Integer Points on A^4+B^4+C^4=2178*D^4

[2025.10.25]A^4+B^4+C^4=2178*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

2178=2*33^2であるので、以下では、n=33とする。

■n=33のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2< x,y,z > := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=33;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2-x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２次曲線(3a+)と２つの２次曲線の和集合(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように159個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(33,1,200);
** u= -1/25 ; tau(u)= 51/26 ; -1351*x^2 + 1249*y^2 + 2602*x*z - 1351*z^2
  (151/171 : -50/171 : 1)  C2b (23636/3383 : 3921/3383 : 1)
** u= -3/17 ; tau(u)= 37/20 ; -791*x^2 + 569*y^2 + 1378*x*z - 791*z^2
  (141/95 : 88/95 : 1)  C2b (-703/511 : 207/511 : 1)
** u= 3/101 ; tau(u)= 199/98 ; -19199*x^2 + 20393*y^2 + 39610*x*z - 19199*z^2
  (7797/10837 : 1918/10837 : 1)  C1b (40692503/1529113 : -6857479/1529113 : 1)
** u= -3/193 ; tau(u)= 389/196 ; -76823*x^2 + 74489*y^2 + 151330*x*z - 76823*z^2
  (109881/95779 : -23072/95779 : 1)  C2b (-292576/36409 : 54851/36409 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (-199292/17687 : -38179/17687 : 1)
** u= -4/81 ; tau(u)= 166/85 ; -14434*x^2 + 13106*y^2 + 27572*x*z - 14434*z^2
  (112/157 : 63/157 : 1)  C2b (821932/154391 : -2203/2531 : 1)
** u= -7/73 ; tau(u)= 153/80 ; -12751*x^2 + 10609*y^2 + 23458*x*z - 12751*z^2
  (45/67 : 3512/6901 : 1)  C2b (5552/137 : 103289/14111 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (-78992428/42503 : 13244873/42503 : 1)
** u= 7/153 ; tau(u)= 299/146 ; -42583*x^2 + 46769*y^2 + 89450*x*z - 42583*z^2
  (-15341/404539 : 401358/404539 : 1)  C1b (141475/157901 : 26195/157901 : 1)
** u= -8/41 ; tau(u)= 90/49 ; -4738*x^2 + 3298*y^2 + 8164*x*z - 4738*z^2
  (1123/1460 : -903/1460 : 1)  C2b (16217/68009 : -11633/68009 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (-56379881/22576327 : -12895617/22576327 : 1)
** u= 8/193 ; tau(u)= 378/185 ; -68386*x^2 + 74434*y^2 + 142948*x*z - 68386*z^2
  (78991/110195 : -13128/110195 : 1)  C1b (1434128/381539 : 221017/381539 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-1357/532 : -201/532 : 1)
** u= -12/13 ; tau(u)= 38/25 ; -1106*x^2 + 194*y^2 + 1588*x*z - 1106*z^2
  (-32/11 : -97/11 : 1)  C2b (1324/1109 : 341/1109 : 1)
** u= 12/29 ; tau(u)= 46/17 ; -434*x^2 + 1538*y^2 + 2260*x*z - 434*z^2
  (-1082/1857 : 2063/1857 : 1)  C1b (-7429/1756 : -1187/1756 : 1)
** u= 12/41 ; tau(u)= 70/29 ; -1538*x^2 + 3218*y^2 + 5044*x*z - 1538*z^2
  (483/1420 : 13/1420 : 1)  C1b (-643603/19852 : 100159/19852 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (317/2485 : 75/497 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (580/613 : -105/613 : 1)
** u= 15/73 ; tau(u)= 131/58 ; -6503*x^2 + 10433*y^2 + 17386*x*z - 6503*z^2
  (8947/20739 : -2962/20739 : 1)  C1b (-1603396/150583 : -264661/150583 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (2579/3083 : -551/3083 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (33344/39749 : 6819/39749 : 1)
** u= 16/89 ; tau(u)= 162/73 ; -10402*x^2 + 15586*y^2 + 26500*x*z - 10402*z^2
  (-491/2763 : -2750/2763 : 1)  C1b (-7394896/20489 : -1188199/20489 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1b (3506377/166552 : 525821/166552 : 1)
** u= -17/81 ; tau(u)= 179/98 ; -18919*x^2 + 12833*y^2 + 32330*x*z - 18919*z^2
  (-18059/2029 : 24066/2029 : 1)  C2b (2416220/4113787 : -651745/4113787 : 1)
** u= -17/185 ; tau(u)= 387/202 ; -81319*x^2 + 68161*y^2 + 150058*x*z - 81319*z^2
  (4443/39619 : 38842/39619 : 1)  C2b (156148/406189 : 63433/406189 : 1)
** u= -21/85 ; tau(u)= 191/106 ; -22031*x^2 + 14009*y^2 + 36922*x*z - 22031*z^2
  (12281/14013 : -9614/14013 : 1)  C2b (-7894844/1008893 : 1705639/1008893 : 1)
** u= 21/101 ; tau(u)= 181/80 ; -12359*x^2 + 19961*y^2 + 33202*x*z - 12359*z^2
  (-15289/19225 : 29368/19225 : 1)  C1b (546664/1906427 : 282089/1906427 : 1)
** u= 23/169 ; tau(u)= 315/146 ; -42103*x^2 + 56593*y^2 + 99754*x*z - 42103*z^2
  (2615/1183 : -822/1183 : 1)  C1b (-15660388/8516501 : 3390229/8516501 : 1)
** u= 24/49 ; tau(u)= 74/25 ; -674*x^2 + 4226*y^2 + 6052*x*z - 674*z^2
  (712/13445 : -3899/13445 : 1)  C1b (2576/31621 : 4631/31621 : 1)
** u= 24/53 ; tau(u)= 82/29 ; -1106*x^2 + 5042*y^2 + 7300*x*z - 1106*z^2
  (-309/763 : 100/109 : 1)  C1b (8000/57679 : -8445/57679 : 1)
** u= -24/89 ; tau(u)= 202/113 ; -24962*x^2 + 15266*y^2 + 41380*x*z - 24962*z^2
  (8441/47349 : 51952/47349 : 1)  C2b (-10816/5329 : 2971/5329 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1b (112088/22717 : -117933/159019 : 1)
** u= -24/125 ; tau(u)= 274/149 ; -43826*x^2 + 30674*y^2 + 75652*x*z - 43826*z^2
  (8011/25031 : 155320/175217 : 1)  C2b (-1688/1889 : 4303/13223 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-402764/480973 : -100989/480973 : 1)
** u= 28/117 ; tau(u)= 206/89 ; -15058*x^2 + 26594*y^2 + 43220*x*z - 15058*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1b (34340/34267 : -6145/34267 : 1)
** u= -28/117 ; tau(u)= 262/145 ; -41266*x^2 + 26594*y^2 + 69428*x*z - 41266*z^2
  (-187171/12020 : -245883/12020 : 1)  C2b (157132/104957 : 25237/104957 : 1)
** u= 28/153 ; tau(u)= 278/125 ; -30466*x^2 + 46034*y^2 + 78068*x*z - 30466*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1b (-289244/16091 : 47431/16091 : 1)
** u= 29/109 ; tau(u)= 189/80 ; -11959*x^2 + 22921*y^2 + 36562*x*z - 11959*z^2
  (-643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (-5536/145907 : 22979/145907 : 1)
** u= -31/73 ; tau(u)= 177/104 ; -20671*x^2 + 9697*y^2 + 32290*x*z - 20671*z^2
  (20317/15223 : 18548/15223 : 1)  C2b (-6243376/424829 : 1465293/424829 : 1)
** u= 32/145 ; tau(u)= 258/113 ; -24514*x^2 + 41026*y^2 + 67588*x*z - 24514*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1b (14653/74677 : 11169/74677 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (-1738972/629659 : 310499/629659 : 1)
** u= 37/20 ; tau(u)= -3/17 ; 791*x^2 - 569*y^2 + 1378*x*z + 791*z^2
  (613/2037 : 436/291 : 1)  C1a (511/703 : 207/703 : 1)
** u= 38/25 ; tau(u)= -12/13 ; 1106*x^2 - 194*y^2 + 1588*x*z + 1106*z^2
  (-3/2 : 5/2 : 1)  C1a (4876/1513 : -2123/1513 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (100604/23473 : 16593/23473 : 1)
** u= -39/97 ; tau(u)= 233/136 ; -35471*x^2 + 17297*y^2 + 55810*x*z - 35471*z^2
  (-411/1391 : 17372/9737 : 1)  C2b (-4633/97 : 7267/679 : 1)
** u= 39/137 ; tau(u)= 235/98 ; -17687*x^2 + 36017*y^2 + 56746*x*z - 17687*z^2
  (-11181/14807 : -20734/14807 : 1)  C1b (71107/62564 : 12163/62564 : 1)
** u= 46/17 ; tau(u)= 12/29 ; 434*x^2 - 1538*y^2 + 2260*x*z + 434*z^2
  (15474/113 : -8375/113 : 1)  C1a (8347/13708 : -2591/13708 : 1)
** u= 47/145 ; tau(u)= 243/98 ; -16999*x^2 + 39841*y^2 + 61258*x*z - 16999*z^2
  (-62651/854813 : 629118/854813 : 1)  C1b (-1242764/166279 : -198233/166279 : 1)
** u= -48/157 ; tau(u)= 362/205 ; -81746*x^2 + 46994*y^2 + 133348*x*z - 81746*z^2
  (593/2611 : -406/373 : 1)  C2b (513376/562193 : 98519/562193 : 1)
** u= 49/153 ; tau(u)= 257/104 ; -19231*x^2 + 44417*y^2 + 68450*x*z - 19231*z^2
  (27193/1489843 : 948108/1489843 : 1)  C1b (148969/226175 : -7129/45235 : 1)
** u= 51/26 ; tau(u)= -1/25 ; 1351*x^2 - 1249*y^2 + 2602*x*z + 1351*z^2
  (-959/1139 : -350/1139 : 1)  C1a (-11303/5321 : -1719/5321 : 1)
** u= 51/149 ; tau(u)= 247/98 ; -16607*x^2 + 41801*y^2 + 63610*x*z - 16607*z^2
  (3051/1153139 : -723142/1153139 : 1)  C1b (70948/113507 : -17781/113507 : 1)
** u= -51/149 ; tau(u)= 349/200 ; -77399*x^2 + 41801*y^2 + 124402*x*z - 77399*z^2
  (-515019/2097679 : -3442940/2097679 : 1)  C2b (3834712/2179091 : 639007/2179091 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (66581/184771 : 224649/1293397 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (1220/1589 : 3245/1589 : 1)
** u= -52/49 ; tau(u)= 150/101 ; -17698*x^2 + 2098*y^2 + 25204*x*z - 17698*z^2
  (-3377/124912 : 369845/124912 : 1)  C2b (95078188/660151 : 40366743/660151 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (6963644/97769 : 7197177/684383 : 1)
** u= -52/193 ; tau(u)= 438/245 ; -117346*x^2 + 71794*y^2 + 194548*x*z - 117346*z^2
  (3519/5042 : -3703/5042 : 1)  C2b (180501604/4010779 : -36090129/4010779 : 1)
** u= 56/73 ; tau(u)= 90/17 ; 2558*x^2 + 7522*y^2 + 11236*x*z + 2558*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-102656/140983 : -23221/140983 : 1)
** u= -56/81 ; tau(u)= 218/137 ; -34402*x^2 + 9986*y^2 + 50660*x*z - 34402*z^2
  (4811/983759 : 1819368/983759 : 1)  C2b (78136/90665 : -3803/18133 : 1)
** u= 56/153 ; tau(u)= 250/97 ; -15682*x^2 + 43682*y^2 + 65636*x*z - 15682*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1b (854089/1185929 : -193927/1185929 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-331576/69085 : -10089/13817 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (612229/251888 : -91907/251888 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-86039/12292 : 13689/12292 : 1)
** u= 60/61 ; tau(u)= 62 ; 3598*x^2 + 3842*y^2 + 7444*x*z + 3598*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1b (-17492/22901 : -3607/22901 : 1)
** u= 60/73 ; tau(u)= 86/13 ; 3262*x^2 + 7058*y^2 + 10996*x*z + 3262*z^2
  (-38/113 : -11/113 : 1)  C1b (159956/34189 : 26611/34189 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (1574596/401521 : 2333507/2810647 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (2559016/757549 : 29299/58273 : 1)
** u= 62 ; tau(u)= 60/61 ; -3598*x^2 - 3842*y^2 + 7444*x*z - 3598*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1a (-64331/30763 : -14333/30763 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1b (-1895275/205429 : 281035/205429 : 1)
** u= -64/169 ; tau(u)= 402/233 ; -104482*x^2 + 53026*y^2 + 165700*x*z - 104482*z^2
  (81143/30651 : -4940/1803 : 1)  C2b (5248952/1732253 : 950601/1732253 : 1)
** u= 67/101 ; tau(u)= 135/34 ; 2177*x^2 + 15913*y^2 + 22714*x*z + 2177*z^2
  (-428387/713321 : 83478/101903 : 1)  C1b (-68273/106036 : -17719/106036 : 1)
** u= 69/85 ; tau(u)= 101/16 ; 4249*x^2 + 9689*y^2 + 14962*x*z + 4249*z^2
  (-1847/2559 : 1712/2559 : 1)  C1b (-309968/105419 : -45539/105419 : 1)
** u= 69/137 ; tau(u)= 205/68 ; -4487*x^2 + 32777*y^2 + 46786*x*z - 4487*z^2
  (-1541/36689 : 16288/36689 : 1)  C1b (-94463/43352 : 15831/43352 : 1)
** u= 69/149 ; tau(u)= 229/80 ; -8039*x^2 + 39641*y^2 + 57202*x*z - 8039*z^2
  (3403/23733 : -1256/166131 : 1)  C1b (31637/47992 : -55521/335944 : 1)
** u= 70/29 ; tau(u)= 12/41 ; 1538*x^2 - 3218*y^2 + 5044*x*z + 1538*z^2
  (-1458/4319 : -247/4319 : 1)  C1a (-3673/6188 : -73/476 : 1)
** u= 73/81 ; tau(u)= 89/8 ; 5201*x^2 + 7793*y^2 + 13250*x*z + 5201*z^2
  (-24217/29837 : -15588/29837 : 1)  C1b (31381/13064 : -6169/13064 : 1)
** u= 74/25 ; tau(u)= 24/49 ; 674*x^2 - 4226*y^2 + 6052*x*z + 674*z^2
  (-178/6653 : -2317/6653 : 1)  C1a (2881/67567 : 10009/67567 : 1)
** u= -76/153 ; tau(u)= 382/229 ; -99106*x^2 + 41042*y^2 + 151700*x*z - 99106*z^2
  (113/134 : 135/134 : 1)  C2b (1204785244/564989 : 285025133/564989 : 1)
** u= -80/117 ; tau(u)= 314/197 ; -71218*x^2 + 20978*y^2 + 104996*x*z - 71218*z^2
  (1369/727 : -1782/727 : 1)  C2b (-22397/23864 : 11671/23864 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1a (-1895275/205429 : 281035/205429 : 1)
** u= 82/29 ; tau(u)= 24/53 ; 1106*x^2 - 5042*y^2 + 7300*x*z + 1106*z^2
  (-953/7296 : 1345/7296 : 1)  C1a (53125/16651 : 8595/16651 : 1)
** u= -83/125 ; tau(u)= 333/208 ; -79639*x^2 + 24361*y^2 + 117778*x*z - 79639*z^2
  (37477/466107 : -793960/466107 : 1)  C2b (1456249/112648 : 374197/112648 : 1)
** u= -84/61 ; tau(u)= 206/145 ; -34994*x^2 + 386*y^2 + 49492*x*z - 34994*z^2
  (5/22 : -179/22 : 1)  C2b (-207364/319063 : -680489/319063 : 1)
** u= 84/85 ; tau(u)= 86 ; 7054*x^2 + 7394*y^2 + 14452*x*z + 7054*z^2
  (-1842/2107 : -337/2107 : 1)  C1b (-20732/289139 : 48117/289139 : 1)
** u= 84/125 ; tau(u)= 166/41 ; 3694*x^2 + 24194*y^2 + 34612*x*z + 3694*z^2
  (-622/613 : 655/613 : 1)  C1b (49199/223 : -7247/223 : 1)
** u= 84/173 ; tau(u)= 262/89 ; -8786*x^2 + 52802*y^2 + 75700*x*z - 8786*z^2
  (-872/503 : -893/503 : 1)  C1b (56794673/15223972 : 8410843/15223972 : 1)
** u= 86 ; tau(u)= 84/85 ; -7054*x^2 - 7394*y^2 + 14452*x*z - 7054*z^2
  (4070/5073 : 29/5073 : 1)  C1a (-1505452/27329 : -261399/27329 : 1)
** u= 86/13 ; tau(u)= 60/73 ; -3262*x^2 - 7058*y^2 + 10996*x*z - 3262*z^2
  (38/113 : 11/113 : 1)  C1a (230773/81259 : 33917/81259 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (1114988/131933 : -182757/131933 : 1)
** u= -87/173 ; tau(u)= 433/260 ; -127631*x^2 + 52289*y^2 + 195058*x*z - 127631*z^2
  (-119159/68487 : 276676/68487 : 1)  C2b (4619176/1204571 : -936179/1204571 : 1)
** u= 89/8 ; tau(u)= 73/81 ; -5201*x^2 - 7793*y^2 + 13250*x*z - 5201*z^2
  (841/1013 : 540/1013 : 1)  C1a (-7394896/20489 : -1188199/20489 : 1)
** u= 89/97 ; tau(u)= 105/8 ; 7793*x^2 + 10897*y^2 + 18946*x*z + 7793*z^2
  (-23805/18809 : 10964/18809 : 1)  C1b (13709/1952 : 2373/1952 : 1)
** u= 89/153 ; tau(u)= 217/64 ; -271*x^2 + 38897*y^2 + 55010*x*z - 271*z^2
  (-9071/1401919 : 177984/1401919 : 1)  C1b (11432/10885 : 461/2177 : 1)
** u= 90/17 ; tau(u)= 56/73 ; -2558*x^2 - 7522*y^2 + 11236*x*z - 2558*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1a (-3103/8383 : 1441/8383 : 1)
** u= 90/49 ; tau(u)= -8/41 ; 4738*x^2 - 3298*y^2 + 8164*x*z + 4738*z^2
  (-1613/1789 : 1092/1789 : 1)  C1a (48856/182117 : -3191/14009 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (-804728/127583 : 164749/127583 : 1)
** u= -91/153 ; tau(u)= 397/244 ; -110791*x^2 + 38537*y^2 + 165890*x*z - 110791*z^2
  (-409/521 : 1476/521 : 1)  C2b (2946824/3515755 : -2587/13267 : 1)
** u= -93/85 ; tau(u)= 263/178 ; -54719*x^2 + 5801*y^2 + 77818*x*z - 54719*z^2
  (571/9203 : -27046/9203 : 1)  C2b (13283/81964 : 33017/81964 : 1)
** u= 93/197 ; tau(u)= 301/104 ; -12983*x^2 + 68969*y^2 + 99250*x*z - 12983*z^2
  (33741/333599 : -70468/333599 : 1)  C1b (726632/2485687 : -368683/2485687 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (5899/5452 : -1817/5452 : 1)
** u= 96/97 ; tau(u)= 98 ; 9214*x^2 + 9602*y^2 + 18820*x*z + 9214*z^2
  (-1653/1499 : 280/1499 : 1)  C1b (378877/136997 : 79559/136997 : 1)
** u= 96/145 ; tau(u)= 194/49 ; 4414*x^2 + 32834*y^2 + 46852*x*z + 4414*z^2
  (-5119/4209 : 4984/4209 : 1)  C1b (35704/24191 : 389/1423 : 1)
** u= -96/173 ; tau(u)= 442/269 ; -135506*x^2 + 50642*y^2 + 204580*x*z - 135506*z^2
  (-8917/8227 : -26272/8227 : 1)  C2b (-31336681/1269784 : -7964333/1269784 : 1)
** u= 98 ; tau(u)= 96/97 ; -9214*x^2 - 9602*y^2 + 18820*x*z - 9214*z^2
  (1499/1653 : 280/1653 : 1)  C1a (-137704/59441 : 30101/59441 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1a (3506377/166552 : 525821/166552 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (-723137/1995407 : -303313/1995407 : 1)
** u= -100/157 ; tau(u)= 414/257 ; -122098*x^2 + 39298*y^2 + 181396*x*z - 122098*z^2
  (98/5233 : -63675/36631 : 1)  C2b (-3356/10093 : -23323/70651 : 1)
** u= 101/16 ; tau(u)= 69/85 ; -4249*x^2 - 9689*y^2 + 14962*x*z - 4249*z^2
  (20279/37287 : -19432/37287 : 1)  C1a (54128224/83569 : 8275937/83569 : 1)
** u= -101/117 ; tau(u)= 335/218 ; -84847*x^2 + 17177*y^2 + 122426*x*z - 84847*z^2
  (26171/37907 : 58398/37907 : 1)  C2b (7245596/1163167 : 2133989/1163167 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (15556/617 : 2331/617 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (348329/1581311 : -354781/1581311 : 1)
** u= 105/8 ; tau(u)= 89/97 ; -7793*x^2 - 10897*y^2 + 18946*x*z - 7793*z^2
  (207/211 : 116/211 : 1)  C1a (-15328/31549 : 6549/31549 : 1)
** u= -105/89 ; tau(u)= 283/194 ; -64247*x^2 + 4817*y^2 + 91114*x*z - 64247*z^2
  (11439/18535 : -48134/18535 : 1)  C2b (487897/275423 : 188813/275423 : 1)
** u= -105/193 ; tau(u)= 491/298 ; -166583*x^2 + 63473*y^2 + 252106*x*z - 166583*z^2
  (222867/77315 : -278578/77315 : 1)  C2b (356764/592961 : -109521/592961 : 1)
** u= 109/173 ; tau(u)= 237/64 ; 3689*x^2 + 47977*y^2 + 68050*x*z + 3689*z^2
  (-241109/1363189 : 564656/1363189 : 1)  C1b (-224975/245743 : 47505/245743 : 1)
** u= -111/85 ; tau(u)= 281/196 ; -64511*x^2 + 2129*y^2 + 91282*x*z - 64511*z^2
  (-14387/321267 : 1825348/321267 : 1)  C2b (1019896/1791077 : -1040387/1791077 : 1)
** u= 112/173 ; tau(u)= 234/61 ; 5102*x^2 + 47314*y^2 + 67300*x*z + 5102*z^2
  (-1161/14573 : 1010/14573 : 1)  C1b (-2010817/1444448 : 350167/1444448 : 1)
** u= 112/197 ; tau(u)= 282/85 ; -1906*x^2 + 65074*y^2 + 92068*x*z - 1906*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1b (-15959/22441 : 4071/22441 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-2861/9752 : -1743/9752 : 1)
** u= -120/169 ; tau(u)= 458/289 ; -152642*x^2 + 42722*y^2 + 224164*x*z - 152642*z^2
  (-15091/107265 : 224536/107265 : 1)  C2b (138053/206704 : -42689/206704 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (-402109/6784 : 816057/47488 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (11701/187436 : -563653/187436 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (142030610041/673207408 : -37850812241/673207408 : 1)
** u= 131/58 ; tau(u)= 15/73 ; 6503*x^2 - 10433*y^2 + 17386*x*z + 6503*z^2
  (17971/36117 : -45782/36117 : 1)  C1a (12337109/59189 : 1963901/59189 : 1)
** u= 135/34 ; tau(u)= 67/101 ; -2177*x^2 - 15913*y^2 + 22714*x*z - 2177*z^2
  (175/57 : 98/57 : 1)  C1a (310324/349451 : -65377/349451 : 1)
** u= -141/109 ; tau(u)= 359/250 ; -105119*x^2 + 3881*y^2 + 148762*x*z - 105119*z^2
  (659131/7844039 : 5496070/1120577 : 1)  C2b (5302436/1708501 : -3254001/1708501 : 1)
** u= -141/197 ; tau(u)= 535/338 ; -208607*x^2 + 57737*y^2 + 306106*x*z - 208607*z^2
  (89541/315253 : 488254/315253 : 1)  C2b (470069/502252 : 110293/502252 : 1)
** u= -147/181 ; tau(u)= 509/328 ; -193559*x^2 + 43913*y^2 + 280690*x*z - 193559*z^2
  (-25927/43107 : -135268/43107 : 1)  C2b (19563989/5647504 : -5039803/5647504 : 1)
** u= 147/197 ; tau(u)= 247/50 ; 16609*x^2 + 56009*y^2 + 82618*x*z + 16609*z^2
  (-4549/2899 : 3290/2899 : 1)  C1b (36596741/10863988 : 6011999/10863988 : 1)
** u= 148/153 ; tau(u)= 158/5 ; 21854*x^2 + 24914*y^2 + 46868*x*z + 21854*z^2
  (-14902/10691 : 2157/10691 : 1)  C1b (3420419/1106884 : -684851/1106884 : 1)
** u= 150/101 ; tau(u)= -52/49 ; 17698*x^2 - 2098*y^2 + 25204*x*z + 17698*z^2
  (-207/32 : -539/32 : 1)  C1a (-104201/30617 : -36489/30617 : 1)
** u= 152/169 ; tau(u)= 186/17 ; 22526*x^2 + 34018*y^2 + 57700*x*z + 22526*z^2
  (-1559/2961 : 92/423 : 1)  C1b (227576/295829 : 70221/295829 : 1)
** u= 153/80 ; tau(u)= -7/73 ; 12751*x^2 - 10609*y^2 + 23458*x*z + 12751*z^2
  (-45/67 : -3512/6901 : 1)  C1a (-150368/12473 : -2714209/1284719 : 1)
** u= 158/5 ; tau(u)= 148/153 ; -21854*x^2 - 24914*y^2 + 46868*x*z - 21854*z^2
  (1889/2668 : -327/2668 : 1)  C1a (31657/65383 : -9767/65383 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (168496/102829 : 29913/102829 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (327193/265508 : 99179/265508 : 1)
** u= 162/73 ; tau(u)= 16/89 ; 10402*x^2 - 15586*y^2 + 26500*x*z + 10402*z^2
  (607/12628 : 1563/1804 : 1)  C1a (31381/13064 : -6169/13064 : 1)
** u= 166/41 ; tau(u)= 84/125 ; -3694*x^2 - 24194*y^2 + 34612*x*z - 3694*z^2
  (969/3746 : 1705/3746 : 1)  C1a (3368468/266033 : 29017/15649 : 1)
** u= 166/85 ; tau(u)= -4/81 ; 14434*x^2 - 13106*y^2 + 27572*x*z + 14434*z^2
  (5875/922232 : -973719/922232 : 1)  C1a (27953/10724 : -6211/10724 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (277769/314783 : -939/1351 : 1)
** u= 168/181 ; tau(u)= 194/13 ; 27886*x^2 + 37298*y^2 + 65860*x*z + 27886*z^2
  (-35889/45491 : 19304/45491 : 1)  C1b (339877744/66346001 : 60985379/66346001 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (68213/25708 : -13943/25708 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (177596/56809 : 200973/397663 : 1)
** u= 177/104 ; tau(u)= -31/73 ; 20671*x^2 - 9697*y^2 + 32290*x*z + 20671*z^2
  (135463/95547 : -318868/95547 : 1)  C1a (-196511/79769 : -35451/79769 : 1)
** u= 179/98 ; tau(u)= -17/81 ; 18919*x^2 - 12833*y^2 + 32330*x*z + 18919*z^2
  (-4189/3469 : 2646/3469 : 1)  C1a (-132980/52183 : 21655/52183 : 1)
** u= 181/80 ; tau(u)= 21/101 ; 12359*x^2 - 19961*y^2 + 33202*x*z + 12359*z^2
  (8909/173 : -7192/173 : 1)  C1a (-10387471/3044753 : -1536079/3044753 : 1)
** u= 181/185 ; tau(u)= 189/4 ; 32729*x^2 + 35689*y^2 + 68482*x*z + 32729*z^2
  (-1613/2085 : -284/2085 : 1)  C1b (52808/210647 : 40991/210647 : 1)
** u= -185/153 ; tau(u)= 491/338 ; -194263*x^2 + 12593*y^2 + 275306*x*z - 194263*z^2
  (2075/22547 : -580866/157829 : 1)  C2b (642188/28747 : 2506831/201229 : 1)
** u= 186/17 ; tau(u)= 152/169 ; -22526*x^2 - 34018*y^2 + 57700*x*z - 22526*z^2
  (96751/193929 : -26884/193929 : 1)  C1a (28625/72871 : 10755/72871 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b (2314324/1944403 : 670253/1944403 : 1)
** u= 189/4 ; tau(u)= 181/185 ; -32729*x^2 - 35689*y^2 + 68482*x*z - 32729*z^2
  (4897/6601 : 12/287 : 1)  C1a (192247981/84786656 : 28819553/84786656 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (-7543/53104 : -7777/53104 : 1)
** u= 189/80 ; tau(u)= 29/109 ; 11959*x^2 - 22921*y^2 + 36562*x*z + 11959*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1a (-251408/214211 : 42251/214211 : 1)
** u= 191/106 ; tau(u)= -21/85 ; 22031*x^2 - 14009*y^2 + 36922*x*z + 22031*z^2
  (-37887/29195 : 26126/29195 : 1)  C1a (1533803927/19161167 : -308804579/19161167 : 1)
** u= 194/13 ; tau(u)= 168/181 ; -27886*x^2 - 37298*y^2 + 65860*x*z - 27886*z^2
  (752/927 : -407/927 : 1)  C1a (-645328/1022435 : 46501/204487 : 1)
** u= 194/49 ; tau(u)= 96/145 ; -4414*x^2 - 32834*y^2 + 46852*x*z - 4414*z^2
  (10285/46531 : 19432/46531 : 1)  C1a (-6779984/1379101 : 1035883/1379101 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-1100124524/300318841 : 161492129/300318841 : 1)
** u= 199/98 ; tau(u)= 3/101 ; 19199*x^2 - 20393*y^2 + 39610*x*z + 19199*z^2
  (8521/6099 : -14294/6099 : 1)  C1a (-344693/138892 : 51947/138892 : 1)
159
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=24/53のとき

528988010581^4+673826751736^4+822834434251^4=2178*135897934731^4
49844029091^4+228952579861^4+1483468981664^4=2178*217182947871^4
32000460716164506351472809244649584^4+47670989989820702500353956628214259^4+248746349899636462497589048073689931^4=2178*36426571922982851947285034444085879^4
219507746553061630073271959990039029^4+345799864919744525022431412950223784^4+383012923799155444962051137895497861^4=2178*64689472522977490497944967135575859^4
4247886730314556740559893326524060211336868814818638384626485985765650696187476424^4+10276555182927856478355052939728893360596697277975658519978982451476784714475954661^4+11670167990098221359860153445747647406368220274887453239745226775105907256291873589^4=2178*1926920096314721144089794707945575272003854088607782609121105457889769940074085859^4
5858372351350412823673613297285142518340249300692964162714681467684315231755113424^4+14262474492421509278535085470527587418637596237419314316151868872102242430440306861^4+54925930702219486645766400849682227997502008388224615170311743961352200421225868811^4=2178*8049510025988136395443832599296811923735586716748306680901984507964215704941577159^4
92523331016124834130983179128468220533345013638229617283672079900912630324404776905949^4+107415245590344077376373651500955307943432343200277172373640004965192143323512211297416^4+745834333180667881833496221561802310937841467955581781234539473812937895131771826249299^4=2178*109194384044826231478679211916895729083271158503438215979597599114906534283557270434731^4
832427785185544741813593446827186459117169965399347964141424998644371511005574282804781^4+862367075819385373310904061759463110080590260291258079049719577752932557771914735704576^4+1163818864297235231518227302727154265527700171153252102382494775886894044265251042684629^4=2178*190490522024141222541614293067769538748705899187170720734526921786328580765163638372951^4
32343646465540020374405054055012194446924556801456454499655399676892132780074396996875979153316607130011137264^4+67184580239958680530404754236190055978477199388350134531875907050458060068646175994811638370491284398555776539^4+69113812343097840881117209010485969598404902804572272496438545006364398625303692167704049531455388192033827149^4=2178*11941280630785677256212008642389605437278007519638491706228928068860632759703064522895297873091747316950194559^4
99086885102907091061133518464840897386417249726456863897498001514314009657822751461773575114680391673548598221^4+145178142518767170057600202998310929638564021753689799020991512191226466544956322490393648081071332820174645709^4+982336358486864965126579910723286009745544979377303211068120433389363544898914219624517002077686214467880968616^4=2178*143816516790840064839285863215486629714430455475808440193875885910190257215178679747243718586950696742653140099^4
7402828404243984605569799596857761083188684616198899318755520325606359325625917142527732833764716150443457464061005069398106543690098472786747725675221^4+109055448219187496167163626666386467122013443971397273156203172334131052157913533533454936408548813157838175427666029864912728911866765220155464114624189^4+258439059976348300495211273805152256067481791706429947947366101179547901609399253574500670190605862845281786989373703299413968571717051166152257178704384^4=2178*38127019987677768106569877907114822365419575293625935664896704268769769922561670479105948209163293163966484983200774207663565968040885077734973580176591^4
355657056903591370904998529196634010697455729211248036984778872809470194701195670163566260518941637617270289629376806990375843499773311149045671575225816^4+1033173151718523130300340072786928835269370800071190810291035789170693076317388211734916205885127282991327309587254570286630363786911745778491872247106091^4+1299605409373936588177403406063494969633460167811906230670001713642013242776853383999384856884364984983069401868806509342735642070321417894879285572904981^4=2178*207118807767775390906579420896511429963360403449209655479902292677845852164520611490200519698442822932393637083514781634913813656388527691304965245386971^4
233755400593640055979351505920831049556506599396609565733327157859098293492424181964846686339255450242090289718562462586855692636954742202058611601211552269^4+1236932424465761027979273584024130634560551682277943241193230600005688457124361610650435442145942725818729310675980223139945970651307418176372169986114516499^4+3512857615330196096437912601222190289715659828725145210892673566711542066031014628255863466048832254396763126166285061124228818377476224286415517620139771336^4=2178*516183969980317108205325828911012836242360508115582314062282358279478739363915954006848587021638705092881878230372363690771570316680707671021632304476024019^4
59234657986464967213128779250848119719044287054723114760209264313504705429414492640234365697999555352684299566222005594795541652541888497688643652302657705869^4+116735630506116527383413900505658434143931219687904338214468681792831309344489700994675391387177720459647570386372980305824796684597796189402050888551126110864^4+117347356810443508641610239824841483137886474357385167750077806863075184056760518474960111803425208124290468783890182412871617805657059184805753020511120035899^4=2178*20539580541633157900135144698864825078702480843410945016431574633434834770717232949783191187312116478120163424109530991086915664573778942902679602964929263919^4
...

[2025.11.08追記]
さらに他の整点を探すために、高さが200以下で、(3a-),(3b±)の共通の有理点を持つ有理数数uを選択すると、以下のように106個のuが抽出される。

> PPY(33,1,200);
** u= 1/7 ; tau(u)= 13/6 ; -71*x^2 - 97*y^2 + 170*x*z - 71*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1b (580/613 : -105/613 : 1)
** u= 1/31 ; tau(u)= 61/30 ; -1799*x^2 - 1921*y^2 + 3722*x*z - 1799*z^2
  (1401/1450 : -359/1450 : 1)  C1b (-64331/30763 : -14333/30763 : 1)
** u= 1/43 ; tau(u)= 85/42 ; -3527*x^2 - 3697*y^2 + 7226*x*z - 3527*z^2
  (4070/5073 : 29/5073 : 1)  C1b (-1505452/27329 : -261399/27329 : 1)
** u= 1/49 ; tau(u)= 97/48 ; -4607*x^2 - 4801*y^2 + 9410*x*z - 4607*z^2
  (1499/1653 : 280/1653 : 1)  C1b (-137704/59441 : 30101/59441 : 1)
** u= 1/139 ; tau(u)= 277/138 ; -38087*x^2 - 38641*y^2 + 76730*x*z - 38087*z^2
  (6561/7318 : 355/7318 : 1)  C1b (-211124/100495 : -9547/20099 : 1)
** u= 1/153 ; tau(u)= 305/152 ; -46207*x^2 - 46817*y^2 + 93026*x*z - 46207*z^2
  (447/422 : -43/422 : 1)  C1b (3858487/232169 : -650423/232169 : 1)
** u= 1/157 ; tau(u)= 313/156 ; -48671*x^2 - 49297*y^2 + 97970*x*z - 48671*z^2
  (114533/117099 : 12820/117099 : 1)  C1b (-26573264/18545035 : -1361797/3709007 : 1)
** u= 1/185 ; tau(u)= 369/184 ; -67711*x^2 - 68449*y^2 + 136162*x*z - 67711*z^2
  (10412/9679 : 747/9679 : 1)  C1b (-1089677/540136 : -249449/540136 : 1)
** u= 5/79 ; tau(u)= 153/74 ; -10927*x^2 - 12457*y^2 + 23434*x*z - 10927*z^2
  (1889/2668 : -327/2668 : 1)  C1b (31657/65383 : -9767/65383 : 1)
** u= 5/119 ; tau(u)= 233/114 ; -25967*x^2 - 28297*y^2 + 54314*x*z - 25967*z^2
  (19910/23037 : 5441/23037 : 1)  C1b (-58343/164836 : 34009/164836 : 1)
** u= 8/189 ; tau(u)= 370/181 ; -65458*x^2 - 71378*y^2 + 136964*x*z - 65458*z^2
  (4897/6601 : 12/287 : 1)  C1b (192247981/84786656 : 28819553/84786656 : 1)
** u= 13/6 ; tau(u)= 1/7 ; 71*x^2 + 97*y^2 + 170*x*z + 71*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1a (-1357/532 : -201/532 : 1)
** u= 13/43 ; tau(u)= 73/30 ; -1631*x^2 - 3529*y^2 + 5498*x*z - 1631*z^2
  (38/113 : 11/113 : 1)  C1b (230773/81259 : 33917/81259 : 1)
** u= 13/97 ; tau(u)= 181/84 ; -13943*x^2 - 18649*y^2 + 32930*x*z - 13943*z^2
  (752/927 : -407/927 : 1)  C1b (-645328/1022435 : 46501/204487 : 1)
** u= 13/137 ; tau(u)= 261/124 ; -30583*x^2 - 37369*y^2 + 68290*x*z - 30583*z^2
  (3583/4562 : 1527/4562 : 1)  C1b (55639/78160 : 2425/15632 : 1)
** u= 16/89 ; tau(u)= 162/73 ; -10402*x^2 - 15586*y^2 + 26500*x*z - 10402*z^2
  (841/1013 : 540/1013 : 1)  C1b (-7394896/20489 : -1188199/20489 : 1)
** u= 16/105 ; tau(u)= 194/89 ; -15586*x^2 - 21794*y^2 + 37892*x*z - 15586*z^2
  (207/211 : 116/211 : 1)  C1b (-15328/31549 : 6549/31549 : 1)
** u= 17/23 ; tau(u)= 29/6 ; 217*x^2 - 769*y^2 + 1130*x*z + 217*z^2
  (15474/113 : -8375/113 : 1)  C1b (8347/13708 : -2591/13708 : 1)
** u= 17/45 ; tau(u)= 73/28 ; -1279*x^2 - 3761*y^2 + 5618*x*z - 1279*z^2
  (209/863 : -36/863 : 1)  C1b (-3103/8383 : 1441/8383 : 1)
** u= 17/49 ; tau(u)= 81/32 ; -1759*x^2 - 4513*y^2 + 6850*x*z - 1759*z^2
  (1363/2147 : 1386/2147 : 1)  C1b (3506377/166552 : 525821/166552 : 1)
** u= 17/93 ; tau(u)= 169/76 ; -11263*x^2 - 17009*y^2 + 28850*x*z - 11263*z^2
  (96751/193929 : -26884/193929 : 1)  C1b (28625/72871 : 10755/72871 : 1)
** u= 17/131 ; tau(u)= 245/114 ; -25703*x^2 - 34033*y^2 + 60314*x*z - 25703*z^2
  (843/536 : -217/536 : 1)  C1b (8880596/101657 : 1448201/101657 : 1)
** u= 20/59 ; tau(u)= 98/39 ; -2642*x^2 - 6562*y^2 + 10004*x*z - 2642*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1b (-86039/12292 : 13689/12292 : 1)
** u= 25/37 ; tau(u)= 49/12 ; 337*x^2 - 2113*y^2 + 3026*x*z + 337*z^2
  (-178/6653 : -2317/6653 : 1)  C1b (2881/67567 : 10009/67567 : 1)
** u= 29/6 ; tau(u)= 17/23 ; -217*x^2 + 769*y^2 + 1130*x*z - 217*z^2
  (-1082/1857 : 2063/1857 : 1)  C1a (-7429/1756 : -1187/1756 : 1)
** u= 29/35 ; tau(u)= 41/6 ; 769*x^2 - 1609*y^2 + 2522*x*z + 769*z^2
  (-1458/4319 : -247/4319 : 1)  C1b (-3673/6188 : -73/476 : 1)
** u= 29/41 ; tau(u)= 53/12 ; 553*x^2 - 2521*y^2 + 3650*x*z + 553*z^2
  (-953/7296 : 1345/7296 : 1)  C1b (53125/16651 : 8595/16651 : 1)
** u= 29/167 ; tau(u)= 305/138 ; -37247*x^2 - 54937*y^2 + 93866*x*z - 37247*z^2
  (1620/2843 : -781/2843 : 1)  C1b (39181/15988 : -5787/15988 : 1)
** u= 29/189 ; tau(u)= 349/160 ; -50359*x^2 - 70601*y^2 + 122642*x*z - 50359*z^2
  (1263/691 : 194/691 : 1)  C1b (-4394411/687539 : 765511/687539 : 1)
** u= 32/101 ; tau(u)= 170/69 ; -8498*x^2 - 19378*y^2 + 29924*x*z - 8498*z^2
  (20279/37287 : -19432/37287 : 1)  C1b (54128224/83569 : 8275937/83569 : 1)
** u= 37/43 ; tau(u)= 49/6 ; 1297*x^2 - 2329*y^2 + 3770*x*z + 1297*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1b (1114988/131933 : -182757/131933 : 1)
** u= 37/51 ; tau(u)= 65/14 ; 977*x^2 - 3833*y^2 + 5594*x*z + 977*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1b (15556/617 : 2331/617 : 1)
** u= 37/135 ; tau(u)= 233/98 ; -17839*x^2 - 35081*y^2 + 55658*x*z - 17839*z^2
  (14138/5189 : -1029/5189 : 1)  C1b (3607708/4108919 : -700217/4108919 : 1)
** u= 37/175 ; tau(u)= 313/138 ; -36719*x^2 - 59881*y^2 + 99338*x*z - 36719*z^2
  (89030/197349 : -20119/197349 : 1)  C1b (-324621293/266308 : -51481361/266308 : 1)
** u= 41/6 ; tau(u)= 29/35 ; -769*x^2 + 1609*y^2 + 2522*x*z - 769*z^2
  (483/1420 : 13/1420 : 1)  C1a (-643603/19852 : 100159/19852 : 1)
** u= 41/83 ; tau(u)= 125/42 ; -1847*x^2 - 12097*y^2 + 17306*x*z - 1847*z^2
  (969/3746 : 1705/3746 : 1)  C1b (3368468/266033 : 29017/15649 : 1)
** u= 41/155 ; tau(u)= 269/114 ; -24311*x^2 - 46369*y^2 + 74042*x*z - 24311*z^2
  (1429/3678 : -479/3678 : 1)  C1b (-23830969/13565489 : 4829957/13565489 : 1)
** u= 41/179 ; tau(u)= 317/138 ; -36407*x^2 - 62401*y^2 + 102170*x*z - 36407*z^2
  (717/304 : 55/304 : 1)  C1b (3498052/965023 : 516699/965023 : 1)
** u= 49/6 ; tau(u)= 37/43 ; -1297*x^2 + 2329*y^2 + 3770*x*z - 1297*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1a (317/2485 : 75/497 : 1)
** u= 49/12 ; tau(u)= 25/37 ; -337*x^2 + 2113*y^2 + 3026*x*z - 337*z^2
  (712/13445 : -3899/13445 : 1)  C1a (2576/31621 : 4631/31621 : 1)
** u= 49/97 ; tau(u)= 145/48 ; -2207*x^2 - 16417*y^2 + 23426*x*z - 2207*z^2
  (10285/46531 : 19432/46531 : 1)  C1b (-6779984/1379101 : 1035883/1379101 : 1)
** u= 49/127 ; tau(u)= 205/78 ; -9767*x^2 - 29857*y^2 + 44426*x*z - 9767*z^2
  (16126/67387 : -6811/67387 : 1)  C1b (-2488249/36356 : -374847/36356 : 1)
** u= 49/153 ; tau(u)= 257/104 ; -19231*x^2 - 44417*y^2 + 68450*x*z - 19231*z^2
  (32521/47578 : -30765/47578 : 1)  C1b (148969/226175 : -7129/45235 : 1)
** u= 49/191 ; tau(u)= 333/142 ; -37927*x^2 - 70561*y^2 + 113290*x*z - 37927*z^2
  (207566/206509 : 150801/206509 : 1)  C1b (-47261/41365 : 2261/8273 : 1)
** u= 53/12 ; tau(u)= 29/41 ; -553*x^2 + 2521*y^2 + 3650*x*z - 553*z^2
  (-309/763 : 100/109 : 1)  C1a (8000/57679 : -8445/57679 : 1)
** u= 53/103 ; tau(u)= 153/50 ; -2191*x^2 - 18409*y^2 + 26218*x*z - 2191*z^2
  (12853/151022 : -5505/151022 : 1)  C1b (-369196/63389 : -55789/63389 : 1)
** u= 53/147 ; tau(u)= 241/94 ; -14863*x^2 - 40409*y^2 + 60890*x*z - 14863*z^2
  (49211/188776 : 209/188776 : 1)  C1b (9980/42277 : 6195/42277 : 1)
** u= 61/30 ; tau(u)= 1/31 ; 1799*x^2 + 1921*y^2 + 3722*x*z + 1799*z^2
  (-775/966 : 17/138 : 1)  C1a (-17492/22901 : -3607/22901 : 1)
** u= 61/87 ; tau(u)= 113/26 ; 2369*x^2 - 11417*y^2 + 16490*x*z + 2369*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1b (177596/56809 : 200973/397663 : 1)
** u= 61/117 ; tau(u)= 173/56 ; -2551*x^2 - 23657*y^2 + 33650*x*z - 2551*z^2
  (29/201 : 62/201 : 1)  C1b (888128/465103 : -142519/465103 : 1)
** u= 64/81 ; tau(u)= 98/17 ; 3518*x^2 - 9026*y^2 + 13700*x*z + 3518*z^2
  (-503/97 : -168/97 : 1)  C1b (-1895275/205429 : 281035/205429 : 1)
** u= 65/14 ; tau(u)= 37/51 ; -977*x^2 + 3833*y^2 + 5594*x*z - 977*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1a (-402764/480973 : -100989/480973 : 1)
** u= 65/161 ; tau(u)= 257/96 ; -14207*x^2 - 47617*y^2 + 70274*x*z - 14207*z^2
  (10910/20891 : 13063/20891 : 1)  C1b (13297829/21719627 : -84107/529747 : 1)
** u= 68/135 ; tau(u)= 202/67 ; -4354*x^2 - 31826*y^2 + 45428*x*z - 4354*z^2
  (175/57 : 98/57 : 1)  C1b (310324/349451 : -65377/349451 : 1)
** u= 73/28 ; tau(u)= 17/45 ; 1279*x^2 + 3761*y^2 + 5618*x*z + 1279*z^2
  (-209/863 : -36/863 : 1)  C1a (-102656/140983 : -23221/140983 : 1)
** u= 73/30 ; tau(u)= 13/43 ; 1631*x^2 + 3529*y^2 + 5498*x*z + 1631*z^2
  (-38/113 : -11/113 : 1)  C1a (159956/34189 : 26611/34189 : 1)
** u= 73/81 ; tau(u)= 89/8 ; 5201*x^2 - 7793*y^2 + 13250*x*z + 5201*z^2
  (607/12628 : 1563/1804 : 1)  C1b (31381/13064 : -6169/13064 : 1)
** u= 81/32 ; tau(u)= 17/49 ; 1759*x^2 + 4513*y^2 + 6850*x*z + 1759*z^2
  (-121/131 : 108/131 : 1)  C1a (-1895275/205429 : 281035/205429 : 1)
** u= 85/42 ; tau(u)= 1/43 ; 3527*x^2 + 3697*y^2 + 7226*x*z + 3527*z^2
  (-1842/2107 : -337/2107 : 1)  C1a (-20732/289139 : 48117/289139 : 1)
** u= 85/141 ; tau(u)= 197/56 ; 953*x^2 - 32537*y^2 + 46034*x*z + 953*z^2
  (435/334 : -463/334 : 1)  C1b (173912/206161 : 39891/206161 : 1)
** u= 85/171 ; tau(u)= 257/86 ; -7567*x^2 - 51257*y^2 + 73274*x*z - 7567*z^2
  (1439/1096 : 1331/1096 : 1)  C1b (-860207/363311 : 142423/363311 : 1)
** u= 89/8 ; tau(u)= 73/81 ; -5201*x^2 + 7793*y^2 + 13250*x*z - 5201*z^2
  (-491/2763 : -2750/2763 : 1)  C1a (-7394896/20489 : -1188199/20489 : 1)
** u= 89/103 ; tau(u)= 117/14 ; 7529*x^2 - 13297*y^2 + 21610*x*z + 7529*z^2
  (11389/2714 : -11307/2714 : 1)  C1b (-1419820/338321 : 210275/338321 : 1)
** u= 89/131 ; tau(u)= 173/42 ; 4393*x^2 - 26401*y^2 + 37850*x*z + 4393*z^2
  (2082/2957 : 3317/2957 : 1)  C1b (-114809729/24289681 : 16884289/24289681 : 1)
** u= 97/48 ; tau(u)= 1/49 ; 4607*x^2 + 4801*y^2 + 9410*x*z + 4607*z^2
  (-1653/1499 : 280/1499 : 1)  C1a (378877/136997 : 79559/136997 : 1)
** u= 97/125 ; tau(u)= 153/28 ; 7841*x^2 - 21841*y^2 + 32818*x*z + 7841*z^2
  (134/439 : -405/439 : 1)  C1b (-30616/627623 : -93703/627623 : 1)
** u= 97/189 ; tau(u)= 281/92 ; -7519*x^2 - 62033*y^2 + 88370*x*z - 7519*z^2
  (1159/10873 : -1860/10873 : 1)  C1b (-3408376/508429 : -512533/508429 : 1)
** u= 97/193 ; tau(u)= 289/96 ; -9023*x^2 - 65089*y^2 + 92930*x*z - 9023*z^2
  (451/3799 : -646/3799 : 1)  C1b (1198696/110179 : -175473/110179 : 1)
** u= 98/17 ; tau(u)= 64/81 ; -3518*x^2 + 9026*y^2 + 13700*x*z - 3518*z^2
  (4099/21893 : -7560/21893 : 1)  C1a (3506377/166552 : 525821/166552 : 1)
** u= 98/39 ; tau(u)= 20/59 ; 2642*x^2 + 6562*y^2 + 10004*x*z + 2642*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1a (100604/23473 : 16593/23473 : 1)
** u= 101/113 ; tau(u)= 125/12 ; 9913*x^2 - 15337*y^2 + 25826*x*z + 9913*z^2
  (2491/11829 : 84020/82803 : 1)  C1b (-20872/31169 : 33687/218183 : 1)
** u= 101/161 ; tau(u)= 221/60 ; 3001*x^2 - 41641*y^2 + 59042*x*z + 3001*z^2
  (1453/5026 : 3511/5026 : 1)  C1b (-161449/40448 : -24101/40448 : 1)
** u= 101/163 ; tau(u)= 225/62 ; 2513*x^2 - 42937*y^2 + 60826*x*z + 2513*z^2
  (3079/1256 : 2475/1256 : 1)  C1b (-12412/90863 : -13361/90863 : 1)
** u= 104/161 ; tau(u)= 218/57 ; 4318*x^2 - 41026*y^2 + 58340*x*z + 4318*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1b (168496/102829 : 29913/102829 : 1)
** u= 113/26 ; tau(u)= 61/87 ; -2369*x^2 + 11417*y^2 + 16490*x*z - 2369*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1a (6963644/97769 : 7197177/684383 : 1)
** u= 113/129 ; tau(u)= 145/16 ; 12257*x^2 - 20513*y^2 + 33794*x*z + 12257*z^2
  (-981/412 : 1/4 : 1)  C1b (-200461/54853 : 29649/54853 : 1)
** u= 116/131 ; tau(u)= 146/15 ; 13006*x^2 - 20866*y^2 + 34772*x*z + 13006*z^2
  (17971/36117 : -45782/36117 : 1)  C1b (12337109/59189 : 1963901/59189 : 1)
** u= 117/14 ; tau(u)= 89/103 ; -7529*x^2 + 13297*y^2 + 21610*x*z - 7529*z^2
  (5747/15548 : -3219/15548 : 1)  C1a (34340/34267 : -6145/34267 : 1)
** u= 125/12 ; tau(u)= 101/113 ; -9913*x^2 + 15337*y^2 + 25826*x*z - 9913*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1a (112088/22717 : -117933/159019 : 1)
** u= 125/42 ; tau(u)= 41/83 ; 1847*x^2 + 12097*y^2 + 17306*x*z + 1847*z^2
  (-622/613 : 655/613 : 1)  C1a (49199/223 : -7247/223 : 1)
** u= 125/139 ; tau(u)= 153/14 ; 15233*x^2 - 23017*y^2 + 39034*x*z + 15233*z^2
  (4445/22 : 3639/22 : 1)  C1b (-12749084/2547289 : 1921429/2547289 : 1)
** u= 128/189 ; tau(u)= 250/61 ; 8942*x^2 - 55058*y^2 + 78884*x*z + 8942*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1b (-7543/53104 : -7777/53104 : 1)
** u= 145/16 ; tau(u)= 113/129 ; -12257*x^2 + 20513*y^2 + 33794*x*z - 12257*z^2
  (417/12094 : 8899/12094 : 1)  C1a (14653/74677 : 11169/74677 : 1)
** u= 145/48 ; tau(u)= 49/97 ; 2207*x^2 + 16417*y^2 + 23426*x*z + 2207*z^2
  (-5119/4209 : 4984/4209 : 1)  C1a (35704/24191 : 389/1423 : 1)
** u= 146/15 ; tau(u)= 116/131 ; -13006*x^2 + 20866*y^2 + 34772*x*z - 13006*z^2
  (8947/20739 : -2962/20739 : 1)  C1a (-1603396/150583 : -264661/150583 : 1)
** u= 153/14 ; tau(u)= 125/139 ; -15233*x^2 + 23017*y^2 + 39034*x*z - 15233*z^2
  (14806/46759 : 20445/46759 : 1)  C1a (-289244/16091 : 47431/16091 : 1)
** u= 153/28 ; tau(u)= 97/125 ; -7841*x^2 + 21841*y^2 + 32818*x*z - 7841*z^2
  (9487/703 : 4740/703 : 1)  C1a (854089/1185929 : -193927/1185929 : 1)
** u= 153/50 ; tau(u)= 53/103 ; 2191*x^2 + 18409*y^2 + 26218*x*z + 2191*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1a (-723137/1995407 : -303313/1995407 : 1)
** u= 153/74 ; tau(u)= 5/79 ; 10927*x^2 + 12457*y^2 + 23434*x*z + 10927*z^2
  (-14902/10691 : 2157/10691 : 1)  C1a (3420419/1106884 : -684851/1106884 : 1)
** u= 157/195 ; tau(u)= 233/38 ; 21761*x^2 - 51401*y^2 + 78938*x*z + 21761*z^2
  (201/284 : 2609/1988 : 1)  C1b (-10228/1951 : 10539/13657 : 1)
** u= 160/181 ; tau(u)= 202/21 ; 24718*x^2 - 39922*y^2 + 66404*x*z + 24718*z^2
  (8909/173 : -7192/173 : 1)  C1b (-10387471/3044753 : -1536079/3044753 : 1)
** u= 160/189 ; tau(u)= 218/29 ; 23918*x^2 - 45842*y^2 + 73124*x*z + 23918*z^2
  (643/17539 : -13368/17539 : 1)  C1b (-251408/214211 : 42251/214211 : 1)
** u= 162/73 ; tau(u)= 16/89 ; 10402*x^2 + 15586*y^2 + 26500*x*z + 10402*z^2
  (-24217/29837 : -15588/29837 : 1)  C1a (31381/13064 : -6169/13064 : 1)
** u= 164/171 ; tau(u)= 178/7 ; 26798*x^2 - 31586*y^2 + 58580*x*z + 26798*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1b (68213/25708 : -13943/25708 : 1)
** u= 164/199 ; tau(u)= 234/35 ; 24446*x^2 - 52306*y^2 + 81652*x*z + 24446*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1b (-1100124524/300318841 : 161492129/300318841 : 1)
** u= 169/76 ; tau(u)= 17/93 ; 11263*x^2 + 17009*y^2 + 28850*x*z + 11263*z^2
  (-1559/2961 : 92/423 : 1)  C1a (227576/295829 : 70221/295829 : 1)
** u= 170/69 ; tau(u)= 32/101 ; 8498*x^2 + 19378*y^2 + 29924*x*z + 8498*z^2
  (-1847/2559 : 1712/2559 : 1)  C1a (-309968/105419 : -45539/105419 : 1)
** u= 173/42 ; tau(u)= 89/131 ; -4393*x^2 + 26401*y^2 + 37850*x*z - 4393*z^2
  (-872/503 : -893/503 : 1)  C1a (56794673/15223972 : 8410843/15223972 : 1)
** u= 173/56 ; tau(u)= 61/117 ; 2551*x^2 + 23657*y^2 + 33650*x*z + 2551*z^2
  (-1161/14573 : 1010/14573 : 1)  C1a (-2010817/1444448 : 350167/1444448 : 1)
** u= 178/7 ; tau(u)= 164/171 ; -26798*x^2 + 31586*y^2 + 58580*x*z - 26798*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1a (-78992428/42503 : 13244873/42503 : 1)
** u= 181/84 ; tau(u)= 13/97 ; 13943*x^2 + 18649*y^2 + 32930*x*z + 13943*z^2
  (-35889/45491 : 19304/45491 : 1)  C1a (339877744/66346001 : 60985379/66346001 : 1)
** u= 185/189 ; tau(u)= 193/4 ; 34193*x^2 - 37217*y^2 + 71474*x*z + 34193*z^2
  (34887/328949 : 350104/328949 : 1)  C1b (-3506608/419119 : 567443/419119 : 1)
** u= 193/4 ; tau(u)= 185/189 ; -34193*x^2 + 37217*y^2 + 71474*x*z - 34193*z^2
  (78991/110195 : -13128/110195 : 1)  C1a (1434128/381539 : 221017/381539 : 1)
** u= 194/89 ; tau(u)= 16/105 ; 15586*x^2 + 21794*y^2 + 37892*x*z + 15586*z^2
  (-23805/18809 : 10964/18809 : 1)  C1a (13709/1952 : 2373/1952 : 1)
** u= 196/199 ; tau(u)= 202/3 ; 38398*x^2 - 40786*y^2 + 79220*x*z + 38398*z^2
  (8521/6099 : -14294/6099 : 1)  C1b (-344693/138892 : 51947/138892 : 1)
** u= 197/56 ; tau(u)= 85/141 ; -953*x^2 + 32537*y^2 + 46034*x*z - 953*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1a (-15959/22441 : 4071/22441 : 1)
106
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u=29/41のとき、(3a-),(3b-)は共通の有理点を持つので、対応する(1)の整点を求めてみたが、u=24/53ときと全く同じ整点が得られた。

これにより、τ(u,x)=((u-2)/(u-1),-x)とは異なるinvolution
σ(u,x)=((2*u-2)/(u-2),-x)
を見つけることができた。
involution σによって、(3a+)は(3a-)に写り、(3a-)は(3a+)に写り、(3b+)と(3b-)は共に不変である。
[pair/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)+YY2((2*u-2)/(u-2),-x)
time = 1 ms.
%1 = 0
gp > TT2(n,u,x)-TT2(n,(2*u-2)/(u-2),-x)
%2 = 0

よって、有理数 u, τ(u)=(u-2)/(u-1), σ(u)=(2*u-2)/(u-2), (στ)(u)=σ(τ(u))=2/uに対応する(1)の整点の集合は同一である。
ここで、
W(u)={u, (u-2)/(u-1), (2*u-2)/(u-2), 2/u}
とする。
任意の有理数uに対して、
・W(u)の元の１つで、(3a±),(3b±)に対応する(1)の整点が存在するならば、残りの元に対応する(1)の整点も、それと同一である。
・W(u)の元の１つで、(3a±),(3b±)に対応する(1)の整点が存在しないならば、残りの元についても、対応する(1)の整点は存在しない。

よって、(3a-),(3b±)の共通有理点は調べなくてもも良い。つまり、(3a+),(3b±)の共通有理点のみを調べれば十分である。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves fpr x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2025.11.08

H.Nakao