Integer Points on A^4+B^4+C^4=206082*D^4

[2026.02.03]A^4+B^4+C^4=206082*D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+C^4=2m^2D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(3a),(3b)がnon-singularであり、共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。

■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

206082=2*321^2であるので、以下では、n=321とする。

■n=321のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないとが確認できる。

{MAGMAでの計算]

> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=321;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>

■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように156個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]

> PP(321,1,200);
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (-3887/847 : 247/847 : 1)
** u= 3/5 ; tau(u)= 7/2 ; x^2 + 41*y^2 + 58*x*z + z^2
  (-1/3 : 2/3 : 1)  C1b (3863075/1690972 : -199199/1690972 : 1)
** u= -4/25 ; tau(u)= 54/29 ; -1666*x^2 + 1234*y^2 + 2932*x*z - 1666*z^2
  (-61/4 : -75/4 : 1)  C2b (10220/23231 : 1177/23231 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (29668/2815 : 10481/19705 : 1)
** u= 7/2 ; tau(u)= 3/5 ; -x^2 - 41*y^2 + 58*x*z - z^2
  (9/167 : 38/167 : 1)  C1a (7972/5425 : 449/5425 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (25196/7109 : 1203/7109 : 1)
** u= -12/37 ; tau(u)= 86/49 ; -4658*x^2 + 2594*y^2 + 7540*x*z - 4658*z^2
  (1/6 : -7/6 : 1)  C2b (23413/54269 : 2951/54269 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (-45745/19036 : -2775/19036 : 1)
** u= -12/113 ; tau(u)= 238/125 ; -31106*x^2 + 25394*y^2 + 56788*x*z - 31106*z^2
  (-1103/1008 : 2285/1008 : 1)  C2b (-4902292/1220305 : 334257/1220305 : 1)
** u= 12/185 ; tau(u)= 358/173 ; -59714*x^2 + 68306*y^2 + 128308*x*z - 59714*z^2
  (1484/16225 : 95681/113575 : 1)  C1b (865795/318851 : -291901/2231957 : 1)
** u= -12/185 ; tau(u)= 382/197 ; -77474*x^2 + 68306*y^2 + 146068*x*z - 77474*z^2
  (311/402 : -1121/2814 : 1)  C2b (4272268/642953 : -1603407/4500671 : 1)
** u= 15/73 ; tau(u)= 131/58 ; -6503*x^2 + 10433*y^2 + 17386*x*z - 6503*z^2
  (8947/20739 : -2962/20739 : 1)  C1b (2330645/3130516 : 159281/3130516 : 1)
** u= -15/121 ; tau(u)= 257/136 ; -36767*x^2 + 29057*y^2 + 66274*x*z - 36767*z^2
  (245/223 : 836/1561 : 1)  C2b (-238480/14743 : 103041/103201 : 1)
** u= 15/193 ; tau(u)= 371/178 ; -63143*x^2 + 74273*y^2 + 137866*x*z - 63143*z^2
  (-69/47 : -1858/799 : 1)  C1b (4350071/4111585 : -237109/4111585 : 1)
** u= -16/49 ; tau(u)= 114/65 ; -8194*x^2 + 4546*y^2 + 13252*x*z - 8194*z^2
  (285/691 : 658/691 : 1)  C2b (9091097/1505120 : 555633/1505120 : 1)
** u= 16/89 ; tau(u)= 162/73 ; -10402*x^2 + 15586*y^2 + 26500*x*z - 10402*z^2
  (-491/2763 : -2750/2763 : 1)  C1b (-456130792/228812801 : 30110683/228812801 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (154520/743491 : 35657/743491 : 1)
** u= -19/85 ; tau(u)= 189/104 ; -21271*x^2 + 14089*y^2 + 36082*x*z - 21271*z^2
  (-929/1733 : 3156/1733 : 1)  C2b (1980680/920549 : -102247/920549 : 1)
** u= -19/117 ; tau(u)= 253/136 ; -36631*x^2 + 27017*y^2 + 64370*x*z - 36631*z^2
  (12073/4219 : -10020/4219 : 1)  C2b (2924560/1537361 : 146705/1537361 : 1)
** u= -20/81 ; tau(u)= 182/101 ; -20002*x^2 + 12722*y^2 + 33524*x*z - 20002*z^2
  (-106/677 : -963/677 : 1)  C2b (1595876/172501 : 96059/172501 : 1)
** u= -21/61 ; tau(u)= 143/82 ; -13007*x^2 + 7001*y^2 + 20890*x*z - 13007*z^2
  (5767/19163 : -20354/19163 : 1)  C2b (1976476/947687 : 107189/947687 : 1)
** u= -24/17 ; tau(u)= 58/41 ; -2786*x^2 + 2*y^2 + 3940*x*z - 2786*z^2
  (16/9 : 431/9 : 1)  C2b (7616/6997 : 9847/6997 : 1)
** u= 24/25 ; tau(u)= 26 ; 574*x^2 + 674*y^2 + 1252*x*z + 574*z^2
  (-109/166 : 5/166 : 1)  C1b (1451/4051 : -263/4051 : 1)
** u= 24/125 ; tau(u)= 226/101 ; -19826*x^2 + 30674*y^2 + 51652*x*z - 19826*z^2
  (-696/1915 : -15539/13405 : 1)  C1b (-14080/55063 : -22173/385441 : 1)
** u= -24/125 ; tau(u)= 274/149 ; -43826*x^2 + 30674*y^2 + 75652*x*z - 43826*z^2
  (8011/25031 : 155320/175217 : 1)  C2b (70841/222745 : -82721/1559215 : 1)
** u= 26 ; tau(u)= 24/25 ; -574*x^2 - 674*y^2 + 1252*x*z - 574*z^2
  (109/166 : -5/166 : 1)  C1a (-560/3859 : 223/3859 : 1)
** u= -31/37 ; tau(u)= 105/68 ; -8287*x^2 + 1777*y^2 + 11986*x*z - 8287*z^2
  (59/17 : 104/17 : 1)  C2b (-387656/335125 : 68163/335125 : 1)
** u= 32/37 ; tau(u)= 42/5 ; 974*x^2 + 1714*y^2 + 2788*x*z + 974*z^2
  (-9/22 : 1/22 : 1)  C1b (45295/56224 : -4209/56224 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (100184/191705 : 11979/191705 : 1)
** u= -33/65 ; tau(u)= 163/98 ; -18119*x^2 + 7361*y^2 + 27658*x*z - 18119*z^2
  (11/3 : -14/3 : 1)  C2b (584653/823043 : -47699/823043 : 1)
** u= -33/89 ; tau(u)= 211/122 ; -28679*x^2 + 14753*y^2 + 45610*x*z - 28679*z^2
  (59971/478031 : -602146/478031 : 1)  C2b (9645011/6706012 : 522337/6706012 : 1)
** u= 35/117 ; tau(u)= 199/82 ; -12223*x^2 + 26153*y^2 + 40826*x*z - 12223*z^2
  (6697/23029 : 5298/23029 : 1)  C1b (4935103/2281100 : -235547/2281100 : 1)
** u= 35/157 ; tau(u)= 279/122 ; -28543*x^2 + 48073*y^2 + 79066*x*z - 28543*z^2
  (62297/151873 : 20934/151873 : 1)  C1b (-4755685/738116 : -256571/738116 : 1)
** u= -35/173 ; tau(u)= 381/208 ; -85303*x^2 + 58633*y^2 + 146386*x*z - 85303*z^2
  (-83483/163555 : -288352/163555 : 1)  C2b (1730191/325960 : 97461/325960 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (575717/78955 : -29307/78955 : 1)
** u= 39/89 ; tau(u)= 139/50 ; -3479*x^2 + 14321*y^2 + 20842*x*z - 3479*z^2
  (127177/768221 : 71486/768221 : 1)  C1b (1237540/627653 : -61457/627653 : 1)
** u= 39/137 ; tau(u)= 235/98 ; -17687*x^2 + 36017*y^2 + 56746*x*z - 17687*z^2
  (-11181/14807 : -20734/14807 : 1)  C1b (-8982415/8004559 : 682087/8004559 : 1)
** u= -40/117 ; tau(u)= 274/157 ; -47698*x^2 + 25778*y^2 + 76676*x*z - 47698*z^2
  (27635/42419 : 35436/42419 : 1)  C2b (1085648/512785 : -58907/512785 : 1)
** u= 42/5 ; tau(u)= 32/37 ; -974*x^2 - 1714*y^2 + 2788*x*z - 974*z^2
  (141/59 : 16/59 : 1)  C1a (-16064/52241 : -177/3073 : 1)
** u= 44/85 ; tau(u)= 126/41 ; -1426*x^2 + 12514*y^2 + 17812*x*z - 1426*z^2
  (-471/8572 : 3761/8572 : 1)  C1b (63380/229919 : -10997/229919 : 1)
** u= -44/149 ; tau(u)= 342/193 ; -72562*x^2 + 42466*y^2 + 118900*x*z - 72562*z^2
  (881/516 : -713/516 : 1)  C2b (2214884/828263 : 120919/828263 : 1)
** u= 44/153 ; tau(u)= 262/109 ; -21826*x^2 + 44882*y^2 + 70580*x*z - 21826*z^2
  (848/9509 : -5625/9509 : 1)  C1b (66913820/5292373 : -3240305/5292373 : 1)
** u= -47/89 ; tau(u)= 225/136 ; -34783*x^2 + 13633*y^2 + 52834*x*z - 34783*z^2
  (32113/41507 : -43140/41507 : 1)  C2b (208751/439040 : 26423/439040 : 1)
** u= 47/145 ; tau(u)= 243/98 ; -16999*x^2 + 39841*y^2 + 61258*x*z - 16999*z^2
  (-62651/854813 : 629118/854813 : 1)  C1b (4797580/833359 : -226877/833359 : 1)
** u= 48/113 ; tau(u)= 178/65 ; -6146*x^2 + 23234*y^2 + 33988*x*z - 6146*z^2
  (-11589/181648 : -108827/181648 : 1)  C1b (-113456/724061 : 35939/724061 : 1)
** u= 49/117 ; tau(u)= 185/68 ; -6847*x^2 + 24977*y^2 + 36626*x*z - 6847*z^2
  (-2503/616787 : -326424/616787 : 1)  C1b (852616/1775939 : 87013/1775939 : 1)
** u= -51/65 ; tau(u)= 181/116 ; -24311*x^2 + 5849*y^2 + 35362*x*z - 24311*z^2
  (69341/105087 : 6424/4569 : 1)  C2b (10891/661661 : 63487/661661 : 1)
** u= -51/149 ; tau(u)= 349/200 ; -77399*x^2 + 41801*y^2 + 124402*x*z - 77399*z^2
  (-515019/2097679 : -3442940/2097679 : 1)  C2b (1201475/1179157 : 70463/1179157 : 1)
** u= -51/157 ; tau(u)= 365/208 ; -83927*x^2 + 46697*y^2 + 135826*x*z - 83927*z^2
  (375/4969 : 43832/34783 : 1)  C2b (40120/84233 : -31707/589631 : 1)
** u= 52/89 ; tau(u)= 126/37 ; -34*x^2 + 13138*y^2 + 18580*x*z - 34*z^2
  (-914/12869 : -243/757 : 1)  C1b (5990348/5717921 : -388319/5717921 : 1)
** u= 52/113 ; tau(u)= 174/61 ; -4738*x^2 + 22834*y^2 + 32980*x*z - 4738*z^2
  (-4519/10322 : -67765/72254 : 1)  C1b (-1114628/66001 : 373857/462007 : 1)
** u= -52/181 ; tau(u)= 414/233 ; -105874*x^2 + 62818*y^2 + 174100*x*z - 105874*z^2
  (-18007/9442 : 239229/66094 : 1)  C2b (42750071/3296207 : 18778549/23073449 : 1)
** u= -53/45 ; tau(u)= 143/98 ; -16399*x^2 + 1241*y^2 + 23258*x*z - 16399*z^2
  (7499/8195 : -21882/8195 : 1)  C2b (7012/246317 : -41249/246317 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (4859/3100 : 2483/21700 : 1)
** u= 54/29 ; tau(u)= -4/25 ; 1666*x^2 - 1234*y^2 + 2932*x*z + 1666*z^2
  (-274/449 : 285/449 : 1)  C1a (-75995/110708 : 5599/110708 : 1)
** u= 55/153 ; tau(u)= 251/98 ; -16183*x^2 + 43793*y^2 + 66026*x*z - 16183*z^2
  (-52513/101051 : -113106/101051 : 1)  C1b (204455/358537 : -17767/358537 : 1)
** u= -56/81 ; tau(u)= 218/137 ; -34402*x^2 + 9986*y^2 + 50660*x*z - 34402*z^2
  (4811/983759 : 1819368/983759 : 1)  C2b (923899/874835 : -12835/174967 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (-26223112/646223 : 1233441/646223 : 1)
** u= -56/89 ; tau(u)= 234/145 ; -38914*x^2 + 12706*y^2 + 57892*x*z - 38914*z^2
  (24903/68491 : 92168/68491 : 1)  C2b (-855245/431443 : 2443/10523 : 1)
** u= -56/185 ; tau(u)= 426/241 ; -113026*x^2 + 65314*y^2 + 184612*x*z - 113026*z^2
  (929/4437 : -83128/75429 : 1)  C2b (-120755/1723888 : -2030793/29306096 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (-4107632/3980555 : 298333/3980555 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (15526051/3465740 : -910593/3465740 : 1)
** u= 58/41 ; tau(u)= -24/17 ; 2786*x^2 - 2*y^2 + 3940*x*z + 2786*z^2
  (1/19 : 736/19 : 1)  C1a (-329/880 : -241/176 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (12710884/221875 : -616641/221875 : 1)
** u= 59/61 ; tau(u)= 63/2 ; 3473*x^2 + 3961*y^2 + 7450*x*z + 3473*z^2
  (-141/163 : -50/163 : 1)  C1b (-25004/32443 : 1643/32443 : 1)
** u= -59/101 ; tau(u)= 261/160 ; -47719*x^2 + 16921*y^2 + 71602*x*z - 47719*z^2
  (-11329/30921 : 67384/30921 : 1)  C2b (51667/134920 : 8737/134920 : 1)
** u= -60/53 ; tau(u)= 166/113 ; -21938*x^2 + 2018*y^2 + 31156*x*z - 21938*z^2
  (-358/885 : 3847/885 : 1)  C2b (594991/758060 : 84011/758060 : 1)
** u= -61/117 ; tau(u)= 295/178 ; -59647*x^2 + 23657*y^2 + 90746*x*z - 59647*z^2
  (163435/1673839 : -2466186/1673839 : 1)  C2b (37236655/15559649 : 2276033/15559649 : 1)
** u= 63/2 ; tau(u)= 59/61 ; -3473*x^2 - 3961*y^2 + 7450*x*z - 3473*z^2
  (14551/10157 : 1370/10157 : 1)  C1a (290276/149473 : 13921/149473 : 1)
** u= -64/121 ; tau(u)= 306/185 ; -64354*x^2 + 25186*y^2 + 97732*x*z - 64354*z^2
  (-2515/28307 : 338602/198149 : 1)  C2b (-120740545/49336712 : 85801909/345356984 : 1)
** u= -67/61 ; tau(u)= 189/128 ; -28279*x^2 + 2953*y^2 + 40210*x*z - 28279*z^2
  (-271/511 : 2256/511 : 1)  C2b (64199/70553 : 7607/70553 : 1)
** u= -67/81 ; tau(u)= 229/148 ; -39319*x^2 + 8633*y^2 + 56930*x*z - 39319*z^2
  (1073/11243 : 22392/11243 : 1)  C2b (1468024/359303 : -126407/359303 : 1)
** u= -68/173 ; tau(u)= 414/241 ; -111538*x^2 + 55234*y^2 + 176020*x*z - 111538*z^2
  (-12632/411 : 18415/411 : 1)  C2b (-116195/39949 : 785/3073 : 1)
** u= 69/137 ; tau(u)= 205/68 ; -4487*x^2 + 32777*y^2 + 46786*x*z - 4487*z^2
  (-1541/36689 : 16288/36689 : 1)  C1b (-46646840/22025189 : -2520837/22025189 : 1)
** u= -71/137 ; tau(u)= 345/208 ; -81487*x^2 + 32497*y^2 + 124066*x*z - 81487*z^2
  (10335/6841 : 10736/6841 : 1)  C2b (-275599/895040 : -84513/895040 : 1)
** u= 71/153 ; tau(u)= 235/82 ; -8407*x^2 + 41777*y^2 + 60266*x*z - 8407*z^2
  (10799/88427 : 14814/88427 : 1)  C1b (44171165/17711179 : -2144407/17711179 : 1)
** u= 73/81 ; tau(u)= 89/8 ; 5201*x^2 + 7793*y^2 + 13250*x*z + 5201*z^2
  (-24217/29837 : -15588/29837 : 1)  C1b (-398672/242411 : -19381/242411 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (-158164/93385 : -7653/93385 : 1)
** u= -75/181 ; tau(u)= 437/256 ; -125447*x^2 + 59897*y^2 + 196594*x*z - 125447*z^2
  (19307/37694037 : 54528800/37694037 : 1)  C2b (89187835/50686829 : 4930159/50686829 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
  (894/5539 : -211183/127397 : 1)  C2b (4436/1889 : 7077/43447 : 1)
** u= 79/153 ; tau(u)= 227/74 ; -4711*x^2 + 40577*y^2 + 57770*x*z - 4711*z^2
  (-2209603/59070449 : 24320850/59070449 : 1)  C1b (9740411/681460 : -91439/136292 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (307551920/79210519 : 15452839/79210519 : 1)
** u= -80/117 ; tau(u)= 314/197 ; -71218*x^2 + 20978*y^2 + 104996*x*z - 71218*z^2
  (1369/727 : -1782/727 : 1)  C2b (657085/380384 : 43019/380384 : 1)
** u= -80/149 ; tau(u)= 378/229 ; -98482*x^2 + 38002*y^2 + 149284*x*z - 98482*z^2
  (56954/352381 : -501357/352381 : 1)  C2b (-1031192/51523 : -83377/51523 : 1)
** u= 83/181 ; tau(u)= 279/98 ; -12319*x^2 + 58633*y^2 + 84730*x*z - 12319*z^2
  (-48053/910999 : 487970/910999 : 1)  C1b (2038636/170593 : 95879/170593 : 1)
** u= -84/61 ; tau(u)= 206/145 ; -34994*x^2 + 386*y^2 + 49492*x*z - 34994*z^2
  (5/22 : -179/22 : 1)  C2b (16931/21139 : 6739/21139 : 1)
** u= 84/173 ; tau(u)= 262/89 ; -8786*x^2 + 52802*y^2 + 75700*x*z - 8786*z^2
  (-872/503 : -893/503 : 1)  C1b (1330492/532109 : 64949/532109 : 1)
** u= 84/185 ; tau(u)= 286/101 ; -13346*x^2 + 61394*y^2 + 88852*x*z - 13346*z^2
  (3023/22810 : -3911/22810 : 1)  C1b (58670812/6177305 : 2756879/6177305 : 1)
** u= 84/193 ; tau(u)= 302/109 ; -16706*x^2 + 67442*y^2 + 98260*x*z - 16706*z^2
  (-873/13502 : -7907/13502 : 1)  C1b (4200541/45533 : 199749/45533 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (94084/111727 : 8487/111727 : 1)
** u= 86/49 ; tau(u)= -12/37 ; 4658*x^2 - 2594*y^2 + 7540*x*z + 4658*z^2
  (349/10534 : 14497/10534 : 1)  C1a (-782837/398764 : -41813/398764 : 1)
** u= 87/89 ; tau(u)= 91/2 ; 7561*x^2 + 8273*y^2 + 15850*x*z + 7561*z^2
  (-5061/4271 : -1154/4271 : 1)  C1b (-1832431/588100 : 17871/117620 : 1)
** u= -88/81 ; tau(u)= 250/169 ; -49378*x^2 + 5378*y^2 + 70244*x*z - 49378*z^2
  (7019/8711 : 18720/8711 : 1)  C2b (323545/139673 : -35129/139673 : 1)
** u= 89/8 ; tau(u)= 73/81 ; -5201*x^2 - 7793*y^2 + 13250*x*z - 5201*z^2
  (841/1013 : 540/1013 : 1)  C1a (-456130792/228812801 : 30110683/228812801 : 1)
** u= 91/2 ; tau(u)= 87/89 ; -7561*x^2 - 8273*y^2 + 15850*x*z - 7561*z^2
  (2283/2837 : 538/2837 : 1)  C1a (-48316/67613 : 5469/67613 : 1)
** u= 92/117 ; tau(u)= 142/25 ; 7214*x^2 + 18914*y^2 + 28628*x*z + 7214*z^2
  (-20/13 : -93/91 : 1)  C1b (-55300/128971 : 43123/902797 : 1)
** u= 93/97 ; tau(u)= 101/4 ; 8617*x^2 + 10169*y^2 + 18850*x*z + 8617*z^2
  (-3733/4237 : -1516/4237 : 1)  C1b (46393/210359 : -12639/210359 : 1)
** u= -96/85 ; tau(u)= 266/181 ; -56306*x^2 + 5234*y^2 + 79972*x*z - 56306*z^2
  (2859/2033 : 6602/2033 : 1)  C2b (339952/258455 : 37359/258455 : 1)
** u= 96/97 ; tau(u)= 98 ; 9214*x^2 + 9602*y^2 + 18820*x*z + 9214*z^2
  (-1653/1499 : 280/1499 : 1)  C1b (4292936/88585 : 47927/17717 : 1)
** u= 98 ; tau(u)= 96/97 ; -9214*x^2 - 9602*y^2 + 18820*x*z - 9214*z^2
  (1499/1653 : 280/1653 : 1)  C1a (390512/3750281 : -197551/3750281 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (-15931/22525 : 1121/22525 : 1)
** u= -100/157 ; tau(u)= 414/257 ; -122098*x^2 + 39298*y^2 + 181396*x*z - 122098*z^2
  (98/5233 : -63675/36631 : 1)  C2b (-14983/135785 : -86831/950495 : 1)
** u= 100/173 ; tau(u)= 246/73 ; -658*x^2 + 49858*y^2 + 70516*x*z - 658*z^2
  (763/123328 : -175/2624 : 1)  C1b (-4053364/3537251 : 253671/3537251 : 1)
** u= 101/4 ; tau(u)= 93/97 ; -8617*x^2 - 10169*y^2 + 18850*x*z - 8617*z^2
  (28253/39477 : 8396/39477 : 1)  C1a (-4855912/1992161 : -324159/1992161 : 1)
** u= 101/117 ; tau(u)= 133/16 ; 9689*x^2 + 17177*y^2 + 27890*x*z + 9689*z^2
  (-10351/25511 : -1104/25511 : 1)  C1b (2040920/1672201 : 153635/1672201 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (-592367/357472 : -29163/357472 : 1)
** u= 105/68 ; tau(u)= -31/37 ; 8287*x^2 - 1777*y^2 + 11986*x*z + 8287*z^2
  (-887/617 : -1324/617 : 1)  C1a (-1241/719 : -93/719 : 1)
** u= 105/157 ; tau(u)= 209/52 ; 5617*x^2 + 38273*y^2 + 54706*x*z + 5617*z^2
  (-36651/207235 : -66004/207235 : 1)  C1b (570863/1045480 : 58583/1045480 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (1662040/107831 : 78033/107831 : 1)
** u= 114/65 ; tau(u)= -16/49 ; 8194*x^2 - 4546*y^2 + 13252*x*z + 8194*z^2
  (29/153 : -14/9 : 1)  C1a (-67544/97385 : 5181/97385 : 1)
** u= 115/149 ; tau(u)= 183/34 ; 10913*x^2 + 31177*y^2 + 46714*x*z + 10913*z^2
  (-2051/4821 : -2282/4821 : 1)  C1b (351013/444868 : -30327/444868 : 1)
** u= -116/149 ; tau(u)= 414/265 ; -126994*x^2 + 30946*y^2 + 184852*x*z - 126994*z^2
  (-1510/2383 : 7359/2383 : 1)  C2b (337529/99356 : -26891/99356 : 1)
** u= 126/37 ; tau(u)= 52/89 ; 34*x^2 - 13138*y^2 + 18580*x*z + 34*z^2
  (1789/6754 : 4149/6754 : 1)  C1a (-22835689/1158191665 : -10873513/231638333 : 1)
** u= 126/41 ; tau(u)= 44/85 ; 1426*x^2 - 12514*y^2 + 17812*x*z + 1426*z^2
  (240/1657 : -941/1657 : 1)  C1a (8661628/4328117 : -470291/4328117 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (-30797603/26716672 : -1649789/26716672 : 1)
** u= 131/58 ; tau(u)= 15/73 ; 6503*x^2 - 10433*y^2 + 17386*x*z + 6503*z^2
  (17971/36117 : -45782/36117 : 1)  C1a (-4476700/2075207 : 212507/2075207 : 1)
** u= -132/113 ; tau(u)= 358/245 ; -102626*x^2 + 8114*y^2 + 145588*x*z - 102626*z^2
  (-1048/145 : 4109/145 : 1)  C2b (13047148/6348407 : 1618753/6348407 : 1)
** u= 133/16 ; tau(u)= 101/117 ; -9689*x^2 - 17177*y^2 + 27890*x*z - 9689*z^2
  (227/499 : -120/499 : 1)  C1a (-1393985/1002928 : 99575/1002928 : 1)
** u= 136/185 ; tau(u)= 234/49 ; 13694*x^2 + 49954*y^2 + 73252*x*z + 13694*z^2
  (-9325/39103 : -9576/39103 : 1)  C1b (462103/1158295 : 63319/1158295 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (147863/14425 : 13023/14425 : 1)
** u= 139/50 ; tau(u)= 39/89 ; 3479*x^2 - 14321*y^2 + 20842*x*z + 3479*z^2
  (-1268581/7616849 : -649970/7616849 : 1)  C1a (-84236/1043209 : -49159/1043209 : 1)
** u= -140/117 ; tau(u)= 374/257 ; -112498*x^2 + 7778*y^2 + 159476*x*z - 112498*z^2
  (4045/39874 : 141159/39874 : 1)  C2b (594745/272756 : -79771/272756 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (-785/464 : 51/464 : 1)
** u= -141/101 ; tau(u)= 343/242 ; -97247*x^2 + 521*y^2 + 137530*x*z - 97247*z^2
  (-201/2819 : 40502/2819 : 1)  C2b (88895/48361 : -41365/48361 : 1)
** u= 142/25 ; tau(u)= 92/117 ; -7214*x^2 - 18914*y^2 + 28628*x*z - 7214*z^2
  (76/281 : -15/1967 : 1)  C1a (25159553/20214383 : 9524759/141500681 : 1)
** u= 143/82 ; tau(u)= -21/61 ; 13007*x^2 - 7001*y^2 + 20890*x*z + 13007*z^2
  (-13559/4003 : -14470/4003 : 1)  C1a (-924307/89084 : -59423/89084 : 1)
** u= 143/98 ; tau(u)= -53/45 ; 16399*x^2 - 1241*y^2 + 23258*x*z + 16399*z^2
  (991/8201 : -32466/8201 : 1)  C1a (18713/1940 : -3439/1940 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (-30797603/26716672 : -1649789/26716672 : 1)
** u= -147/145 ; tau(u)= 437/292 ; -148919*x^2 + 20441*y^2 + 212578*x*z - 148919*z^2
  (275/2137 : 5264/2137 : 1)  C2b (70123777/20119415 : -7361501/20119415 : 1)
** u= 152/169 ; tau(u)= 186/17 ; 22526*x^2 + 34018*y^2 + 57700*x*z + 22526*z^2
  (-1559/2961 : 92/423 : 1)  C1b (-149189192/2309089 : 7622823/2309089 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (1775392/650023 : -85823/650023 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (-214969504/2039119 : -23190459/2039119 : 1)
** u= -160/153 ; tau(u)= 466/313 ; -170338*x^2 + 21218*y^2 + 242756*x*z - 170338*z^2
  (965/1109 : 232728/114227 : 1)  C2b (2525/1069 : 26557/110107 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (154520/743491 : 35657/743491 : 1)
** u= 162/73 ; tau(u)= 16/89 ; 10402*x^2 - 15586*y^2 + 26500*x*z + 10402*z^2
  (607/12628 : 1563/1804 : 1)  C1a (-398672/242411 : -19381/242411 : 1)
** u= 163/98 ; tau(u)= -33/65 ; 18119*x^2 - 7361*y^2 + 27658*x*z + 18119*z^2
  (-3/11 : 14/11 : 1)  C1a (-6510145/1865183 : 418681/1865183 : 1)
** u= 166/113 ; tau(u)= -60/53 ; 21938*x^2 - 2018*y^2 + 31156*x*z + 21938*z^2
  (138/1229 : -4387/1229 : 1)  C1a (-19865545/22529369 : 2557241/22529369 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (-16039/13991 : 8487/13991 : 1)
** u= -168/125 ; tau(u)= 418/293 ; -143474*x^2 + 3026*y^2 + 202948*x*z - 143474*z^2
  (371/691 : -3460/691 : 1)  C2b (202771/312296 : 71627/312296 : 1)
** u= -168/181 ; tau(u)= 530/349 ; -215378*x^2 + 37298*y^2 + 309124*x*z - 215378*z^2
  (174/11065 : -26291/11065 : 1)  C2b (28697528165/4706199112 : 2913423819/4706199112 : 1)
** u= 168/193 ; tau(u)= 218/25 ; 26974*x^2 + 46274*y^2 + 75748*x*z + 26974*z^2
  (-64203/148033 : -19520/148033 : 1)  C1b (-7400/12029 : -589/12029 : 1)
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b (-3186016/1805543 : 153377/1805543 : 1)
** u= 174/61 ; tau(u)= 52/113 ; 4738*x^2 - 22834*y^2 + 32980*x*z + 4738*z^2
  (-1896/13439 : 8339/94073 : 1)  C1a (-45305/13076 : -15045/91532 : 1)
** u= -177/193 ; tau(u)= 563/370 ; -242471*x^2 + 43169*y^2 + 348298*x*z - 242471*z^2
  (191/1303 : 19466/9121 : 1)  C2b (159745/154124 : -96087/1078868 : 1)
** u= 178/65 ; tau(u)= 48/113 ; 6146*x^2 - 23234*y^2 + 33988*x*z + 6146*z^2
  (-548/7345 : 2909/7345 : 1)  C1a (-375355/10856 : 17831/10856 : 1)
** u= 181/116 ; tau(u)= -51/65 ; 24311*x^2 - 5849*y^2 + 35362*x*z + 24311*z^2
  (-1046665/5850359 : 10478252/5850359 : 1)  C1a (-175241/111976 : 12377/111976 : 1)
** u= 182/101 ; tau(u)= -20/81 ; 20002*x^2 - 12722*y^2 + 33524*x*z + 20002*z^2
  (-3118/1795 : 2367/1795 : 1)  C1a (-7545175/782252 : 455273/782252 : 1)
** u= 183/34 ; tau(u)= 115/149 ; -10913*x^2 - 31177*y^2 + 46714*x*z - 10913*z^2
  (255/721 : -38/103 : 1)  C1a (4142812/1131635 : -194763/1131635 : 1)
** u= 185/68 ; tau(u)= 49/117 ; 6847*x^2 - 24977*y^2 + 36626*x*z + 6847*z^2
  (-3907/23965 : -4932/23965 : 1)  C1a (462103/1158295 : 63319/1158295 : 1)
** u= 186/17 ; tau(u)= 152/169 ; -22526*x^2 - 34018*y^2 + 57700*x*z - 22526*z^2
  (96751/193929 : -26884/193929 : 1)  C1a (482752/1274099 : -60297/1274099 : 1)
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a (99707/867691 : -439/8591 : 1)
** u= 189/104 ; tau(u)= -19/85 ; 21271*x^2 - 14089*y^2 + 36082*x*z + 21271*z^2
  (-865/707 : -564/707 : 1)  C1a (4870072/2603753 : 425789/2603753 : 1)
** u= 189/128 ; tau(u)= -67/61 ; 28279*x^2 - 2953*y^2 + 40210*x*z + 28279*z^2
  (1487/8383 : 29392/8383 : 1)  C1a (1594736/1278907 : -386621/1278907 : 1)
** u= -195/197 ; tau(u)= 589/392 ; -269303*x^2 + 39593*y^2 + 384946*x*z - 269303*z^2
  (2867/6849 : 230636/116433 : 1)  C2b (167017/190952 : -293891/3246184 : 1)
** u= 199/82 ; tau(u)= 35/117 ; 12223*x^2 - 26153*y^2 + 40826*x*z + 12223*z^2
  (-953/209 : 366/209 : 1)  C1a (2003644/807505 : 117059/807505 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (51651104/182393 : 668371/10729 : 1)
156
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。

u=-4/25のとき

58331413^4+285600212^4+392809795^4=206082*19609631^4
174178388755^4+197422814243^4+290663175068^4=206082*14682502459^4
2011600010263639775270308350479456212^4+5991747504430919197182187372768965955^4+6837509678257216709541488010045156637^4=206082*360766638034176415623002186785478419^4
903515079649815089040262200262616411679209395^4+1233786996422391347553609035899098095474771972^4+1596668238478230130837718778241894345956980747^4=206082*82361430680692248138160604916068977814915111^4
3385268659828850648247583382059746236052081379788007115^4+5935263501437942629720881538141570010758653705485379836^4+5956329830063440003299824819369928631387565150522396861^4=206082*336139295077955487783683712011770997348062326545715407^4
440111555394902063389659065476547484350368602330335891344023509^4+785099367836033568552597481374246838954861844498512592069141435^4+1029800533587557322724803500201866763253692849972099976054995684^4=206082*52301823984201854341384419576460079671056603628174853729345683^4
116370339123730137991017597574735054958938346295967931585852462422699634640884^4+213754936816586857974751105597435118158872126578025534654145891176469741787435^4+277862698289276141345955413084429062435310341833338186215688051460588909867509^4=206082*14137336495739201971692466055020667747994334714269893612989812013259377545883^4
728945459002760559490185749243298967766561135835370026308414272279719660038278836360594248798995^4+1194453887362150499052970756539247626130912073399581487054485314089142832423181500007789831087068^4+1318622984445806238684463875949423438145502361906877326443513735308990841826697001974406526591093^4=206082*71350887368089970332394530417796818571563705919824408772957400688972964867708470279260252034391^4
525495983769086099932118631970189051346284806560475765196873645762443532566102285925132837239222630956^4+900948525817662560351297968842412047931715883814938486940942123180862421894951703838338108508568913219^4+1610466543408271790139877738680062405622400302284028185276301484190014611367645333364957115136565297915^4=206082*77571529067890667741233451331848836495116235599249750906438751643301091430227335842325976680040068647^4
2427484145259504315022915507877283134453005946631339046727792763020526632539387549284916509584929529055875468^4+54504285065734792816124631323849333140495077169099362796370685556931991479427838089889470296315423947022462243^4+60862946019380014232287648600771884365407434956780705962002499293734998951577559560402594617275063257151038755^4=206082*3234165737347048234069030405197638413345272885669188771259485120927997054879354253399298179774181025186737059^4
37216140379730814318243731573296010288066665052630013465029952863311850520155242573704217280337032672470164724962750020384805718781^4+67658708170049617909707277874597960027590049761316485923898311435749296969501815082986531125455007536575606490251756931869956875444^4+118460862159083967963398868445400360157097790801475328860469991884992126650889597746718815715262462371837632173574428558856032925915^4=206082*5714733282933448386804501192145080640942242248188519261089778578456050881221916279334823947662720620500763122135994918370989592247^4
55252441749743214235759476121383864207986202222574256432877572595076910396395754303706622950014783637825922576451164604840194926668255234456690073236^4+300702493270364735222478035517695846737364285362770995966249460376063523825079657057281230491399929889070043855314207873161440783714766449107209040939^4+407031894850725435426217821231936538803346358269282860495851723251839022970589302883732181424457713906193410682239205251509462402112638556377518763115^4=206082*20391776418564885060072032580657390405200849378305446810897470414121818529637193346139050430186002338485068077685258211082158380036722221279709026507^4
7371776553260208918979880804688186984629821064587241573313682512485673996685028943750686931517216859267409208469987018326579623138834793063644185955116907264862589^4+22991369418399086516923521554907361166131985776330687098348214804087864590756608038416683338292577594982192539182107056108966673400570183351507122295623712437968635^4+25961663203867515841781567170819055628540474507557554345868658827334667651266737325432362660472169212924181459295895303157490143398394266249685494340989642102774764^4=206082*1375013363906276878062258711773589513432782638352094337935138808616236107925346732964702743112069115555031575286183055374881232903796774419350732097346400388355143^4
48875507020136062874486252142820085684331885401955454248679593519981652743412740804327259928941297388621179890048629577633255108702517747938486817985673138784378792235^4+56218722139666567232744944035210767527100608456941844707208690318029822073541260239022430625407660963424227492019734908112877020430442722521455898641014734120203639396^4+81967476249045890779536513220510916171432229505438769879510488989046813418186826656279636809940691078104557710909570213318136736313061214004241572356462899990580282371^4=206082*4145053048183124569925850086273443732121061168595896872732860127589022569721114556623440991514531218905781655168362623579962976853237919228393807041105505308072619423^4
...

u=32/37のとき

8874896^4+23481437^4+54569755^4=206082*2583303^4
17753852867968528^4+62101301461206061^4+147943002788466635^4=206082*6997226109795831^4
21788483001465775513264^4+29534463280813515147077^4+51161174610852363379315^4=206082*2483320426165981863807^4
396333808946542747843687279782728102092132446444848^4+557666206135463853972214766699835848302210765803829^4+1020871701433658139443901606639727243692214047713795^4=206082*49199899329601404118397685957592296207699552839631^4
76863054966102235279049446144739576955320104695837497946142288^4+103193650394024119038496809631088176340238468493733864119210021^4+119988514894793203280168321330186885155296858078637178466019475^4=206082*6445038608817988517042510502324451322640812516562939629166879^4
154103576161259880501197263046640873414199186389972627325054173872^4+203756443153351037025726917458425397453346105504616906449607799405^4+333262593883855756225267007623353719845436981672812781272554259979^4=206082*16321032458156507701015903696766053529100507706888146508554251511^4
536025483363724396982564246745424458545432925512324797805690286005392^4+1162140743655243336617454692464779114025980624991911358954564011684325^4+2617352560387854145428392702660564316596551984483113983850256938025811^4=206082*124072615521506182838955380314858970799966084800725892593880372862111^4
70612083864100159307768237207351451947437566458891161176793337676958337281635537444176^4+96974018110524247867055357883861739819105942793114075889896624349073547752384743881645^4+105857865280629120111251604364394751721206314095759275066501079071476967773018120000203^4=206082*5834842453544655521050090873602007898277535053188861240418742361545688784942482626743^4
4017461514958617326429896691223807447324200430906534398968737717203284209375128075701882303510544^4+21510475699501967771294677598522680805365748584411434900301514433602288179709053012195531550396885^4+52156049218149049832792512070887628652862467342057928783002144001371381253598872228291875945589987^4=206082*2465443615071622898584358736052137313162254562307842459118156398718507229417242547075412139068143^4
10818475348263070821391963823956091183841713724734277163015572051149605198344985173945521778861802941561957584^4+14272239675683091599199404520966796213803071879833360599609096545264430607873733219887324295897889982735228853^4+17671892472696282009637680543597104303899758067641896671577454159920738222901879957780821769502309813217817475^4=206082*927819400415324437002557706599214200071385011681663772419592490743642627176218656425806967885209486020743503^4
532599758067907022132762286977134305408900019363545267075593784103332110702586576350912865740424461402838147302329077760942448^4+695674489110037234746987925995885577433033053574860178497196815539520863572494465844957201267258499013269621184919209863030395^4+905134331395341820221076027851713579845583519147852637126291158188379500244930493768984260279570601439342351472195330983839229^4=206082*46767756811076993802213914633296905108622364610160663038980044692347405516083568678529315087470197234829421156486795548863719^4
64134147698956467865654763452512688135621018310884096385419878826523683458296381605889612330662045561963986099887053112959710389104^4+83179197218022862820788043889254145156746266744335349115138293856436073274809576372815503439646968658041051665417328627434201464723^4+115146252672879445739942753389929710262631684043264956235378576144413809397012930854420421869341263914698278350440312301561654429605^4=206082*5845273126860614831053673758318668791591705736109342175576731826359050711289503065396423627031392865146625617569967929395398745567^4
925598347360975998527135656067928334995343887118755485869668759478924883734060737705833603005364374472214729510855417385734415241177890510193492443696^4+1372520550182410966447773863165884019657624970714805736327770950583061779792336946382106339074473813279609163198654827843709231026540750168204155264445^4+2647951912617682833280094722964504034902011947918661977616558113656420884871438831927678447749261774800302974736248343778906466170458810694961585818427^4=206082*126902073752986994020922417923466828326856393980743170666823107882285663806507075628652265324476533058782797711139187956117648488039525998567726846567^4
140433626455914006643933078145383318642971986394726486891203306586607343524461644933271915609052777343116417005405898168345503437971041412250002298116281809770319321228694631360816^4+183013493554365115533001721016405354007349155478279584162714930464533295282590787421385213204166481524830830877461421764686821606654743488562972620551420058104764911056195058242285^4+282148732202613737331132398483606180982897553605667474302872424609231399350886240214421295235892310487074079238944558172783970791985188221603589250017027194956786169025986572538507^4=206082*13969554679259320046701628468043768192839382736379243580479225644911332590075469925543075530008889833032334003670027028052580883803677144215749595535736017405795904069089553223927^4
8389277901114027800593951390288642282268552887235726461127766663721956328988328342769000414405570237009338494973529392045583072202225162403645991662472775737157572898237874987973072^4+11842593840331620827731510431445048592008589945907631733732538274942960130007212858394481632729343598172136223469461468317773975798422230994407732946792642409500010029849964308134285^4+12134815995388108682625960077603861849194437073748267387533249387951724795046577782524216556173474925382381142434135940893817362925983980804963877345618755489321732889662576723276011^4=206082*688493534742430798751249425598051870956523108624457530849077100981278994646466489079829436512722670092264866926121072690813532100975360986535773294322371159969924108276600029160919^4
571574947200055868510342693212385869039719166554443764281929406136217899465020155981555953238986964320012674935941708124452878046897017673427136416837963929259059162146163145218508287571581936^4+756460289606503013824240124148885481380166772867890281909539515072242123124061044370820941129434714730666679034487048072367927964238453119093738836832725993498200041894105501071785419151964235^4+924537256906364098617434839578075481665170334542027220556168622670808602650609716845055961728578447155253980573540493670842668325423870910109372513023588076399971288432025190577404420719174573^4=206082*48758899441911463208132217761351777165211299814034464733420719158283783559176159907180976988836764235165959722868327816502057603464455493551591892680739149832141106699526748358857414352946807^4
107841276198231356774709285271085087771834801976935754341014000545711065055111516381841977986680333299852577126938761131947191502687085649838938009289817979579757529332188214200337425380109580523272208^4+168894498043031579808614302601546470651192132356251895012390780042786239275907356659908989419350978203877935380576535065537234533588772225540124318675533209626716001571823027175568530390443096575044259^4+338881045348386768063750899004786683956738334990889536973367341293921878314675878755334153450191173647128753145085022871425244576156992962587704797985034038280125246557530828772675621476453119725965845^4=206082*16183828278355434532800888729565922809027142116534481880841742125728878629934579289508601476704760385444141441110544054528356067178376226864927972575733149314557837810248651920720150464511020702100399^4
...

u=-56/185のとき

37175^4+172576^4+268447^4=206082*13107^4
77294419935184736^4+241206462589234145^4+241501005263430023^4=206082*13488737289372507^4
15452581274234873620774367^4+16850701491802635338361031^4+21815471499560204747697440^4=206082*1152938839535355050737371^4
37914111257158180861550118555817382542061237417080^4+86045485811716422391919121699925556560520783569079^4+92605345289620615689191637981644128520021123530087^4=206082*5015698467771195740860940218599380818337827285071^4
285094459005030230276758425004270041406322825178725105^4+639469640235896736255716199326745299100358975259288824^4+1167730754480952908286193797532666772173320720345404063^4=206082*56044860268374996765721729651510510642008749580949527^4
14275161264097501040060792066658528148140716764720919886182399^4+17868931691307589961982551536976262423717968155363366173186400^4+17972577797713499871021565457778900408366940805338692143692567^4=206082*1047182165327591369694294950628568152360346150429004507314131^4
74156669835550607887107554764417555421695344455728825987804858803695007274400^4+90234891677800343001832401222249794431476312503156259907878357477333622065791^4+114169667239623120021496802426610480454639647705206883853566784065801514280297^4=206082*5996404776815485566777667665448054221980708507937618631265855330285424608979^4
438739278707358649090810631658818045537546465332159551015412529125546150075999^4+527392065269054647942258431475236875376499646099278494710677954423473262316977^4+567105825162880624850523804882259661174489601083392529183191696147437197869960^4=206082*32064817121866670130454221306907093777212555477272471777653365219973626326679^4
707323852213538230724485582738585692256952414430935392575083307594000483604295217576068665^4+878908306781810676161434574650971430270179946349065149348956278861166726407175190736459927^4+1106590566977296663326314526132866424963161313952505665606691406087308657664305846939560456^4=206082*58089392552434065991196462545430028417156308678339156348340937849063898132220341841647727^4
53331024636198891352025030885281532605057265331232208627601986067951683936400748043907326250311581405910545141073832275073553004742673^4+1323976267907551964334097456935616825911865724738073156355114521023983879641445397462626116152978023283233926424243817039343959003284520^4+1799422107298620596539220321260357050187807498376534123427716837727983045741554471835957114301381949408083622053388168009398014048539471^4=206082*90059511469783250956943214840120495492808877052493983284211365462520064271316039780545300838296629927325070828033428392720645793367231^4
26819931105781706971151004809140514138875547805625853374418086601693982172275437046676791943230812923720126900765559935052558156425328737^4+79397187253599475755987048741072930379749319515244711471019969792697634700081889263946331179908392638474327545238581955001482002377479559^4+80240826479767151547407632826896936892593636387321958731186090284906383851658096909559467021510203777234546370430376545414372009629647840^4=206082*4462329899074521514458400081953593592679715178841316317603514370402975445649332072632715928196750779604216278265181629144466781905377819^4
45856685182940181337059462842445629575494654229443817891654794523756748191019350964135737654798331837092404462002690049505755584762886215^4+194396609953834308710397061613868870963400347595042576324835789393118169319248961903515570719365194061596687053755134175958183075418365176^4+209375076884638209077824569118190710814549462231329129256477762785944567037615394278103494280413108369163736909308254851233855149035330583^4=206082*11295086876806935062948373609047935361673404572440173135656776743157994940610226612768618071593262937705638208779901403036197949371452783^4
9480851430642664447353416948624161216035678714897846807927480162096385973307014409302977172364298989500502199429074345788421392112244600871^4+9676821222929874944828578628747457127431359515759134092369393733799242527378479778781720484100965440521333134513500431475821881406761853177^4+12458823057294487997785467084652919388716071976338963160201410120133900413525293629993323799011201995416206875463857349212977075375586591320^4=206082*667625112642496946317645569168674821727514219590756346489821828134185285578064699669617537560240617721274900524590672505140303448415060919^4
50226268054731979514544930422575829035024637821931860434219874666064388535615134849906768492708540858834096836342121990104024545748864609239078284736155088760^4+53833631216062690622852275418593739983848241068008516494623818112478211888395895636356422383421279539066880585493491691743110328782616235897862387989350835231^4+69907397126653990170264009577031817547039074634248296697010623716336565719252289556375311740114444707606063782246669471604441623388292319677224505208661436687^4=206082*3700545236886329624637916414403621902853176839908627408805095388135238583641795452800908194290641756114889716366616993551331011792630758402202201716269480151^4
9059069074322525383240632701678733184308777467356755654094963941339058401841100317010488222791659699589733318049721259422220291911754905930089020750109264496224^4+22256690285413581760067676448290315113556505797987055101059310210464828559641394691313208305143956487525412576570526745909981917867608255231115251002635294569695^4+39612338685509313487120512679603081063399722413721909779980182463734668342919328721451584729322452490501551337976947148586471074984661493001152780555464530312007^4=206082*1905043076420570561269725371472079622695133361582020441403549721612485079292985513234247396083245687646582019260238117373046021869123367718813338252345609284763^4
3993748771916371875050660816784361359075643731221421825570176609807150307106470192569944339599641588145102381869148750051119978977473796842022107939871674704103464^4+18139116839954595708694631603640192478164897704263414826836611560021107394477837694024749883823629241715627460803919637110958625889307122301871479007279747130992615^4+19804590861841311521936852516429708100473808758587391910485834454003406570177510519199269566898004118370052750033477969515875827685121126654147161222532490756384647^4=206082*1062211185230914989761809474355687260400803646290303062817649221194874077256038226890052788730069861381301436644136225532231408938656037167746570866552500357393367^4
3125137707018062017212587377566865146248655424223931718859539199176585807182362615467101256817676166882844761826671045614204406773320045278941459975042043865429810974778887336^4+4435353149004396726798554177085261340642427417777600097669849035844595329190823217698689708894028958424456033837055768507772568420531438099520069911886145865543069418503452047^4+5400994277620418857047943187580527102870683640647387119792496433017247944716877156609929643275924714650422778018012995608459889632410278189441333883660944526505702635348674735^4=206082*283611223781666316838502983993788008029993740516063422601059178849658543446903705271139303062747169370526301084562088044029127357185841963809912655531925628828909756782840383^4
13657105578917693607115653707861159564434143047594544122333826773921607189958987253953557206806279739998090861610181968642420247086987833581999612681898938301640210277654163776191976770602850548568760302118761170992064090703^4+16280645425768419519230625537125011082046521258737057944431630592326733158991360230149790233446705072336508254206978737034926611425781333121006732596294766296854729343835196683849778898957770804826666558018710086575081461336^4+17712823164654871320790302997814140167791827678869153165894339838253620606642788408892394128736453429677099765360071632865623784642080445216913405729579729399149398890941659814153447374720000090092229905816544472459724291985^4=206082*996828768466712637712652500167431036547773920653765759408687647897265271593645087395793705340460159161047302919014070972767282071344153893519149267695007723883164418099572028558746888750325074530892781206304474186039690367^4
289659395542968461387874508560238585425560925808025485748496752207438493922326161220931201672959798794739944511390449282657255319772860490604655323983620031080696982321423581350075006684677374261741922414674810888730890620330504^4+4551551598604498076789104825794412174379480605352952319095478145679541316122622186572676672056999342032332291531930550274632423741089487007600245118799692403303360988757511040135805635373527058810664567255016730361677608783413455^4+6302526756020323107836602858011904966946959459491835445022686270849778196369417367652440305862056049174462369984704952378788494412670831603327378854663419861431787144443375411791244007146676157495375738305338231727223419409266527^4=206082*314142999470141990091747521567497699220380427709188356446017851286789985904406193144506334354296027136358401190990162457505216210592918249482404345800410657250267349482551361399172256137316138813197059291738023642479711737322583^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.
[8]StarkExchange MATHEMATICS, "a^4+b^4+c^4=2*d^2 such that a,b,c,d are all nonzero Integers & a+b+c!=0", 2024/04/26.

Last Update: 2026.02.03

H.Nakao