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Integer Points on A^4+B^4+C^4=249218*D^4

[2026.01.16]A^4+B^4+C^4=18*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

8=2*3^2であるので、以下では、n=3とする。

■n=3のとき、２次曲線(**)は、有理点(-1/2,1/2)を持つことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=3;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
true (-1/2 : 1/2 : 1)
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように285個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(3,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (14/11 : 13/11 : 1)
** u= -1/73 ; tau(u)= 147/74 ; -10951*x^2 + 10657*y^2 + 21610*x*z - 10951*z^2
  (8607/10111 : 2170/10111 : 1)  C2b (521/746 : -383/746 : 1)
** u= 1/181 ; tau(u)= 361/180 ; -64799*x^2 + 65521*y^2 + 130322*x*z - 64799*z^2
  (47657/40315 : -5664/40315 : 1)  C1b (-62837/75523 : 69023/75523 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (-2/5 : 1 : 1)
** u= 3/37 ; tau(u)= 71/34 ; -2303*x^2 + 2729*y^2 + 5050*x*z - 2303*z^2
  (5053/7821 : -190/7821 : 1)  C1b (-16253/3182 : 9957/3182 : 1)
** u= 4/5 ; tau(u)= 6 ; 14*x^2 + 34*y^2 + 52*x*z + 14*z^2
  (-1/2 : -1/2 : 1)  C1b (-151/407 : -199/407 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (2951/2969 : -1719/2969 : 1)
** u= 4/49 ; tau(u)= 94/45 ; -4034*x^2 + 4786*y^2 + 8852*x*z - 4034*z^2
  (212/331 : 21/331 : 1)  C1b (10778/551 : -5851/551 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (1618/991 : -847/991 : 1)
** u= -5/13 ; tau(u)= 31/18 ; -623*x^2 + 313*y^2 + 986*x*z - 623*z^2
  (1/5 : -6/5 : 1)  C2b (-2522/3979 : 4279/3979 : 1)
** u= 5/37 ; tau(u)= 69/32 ; -2023*x^2 + 2713*y^2 + 4786*x*z - 2023*z^2
  (4817/1271 : 2776/1271 : 1)  C1b (-25727/8062 : 16287/8062 : 1)
** u= 5/121 ; tau(u)= 237/116 ; -26887*x^2 + 29257*y^2 + 56194*x*z - 26887*z^2
  (5667/21485 : 14828/21485 : 1)  C1b (-188113/165839 : 172303/165839 : 1)
** u= 6 ; tau(u)= 4/5 ; -14*x^2 - 34*y^2 + 52*x*z - 14*z^2
  (1/2 : -1/2 : 1)  C1a (1/26 : -1/2 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (20749/613 : -10959/613 : 1)
** u= -7/137 ; tau(u)= 281/144 ; -41423*x^2 + 37489*y^2 + 79010*x*z - 41423*z^2
  (32717/31123 : 10344/31123 : 1)  C2b (-28617242/7777597 : 19770851/7777597 : 1)
** u= 8/17 ; tau(u)= 26/9 ; -98*x^2 + 514*y^2 + 740*x*z - 98*z^2
  (31/956 : -363/956 : 1)  C1b (-9055/4898 : 5315/4898 : 1)
** u= -8/53 ; tau(u)= 114/61 ; -7378*x^2 + 5554*y^2 + 13060*x*z - 7378*z^2
  (212/279 : 5/9 : 1)  C2b (-194/619 : 467/619 : 1)
** u= 8/109 ; tau(u)= 210/101 ; -20338*x^2 + 23698*y^2 + 44164*x*z - 20338*z^2
  (2476/6541 : 58391/111197 : 1)  C1b (-513553/185609 : 5886181/3155353 : 1)
** u= -8/197 ; tau(u)= 402/205 ; -83986*x^2 + 77554*y^2 + 161668*x*z - 83986*z^2
  (327/784 : 71/112 : 1)  C2b (166817/30626 : -90277/30626 : 1)
** u= 9/13 ; tau(u)= 17/4 ; 49*x^2 + 257*y^2 + 370*x*z + 49*z^2
  (-167/103 : -132/103 : 1)  C1b (685/941 : 605/941 : 1)
** u= 9/61 ; tau(u)= 113/52 ; -5327*x^2 + 7361*y^2 + 12850*x*z - 5327*z^2
  (-2143/11483 : 11904/11483 : 1)  C1b (-12469250/21137 : 6730595/21137 : 1)
** u= 9/89 ; tau(u)= 169/80 ; -12719*x^2 + 15761*y^2 + 28642*x*z - 12719*z^2
  (202489/531127 : 255528/531127 : 1)  C1b (4303/2039 : 2123/2039 : 1)
** u= 9/113 ; tau(u)= 217/104 ; -21551*x^2 + 25457*y^2 + 47170*x*z - 21551*z^2
  (27923/56873 : 21348/56873 : 1)  C1b (91/9026 : -4993/9026 : 1)
** u= 9/145 ; tau(u)= 281/136 ; -36911*x^2 + 41969*y^2 + 79042*x*z - 36911*z^2
  (8495/12429 : 692/12429 : 1)  C1b (2219801/1760854 : 1172203/1760854 : 1)
** u= 9/169 ; tau(u)= 329/160 ; -51119*x^2 + 57041*y^2 + 108322*x*z - 51119*z^2
  (2815/1753 : -696/1753 : 1)  C1b (294211/161018 : 146461/161018 : 1)
** u= -12/41 ; tau(u)= 94/53 ; -5474*x^2 + 3218*y^2 + 8980*x*z - 5474*z^2
  (276/1717 : -115/101 : 1)  C2b (-38866/17881 : 35289/17881 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (1613/3115 : 309/623 : 1)
** u= 12/121 ; tau(u)= 230/109 ; -23618*x^2 + 29138*y^2 + 53044*x*z - 23618*z^2
  (6784/79263 : 64427/79263 : 1)  C1b (15082/9887 : 7641/9887 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (-173/2587 : 1377/2587 : 1)
** u= -15/193 ; tau(u)= 401/208 ; -86303*x^2 + 74273*y^2 + 161026*x*z - 86303*z^2
  (-747/251 : 18056/4267 : 1)  C2b (48442/25283 : -417981/429811 : 1)
** u= -16/13 ; tau(u)= 42/29 ; -1426*x^2 + 82*y^2 + 2020*x*z - 1426*z^2
  (59/6 : -229/6 : 1)  C2b (-1439/559 : 3801/559 : 1)
** u= 16/97 ; tau(u)= 178/81 ; -12866*x^2 + 18562*y^2 + 31940*x*z - 12866*z^2
  (-641/893 : -1350/893 : 1)  C1b (1123/4285 : -425/857 : 1)
** u= 16/169 ; tau(u)= 322/153 ; -46562*x^2 + 56866*y^2 + 103940*x*z - 46562*z^2
  (-19/1852 : 1695/1852 : 1)  C1b (23789/952490 : 103993/190498 : 1)
** u= 17/4 ; tau(u)= 9/13 ; -49*x^2 - 257*y^2 + 370*x*z - 49*z^2
  (61/49 : -8/7 : 1)  C1a (-9055/4898 : 5315/4898 : 1)
** u= 19/37 ; tau(u)= 55/18 ; -287*x^2 + 2377*y^2 + 3386*x*z - 287*z^2
  (97/1589 : -42/227 : 1)  C1b (32726/46703 : -26657/46703 : 1)
** u= -19/97 ; tau(u)= 213/116 ; -26551*x^2 + 18457*y^2 + 45730*x*z - 26551*z^2
  (239/369 : -244/369 : 1)  C2b (49022/115133 : 61317/115133 : 1)
** u= -19/181 ; tau(u)= 381/200 ; -79639*x^2 + 65161*y^2 + 145522*x*z - 79639*z^2
  (-129741/141361 : -293180/141361 : 1)  C2b (-29062/34271 : -34019/34271 : 1)
** u= -20/29 ; tau(u)= 78/49 ; -4402*x^2 + 1282*y^2 + 6484*x*z - 4402*z^2
  (5/2 : 7/2 : 1)  C2b (3566/5069 : 3419/5069 : 1)
** u= -20/97 ; tau(u)= 214/117 ; -26978*x^2 + 18418*y^2 + 46196*x*z - 26978*z^2
  (-43/580 : -747/580 : 1)  C2b (30938/56639 : 29759/56639 : 1)
** u= -20/149 ; tau(u)= 318/169 ; -56722*x^2 + 44002*y^2 + 101524*x*z - 56722*z^2
  (3018/11399 : 69953/79793 : 1)  C2b (-19894/11999 : -123273/83993 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (217/146 : -143/146 : 1)
** u= -21/173 ; tau(u)= 367/194 ; -74831*x^2 + 59417*y^2 + 135130*x*z - 74831*z^2
  (1207339/1029219 : -586406/1029219 : 1)  C2b (635171/88579 : 363699/88579 : 1)
** u= 23/49 ; tau(u)= 75/26 ; -823*x^2 + 4273*y^2 + 6154*x*z - 823*z^2
  (4943/44507 : -8330/44507 : 1)  C1b (-578482/57503 : -288539/57503 : 1)
** u= -23/121 ; tau(u)= 265/144 ; -40943*x^2 + 28753*y^2 + 70754*x*z - 40943*z^2
  (15773/15619 : -9768/15619 : 1)  C2b (-472561/174167 : 378277/174167 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (-13341094/186193 : -6902121/186193 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (2031391/240134 : -1202433/240134 : 1)
** u= 25/169 ; tau(u)= 313/144 ; -40847*x^2 + 56497*y^2 + 98594*x*z - 40847*z^2
  (-52699/184291 : -1460160/1290037 : 1)  C1b (863138/31091 : 3211631/217637 : 1)
** u= -25/169 ; tau(u)= 363/194 ; -74647*x^2 + 56497*y^2 + 132394*x*z - 74647*z^2
  (-29/3351 : -27170/23457 : 1)  C2b (2137/19609 : -80881/137263 : 1)
** u= 26/9 ; tau(u)= 8/17 ; 98*x^2 - 514*y^2 + 740*x*z + 98*z^2
  (-113/1861 : -600/1861 : 1)  C1a (685/941 : 605/941 : 1)
** u= 27/29 ; tau(u)= 31/2 ; 721*x^2 + 953*y^2 + 1690*x*z + 721*z^2
  (-443/773 : 82/773 : 1)  C1b (-46/745 : -79/149 : 1)
** u= 27/37 ; tau(u)= 47/10 ; 529*x^2 + 2009*y^2 + 2938*x*z + 529*z^2
  (-259/617 : -2382/4319 : 1)  C1b (281/1417 : 397/763 : 1)
** u= 27/53 ; tau(u)= 79/26 ; -623*x^2 + 4889*y^2 + 6970*x*z - 623*z^2
  (-157/227 : -246/227 : 1)  C1b (1249/2834 : -1459/2834 : 1)
** u= 27/61 ; tau(u)= 95/34 ; -1583*x^2 + 6713*y^2 + 9754*x*z - 1583*z^2
  (-55701/69427 : -605702/485989 : 1)  C1b (13898/10213 : 54617/71491 : 1)
** u= 27/157 ; tau(u)= 287/130 ; -33071*x^2 + 48569*y^2 + 83098*x*z - 33071*z^2
  (25509/57425 : -13498/57425 : 1)  C1b (237877/136682 : 118673/136682 : 1)
** u= 28/29 ; tau(u)= 30 ; 782*x^2 + 898*y^2 + 1684*x*z + 782*z^2
  (-354/365 : 131/365 : 1)  C1b (-47/103 : -51/103 : 1)
** u= -28/37 ; tau(u)= 102/65 ; -7666*x^2 + 1954*y^2 + 11188*x*z - 7666*z^2
  (993/2230 : 3271/2230 : 1)  C2b (-9718/10667 : 18283/10667 : 1)
** u= 28/73 ; tau(u)= 118/45 ; -3266*x^2 + 9874*y^2 + 14708*x*z - 3266*z^2
  (2758/19829 : -7149/19829 : 1)  C1b (20401/2791 : 9949/2791 : 1)
** u= -28/89 ; tau(u)= 206/117 ; -26594*x^2 + 15058*y^2 + 43220*x*z - 26594*z^2
  (688/2387 : -2487/2387 : 1)  C2b (26290/145951 : 90895/145951 : 1)
** u= 28/197 ; tau(u)= 366/169 ; -56338*x^2 + 76834*y^2 + 134740*x*z - 56338*z^2
  (1380316/3397353 : -1279265/3397353 : 1)  C1b (39971/18629 : -19657/18629 : 1)
** u= 29/97 ; tau(u)= 165/68 ; -8407*x^2 + 17977*y^2 + 28066*x*z - 8407*z^2
  (11/393 : 256/393 : 1)  C1b (-62734/201923 : 116653/201923 : 1)
** u= 29/193 ; tau(u)= 357/164 ; -52951*x^2 + 73657*y^2 + 128290*x*z - 52951*z^2
  (1188069/498019 : -403076/498019 : 1)  C1b (118343/103103 : 65019/103103 : 1)
** u= 30 ; tau(u)= 28/29 ; -782*x^2 - 898*y^2 + 1684*x*z - 782*z^2
  (69/62 : -23/62 : 1)  C1a (-4022/401 : 2361/401 : 1)
** u= 31/2 ; tau(u)= 27/29 ; -721*x^2 - 953*y^2 + 1690*x*z - 721*z^2
  (941/919 : -474/919 : 1)  C1a (-56917/2810 : 6325/562 : 1)
** u= 31/18 ; tau(u)= -5/13 ; 623*x^2 - 313*y^2 + 986*x*z + 623*z^2
  (-3899/5287 : 4578/5287 : 1)  C1a (31/1058 : -781/1058 : 1)
** u= -31/41 ; tau(u)= 113/72 ; -9407*x^2 + 2401*y^2 + 13730*x*z - 9407*z^2
  (37/23 : -108/49 : 1)  C2b (-29/91 : 5399/4459 : 1)
** u= -31/149 ; tau(u)= 329/180 ; -63839*x^2 + 43441*y^2 + 109202*x*z - 63839*z^2
  (641/1771 : 1536/1771 : 1)  C2b (9842/142199 : -88469/142199 : 1)
** u= -32/49 ; tau(u)= 130/81 ; -12098*x^2 + 3778*y^2 + 17924*x*z - 12098*z^2
  (-277/619 : -1512/619 : 1)  C2b (6062/10907 : -7249/10907 : 1)
** u= -32/53 ; tau(u)= 138/85 ; -13426*x^2 + 4594*y^2 + 20068*x*z - 13426*z^2
  (-6585/28567 : -8248/4081 : 1)  C2b (1859/1229 : -1179/1229 : 1)
** u= -32/193 ; tau(u)= 418/225 ; -100226*x^2 + 73474*y^2 + 175748*x*z - 100226*z^2
  (587/2155 : 1944/2155 : 1)  C2b (-5669/37141 : -25661/37141 : 1)
** u= 33/65 ; tau(u)= 97/32 ; -959*x^2 + 7361*y^2 + 10498*x*z - 959*z^2
  (-2585/48737 : -22136/48737 : 1)  C1b (46102/6833 : 22419/6833 : 1)
** u= 36/41 ; tau(u)= 46/5 ; 1246*x^2 + 2066*y^2 + 3412*x*z + 1246*z^2
  (-865/752 : 531/752 : 1)  C1b (1/398 : -209/398 : 1)
** u= 36/49 ; tau(u)= 62/13 ; 958*x^2 + 3506*y^2 + 5140*x*z + 958*z^2
  (-572/1759 : -735/1759 : 1)  C1b (156478/8705 : 15653/1741 : 1)
** u= -36/65 ; tau(u)= 166/101 ; -19106*x^2 + 7154*y^2 + 28852*x*z - 19106*z^2
  (16199/7730 : -131961/54110 : 1)  C2b (-1714/2497 : 22109/17479 : 1)
** u= 36/137 ; tau(u)= 238/101 ; -19106*x^2 + 36242*y^2 + 57940*x*z - 19106*z^2
  (778/2187 : 347/2187 : 1)  C1b (-32243/16163 : -20933/16163 : 1)
** u= -36/185 ; tau(u)= 406/221 ; -96386*x^2 + 67154*y^2 + 166132*x*z - 96386*z^2
  (76/129 : -89/129 : 1)  C2b (2452763/751114 : 1353407/751114 : 1)
** u= -36/193 ; tau(u)= 422/229 ; -103586*x^2 + 73202*y^2 + 179380*x*z - 103586*z^2
  (10399/94786 : 102231/94786 : 1)  C2b (-256471/11119 : 168107/11119 : 1)
** u= 37/89 ; tau(u)= 141/52 ; -4039*x^2 + 14473*y^2 + 21250*x*z - 4039*z^2
  (40263/648073 : 281692/648073 : 1)  C1b (-104461/27659 : -3289/1627 : 1)
** u= -37/125 ; tau(u)= 287/162 ; -51119*x^2 + 29881*y^2 + 83738*x*z - 51119*z^2
  (51911/41671 : 38970/41671 : 1)  C2b (5550706/8226817 : 4467797/8226817 : 1)
** u= -39/173 ; tau(u)= 385/212 ; -88367*x^2 + 58337*y^2 + 149746*x*z - 88367*z^2
  (9543/17773 : -13456/17773 : 1)  C2b (675094/41297 : 426183/41297 : 1)
** u= 40/53 ; tau(u)= 66/13 ; 1262*x^2 + 4018*y^2 + 5956*x*z + 1262*z^2
  (-3 : -8/7 : 1)  C1b (9038/971 : -32331/6797 : 1)
** u= -40/113 ; tau(u)= 266/153 ; -45218*x^2 + 23938*y^2 + 72356*x*z - 45218*z^2
  (22085/63709 : -65844/63709 : 1)  C2b (-10027129/8390153 : 11793487/8390153 : 1)
** u= -41/89 ; tau(u)= 219/130 ; -32119*x^2 + 14161*y^2 + 49642*x*z - 32119*z^2
  (79/87 : 10118/10353 : 1)  C2b (-5014/11861 : 1417281/1411459 : 1)
** u= 41/113 ; tau(u)= 185/72 ; -8687*x^2 + 23857*y^2 + 35906*x*z - 8687*z^2
  (36263/795373 : -432924/795373 : 1)  C1b (449/3662 : -1793/3662 : 1)
** u= 42/29 ; tau(u)= -16/13 ; 1426*x^2 - 82*y^2 + 2020*x*z + 1426*z^2
  (-173/167 : -542/167 : 1)  C1a (218/43 : -507/43 : 1)
** u= 44/61 ; tau(u)= 78/17 ; 1358*x^2 + 5506*y^2 + 8020*x*z + 1358*z^2
  (-538/3053 : 149/3053 : 1)  C1b (-57029/5605 : -5553/1121 : 1)
** u= -44/73 ; tau(u)= 190/117 ; -25442*x^2 + 8722*y^2 + 38036*x*z - 25442*z^2
  (-13/22 : 393/154 : 1)  C2b (-253/194 : 2441/1358 : 1)
** u= 44/89 ; tau(u)= 134/45 ; -2114*x^2 + 13906*y^2 + 19892*x*z - 2114*z^2
  (202/4781 : -207/683 : 1)  C1b (-17186/45109 : -24389/45109 : 1)
** u= -44/125 ; tau(u)= 294/169 ; -55186*x^2 + 29314*y^2 + 88372*x*z - 55186*z^2
  (2/11 : 13/11 : 1)  C2b (-2310646/871031 : -2080093/871031 : 1)
** u= -45/61 ; tau(u)= 167/106 ; -20447*x^2 + 5417*y^2 + 29914*x*z - 20447*z^2
  (-8795/21013 : -54582/21013 : 1)  C2b (419534/205423 : 303971/205423 : 1)
** u= -45/157 ; tau(u)= 359/202 ; -79583*x^2 + 47273*y^2 + 130906*x*z - 79583*z^2
  (31907/18699 : -25502/18699 : 1)  C2b (1532218/1379789 : 880801/1379789 : 1)
** u= 46/5 ; tau(u)= 36/41 ; -1246*x^2 - 2066*y^2 + 3412*x*z - 1246*z^2
  (40/57 : 29/57 : 1)  C1a (-398 : 209 : 1)
** u= 47/10 ; tau(u)= 27/37 ; -529*x^2 - 2009*y^2 + 2938*x*z - 529*z^2
  (49/263 : 6/1841 : 1)  C1a (1618/2071 : 8251/14497 : 1)
** u= 47/121 ; tau(u)= 195/74 ; -8743*x^2 + 27073*y^2 + 40234*x*z - 8743*z^2
  (5741/945 : 242/135 : 1)  C1b (6924883/231379 : 3423219/231379 : 1)
** u= 48/169 ; tau(u)= 290/121 ; -26978*x^2 + 54818*y^2 + 86404*x*z - 26978*z^2
  (566/13173 : -8591/13173 : 1)  C1b (41347/29381 : 21831/29381 : 1)
** u= 49/85 ; tau(u)= 121/36 ; -191*x^2 + 12049*y^2 + 17042*x*z - 191*z^2
  (1571/194449 : -12936/194449 : 1)  C1b (-5762/7921 : -4781/7921 : 1)
** u= 49/121 ; tau(u)= 193/72 ; -7967*x^2 + 26881*y^2 + 39650*x*z - 7967*z^2
  (-2417/17669 : 12540/17669 : 1)  C1b (-449875/231317 : 270535/231317 : 1)
** u= 51/125 ; tau(u)= 199/74 ; -8351*x^2 + 28649*y^2 + 42202*x*z - 8351*z^2
  (-107/1017 : -682/1017 : 1)  C1b (1803566/1004347 : 932877/1004347 : 1)
** u= 52/101 ; tau(u)= 150/49 ; -2098*x^2 + 17698*y^2 + 25204*x*z - 2098*z^2
  (34261/1283440 : -364399/1283440 : 1)  C1b (-1074662/1850251 : 1079467/1850251 : 1)
** u= 52/173 ; tau(u)= 294/121 ; -26578*x^2 + 57154*y^2 + 89140*x*z - 26578*z^2
  (78/241 : 935/9881 : 1)  C1b (459641/210671 : 9299371/8637511 : 1)
** u= 55/18 ; tau(u)= 19/37 ; 287*x^2 - 2377*y^2 + 3386*x*z + 287*z^2
  (-811/9743 : 534/9743 : 1)  C1a (-533041/91978 : -259793/91978 : 1)
** u= 55/137 ; tau(u)= 219/82 ; -10423*x^2 + 34513*y^2 + 50986*x*z - 10423*z^2
  (18969/262357 : -116378/262357 : 1)  C1b (-266258/45631 : 138531/45631 : 1)
** u= 56/61 ; tau(u)= 66/5 ; 3086*x^2 + 4306*y^2 + 7492*x*z + 3086*z^2
  (-87/128 : -47/128 : 1)  C1b (-28706/45919 : -23141/45919 : 1)
** u= 56/65 ; tau(u)= 74/9 ; 2974*x^2 + 5314*y^2 + 8612*x*z + 2974*z^2
  (-3529/4183 : -2676/4183 : 1)  C1b (-13514/3547 : 6617/3547 : 1)
** u= 56/85 ; tau(u)= 114/29 ; 1454*x^2 + 11314*y^2 + 16132*x*z + 1454*z^2
  (-57907/340229 : -113068/340229 : 1)  C1b (6242/7829 : 5091/7829 : 1)
** u= -56/101 ; tau(u)= 258/157 ; -46162*x^2 + 17266*y^2 + 69700*x*z - 46162*z^2
  (-6771/3641 : -16048/3641 : 1)  C2b (27239/10406 : 17873/10406 : 1)
** u= 56/157 ; tau(u)= 258/101 ; -17266*x^2 + 46162*y^2 + 69700*x*z - 17266*z^2
  (11651/54251 : -14044/54251 : 1)  C1b (434162/302357 : 232539/302357 : 1)
** u= 57/109 ; tau(u)= 161/52 ; -2159*x^2 + 20513*y^2 + 29170*x*z - 2159*z^2
  (-21933/71317 : 53012/71317 : 1)  C1b (-9226/21085 : 2301/4217 : 1)
** u= -59/185 ; tau(u)= 429/244 ; -115591*x^2 + 64969*y^2 + 187522*x*z - 115591*z^2
  (6609/16291 : 15464/16291 : 1)  C2b (1902134/1905977 : 1156711/1905977 : 1)
** u= 60/89 ; tau(u)= 118/29 ; 1918*x^2 + 12242*y^2 + 17524*x*z + 1918*z^2
  (-586/4903 : 541/4903 : 1)  C1b (8254/4517 : 4803/4517 : 1)
** u= 61/65 ; tau(u)= 69/4 ; 3689*x^2 + 4729*y^2 + 8482*x*z + 3689*z^2
  (-9063/8731 : 4288/8731 : 1)  C1b (-33011/10438 : 16393/10438 : 1)
** u= -61/173 ; tau(u)= 407/234 ; -105791*x^2 + 56137*y^2 + 169370*x*z - 105791*z^2
  (101747/110299 : -1890/2251 : 1)  C2b (-110751287/50961505 : 20994487/10192301 : 1)
** u= 62/13 ; tau(u)= 36/49 ; -958*x^2 - 3506*y^2 + 5140*x*z - 958*z^2
  (32/129 : -35/129 : 1)  C1a (-49346/24691 : -29239/24691 : 1)
** u= -63/53 ; tau(u)= 169/116 ; -22943*x^2 + 1649*y^2 + 32530*x*z - 22943*z^2
  (517/787 : 2076/787 : 1)  C2b (1637201/1308526 : 2122939/1308526 : 1)
** u= -63/73 ; tau(u)= 209/136 ; -33023*x^2 + 6689*y^2 + 47650*x*z - 33023*z^2
  (5883/7793 : -12004/7793 : 1)  C2b (11938/5375 : 1979/1075 : 1)
** u= -63/145 ; tau(u)= 353/208 ; -82559*x^2 + 38081*y^2 + 128578*x*z - 82559*z^2
  (-22807/211807 : -338672/211807 : 1)  C2b (57622/77261 : 44837/77261 : 1)
** u= -64/109 ; tau(u)= 282/173 ; -55762*x^2 + 19666*y^2 + 83620*x*z - 55762*z^2
  (13451/76439 : 112732/76439 : 1)  C2b (4426/7921 : 5021/7921 : 1)
** u= 64/125 ; tau(u)= 186/61 ; -3346*x^2 + 27154*y^2 + 38692*x*z - 3346*z^2
  (-85/13863 : 5036/13863 : 1)  C1b (-55534/367829 : 10799/21637 : 1)
** u= -64/181 ; tau(u)= 426/245 ; -115954*x^2 + 61426*y^2 + 185572*x*z - 115954*z^2
  (-55487/60261 : 150892/60261 : 1)  C2b (385874/172829 : -219199/172829 : 1)
** u= 66/5 ; tau(u)= 56/61 ; -3086*x^2 - 4306*y^2 + 7492*x*z - 3086*z^2
  (3501/2107 : -932/2107 : 1)  C1a (50926/4817 : -26461/4817 : 1)
** u= 66/13 ; tau(u)= 40/53 ; -1262*x^2 - 4018*y^2 + 5956*x*z - 1262*z^2
  (30/133 : 61/931 : 1)  C1a (-197/194 : -1059/1358 : 1)
** u= 67/157 ; tau(u)= 247/90 ; -11711*x^2 + 44809*y^2 + 65498*x*z - 11711*z^2
  (6811/37715 : -2898/37715 : 1)  C1b (-4133042/2042131 : 2431619/2042131 : 1)
** u= -68/49 ; tau(u)= 166/117 ; -22754*x^2 + 178*y^2 + 32180*x*z - 22754*z^2
  (46/11 : 441/11 : 1)  C2b (763/997 : -3883/997 : 1)
** u= 69/4 ; tau(u)= 61/65 ; -3689*x^2 - 4729*y^2 + 8482*x*z - 3689*z^2
  (565/333 : -44/333 : 1)  C1a (44461/17483 : 21913/17483 : 1)
** u= 69/32 ; tau(u)= 5/37 ; 2023*x^2 - 2713*y^2 + 4786*x*z + 2023*z^2
  (-705/2023 : -8/17 : 1)  C1a (-1379/6443 : 3249/6443 : 1)
** u= 71/34 ; tau(u)= 3/37 ; 2303*x^2 - 2729*y^2 + 5050*x*z + 2303*z^2
  (599/14357 : 1970/2051 : 1)  C1a (-12025/3218 : 6075/3218 : 1)
** u= 71/73 ; tau(u)= 75/2 ; 5033*x^2 + 5617*y^2 + 10666*x*z + 5033*z^2
  (-27239/19429 : -1370/19429 : 1)  C1b (-335278/104897 : 168979/104897 : 1)
** u= -71/109 ; tau(u)= 289/180 ; -59759*x^2 + 18721*y^2 + 88562*x*z - 59759*z^2
  (8105/23923 : -33456/23923 : 1)  C2b (-183851/41182 : 189851/41182 : 1)
** u= -72/97 ; tau(u)= 266/169 ; -51938*x^2 + 13634*y^2 + 75940*x*z - 51938*z^2
  (1021/994 : 1443/994 : 1)  C2b (61054/553559 : 494981/553559 : 1)
** u= 72/113 ; tau(u)= 154/41 ; 1822*x^2 + 20354*y^2 + 28900*x*z + 1822*z^2
  (-7223/93973 : -12984/93973 : 1)  C1b (90382/34475 : 9607/6895 : 1)
** u= -72/113 ; tau(u)= 298/185 ; -63266*x^2 + 20354*y^2 + 93988*x*z - 63266*z^2
  (1823/8660 : 13059/8660 : 1)  C2b (20881237/10460147 : 13909447/10460147 : 1)
** u= 72/121 ; tau(u)= 170/49 ; 382*x^2 + 24098*y^2 + 34084*x*z + 382*z^2
  (-241/892 : 539/892 : 1)  C1b (2012093/3269923 : -1873411/3269923 : 1)
** u= 72/169 ; tau(u)= 266/97 ; -13634*x^2 + 51938*y^2 + 75940*x*z - 13634*z^2
  (-69/1972 : -65/116 : 1)  C1b (-343966/49921 : 175901/49921 : 1)
** u= -72/169 ; tau(u)= 410/241 ; -110978*x^2 + 51938*y^2 + 173284*x*z - 110978*z^2
  (20110/22801 : 21099/22801 : 1)  C2b (307/494 : 283/494 : 1)
** u= 73/145 ; tau(u)= 217/72 ; -5039*x^2 + 36721*y^2 + 52418*x*z - 5039*z^2
  (-43393/1365733 : 583788/1365733 : 1)  C1b (-385639/390134 : -280133/390134 : 1)
** u= -73/145 ; tau(u)= 363/218 ; -89719*x^2 + 36721*y^2 + 137098*x*z - 89719*z^2
  (2037335/1208027 : -2125586/1208027 : 1)  C2b (301282/202201 : 179747/202201 : 1)
** u= 74/9 ; tau(u)= 56/65 ; -2974*x^2 - 5314*y^2 + 8612*x*z - 2974*z^2
  (4/7 : 3/7 : 1)  C1a (6053/3286 : 3017/3286 : 1)
** u= 75/2 ; tau(u)= 71/73 ; -5033*x^2 - 5617*y^2 + 10666*x*z - 5033*z^2
  (2371/2681 : -110/383 : 1)  C1a (355646/248989 : 182213/248989 : 1)
** u= 75/26 ; tau(u)= 23/49 ; 823*x^2 - 4273*y^2 + 6154*x*z + 823*z^2
  (151/2201 : -1190/2201 : 1)  C1a (4146382/1510229 : 132533/88837 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (-1622/10979 : 5577/10979 : 1)
** u= 76/193 ; tau(u)= 310/117 ; -21602*x^2 + 68722*y^2 + 101876*x*z - 21602*z^2
  (-21091/358072 : 227241/358072 : 1)  C1b (-26821/4877 : -14047/4877 : 1)
** u= -77/85 ; tau(u)= 247/162 ; -46559*x^2 + 8521*y^2 + 66938*x*z - 46559*z^2
  (7/11 : -18/11 : 1)  C2b (1783738/819829 : 1543463/819829 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (-475991/268201 : -273063/268201 : 1)
** u= 78/17 ; tau(u)= 44/61 ; -1358*x^2 - 5506*y^2 + 8020*x*z - 1358*z^2
  (84/481 : -7/481 : 1)  C1a (-11690/14963 : 10095/14963 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (-2969/2951 : 1719/2951 : 1)
** u= 78/49 ; tau(u)= -20/29 ; 4402*x^2 - 1282*y^2 + 6484*x*z + 4402*z^2
  (-2713/2880 : -3773/2880 : 1)  C1a (-571/613 : 437/613 : 1)
** u= 79/26 ; tau(u)= 27/53 ; 623*x^2 - 4889*y^2 + 6970*x*z + 623*z^2
  (-239/7 : -10 : 1)  C1a (-45554/193969 : -95171/193969 : 1)
** u= -79/65 ; tau(u)= 209/144 ; -35231*x^2 + 2209*y^2 + 49922*x*z - 35231*z^2
  (19/5 : 2976/235 : 1)  C2b (-49/23 : 6133/1081 : 1)
** u= -80/73 ; tau(u)= 226/153 ; -40418*x^2 + 4258*y^2 + 57476*x*z - 40418*z^2
  (-10601/64901 : -224358/64901 : 1)  C2b (4639/2137 : -5227/2137 : 1)
** u= 81/89 ; tau(u)= 97/8 ; 6433*x^2 + 9281*y^2 + 15970*x*z + 6433*z^2
  (-20089/30653 : -1620/4379 : 1)  C1b (638/697 : -599/697 : 1)
** u= 81/121 ; tau(u)= 161/40 ; 3361*x^2 + 22721*y^2 + 32482*x*z + 3361*z^2
  (-26405/58537 : -39996/58537 : 1)  C1b (3684541/1796822 : 2080957/1796822 : 1)
** u= 83/101 ; tau(u)= 119/18 ; 6241*x^2 + 13513*y^2 + 21050*x*z + 6241*z^2
  (-34259/11813 : -4890/11813 : 1)  C1b (-1327879/305834 : -647729/305834 : 1)
** u= -83/113 ; tau(u)= 309/196 ; -69943*x^2 + 18649*y^2 + 102370*x*z - 69943*z^2
  (10511/53693 : 90160/53693 : 1)  C2b (102769465/19231942 : -86776095/19231942 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-34673/1015 : -123/7 : 1)
** u= -88/137 ; tau(u)= 362/225 ; -93506*x^2 + 29794*y^2 + 138788*x*z - 93506*z^2
  (4/11 : -15/11 : 1)  C2b (7538/12221 : 7981/12221 : 1)
** u= 88/149 ; tau(u)= 210/61 ; 302*x^2 + 36658*y^2 + 51844*x*z + 302*z^2
  (-10815/177302 : -49517/177302 : 1)  C1b (166162/19177 : 81261/19177 : 1)
** u= 89/125 ; tau(u)= 161/36 ; 5329*x^2 + 23329*y^2 + 33842*x*z + 5329*z^2
  (-14413/45817 : 20760/45817 : 1)  C1b (64442/803 : 31751/803 : 1)
** u= -91/109 ; tau(u)= 309/200 ; -71719*x^2 + 15481*y^2 + 103762*x*z - 71719*z^2
  (13/7 : 20/7 : 1)  C2b (-61883/93334 : -151421/93334 : 1)
** u= 91/181 ; tau(u)= 271/90 ; -7919*x^2 + 57241*y^2 + 81722*x*z - 7919*z^2
  (2921/54877 : -13746/54877 : 1)  C1b (24000922/4829029 : 11716319/4829029 : 1)
** u= 92/137 ; tau(u)= 182/45 ; 4414*x^2 + 29074*y^2 + 41588*x*z + 4414*z^2
  (-14585/131762 : 8991/131762 : 1)  C1b (5966/10661 : 6229/10661 : 1)
** u= 92/157 ; tau(u)= 222/65 ; 14*x^2 + 40834*y^2 + 57748*x*z + 14*z^2
  (-3276/113 : -721/113 : 1)  C1b (174026/22451 : -85191/22451 : 1)
** u= -92/169 ; tau(u)= 430/261 ; -127778*x^2 + 48658*y^2 + 193364*x*z - 127778*z^2
  (38767/37844 : -43329/37844 : 1)  C2b (-6816907/3604406 : -7803277/3604406 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-5434/6619 : -3621/6619 : 1)
** u= 94/45 ; tau(u)= 4/49 ; 4034*x^2 - 4786*y^2 + 8852*x*z + 4034*z^2
  (916/1387 : 2163/1387 : 1)  C1a (10643/3406 : -6977/3406 : 1)
** u= 94/53 ; tau(u)= -12/41 ; 5474*x^2 - 3218*y^2 + 8980*x*z + 5474*z^2
  (-2259/946 : 2059/946 : 1)  C1a (-139598/11173 : -90759/11173 : 1)
** u= 95/34 ; tau(u)= 27/61 ; 1583*x^2 - 6713*y^2 + 9754*x*z + 1583*z^2
  (-7/67 : 138/469 : 1)  C1a (1381/2563 : 10687/17941 : 1)
** u= 95/193 ; tau(u)= 291/98 ; -10183*x^2 + 65473*y^2 + 93706*x*z - 10183*z^2
  (9241/331533 : 112798/331533 : 1)  C1b (-550678/403373 : 350233/403373 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (660173/9883 : 342639/9883 : 1)
** u= 97/8 ; tau(u)= 81/89 ; -6433*x^2 - 9281*y^2 + 15970*x*z - 6433*z^2
  (6287/5923 : 3516/5923 : 1)  C1a (1123/4285 : -425/857 : 1)
** u= 97/32 ; tau(u)= 33/65 ; 959*x^2 - 7361*y^2 + 10498*x*z + 959*z^2
  (-19653/947555 : 42968/135365 : 1)  C1a (1144757/40931 : 560289/40931 : 1)
** u= 97/169 ; tau(u)= 241/72 ; -959*x^2 + 47713*y^2 + 67490*x*z - 959*z^2
  (10487/1103293 : -90012/1103293 : 1)  C1b (-280987/847517 : 435367/847517 : 1)
** u= 99/101 ; tau(u)= 103/2 ; 9793*x^2 + 10601*y^2 + 20410*x*z + 9793*z^2
  (-1572997/1988591 : 289110/1988591 : 1)  C1b (-24637/883 : 13723/883 : 1)
** u= 99/181 ; tau(u)= 263/82 ; -3647*x^2 + 55721*y^2 + 78970*x*z - 3647*z^2
  (-73143/273737 : -183386/273737 : 1)  C1b (958706/45805 : -93089/9161 : 1)
** u= 100/197 ; tau(u)= 294/97 ; -8818*x^2 + 67618*y^2 + 96436*x*z - 8818*z^2
  (-5249/17926 : 13405/17926 : 1)  C1b (1838/13877 : -6743/13877 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (-292001/74842 : -142431/74842 : 1)
** u= 102/65 ; tau(u)= -28/37 ; 7666*x^2 - 1954*y^2 + 11188*x*z + 7666*z^2
  (-1466/4283 : 6667/4283 : 1)  C1a (55793/276754 : 310249/276754 : 1)
** u= 103/2 ; tau(u)= 99/101 ; -9793*x^2 - 10601*y^2 + 20410*x*z - 9793*z^2
  (524483/660417 : -99266/660417 : 1)  C1a (-4580081/3595546 : 3993799/3595546 : 1)
** u= 103/113 ; tau(u)= 123/10 ; 10409*x^2 + 14929*y^2 + 25738*x*z + 10409*z^2
  (-652957/1239051 : -164698/1239051 : 1)  C1b (481114/259093 : 338777/259093 : 1)
** u= 104/113 ; tau(u)= 122/9 ; 10654*x^2 + 14722*y^2 + 25700*x*z + 10654*z^2
  (-10483/12169 : -6000/12169 : 1)  C1b (-17627/27250 : -2761/5450 : 1)
** u= -104/125 ; tau(u)= 354/229 ; -94066*x^2 + 20434*y^2 + 136132*x*z - 94066*z^2
  (-1577/3783 : 10820/3783 : 1)  C2b (156494/110567 : 119229/110567 : 1)
** u= 104/185 ; tau(u)= 266/81 ; -2306*x^2 + 57634*y^2 + 81572*x*z - 2306*z^2
  (1038265/40261781 : -2395152/40261781 : 1)  C1b (-150878/130141 : -98117/130141 : 1)
** u= 107/125 ; tau(u)= 143/18 ; 10801*x^2 + 19801*y^2 + 31898*x*z + 10801*z^2
  (-12217/12163 : 8790/12163 : 1)  C1b (-72367/72146 : -43061/72146 : 1)
** u= -108/89 ; tau(u)= 286/197 ; -65954*x^2 + 4178*y^2 + 93460*x*z - 65954*z^2
  (131/14064 : 55511/14064 : 1)  C2b (555094/250289 : 807013/250289 : 1)
** u= -108/97 ; tau(u)= 302/205 ; -72386*x^2 + 7154*y^2 + 102868*x*z - 72386*z^2
  (205/1162 : -22857/8134 : 1)  C2b (18442/3587 : 174691/25109 : 1)
** u= 108/137 ; tau(u)= 166/29 ; 9982*x^2 + 25874*y^2 + 39220*x*z + 9982*z^2
  (-13744/43499 : 10167/43499 : 1)  C1b (-96163/61747 : 50357/61747 : 1)
** u= -108/185 ; tau(u)= 478/293 ; -160034*x^2 + 56786*y^2 + 240148*x*z - 160034*z^2
  (853/586 : -951/586 : 1)  C2b (-125918/1873991 : 1645633/1873991 : 1)
** u= 108/193 ; tau(u)= 278/85 ; -2786*x^2 + 62834*y^2 + 88948*x*z - 2786*z^2
  (32/21655 : -4451/21655 : 1)  C1b (-46133/35234 : -28619/35234 : 1)
** u= -112/113 ; tau(u)= 338/225 ; -88706*x^2 + 12994*y^2 + 126788*x*z - 88706*z^2
  (8881/15299 : -28470/15299 : 1)  C2b (454/379 : 421/379 : 1)
** u= 112/121 ; tau(u)= 130/9 ; 12382*x^2 + 16738*y^2 + 29444*x*z + 12382*z^2
  (-347/203 : 66/203 : 1)  C1b (-294887/296794 : -172451/296794 : 1)
** u= 112/149 ; tau(u)= 186/37 ; 9806*x^2 + 31858*y^2 + 47140*x*z + 9806*z^2
  (-5417/15609 : -6410/15609 : 1)  C1b (3758/1607 : 2177/1607 : 1)
** u= -112/181 ; tau(u)= 474/293 ; -159154*x^2 + 52978*y^2 + 237220*x*z - 159154*z^2
  (4543/12132 : 16043/12132 : 1)  C2b (-42902/97537 : 112533/97537 : 1)
** u= 112/197 ; tau(u)= 282/85 ; -1906*x^2 + 65074*y^2 + 92068*x*z - 1906*z^2
  (-3529/9965 : 7282/9965 : 1)  C1b (-370366/36269 : 181071/36269 : 1)
** u= 113/52 ; tau(u)= 9/61 ; 5327*x^2 - 7361*y^2 + 12850*x*z + 5327*z^2
  (769/933 : -1520/933 : 1)  C1a (-17627/27250 : -2761/5450 : 1)
** u= 113/72 ; tau(u)= -31/41 ; 9407*x^2 - 2401*y^2 + 13730*x*z + 9407*z^2
  (-127/101 : 8460/4949 : 1)  C1a (-14/5 : -107/49 : 1)
** u= 113/185 ; tau(u)= 257/72 ; 2401*x^2 + 55681*y^2 + 78818*x*z + 2401*z^2
  (-16129/346357 : -52188/346357 : 1)  C1b (-2042014/1077623 : 1107289/1077623 : 1)
** u= 114/29 ; tau(u)= 56/85 ; -1454*x^2 - 11314*y^2 + 16132*x*z - 1454*z^2
  (219/2320 : 163/2320 : 1)  C1a (-102071/1574 : 49833/1574 : 1)
** u= 114/61 ; tau(u)= -8/53 ; 7378*x^2 - 5554*y^2 + 13060*x*z + 7378*z^2
  (-7819/4723 : -4900/4723 : 1)  C1a (-198766/122131 : 102859/122131 : 1)
** u= -116/173 ; tau(u)= 462/289 ; -153586*x^2 + 46402*y^2 + 226900*x*z - 153586*z^2
  (36268/70407 : 90967/70407 : 1)  C2b (96350/66437 : 64035/66437 : 1)
** u= -117/101 ; tau(u)= 319/218 ; -81359*x^2 + 6713*y^2 + 115450*x*z - 81359*z^2
  (3531/2291 : 60862/16037 : 1)  C2b (15287/19750 : 33371/27650 : 1)
** u= -117/125 ; tau(u)= 367/242 ; -103439*x^2 + 17561*y^2 + 148378*x*z - 103439*z^2
  (-172443/8477 : -61930/1211 : 1)  C2b (353963/275182 : -303029/275182 : 1)
** u= 118/29 ; tau(u)= 60/89 ; -1918*x^2 - 12242*y^2 + 17524*x*z - 1918*z^2
  (1780/14029 : -2101/14029 : 1)  C1a (-47738/7459 : -23991/7459 : 1)
** u= 118/45 ; tau(u)= 28/73 ; 3266*x^2 - 9874*y^2 + 14708*x*z + 3266*z^2
  (-22/2027 : -1137/2027 : 1)  C1a (3917/2869 : -2663/2869 : 1)
** u= 119/18 ; tau(u)= 83/101 ; -6241*x^2 - 13513*y^2 + 21050*x*z - 6241*z^2
  (1609/4831 : -366/4831 : 1)  C1a (334061/49246 : -164531/49246 : 1)
** u= 119/121 ; tau(u)= 123/2 ; 14153*x^2 + 15121*y^2 + 29290*x*z + 14153*z^2
  (-30593/27883 : 6974/27883 : 1)  C1b (-30728906/4026151 : -16476663/4026151 : 1)
** u= 119/169 ; tau(u)= 219/50 ; 9161*x^2 + 42961*y^2 + 62122*x*z + 9161*z^2
  (-10329/44687 : -14794/44687 : 1)  C1b (-149071/122033 : 87473/122033 : 1)
** u= 121/36 ; tau(u)= 49/85 ; 191*x^2 - 12049*y^2 + 17042*x*z + 191*z^2
  (-295/292349 : 35112/292349 : 1)  C1a (2012093/3269923 : -1873411/3269923 : 1)
** u= 122/9 ; tau(u)= 104/113 ; -10654*x^2 - 14722*y^2 + 25700*x*z - 10654*z^2
  (1657/1024 : 465/1024 : 1)  C1a (-12469250/21137 : 6730595/21137 : 1)
** u= 123/2 ; tau(u)= 119/121 ; -14153*x^2 - 15121*y^2 + 29290*x*z - 14153*z^2
  (10639/8237 : 550/8237 : 1)  C1a (-202670/196667 : 195405/196667 : 1)
** u= 123/10 ; tau(u)= 103/113 ; -10409*x^2 - 14929*y^2 + 25738*x*z - 10409*z^2
  (6507/12569 : 1154/12569 : 1)  C1a (589198/158861 : 291973/158861 : 1)
** u= 123/173 ; tau(u)= 223/50 ; 10129*x^2 + 44729*y^2 + 64858*x*z + 10129*z^2
  (-42071/53421 : 47030/53421 : 1)  C1b (-3084373/586099 : -1498551/586099 : 1)
** u= 130/9 ; tau(u)= 112/121 ; -12382*x^2 - 16738*y^2 + 29444*x*z - 12382*z^2
  (754/1237 : -297/1237 : 1)  C1a (12847/2831 : 6463/2831 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (49258/22507 : -24219/22507 : 1)
** u= 130/81 ; tau(u)= -32/49 ; 12098*x^2 - 3778*y^2 + 17924*x*z + 12098*z^2
  (-1108/1619 : -1953/1619 : 1)  C1a (1729/113 : -1607/113 : 1)
** u= -131/113 ; tau(u)= 357/244 ; -101911*x^2 + 8377*y^2 + 144610*x*z - 101911*z^2
  (25917/165779 : -518020/165779 : 1)  C2b (-2962/29657 : 53963/29657 : 1)
** u= 131/149 ; tau(u)= 167/18 ; 16513*x^2 + 27241*y^2 + 45050*x*z + 16513*z^2
  (-24451/13669 : -8778/13669 : 1)  C1b (-3085594/248639 : 1576777/248639 : 1)
** u= -133/101 ; tau(u)= 335/234 ; -91823*x^2 + 2713*y^2 + 129914*x*z - 91823*z^2
  (15973/2245673 : 12999066/2245673 : 1)  C2b (2077/8317 : -19789/8317 : 1)
** u= 133/173 ; tau(u)= 213/40 ; 14489*x^2 + 42169*y^2 + 63058*x*z + 14489*z^2
  (-32443/131975 : 7516/131975 : 1)  C1b (-2059678/851747 : 1018417/851747 : 1)
** u= 134/45 ; tau(u)= 44/89 ; 2114*x^2 - 13906*y^2 + 19892*x*z + 2114*z^2
  (-275/32566 : -12183/32566 : 1)  C1a (-1421/4211 : 2099/4211 : 1)
** u= -135/97 ; tau(u)= 329/232 ; -89423*x^2 + 593*y^2 + 126466*x*z - 89423*z^2
  (8127/5149 : 70948/5149 : 1)  C2b (1238326/32693 : 7246253/32693 : 1)
** u= -135/121 ; tau(u)= 377/256 ; -112847*x^2 + 11057*y^2 + 160354*x*z - 112847*z^2
  (587/3029 : 8448/3029 : 1)  C2b (58183/290927 : 393923/290927 : 1)
** u= 136/145 ; tau(u)= 154/9 ; 18334*x^2 + 23554*y^2 + 42212*x*z + 18334*z^2
  (-1285/751 : -72/751 : 1)  C1b (-209269/108197 : 103453/108197 : 1)
** u= 137/173 ; tau(u)= 209/36 ; 16177*x^2 + 41089*y^2 + 62450*x*z + 16177*z^2
  (-68369/191141 : -60312/191141 : 1)  C1b (-89702/99175 : -11597/19835 : 1)
** u= 138/85 ; tau(u)= -32/53 ; 13426*x^2 - 4594*y^2 + 20068*x*z + 13426*z^2
  (-17961/8711 : 21934/8711 : 1)  C1a (-8614/3223 : -5877/3223 : 1)
** u= -140/149 ; tau(u)= 438/289 ; -147442*x^2 + 24802*y^2 + 211444*x*z - 147442*z^2
  (3568/44661 : -102833/44661 : 1)  C2b (48809/30446 : -41921/30446 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (52082/58981 : -2577/4537 : 1)
** u= 141/52 ; tau(u)= 37/89 ; 4039*x^2 - 14473*y^2 + 21250*x*z + 4039*z^2
  (811/10059 : -908/1437 : 1)  C1a (-1514/5831 : 167/343 : 1)
** u= 143/18 ; tau(u)= 107/125 ; -10801*x^2 - 19801*y^2 + 31898*x*z - 10801*z^2
  (45853/75067 : 36390/75067 : 1)  C1a (736294/866429 : -480743/866429 : 1)
** u= 143/145 ; tau(u)= 147/2 ; 20441*x^2 + 21601*y^2 + 42058*x*z + 20441*z^2
  (-13/11 : -2/11 : 1)  C1b (22129/20977 : -21169/20977 : 1)
** u= -144/113 ; tau(u)= 370/257 ; -111362*x^2 + 4802*y^2 + 157636*x*z - 111362*z^2
  (256/257 : 46273/12593 : 1)  C2b (6037/28091 : 2774371/1376459 : 1)
** u= -144/145 ; tau(u)= 434/289 ; -146306*x^2 + 21314*y^2 + 209092*x*z - 146306*z^2
  (8/9 : 17/9 : 1)  C2b (9773461/4521818 : 9406811/4521818 : 1)
** u= 144/185 ; tau(u)= 226/41 ; 17374*x^2 + 47714*y^2 + 71812*x*z + 17374*z^2
  (-2419/1580 : 1647/1580 : 1)  C1b (-28214146/13994323 : -14173247/13994323 : 1)
** u= 144/193 ; tau(u)= 242/49 ; 15934*x^2 + 53762*y^2 + 79300*x*z + 15934*z^2
  (-4419/19511 : -2926/19511 : 1)  C1b (2005987/947357 : 1182211/947357 : 1)
** u= -144/193 ; tau(u)= 530/337 ; -206402*x^2 + 53762*y^2 + 301636*x*z - 206402*z^2
  (11120/47131 : -11123/6733 : 1)  C2b (7449463/7706414 : 5827489/7706414 : 1)
** u= 145/181 ; tau(u)= 217/36 ; 18433*x^2 + 44497*y^2 + 68114*x*z + 18433*z^2
  (-35069/50717 : -33876/50717 : 1)  C1b (-549602/257137 : -272797/257137 : 1)
** u= 147/2 ; tau(u)= 143/145 ; -20441*x^2 - 21601*y^2 + 42058*x*z - 20441*z^2
  (13/11 : -2/11 : 1)  C1a (-20977/22129 : 21169/22129 : 1)
** u= 147/74 ; tau(u)= -1/73 ; 10951*x^2 - 10657*y^2 + 21610*x*z + 10951*z^2
  (-4331/4439 : -734/4439 : 1)  C1a (-28109615/23379878 : 15055495/23379878 : 1)
** u= -148/157 ; tau(u)= 462/305 ; -164146*x^2 + 27394*y^2 + 235348*x*z - 164146*z^2
  (549136/1886425 : -3772333/1886425 : 1)  C2b (17386/15211 : 15359/15211 : 1)
** u= 148/193 ; tau(u)= 238/45 ; 17854*x^2 + 52594*y^2 + 78548*x*z + 17854*z^2
  (-6284/2165 : -2307/2165 : 1)  C1b (-214054/75647 : 104867/75647 : 1)
** u= 149/181 ; tau(u)= 213/32 ; 20153*x^2 + 43321*y^2 + 67570*x*z + 20153*z^2
  (-63077/63853 : -50344/63853 : 1)  C1b (8051/2651 : 4689/2651 : 1)
** u= 150/49 ; tau(u)= 52/101 ; 2098*x^2 - 17698*y^2 + 25204*x*z + 2098*z^2
  (244/111 : -217/111 : 1)  C1a (-4966/8137 : -4469/8137 : 1)
** u= -152/197 ; tau(u)= 546/349 ; -220498*x^2 + 54514*y^2 + 321220*x*z - 220498*z^2
  (36083/46527 : 64264/46527 : 1)  C2b (8554/17569 : 13129/17569 : 1)
** u= 153/157 ; tau(u)= 161/4 ; 23377*x^2 + 25889*y^2 + 49330*x*z + 23377*z^2
  (-32183/44779 : -360/44779 : 1)  C1b (2157778/666515 : 286537/133303 : 1)
** u= 154/9 ; tau(u)= 136/145 ; -18334*x^2 - 23554*y^2 + 42212*x*z - 18334*z^2
  (1285/751 : -72/751 : 1)  C1a (-73507/766 : 40357/766 : 1)
** u= 154/41 ; tau(u)= 72/113 ; -1822*x^2 - 20354*y^2 + 28900*x*z - 1822*z^2
  (77/1192 : 51/1192 : 1)  C1a (2138/2375 : -301/475 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (5761/6478 : 5133/6478 : 1)
** u= -155/137 ; tau(u)= 429/292 ; -146503*x^2 + 13513*y^2 + 208066*x*z - 146503*z^2
  (-18609/216985 : -759196/216985 : 1)  C2b (-6026494/3517343 : 14197027/3517343 : 1)
** u= -159/181 ; tau(u)= 521/340 ; -205919*x^2 + 40241*y^2 + 296722*x*z - 205919*z^2
  (8013/153559 : 47792/21937 : 1)  C2b (8901919/1012442 : 9125391/1012442 : 1)
** u= 160/169 ; tau(u)= 178/9 ; 25438*x^2 + 31522*y^2 + 57284*x*z + 25438*z^2
  (-17813/13283 : 5616/13283 : 1)  C1b (13879/124873 : 72439/124873 : 1)
** u= 161/4 ; tau(u)= 153/157 ; -23377*x^2 - 25889*y^2 + 49330*x*z - 23377*z^2
  (1611/2219 : -148/2219 : 1)  C1a (111961/16999 : -59159/16999 : 1)
** u= 161/36 ; tau(u)= 89/125 ; -5329*x^2 - 23329*y^2 + 33842*x*z - 5329*z^2
  (21077/107993 : 23160/107993 : 1)  C1a (88057/57146 : 47761/57146 : 1)
** u= 161/40 ; tau(u)= 81/121 ; -3361*x^2 - 22721*y^2 + 32482*x*z - 3361*z^2
  (27589/66857 : 43164/66857 : 1)  C1a (-138638/104293 : 88793/104293 : 1)
** u= 161/52 ; tau(u)= 57/109 ; 2159*x^2 - 20513*y^2 + 29170*x*z + 2159*z^2
  (-717/10423 : -928/10423 : 1)  C1a (-40439/4519 : -19647/4519 : 1)
** u= 161/197 ; tau(u)= 233/36 ; 23329*x^2 + 51697*y^2 + 80210*x*z + 23329*z^2
  (-11087/10703 : 8772/10703 : 1)  C1b (-506/661 : -359/661 : 1)
** u= 163/181 ; tau(u)= 199/18 ; 25921*x^2 + 38953*y^2 + 66170*x*z + 25921*z^2
  (-58427/56909 : -34950/56909 : 1)  C1b (82202/12605 : -9355/2521 : 1)
** u= -164/173 ; tau(u)= 510/337 ; -200242*x^2 + 32962*y^2 + 286996*x*z - 200242*z^2
  (1750/1479 : -3059/1479 : 1)  C2b (-4510903/11162399 : -17672083/11162399 : 1)
** u= 165/68 ; tau(u)= 29/97 ; 8407*x^2 - 17977*y^2 + 28066*x*z + 8407*z^2
  (-531/5897 : -3392/5897 : 1)  C1a (206717/102259 : 130901/102259 : 1)
** u= 166/29 ; tau(u)= 108/137 ; -9982*x^2 - 25874*y^2 + 39220*x*z - 9982*z^2
  (34783/18392 : 19299/18392 : 1)  C1a (-230951/194041 : 169559/194041 : 1)
** u= 166/101 ; tau(u)= -36/65 ; 19106*x^2 - 7154*y^2 + 28852*x*z + 19106*z^2
  (-173/416 : 3513/2912 : 1)  C1a (-4474/5207 : -23153/36449 : 1)
** u= 166/117 ; tau(u)= -68/49 ; 22754*x^2 - 178*y^2 + 32180*x*z + 22754*z^2
  (38/11 : -525/11 : 1)  C1a (5554/6929 : 63371/6929 : 1)
** u= 167/18 ; tau(u)= 131/149 ; -16513*x^2 - 27241*y^2 + 45050*x*z - 16513*z^2
  (2309/5063 : -750/5063 : 1)  C1a (-375563/662963 : 458617/662963 : 1)
** u= 167/106 ; tau(u)= -45/61 ; 20447*x^2 - 5417*y^2 + 29914*x*z + 20447*z^2
  (-2485/7921 : 12306/7921 : 1)  C1a (-36269/49837 : 34963/49837 : 1)
** u= -168/169 ; tau(u)= 506/337 ; -198914*x^2 + 28898*y^2 + 284260*x*z - 198914*z^2
  (-20967/7568 : -70577/7568 : 1)  C2b (94190/173347 : 162315/173347 : 1)
** u= 169/80 ; tau(u)= 9/89 ; 12719*x^2 - 15761*y^2 + 28642*x*z + 12719*z^2
  (-471/793 : 88/793 : 1)  C1a (13879/124873 : 72439/124873 : 1)
** u= 169/116 ; tau(u)= -63/53 ; 22943*x^2 - 1649*y^2 + 32530*x*z + 22943*z^2
  (42203/147607 : -671424/147607 : 1)  C1a (9305/29354 : 66215/29354 : 1)
** u= 170/49 ; tau(u)= 72/121 ; -382*x^2 - 24098*y^2 + 34084*x*z - 382*z^2
  (128/4195 : -693/4195 : 1)  C1a (-5762/7921 : -4781/7921 : 1)
** u= 171/173 ; tau(u)= 175/2 ; 29233*x^2 + 30617*y^2 + 59866*x*z + 29233*z^2
  (-4819/5249 : -990/5249 : 1)  C1b (-2506/32203 : -17729/32203 : 1)
** u= 175/2 ; tau(u)= 171/173 ; -29233*x^2 - 30617*y^2 + 59866*x*z - 29233*z^2
  (16279/19749 : -1790/19749 : 1)  C1a (-329077/100202 : 221489/100202 : 1)
** u= -176/149 ; tau(u)= 474/325 ; -180274*x^2 + 13426*y^2 + 255652*x*z - 180274*z^2
  (171/1346 : -31567/9422 : 1)  C2b (78914/82529 : 774113/577703 : 1)
** u= 176/185 ; tau(u)= 194/9 ; 30814*x^2 + 37474*y^2 + 68612*x*z + 30814*z^2
  (-3455/5504 : -303/5504 : 1)  C1b (-12562/22871 : -11359/22871 : 1)
** u= 178/9 ; tau(u)= 160/169 ; -25438*x^2 - 31522*y^2 + 57284*x*z - 25438*z^2
  (21271/31873 : -6864/31873 : 1)  C1a (4303/2039 : 2123/2039 : 1)
** u= 178/81 ; tau(u)= 16/97 ; 12866*x^2 - 18562*y^2 + 31940*x*z + 12866*z^2
  (-938/1951 : -315/1951 : 1)  C1a (638/697 : -599/697 : 1)
** u= 182/45 ; tau(u)= 92/137 ; -4414*x^2 - 29074*y^2 + 41588*x*z - 4414*z^2
  (1688/13967 : -1917/13967 : 1)  C1a (104369/74137 : 59293/74137 : 1)
** u= -183/137 ; tau(u)= 457/320 ; -171311*x^2 + 4049*y^2 + 242338*x*z - 171311*z^2
  (-74901/281509 : -2202784/281509 : 1)  C2b (-353/719 : 3159/719 : 1)
** u= 185/72 ; tau(u)= 41/113 ; 8687*x^2 - 23857*y^2 + 35906*x*z + 8687*z^2
  (1369/11917 : -516/701 : 1)  C1a (-28214146/13994323 : -14173247/13994323 : 1)
** u= 186/37 ; tau(u)= 112/149 ; -9806*x^2 - 31858*y^2 + 47140*x*z - 9806*z^2
  (353/1617 : 38/1617 : 1)  C1a (1114/13451 : -6587/13451 : 1)
** u= 186/61 ; tau(u)= 64/125 ; 3346*x^2 - 27154*y^2 + 38692*x*z + 3346*z^2
  (-7729/669 : 220/669 : 1)  C1a (1169/98662 : 48133/98662 : 1)
** u= -187/169 ; tau(u)= 525/356 ; -218503*x^2 + 22153*y^2 + 310594*x*z - 218503*z^2
  (36403/54837 : -121420/54837 : 1)  C2b (6863477/1800029 : 90481/18557 : 1)
** u= -189/157 ; tau(u)= 503/346 ; -203711*x^2 + 13577*y^2 + 288730*x*z - 203711*z^2
  (147073/934273 : 3240222/934273 : 1)  C2b (195686/216715 : 60029/43343 : 1)
** u= -189/181 ; tau(u)= 551/370 ; -238079*x^2 + 29801*y^2 + 339322*x*z - 238079*z^2
  (105929/653753 : 1647894/653753 : 1)  C2b (46517/43429 : -48019/43429 : 1)
** u= 190/117 ; tau(u)= -44/73 ; 25442*x^2 - 8722*y^2 + 38036*x*z + 25442*z^2
  (-256/491 : 4119/3437 : 1)  C1a (-1523/3146 : 14381/22022 : 1)
** u= -191/169 ; tau(u)= 529/360 ; -222719*x^2 + 20641*y^2 + 316322*x*z - 222719*z^2
  (-132601/25986349 : -85670676/25986349 : 1)  C2b (644222/300989 : -770719/300989 : 1)
** u= 193/72 ; tau(u)= 49/121 ; 7967*x^2 - 26881*y^2 + 39650*x*z + 7967*z^2
  (-101/242959 : 132132/242959 : 1)  C1a (2005987/947357 : 1182211/947357 : 1)
** u= 194/9 ; tau(u)= 176/185 ; -30814*x^2 - 37474*y^2 + 68612*x*z - 30814*z^2
  (5713/3781 : 978/3781 : 1)  C1a (255431/75631 : 127907/75631 : 1)
** u= 195/74 ; tau(u)= 47/121 ; 8743*x^2 - 27073*y^2 + 40234*x*z + 8743*z^2
  (-5741/945 : 242/135 : 1)  C1a (-198974/26663 : 97011/26663 : 1)
** u= 199/18 ; tau(u)= 163/181 ; -25921*x^2 - 38953*y^2 + 66170*x*z - 25921*z^2
  (30997/42091 : 2850/6013 : 1)  C1a (1087049/1045615 : 125215/209123 : 1)
** u= 199/74 ; tau(u)= 51/125 ; 8351*x^2 - 28649*y^2 + 42202*x*z + 8351*z^2
  (107/1017 : 682/1017 : 1)  C1a (143657/52646 : 80511/52646 : 1)
285
>

ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.01.17追記] u=-8/197,12/49,24/89,133/149のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.01.17
H.Nakao

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