776 : 1)
** u= 86/13 ; tau(u)= 60/73 ; -3262*x^2 - 7058*y^2 + 10996*x*z - 3262*z^2
  (38/113 : 11/113 : 1)  C1a (-21136076/7270657 : 1082119/7270657 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (-10172684/777551 : -521097/777551 : 1)
** u= -87/73 ; tau(u)= 233/160 ; -43631*x^2 + 3089*y^2 + 61858*x*z - 43631*z^2
  (-42759/132703 : -623048/132703 : 1)  C2b (-2276216/2317337 : -677049/2317337 : 1)
** u= -87/173 ; tau(u)= 433/260 ; -127631*x^2 + 52289*y^2 + 195058*x*z - 127631*z^2
  (-119159/68487 : 276676/68487 : 1)  C2b (18113113/8576519 : 970237/8576519 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (1119256/1049437 : -65271/1049437 : 1)
** u= 89/97 ; tau(u)= 105/8 ; 7793*x^2 + 10897*y^2 + 18946*x*z + 7793*z^2
  (-23805/18809 : 10964/18809 : 1)  C1b (-8093293/1264832 : 360279/1264832 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (2291077/1314371 : 103213/1314371 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (180859/109132 : -8961/109132 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-10452967/5342464 : 452421/5342464 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (8182097/3180292 : -390941/3180292 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (-84172/178807 : -7847/178807 : 1)
** u= -100/97 ; tau(u)= 294/197 ; -67618*x^2 + 8818*y^2 + 96436*x*z - 67618*z^2
  (208511/679166 : 1523725/679166 : 1)  C2b (66716/23459 : -6249/23459 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (78154013/39229396 : 5550347/39229396 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (900283/370364 : -44451/370364 : 1)
** u= 105/8 ; tau(u)= 89/97 ; -7793*x^2 - 10897*y^2 + 18946*x*z - 7793*z^2
  (207/211 : 116/211 : 1)  C1a (20484944/3699517 : 905871/3699517 : 1)
** u= -112/81 ; tau(u)= 274/193 ; -61954*x^2 + 578*y^2 + 87620*x*z - 61954*z^2
  (19 : 3222/17 : 1)  C2b (28847/13807 : 160043/234719 : 1)
** u= -112/117 ; tau(u)= 346/229 ; -92338*x^2 + 14834*y^2 + 132260*x*z - 92338*z^2
  (-1187/1987 : 7374/1987 : 1)  C2b (1080352/898043 : 83791/898043 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (691192/127481 : 47289/127481 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (331900/167779 : 19785/167779 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (-134867/88808 : -6631/88808 : 1)
** u= 123/74 ; tau(u)= -25/49 ; 10327*x^2 - 4177*y^2 + 15754*x*z + 10327*z^2
  (7153/104007 : -172270/104007 : 1)  C1a (-58091/53924 : -3231/53924 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (-64285/15517 : -45385/15517 : 1)
** u= -129/145 ; tau(u)= 419/274 ; -133511*x^2 + 25409*y^2 + 192202*x*z - 133511*z^2
  (-2329/3895 : -13298/3895 : 1)  C2b (-6225772/1576699 : 42751/92747 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (-16641172/562801 : 2856303/562801 : 1)
** u= -132/137 ; tau(u)= 406/269 ; -127298*x^2 + 20114*y^2 + 182260*x*z - 127298*z^2
  (6792/5753 : -12139/5753 : 1)  C2b (1958956/58571 : 205991/58571 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (-266864/44483 : -17847/44483 : 1)
** u= -141/101 ; tau(u)= 343/242 ; -97247*x^2 + 521*y^2 + 137530*x*z - 97247*z^2
  (-201/2819 : 40502/2819 : 1)  C2b (-27857/112985 : -15547/22597 : 1)
** u= 143/82 ; tau(u)= -21/61 ; 13007*x^2 - 7001*y^2 + 20890*x*z + 13007*z^2
  (-13559/4003 : -14470/4003 : 1)  C1a (-34355249/23877340 : 332689/4775468 : 1)
** u= 143/193 ; tau(u)= 243/50 ; 15449*x^2 + 54049*y^2 + 79498*x*z + 15449*z^2
  (-4889/20855 : 4338/20855 : 1)  C1b (-1727116/291713 : -73313/291713 : 1)
** u= -147/181 ; tau(u)= 509/328 ; -193559*x^2 + 43913*y^2 + 280690*x*z - 193559*z^2
  (-25927/43107 : -135268/43107 : 1)  C2b (418342904/214447909 : -28125157/214447909 : 1)
** u= 148/197 ; tau(u)= 246/49 ; 17102*x^2 + 55714*y^2 + 82420*x*z + 17102*z^2
  (-8856/12041 : 9443/12041 : 1)  C1b (317569/1166764 : -55149/1166764 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (124979/69248 : 5783/69248 : 1)
** u= 158/49 ; tau(u)= 60/109 ; 1202*x^2 - 20162*y^2 + 28564*x*z + 1202*z^2
  (-101/13500 : 2989/13500 : 1)  C1a (249851/7529981 : 8657/203513 : 1)
** u= 163/82 ; tau(u)= -1/81 ; 13447*x^2 - 13121*y^2 + 26570*x*z + 13447*z^2
  (-6329/18821 : -12762/18821 : 1)  C1a (152044/424189 : -26293/424189 : 1)
** u= 165/173 ; tau(u)= 181/8 ; 27097*x^2 + 32633*y^2 + 59986*x*z + 27097*z^2
  (-535913/793301 : 142996/793301 : 1)  C1b (-2673136/230587 : -124633/230587 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (-556817/572356 : -28523/572356 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (5469449/2262503 : -1157403/2262503 : 1)
** u= 168/181 ; tau(u)= 194/13 ; 27886*x^2 + 37298*y^2 + 65860*x*z + 27886*z^2
  (-35889/45491 : 19304/45491 : 1)  C1b (1093520/3403321 : 189175/3403321 : 1)
** u= 171/74 ; tau(u)= 23/97 ; 10423*x^2 - 18289*y^2 + 29770*x*z + 10423*z^2
  (-5167/12659 : 270/12659 : 1)  C1a (-603308/656285 : -6547/131257 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (1933/257492 : 12551/257492 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
  (21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1)  C2b (1197239/2332103 : -170421/2332103 : 1)
** u= 177/193 ; tau(u)= 209/16 ; 30817*x^2 + 43169*y^2 + 75010*x*z + 30817*z^2
  (-1251/2347 : 1600/16429 : 1)  C1b (4638424/863171 : 1663621/6042197 : 1)
** u= 178/65 ; tau(u)= 48/113 ; 6146*x^2 - 23234*y^2 + 33988*x*z + 6146*z^2
  (-548/7345 : 2909/7345 : 1)  C1a (-377765048/190679281 : -16875449/190679281 : 1)
** u= 181/8 ; tau(u)= 165/173 ; -27097*x^2 - 32633*y^2 + 59986*x*z - 27097*z^2
  (34081/22741 : -5548/22741 : 1)  C1a (845464/526459 : 37141/526459 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (-687268/168899 : 64161/168899 : 1)
** u= -183/157 ; tau(u)= 497/340 ; -197711*x^2 + 15809*y^2 + 280498*x*z - 197711*z^2
  (207/121 : 524/121 : 1)  C2b (20384368/17199929 : 2213767/17199929 : 1)
** u= 189/128 ; tau(u)= -67/61 ; 28279*x^2 - 2953*y^2 + 40210*x*z + 28279*z^2
  (1487/8383 : 29392/8383 : 1)  C1a (-1587608/2894567 : 277193/2894567 : 1)
** u= 194/13 ; tau(u)= 168/181 ; -27886*x^2 - 37298*y^2 + 65860*x*z - 27886*z^2
  (752/927 : -407/927 : 1)  C1a (-43350848/1324435 : -416417/264887 : 1)
** u= 194/121 ; tau(u)= -48/73 ; 26978*x^2 - 8354*y^2 + 39940*x*z + 26978*z^2
  (4033/4561 : 14410/4561 : 1)  C1a (-628327/595088 : -38509/595088 : 1)
** u= 198/61 ; tau(u)= 76/137 ; 1666*x^2 - 31762*y^2 + 44980*x*z + 1666*z^2
  (5636/12791 : 10599/12791 : 1)  C1a (48849556/12315839 : -2157083/12315839 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (-27484/5209 : -31253/36463 : 1)
** u= 199/98 ; tau(u)= 3/101 ; 19199*x^2 - 20393*y^2 + 39610*x*z + 19199*z^2
  (8521/6099 : -14294/6099 : 1)  C1a (-2817260/173593 : 136075/173593 : 1)
129
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。




[参考文献]

Last Update: 2025.12.11
H.Nakao

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