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Integer Points on A^4+B^4+C^4=178802*D^4

[2026.01.28]A^4+B^4+C^4=178802*D^4の整点

■整点を求める方法は、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、詳細はそちらを参照すること。ただし、参照する数式のみ記載する。

自然数nを固定したとき、不定方程式
       A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし C!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法およびTom Womackの文書(参考文献[5])を参考にして、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。
ここで、整数A,B,C,Dは0以上として良い。


■x=A/C,y=B/C.t=D/Cとすると、
       x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

そのためには、nある有理数uに対して、
       ±(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a±)
       ±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。


■任意の有理数uについて、２次曲線(3b+)および(3b-)は、non-singularである。
また、u^2 > 2のとき、(3b+)のみ、u^2 < 2のとき、(3b-)のみが成立する。

■２次曲線(3a)がsingularであるのは、u=0,1,2のときであり。そのときに限る。
u=1のとき、(3a+)はsingularであるが、有理点を持たない。
u-0,2のとき、(3a+)はsingularであり、
       x^2 - x + 1=n*t^2　--------(**)
が有理点をもつかどうかを議論する必要がある。

178802=2*299^2であるので、以下では、n=299とする。

■n=299のとき、２次曲線(**)は、有理点を持たないことが確認できる。

{MAGMAでの計算]
> P2 := ProjectiveSpace(Rationals(), 2);
> N:=299;
> C := Conic(P2,-N*y^2+x^2+x*z+z^2);
> HasRationalPoint(C);
false
>


■有理数u(u!=0,1,2)の高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、２つの２次曲線(3a+)と(3b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように159個のuが抽出される。
これらのuについて、(3a+),(3b±)を共に満たす有理数の組(x,y,t)を見つければ良い。

[MAGMAによる計算]
> PP(299,1,200);
** u= -1 ; tau(u)= 3/2 ; -7*x^2 + y^2 + 10*x*z - 7*z^2
  (1 : -2 : 1)  C2b (146/265 : -5/53 : 1)
** u= 1/17 ; tau(u)= 33/16 ; -511*x^2 + 577*y^2 + 1090*x*z - 511*z^2
  (347/237 : -32/237 : 1)  C1b (243002/74779 : -12263/74779 : 1)
** u= -1/49 ; tau(u)= 99/50 ; -4999*x^2 + 4801*y^2 + 9802*x*z - 4999*z^2
  (-353/543 : 910/543 : 1)  C2b (-2598642/1023295 : -1121/6055 : 1)
** u= 3/2 ; tau(u)= -1 ; 7*x^2 - y^2 + 10*x*z + 7*z^2
  (-7/3 : -14/3 : 1)  C1a (-177/49 : -19/49 : 1)
** u= 3/109 ; tau(u)= 215/106 ; -22463*x^2 + 23753*y^2 + 46234*x*z - 22463*z^2
  (128047/191015 : 49018/191015 : 1)  C1b (-5028805/1810342 : 348963/1810342 : 1)
** u= 4/9 ; tau(u)= 14/5 ; -34*x^2 + 146*y^2 + 212*x*z - 34*z^2
  (1/22 : 9/22 : 1)  C1b (1691/45 : -83/45 : 1)
** u= 4/29 ; tau(u)= 54/25 ; -1234*x^2 + 1666*y^2 + 2932*x*z - 1234*z^2
  (2 : -3/7 : 1)  C1b (3525/862 : -1237/6034 : 1)
** u= -4/37 ; tau(u)= 78/41 ; -3346*x^2 + 2722*y^2 + 6100*x*z - 3346*z^2
  (7/12 : 7/12 : 1)  C2b (105422/142421 : 7479/142421 : 1)
** u= -4/45 ; tau(u)= 94/49 ; -4786*x^2 + 4034*y^2 + 8852*x*z - 4786*z^2
  (395/1376 : -1113/1376 : 1)  C2b (13766/55781 : 3011/55781 : 1)
** u= -4/117 ; tau(u)= 238/121 ; -29266*x^2 + 27362*y^2 + 56660*x*z - 29266*z^2
  (17717/15866 : 4785/15866 : 1)  C2b (-3658779/838430 : 48893/167686 : 1)
** u= 4/185 ; tau(u)= 366/181 ; -65506*x^2 + 68434*y^2 + 133972*x*z - 65506*z^2
  (6098/4515 : 157/645 : 1)  C1b (35107/37805 : 2113/37805 : 1)
** u= 5/13 ; tau(u)= 21/8 ; -103*x^2 + 313*y^2 + 466*x*z - 103*z^2
  (-5 : 4 : 1)  C1b (-146170/11889 : 7447/11889 : 1)
** u= 7/9 ; tau(u)= 11/2 ; 41*x^2 + 113*y^2 + 170*x*z + 41*z^2
  (-137/187 : -138/187 : 1)  C1b (61406/36215 : 787/7243 : 1)
** u= -7/13 ; tau(u)= 33/20 ; -751*x^2 + 289*y^2 + 1138*x*z - 751*z^2
  (5/3 : 92/51 : 1)  C2b (914/495 : 959/8415 : 1)
** u= 7/41 ; tau(u)= 75/34 ; -2263*x^2 + 3313*y^2 + 5674*x*z - 2263*z^2
  (7409/3381 : 1550/3381 : 1)  C1b (-1437791/373066 : -86859/373066 : 1)
** u= 11/2 ; tau(u)= 7/9 ; -41*x^2 - 113*y^2 + 170*x*z - 41*z^2
  (17/43 : 18/43 : 1)  C1a (-7335/3854 : -455/3854 : 1)
** u= 11/37 ; tau(u)= 63/26 ; -1231*x^2 + 2617*y^2 + 4090*x*z - 1231*z^2
  (899/23 : -590/23 : 1)  C1b (-446/3617 : 193/3617 : 1)
** u= 11/117 ; tau(u)= 223/106 ; -22351*x^2 + 27257*y^2 + 49850*x*z - 22351*z^2
  (-31309/1105559 : 147522/157937 : 1)  C1b (311734/355347 : 19483/355347 : 1)
** u= 12/49 ; tau(u)= 86/37 ; -2594*x^2 + 4658*y^2 + 7540*x*z - 2594*z^2
  (3036/1153 : -455/1153 : 1)  C1b (148073/98254 : -7641/98254 : 1)
** u= 12/181 ; tau(u)= 350/169 ; -56978*x^2 + 65378*y^2 + 122644*x*z - 56978*z^2
  (2050/4697 : 2197/4697 : 1)  C1b (22251530/1316983 : -1213773/1316983 : 1)
** u= -12/185 ; tau(u)= 382/197 ; -77474*x^2 + 68306*y^2 + 146068*x*z - 77474*z^2
  (311/402 : -1121/2814 : 1)  C2b (2518418/1346215 : -893709/9423505 : 1)
** u= 13/53 ; tau(u)= 93/40 ; -3031*x^2 + 5449*y^2 + 8818*x*z - 3031*z^2
  (-1707/4423 : -4972/4423 : 1)  C1b (10331/634 : 527/634 : 1)
** u= 13/81 ; tau(u)= 149/68 ; -9079*x^2 + 12953*y^2 + 22370*x*z - 9079*z^2
  (1183/4297 : -2268/4297 : 1)  C1b (327179/11498 : 17341/11498 : 1)
** u= 14/5 ; tau(u)= 4/9 ; 34*x^2 - 146*y^2 + 212*x*z + 34*z^2
  (-1/22 : 9/22 : 1)  C1a (101/85 : 7/85 : 1)
** u= -16/37 ; tau(u)= 90/53 ; -5362*x^2 + 2482*y^2 + 8356*x*z - 5362*z^2
  (-7/3 : 14/3 : 1)  C2b (144907/108230 : 8417/108230 : 1)
** u= 17/81 ; tau(u)= 145/64 ; -7903*x^2 + 12833*y^2 + 21314*x*z - 7903*z^2
  (79/1393 : -144/199 : 1)  C1b (-26570058/9338833 : 1647433/9338833 : 1)
** u= -19/49 ; tau(u)= 117/68 ; -8887*x^2 + 4441*y^2 + 14050*x*z - 8887*z^2
  (153/223 : 196/223 : 1)  C2b (2976386/963967 : 180503/963967 : 1)
** u= -19/61 ; tau(u)= 141/80 ; -12439*x^2 + 7081*y^2 + 20242*x*z - 12439*z^2
  (-46883/215739 : -338432/215739 : 1)  C2b (38717/30285 : -2159/30285 : 1)
** u= 21/8 ; tau(u)= 5/13 ; 103*x^2 - 313*y^2 + 466*x*z + 103*z^2
  (1/5 : -4/5 : 1)  C1a (-17494/6705 : -863/6705 : 1)
** u= 21/37 ; tau(u)= 53/16 ; -71*x^2 + 2297*y^2 + 3250*x*z - 71*z^2
  (9/431 : 16/431 : 1)  C1b (-1835971/211237 : 90117/211237 : 1)
** u= 21/157 ; tau(u)= 293/136 ; -36551*x^2 + 48857*y^2 + 86290*x*z - 36551*z^2
  (78457/165587 : 46612/165587 : 1)  C1b (-36240382/2354731 : 2027037/2354731 : 1)
** u= -21/173 ; tau(u)= 367/194 ; -74831*x^2 + 59417*y^2 + 135130*x*z - 74831*z^2
  (1207339/1029219 : -586406/1029219 : 1)  C2b (-1217438/3022541 : -236391/3022541 : 1)
** u= 24/89 ; tau(u)= 154/65 ; -7874*x^2 + 15266*y^2 + 24292*x*z - 7874*z^2
  (91/326 : -109/326 : 1)  C1b (303128602/9101213 : -15490899/9101213 : 1)
** u= -24/145 ; tau(u)= 314/169 ; -56546*x^2 + 41474*y^2 + 99172*x*z - 56546*z^2
  (-73441/147 : 12272/21 : 1)  C2b (-681817/1603870 : 130887/1603870 : 1)
** u= -25/121 ; tau(u)= 267/146 ; -42007*x^2 + 28657*y^2 + 71914*x*z - 42007*z^2
  (-8087/164833 : 208010/164833 : 1)  C2b (1371739/1264675 : -78123/1264675 : 1)
** u= 28/65 ; tau(u)= 102/37 ; -1954*x^2 + 7666*y^2 + 11188*x*z - 1954*z^2
  (-100/207 : -209/207 : 1)  C1b (-163274/47305 : -8781/47305 : 1)
** u= 28/113 ; tau(u)= 198/85 ; -13666*x^2 + 24754*y^2 + 39988*x*z - 13666*z^2
  (2162/9079 : 4047/9079 : 1)  C1b (-79100522/38111177 : -5137309/38111177 : 1)
** u= -28/121 ; tau(u)= 270/149 ; -43618*x^2 + 28498*y^2 + 73684*x*z - 43618*z^2
  (424/1227 : 1111/1227 : 1)  C2b (262075/399906 : 21259/399906 : 1)
** u= 28/149 ; tau(u)= 270/121 ; -28498*x^2 + 43618*y^2 + 73684*x*z - 28498*z^2
  (-829/104548 : 85371/104548 : 1)  C1b (216443/335010 : 17057/335010 : 1)
** u= 29/81 ; tau(u)= 133/52 ; -4567*x^2 + 12281*y^2 + 18530*x*z - 4567*z^2
  (17477/67823 : -5976/67823 : 1)  C1b (1065632923/198951739 : 51974927/198951739 : 1)
** u= 31/41 ; tau(u)= 51/10 ; 761*x^2 + 2401*y^2 + 3562*x*z + 761*z^2
  (-35/33 : 1534/1617 : 1)  C1b (-13/3 : 31/147 : 1)
** u= 31/65 ; tau(u)= 99/34 ; -1351*x^2 + 7489*y^2 + 10762*x*z - 1351*z^2
  (1553/18425 : -4534/18425 : 1)  C1b (-2430982/50685 : -119507/50685 : 1)
** u= -32/137 ; tau(u)= 306/169 ; -56098*x^2 + 36514*y^2 + 94660*x*z - 56098*z^2
  (4799/10879 : -9048/10879 : 1)  C2b (50901/21962 : -2753/21962 : 1)
** u= 33/16 ; tau(u)= 1/17 ; 511*x^2 - 577*y^2 + 1090*x*z + 511*z^2
  (87/47 : 128/47 : 1)  C1a (14415/9598 : -1165/9598 : 1)
** u= 33/20 ; tau(u)= -7/13 ; 751*x^2 - 289*y^2 + 1138*x*z + 751*z^2
  (-1/583 : 15956/9911 : 1)  C1a (181/10 : -259/170 : 1)
** u= 33/41 ; tau(u)= 49/8 ; 961*x^2 + 2273*y^2 + 3490*x*z + 961*z^2
  (-8707/29007 : 28/29007 : 1)  C1b (-9283438/96379 : 469083/96379 : 1)
** u= 33/65 ; tau(u)= 97/32 ; -959*x^2 + 7361*y^2 + 10498*x*z - 959*z^2
  (-2585/48737 : -22136/48737 : 1)  C1b (-4571482/3279073 : 286383/3279073 : 1)
** u= 39/49 ; tau(u)= 59/10 ; 1321*x^2 + 3281*y^2 + 5002*x*z + 1321*z^2
  (-911/573 : 574/573 : 1)  C1b (40897/1010 : -2079/1010 : 1)
** u= 44/117 ; tau(u)= 190/73 ; -8722*x^2 + 25442*y^2 + 38036*x*z - 8722*z^2
  (25621/118498 : 22359/118498 : 1)  C1b (-821762/3111045 : -169753/3111045 : 1)
** u= -44/153 ; tau(u)= 350/197 ; -75682*x^2 + 44882*y^2 + 124436*x*z - 75682*z^2
  (11666/9599 : 8625/9599 : 1)  C2b (340470/191921 : 18431/191921 : 1)
** u= 44/169 ; tau(u)= 294/125 ; -29314*x^2 + 55186*y^2 + 88372*x*z - 29314*z^2
  (-3998/253 : 3185/253 : 1)  C1b (-35115/93787 : -5719/93787 : 1)
** u= -48/185 ; tau(u)= 418/233 ; -106274*x^2 + 66146*y^2 + 177028*x*z - 106274*z^2
  (-24740/465767 : 616741/465767 : 1)  C2b (-28697135/858743 : -1954833/858743 : 1)
** u= 49/8 ; tau(u)= 33/41 ; -961*x^2 - 2273*y^2 + 3490*x*z - 961*z^2
  (3021/9041 : -1876/9041 : 1)  C1a (-7231/77930 : 813/15586 : 1)
** u= 49/149 ; tau(u)= 249/100 ; -17599*x^2 + 42001*y^2 + 64402*x*z - 17599*z^2
  (-91869/133069 : -172340/133069 : 1)  C1b (779719/3343106 : -162983/3343106 : 1)
** u= 51/10 ; tau(u)= 31/41 ; -761*x^2 - 2401*y^2 + 3562*x*z - 761*z^2
  (87/89 : 3974/4361 : 1)  C1a (5604690/2234527 : -13600591/109491823 : 1)
** u= -52/37 ; tau(u)= 126/89 ; -13138*x^2 + 34*y^2 + 18580*x*z - 13138*z^2
  (-1/2 : 55/2 : 1)  C2b (-1617/106 : -1619/106 : 1)
** u= -52/49 ; tau(u)= 150/101 ; -17698*x^2 + 2098*y^2 + 25204*x*z - 17698*z^2
  (-3377/124912 : 369845/124912 : 1)  C2b (-2737430/181699 : -406491/181699 : 1)
** u= 52/81 ; tau(u)= 110/29 ; 1022*x^2 + 10418*y^2 + 14804*x*z + 1022*z^2
  (-281/1672 : -621/1672 : 1)  C1b (-5723134/7554075 : 446371/7554075 : 1)
** u= 52/89 ; tau(u)= 126/37 ; -34*x^2 + 13138*y^2 + 18580*x*z - 34*z^2
  (-914/12869 : -243/757 : 1)  C1b (-941/1757 : 97/1757 : 1)
** u= -52/121 ; tau(u)= 294/173 ; -57154*x^2 + 26578*y^2 + 89140*x*z - 57154*z^2
  (1642/157 : -2233/157 : 1)  C2b (-1113551/847495 : -26661/169499 : 1)
** u= 53/16 ; tau(u)= 21/37 ; 71*x^2 - 2297*y^2 + 3250*x*z + 71*z^2
  (-43/4101 : -520/4101 : 1)  C1a (2675014/406627 : -132039/406627 : 1)
** u= 54/25 ; tau(u)= 4/29 ; 1234*x^2 - 1666*y^2 + 2932*x*z + 1234*z^2
  (-83/152 : -25/1064 : 1)  C1a (-16662/8045 : -5753/56315 : 1)
** u= 55/153 ; tau(u)= 251/98 ; -16183*x^2 + 43793*y^2 + 66026*x*z - 16183*z^2
  (-52513/101051 : -113106/101051 : 1)  C1b (-11031310/2142233 : 589561/2142233 : 1)
** u= -56/53 ; tau(u)= 162/109 ; -20626*x^2 + 2482*y^2 + 29380*x*z - 20626*z^2
  (79/14 : -201/14 : 1)  C2b (-48311/122967 : 22597/122967 : 1)
** u= 56/121 ; tau(u)= 186/65 ; -5314*x^2 + 26146*y^2 + 37732*x*z - 5314*z^2
  (-141/1795 : -1012/1795 : 1)  C1b (137134/1455 : 6727/1455 : 1)
** u= -56/125 ; tau(u)= 306/181 ; -62386*x^2 + 28114*y^2 + 96772*x*z - 62386*z^2
  (-103919/1438941 : 2265680/1438941 : 1)  C2b (-503765/5837 : 38507/5837 : 1)
** u= 59/10 ; tau(u)= 39/49 ; -1321*x^2 - 3281*y^2 + 5002*x*z - 1321*z^2
  (1025/347 : 266/347 : 1)  C1a (-96530/152917 : 10161/152917 : 1)
** u= 61/113 ; tau(u)= 165/52 ; -1687*x^2 + 21817*y^2 + 30946*x*z - 1687*z^2
  (-38355/358771 : -24572/51253 : 1)  C1b (-15902657/4184610 : 811543/4184610 : 1)
** u= 63/26 ; tau(u)= 11/37 ; 1231*x^2 - 2617*y^2 + 4090*x*z + 1231*z^2
  (581/47 : 450/47 : 1)  C1a (4949/558 : -263/558 : 1)
** u= -64/169 ; tau(u)= 402/233 ; -104482*x^2 + 53026*y^2 + 165700*x*z - 104482*z^2
  (81143/30651 : -4940/1803 : 1)  C2b (-621252150/59970421 : 47761265/59970421 : 1)
** u= -67/81 ; tau(u)= 229/148 ; -39319*x^2 + 8633*y^2 + 56930*x*z - 39319*z^2
  (1073/11243 : 22392/11243 : 1)  C2b (2619517/6133941 : -495811/6133941 : 1)
** u= 71/153 ; tau(u)= 235/82 ; -8407*x^2 + 41777*y^2 + 60266*x*z - 8407*z^2
  (10799/88427 : 14814/88427 : 1)  C1b (-77950/144317 : -8513/144317 : 1)
** u= 71/193 ; tau(u)= 315/122 ; -24727*x^2 + 69457*y^2 + 104266*x*z - 24727*z^2
  (919/20983 : -11318/20983 : 1)  C1b (-1625678/2477133 : -163807/2477133 : 1)
** u= 75/34 ; tau(u)= 7/41 ; 2263*x^2 - 3313*y^2 + 5674*x*z + 2263*z^2
  (241/51 : 250/51 : 1)  C1a (277566/11965 : -15121/11965 : 1)
** u= -76/61 ; tau(u)= 198/137 ; -31762*x^2 + 1666*y^2 + 44980*x*z - 31762*z^2
  (752/937 : 20403/6559 : 1)  C2b (-9878/43511 : 75809/304577 : 1)
** u= 77/117 ; tau(u)= 157/40 ; 2729*x^2 + 21449*y^2 + 30578*x*z + 2729*z^2
  (-1841/14005 : 3372/14005 : 1)  C1b (-899975/309369 : 45173/309369 : 1)
** u= 77/145 ; tau(u)= 213/68 ; -3319*x^2 + 36121*y^2 + 51298*x*z - 3319*z^2
  (23131/361149 : 13036/361149 : 1)  C1b (-993593/2291042 : 124537/2291042 : 1)
** u= 78/41 ; tau(u)= -4/37 ; 3346*x^2 - 2722*y^2 + 6100*x*z + 3346*z^2
  (692/2119 : 3065/2119 : 1)  C1a (-208762/1879 : -12717/1879 : 1)
** u= 83/85 ; tau(u)= 87/2 ; 6881*x^2 + 7561*y^2 + 14458*x*z + 6881*z^2
  (-3063/2645 : -766/2645 : 1)  C1b (-246302/27565 : -13257/27565 : 1)
** u= 84/97 ; tau(u)= 110/13 ; 6718*x^2 + 11762*y^2 + 19156*x*z + 6718*z^2
  (-3779/9222 : -163/9222 : 1)  C1b (1844995/147629 : 99249/147629 : 1)
** u= -84/197 ; tau(u)= 478/281 ; -150866*x^2 + 70562*y^2 + 235540*x*z - 150866*z^2
  (9561/17276 : 16799/17276 : 1)  C2b (538619/510037 : 33273/510037 : 1)
** u= 86/37 ; tau(u)= 12/49 ; 2594*x^2 - 4658*y^2 + 7540*x*z + 2594*z^2
  (-1679/76 : 1169/76 : 1)  C1a (-764645/535054 : -39945/535054 : 1)
** u= 87/2 ; tau(u)= 83/85 ; -6881*x^2 - 7561*y^2 + 14458*x*z - 6881*z^2
  (2373/1879 : -434/1879 : 1)  C1a (55714/245351 : 12681/245351 : 1)
** u= 88/89 ; tau(u)= 90 ; 7742*x^2 + 8098*y^2 + 15844*x*z + 7742*z^2
  (-823/680 : 73/680 : 1)  C1b (-89699361/58315430 : 4552549/58315430 : 1)
** u= 88/117 ; tau(u)= 146/29 ; 6062*x^2 + 19634*y^2 + 29060*x*z + 6062*z^2
  (-40897/67007 : -46404/67007 : 1)  C1b (-275754/169787 : -14533/169787 : 1)
** u= -88/145 ; tau(u)= 378/233 ; -100834*x^2 + 34306*y^2 + 150628*x*z - 100834*z^2
  (-885/9682 : -17761/9682 : 1)  C2b (-10031153975/6096704202 : 1270007557/6096704202 : 1)
** u= 90 ; tau(u)= 88/89 ; -7742*x^2 - 8098*y^2 + 15844*x*z - 7742*z^2
  (1783/2152 : -201/2152 : 1)  C1a (26444553/12340150 : -1320157/12340150 : 1)
** u= 90/53 ; tau(u)= -16/37 ; 5362*x^2 - 2482*y^2 + 8356*x*z + 5362*z^2
  (929/148 : -1541/148 : 1)  C1a (277622/121917 : 27607/121917 : 1)
** u= 93/40 ; tau(u)= 13/53 ; 3031*x^2 - 5449*y^2 + 8818*x*z + 3031*z^2
  (-203/1185 : -644/1185 : 1)  C1a (-177693/18470 : 8959/18470 : 1)
** u= 94/49 ; tau(u)= -4/45 ; 4786*x^2 - 4034*y^2 + 8852*x*z + 4786*z^2
  (-863/1202 : -567/1202 : 1)  C1a (-394005/37382 : -22723/37382 : 1)
** u= -95/113 ; tau(u)= 321/208 ; -77503*x^2 + 16513*y^2 + 112066*x*z - 77503*z^2
  (-1465/25793 : -407504/180551 : 1)  C2b (1640810/177651 : -1135991/1243557 : 1)
** u= 96/113 ; tau(u)= 130/17 ; 8638*x^2 + 16322*y^2 + 26116*x*z + 8638*z^2
  (-3161/1527 : 1096/1527 : 1)  C1b (-25934/77249 : -3771/77249 : 1)
** u= 97/32 ; tau(u)= 33/65 ; 959*x^2 - 7361*y^2 + 10498*x*z + 959*z^2
  (-19653/947555 : 42968/135365 : 1)  C1a (-2103026/383551 : 102699/383551 : 1)
** u= -97/73 ; tau(u)= 243/170 ; -48391*x^2 + 1249*y^2 + 68458*x*z - 48391*z^2
  (12763/27719 : 129186/27719 : 1)  C2b (4847/30823 : 643/2371 : 1)
** u= 97/101 ; tau(u)= 105/4 ; 9377*x^2 + 10993*y^2 + 20434*x*z + 9377*z^2
  (-59329/90065 : -3284/90065 : 1)  C1b (372610/325863 : 33287/325863 : 1)
** u= -97/153 ; tau(u)= 403/250 ; -115591*x^2 + 37409*y^2 + 171818*x*z - 115591*z^2
  (-86399/4872529 : -8678490/4872529 : 1)  C2b (3761219/81206 : 324883/81206 : 1)
** u= 99/34 ; tau(u)= 31/65 ; 1351*x^2 - 7489*y^2 + 10762*x*z + 1351*z^2
  (333/2783 : 1658/2783 : 1)  C1a (1441815/32482 : -70897/32482 : 1)
** u= 99/50 ; tau(u)= -1/49 ; 4999*x^2 - 4801*y^2 + 9802*x*z + 4999*z^2
  (-4759/5571 : -1330/5571 : 1)  C1a (845739/809354 : -84037/809354 : 1)
** u= 100/117 ; tau(u)= 134/17 ; 9422*x^2 + 17378*y^2 + 27956*x*z + 9422*z^2
  (-12427/16148 : 9885/16148 : 1)  C1b (1064119/89610 : 1963/3090 : 1)
** u= 100/153 ; tau(u)= 206/53 ; 4382*x^2 + 36818*y^2 + 52436*x*z + 4382*z^2
  (-4189/18056 : -8175/18056 : 1)  C1b (-4160726/2037715 : 218503/2037715 : 1)
** u= 100/197 ; tau(u)= 294/97 ; -8818*x^2 + 67618*y^2 + 96436*x*z - 8818*z^2
  (-5249/17926 : 13405/17926 : 1)  C1b (15728598/3629713 : 772351/3629713 : 1)
** u= 101/121 ; tau(u)= 141/20 ; 9401*x^2 + 19081*y^2 + 30082*x*z + 9401*z^2
  (-33991/86547 : 1144/5091 : 1)  C1b (-6115350/2916979 : -302707/2916979 : 1)
** u= 102/37 ; tau(u)= 28/65 ; 1954*x^2 - 7666*y^2 + 11188*x*z + 1954*z^2
  (-4/3757 : 1891/3757 : 1)  C1a (-292382/34037 : -14247/34037 : 1)
** u= -103/169 ; tau(u)= 441/272 ; -137359*x^2 + 46513*y^2 + 205090*x*z - 137359*z^2
  (-2400547/422041419 : 728349440/422041419 : 1)  C2b (5477994/2490223 : -363671/2490223 : 1)
** u= -104/81 ; tau(u)= 266/185 ; -57634*x^2 + 2306*y^2 + 81572*x*z - 57634*z^2
  (103/346 : 1413/346 : 1)  C2b (-172810/186663 : -80771/186663 : 1)
** u= 105/4 ; tau(u)= 97/101 ; -9377*x^2 - 10993*y^2 + 20434*x*z - 9377*z^2
  (65205/55589 : 21796/55589 : 1)  C1a (147765/119714 : -463/7042 : 1)
** u= -107/153 ; tau(u)= 413/260 ; -123751*x^2 + 35369*y^2 + 182018*x*z - 123751*z^2
  (-889/6197 : 12864/6197 : 1)  C2b (2870605/2461198 : 200921/2461198 : 1)
** u= 110/13 ; tau(u)= 84/97 ; -6718*x^2 - 11762*y^2 + 19156*x*z - 6718*z^2
  (405/914 : 179/914 : 1)  C1a (3885670/62683 : 201657/62683 : 1)
** u= 110/29 ; tau(u)= 52/81 ; -1022*x^2 - 10418*y^2 + 14804*x*z - 1022*z^2
  (587/5398 : -1269/5398 : 1)  C1a (339635/10339 : 16529/10339 : 1)
** u= -112/85 ; tau(u)= 282/197 ; -65074*x^2 + 1906*y^2 + 92068*x*z - 65074*z^2
  (397/3840 : -20861/3840 : 1)  C2b (715789/1087299 : -219119/1087299 : 1)
** u= -112/121 ; tau(u)= 354/233 ; -96034*x^2 + 16738*y^2 + 137860*x*z - 96034*z^2
  (18002/4593 : 36047/4593 : 1)  C2b (12879374/6849823 : -1112669/6849823 : 1)
** u= 112/153 ; tau(u)= 194/41 ; 9182*x^2 + 34274*y^2 + 50180*x*z + 9182*z^2
  (-48007/111323 : -62346/111323 : 1)  C1b (99382882/56145661 : 6074467/56145661 : 1)
** u= 117/68 ; tau(u)= -19/49 ; 8887*x^2 - 4441*y^2 + 14050*x*z + 8887*z^2
  (-3097/1263 : -3164/1263 : 1)  C1a (1841413/285514 : 147949/285514 : 1)
** u= -119/137 ; tau(u)= 393/256 ; -116911*x^2 + 23377*y^2 + 168610*x*z - 116911*z^2
  (-7611/660443 : 1489280/660443 : 1)  C2b (-463024074/230783657 : -70820599/230783657 : 1)
** u= 119/169 ; tau(u)= 219/50 ; 9161*x^2 + 42961*y^2 + 62122*x*z + 9161*z^2
  (-10329/44687 : -14794/44687 : 1)  C1b (-12696091/2159965 : -617653/2159965 : 1)
** u= 120/169 ; tau(u)= 218/49 ; 9598*x^2 + 42722*y^2 + 61924*x*z + 9598*z^2
  (-2683/814 : -1183/814 : 1)  C1b (9876329/454330 : -490203/454330 : 1)
** u= -123/169 ; tau(u)= 461/292 ; -155399*x^2 + 41993*y^2 + 227650*x*z - 155399*z^2
  (809/2863 : 31460/20041 : 1)  C2b (582191/88975 : 70047/124565 : 1)
** u= 124/125 ; tau(u)= 126 ; 15374*x^2 + 15874*y^2 + 31252*x*z + 15374*z^2
  (-352/313 : -45/313 : 1)  C1b (-3155638/1638247 : -157717/1638247 : 1)
** u= 126 ; tau(u)= 124/125 ; -15374*x^2 - 15874*y^2 + 31252*x*z - 15374*z^2
  (352/313 : 45/313 : 1)  C1a (104454/85891 : 5581/85891 : 1)
** u= 126/37 ; tau(u)= 52/89 ; 34*x^2 - 13138*y^2 + 18580*x*z + 34*z^2
  (1789/6754 : 4149/6754 : 1)  C1a (725678/427091 : 40981/427091 : 1)
** u= 126/89 ; tau(u)= -52/37 ; 13138*x^2 - 34*y^2 + 18580*x*z + 13138*z^2
  (-211/1076 : 18453/1076 : 1)  C1a (-10259/6898 : -6943/6898 : 1)
** u= 127/185 ; tau(u)= 243/58 ; 9401*x^2 + 52321*y^2 + 75178*x*z + 9401*z^2
  (-3791/29205 : 1802/29205 : 1)  C1b (-507348222/3723845 : 24847097/3723845 : 1)
** u= 128/145 ; tau(u)= 162/17 ; 15806*x^2 + 25666*y^2 + 42628*x*z + 15806*z^2
  (-3593/1595 : 36/1595 : 1)  C1b (150271/1372350 : 75619/1372350 : 1)
** u= -128/149 ; tau(u)= 426/277 ; -137074*x^2 + 28018*y^2 + 197860*x*z - 137074*z^2
  (-551/121 : 1424/121 : 1)  C2b (268429/8242 : 28557/8242 : 1)
** u= -128/153 ; tau(u)= 434/281 ; -141538*x^2 + 30434*y^2 + 204740*x*z - 141538*z^2
  (-3337/503 : -8016/503 : 1)  C2b (73430/184547 : -15265/184547 : 1)
** u= -128/197 ; tau(u)= 522/325 ; -194866*x^2 + 61234*y^2 + 288868*x*z - 194866*z^2
  (719/431 : 880/431 : 1)  C2b (1101238/662075 : -72559/662075 : 1)
** u= 130/17 ; tau(u)= 96/113 ; -8638*x^2 - 16322*y^2 + 26116*x*z - 8638*z^2
  (59271/31369 : 24392/31369 : 1)  C1a (-759347/192358 : -43593/192358 : 1)
** u= 132/197 ; tau(u)= 262/65 ; 8974*x^2 + 60194*y^2 + 86068*x*z + 8974*z^2
  (-213/100 : 149/100 : 1)  C1b (111931/122450 : 8523/122450 : 1)
** u= 133/52 ; tau(u)= 29/81 ; 4567*x^2 - 12281*y^2 + 18530*x*z + 4567*z^2
  (-37/4267 : -2556/4267 : 1)  C1a (24207/11294 : -1463/11294 : 1)
** u= 133/197 ; tau(u)= 261/64 ; 9497*x^2 + 59929*y^2 + 85810*x*z + 9497*z^2
  (-18813/139661 : -24800/139661 : 1)  C1b (-40504234/17365717 : -2068223/17365717 : 1)
** u= 134/17 ; tau(u)= 100/117 ; -9422*x^2 - 17378*y^2 + 27956*x*z - 9422*z^2
  (83/154 : 9/22 : 1)  C1a (29745/14257 : 1469/14257 : 1)
** u= 136/149 ; tau(u)= 162/13 ; 18158*x^2 + 25906*y^2 + 44740*x*z + 18158*z^2
  (-3364/4237 : -2025/4237 : 1)  C1b (-5561904610/394869379 : -290931215/394869379 : 1)
** u= 136/173 ; tau(u)= 210/37 ; 15758*x^2 + 41362*y^2 + 62596*x*z + 15758*z^2
  (-71/205 : 64/205 : 1)  C1b (-619262/1146937 : 58263/1146937 : 1)
** u= -140/117 ; tau(u)= 374/257 ; -112498*x^2 + 7778*y^2 + 159476*x*z - 112498*z^2
  (4045/39874 : 141159/39874 : 1)  C2b (-2638/2207 : -829/2207 : 1)
** u= 141/20 ; tau(u)= 101/121 ; -9401*x^2 - 19081*y^2 + 30082*x*z - 9401*z^2
  (829/1965 : -572/1965 : 1)  C1a (18758535/8926177 : 928351/8926177 : 1)
** u= 141/80 ; tau(u)= -19/61 ; 12439*x^2 - 7081*y^2 + 20242*x*z + 12439*z^2
  (-65107/357717 : 407008/357717 : 1)  C1a (501310/185099 : 43707/185099 : 1)
** u= 145/64 ; tau(u)= 17/81 ; 7903*x^2 - 12833*y^2 + 21314*x*z + 7903*z^2
  (3257/12745 : 13248/12745 : 1)  C1a (150271/1372350 : 75619/1372350 : 1)
** u= 146/29 ; tau(u)= 88/117 ; -6062*x^2 - 19634*y^2 + 29060*x*z - 6062*z^2
  (5761/3263 : 3780/3263 : 1)  C1a (361874/4383 : 17959/4383 : 1)
** u= 149/68 ; tau(u)= 13/81 ; 9079*x^2 - 12953*y^2 + 22370*x*z + 9079*z^2
  (586189/1429001 : -252288/204143 : 1)  C1a (-5561904610/394869379 : -290931215/394869379 : 1)
** u= 150/101 ; tau(u)= -52/49 ; 17698*x^2 - 2098*y^2 + 25204*x*z + 17698*z^2
  (-207/32 : -539/32 : 1)  C1a (-1682143/225617 : -217163/225617 : 1)
** u= 154/65 ; tau(u)= 24/89 ; 7874*x^2 - 15266*y^2 + 24292*x*z + 7874*z^2
  (-610/2699 : -1153/2699 : 1)  C1a (968338/225955 : -54849/225955 : 1)
** u= -155/137 ; tau(u)= 429/292 ; -146503*x^2 + 13513*y^2 + 208066*x*z - 146503*z^2
  (-18609/216985 : -759196/216985 : 1)  C2b (356794290/192165643 : -41743769/192165643 : 1)
** u= 157/40 ; tau(u)= 77/117 ; -2729*x^2 - 21449*y^2 + 30578*x*z - 2729*z^2
  (18515/11623 : 15684/11623 : 1)  C1a (-2556978/2314327 : 175709/2314327 : 1)
** u= 162/13 ; tau(u)= 136/149 ; -18158*x^2 - 25906*y^2 + 44740*x*z - 18158*z^2
  (3364/4237 : 2025/4237 : 1)  C1a (327179/11498 : 17341/11498 : 1)
** u= 162/17 ; tau(u)= 128/145 ; -15806*x^2 - 25666*y^2 + 42628*x*z - 15806*z^2
  (823/985 : -576/985 : 1)  C1a (-26570058/9338833 : 1647433/9338833 : 1)
** u= 162/109 ; tau(u)= -56/53 ; 20626*x^2 - 2482*y^2 + 29380*x*z + 20626*z^2
  (-2087/1171 : -4320/1171 : 1)  C1a (27770/26507 : 7045/26507 : 1)
** u= 165/52 ; tau(u)= 61/113 ; 1687*x^2 - 21817*y^2 + 30946*x*z + 1687*z^2
  (-79315/2559901 : 468196/2559901 : 1)  C1a (856319/546790 : -50691/546790 : 1)
** u= -165/173 ; tau(u)= 511/338 ; -201263*x^2 + 32633*y^2 + 288346*x*z - 201263*z^2
  (15/11 : -26/11 : 1)  C2b (-1335245/206486 : -180723/206486 : 1)
** u= -167/125 ; tau(u)= 417/292 ; -142639*x^2 + 3361*y^2 + 201778*x*z - 142639*z^2
  (13053/73843 : -60740/10549 : 1)  C2b (1196014/7372289 : 2085311/7372289 : 1)
** u= -183/137 ; tau(u)= 457/320 ; -171311*x^2 + 4049*y^2 + 242338*x*z - 171311*z^2
  (-74901/281509 : -2202784/281509 : 1)  C2b (-8969647/387217 : -2925549/387217 : 1)
** u= 186/65 ; tau(u)= 56/121 ; 5314*x^2 - 26146*y^2 + 37732*x*z + 5314*z^2
  (-939/48635 : 20372/48635 : 1)  C1a (9296698/2476463 : -488901/2476463 : 1)
** u= -188/185 ; tau(u)= 558/373 ; -242914*x^2 + 33106*y^2 + 346708*x*z - 242914*z^2
  (29101/89360 : -193833/89360 : 1)  C2b (-93985/47713 : 17453/47713 : 1)
** u= 190/73 ; tau(u)= 44/117 ; 8722*x^2 - 25442*y^2 + 38036*x*z + 8722*z^2
  (-4217/18476 : -2577/18476 : 1)  C1a (12637585/3262217 : 687857/3262217 : 1)
** u= 194/41 ; tau(u)= 112/153 ; -9182*x^2 - 34274*y^2 + 50180*x*z - 9182*z^2
  (137/181 : 150/181 : 1)  C1a (94329/1430 : 931/286 : 1)
** u= -195/193 ; tau(u)= 581/388 ; -263063*x^2 + 36473*y^2 + 375586*x*z - 263063*z^2
  (1303/2385 : -4612/2385 : 1)  C2b (-810137/1196495 : 243591/1196495 : 1)
** u= -196/181 ; tau(u)= 558/377 ; -245842*x^2 + 27106*y^2 + 349780*x*z - 245842*z^2
  (43931/5704 : 120687/5704 : 1)  C2b (-21191946/7244897 : -3934571/7244897 : 1)
** u= 198/85 ; tau(u)= 28/113 ; 13666*x^2 - 24754*y^2 + 39988*x*z + 13666*z^2
  (-127/900 : 521/900 : 1)  C1a (198460758/94676803 : 12857101/94676803 : 1)
** u= 198/137 ; tau(u)= -76/61 ; 31762*x^2 - 1666*y^2 + 44980*x*z + 31762*z^2
  (-269/126 : 6131/882 : 1)  C1a (143/311 : -631/2177 : 1)
** u= -199/157 ; tau(u)= 513/356 ; -213871*x^2 + 9697*y^2 + 302770*x*z - 213871*z^2
  (18581/12043 : 61860/12043 : 1)  C2b (-486135/4649 : -111835/4649 : 1)
159
>


ここからは、 "A^4+B^4+C^4=3362*D^4の整点" と同様なので、最終的に得られた(1)の整点のみを記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B <=C を満たすように、A,B,Cを交換して、Dの小さい順に(1)の等式を並べ替えると、以下のようになる。



[2026.01.29追記] u=132/197のときの整点を追加した。
[2026.01.30追記] u=-140/117のときの整点を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.01.30
H.Nakao

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