Integer Points on A^4+B^4+C^4=232562*D^4
[2026.01.30]A^4+B^4+C^4=232562*D^4の整点
■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。
自然数nを固定したとき、不定方程式
A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。
以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。
■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
そのためには、nある有理数uに対して、
±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。
■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
x^2 - x + 1=n*t^2 --------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。
232562=2*341^2であるので、以下では、n=341とする。
■n=341のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。
{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=341;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>
■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように103個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。
[MAGMAによる計算]
> PP(341,1,200);
** u= 1/53 ; tau(u)= 105/52 ; -5407*x^2 + 5617*y^2 + 11026*x*z - 5407*z^2
(-523/244295 : -240208/244295 : 1) C1b (-4621/9220 : 653/9220 : 1)
** u= -1/169 ; tau(u)= 339/170 ; -57799*x^2 + 57121*y^2 + 114922*x*z - 57799*z^2
(3/55 : -12506/13145 : 1) C2b (18395/8121 : 206909/1940919 : 1)
** u= 4/53 ; tau(u)= 102/49 ; -4786*x^2 + 5602*y^2 + 10420*x*z - 4786*z^2
(-4507/888 : -5047/888 : 1) C1b (-10832/18211 : 1311/18211 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
(1/7 : 8/7 : 1) C2b (54004/105339 : -5353/105339 : 1)
** u= -8/17 ; tau(u)= 42/25 ; -1186*x^2 + 514*y^2 + 1828*x*z - 1186*z^2
(4 : -5 : 1) C2b (5164/7035 : -389/7035 : 1)
** u= 8/153 ; tau(u)= 298/145 ; -41986*x^2 + 46754*y^2 + 88868*x*z - 41986*z^2
(45115/66751 : 10248/66751 : 1) C1b (-26893980/4736773 : -1553653/4736773 : 1)
** u= 12/37 ; tau(u)= 62/25 ; -1106*x^2 + 2594*y^2 + 3988*x*z - 1106*z^2
(-1355/21194 : -15377/21194 : 1) C1b (-27160/17929 : 1731/17929 : 1)
** u= 12/109 ; tau(u)= 206/97 ; -18674*x^2 + 23618*y^2 + 42580*x*z - 18674*z^2
(-67/12586 : 78815/88102 : 1) C1b (155647/8024 : -54813/56168 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
(7837/4345 : 6414/4345 : 1) C2b (-204047/29640 : 14251/29640 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
(-1707/4423 : -4972/4423 : 1) C1b (651349/211775 : 29801/211775 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
(4099/21893 : -7560/21893 : 1) C1b (5981/6868 : 371/6868 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
(-18059/2029 : 24066/2029 : 1) C2b (-11387/6855 : 199/1371 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
(153/223 : 196/223 : 1) C2b (-4331307/987119 : -341521/987119 : 1)
** u= 20/81 ; tau(u)= 142/61 ; -7042*x^2 + 12722*y^2 + 20564*x*z - 7042*z^2
(-1193/25276 : -20079/25276 : 1) C1b (-320479/363296 : 27299/363296 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
(9/431 : 16/431 : 1) C1b (-7392403/857476 : 339813/857476 : 1)
** u= -23/17 ; tau(u)= 57/40 ; -2671*x^2 + 49*y^2 + 3778*x*z - 2671*z^2
(1/3 : -124/21 : 1) C2b (1785/611 : -3343/4277 : 1)
** u= -23/113 ; tau(u)= 249/136 ; -36463*x^2 + 25009*y^2 + 62530*x*z - 36463*z^2
(8223/10453 : 6556/10453 : 1) C2b (-1095035/83823 : 69385/83823 : 1)
** u= -24/25 ; tau(u)= 74/49 ; -4226*x^2 + 674*y^2 + 6052*x*z - 4226*z^2
(3/4 : 7/4 : 1) C2b (92/235 : 21/235 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
(-696/1915 : -15539/13405 : 1) C1b (-9959155/399913 : 3519807/2799391 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
(-21/1924 : 6245/1924 : 1) C2b (49351/14275 : 5967/14275 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
(17477/67823 : -5976/67823 : 1) C1b (43004348/12077429 : -115387/710437 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
(-810247/82473 : 1015738/82473 : 1) C2b (-4782295/446448 : -295745/446448 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
(20317/15223 : 18548/15223 : 1) C2b (158421605/27812119 : -9938435/27812119 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
(417/12094 : 8899/12094 : 1) C1b (-59175341/2263700 : -2950573/2263700 : 1)
** u= -37/109 ; tau(u)= 255/146 ; -41263*x^2 + 22393*y^2 + 66394*x*z - 41263*z^2
(-129/1111 : 11566/7777 : 1) C2b (70369/104355 : 37819/730485 : 1)
** u= 41/49 ; tau(u)= 57/8 ; 1553*x^2 + 3121*y^2 + 4930*x*z + 1553*z^2
(-1919/5403 : -140/5403 : 1) C1b (121819/44105 : 1367/8821 : 1)
** u= -41/153 ; tau(u)= 347/194 ; -73591*x^2 + 45137*y^2 + 122090*x*z - 73591*z^2
(1321/230401 : 292794/230401 : 1) C2b (2067176/292557 : -119983/292557 : 1)
** u= 42/25 ; tau(u)= -8/17 ; 1186*x^2 - 514*y^2 + 1828*x*z + 1186*z^2
(1107/1997 : 4460/1997 : 1) C1a (15428/8993 : 1613/8993 : 1)
** u= 47/97 ; tau(u)= 147/50 ; -2791*x^2 + 16609*y^2 + 23818*x*z - 2791*z^2
(4189/93097 : 30002/93097 : 1) C1b (-205520/58307 : -10093/58307 : 1)
** u= -49/97 ; tau(u)= 243/146 ; -40231*x^2 + 16417*y^2 + 61450*x*z - 40231*z^2
(-6233/17987 : -36162/17987 : 1) C2b (-56501/113273 : -11573/113273 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
(-1/2 : 55/2 : 1) C2b (132967/10059 : 112837/10059 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
(-43/4101 : -520/4101 : 1) C1a (575684/575675 : -7497/115135 : 1)
** u= -56/41 ; tau(u)= 138/97 ; -15682*x^2 + 226*y^2 + 22180*x*z - 15682*z^2
(-1327/146 : 11945/146 : 1) C2b (29828/15635 : -1653/3127 : 1)
** u= 56/81 ; tau(u)= 106/25 ; 1886*x^2 + 9986*y^2 + 14372*x*z + 1886*z^2
(-463/113 : 180/113 : 1) C1b (-424189/8100 : -19441/8100 : 1)
** u= -56/101 ; tau(u)= 258/157 ; -46162*x^2 + 17266*y^2 + 69700*x*z - 46162*z^2
(-6771/3641 : -16048/3641 : 1) C2b (-14571197/6845900 : -3581/16108 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
(9487/703 : 4740/703 : 1) C1b (137698215/154450099 : -8481823/154450099 : 1)
** u= 56/181 ; tau(u)= 306/125 ; -28114*x^2 + 62386*y^2 + 96772*x*z - 28114*z^2
(1309/4936 : -1315/4936 : 1) C1b (141492/90733 : 6877/90733 : 1)
** u= 57/8 ; tau(u)= 41/49 ; -1553*x^2 - 3121*y^2 + 4930*x*z - 1553*z^2
(2193/5437 : -1316/5437 : 1) C1a (24964/119047 : -5471/119047 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
(-957/5627 : 6280/5627 : 1) C1a (12017756/1135899 : 808303/1135899 : 1)
** u= 57/40 ; tau(u)= -23/17 ; 2671*x^2 - 49*y^2 + 3778*x*z + 2671*z^2
(7/3 : -484/21 : 1) C1a (-21/20 : 37/140 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
(7209/41819 : -53536/41819 : 1) C2b (3947765/807199 : -244585/807199 : 1)
** u= 62/25 ; tau(u)= 12/37 ; 1106*x^2 - 2594*y^2 + 3988*x*z + 1106*z^2
(336/6541 : -4655/6541 : 1) C1a (-319520/53023 : 14673/53023 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
(-121/131 : 108/131 : 1) C1b (-78091/22892 : 3563/22892 : 1)
** u= 68/181 ; tau(u)= 294/113 ; -20914*x^2 + 60898*y^2 + 91060*x*z - 20914*z^2
(67687/836328 : 396403/836328 : 1) C1b (678113/421181 : -33309/421181 : 1)
** u= 69/197 ; tau(u)= 325/128 ; -28007*x^2 + 72857*y^2 + 110386*x*z - 28007*z^2
(10011/313301 : -181712/313301 : 1) C1b (-26831980/2014519 : 1292043/2014519 : 1)
** u= 71/153 ; tau(u)= 235/82 ; -8407*x^2 + 41777*y^2 + 60266*x*z - 8407*z^2
(10799/88427 : 14814/88427 : 1) C1b (1797776/223749 : 81883/223749 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
(919/20983 : -11318/20983 : 1) C1b (522761232/132179665 : -23829319/132179665 : 1)
** u= 73/89 ; tau(u)= 105/16 ; 4817*x^2 + 10513*y^2 + 16354*x*z + 4817*z^2
(-15857/12433 : -10984/12433 : 1) C1b (12467/22905 : -1391/22905 : 1)
** u= 74/49 ; tau(u)= -24/25 ; 4226*x^2 - 674*y^2 + 6052*x*z + 4226*z^2
(-461/1401 : 2800/1401 : 1) C1a (-718372/513167 : 59019/513167 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
(24/35 : 7/5 : 1) C2b (60000/571207 : -3847/43939 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
(-1877/1242 : 4265/1242 : 1) C1a (-63751/62371 : -7137/62371 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
(-503/97 : -168/97 : 1) C1a (-78091/22892 : 3563/22892 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
(10511/53693 : 90160/53693 : 1) C2b (639076/855433 : 56253/855433 : 1)
** u= -87/157 ; tau(u)= 401/244 ; -111503*x^2 + 41729*y^2 + 168370*x*z - 111503*z^2
(22233/7567 : 4028/1081 : 1) C2b (18874781/1912612 : -1358841/1912612 : 1)
** u= -91/109 ; tau(u)= 309/200 ; -71719*x^2 + 15481*y^2 + 103762*x*z - 71719*z^2
(13/7 : 20/7 : 1) C2b (-33327292/5194477 : 3678707/5194477 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
(-3276/113 : -721/113 : 1) C1b (-22177808/757165 : 1010493/757165 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
(-203/1185 : -644/1185 : 1) C1a (-65403/61825 : -3553/61825 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
(-3161/1527 : 1096/1527 : 1) C1b (988180/271217 : 53661/271217 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
(-59329/90065 : -3284/90065 : 1) C1b (-5062077/765865 : 248479/765865 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
(1363/2147 : 1386/2147 : 1) C1a (5981/6868 : 371/6868 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
(-4189/18056 : -8175/18056 : 1) C1b (-7574544/3185041 : 364109/3185041 : 1)
** u= 102/49 ; tau(u)= 4/53 ; 4786*x^2 - 5602*y^2 + 10420*x*z + 4786*z^2
(-977/6072 : 4613/6072 : 1) C1a (-45533/14456 : 2139/14456 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
(2827/316949 : 415062/316949 : 1) C1a (-55610440/15987337 : -3037651/15987337 : 1)
** u= -103/153 ; tau(u)= 409/256 ; -120463*x^2 + 36209*y^2 + 177890*x*z - 120463*z^2
(-37363/288467 : -578304/288467 : 1) C2b (487045/516463 : -34295/516463 : 1)
** u= -104/185 ; tau(u)= 474/289 ; -156226*x^2 + 57634*y^2 + 235492*x*z - 156226*z^2
(-31669/19548 : -79271/19548 : 1) C2b (4096132/3164487 : 239749/3164487 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
(65205/55589 : 21796/55589 : 1) C1a (-303585/365764 : -29893/365764 : 1)
** u= 105/16 ; tau(u)= 73/89 ; -4817*x^2 - 10513*y^2 + 16354*x*z - 4817*z^2
(8949/26485 : -3256/26485 : 1) C1a (383927/193740 : -17941/193740 : 1)
** u= 105/52 ; tau(u)= 1/53 ; 5407*x^2 - 5617*y^2 + 11026*x*z + 5407*z^2
(-1583/473 : 1076/473 : 1) C1a (610820/507839 : -51883/507839 : 1)
** u= 106/25 ; tau(u)= 56/81 ; -1886*x^2 - 9986*y^2 + 14372*x*z - 1886*z^2
(161/262 : 207/262 : 1) C1a (1628820/203219 : 74179/203219 : 1)
** u= -112/117 ; tau(u)= 346/229 ; -92338*x^2 + 14834*y^2 + 132260*x*z - 92338*z^2
(-1187/1987 : 7374/1987 : 1) C2b (2059196/1283187 : 169489/1283187 : 1)
** u= 112/149 ; tau(u)= 186/37 ; 9806*x^2 + 31858*y^2 + 47140*x*z + 9806*z^2
(-5417/15609 : -6410/15609 : 1) C1b (-2687460/2616763 : 155495/2616763 : 1)
** u= 112/185 ; tau(u)= 258/73 ; 1886*x^2 + 55906*y^2 + 79108*x*z + 1886*z^2
(-2781/3305 : 3518/3305 : 1) C1b (-6735756/2060939 : -318707/2060939 : 1)
** u= 115/117 ; tau(u)= 119/2 ; 13217*x^2 + 14153*y^2 + 27386*x*z + 13217*z^2
(-27653/21163 : -174/21163 : 1) C1b (-147964384/85733585 : 6944831/85733585 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
(-3097/1263 : -3164/1263 : 1) C1a (726349/200953 : -59087/200953 : 1)
** u= 119/2 ; tau(u)= 115/117 ; -13217*x^2 - 14153*y^2 + 27386*x*z - 13217*z^2
(5407/4181 : -342/4181 : 1) C1a (1599072/2695133 : 126733/2695133 : 1)
** u= -120/101 ; tau(u)= 322/221 ; -83282*x^2 + 6002*y^2 + 118084*x*z - 83282*z^2
(821/4465 : 14624/4465 : 1) C2b (663437/209545 : 91143/209545 : 1)
** u= -124/97 ; tau(u)= 318/221 ; -82306*x^2 + 3442*y^2 + 116500*x*z - 82306*z^2
(3099/3032 : -11465/3032 : 1) C2b (3091600/2050067 : 488345/2050067 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
(-211/1076 : 18453/1076 : 1) C1a (16096/16263 : -26761/16263 : 1)
** u= -127/169 ; tau(u)= 465/296 ; -159103*x^2 + 40993*y^2 + 232354*x*z - 159103*z^2
(-33/245 : -76/35 : 1) C2b (734051/655700 : 50727/655700 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
(59271/31369 : 24392/31369 : 1) C1a (202519/11980 : 9633/11980 : 1)
** u= -131/197 ; tau(u)= 525/328 ; -198007*x^2 + 60457*y^2 + 292786*x*z - 198007*z^2
(-639053/2860753 : 6082340/2860753 : 1) C2b (3408487/5842900 : 365571/5842900 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
(-37/4267 : -2556/4267 : 1) C1a (-97293/89660 : -1081/17932 : 1)
** u= 133/153 ; tau(u)= 173/20 ; 16889*x^2 + 29129*y^2 + 47618*x*z + 16889*z^2
(-64579/119891 : 43644/119891 : 1) C1b (-208375/86027 : -9557/86027 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
(-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1) C2b (-2590219/1038575 : -340791/1038575 : 1)
** u= 138/97 ; tau(u)= -56/41 ; 15682*x^2 - 226*y^2 + 22180*x*z + 15682*z^2
(-144/121 : -863/121 : 1) C1a (-25387/8724 : 7657/8724 : 1)
** u= -140/149 ; tau(u)= 438/289 ; -147442*x^2 + 24802*y^2 + 211444*x*z - 147442*z^2
(3568/44661 : -102833/44661 : 1) C2b (104621784/81528785 : 8438881/81528785 : 1)
** u= 142/61 ; tau(u)= 20/81 ; 7042*x^2 - 12722*y^2 + 20564*x*z + 7042*z^2
(712/161 : 99/23 : 1) C1a (14309605/3107919 : 761839/3107919 : 1)
** u= 145/149 ; tau(u)= 153/4 ; 20993*x^2 + 23377*y^2 + 44434*x*z + 20993*z^2
(-469/345 : 56/345 : 1) C1b (5525275/1071876 : -24793/82452 : 1)
** u= 147/50 ; tau(u)= 47/97 ; 2791*x^2 - 16609*y^2 + 23818*x*z + 2791*z^2
(-9/89 : 14/89 : 1) C1a (1184141/554985 : -62609/554985 : 1)
** u= 148/153 ; tau(u)= 158/5 ; 21854*x^2 + 24914*y^2 + 46868*x*z + 21854*z^2
(-14902/10691 : 2157/10691 : 1) C1b (-1109320/695907 : 52387/695907 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
(-63077/63853 : -50344/63853 : 1) C1b (-10397012/1550929 : 480339/1550929 : 1)
** u= 153/4 ; tau(u)= 145/149 ; -20993*x^2 - 23377*y^2 + 44434*x*z - 20993*z^2
(487/391 : 108/391 : 1) C1a (-26893980/4736773 : -1553653/4736773 : 1)
** u= 158/5 ; tau(u)= 148/153 ; -21854*x^2 - 24914*y^2 + 46868*x*z - 21854*z^2
(1889/2668 : -327/2668 : 1) C1a (932431/94605 : -46861/94605 : 1)
** u= 161/169 ; tau(u)= 177/8 ; 25793*x^2 + 31201*y^2 + 57250*x*z + 25793*z^2
(-47169/42661 : -18668/42661 : 1) C1b (-39097972/33445421 : -1988007/33445421 : 1)
** u= 172/173 ; tau(u)= 174 ; 29582*x^2 + 30274*y^2 + 59860*x*z + 29582*z^2
(-287/264 : 35/264 : 1) C1b (-20882119/594032 : -1108929/594032 : 1)
** u= 173/20 ; tau(u)= 133/153 ; -16889*x^2 - 29129*y^2 + 47618*x*z - 16889*z^2
(37621/30677 : -22812/30677 : 1) C1a (-192055284/57470221 : -10728289/57470221 : 1)
** u= 174 ; tau(u)= 172/173 ; -29582*x^2 - 30274*y^2 + 59860*x*z - 29582*z^2
(764/861 : 11/123 : 1) C1a (16626928/852791 : 873489/852791 : 1)
** u= 177/8 ; tau(u)= 161/169 ; -25793*x^2 - 31201*y^2 + 57250*x*z - 25793*z^2
(5209/7661 : -1508/7661 : 1) C1a (-23797357/6846919 : -1429953/6846919 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
(135463/95547 : -318868/95547 : 1) C1a (8313823/679340 : 122481/135868 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
(-4189/3469 : 2646/3469 : 1) C1a (-4142360/2614841 : 204485/2614841 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
(2075/22547 : -580866/157829 : 1) C2b (7921/105811 : -125803/740677 : 1)
** u= 186/37 ; tau(u)= 112/149 ; -9806*x^2 - 31858*y^2 + 47140*x*z - 9806*z^2
(353/1617 : 38/1617 : 1) C1a (-260201/403605 : -4879/80721 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
(29101/89360 : -193833/89360 : 1) C2b (1481455/471056 : 148637/471056 : 1)
103
>
ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。
[参考文献]
- [1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
- [2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
- [3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
- [4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
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- [6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
- [7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
- [8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.
| Last Update: 2026.01.30 |
| H.Nakao |