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Integer Points on A^4+B^4+C^4=254898*D^4

[2026.01.15]A^4+B^4+C^4=254898*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

254898=2*357^2であるので、以下では、n=357とする。

■n=357のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=357;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように78個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(357,1,200);
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-16/13 : 1/13 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (-7208/16817 : 763/16817 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (-668/397 : 1233/6749 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
  (1123/1460 : -903/1460 : 1)  C2b (27644/6563 : 24451/111571 : 1)
** u= -8/45 ; tau(u)= 98/53 ; -5554*x^2 + 3986*y^2 + 9668*x*z - 5554*z^2
  (172/241 : -147/241 : 1)  C2b (3217993/2998829 : 167519/2998829 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (928/11713 : -529/11713 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (23917/2297 : -18801/39049 : 1)
** u= -12/49 ; tau(u)= 110/61 ; -7298*x^2 + 4658*y^2 + 12244*x*z - 7298*z^2
  (265/1686 : 1841/1686 : 1)  C2b (-2047/328 : -137/328 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-3793/773 : -169/773 : 1)
** u= 21/29 ; tau(u)= 37/8 ; 313*x^2 + 1241*y^2 + 1810*x*z + 313*z^2
  (-1051/367 : 500/367 : 1)  C1b (1291/281 : -1051/4777 : 1)
** u= -21/37 ; tau(u)= 95/58 ; -6287*x^2 + 2297*y^2 + 9466*x*z - 6287*z^2
  (-4795/11157 : 24982/11157 : 1)  C2b (822608/437473 : 47447/437473 : 1)
** u= 21/101 ; tau(u)= 181/80 ; -12359*x^2 + 19961*y^2 + 33202*x*z - 12359*z^2
  (-15289/19225 : 29368/19225 : 1)  C1b (-85724/124247 : 8459/124247 : 1)
** u= -21/109 ; tau(u)= 239/130 ; -33359*x^2 + 23321*y^2 + 57562*x*z - 33359*z^2
  (-34941/10387 : 52882/10387 : 1)  C2b (-4356896/48740429 : 3021403/48740429 : 1)
** u= 24/73 ; tau(u)= 122/49 ; -4226*x^2 + 10082*y^2 + 15460*x*z - 4226*z^2
  (18/73 : 1337/5183 : 1)  C1b (-7052/1493 : 24997/106003 : 1)
** u= 24/145 ; tau(u)= 266/121 ; -28706*x^2 + 41474*y^2 + 71332*x*z - 28706*z^2
  (-3581/1007771 : 842116/1007771 : 1)  C1b (11453516/6410377 : -522149/6410377 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (-71536/492077 : -78273/492077 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (1913/461 : -111/461 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (779176/14033 : 39603/14033 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (-1237/151 : -1443/2567 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (491584/301577 : -23089/301577 : 1)
** u= 37/8 ; tau(u)= 21/29 ; -313*x^2 - 1241*y^2 + 1810*x*z - 313*z^2
  (2441/1797 : -2020/1797 : 1)  C1a (-1007/6493 : 5179/110381 : 1)
** u= -37/61 ; tau(u)= 159/98 ; -17839*x^2 + 6073*y^2 + 26650*x*z - 17839*z^2
  (10401/44129 : 63434/44129 : 1)  C2b (313507/62737 : -21597/62737 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (-25696/2173 : -483/901 : 1)
** u= -47/197 ; tau(u)= 441/244 ; -116863*x^2 + 75409*y^2 + 196690*x*z - 116863*z^2
  (-29187/285947 : 387044/285947 : 1)  C2b (-143817229/7551140 : 1794223/1510228 : 1)
** u= -49/169 ; tau(u)= 387/218 ; -92647*x^2 + 54721*y^2 + 152170*x*z - 92647*z^2
  (5781/7861 : -5902/7861 : 1)  C2b (-99353767/6982907 : -6475003/6982907 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (9208/21097 : -1077/21097 : 1)
** u= 56/109 ; tau(u)= 162/53 ; -2482*x^2 + 20626*y^2 + 29380*x*z - 2482*z^2
  (53/8302 : -2769/8302 : 1)  C1b (-109169/104995 : -1409/20999 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-188959/801379 : -37347/801379 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (359/1933 : 1463/32861 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-2488/1289 : 2427/21913 : 1)
** u= -60/61 ; tau(u)= 182/121 ; -25682*x^2 + 3842*y^2 + 36724*x*z - 25682*z^2
  (512045/261178 : -964513/261178 : 1)  C2b (-299552/45281 : 654597/769777 : 1)
** u= 60/109 ; tau(u)= 158/49 ; -1202*x^2 + 20162*y^2 + 28564*x*z - 1202*z^2
  (2657/63094 : 497/63094 : 1)  C1b (21704/4993 : 16709/84881 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (-437132/4517641 : 205513/4517641 : 1)
** u= -75/121 ; tau(u)= 317/196 ; -71207*x^2 + 23657*y^2 + 106114*x*z - 71207*z^2
  (-4679/21171 : 43120/21171 : 1)  C2b (2826491/7741732 : -492157/7741732 : 1)
** u= 75/181 ; tau(u)= 287/106 ; -16847*x^2 + 59897*y^2 + 87994*x*z - 16847*z^2
  (-385293/7342267 : -4400050/7342267 : 1)  C1b (1871383/189509 : -83667/189509 : 1)
** u= -76/169 ; tau(u)= 414/245 ; -114274*x^2 + 51346*y^2 + 177172*x*z - 114274*z^2
  (7240/3743 : -7371/3743 : 1)  C2b (-4585024/2558327 : -454259/2558327 : 1)
** u= 77/97 ; tau(u)= 117/20 ; 5129*x^2 + 12889*y^2 + 19618*x*z + 5129*z^2
  (-289/465 : 292/465 : 1)  C1b (-47627/106879 : -4849/106879 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (-288592/36919 : -37917/36919 : 1)
** u= -79/181 ; tau(u)= 441/260 ; -128959*x^2 + 59281*y^2 + 200722*x*z - 128959*z^2
  (-685/3373 : -5796/3373 : 1)  C2b (-19632404/1534153 : -1422143/1534153 : 1)
** u= -84/109 ; tau(u)= 302/193 ; -67442*x^2 + 16706*y^2 + 98260*x*z - 67442*z^2
  (18028/7763 : -27059/7763 : 1)  C2b (10559737/5436608 : -716143/5436608 : 1)
** u= 84/125 ; tau(u)= 166/41 ; 3694*x^2 + 24194*y^2 + 34612*x*z + 3694*z^2
  (-622/613 : 655/613 : 1)  C1b (-180451/278953 : 14129/278953 : 1)
** u= -84/185 ; tau(u)= 454/269 ; -137666*x^2 + 61394*y^2 + 213172*x*z - 137666*z^2
  (-1148/3981 : 7373/3981 : 1)  C2b (141403/37031 : 8427/37031 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-8672/2977 : 507/3893 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (-221237/3919 : -298457/66623 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
  (-1613/1789 : 1092/1789 : 1)  C1a (94406813/75848212 : 151730191/1289419604 : 1)
** u= 95/58 ; tau(u)= -21/37 ; 6287*x^2 - 2297*y^2 + 9466*x*z + 6287*z^2
  (-5755/6531 : -7246/6531 : 1)  C1a (-80807/72664 : 4811/72664 : 1)
** u= 96/145 ; tau(u)= 194/49 ; 4414*x^2 + 32834*y^2 + 46852*x*z + 4414*z^2
  (-5119/4209 : 4984/4209 : 1)  C1b (-93908/63491 : 4841/63491 : 1)
** u= 98/53 ; tau(u)= -8/45 ; 5554*x^2 - 3986*y^2 + 9668*x*z + 5554*z^2
  (-3877/2269 : -2604/2269 : 1)  C1a (-40727/38908 : 2143/38908 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (8608/2239 : 467/2239 : 1)
** u= 105/121 ; tau(u)= 137/16 ; 10513*x^2 + 18257*y^2 + 29794*x*z + 10513*z^2
  (-13017/5881 : -2728/5881 : 1)  C1b (-9631411/5323183 : -440557/5323183 : 1)
** u= -105/193 ; tau(u)= 491/298 ; -166583*x^2 + 63473*y^2 + 252106*x*z - 166583*z^2
  (222867/77315 : -278578/77315 : 1)  C2b (2852699/2540281 : -167013/2540281 : 1)
** u= 109/149 ; tau(u)= 189/40 ; 8681*x^2 + 32521*y^2 + 47602*x*z + 8681*z^2
  (-48903/257411 : -10004/257411 : 1)  C1b (-14732/63733 : 48293/1083461 : 1)
** u= 110/61 ; tau(u)= -12/49 ; 7298*x^2 - 4658*y^2 + 12244*x*z + 7298*z^2
  (-15122/625 : -18277/625 : 1)  C1a (-233/136 : -193/2312 : 1)
** u= 117/20 ; tau(u)= 77/97 ; -5129*x^2 - 12889*y^2 + 19618*x*z - 5129*z^2
  (10239/33971 : 232/1477 : 1)  C1a (19324/26231 : 1303/26231 : 1)
** u= 122/49 ; tau(u)= 24/73 ; 4226*x^2 - 10082*y^2 + 15460*x*z + 4226*z^2
  (-1/62 : 2765/4402 : 1)  C1a (-4595/964 : 14575/68444 : 1)
** u= 124/125 ; tau(u)= 126 ; 15374*x^2 + 15874*y^2 + 31252*x*z + 15374*z^2
  (-352/313 : -45/313 : 1)  C1b (-1688/13639 : -677/13639 : 1)
** u= 126 ; tau(u)= 124/125 ; -15374*x^2 - 15874*y^2 + 31252*x*z - 15374*z^2
  (352/313 : 45/313 : 1)  C1a (518696/279217 : 23747/279217 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (-104176/62353 : 114917/1060001 : 1)
** u= 131/181 ; tau(u)= 231/50 ; 12161*x^2 + 48361*y^2 + 70522*x*z + 12161*z^2
  (-1655/301 : 122/301 : 1)  C1b (601813/463 : -27201/463 : 1)
** u= -132/113 ; tau(u)= 358/245 ; -102626*x^2 + 8114*y^2 + 145588*x*z - 102626*z^2
  (-1048/145 : 4109/145 : 1)  C2b (-86104/9357157 : -87823/550421 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (-110052932/16353097 : 4901653/16353097 : 1)
** u= 137/16 ; tau(u)= 105/121 ; -10513*x^2 - 18257*y^2 + 29794*x*z - 10513*z^2
  (3907/7555 : 2552/7555 : 1)  C1a (511828/76423 : -23431/76423 : 1)
** u= -147/109 ; tau(u)= 365/256 ; -109463*x^2 + 2153*y^2 + 154834*x*z - 109463*z^2
  (-107199/146047 : -98336/8591 : 1)  C2b (-2279996/3154679 : -1596971/3154679 : 1)
** u= 158/49 ; tau(u)= 60/109 ; 1202*x^2 - 20162*y^2 + 28564*x*z + 1202*z^2
  (-101/13500 : 2989/13500 : 1)  C1a (-631/5408 : -4103/91936 : 1)
** u= 159/98 ; tau(u)= -37/61 ; 17839*x^2 - 6073*y^2 + 26650*x*z + 17839*z^2
  (7921/128279 : -230174/128279 : 1)  C1a (32881/1532621 : -2973/37381 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-754060/457859 : -38055/457859 : 1)
** u= 162/53 ; tau(u)= 56/109 ; 2482*x^2 - 20626*y^2 + 29380*x*z + 2482*z^2
  (-13957/169373 : -10404/169373 : 1)  C1a (12026867/6697372 : -636553/6697372 : 1)
** u= 166/41 ; tau(u)= 84/125 ; -3694*x^2 - 24194*y^2 + 34612*x*z - 3694*z^2
  (969/3746 : 1705/3746 : 1)  C1a (-400928/209659 : 21121/209659 : 1)
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b (-43571/50657 : -2517/50657 : 1)
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a (7559933/912764 : -369573/912764 : 1)
** u= 181/80 ; tau(u)= 21/101 ; 12359*x^2 - 19961*y^2 + 33202*x*z + 12359*z^2
  (8909/173 : -7192/173 : 1)  C1a (-11801/13612 : -691/13612 : 1)
** u= 182/121 ; tau(u)= -60/61 ; 25682*x^2 - 3842*y^2 + 36724*x*z + 25682*z^2
  (2120/8643 : 26543/8643 : 1)  C1a (1697936/332471 : 3825771/5652007 : 1)
** u= 189/40 ; tau(u)= 109/149 ; -8681*x^2 - 32521*y^2 + 47602*x*z - 8681*z^2
  (37/193 : 12/193 : 1)  C1a (64442113/3828389 : 49150201/65082613 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-188843/64436 : 8623/64436 : 1)
** u= 194/49 ; tau(u)= 96/145 ; -4414*x^2 - 32834*y^2 + 46852*x*z - 4414*z^2
  (10285/46531 : 19432/46531 : 1)  C1a (-23939029/613292 : 1073117/613292 : 1)
** u= 196/197 ; tau(u)= 198 ; 38414*x^2 + 39202*y^2 + 77620*x*z + 38414*z^2
  (-349/344 : 49/344 : 1)  C1b (-84569/379 : 75541/6443 : 1)
** u= 198 ; tau(u)= 196/197 ; -38414*x^2 - 39202*y^2 + 77620*x*z - 38414*z^2
  (9131/10434 : -511/10434 : 1)  C1a (550049/252019 : 428269/4284323 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (3299/54464 : -2597/54464 : 1)
78
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.01.20追記] u=168/173のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.01.20
H.Nakao

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