Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+B^4+C^4=249218*D^4

[2026.01.15]A^4+B^4+C^4=249218*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

249218=2*353^2であるので、以下では、n=353とする。

■n=253のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=353;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように142個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(353,1,200);
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
  (347/237 : -32/237 : 1)  C1b (-53560/58627 : 4975/58627 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (-10217/10049 : 81/773 : 1)
** u= -3/101 ; tau(u)= 205/104 ; -21623*x^2 + 20393*y^2 + 42034*x*z - 21623*z^2
  (20951/17421 : 5908/17421 : 1)  C2b (-68401192/10161613 : 4006119/10161613 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (153831/18143 : 8371/18143 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
  (-4507/888 : -5047/888 : 1)  C1b (-5459884/6375485 : -103899/1275097 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (896/21499 : -979/21499 : 1)
** u= -5/29 ; tau(u)= 63/34 ; -2287*x^2 + 1657*y^2 + 3994*x*z - 2287*z^2
  (177/181 : -106/181 : 1)  C2b (551339/535621 : 29371/535621 : 1)
** u= -5/173 ; tau(u)= 351/178 ; -63343*x^2 + 59833*y^2 + 123226*x*z - 63343*z^2
  (16243/11791 : 5662/11791 : 1)  C2b (515292/3612371 : 182369/3612371 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (35545/28423 : 2335/28423 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
  (1/7 : 8/7 : 1)  C2b (782576/5937 : -48583/5937 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (225332/230157 : 12161/230157 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (-227151/76540 : -2369/15308 : 1)
** u= -11/153 ; tau(u)= 317/164 ; -53671*x^2 + 46697*y^2 + 100610*x*z - 53671*z^2
  (803/58661 : -434580/410627 : 1)  C2b (160655256/86484955 : 10509593/121078937 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (64635971/2147788 : 3235077/2147788 : 1)
** u= -13/157 ; tau(u)= 327/170 ; -57631*x^2 + 49129*y^2 + 107098*x*z - 57631*z^2
  (5549/8957 : 4678/8957 : 1)  C2b (-11876316/4440497 : -819541/4440497 : 1)
** u= 16/41 ; tau(u)= 66/25 ; -994*x^2 + 3106*y^2 + 4612*x*z - 994*z^2
  (-451/1316 : -175/188 : 1)  C1b (-5065331/238213 : -234897/238213 : 1)
** u= 16/113 ; tau(u)= 210/97 ; -18562*x^2 + 25282*y^2 + 44356*x*z - 18562*z^2
  (61/123 : -26/123 : 1)  C1b (891357/94936 : 42671/94936 : 1)
** u= 16/173 ; tau(u)= 330/157 ; -49042*x^2 + 59602*y^2 + 109156*x*z - 49042*z^2
  (28877/110699 : -70106/110699 : 1)  C1b (318696/274577 : 15971/274577 : 1)
** u= 19/149 ; tau(u)= 279/130 ; -33439*x^2 + 44041*y^2 + 78202*x*z - 33439*z^2
  (7299/4079 : 466/4079 : 1)  C1b (1221689/1739548 : -82423/1739548 : 1)
** u= -20/41 ; tau(u)= 102/61 ; -7042*x^2 + 2962*y^2 + 10804*x*z - 7042*z^2
  (125/192 : 193/192 : 1)  C2b (-21063/21449 : -2777/21449 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (8351/5927 : -517/5927 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (-239557301/1364624 : -654843/80272 : 1)
** u= -21/101 ; tau(u)= 223/122 ; -29327*x^2 + 19961*y^2 + 50170*x*z - 29327*z^2
  (-4371/15581 : -23578/15581 : 1)  C2b (4308545/723724 : -8085/24956 : 1)
** u= -23/41 ; tau(u)= 105/64 ; -7663*x^2 + 2833*y^2 + 11554*x*z - 7663*z^2
  (9657/8327 : -10576/8327 : 1)  C2b (5497/4992 : 329/4992 : 1)
** u= -24/25 ; tau(u)= 74/49 ; -4226*x^2 + 674*y^2 + 6052*x*z - 4226*z^2
  (3/4 : 7/4 : 1)  C2b (5363/8611 : -699/8611 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
  (-29/3351 : -27170/23457 : 1)  C2b (-9267724/830853 : 3936241/5815971 : 1)
** u= 25/173 ; tau(u)= 321/148 ; -43183*x^2 + 59233*y^2 + 103666*x*z - 43183*z^2
  (-98039/193251 : 259600/193251 : 1)  C1b (-3199071/1412303 : -199111/1412303 : 1)
** u= -28/85 ; tau(u)= 198/113 ; -24754*x^2 + 13666*y^2 + 39988*x*z - 24754*z^2
  (479/22 : -621/22 : 1)  C2b (-811308/47401 : 54173/47401 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (-6149192/457803 : -300113/457803 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (3793091/2048949 : -180521/2048949 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
  (20317/15223 : 18548/15223 : 1)  C2b (568627/300037 : 30321/300037 : 1)
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
  (87/47 : 128/47 : 1)  C1a (-185104/22749 : -9083/22749 : 1)
** u= -35/81 ; tau(u)= 197/116 ; -25687*x^2 + 11897*y^2 + 40034*x*z - 25687*z^2
  (99583/15937 : 128916/15937 : 1)  C2b (12143699/9610037 : -655193/9610037 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (10049/10217 : 1053/10217 : 1)
** u= -37/109 ; tau(u)= 255/146 ; -41263*x^2 + 22393*y^2 + 66394*x*z - 41263*z^2
  (-129/1111 : 11566/7777 : 1)  C2b (-19760684/10090931 : 12341509/70636517 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (-99061/97933 : 5553/97933 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (3064/3313 : -1593/23191 : 1)
** u= 41/81 ; tau(u)= 121/40 ; -1519*x^2 + 11441*y^2 + 16322*x*z - 1519*z^2
  (67/5017 : 1692/5017 : 1)  C1b (30614184/3578437 : 1370599/3578437 : 1)
** u= -44/113 ; tau(u)= 270/157 ; -47362*x^2 + 23602*y^2 + 74836*x*z - 47362*z^2
  (10997/5944 : -10311/5944 : 1)  C2b (209588/2475589 : -157391/2475589 : 1)
** u= -47/113 ; tau(u)= 273/160 ; -48991*x^2 + 23329*y^2 + 76738*x*z - 48991*z^2
  (-30319/38615 : -94408/38615 : 1)  C2b (-1098307/2361176 : -216849/2361176 : 1)
** u= 47/169 ; tau(u)= 291/122 ; -27559*x^2 + 54913*y^2 + 86890*x*z - 27559*z^2
  (5907/2111 : 130/2111 : 1)  C1b (5293633/974268 : -240001/974268 : 1)
** u= -48/101 ; tau(u)= 250/149 ; -42098*x^2 + 18098*y^2 + 64804*x*z - 42098*z^2
  (-37/22 : -85/22 : 1)  C2b (-2937976/501373 : 234009/501373 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (27142247/154064 : 1215591/154064 : 1)
** u= -51/97 ; tau(u)= 245/148 ; -41207*x^2 + 16217*y^2 + 62626*x*z - 41207*z^2
  (3641/23323 : -32984/23323 : 1)  C2b (-44370944/2735021 : -3418113/2735021 : 1)
** u= -51/181 ; tau(u)= 413/232 ; -105047*x^2 + 62921*y^2 + 173170*x*z - 105047*z^2
  (-469/4513 : 6340/4513 : 1)  C2b (34424/67609 : -3381/67609 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (149372/129603 : 95291/129603 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (-13092/71209 : -13193/71209 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (-24196/9849 : 1177/9849 : 1)
** u= -55/73 ; tau(u)= 201/128 ; -29743*x^2 + 7633*y^2 + 43426*x*z - 29743*z^2
  (-7353/5801 : 24176/5801 : 1)  C2b (-630696/117427 : -64297/117427 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
  (-91167/3659 : -147064/3659 : 1)  C2b (737539/178208 : 46241/178208 : 1)
** u= -56/41 ; tau(u)= 138/97 ; -15682*x^2 + 226*y^2 + 22180*x*z - 15682*z^2
  (-1327/146 : 11945/146 : 1)  C2b (-195163/419240 : 42807/83848 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1b (-18965159/137016 : -876463/137016 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
  (-957/5627 : 6280/5627 : 1)  C1a (-69981/5864 : -4153/5864 : 1)
** u= 57/97 ; tau(u)= 137/40 ; 49*x^2 + 15569*y^2 + 22018*x*z + 49*z^2
  (-4611/113023 : 26396/113023 : 1)  C1b (-131801/211409 : 11139/211409 : 1)
** u= -57/137 ; tau(u)= 331/194 ; -72023*x^2 + 34289*y^2 + 112810*x*z - 72023*z^2
  (-382793/178043 : -773686/178043 : 1)  C2b (27873028/6669155 : -329943/1333831 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-5196596/150961 : -243429/150961 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (281375273/66528432 : 16835467/66528432 : 1)
** u= -61/117 ; tau(u)= 295/178 ; -59647*x^2 + 23657*y^2 + 90746*x*z - 59647*z^2
  (163435/1673839 : -2466186/1673839 : 1)  C2b (-6060729/20167612 : 1811771/20167612 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (449528/454587 : 27119/454587 : 1)
** u= 61/197 ; tau(u)= 333/136 ; -33271*x^2 + 73897*y^2 + 114610*x*z - 33271*z^2
  (788999/9229 : 518676/9229 : 1)  C1b (-1183463552/184261143 : -58562191/184261143 : 1)
** u= 63/34 ; tau(u)= -5/29 ; 2287*x^2 - 1657*y^2 + 3994*x*z + 2287*z^2
  (-295/911 : -786/911 : 1)  C1a (-89372/7203 : 4993/7203 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (-4016/1709 : 1503/11963 : 1)
** u= 66/25 ; tau(u)= 16/41 ; 994*x^2 - 3106*y^2 + 4612*x*z + 994*z^2
  (1015/2603 : -2534/2603 : 1)  C1a (-30661/541 : 1401/541 : 1)
** u= -67/193 ; tau(u)= 453/260 ; -130711*x^2 + 70009*y^2 + 209698*x*z - 130711*z^2
  (13263/12473 : 11108/12473 : 1)  C2b (-2047730319/543259432 : -157880417/543259432 : 1)
** u= -68/113 ; tau(u)= 294/181 ; -60898*x^2 + 20914*y^2 + 91060*x*z - 60898*z^2
  (-94426/1327371 : 2387903/1327371 : 1)  C2b (-35063533/353820 : 554449/70764 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (-5935484/2600271 : 323807/2600271 : 1)
** u= 74/49 ; tau(u)= -24/25 ; 4226*x^2 - 674*y^2 + 6052*x*z + 4226*z^2
  (-461/1401 : 2800/1401 : 1)  C1a (-3688/32759 : 201/1927 : 1)
** u= -76/81 ; tau(u)= 238/157 ; -43522*x^2 + 7346*y^2 + 62420*x*z - 43522*z^2
  (427/796 : 1395/796 : 1)  C2b (-271396/40919 : 33061/40919 : 1)
** u= -79/85 ; tau(u)= 249/164 ; -47551*x^2 + 8209*y^2 + 68242*x*z - 47551*z^2
  (55/813 : 1864/813 : 1)  C2b (56114384/1072133 : 6008607/1072133 : 1)
** u= -79/121 ; tau(u)= 321/200 ; -73759*x^2 + 23041*y^2 + 109282*x*z - 73759*z^2
  (9157/1303 : -14740/1303 : 1)  C2b (-30728/547829 : -46639/547829 : 1)
** u= -80/101 ; tau(u)= 282/181 ; -59122*x^2 + 14002*y^2 + 85924*x*z - 59122*z^2
  (-1847/51171 : -107938/51171 : 1)  C2b (-17066641/467352 : -1621427/467352 : 1)
** u= 80/121 ; tau(u)= 162/41 ; 3038*x^2 + 22882*y^2 + 32644*x*z + 3038*z^2
  (-103/535 : 198/535 : 1)  C1b (-4468969/7144 : -200861/7144 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (-7818487/1536236 : -375489/1536236 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
  (-1068/5543 : -1529/5543 : 1)  C1b (30570109/203789 : -1382211/203789 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (-6660409/282196 : 353853/282196 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (44869/18357 : -2957/18357 : 1)
** u= -89/153 ; tau(u)= 395/242 ; -109207*x^2 + 38897*y^2 + 163946*x*z - 109207*z^2
  (34745/21773 : 39138/21773 : 1)  C2b (-947091/25003 : 74479/25003 : 1)
** u= 89/169 ; tau(u)= 249/80 ; -4879*x^2 + 49201*y^2 + 69922*x*z - 4879*z^2
  (-43957/1843461 : -672568/1843461 : 1)  C1b (-20947627/782891 : -942939/782891 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (365563/82464 : -17537/82464 : 1)
** u= -91/73 ; tau(u)= 237/164 ; -45511*x^2 + 2377*y^2 + 64450*x*z - 45511*z^2
  (107/201 : -640/201 : 1)  C2b (17845624/4367375 : -591133/873475 : 1)
** u= -91/109 ; tau(u)= 309/200 ; -71719*x^2 + 15481*y^2 + 103762*x*z - 71719*z^2
  (13/7 : 20/7 : 1)  C2b (101152/553431 : 47647/553431 : 1)
** u= -91/153 ; tau(u)= 397/244 ; -110791*x^2 + 38537*y^2 + 165890*x*z - 110791*z^2
  (-409/521 : 1476/521 : 1)  C2b (6031432/4662513 : -354017/4662513 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (754436/293229 : 35081/293229 : 1)
** u= -97/73 ; tau(u)= 243/170 ; -48391*x^2 + 1249*y^2 + 68458*x*z - 48391*z^2
  (12763/27719 : 129186/27719 : 1)  C2b (51851/48381 : -10729/48381 : 1)
** u= 97/197 ; tau(u)= 297/100 ; -10591*x^2 + 68209*y^2 + 97618*x*z - 10591*z^2
  (93229/1125431 : 218760/1125431 : 1)  C1b (4577112/1285529 : -207919/1285529 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (-1847116/1085673 : -92651/1085673 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-252187/279992 : 15063/279992 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
  (-977/6072 : 4613/6072 : 1)  C1a (-1381151/3581399 : -163851/3581399 : 1)
** u= 102/61 ; tau(u)= -20/41 ; 7042*x^2 - 2962*y^2 + 10804*x*z + 7042*z^2
  (-1024/471 : -1123/471 : 1)  C1a (-944212/70423 : 64683/70423 : 1)
** u= 103/113 ; tau(u)= 123/10 ; 10409*x^2 + 14929*y^2 + 25738*x*z + 10409*z^2
  (-652957/1239051 : -164698/1239051 : 1)  C1b (-126311156/4658973 : 6152317/4658973 : 1)
** u= 105/64 ; tau(u)= -23/41 ; 7663*x^2 - 2833*y^2 + 11554*x*z + 7663*z^2
  (2309/661 : 4672/661 : 1)  C1a (-4264736/48501 : 321707/48501 : 1)
** u= 109/173 ; tau(u)= 237/64 ; 3689*x^2 + 47977*y^2 + 68050*x*z + 3689*z^2
  (-241109/1363189 : 564656/1363189 : 1)  C1b (160256/38275 : 299/1531 : 1)
** u= 112/117 ; tau(u)= 122/5 ; 12494*x^2 + 14834*y^2 + 27428*x*z + 12494*z^2
  (-3109/2525 : -1002/2525 : 1)  C1b (8384288/3907619 : -549787/3907619 : 1)
** u= 112/153 ; tau(u)= 194/41 ; 9182*x^2 + 34274*y^2 + 50180*x*z + 9182*z^2
  (-48007/111323 : -62346/111323 : 1)  C1b (17349392/1091187 : 800653/1091187 : 1)
** u= 116/157 ; tau(u)= 198/41 ; 10094*x^2 + 35842*y^2 + 52660*x*z + 10094*z^2
  (-15994/66679 : -15579/66679 : 1)  C1b (-111005/75179 : 5545/75179 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (11998201/3771516 : 819323/3771516 : 1)
** u= -119/89 ; tau(u)= 297/208 ; -72367*x^2 + 1681*y^2 + 102370*x*z - 72367*z^2
  (51/509 : -3112/509 : 1)  C2b (10303/353 : 121097/14473 : 1)
** u= -120/113 ; tau(u)= 346/233 ; -94178*x^2 + 11138*y^2 + 134116*x*z - 94178*z^2
  (28439/15195 : 59896/15195 : 1)  C2b (-2764103/910673 : -452493/910673 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (-11449/98992 : -4461/98992 : 1)
** u= 121/40 ; tau(u)= 41/81 ; 1519*x^2 - 11441*y^2 + 16322*x*z + 1519*z^2
  (-125/1943 : -396/1943 : 1)  C1a (-4468969/7144 : -200861/7144 : 1)
** u= 121/125 ; tau(u)= 129/4 ; 14609*x^2 + 16609*y^2 + 31282*x*z + 14609*z^2
  (-3535/2603 : 616/2603 : 1)  C1b (2270696/447953 : 129711/447953 : 1)
** u= 122/5 ; tau(u)= 112/117 ; -12494*x^2 - 14834*y^2 + 27428*x*z - 12494*z^2
  (3109/2525 : 1002/2525 : 1)  C1a (-264616/180027 : -19543/180027 : 1)
** u= 123/10 ; tau(u)= 103/113 ; -10409*x^2 - 14929*y^2 + 25738*x*z - 10409*z^2
  (6507/12569 : 1154/12569 : 1)  C1a (529868/502049 : 27851/502049 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (4070997/385115 : -765745/77023 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (-8401377/495841 : 376871/495841 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (41531/110136 : -8471/110136 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (1378981/1876272 : -113597/1876272 : 1)
** u= 129/4 ; tau(u)= 121/125 ; -14609*x^2 - 16609*y^2 + 31282*x*z - 14609*z^2
  (19631/26239 : -5060/26239 : 1)  C1a (145871/70111 : -6663/70111 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (-19048591/589121 : 852599/589121 : 1)
** u= -132/157 ; tau(u)= 446/289 ; -149618*x^2 + 31874*y^2 + 216340*x*z - 149618*z^2
  (820842/718661 : -1258255/718661 : 1)  C2b (-17805940/5769259 : -2175795/5769259 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (7573847/205536 : 373561/205536 : 1)
** u= -136/109 ; tau(u)= 354/245 ; -101554*x^2 + 5266*y^2 + 143812*x*z - 101554*z^2
  (787/21291 : -91084/21291 : 1)  C2b (18724448/2915491 : -3302809/2915491 : 1)
** u= 137/40 ; tau(u)= 57/97 ; -49*x^2 - 15569*y^2 + 22018*x*z - 49*z^2
  (2551/3427 : -3508/3427 : 1)  C1a (105536/111419 : 6861/111419 : 1)
** u= 138/97 ; tau(u)= -56/41 ; 15682*x^2 - 226*y^2 + 22180*x*z + 15682*z^2
  (-144/121 : -863/121 : 1)  C1a (-11496/3991 : -3401/3991 : 1)
** u= 139/197 ; tau(u)= 255/58 ; 12593*x^2 + 58297*y^2 + 84346*x*z + 12593*z^2
  (-14107/72105 : -17482/72105 : 1)  C1b (-36949276/5831519 : -1653993/5831519 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-8226564/3337237 : -1031719/3337237 : 1)
** u= -145/169 ; tau(u)= 483/314 ; -176167*x^2 + 36097*y^2 + 254314*x*z - 176167*z^2
  (6427/4971 : -9854/4971 : 1)  C2b (946748/316071 : -76187/316071 : 1)
** u= 147/181 ; tau(u)= 215/34 ; 19297*x^2 + 43913*y^2 + 67834*x*z + 19297*z^2
  (-21325/10539 : 9926/10539 : 1)  C1b (-1163284/7013947 : -316929/7013947 : 1)
** u= -148/109 ; tau(u)= 366/257 ; -110194*x^2 + 1858*y^2 + 155860*x*z - 110194*z^2
  (-5784/2489 : -59659/2489 : 1)  C2b (-4124737/98060 : -289179/19612 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (-66655936/274395 : -625841/54879 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (8715231/2125184 : 677797/2125184 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
  (2757/18968 : -1991/18968 : 1)  C1a (46737980/1230209 : -2104515/1230209 : 1)
** u= 162/41 ; tau(u)= 80/121 ; -3038*x^2 - 22882*y^2 + 32644*x*z - 3038*z^2
  (490/3767 : 847/3767 : 1)  C1a (30614184/3578437 : 1370599/3578437 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (-143856/119281 : 10697/119281 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (6507787/1448749 : -1626759/1448749 : 1)
** u= 169/185 ; tau(u)= 201/16 ; 28049*x^2 + 39889*y^2 + 68962*x*z + 28049*z^2
  (-39447/20951 : 728/2993 : 1)  C1b (-61/141 : 2251/49773 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (5421348/2916377 : 370879/2916377 : 1)
** u= 172/173 ; tau(u)= 174 ; 29582*x^2 + 30274*y^2 + 59860*x*z + 29582*z^2
  (-287/264 : 35/264 : 1)  C1b (-3201964/2301959 : 152157/2301959 : 1)
** u= 174 ; tau(u)= 172/173 ; -29582*x^2 - 30274*y^2 + 59860*x*z - 29582*z^2
  (764/861 : 11/123 : 1)  C1a (802825804/5436521 : 42345201/5436521 : 1)
** u= -175/153 ; tau(u)= 481/328 ; -184543*x^2 + 16193*y^2 + 261986*x*z - 184543*z^2
  (1984747/698726257 : -2354054580/698726257 : 1)  C2b (4093528/710461 : 549257/710461 : 1)
** u= -176/185 ; tau(u)= 546/361 ; -229666*x^2 + 37474*y^2 + 329092*x*z - 229666*z^2
  (20082/46969 : 87799/46969 : 1)  C2b (-1887963/1685741 : -12667/58129 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
  (135463/95547 : -318868/95547 : 1)  C1a (145448488/520265 : -2002383/104053 : 1)
** u= 184/185 ; tau(u)= 186 ; 33854*x^2 + 34594*y^2 + 68452*x*z + 33854*z^2
  (-2037/1787 : 916/12509 : 1)  C1b (-1251/653 : -142307/1613563 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
  (2075/22547 : -580866/157829 : 1)  C2b (21248957/9629259 : 19688801/67404813 : 1)
** u= 186 ; tau(u)= 184/185 ; -33854*x^2 - 34594*y^2 + 68452*x*z - 33854*z^2
  (482/501 : 487/3507 : 1)  C1a (79/193 : -22049/476903 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (204304/1059067 : 49603/1059067 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (70847/75984 : -5687/75984 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (663041/325511 : -30789/325511 : 1)
** u= 194/41 ; tau(u)= 112/153 ; -9182*x^2 - 34274*y^2 + 50180*x*z - 9182*z^2
  (137/181 : 150/181 : 1)  C1a (1183960/276183 : 275/1431 : 1)
** u= 197/116 ; tau(u)= -35/81 ; 25687*x^2 - 11897*y^2 + 40034*x*z + 25687*z^2
  (83809/260225 : 484524/260225 : 1)  C1a (-3159343/2434176 : -169643/2434176 : 1)
** u= 198/41 ; tau(u)= 116/157 ; -10094*x^2 - 35842*y^2 + 52660*x*z - 10094*z^2
  (61541/289924 : 38411/289924 : 1)  C1a (-2124524/58545 : -19493/11709 : 1)
** u= 198/113 ; tau(u)= -28/85 ; 24754*x^2 - 13666*y^2 + 39988*x*z + 24754*z^2
  (-15/16 : -13/16 : 1)  C1a (-3764388/315961 : -230309/315961 : 1)
142
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.01.16追記] u=-3/17,29/109,-119/89,133/149のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.01.16
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]