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Integer Points on A^4+B^4+C^4=216482*D^4

[2026.02.02]A^4+B^4+C^4=216482*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

216482=2*329^2であるので、以下では、n=329とする。

■n=329のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないとが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=329;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように108個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(329,1,200);
** u= 1/137 ; tau(u)= 273/136 ; -36991*x^2 + 37537*y^2 + 74530*x*z - 36991*z^2
  (40591/47221 : -3916/47221 : 1)  C1b (5567960/5253099 : 298675/5253099 : 1)
** u= 4/149 ; tau(u)= 294/145 ; -42034*x^2 + 44386*y^2 + 86452*x*z - 42034*z^2
  (31760/47417 : -12299/47417 : 1)  C1b (-204857/22487 : 11789/22487 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (7120/7653 : -439/7653 : 1)
** u= -7/61 ; tau(u)= 129/68 ; -9199*x^2 + 7393*y^2 + 16690*x*z - 9199*z^2
  (-209/789 : -1096/789 : 1)  C2b (-1655329/277608 : -106787/277608 : 1)
** u= -7/153 ; tau(u)= 313/160 ; -51151*x^2 + 46769*y^2 + 98018*x*z - 51151*z^2
  (5491/19333 : 14808/19333 : 1)  C2b (-9067/342315 : -19591/342315 : 1)
** u= -8/17 ; tau(u)= 42/25 ; -1186*x^2 + 514*y^2 + 1828*x*z - 1186*z^2
  (4 : -5 : 1)  C2b (42872/69973 : 3919/69973 : 1)
** u= -8/101 ; tau(u)= 210/109 ; -23698*x^2 + 20338*y^2 + 44164*x*z - 23698*z^2
  (401/2841 : 2668/2841 : 1)  C2b (26377/56200 : -2733/56200 : 1)
** u= -11/117 ; tau(u)= 245/128 ; -32647*x^2 + 27257*y^2 + 60146*x*z - 32647*z^2
  (527/257 : -336/257 : 1)  C2b (3456840/10539757 : 529117/10539757 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (-44/773 : -39/773 : 1)
** u= -12/113 ; tau(u)= 238/125 ; -31106*x^2 + 25394*y^2 + 56788*x*z - 31106*z^2
  (-1103/1008 : 2285/1008 : 1)  C2b (-289207/542377 : 43221/542377 : 1)
** u= 12/181 ; tau(u)= 350/169 ; -56978*x^2 + 65378*y^2 + 122644*x*z - 56978*z^2
  (2050/4697 : 2197/4697 : 1)  C1b (1592596/358319 : 78009/358319 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (3460/3541 : 195/3541 : 1)
** u= 15/113 ; tau(u)= 211/98 ; -18983*x^2 + 25313*y^2 + 44746*x*z - 18983*z^2
  (78759773/1076725509 : 850981054/1076725509 : 1)  C1b (19043/4885 : -909/4885 : 1)
** u= 16/65 ; tau(u)= 114/49 ; -4546*x^2 + 8194*y^2 + 13252*x*z - 4546*z^2
  (3429/1247 : 686/1247 : 1)  C1b (-33640/26377 : 2447/26377 : 1)
** u= 16/113 ; tau(u)= 210/97 ; -18562*x^2 + 25282*y^2 + 44356*x*z - 18562*z^2
  (61/123 : -26/123 : 1)  C1b (-58859105/1056376 : -3062511/1056376 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (5148208/1375625 : -61141/275125 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
  (-929/1733 : 3156/1733 : 1)  C2b (-1896929/542880 : -140989/542880 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (-12855/233 : 1141/233 : 1)
** u= -20/53 ; tau(u)= 126/73 ; -10258*x^2 + 5218*y^2 + 16276*x*z - 10258*z^2
  (878/3607 : -4149/3607 : 1)  C2b (142172/61107 : 7849/61107 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (-736/13535 : -637/13535 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (-14501/10397 : 1101/10397 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
  (4943/44507 : -8330/44507 : 1)  C1b (1176340/735873 : 60887/735873 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (2200/8429 : -393/8429 : 1)
** u= 28/53 ; tau(u)= 78/25 ; -466*x^2 + 4834*y^2 + 6868*x*z - 466*z^2
  (-1379/192144 : -62735/192144 : 1)  C1b (-22479/160420 : -7597/160420 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (-1501384/350247 : 77747/350247 : 1)
** u= -31/37 ; tau(u)= 105/68 ; -8287*x^2 + 1777*y^2 + 11986*x*z - 8287*z^2
  (59/17 : 104/17 : 1)  C2b (-595848/59335 : 64627/59335 : 1)
** u= -33/169 ; tau(u)= 371/202 ; -80519*x^2 + 56033*y^2 + 138730*x*z - 80519*z^2
  (-363/2653 : -3562/2653 : 1)  C2b (-43491067/15065539 : -3291339/15065539 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (7791372/4270465 : -374189/4270465 : 1)
** u= 40/89 ; tau(u)= 138/49 ; -3202*x^2 + 14242*y^2 + 20644*x*z - 3202*z^2
  (2407/379 : 112/379 : 1)  C1b (47360/67073 : 3561/67073 : 1)
** u= 42/25 ; tau(u)= -8/17 ; 1186*x^2 - 514*y^2 + 1828*x*z + 1186*z^2
  (1107/1997 : 4460/1997 : 1)  C1a (-80456/60969 : -4547/60969 : 1)
** u= 44/49 ; tau(u)= 54/5 ; 1886*x^2 + 2866*y^2 + 4852*x*z + 1886*z^2
  (-1580/2879 : 777/2879 : 1)  C1b (486580/280499 : 32933/280499 : 1)
** u= 49/113 ; tau(u)= 177/64 ; -5791*x^2 + 23137*y^2 + 33730*x*z - 5791*z^2
  (7619/50109 : 9296/50109 : 1)  C1b (-83339/79872 : 5881/79872 : 1)
** u= 49/117 ; tau(u)= 185/68 ; -6847*x^2 + 24977*y^2 + 36626*x*z - 6847*z^2
  (-2503/616787 : -326424/616787 : 1)  C1b (2218624/1236591 : -109961/1236591 : 1)
** u= -49/121 ; tau(u)= 291/170 ; -55399*x^2 + 26881*y^2 + 87082*x*z - 55399*z^2
  (-3889/33291 : 52294/33291 : 1)  C2b (-609500/251571 : 55687/251571 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (49508/27861 : 32561/27861 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (1726212/790975 : 7543/27275 : 1)
** u= 54/5 ; tau(u)= 44/49 ; -1886*x^2 - 2866*y^2 + 4852*x*z - 1886*z^2
  (1580/2879 : -777/2879 : 1)  C1a (266565/270196 : -15053/270196 : 1)
** u= -55/49 ; tau(u)= 153/104 ; -18607*x^2 + 1777*y^2 + 26434*x*z - 18607*z^2
  (-1/181 : 588/181 : 1)  C2b (-474520/35919 : -75247/35919 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
  (4/7 : -11/7 : 1)  C2b (-323005/8248 : 34153/8248 : 1)
** u= -56/89 ; tau(u)= 234/145 ; -38914*x^2 + 12706*y^2 + 57892*x*z - 38914*z^2
  (24903/68491 : 92168/68491 : 1)  C2b (11479/14655 : 913/14655 : 1)
** u= -56/125 ; tau(u)= 306/181 ; -62386*x^2 + 28114*y^2 + 96772*x*z - 62386*z^2
  (-103919/1438941 : 2265680/1438941 : 1)  C2b (-42341944/185416221 : 15561991/185416221 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-10052768/3003389 : 497547/3003389 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (-30026861/8199980 : 2344779/8199980 : 1)
** u= 59/157 ; tau(u)= 255/98 ; -15727*x^2 + 45817*y^2 + 68506*x*z - 15727*z^2
  (893/9761 : 4466/9761 : 1)  C1b (-94209/82420 : -6611/82420 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (-395473/5599480 : 264017/5599480 : 1)
** u= -64/157 ; tau(u)= 378/221 ; -93586*x^2 + 45202*y^2 + 146980*x*z - 93586*z^2
  (-122/49 : -235/49 : 1)  C2b (1059557/1112605 : 13033/222521 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
  (151/2201 : -1190/2201 : 1)  C1a (901709/449940 : -49601/449940 : 1)
** u= -77/125 ; tau(u)= 327/202 ; -75679*x^2 + 25321*y^2 + 112858*x*z - 75679*z^2
  (-31203/472877 : -858490/472877 : 1)  C2b (-19065124/2959721 : -1741851/2959721 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (1010192/1808945 : 93567/1808945 : 1)
** u= 78/25 ; tau(u)= 28/53 ; 466*x^2 - 4834*y^2 + 6868*x*z + 466*z^2
  (2/7 : -5/7 : 1)  C1a (34810348/33448945 : 136357/1967585 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (148585/46972 : 16109/46972 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (-42566619/11629981 : -1996397/11629981 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (-1995013/1974072 : 279371/1974072 : 1)
** u= 83/157 ; tau(u)= 231/74 ; -4063*x^2 + 42409*y^2 + 60250*x*z - 4063*z^2
  (-161373/159143 : 203486/159143 : 1)  C1b (-3531/2627 : 211/2627 : 1)
** u= 84/97 ; tau(u)= 110/13 ; 6718*x^2 + 11762*y^2 + 19156*x*z + 6718*z^2
  (-3779/9222 : -163/9222 : 1)  C1b (-62461300/6338041 : 3011421/6338041 : 1)
** u= -84/101 ; tau(u)= 286/185 ; -61394*x^2 + 13346*y^2 + 88852*x*z - 61394*z^2
  (659/280 : -1063/280 : 1)  C2b (-5913881/838436 : 655977/838436 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
  (-1068/5543 : -1529/5543 : 1)  C1b (8677/14516 : 837/14516 : 1)
** u= -85/157 ; tau(u)= 399/242 ; -109903*x^2 + 42073*y^2 + 166426*x*z - 109903*z^2
  (132361/79785 : -143594/79785 : 1)  C2b (-86021605/28838044 : -8317453/28838044 : 1)
** u= -91/73 ; tau(u)= 237/164 ; -45511*x^2 + 2377*y^2 + 64450*x*z - 45511*z^2
  (107/201 : -640/201 : 1)  C2b (20580243/6618056 : -3366217/6618056 : 1)
** u= 105/68 ; tau(u)= -31/37 ; 8287*x^2 - 1777*y^2 + 11986*x*z + 8287*z^2
  (-887/617 : -1324/617 : 1)  C1a (-117896/11225 : 11181/11225 : 1)
** u= 109/149 ; tau(u)= 189/40 ; 8681*x^2 + 32521*y^2 + 47602*x*z + 8681*z^2
  (-48903/257411 : -10004/257411 : 1)  C1b (-1082295/893024 : 59963/893024 : 1)
** u= 110/13 ; tau(u)= 84/97 ; -6718*x^2 - 11762*y^2 + 19156*x*z - 6718*z^2
  (405/914 : 179/914 : 1)  C1a (357052/260377 : 17943/260377 : 1)
** u= 112/113 ; tau(u)= 114 ; 12542*x^2 + 12994*y^2 + 25540*x*z + 12542*z^2
  (-106117/122901 : 13630/122901 : 1)  C1b (-27731/134157 : -6719/134157 : 1)
** u= -113/185 ; tau(u)= 483/298 ; -164839*x^2 + 55681*y^2 + 246058*x*z - 164839*z^2
  (5117/8441 : 9878/8441 : 1)  C2b (2606612/5244745 : 327647/5244745 : 1)
** u= 113/193 ; tau(u)= 273/80 ; -31*x^2 + 61729*y^2 + 87298*x*z - 31*z^2
  (-27521/100777 : 62672/100777 : 1)  C1b (-11856232/8056917 : 664669/8056917 : 1)
** u= 114 ; tau(u)= 112/113 ; -12542*x^2 - 12994*y^2 + 25540*x*z - 12542*z^2
  (7/8 : 1/8 : 1)  C1a (151456/191353 : -9637/191353 : 1)
** u= 114/49 ; tau(u)= 16/65 ; 4546*x^2 - 8194*y^2 + 13252*x*z + 4546*z^2
  (-487/150 : -161/150 : 1)  C1a (652777/399928 : 43367/399928 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (83904/259025 : 4421/51805 : 1)
** u= -119/89 ; tau(u)= 297/208 ; -72367*x^2 + 1681*y^2 + 102370*x*z - 72367*z^2
  (51/509 : -3112/509 : 1)  C2b (-95773/41149 : -1599161/1687109 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (-195722236/20831915 : 2024331/4166383 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (-1358297/98156 : -76413/98156 : 1)
** u= 126/73 ; tau(u)= -20/53 ; 10258*x^2 - 5218*y^2 + 16276*x*z + 10258*z^2
  (185/564 : 1009/564 : 1)  C1a (-111589/133764 : -7393/133764 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (44/377 : 373/377 : 1)
** u= 129/68 ; tau(u)= -7/61 ; 9199*x^2 - 7393*y^2 + 16690*x*z + 9199*z^2
  (-23459/19257 : -11240/19257 : 1)  C1a (-11218304/7561003 : -554189/7561003 : 1)
** u= 131/181 ; tau(u)= 231/50 ; 12161*x^2 + 48361*y^2 + 70522*x*z + 12161*z^2
  (-1655/301 : 122/301 : 1)  C1b (83208092/11019233 : 4039029/11019233 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (-5297/12692 : 3087/12692 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (3244376/91923 : 156503/91923 : 1)
** u= -133/157 ; tau(u)= 447/290 ; -150511*x^2 + 31609*y^2 + 217498*x*z - 150511*z^2
  (-506251/59374565 : -130362878/59374565 : 1)  C2b (-4526675/668211 : 512567/668211 : 1)
** u= 133/173 ; tau(u)= 213/40 ; 14489*x^2 + 42169*y^2 + 63058*x*z + 14489*z^2
  (-32443/131975 : 7516/131975 : 1)  C1b (4271056/2157705 : -248317/2157705 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (522096/577307 : 38257/577307 : 1)
** u= -136/121 ; tau(u)= 378/257 ; -113602*x^2 + 10786*y^2 + 161380*x*z - 113602*z^2
  (-373/15104 : -49885/15104 : 1)  C2b (97336/145007 : 15547/145007 : 1)
** u= 136/185 ; tau(u)= 234/49 ; 13694*x^2 + 49954*y^2 + 73252*x*z + 13694*z^2
  (-9325/39103 : -9576/39103 : 1)  C1b (-1144408/1328007 : 74717/1328007 : 1)
** u= 138/49 ; tau(u)= 40/89 ; 3202*x^2 - 14242*y^2 + 20644*x*z + 3202*z^2
  (-411/33518 : -15253/33518 : 1)  C1a (-15388312/9937 : -722181/9937 : 1)
** u= 140/169 ; tau(u)= 198/29 ; 17918*x^2 + 37522*y^2 + 58804*x*z + 17918*z^2
  (-4093/6606 : -3679/6606 : 1)  C1b (-1755105/524231 : -81583/524231 : 1)
** u= 140/181 ; tau(u)= 222/41 ; 16238*x^2 + 45922*y^2 + 68884*x*z + 16238*z^2
  (-12728/48349 : 6263/48349 : 1)  C1b (-154276/811109 : 37677/811109 : 1)
** u= 140/193 ; tau(u)= 246/53 ; 13982*x^2 + 54898*y^2 + 80116*x*z + 13982*z^2
  (-7713/35228 : 8081/35228 : 1)  C1b (-14998212/2698415 : -695501/2698415 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-92300/41817 : 11723/41817 : 1)
** u= -152/113 ; tau(u)= 378/265 ; -117346*x^2 + 2434*y^2 + 165988*x*z - 117346*z^2
  (-3373/4375 : -49776/4375 : 1)  C2b (-1486085/245667 : -31603/14451 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (598039/2104272 : 165481/2104272 : 1)
** u= 153/104 ; tau(u)= -55/49 ; 18607*x^2 - 1777*y^2 + 26434*x*z + 18607*z^2
  (-6089/8763 : 868/381 : 1)  C1a (52000/386289 : -63827/386289 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (-95395/27723 : 4789/27723 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (3986125/978427 : -216459/978427 : 1)
** u= 157/173 ; tau(u)= 189/16 ; 24137*x^2 + 35209*y^2 + 60370*x*z + 24137*z^2
  (-35083/70171 : 1320/70171 : 1)  C1b (-25918584/29792233 : 1566649/29792233 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
  (2757/18968 : -1991/18968 : 1)  C1a (-1071244/694745 : 12663/138949 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-10261064/2223985 : 96111/444797 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (1684271/1134633 : 159937/1134633 : 1)
** u= 161/181 ; tau(u)= 201/20 ; 25121*x^2 + 39601*y^2 + 66322*x*z + 25121*z^2
  (-155/319 : 10928/63481 : 1)  C1b (695/216 : 8053/42984 : 1)
** u= 168/185 ; tau(u)= 202/17 ; 27646*x^2 + 40226*y^2 + 69028*x*z + 27646*z^2
  (-1042/895 : 551/895 : 1)  C1b (-1352464760/150397091 : 66365409/150397091 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (583753/243809 : -47247/243809 : 1)
** u= 177/64 ; tau(u)= 49/113 ; 5791*x^2 - 23137*y^2 + 33730*x*z + 5791*z^2
  (1843/243 : -1232/243 : 1)  C1a (112321/737728 : -36011/737728 : 1)
** u= 185/68 ; tau(u)= 49/117 ; 6847*x^2 - 24977*y^2 + 36626*x*z + 6847*z^2
  (-3907/23965 : -4932/23965 : 1)  C1a (-1144408/1328007 : 74717/1328007 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
  (-26113/330661 : -692824/330661 : 1)  C1a (112312/87753 : -19147/87753 : 1)
** u= 189/16 ; tau(u)= 157/173 ; -24137*x^2 - 35209*y^2 + 60370*x*z - 24137*z^2
  (20921/33569 : 11472/33569 : 1)  C1a (1293255/400016 : 60805/400016 : 1)
** u= 189/40 ; tau(u)= 109/149 ; -8681*x^2 - 32521*y^2 + 47602*x*z - 8681*z^2
  (37/193 : 12/193 : 1)  C1a (1789/2365 : 127/2365 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (75123/25267 : 3823/25267 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
  (-865/707 : -564/707 : 1)  C1a (46633/79272 : 7063/79272 : 1)
** u= 198/29 ; tau(u)= 140/169 ; -17918*x^2 - 37522*y^2 + 58804*x*z - 17918*z^2
  (86162/186149 : -71019/186149 : 1)  C1a (22073300/3433599 : -1038523/3433599 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (-83441/134300 : -6587/134300 : 1)
108
>


ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.02.03追記] u=-8/101,28/53,-52/37,-56/89,140/193のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.02.03
H.Nakao

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