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Integer Points on A^4+B^4+C^4=183618*D^4

[2026.01.31]A^4+B^4+C^4=183618*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

183618=2*303^2であるので、以下では、n=303とする。

■n=303のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=303;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように121個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(303,1,200);
** u= 1/5 ; tau(u)= 9/4 ; -31*x^2 + 49*y^2 + 82*x*z - 31*z^2
  (11/25 : -24/175 : 1)  C1b (38/11 : 13/77 : 1)
** u= 3/109 ; tau(u)= 215/106 ; -22463*x^2 + 23753*y^2 + 46234*x*z - 22463*z^2
  (128047/191015 : 49018/191015 : 1)  C1b (-48856111/3371782 : 2866593/3371782 : 1)
** u= -4/9 ; tau(u)= 22/13 ; -322*x^2 + 146*y^2 + 500*x*z - 322*z^2
  (1/124 : -183/124 : 1)  C2b (10594/7721 : -613/7721 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (-6742/377 : -423/377 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (3444973/1024871 : 181529/1024871 : 1)
** u= 7/185 ; tau(u)= 363/178 ; -63319*x^2 + 68401*y^2 + 131818*x*z - 63319*z^2
  (443265/818897 : 321134/818897 : 1)  C1b (-25234154/27189757 : 2544033/27189757 : 1)
** u= 8/9 ; tau(u)= 10 ; 62*x^2 + 98*y^2 + 164*x*z + 62*z^2
  (-7/5 : 24/35 : 1)  C1b (-274/313 : 121/2191 : 1)
** u= 9/4 ; tau(u)= 1/5 ; 31*x^2 - 49*y^2 + 82*x*z + 31*z^2
  (1 : -12/7 : 1)  C1a (-274/313 : 121/2191 : 1)
** u= 10 ; tau(u)= 8/9 ; -62*x^2 - 98*y^2 + 164*x*z - 62*z^2
  (7/5 : -24/35 : 1)  C1a (38/11 : 13/77 : 1)
** u= -11/9 ; tau(u)= 29/20 ; -679*x^2 + 41*y^2 + 962*x*z - 679*z^2
  (149/8615 : 34632/8615 : 1)  C2b (26339/12103 : 299/931 : 1)
** u= 12/13 ; tau(u)= 14 ; 142*x^2 + 194*y^2 + 340*x*z + 142*z^2
  (-144/119 : -67/119 : 1)  C1b (205/122 : 15/122 : 1)
** u= -12/13 ; tau(u)= 38/25 ; -1106*x^2 + 194*y^2 + 1588*x*z - 1106*z^2
  (-32/11 : -97/11 : 1)  C2b (509/1762 : -169/1762 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (-7289/13694 : 909/13694 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (-33623/24779 : -2733/24779 : 1)
** u= -12/181 ; tau(u)= 374/193 ; -74354*x^2 + 65378*y^2 + 140020*x*z - 74354*z^2
  (25971/20068 : -10435/20068 : 1)  C2b (-5830258/1506103 : 401383/1506103 : 1)
** u= 12/185 ; tau(u)= 358/173 ; -59714*x^2 + 68306*y^2 + 128308*x*z - 59714*z^2
  (1484/16225 : 95681/113575 : 1)  C1b (1327702/284783 : -476033/1993481 : 1)
** u= -12/185 ; tau(u)= 382/197 ; -77474*x^2 + 68306*y^2 + 146068*x*z - 77474*z^2
  (311/402 : -1121/2814 : 1)  C2b (405074/286633 : 145881/2006431 : 1)
** u= 14 ; tau(u)= 12/13 ; -142*x^2 - 194*y^2 + 340*x*z - 142*z^2
  (2/3 : -1/3 : 1)  C1a (-122/205 : 3/41 : 1)
** u= 15/97 ; tau(u)= 179/82 ; -13223*x^2 + 18593*y^2 + 32266*x*z - 13223*z^2
  (22805/84909 : 46226/84909 : 1)  C1b (68429/179353 : -8759/179353 : 1)
** u= 15/121 ; tau(u)= 227/106 ; -22247*x^2 + 29057*y^2 + 51754*x*z - 22247*z^2
  (-14123/301929 : -1949266/2113503 : 1)  C1b (477203/62911 : 172189/440377 : 1)
** u= -19/117 ; tau(u)= 253/136 ; -36631*x^2 + 27017*y^2 + 64370*x*z - 36631*z^2
  (12073/4219 : -10020/4219 : 1)  C2b (2293078/663263 : -124889/663263 : 1)
** u= -20/53 ; tau(u)= 126/73 ; -10258*x^2 + 5218*y^2 + 16276*x*z - 10258*z^2
  (878/3607 : -4149/3607 : 1)  C2b (355646/1188707 : 5537/91439 : 1)
** u= -21/109 ; tau(u)= 239/130 ; -33359*x^2 + 23321*y^2 + 57562*x*z - 33359*z^2
  (-34941/10387 : 52882/10387 : 1)  C2b (1757738/374179 : 100247/374179 : 1)
** u= 21/169 ; tau(u)= 317/148 ; -43367*x^2 + 56681*y^2 + 100930*x*z - 43367*z^2
  (7779/3521 : -2648/3521 : 1)  C1b (-1298506/762139 : 95709/762139 : 1)
** u= 22/13 ; tau(u)= -4/9 ; 322*x^2 - 146*y^2 + 500*x*z + 322*z^2
  (-62/23 : -3 : 1)  C1a (-923/937 : 59/937 : 1)
** u= 23/97 ; tau(u)= 171/74 ; -10423*x^2 + 18289*y^2 + 29770*x*z - 10423*z^2
  (2351/191 : 1562/191 : 1)  C1b (-3898463/132853 : 204559/132853 : 1)
** u= 24/25 ; tau(u)= 26 ; 574*x^2 + 674*y^2 + 1252*x*z + 574*z^2
  (-109/166 : 5/166 : 1)  C1b (211/842 : 53/842 : 1)
** u= 24/53 ; tau(u)= 82/29 ; -1106*x^2 + 5042*y^2 + 7300*x*z - 1106*z^2
  (-309/763 : 100/109 : 1)  C1b (610217/82003 : 29487/82003 : 1)
** u= 26 ; tau(u)= 24/25 ; -574*x^2 - 674*y^2 + 1252*x*z - 574*z^2
  (109/166 : -5/166 : 1)  C1a (-73294/51353 : 5927/51353 : 1)
** u= -28/25 ; tau(u)= 78/53 ; -4834*x^2 + 466*y^2 + 6868*x*z - 4834*z^2
  (-21/1924 : 6245/1924 : 1)  C2b (1018/2929 : 363/2929 : 1)
** u= 28/41 ; tau(u)= 54/13 ; 446*x^2 + 2578*y^2 + 3700*x*z + 446*z^2
  (-668/3443 : 1083/3443 : 1)  C1b (-420299/240751 : 22313/240751 : 1)
** u= -28/153 ; tau(u)= 334/181 ; -64738*x^2 + 46034*y^2 + 112340*x*z - 64738*z^2
  (18401/5756 : -16257/5756 : 1)  C2b (797855/562102 : -41885/562102 : 1)
** u= 28/173 ; tau(u)= 318/145 ; -41266*x^2 + 59074*y^2 + 101908*x*z - 41266*z^2
  (42387/95936 : 25871/95936 : 1)  C1b (-79112033/16445701 : -4646073/16445701 : 1)
** u= 29/20 ; tau(u)= -11/9 ; 679*x^2 - 41*y^2 + 962*x*z + 679*z^2
  (-101/107 : -324/107 : 1)  C1a (254/13841 : -2759/13841 : 1)
** u= -29/197 ; tau(u)= 423/226 ; -101311*x^2 + 76777*y^2 + 179770*x*z - 101311*z^2
  (-810247/82473 : 1015738/82473 : 1)  C2b (-6560695/6672278 : 727295/6672278 : 1)
** u= -33/41 ; tau(u)= 115/74 ; -9863*x^2 + 2273*y^2 + 14314*x*z - 9863*z^2
  (4217/37405 : 71798/37405 : 1)  C2b (-47317/70423 : 11069/70423 : 1)
** u= 38/25 ; tau(u)= -12/13 ; 1106*x^2 - 194*y^2 + 1588*x*z + 1106*z^2
  (-3/2 : 5/2 : 1)  C1a (-13507/4886 : 1243/4886 : 1)
** u= -39/157 ; tau(u)= 353/196 ; -75311*x^2 + 47777*y^2 + 126130*x*z - 75311*z^2
  (379247/42909 : -432040/42909 : 1)  C2b (-1079078/2012873 : 184453/2012873 : 1)
** u= 43/53 ; tau(u)= 63/10 ; 1649*x^2 + 3769*y^2 + 5818*x*z + 1649*z^2
  (-791/809 : 654/809 : 1)  C1b (-20162/40009 : 1987/40009 : 1)
** u= 43/125 ; tau(u)= 207/82 ; -11599*x^2 + 29401*y^2 + 44698*x*z - 11599*z^2
  (211/278531 : 174690/278531 : 1)  C1b (41917/373609 : -18281/373609 : 1)
** u= -48/157 ; tau(u)= 362/205 ; -81746*x^2 + 46994*y^2 + 133348*x*z - 81746*z^2
  (593/2611 : -406/373 : 1)  C2b (112534/121877 : -7079/121877 : 1)
** u= 48/169 ; tau(u)= 290/121 ; -26978*x^2 + 54818*y^2 + 86404*x*z - 26978*z^2
  (566/13173 : -8591/13173 : 1)  C1b (62663/119194 : -5919/119194 : 1)
** u= -51/65 ; tau(u)= 181/116 ; -24311*x^2 + 5849*y^2 + 35362*x*z - 24311*z^2
  (69341/105087 : 6424/4569 : 1)  C2b (1330174/941447 : -96521/941447 : 1)
** u= -51/113 ; tau(u)= 277/164 ; -51191*x^2 + 22937*y^2 + 79330*x*z - 51191*z^2
  (24667/17577 : 3344/2511 : 1)  C2b (9380273/2227333 : 613679/2227333 : 1)
** u= -51/149 ; tau(u)= 349/200 ; -77399*x^2 + 41801*y^2 + 124402*x*z - 77399*z^2
  (-515019/2097679 : -3442940/2097679 : 1)  C2b (-1226054/1404041 : 166081/1404041 : 1)
** u= -52/181 ; tau(u)= 414/233 ; -105874*x^2 + 62818*y^2 + 174100*x*z - 105874*z^2
  (-18007/9442 : 239229/66094 : 1)  C2b (107887/187477 : -70513/1312339 : 1)
** u= 54/13 ; tau(u)= 28/41 ; -446*x^2 - 2578*y^2 + 3700*x*z - 446*z^2
  (19/96 : 31/96 : 1)  C1a (3581063/2783050 : 8297/111322 : 1)
** u= -55/153 ; tau(u)= 361/208 ; -83503*x^2 + 43793*y^2 + 133346*x*z - 83503*z^2
  (-33275/14731 : 63384/14731 : 1)  C2b (19752371/10496527 : -1099661/10496527 : 1)
** u= -56/125 ; tau(u)= 306/181 ; -62386*x^2 + 28114*y^2 + 96772*x*z - 62386*z^2
  (-103919/1438941 : 2265680/1438941 : 1)  C2b (-13735751/2828182 : -1183891/2828182 : 1)
** u= -57/89 ; tau(u)= 235/146 ; -39383*x^2 + 12593*y^2 + 58474*x*z - 39383*z^2
  (99/139 : 1154/973 : 1)  C2b (243551/73162 : 123567/512134 : 1)
** u= 57/125 ; tau(u)= 193/68 ; -5999*x^2 + 28001*y^2 + 40498*x*z - 5999*z^2
  (5327/49201 : 12068/49201 : 1)  C1b (197835842/244790809 : 14219081/244790809 : 1)
** u= 57/137 ; tau(u)= 217/80 ; -9551*x^2 + 34289*y^2 + 50338*x*z - 9551*z^2
  (10025/52383 : -4624/52383 : 1)  C1b (6696302/2107831 : 326213/2107831 : 1)
** u= -57/185 ; tau(u)= 427/242 ; -113879*x^2 + 65201*y^2 + 185578*x*z - 113879*z^2
  (-110835/1557577 : 2179474/1557577 : 1)  C2b (1379977/813413 : -74709/813413 : 1)
** u= -60/89 ; tau(u)= 238/149 ; -40802*x^2 + 12242*y^2 + 60244*x*z - 40802*z^2
  (-2742/581 : 5833/581 : 1)  C2b (279298/34229 : 23191/34229 : 1)
** u= -61/109 ; tau(u)= 279/170 ; -54079*x^2 + 20041*y^2 + 81562*x*z - 54079*z^2
  (-571867/343741 : -9902754/2406187 : 1)  C2b (-305389/1577858 : -1029677/11045006 : 1)
** u= 61/125 ; tau(u)= 189/64 ; -4471*x^2 + 27529*y^2 + 39442*x*z - 4471*z^2
  (2359/26969 : 5280/26969 : 1)  C1b (2336734/1008067 : 2891/24587 : 1)
** u= 63/10 ; tau(u)= 43/53 ; -1649*x^2 - 3769*y^2 + 5818*x*z - 1649*z^2
  (293/771 : 226/771 : 1)  C1a (-6578/10643 : -707/10643 : 1)
** u= -67/81 ; tau(u)= 229/148 ; -39319*x^2 + 8633*y^2 + 56930*x*z - 39319*z^2
  (1073/11243 : 22392/11243 : 1)  C2b (368269/604466 : 45889/604466 : 1)
** u= -68/173 ; tau(u)= 414/241 ; -111538*x^2 + 55234*y^2 + 176020*x*z - 111538*z^2
  (-12632/411 : 18415/411 : 1)  C2b (1512022/7281067 : -466303/7281067 : 1)
** u= 69/73 ; tau(u)= 77/4 ; 4729*x^2 + 5897*y^2 + 10690*x*z + 4729*z^2
  (-7113/7681 : -3340/7681 : 1)  C1b (103316582/34728823 : 6710837/34728823 : 1)
** u= 69/109 ; tau(u)= 149/40 ; 1561*x^2 + 19001*y^2 + 26962*x*z + 1561*z^2
  (-7999/71755 : 19652/71755 : 1)  C1b (-6585967/2628493 : 336227/2628493 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (16796911/3376378 : -812713/3376378 : 1)
** u= -75/89 ; tau(u)= 253/164 ; -48167*x^2 + 10217*y^2 + 69634*x*z - 48167*z^2
  (531119/1754169 : 3080060/1754169 : 1)  C2b (340813/403586 : -31593/403586 : 1)
** u= -75/121 ; tau(u)= 317/196 ; -71207*x^2 + 23657*y^2 + 106114*x*z - 71207*z^2
  (-4679/21171 : 43120/21171 : 1)  C2b (2743282/328433 : 218063/328433 : 1)
** u= -76/109 ; tau(u)= 294/185 ; -62674*x^2 + 17986*y^2 + 92212*x*z - 62674*z^2
  (894/5539 : -211183/127397 : 1)  C2b (-22622/5413 : 56271/124499 : 1)
** u= 77/4 ; tau(u)= 69/73 ; -4729*x^2 - 5897*y^2 + 10690*x*z - 4729*z^2
  (1143/707 : -128/707 : 1)  C1a (-13673/64882 : -3937/64882 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (377/6742 : -423/6742 : 1)
** u= 78/53 ; tau(u)= -28/25 ; 4834*x^2 - 466*y^2 + 6868*x*z + 4834*z^2
  (-1877/1242 : 4265/1242 : 1)  C1a (18662/52621 : -10461/52621 : 1)
** u= 80/117 ; tau(u)= 154/37 ; 3662*x^2 + 20978*y^2 + 30116*x*z + 3662*z^2
  (-2803/10199 : -4638/10199 : 1)  C1b (47438/1237 : -2317/1237 : 1)
** u= 82/29 ; tau(u)= 24/53 ; 1106*x^2 - 5042*y^2 + 7300*x*z + 1106*z^2
  (-953/7296 : 1345/7296 : 1)  C1a (274/709 : -39/709 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (-729103/67061 : -39303/67061 : 1)
** u= -84/97 ; tau(u)= 278/181 ; -58466*x^2 + 11762*y^2 + 84340*x*z - 58466*z^2
  (-1384/957 : 4855/957 : 1)  C2b (105931/80945 : -1669/16189 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (207607/17165 : -2925/3433 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (13694/7289 : 909/7289 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (-24758369/5274797 : 1553781/5274797 : 1)
** u= -87/73 ; tau(u)= 233/160 ; -43631*x^2 + 3089*y^2 + 61858*x*z - 43631*z^2
  (-42759/132703 : -623048/132703 : 1)  C2b (-11521/277147 : 51879/277147 : 1)
** u= 89/153 ; tau(u)= 217/64 ; -271*x^2 + 38897*y^2 + 55010*x*z - 271*z^2
  (-9071/1401919 : 177984/1401919 : 1)  C1b (898670/343759 : -46405/343759 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (-2944747/913226 : -148929/913226 : 1)
** u= -93/85 ; tau(u)= 263/178 ; -54719*x^2 + 5801*y^2 + 77818*x*z - 54719*z^2
  (571/9203 : -27046/9203 : 1)  C2b (51329543/25710187 : 5645531/25710187 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (-40994/30217 : -2131/30217 : 1)
** u= 96/97 ; tau(u)= 98 ; 9214*x^2 + 9602*y^2 + 18820*x*z + 9214*z^2
  (-1653/1499 : 280/1499 : 1)  C1b (6081130/1366523 : 389825/1366523 : 1)
** u= 97/197 ; tau(u)= 297/100 ; -10591*x^2 + 68209*y^2 + 97618*x*z - 10591*z^2
  (93229/1125431 : 218760/1125431 : 1)  C1b (548861/7349906 : -355279/7349906 : 1)
** u= 98 ; tau(u)= 96/97 ; -9214*x^2 - 9602*y^2 + 18820*x*z - 9214*z^2
  (1499/1653 : 280/1653 : 1)  C1a (-233/9502 : -547/9502 : 1)
** u= -100/97 ; tau(u)= 294/197 ; -67618*x^2 + 8818*y^2 + 96436*x*z - 67618*z^2
  (208511/679166 : 1523725/679166 : 1)  C2b (27449242/4486789 : 3293007/4486789 : 1)
** u= 100/113 ; tau(u)= 126/13 ; 9662*x^2 + 15538*y^2 + 25876*x*z + 9662*z^2
  (-1663/2862 : -1055/2862 : 1)  C1b (12109/40471 : 2431/40471 : 1)
** u= 100/117 ; tau(u)= 134/17 ; 9422*x^2 + 17378*y^2 + 27956*x*z + 9422*z^2
  (-12427/16148 : 9885/16148 : 1)  C1b (24810407/11415493 : 1576957/11415493 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (754631/366709 : 41989/366709 : 1)
** u= -100/157 ; tau(u)= 414/257 ; -122098*x^2 + 39298*y^2 + 181396*x*z - 122098*z^2
  (98/5233 : -63675/36631 : 1)  C2b (-117601/34037 : -87209/238259 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (-9683554/3603755 : -211367/720751 : 1)
** u= -111/97 ; tau(u)= 305/208 ; -74207*x^2 + 6497*y^2 + 105346*x*z - 74207*z^2
  (5481/14951 : -39592/14951 : 1)  C2b (1442218/1965533 : -228401/1965533 : 1)
** u= 115/74 ; tau(u)= -33/41 ; 9863*x^2 - 2273*y^2 + 14314*x*z + 9863*z^2
  (6039/90845 : -198554/90845 : 1)  C1a (82063/25174 : 10303/25174 : 1)
** u= 126/13 ; tau(u)= 100/113 ; -9662*x^2 - 15538*y^2 + 25876*x*z - 9662*z^2
  (716/1529 : -225/1529 : 1)  C1a (25607/129139 : -6391/129139 : 1)
** u= 126/73 ; tau(u)= -20/53 ; 10258*x^2 - 5218*y^2 + 16276*x*z + 10258*z^2
  (185/564 : 1009/564 : 1)  C1a (-70937/1346 : 5029/1346 : 1)
** u= -129/145 ; tau(u)= 419/274 ; -133511*x^2 + 25409*y^2 + 192202*x*z - 133511*z^2
  (-2329/3895 : -13298/3895 : 1)  C2b (6145529/1549702 : -579871/1549702 : 1)
** u= -132/109 ; tau(u)= 350/241 ; -98738*x^2 + 6338*y^2 + 139924*x*z - 98738*z^2
  (116/1119 : 4105/1119 : 1)  C2b (455597/9727 : 85659/9727 : 1)
** u= -132/137 ; tau(u)= 406/269 ; -127298*x^2 + 20114*y^2 + 182260*x*z - 127298*z^2
  (6792/5753 : -12139/5753 : 1)  C2b (1816466/691729 : 173917/691729 : 1)
** u= -132/173 ; tau(u)= 478/305 ; -168626*x^2 + 42434*y^2 + 245908*x*z - 168626*z^2
  (-32/839 : -12037/5873 : 1)  C2b (167258/320413 : -163631/2242891 : 1)
** u= 132/181 ; tau(u)= 230/49 ; 12622*x^2 + 48098*y^2 + 70324*x*z + 12622*z^2
  (-11329/59776 : -4333/59776 : 1)  C1b (-1638289/326662 : -79181/326662 : 1)
** u= 132/197 ; tau(u)= 262/65 ; 8974*x^2 + 60194*y^2 + 86068*x*z + 8974*z^2
  (-213/100 : 149/100 : 1)  C1b (-28946662/770761 : 1402659/770761 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (-43765867/30918617 : -2465131/30918617 : 1)
** u= 134/17 ; tau(u)= 100/117 ; -9422*x^2 - 17378*y^2 + 27956*x*z - 9422*z^2
  (83/154 : 9/22 : 1)  C1a (-2858986/527777 : 158549/527777 : 1)
** u= 147/197 ; tau(u)= 247/50 ; 16609*x^2 + 56009*y^2 + 82618*x*z + 16609*z^2
  (-4549/2899 : 3290/2899 : 1)  C1b (2715587/134026 : -135463/134026 : 1)
** u= 149/40 ; tau(u)= 69/109 ; -1561*x^2 - 19001*y^2 + 26962*x*z - 1561*z^2
  (1103/18579 : -788/18579 : 1)  C1a (12620558/5391149 : -650051/5391149 : 1)
** u= -151/109 ; tau(u)= 369/260 ; -112399*x^2 + 961*y^2 + 158962*x*z - 112399*z^2
  (7/29 : 8232/899 : 1)  C2b (28622/9767 : -369073/302777 : 1)
** u= -152/117 ; tau(u)= 386/269 ; -121618*x^2 + 4274*y^2 + 172100*x*z - 121618*z^2
  (967/802 : -3699/802 : 1)  C2b (5886131/6873226 : 1281331/6873226 : 1)
** u= 154/37 ; tau(u)= 80/117 ; -3662*x^2 - 20978*y^2 + 30116*x*z - 3662*z^2
  (1703/13168 : 1191/13168 : 1)  C1a (-4269094/1100693 : 220799/1100693 : 1)
** u= -156/197 ; tau(u)= 550/353 ; -224882*x^2 + 53282*y^2 + 326836*x*z - 224882*z^2
  (-128/149 : -529/149 : 1)  C2b (13542787/257295401 : -24968409/257295401 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (2502262/8576591 : 780243/8576591 : 1)
** u= -160/153 ; tau(u)= 466/313 ; -170338*x^2 + 21218*y^2 + 242756*x*z - 170338*z^2
  (965/1109 : 232728/114227 : 1)  C2b (90014/44593 : -944933/4593079 : 1)
** u= -161/153 ; tau(u)= 467/314 ; -171271*x^2 + 20897*y^2 + 244010*x*z - 171271*z^2
  (-28021/1811231 : -5242746/1811231 : 1)  C2b (2220617/5462917 : 584741/5462917 : 1)
** u= 168/197 ; tau(u)= 226/29 ; 26542*x^2 + 49394*y^2 + 79300*x*z + 26542*z^2
  (-6866/17721 : 1123/17721 : 1)  C1b (94858/435323 : -24477/435323 : 1)
** u= 171/74 ; tau(u)= 23/97 ; 10423*x^2 - 18289*y^2 + 29770*x*z + 10423*z^2
  (-5167/12659 : 270/12659 : 1)  C1a (-235865/71462 : -11465/71462 : 1)
** u= 173/181 ; tau(u)= 189/8 ; 29801*x^2 + 35593*y^2 + 65650*x*z + 29801*z^2
  (-26497/20221 : -7620/20221 : 1)  C1b (-19419658/10482083 : -959047/10482083 : 1)
** u= 179/82 ; tau(u)= 15/97 ; 13223*x^2 - 18593*y^2 + 32266*x*z + 13223*z^2
  (-59989/124253 : 24574/124253 : 1)  C1a (-1104326/7810897 : -397441/7810897 : 1)
** u= 181/116 ; tau(u)= -51/65 ; 24311*x^2 - 5849*y^2 + 35362*x*z + 24311*z^2
  (-1046665/5850359 : 10478252/5850359 : 1)  C1a (-1183669/1059521 : -89297/1059521 : 1)
** u= -184/169 ; tau(u)= 522/353 ; -215362*x^2 + 23266*y^2 + 306340*x*z - 215362*z^2
  (1269/944 : -2717/944 : 1)  C2b (-10693/10178 : 2839/10178 : 1)
** u= 189/8 ; tau(u)= 173/181 ; -29801*x^2 - 35593*y^2 + 65650*x*z - 29801*z^2
  (15399/22699 : 3844/22699 : 1)  C1a (7113026/7446475 : -84001/1489295 : 1)
** u= 189/64 ; tau(u)= 61/125 ; 4471*x^2 - 27529*y^2 + 39442*x*z + 4471*z^2
  (1233/10177 : -5920/10177 : 1)  C1a (1020322249/308103422 : 53425373/308103422 : 1)
** u= -192/157 ; tau(u)= 506/349 ; -206738*x^2 + 12434*y^2 + 292900*x*z - 206738*z^2
  (5111/47523 : -25660/6789 : 1)  C2b (10406/93829 : 17113/93829 : 1)
** u= 193/68 ; tau(u)= 57/125 ; 5999*x^2 - 28001*y^2 + 40498*x*z + 5999*z^2
  (-3219/29321 : 7064/29321 : 1)  C1a (-410147/654799 : 35141/654799 : 1)
** u= -195/197 ; tau(u)= 589/392 ; -269303*x^2 + 39593*y^2 + 384946*x*z - 269303*z^2
  (2867/6849 : 230636/116433 : 1)  C2b (50687/145891 : -250253/2480147 : 1)
121
>


ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.02.01追記] u=-132/173,132/181,-184/169のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.02.02
H.Nakao

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