Integer Points on A^4+B^4+C^4=229842*D^4

[2026.01.30]A^4+B^4+C^4=229842*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

229842=2*339^2であるので、以下では、n=339とする。

■n=339のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=339;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように139個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(339,1,200);
** u= -1/25 ; tau(u)= 51/26 ; -1351*x^2 + 1249*y^2 + 2602*x*z - 1351*z^2
  (151/171 : -50/171 : 1)  C2b (-9133/46022 : -2847/46022 : 1)
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (245587/256963 : 13661/256963 : 1)
** u= -3/193 ; tau(u)= 389/196 ; -76823*x^2 + 74489*y^2 + 151330*x*z - 76823*z^2
  (109881/95779 : -23072/95779 : 1)  C2b (18449867/6611506 : -883093/6611506 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (-1031/1151 : 77/1151 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (16178/11795 : -803/11795 : 1)
** u= -5/29 ; tau(u)= 63/34 ; -2287*x^2 + 1657*y^2 + 3994*x*z - 2287*z^2
  (177/181 : -106/181 : 1)  C2b (-17061550/15637673 : -1729309/15637673 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (2837/106 : 15247/11978 : 1)
** u= 7/17 ; tau(u)= 27/10 ; -151*x^2 + 529*y^2 + 778*x*z - 151*z^2
  (1/5 : 6/115 : 1)  C1b (298/337 : 433/7751 : 1)
** u= 7/81 ; tau(u)= 155/74 ; -10903*x^2 + 13073*y^2 + 24074*x*z - 10903*z^2
  (185/293 : -18/293 : 1)  C1b (7535702/1415755 : -365287/1415755 : 1)
** u= 7/153 ; tau(u)= 299/146 ; -42583*x^2 + 46769*y^2 + 89450*x*z - 42583*z^2
  (-15341/404539 : 401358/404539 : 1)  C1b (74763862/77719499 : -4147409/77719499 : 1)
** u= -8/81 ; tau(u)= 170/89 ; -15778*x^2 + 13058*y^2 + 28964*x*z - 15778*z^2
  (2402/7199 : 243/313 : 1)  C2b (83330/87517 : 4667/87517 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (853229/153875 : -44229/153875 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (-10/29 : -175/3277 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (37981/13883 : 1743/13883 : 1)
** u= -12/49 ; tau(u)= 110/61 ; -7298*x^2 + 4658*y^2 + 12244*x*z - 7298*z^2
  (265/1686 : 1841/1686 : 1)  C2b (10/311 : -19/311 : 1)
** u= 12/97 ; tau(u)= 182/85 ; -14306*x^2 + 18674*y^2 + 33268*x*z - 14306*z^2
  (2232/13787 : -9727/13787 : 1)  C1b (541249/133175 : 25563/133175 : 1)
** u= 12/149 ; tau(u)= 286/137 ; -37394*x^2 + 44258*y^2 + 81940*x*z - 37394*z^2
  (40808/70867 : 17207/70867 : 1)  C1b (-364734790/140219887 : 23332945/140219887 : 1)
** u= -13/45 ; tau(u)= 103/58 ; -6559*x^2 + 3881*y^2 + 10778*x*z - 6559*z^2
  (7837/4345 : 6414/4345 : 1)  C2b (7225558/3830675 : 368737/3830675 : 1)
** u= -13/181 ; tau(u)= 375/194 ; -75103*x^2 + 65353*y^2 + 140794*x*z - 75103*z^2
  (627/1435 : 134/205 : 1)  C2b (-193426/136775 : 16371/136775 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (-3337/1655 : 161/1655 : 1)
** u= 15/73 ; tau(u)= 131/58 ; -6503*x^2 + 10433*y^2 + 17386*x*z - 6503*z^2
  (8947/20739 : -2962/20739 : 1)  C1b (44224198/15977243 : 2033551/15977243 : 1)
** u= -15/121 ; tau(u)= 257/136 ; -36767*x^2 + 29057*y^2 + 66274*x*z - 36767*z^2
  (245/223 : 836/1561 : 1)  C2b (-300418/338617 : -228873/2370319 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
  (-747/251 : 18056/4267 : 1)  C2b (124625/7201 : 116241/122417 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (10103918/51998195 : 3044769/51998195 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (4083539/2621267 : 201013/2621267 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
  (-18059/2029 : 24066/2029 : 1)  C2b (94339541/37206178 : -4790557/37206178 : 1)
** u= 20/81 ; tau(u)= 142/61 ; -7042*x^2 + 12722*y^2 + 20564*x*z - 7042*z^2
  (-1193/25276 : -20079/25276 : 1)  C1b (166870/51017 : 7661/51017 : 1)
** u= 21/61 ; tau(u)= 101/40 ; -2759*x^2 + 7001*y^2 + 10642*x*z - 2759*z^2
  (-987/26695 : -17924/26695 : 1)  C1b (255562/13703 : -11949/13703 : 1)
** u= 23/153 ; tau(u)= 283/130 ; -33271*x^2 + 46289*y^2 + 80618*x*z - 33271*z^2
  (27697/52501 : -174/52501 : 1)  C1b (-20129185/1636423 : 1057139/1636423 : 1)
** u= -24/125 ; tau(u)= 274/149 ; -43826*x^2 + 30674*y^2 + 75652*x*z - 43826*z^2
  (8011/25031 : 155320/175217 : 1)  C2b (135650/14377 : -53981/100639 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (-74734/757585 : -47661/757585 : 1)
** u= 27/10 ; tau(u)= 7/17 ; 151*x^2 - 529*y^2 + 778*x*z + 151*z^2
  (-1/5 : -6/115 : 1)  C1a (-1910/2543 : 3073/58489 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (26962/6775 : -263/1355 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (-22980229/2207797 : 1167163/2207797 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (14502433/5693750 : -667801/5693750 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (583390/21949 : 27967/21949 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (-863969/443335 : -46931/443335 : 1)
** u= 33/37 ; tau(u)= 41/4 ; 1057*x^2 + 1649*y^2 + 2770*x*z + 1057*z^2
  (-747/763 : -68/109 : 1)  C1b (645493/150869 : 35677/150869 : 1)
** u= -33/65 ; tau(u)= 163/98 ; -18119*x^2 + 7361*y^2 + 27658*x*z - 18119*z^2
  (11/3 : -14/3 : 1)  C2b (26802841/7565690 : 1681079/7565690 : 1)
** u= -33/89 ; tau(u)= 211/122 ; -28679*x^2 + 14753*y^2 + 45610*x*z - 28679*z^2
  (59971/478031 : -602146/478031 : 1)  C2b (49915217/27463186 : -2634259/27463186 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (965041/41705 : -46323/41705 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (4283/2813 : 1833/19691 : 1)
** u= -40/97 ; tau(u)= 234/137 ; -35938*x^2 + 17218*y^2 + 56356*x*z - 35938*z^2
  (-2995/14101 : -23916/14101 : 1)  C2b (143357/451835 : 26191/451835 : 1)
** u= 41/4 ; tau(u)= 33/37 ; -1057*x^2 - 1649*y^2 + 2770*x*z - 1057*z^2
  (149/213 : -100/213 : 1)  C1a (20033/31394 : -1499/31394 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (-280307/469123 : 25907/469123 : 1)
** u= 51/26 ; tau(u)= -1/25 ; 1351*x^2 - 1249*y^2 + 2602*x*z + 1351*z^2
  (-959/1139 : -350/1139 : 1)  C1a (1632011/16354 : 90939/16354 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (6369170/1917337 : -864253/1917337 : 1)
** u= 53/157 ; tau(u)= 261/104 ; -18823*x^2 + 46489*y^2 + 70930*x*z - 18823*z^2
  (113573/28287 : 3628/4041 : 1)  C1b (773287/569839 : -39371/569839 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (872078/392275 : -8393/78455 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (4286/2119 : 341/2119 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
  (18969/262357 : -116378/262357 : 1)  C1b (-2718878/13415497 : 17943/362581 : 1)
** u= 56/109 ; tau(u)= 162/53 ; -2482*x^2 + 20626*y^2 + 29380*x*z - 2482*z^2
  (53/8302 : -2769/8302 : 1)  C1b (-61379/74467 : -4603/74467 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (1435210/334259 : 66375/334259 : 1)
** u= 57/185 ; tau(u)= 313/128 ; -29519*x^2 + 65201*y^2 + 101218*x*z - 29519*z^2
  (2864959/32625105 : -18452848/32625105 : 1)  C1b (14129/22489 : -123307/2541257 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-441145/44546 : -21573/44546 : 1)
** u= -59/137 ; tau(u)= 333/196 ; -73351*x^2 + 34057*y^2 + 114370*x*z - 73351*z^2
  (7209/41819 : -53536/41819 : 1)  C2b (-2514330626/1259339065 : 48697055/251867813 : 1)
** u= 60/121 ; tau(u)= 182/61 ; -3842*x^2 + 25682*y^2 + 36724*x*z - 3842*z^2
  (-934/793 : 1133/793 : 1)  C1b (3832709/1234150 : 179183/1234150 : 1)
** u= 63/34 ; tau(u)= -5/29 ; 2287*x^2 - 1657*y^2 + 3994*x*z + 2287*z^2
  (-295/911 : -786/911 : 1)  C1a (57115/7013 : -3661/7013 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (274/2813 : 137/2813 : 1)
** u= -64/193 ; tau(u)= 450/257 ; -128002*x^2 + 70402*y^2 + 206596*x*z - 128002*z^2
  (521/469 : -60/67 : 1)  C2b (378227/499253 : 26177/499253 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (13241/3334 : 4239/23338 : 1)
** u= 69/137 ; tau(u)= 205/68 ; -4487*x^2 + 32777*y^2 + 46786*x*z - 4487*z^2
  (-1541/36689 : 16288/36689 : 1)  C1b (-16252496590/7479242383 : 850271517/7479242383 : 1)
** u= 71/169 ; tau(u)= 267/98 ; -14167*x^2 + 52081*y^2 + 76330*x*z - 14167*z^2
  (-58073/2031807 : 1138774/2031807 : 1)  C1b (-2275243/529349 : -112971/529349 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (-2660930/6211867 : 344197/6211867 : 1)
** u= -75/89 ; tau(u)= 253/164 ; -48167*x^2 + 10217*y^2 + 69634*x*z - 48167*z^2
  (531119/1754169 : 3080060/1754169 : 1)  C2b (1291105/1863953 : 134961/1863953 : 1)
** u= -75/121 ; tau(u)= 317/196 ; -71207*x^2 + 23657*y^2 + 106114*x*z - 71207*z^2
  (-4679/21171 : 43120/21171 : 1)  C2b (-4162363/1315390 : -417949/1315390 : 1)
** u= -76/97 ; tau(u)= 270/173 ; -54082*x^2 + 13042*y^2 + 78676*x*z - 54082*z^2
  (24/35 : 7/5 : 1)  C2b (45640406/9193145 : -289393/707165 : 1)
** u= 76/137 ; tau(u)= 198/61 ; -1666*x^2 + 31762*y^2 + 44980*x*z - 1666*z^2
  (7351/406496 : 66621/406496 : 1)  C1b (1329578/951191 : 73393/951191 : 1)
** u= -76/169 ; tau(u)= 414/245 ; -114274*x^2 + 51346*y^2 + 177172*x*z - 114274*z^2
  (7240/3743 : -7371/3743 : 1)  C2b (-7163474/8371165 : -1005727/8371165 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (274/2813 : 137/2813 : 1)
** u= -84/157 ; tau(u)= 398/241 ; -109106*x^2 + 42242*y^2 + 165460*x*z - 109106*z^2
  (23466/13031 : 25751/13031 : 1)  C2b (-1423141/1019818 : -169609/1019818 : 1)
** u= -84/193 ; tau(u)= 470/277 ; -146402*x^2 + 67442*y^2 + 227956*x*z - 146402*z^2
  (183/1208 : -1579/1208 : 1)  C2b (-580801/150490 : 48521/150490 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (9501407/1394986 : -608649/1394986 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-325454/11557 : -1209/889 : 1)
** u= 87/89 ; tau(u)= 91/2 ; 7561*x^2 + 8273*y^2 + 15850*x*z + 7561*z^2
  (-5061/4271 : -1154/4271 : 1)  C1b (709361/1031122 : -79989/1031122 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (2088106/1260665 : -208129/1260665 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (124570/586333 : 41153/586333 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (-49802/137275 : -6657/137275 : 1)
** u= 91/2 ; tau(u)= 87/89 ; -7561*x^2 - 8273*y^2 + 15850*x*z - 7561*z^2
  (2283/2837 : 538/2837 : 1)  C1a (3504550/13753381 : -662775/13753381 : 1)
** u= 96/145 ; tau(u)= 194/49 ; 4414*x^2 + 32834*y^2 + 46852*x*z + 4414*z^2
  (-5119/4209 : 4984/4209 : 1)  C1b (5518555594/652880489 : -257722891/652880489 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (4083539/2621267 : 201013/2621267 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (25335610/13218347 : -1381687/13218347 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (4296995/3744349 : -383717/3744349 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (3748669/581654 : -176053/581654 : 1)
** u= 101/40 ; tau(u)= 21/61 ; 2759*x^2 - 7001*y^2 + 10642*x*z + 2759*z^2
  (-4345/27411 : 11068/27411 : 1)  C1a (-429383/64450 : -19761/64450 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (1185145/1220561 : -96635/1220561 : 1)
** u= 101/181 ; tau(u)= 261/80 ; -2599*x^2 + 55321*y^2 + 78322*x*z - 2599*z^2
  (-16429/21613 : 162264/151291 : 1)  C1b (17502590/866897 : 5596303/6068279 : 1)
** u= 103/58 ; tau(u)= -13/45 ; 6559*x^2 - 3881*y^2 + 10778*x*z + 6559*z^2
  (2827/316949 : 415062/316949 : 1)  C1a (-60890/56653 : -3337/56653 : 1)
** u= -103/153 ; tau(u)= 409/256 ; -120463*x^2 + 36209*y^2 + 177890*x*z - 120463*z^2
  (-37363/288467 : -578304/288467 : 1)  C2b (1826611/1390187 : 115153/1390187 : 1)
** u= -104/101 ; tau(u)= 306/205 ; -73234*x^2 + 9586*y^2 + 104452*x*z - 73234*z^2
  (608/3991 : -9903/3991 : 1)  C2b (-3002/53947 : -7111/53947 : 1)
** u= -105/137 ; tau(u)= 379/242 ; -106103*x^2 + 26513*y^2 + 154666*x*z - 106103*z^2
  (15/7 : 22/7 : 1)  C2b (4717966/1195991 : -370427/1195991 : 1)
** u= 109/173 ; tau(u)= 237/64 ; 3689*x^2 + 47977*y^2 + 68050*x*z + 3689*z^2
  (-241109/1363189 : 564656/1363189 : 1)  C1b (-23087902/11566211 : 1155183/11566211 : 1)
** u= 110/61 ; tau(u)= -12/49 ; 7298*x^2 - 4658*y^2 + 12244*x*z + 7298*z^2
  (-15122/625 : -18277/625 : 1)  C1a (208159/40174 : 14591/40174 : 1)
** u= -112/153 ; tau(u)= 418/265 ; -127906*x^2 + 34274*y^2 + 187268*x*z - 127906*z^2
  (356269/160168855 : 308911362/160168855 : 1)  C2b (8102510/7953811 : 573967/7953811 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-6377590/15445831 : 822723/15445831 : 1)
** u= 115/149 ; tau(u)= 183/34 ; 10913*x^2 + 31177*y^2 + 46714*x*z + 10913*z^2
  (-2051/4821 : -2282/4821 : 1)  C1b (-2472670/1330589 : -118437/1330589 : 1)
** u= 119/145 ; tau(u)= 171/26 ; 12809*x^2 + 27889*y^2 + 43402*x*z + 12809*z^2
  (-1399/613 : 85662/102371 : 1)  C1b (-3265/254 : 25597/42418 : 1)
** u= 120/157 ; tau(u)= 194/37 ; 11662*x^2 + 34898*y^2 + 52036*x*z + 11662*z^2
  (-5905/2151 : -2396/2151 : 1)  C1b (5943346/458141 : 284307/458141 : 1)
** u= -120/169 ; tau(u)= 458/289 ; -152642*x^2 + 42722*y^2 + 224164*x*z - 152642*z^2
  (-15091/107265 : 224536/107265 : 1)  C2b (15507950/19425367 : 1267459/19425367 : 1)
** u= -121/97 ; tau(u)= 315/218 ; -80407*x^2 + 4177*y^2 + 113866*x*z - 80407*z^2
  (1713/3253 : 10406/3253 : 1)  C2b (628502/212663 : 100553/212663 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (10286/107359 : -4979/107359 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (24039358/9226859 : -1880383/9226859 : 1)
** u= -129/121 ; tau(u)= 371/250 ; -108359*x^2 + 12641*y^2 + 154282*x*z - 108359*z^2
  (-3027/5201 : 22418/5201 : 1)  C2b (73019093/32083930 : 7434401/32083930 : 1)
** u= 129/145 ; tau(u)= 161/16 ; 16129*x^2 + 25409*y^2 + 42562*x*z + 16129*z^2
  (-277/565 : -104/565 : 1)  C1b (-1390090/2448193 : 114933/2448193 : 1)
** u= 131/58 ; tau(u)= 15/73 ; 6503*x^2 - 10433*y^2 + 17386*x*z + 6503*z^2
  (17971/36117 : -45782/36117 : 1)  C1a (38590/62641 : 4213/62641 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (-311253866/5554121 : -56877201/5554121 : 1)
** u= -132/137 ; tau(u)= 406/269 ; -127298*x^2 + 20114*y^2 + 182260*x*z - 127298*z^2
  (6792/5753 : -12139/5753 : 1)  C2b (-746/497 : 15017/56161 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (-151350169/92023577 : -9915263/92023577 : 1)
** u= -140/137 ; tau(u)= 414/277 ; -133858*x^2 + 17938*y^2 + 190996*x*z - 133858*z^2
  (3164/14377 : 33657/14377 : 1)  C2b (-1356727/110735 : 180019/110735 : 1)
** u= 140/169 ; tau(u)= 198/29 ; 17918*x^2 + 37522*y^2 + 58804*x*z + 17918*z^2
  (-4093/6606 : -3679/6606 : 1)  C1b (3766850/33731 : 181603/33731 : 1)
** u= 142/61 ; tau(u)= 20/81 ; 7042*x^2 - 12722*y^2 + 20564*x*z + 7042*z^2
  (712/161 : 99/23 : 1)  C1a (837605/294458 : 47771/294458 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-158497/84017 : -19247/84017 : 1)
** u= 145/153 ; tau(u)= 161/8 ; 20897*x^2 + 25793*y^2 + 46946*x*z + 20897*z^2
  (-47137/46037 : -20796/46037 : 1)  C1b (3916117/812957 : 224839/812957 : 1)
** u= -147/145 ; tau(u)= 437/292 ; -148919*x^2 + 20441*y^2 + 212578*x*z - 148919*z^2
  (275/2137 : 5264/2137 : 1)  C2b (-4958762/1181585 : 724223/1181585 : 1)
** u= -151/121 ; tau(u)= 393/272 ; -125167*x^2 + 6481*y^2 + 177250*x*z - 125167*z^2
  (40129/72447 : -230120/72447 : 1)  C2b (-36983/213406 : 48393/213406 : 1)
** u= 155/74 ; tau(u)= 7/81 ; 10903*x^2 - 13073*y^2 + 24074*x*z + 10903*z^2
  (3841/60059 : 58698/60059 : 1)  C1a (3171502/5287525 : 380147/5287525 : 1)
** u= 156/181 ; tau(u)= 206/25 ; 23086*x^2 + 41186*y^2 + 66772*x*z + 23086*z^2
  (-573/1426 : 29/1426 : 1)  C1b (20969/199855 : -10173/199855 : 1)
** u= 159/185 ; tau(u)= 211/26 ; 23929*x^2 + 43169*y^2 + 69802*x*z + 23929*z^2
  (-8153/20543 : 1486/143801 : 1)  C1b (-787109/1203035 : 407013/8421245 : 1)
** u= 161/8 ; tau(u)= 145/153 ; -20897*x^2 - 25793*y^2 + 46946*x*z - 20897*z^2
  (79009/128645 : 5844/128645 : 1)  C1a (-25759066/13299155 : 1753507/13299155 : 1)
** u= 161/16 ; tau(u)= 129/145 ; -16129*x^2 - 25409*y^2 + 42562*x*z - 16129*z^2
  (2321/1065 : 32/1065 : 1)  C1a (2234330/9754937 : 454557/9754937 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-1696358/4439701 : 212223/4439701 : 1)
** u= 162/53 ; tau(u)= 56/109 ; 2482*x^2 - 20626*y^2 + 29380*x*z + 2482*z^2
  (-13957/169373 : -10404/169373 : 1)  C1a (-161477/82115 : -1603/16423 : 1)
** u= 163/98 ; tau(u)= -33/65 ; 18119*x^2 - 7361*y^2 + 27658*x*z + 18119*z^2
  (-3/11 : 14/11 : 1)  C1a (-416855/517702 : 29687/517702 : 1)
** u= 168/173 ; tau(u)= 178/5 ; 28174*x^2 + 31634*y^2 + 59908*x*z + 28174*z^2
  (-3079/4197 : 584/4197 : 1)  C1b (-3510859/961099 : -167763/961099 : 1)
** u= 170/89 ; tau(u)= -8/81 ; 15778*x^2 - 13058*y^2 + 28964*x*z + 15778*z^2
  (439/2441 : -3132/2441 : 1)  C1a (-177362/173893 : 9587/173893 : 1)
** u= 171/26 ; tau(u)= 119/145 ; -12809*x^2 - 27889*y^2 + 43402*x*z - 12809*z^2
  (9/7 : 1034/1169 : 1)  C1a (22009/3950 : 169477/659650 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
  (21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1)  C2b (-21473003/4067098 : -2596323/4067098 : 1)
** u= 178/5 ; tau(u)= 168/173 ; -28174*x^2 - 31634*y^2 + 59908*x*z - 28174*z^2
  (2281/3162 : 347/3162 : 1)  C1a (-27851/76750 : -4923/76750 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
  (-4189/3469 : 2646/3469 : 1)  C1a (-214873318/85171355 : -2181061/17034271 : 1)
** u= 182/61 ; tau(u)= 60/121 ; 3842*x^2 - 25682*y^2 + 36724*x*z + 3842*z^2
  (793/934 : -1133/934 : 1)  C1a (-16171337/4645582 : 750941/4645582 : 1)
** u= 182/85 ; tau(u)= 12/97 ; 14306*x^2 - 18674*y^2 + 33268*x*z + 14306*z^2
  (-362/2947 : -2203/2947 : 1)  C1a (245815/372823 : 27039/372823 : 1)
** u= 183/34 ; tau(u)= 115/149 ; -10913*x^2 - 31177*y^2 + 46714*x*z - 10913*z^2
  (255/721 : -38/103 : 1)  C1a (47014/535541 : 24753/535541 : 1)
** u= 188/193 ; tau(u)= 198/5 ; 35294*x^2 + 39154*y^2 + 74548*x*z + 35294*z^2
  (-5918/7661 : -1359/7661 : 1)  C1b (-7325505106/2350531265 : 347026003/2350531265 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (-201953/15110 : 9581/15110 : 1)
** u= 194/37 ; tau(u)= 120/157 ; -11662*x^2 - 34898*y^2 + 52036*x*z - 11662*z^2
  (21181/5451 : -3508/5451 : 1)  C1a (719656790/25252589 : 33503583/25252589 : 1)
** u= 194/49 ; tau(u)= 96/145 ; -4414*x^2 - 32834*y^2 + 46852*x*z - 4414*z^2
  (10285/46531 : 19432/46531 : 1)  C1a (26417/3230 : -71/190 : 1)
** u= 198/5 ; tau(u)= 188/193 ; -35294*x^2 - 39154*y^2 + 74548*x*z - 35294*z^2
  (1048/945 : 43/135 : 1)  C1a (-1986890/2543459 : 206617/2543459 : 1)
** u= 198/29 ; tau(u)= 140/169 ; -17918*x^2 - 37522*y^2 + 58804*x*z - 17918*z^2
  (86162/186149 : -71019/186149 : 1)  C1a (339278/375115 : -20299/375115 : 1)
** u= 198/61 ; tau(u)= 76/137 ; 1666*x^2 - 31762*y^2 + 44980*x*z + 1666*z^2
  (5636/12791 : 10599/12791 : 1)  C1a (924228581/4701898 : 42248159/4701898 : 1)
139
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=7/17のとき

789002617798315^4+3216798294345842^4+8338185383712619^4=229842*382914281366557^4
1945408905525868683715^4+1966077660524973427466^4+10917125834186087851003^4=229842*498855109999502674849^4
38506100305415069829967863845^4+70336297703266650314239308067^4+76279681863086475927955839286^4=229842*4028411742881212498279338241^4
37528130295225197600550109371572464575732423725^4+131868062163520364006491674296856485945917842862^4+165729819209344777769795496933562767865460714851^4=229842*8238401370398696020338452786849756851559205613^4
3536260315476293471644255564658700446716955611384592910927571^4+12833983945395367449388912207490937911646979664308816571387858^4+16336461303008955190952791932744596401014409052771960010706205^4=229842*809121788639745022048509382474949177390512146014936570862253^4
21867775309556373435078359889341636955901624025912772817041761969106108463022346007322672947^4+41119200770378785473047289874239615881538505610609137758555659576007189484342792931041098485^4+44063099272293352555579787904579722185634111513036169704065939214022654780846427472348262794^4=229842*2337101177648926375883398769022696354166263109853652433934558491514250750218684234242213921^4
10464070326107681729163184189716566325294966041515729416022342893502628067985765450724640136611979465895276327734^4+10956729618687845165638797947848193309241240698221472979745118772641317770613456235816740860933785650784753692757^4+60788126523557044081869159464747293517027599471573723974184985127306956237612806777922272027245086467438374711725^4=229842*2777609186533629920810912183181757348590032959984012260810449223795892601012771879718391238697841529689469932609^4
719477967899347301536239178117946891992066311131049603403913593415058498075930600730453247633131797832783682895630332872240184627305801013^4+8114474064909937778166502025023529268503493729627209254084046340551739766089503494242276685738542574546441633453592426399584563923776283114^4+13430234313514576770573998828475923092993051632660995922451587072360464441216820724956955404573396502058357624768367337528219437944112095635^4=229842*632862899349554831964804411297992267087625160780264458474302256182519220139969030037126741967440655904315985064738822960766100662325333329^4
59543551032909193108324125919125945537905280000329398424440649110941614738810175244709707554834087653973952318431657954438310927721022245275^4+64635384193019690835493738062394003804854992459010225971626381513409626586380686848313908981625544409601690140043699387864192908397570770981^4+88683128511744172175363108225819646175913296330321625285461203714700379348072080019122119651592357843908841693268711200144829342557061677678^4=229842*4471408811683833321012673871333639393715043173357379750110641162322219289026661392394293646056368798679845549765990915886487292197940463853^4
27239678411501102557721899377629005495920334137925975652533969742734267039273939984103482953999716410016633070439798862882673896082091792137555111736512581^4+103790310745368903372093111285569918990700910474306265040101402955338855024472563350096048364251365649270147928785660994831215257166447942524447136510957198^4+274921205687259676600716502522732626374661508849244827782186175862303782201188975914732723543822400350222330041383083826569676080080296006473289777490073765^4=229842*12619571329763715596328323179799798411213736249289989398471136159605113738293625802663405039044287711938962244276404195162676153503164159961525355449188637^4
629021512117467548687631245424043559725743034196949709668451411299422222974037913416116149261565750819176715160533689866907780254613023973538011422659125262^4+6113139594254697901890948654414895376267903276457099751153045233839134403189963251759589998629420854181088827814645595959571525271551977185816843505395401491^4+30309613559290754577113486361880374649531095164395255752017441645834265734633226459716980199772708152202409110965236508010099527667931677199573597274188479235^4=229842*1384849525035483066538836005689490364521716390170014110417359803972087690252151019006286385867314172690231059709736978841634729069929498452873230520548839677^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.01.30

H.Nakao