Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+B^4+C^4=208658*D^4

[2026.02.04]A^4+B^4+C^4=208658*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

208658=2*323^2であるので、以下では、n=323とする。

■n=323のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないとが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=323;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように86個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(323,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (109/146 : 13/146 : 1)
** u= 1/41 ; tau(u)= 81/40 ; -3199*x^2 + 3361*y^2 + 6562*x*z - 3199*z^2
  (887/9805 : -8676/9805 : 1)  C1b (267/3706 : -197/3706 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (298/43 : -41/43 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (-42/61 : 53/1037 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (287957/254398 : 15389/254398 : 1)
** u= 4/45 ; tau(u)= 86/41 ; -3346*x^2 + 4034*y^2 + 7412*x*z - 3346*z^2
  (-2650/11177 : 12801/11177 : 1)  C1b (-27374/5287 : -1607/5287 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (1 : -1/17 : 1)
** u= -7/25 ; tau(u)= 57/32 ; -1999*x^2 + 1201*y^2 + 3298*x*z - 1999*z^2
  (1/7 : 8/7 : 1)  C2b (5346/14603 : -791/14603 : 1)
** u= 7/89 ; tau(u)= 171/82 ; -13399*x^2 + 15793*y^2 + 29290*x*z - 13399*z^2
  (17377/26853 : 1598/26853 : 1)  C1b (613962/90377 : -526697/1536409 : 1)
** u= -8/53 ; tau(u)= 114/61 ; -7378*x^2 + 5554*y^2 + 13060*x*z - 7378*z^2
  (212/279 : 5/9 : 1)  C2b (202837/311570 : -3119/62314 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (-820009/41746 : -757539/709682 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
  (-747/251 : 18056/4267 : 1)  C2b (6728282/372259 : 6437229/6328403 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (139/222 : 209/3774 : 1)
** u= -16/181 ; tau(u)= 378/197 ; -77362*x^2 + 65266*y^2 + 143140*x*z - 77362*z^2
  (241/35271 : 38158/35271 : 1)  C2b (-385935/772514 : -60215/772514 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
  (239/369 : -244/369 : 1)  C2b (3440899/849235 : 37503/169847 : 1)
** u= 23/169 ; tau(u)= 315/146 ; -42103*x^2 + 56593*y^2 + 99754*x*z - 42103*z^2
  (2615/1183 : -822/1183 : 1)  C1b (-1093201/2152159 : -2482121/36586703 : 1)
** u= -29/53 ; tau(u)= 135/82 ; -12607*x^2 + 4777*y^2 + 19066*x*z - 12607*z^2
  (-3377/4051 : 11314/4051 : 1)  C2b (3518/19719 : 23507/335223 : 1)
** u= -32/149 ; tau(u)= 330/181 ; -64498*x^2 + 43378*y^2 + 109924*x*z - 64498*z^2
  (-89/61 : 4054/1403 : 1)  C2b (7709/16947 : 20029/389781 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (-995946/1777567 : -112223/1777567 : 1)
** u= 35/181 ; tau(u)= 327/146 ; -41407*x^2 + 64297*y^2 + 108154*x*z - 41407*z^2
  (-49501/393027 : -365762/393027 : 1)  C1b (-704989/39678 : 36797/39678 : 1)
** u= 41/81 ; tau(u)= 121/40 ; -1519*x^2 + 11441*y^2 + 16322*x*z - 1519*z^2
  (67/5017 : 1692/5017 : 1)  C1b (-3199/1622 : 2971/27574 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (293250/106523 : 272345/1810891 : 1)
** u= 49/89 ; tau(u)= 129/40 ; -799*x^2 + 13441*y^2 + 19042*x*z - 799*z^2
  (-1383/98507 : 27748/98507 : 1)  C1b (-1627758/52039 : -76369/52039 : 1)
** u= -52/73 ; tau(u)= 198/125 ; -28546*x^2 + 7954*y^2 + 41908*x*z - 28546*z^2
  (602/843 : -1085/843 : 1)  C2b (-228902/55763 : 24383/55763 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (59446/13599 : 147041/231183 : 1)
** u= 53/61 ; tau(u)= 69/8 ; 2681*x^2 + 4633*y^2 + 7570*x*z + 2681*z^2
  (-7179/16087 : 3020/16087 : 1)  C1b (341114/379211 : -29829/379211 : 1)
** u= -53/173 ; tau(u)= 399/226 ; -99343*x^2 + 57049*y^2 + 162010*x*z - 99343*z^2
  (-439347/211297 : -823106/211297 : 1)  C2b (9785614/13274739 : -703771/13274739 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (46173/4373 : 2959/4373 : 1)
** u= -55/73 ; tau(u)= 201/128 ; -29743*x^2 + 7633*y^2 + 43426*x*z - 29743*z^2
  (-7353/5801 : 24176/5801 : 1)  C2b (-196427/62477 : -388489/1062109 : 1)
** u= -55/109 ; tau(u)= 273/164 ; -50767*x^2 + 20737*y^2 + 77554*x*z - 50767*z^2
  (-91167/3659 : -147064/3659 : 1)  C2b (-8102102/741659 : 654799/741659 : 1)
** u= -56/65 ; tau(u)= 186/121 ; -26146*x^2 + 5314*y^2 + 37732*x*z - 26146*z^2
  (4/7 : -11/7 : 1)  C2b (-373443/3418 : 39401/3418 : 1)
** u= 57/32 ; tau(u)= -7/25 ; 1999*x^2 - 1201*y^2 + 3298*x*z + 1999*z^2
  (-957/5627 : 6280/5627 : 1)  C1a (-83958/126089 : -6557/126089 : 1)
** u= -57/89 ; tau(u)= 235/146 ; -39383*x^2 + 12593*y^2 + 58474*x*z - 39383*z^2
  (99/139 : 1154/973 : 1)  C2b (-3943/51562 : 32223/360934 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (693178/147395 : -6549/29479 : 1)
** u= -59/197 ; tau(u)= 453/256 ; -127591*x^2 + 74137*y^2 + 208690*x*z - 127591*z^2
  (1871/1617 : 9920/11319 : 1)  C2b (114314/65255 : 142305/1553069 : 1)
** u= 69/8 ; tau(u)= 53/61 ; -2681*x^2 - 4633*y^2 + 7570*x*z - 2681*z^2
  (1197/2449 : -700/2449 : 1)  C1a (2227982/66423 : -110911/66423 : 1)
** u= 71/169 ; tau(u)= 267/98 ; -14167*x^2 + 52081*y^2 + 76330*x*z - 14167*z^2
  (-58073/2031807 : 1138774/2031807 : 1)  C1b (850927/801142 : 50247/801142 : 1)
** u= -76/169 ; tau(u)= 414/245 ; -114274*x^2 + 51346*y^2 + 177172*x*z - 114274*z^2
  (7240/3743 : -7371/3743 : 1)  C2b (5448733/9592043 : 538433/9592043 : 1)
** u= -77/117 ; tau(u)= 311/194 ; -69343*x^2 + 21449*y^2 + 102650*x*z - 69343*z^2
  (441611/851052527 : -1529633370/851052527 : 1)  C2b (2558373/1053250 : -34489/210650 : 1)
** u= 80/81 ; tau(u)= 82 ; 6398*x^2 + 6722*y^2 + 13124*x*z + 6398*z^2
  (-2227/2651 : -342/2651 : 1)  C1b (505922/380409 : -42167/380409 : 1)
** u= 80/121 ; tau(u)= 162/41 ; 3038*x^2 + 22882*y^2 + 32644*x*z + 3038*z^2
  (-103/535 : 198/535 : 1)  C1b (-9442/16759 : -14743/284903 : 1)
** u= 81/40 ; tau(u)= 1/41 ; 3199*x^2 - 3361*y^2 + 6562*x*z + 3199*z^2
  (-115/89 : 12/89 : 1)  C1a (505922/380409 : -42167/380409 : 1)
** u= 82 ; tau(u)= 80/81 ; -6398*x^2 - 6722*y^2 + 13124*x*z - 6398*z^2
  (2227/2651 : -342/2651 : 1)  C1a (267/3706 : -197/3706 : 1)
** u= 83/181 ; tau(u)= 279/98 ; -12319*x^2 + 58633*y^2 + 84730*x*z - 12319*z^2
  (-48053/910999 : 487970/910999 : 1)  C1b (-11846318/1541597 : 9782357/26207149 : 1)
** u= -84/65 ; tau(u)= 214/149 ; -37346*x^2 + 1394*y^2 + 52852*x*z - 37346*z^2
  (-4968/6581 : -55327/6581 : 1)  C2b (-7597/4309 : 45591/73253 : 1)
** u= 84/121 ; tau(u)= 158/37 ; 4318*x^2 + 22226*y^2 + 32020*x*z + 4318*z^2
  (-1068/5543 : -1529/5543 : 1)  C1b (2048410/1075247 : 115155/1075247 : 1)
** u= 86/41 ; tau(u)= 4/45 ; 3346*x^2 - 4034*y^2 + 7412*x*z + 3346*z^2
  (-3944/6971 : -1641/6971 : 1)  C1a (73782/66419 : 6373/66419 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (3794/31909 : 1867/31909 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (31801/93942 : -4577/93942 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (311694/146717 : -516857/2494189 : 1)
** u= -92/81 ; tau(u)= 254/173 ; -51394*x^2 + 4658*y^2 + 72980*x*z - 51394*z^2
  (148/1741 : -5445/1741 : 1)  C2b (-236182/262383 : 1218733/4460511 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (-3301/15453 : 5071/108171 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
  (-59329/90065 : -3284/90065 : 1)  C1b (43117/123981 : -7981/123981 : 1)
** u= -97/193 ; tau(u)= 483/290 ; -158791*x^2 + 65089*y^2 + 242698*x*z - 158791*z^2
  (-4915/7053 : 17594/7053 : 1)  C2b (-10414074/873623 : 836129/873623 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (-12414/2239 : 10153/38063 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
  (763/123328 : -175/2624 : 1)  C1b (-17610137/13967761 : 1056483/13967761 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
  (65205/55589 : 21796/55589 : 1)  C1a (16931266/8125269 : 807173/8125269 : 1)
** u= 114/61 ; tau(u)= -8/53 ; 7378*x^2 - 5554*y^2 + 13060*x*z + 7378*z^2
  (-7819/4723 : -4900/4723 : 1)  C1a (263827/1202530 : -16519/240506 : 1)
** u= -115/117 ; tau(u)= 349/232 ; -94423*x^2 + 14153*y^2 + 135026*x*z - 94423*z^2
  (-37253/299809 : -845868/299809 : 1)  C2b (-906654/216607 : -129959/216607 : 1)
** u= 121/40 ; tau(u)= 41/81 ; 1519*x^2 - 11441*y^2 + 16322*x*z + 1519*z^2
  (-125/1943 : -396/1943 : 1)  C1a (-9442/16759 : -14743/284903 : 1)
** u= -125/101 ; tau(u)= 327/226 ; -86527*x^2 + 4777*y^2 + 122554*x*z - 86527*z^2
  (52389/2715229 : 11399110/2715229 : 1)  C2b (-15402/15647 : 97151/265999 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (51/46 : 47/782 : 1)
** u= 128/193 ; tau(u)= 258/65 ; 7934*x^2 + 58114*y^2 + 82948*x*z + 7934*z^2
  (-2283/23621 : -2048/165347 : 1)  C1b (2497/967 : 909/6769 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (-519338/32207 : 786781/547519 : 1)
** u= 129/40 ; tau(u)= 49/89 ; 799*x^2 - 13441*y^2 + 19042*x*z + 799*z^2
  (-349/27159 : -5516/27159 : 1)  C1a (227162/22353 : 10733/22353 : 1)
** u= 132/137 ; tau(u)= 142/5 ; 17374*x^2 + 20114*y^2 + 37588*x*z + 17374*z^2
  (-1351/1944 : -259/1944 : 1)  C1b (-193653331/5993662 : 10270569/5993662 : 1)
** u= 133/149 ; tau(u)= 165/16 ; 17177*x^2 + 26713*y^2 + 44914*x*z + 17177*z^2
  (-7623/3959 : 1816/3959 : 1)  C1b (-332451/1232789 : -58543/1232789 : 1)
** u= 133/173 ; tau(u)= 213/40 ; 14489*x^2 + 42169*y^2 + 63058*x*z + 14489*z^2
  (-32443/131975 : 7516/131975 : 1)  C1b (-9455438/938931 : 446713/938931 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (83574/31465 : -871/6293 : 1)
** u= 135/82 ; tau(u)= -29/53 ; 12607*x^2 - 4777*y^2 + 19066*x*z + 12607*z^2
  (3059/2201 : -8022/2201 : 1)  C1a (-6649/818 : -8203/13906 : 1)
** u= 142/5 ; tau(u)= 132/137 ; -17374*x^2 - 20114*y^2 + 37588*x*z - 17374*z^2
  (4380/3017 : 73/431 : 1)  C1a (-3863786/419983 : 219171/419983 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (64926/6103 : 21571/42721 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (-30567/15766 : -64961/268022 : 1)
** u= 145/197 ; tau(u)= 249/52 ; 15617*x^2 + 56593*y^2 + 83026*x*z + 15617*z^2
  (-20227/103455 : -1888/103455 : 1)  C1b (-123179/58757 : -102163/998869 : 1)
** u= 155/181 ; tau(u)= 207/26 ; 22673*x^2 + 41497*y^2 + 66874*x*z + 22673*z^2
  (-29727/12721 : 6178/12721 : 1)  C1b (-49471/34737 : 42359/590529 : 1)
** u= 158/37 ; tau(u)= 84/121 ; -4318*x^2 - 22226*y^2 + 32020*x*z - 4318*z^2
  (2757/18968 : -1991/18968 : 1)  C1a (-864983/7277353 : 351513/7277353 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-832978/631343 : -47259/631343 : 1)
** u= 162/41 ; tau(u)= 80/121 ; -3038*x^2 - 22882*y^2 + 32644*x*z - 3038*z^2
  (490/3767 : 847/3767 : 1)  C1a (-3199/1622 : 2971/27574 : 1)
** u= 165/16 ; tau(u)= 133/149 ; -17177*x^2 - 26713*y^2 + 44914*x*z - 17177*z^2
  (11987/10795 : -7088/10795 : 1)  C1a (54505369/28388402 : 2597961/28388402 : 1)
** u= -168/193 ; tau(u)= 554/361 ; -232418*x^2 + 46274*y^2 + 335140*x*z - 232418*z^2
  (12/7 : 19/7 : 1)  C2b (-348218/149855 : -167349/509507 : 1)
** u= 171/82 ; tau(u)= 7/89 ; 13399*x^2 - 15793*y^2 + 29290*x*z + 13399*z^2
  (65479/50449 : 109194/50449 : 1)  C1a (-138641/34129 : -115423/580193 : 1)
** u= -175/181 ; tau(u)= 537/356 ; -222847*x^2 + 34897*y^2 + 318994*x*z - 222847*z^2
  (549/551 : 1048/551 : 1)  C2b (3734738/716627 : -389517/716627 : 1)
** u= -176/197 ; tau(u)= 570/373 ; -247282*x^2 + 46642*y^2 + 355876*x*z - 247282*z^2
  (21039/1523209 : 3472558/1523209 : 1)  C2b (35760938/817949 : -3825219/817949 : 1)
** u= 186/121 ; tau(u)= -56/65 ; 26146*x^2 - 5314*y^2 + 37732*x*z + 26146*z^2
  (-26113/330661 : -692824/330661 : 1)  C1a (-41609/482658 : 47683/482658 : 1)
** u= 198/125 ; tau(u)= -52/73 ; 28546*x^2 - 7954*y^2 + 41908*x*z + 28546*z^2
  (-15559/420776 : 775755/420776 : 1)  C1a (-819167/528841 : 54227/528841 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (6106218/2617051 : -360241/2617051 : 1)
86
>


ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。




[参考文献]

Last Update: 2026.02.04
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]